(appartenente
o meno ad A) è un punto di accumulazione di
se
: qualunque intorno completo di
contiene
almeno un punto
che
non sia
stesso
(se ne esiste uno ne esistono
infiniti).
Punti di ACCUMULAZIONE o ISOLATI
definizione di punto di accumulazione
definizione di punto di accumulazione destro e sinistro
definizione di punto isolato
definizione di punto interno
definizione di punto esterno
definizione di punto di frontiera
p.to di accumulazione :
Un
punto
(appartenente
o meno ad A) è un punto di accumulazione di
se
: qualunque intorno completo di
contiene
almeno un punto
che
non sia
stesso
(se ne esiste uno ne esistono
infiniti).
Oss. 1 : E' facile intuire che in un sottoinsieme di R, ogni punto interno dell'intervallo dei valori è un punto di accumulazione, perchè conterrà intorno a se valori del sottoinsieme.
Oss. 2 : Anche gli estremi (contenuti o meno nel sottoinsieme) sono punti di accumulazione.
Oss. 3 : Un sottoinsieme che contiene tutti i suoi punti di accumulazione si dice sottoinsieme chiuso.
Oss. 4 : Si dice chiusura di un sottoinsieme l'unione di un sottoinsieme aperto con i suoi punti di accumulazione.
Nell'esempio vediamo che nel caso a) il punto Xo potrebbe essere un p.to di accumulazione, poi valutando un altro intorno con raggio minore, caso b), si scopre che l'intorno non ha p.ti di A, quindi il punto Xo considerato non è un punto di accumulazione per A.
Nell'esempio
sotto invece vediamo che nel caso c) e nel caso d) e potrei
proseguire nel ridurre il raggio dell'intorno, il punto Xo
considerato è un punto di accumulazione per A.
vediamo
qualche esempio numerico :
esempio 1
quindi c è un punto di accumulazione.
esempio 2
quindi c è un punto di accumulazione.
esempio 3
Nei
numeri naturali N, non esistono numeri intermedi, quindi nello spazio
considerato non ci sono punti di N. Allora posso dire che c=2 non è
un punto di accumulazione di N. L'unico punto di accumulazione di N è
e
questa è una nozione importante nei limiti di successione e
nei limiti di funzione.
esempio 4
Un
insieme
e
definito
:
7 non è un punto di accumulazione perchè non ha valori intorno del sottoinsieme;
sono
punti di accumulazione
p.to di accumulazione destro :
Si
dice che
è un punto di accumulazione a destra per l'insieme
,
se in ogni intorno sinistro di
,cade
almeno un punto di A distinto da
.
p.to di accumulazione sinistro :
Si
dice che
è un punto di accumulazione a sinistra per l'insieme
,
se in ogni intorno destro di
,cade
almeno un punto di A distinto da
.
p.to isolato :
dato
un punto
(un
punto isolato deve appartenere al sottoinsieme) si dice punto isolato
di
se esiste almeno un intorno
in
cui NON ci sono punti di A. Nell'esempio 3 sopra il c=2 è
un punto isolato dell'insieme N, nell'esempio 4 il valore 7 è
un punto isolato del sottoinsieme A.
p.to interno :
dato
un punto
si
dice punto interno se esiste almeno un intorno
che
contenga solo punti di A sia a destra che a sinistra dell'intorno.
p.to esterno :
dato
un punto
si
dice punto interno se esiste almeno un intorno
che
NON contenga punti di A sia a destra che a sinistra dell'intorno.
Quindi questo punto appartiene al complementare di
.
p.to di frontiera :
dato
un punto
si
dice punto di frontiera se ogni intorno
contiene
almeno un punto di A (può essere il punto stesso
considerato) e almeno un punto del suo complementare :
.
Il punto di frontiera può essere o meno contenuto in A.