Cosa ci spinge a fornire una introduzione al calcolo letterale? Per quale motivo i numeri non bastano? Ebbene, l’uso del calcolo letterale ci permette di scrivere in forma generale la soluzione di un dato problema. Ad esempio, se vogliamo trovare l’area di un rettangolo, possiamo esprimere la soluzione in termini generali come segue:
\[ A=b \times h \]
intendendo con \( A \) l’area del rettangolo, con \( b \) la sua base e con \( h \) la sua altezza. Come è immediato osservare, attribuendo di volta in volta certi valori alle lettere \( b \) e \( h \), sarà possibile calcolare l’area di un qualsiasi rettangolo.
Capiamo quindi come il calcolo letterale ci permette di risolvere un problema lasciandone indicati i dati di partenza. In tal modo, si otterrà una formula che permetterà di calcolare una soluzione numerica in base ai valori dei dati di partenza.
Così, se un rettangolo ha base pari a \( 10 \) e altezza pari a \( 5 \), porremo \( b=10 \), \( h=5 \) e calcoleremo:
\[ A=b \times h = 10 \times 5 = 50 \]
Nel seguito non ci preoccuperemo di attribuire necessariamente un valore alle lettere ma svolgeremo i calcoli lasciandole indicate. Il nostro obiettivo è infatti quello di saper lavorare con le quantità letterali. Impareremo quindi gradualmente nelle prossime lezioni tutte le tecniche del calcolo letterale.
Cominciamo allora subito il nostro viaggio con una graduale introduzione al calcolo letterale! 🙂
Dall’algebra dei numeri al calcolo letterale – introduzione al calcolo letterale
Un primo passo per abituarsi al calcolo letterale è quello di provare ad eseguire dei calcoli con i numeri lasciando però indicate le somme ed i prodotti che via via si ottengono.
Ad esempio, supponiamo di voler sviluppare mediante le proprietà delle operazioni l’espressione numerica:
\[ (4+2+7)\times5 \]
Per la proprietà distributiva della moltiplicazione, è possibile riscrivere la precedente come:
\[ (4+2+7)\times 5 = 4 \times 5 + 2 \times 5 + 7 \times 5 \]
Possiamo verificare agevolmente la correttezza di tale scrittura. Si ha infatti:
\[ (4+2+7)\times5=13 \times 5 = 65 \]
e:
\[ (4+2+7)\times 5 = 4 \times 5 + 2 \times 5 + 7 \times 5=20+10+35=65 \]
Ora, supponiamo di voler sviluppare in modo del tutto simile l’espressione numerica:
\[ (3+2+7)\times(5+6) \]
Come facciamo? L’idea è quella di sfruttare sempre la proprietà distributiva della moltiplicazione, ma stavolta abbiamo un prodotto tra somme indicate (ricordiamo che una somma indicata è il risultato di un’addizione lasciata scritta come somma degli addendi).
Può venirci in aiuto proprio il calcolo letterale. In particolare, l’esempio fatto all’inizio relativo all’area del rettangolo evidenzia come sia possibile attribuire ad una lettera un qualsiasi valore numerico. Di più, è possibile attribuire ad una lettera una qualsiasi espressione numerica. 😉 Ad esempio, ponendo \( a=2+5 \), ogni volta che scriveremo \( a \) intenderemo sempre la somma indicata \( 2+5 \).
Tornando al nostro caso, ci è certamente utile porre:
\[ a=5+6 \]
In tal modo, possiamo riscrivere l’espressione numerica data come:
\[ (3+2+7)\times a \]
A questo punto ci basta un leggero sforzo di immaginazione. Cerchiamo di trattare la lettera \( a \) come se fosse un numero e procediamo a sviluppare l’espressione appena scritta, proprio come fatto per la precedente espressione numerica. Si ha:
\[ (3+2+7)\times a=3 \times a + 2 \times a + 7 \times a \]
Ora ci basta ricordare che avevamo posto \( a=5+6 \). A questo punto, scriviamo al posto della lettera \( a \) l’espressione \( 5+6 \). Abbiamo così:
\[ (3+2+7)\times(5+6)=3 \times (5+6) + 2 \times (5+6) + 7 \times (5+6) =\]
Ma ora siamo in grado di andare avanti, poiché abbiamo la somma di tre prodotti in ciascuno dei quali possiamo applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione. Procediamo quindi scrivendo:
\[ = 3 \times 5 + 3 \times 6 + 2 \times 5 + 2 \times 6 + 7 \times 5 + 7 \times 6 \]
E’ immediato verificare che l’espressione appena scritta è corretta. Infatti, svolgendo i calcoli otteniamo come risultato \( 132 \), che è lo stesso risultato che si ottiene per l’espressione di partenza:
\[ (3+2+7)\times(5+6)=12 \times 11 = 132 \]
La nostra prima espressione letterale
E’ ora logico domandarsi: perché rendere così lunghe delle espressioni numeriche così semplici? Non abbiamo sprecato sin qui il nostro tempo, infatti ora con quanto appreso possiamo sviluppare la seguente espressione letterale:
\[ (x+y+z) \times (h+k) \]
Le lettere sono molto versatili. Non è soltanto possibile attribuire ad una lettera un numero o un’espressione numerica… ma addirittura altre lettere o espressioni letterali :). Così possiamo ad esempio porre:
\[ t=h+k \]
In questo modo, ogni volta che scriveremo \( t \), intenderemo in realtà la somma \( h+k \). A questo punto è chiaro: possiamo riscrivere l’espressione data come:
\[ (x+y+z) \times t \]
Ed ora, si tratta di applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione:
\[ (x+y+z) \times t= x \times t + y \times t + z \times t \]
A questo punto ci rimane soltanto da scrivere \( (h+k) \) al posto di ciascuna \( t \):
\[ (x+y+z) \times (h+k)= x \times (h+k) + y \times (h+k) + z \times (h+k)=\]
Ed infine, non resta che applicare di nuovo la proprietà distributiva della moltiplicazione per ciascun prodotto:
\[ = x \times h+x\times k +y \times h +y \times k +z \times h +z \times k \]
Possiamo così scrivere, in conclusione:
\[ (x+y+z) \times (h+k)=x \times h+x\times k +y \times h +y \times k +z \times h +z \times k \]
Siamo così riusciti a calcolare un’espressione letterale.
Verifichiamo la correttezza del risultato ottenuto. Poniamo ad esempio:
\[ x=1; \quad y = 2; \quad z = 3; \quad h=10; \quad k=5 \]
Si ha, per l’espressione letterale iniziale:
\[ (x+y+z) \times (h+k)=(1+2+3)\times(10+5)=6 \times 15 = 90 \]
E, per il risultato letterale ottenuto:
\[ \begin{align}& x \times h+x\times k +y \times h +y \times k +z \times h +z \times k= \\ \\ & = 1 \times 10 + 1 \times 5 + 2 \times 10 + 2 \times 5 + 3 \times 10 + 3 \times 5 = 90 \end{align} \]
Un’anticipazione sulle prime definizioni
Abbiamo così presentato una prima introduzione al calcolo letterale svolgendo la seguente espressione letterale:
\[ (x+y+z) \times (h+k)=x \times h+x\times k +y \times h +y \times k +z \times h +z \times k \]
Vediamo di scrivere il risultato nel modo usuale dell’algebra. Anzitutto, è opportuno sostituire il simbolo \( \times \) con il simbolo \( \cdot \). In tal modo, eviteremo di confondere il simbolo del per con il simbolo della \( x \). Inoltre, conviene riscrivere i prodotti tra quantità letterali in modo che le lettere siano disposte in ordine alfabetico. Ciò è possibile grazie alla proprietà commutativa della moltiplicazione. Scriveremo quindi:
\[ (x+y+z) \cdot(h+k)= h\cdot x+k \cdot x+h \cdot y + k \cdot y + h \cdot z + k \cdot z \]
Abbiamo così terminato questa introduzione al calcolo letterale. 🙂 Nelle lezioni che seguiranno, vedremo gradualmente tutte le definizioni del calcolo letterale. E’ però interessante a questo punto anticipare alcune definizioni.
In particolare, i termini quali \( x \) e \( y \) sono dei monomi. Anche i prodotti tra quantità letterali quali \( h \cdot x \) si chiamano monomi. Invece, le somme indicate del tipo \( h+k \) o anche \( h \cdot x + k \cdot x \) si chiamano polinomi. Un polinomio è in estrema sintesi una somma algebrica di più monomi.
Così, nello sviluppare l’espressione letterale assegnata abbiamo eseguito un prodotto tra polinomi. In una successiva lezione, mostreremo tutte le regole che stanno dietro al prodotto tra polinomi.
Per quanto riguarda questa introduzione al calcolo letterale è tutto. Nella prossima lezione, vedremo nel dettaglio e in tutta la sua generalità la definizione di monomio. Ciao a tutti! 🙂