2.5: Rappresentazione geometrica di
In un piano assegniamo due rette ortogonali x ed y ed
indichiamo con O il loro punto d’intersezione. Fissiamo
anche su ciascuna di esse un riferimento cartesiano di origine O (in
particolare i punti unità U1 ed U2 dell’asse x e dell’asse y rispettivamente,
si possono fissare di guisa che ). Quando ciò si sia fatto, si dice allora che si è
fissato sul piano un riferimento
cartesiano ortogonale (x,y) e le rette x ed y si
chiamano assi cartesiani ortogonali del riferimento.
Se , indichiamo con Px (risp. Py) la proiezione ortogonale di P su x (risp. su y) e con xp (risp. yp) l'ascissa di Px (risp. Py) rispetto al riferimento cartesiano su x (risp. su y). Il numero reale xp si chiama ascissa (o prima coordinata) di P; il numero reale yp si chiama ordinata (o seconda coordinata) di P.
In tal modo resta definita una applicazione di
in
Si prova che tale applicazione è bigettiva, cioè risulta
e
Gli assi
x ed
y si
chiamano rispettivamente
asse delle ascisse (o
asse delle x)
e
asse delle ordinate (o
asse delle y). Noi supporremo
sempre che i punti unità
U1 ed
U2 siano equidistanti da O e che gli assi siano disposti
come in figura.
Da 1. e 2., poi, consegue che se
, ad (
x,
y)
resta associato un
unico punto P del piano
, quello per cui
xp
=
x e
yp =
y; tale
punto prende il nome di
immagine di (x,
y) su (oppure rappresentazione geometrica di (
x,
y) su
).
Ciò consente di rappresentare geometricamente, sul piano
, un qualsiasi sottoinsieme di
. Ad esempio se
, l'insieme
è rappresentato sul piano
da un rettangolo di dimensioni
b - a e
d - c (vedi fig. 1) mentre gli insiemi
sono rappresentati da due strisce (vedi fig. 2)
|
|
fig. 1 |
fig. 2 |
Sul piano
si può rappresentare
anche il grafico di una funzione reale definita in un insieme numerico.
Ricordiamo, intanto, che se X ed Y sono
insiemi qualsiasi e se
è una funzione di X in Y, denotato con
f (x) il valore di
f nell’elemento
x di X,
il grafico di
f è, per definizione, il sottoinsieme di
dato da
.
In
particolare, se X è un insieme numerico ed , allora , dunque Gf si può rappresentare sul piano . Ad esempio se è la funzione costante di costante valore 2 definita nell'intervallo [1,5], il grafico di f è rappresentato su dal segmento
(parallelo all’asse delle x) di estremi (1,2) e (5,2).
Mentre la funzione identica di , cioè la funzione definita ponendo, per ogni ,
ha come grafico l'insieme
dunque è rappresentato su
alla bisettrice del I
e III quadrante. Più in generale se
con
a0 e se
è la funzione definita ponendo, per ogni
,
allora il grafico di
è rappresentato dalla retta del piano passante per i punti
. In particolare
ha come grafico la retta passante per i punti
, come in figura.
Si noti che il grafico di è una retta in quanto per ogni risulta costante il rapporto
Dunque se
x1,
x2 e
x3 sono numeri reali distinti allora
pertanto i triangoli
ABC e
CDE sono simili e, quindi, gli angoli
sono uguali: da ciò consegue che:
e quindi, essendo
, si ha che l'angolo
, ossia
A, C ed
E sono allineati. Il grafico della funzione
risulta, pertanto, una retta. L'uguaglianza
prende il nome di
equazione
della retta ed
a prende il nome di
pendenza (o
coefficiente
angolare)
della retta.