Prerequisiti: Operazioni e proprietà nell’insieme dei numeri razionali
Obiettivi: Risolvere espressioni letterali intere
PREMESSA
Nell’algebra le operazioni fondamentali dell’aritmetica sono trattate usando lettere al posto dei numeri e ciò permette di raggiungere soluzioni indipendenti dal caso considerato.
L’algebra elementare può essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell’aritmetica, tramite l’introduzione di oggetti simbolici, chiamati variabili e costanti, denotati solitamente con lettere dell’alfabeto.
Il nostro modo di indicare i numeri, di operare con essi e, in generale, di fare i calcoli risale agli arabi (IX sec a.C.), che diffusero le cifre indiane. I Greci, grandi geometri, erano interessati principalmente alla matematica applicata che fu per essi algebra geometrica.
Dopo gli Arabi il primo grande sviluppo dell’algebra si ebbe in Italia, nel Cinquecento. Gli algebristi italiani trovarono formule generali per calcolare le soluzioni di un’equazione di terzo e quarto grado a partire dai coefficienti dell’equazione.
Dalla geometria elementare sappiamo
che per calcolare l’area di un quadrato dobbiamo moltiplicare la misura del lato per sé stessa. Se applichiamo questa regola generale al calcolo dell’area di un quadrato di lato 2 otteniamo 2×2=4. Nel linguaggio dell’algebra diventa possibile esprimere tale legge in tutta la sua generalità utilizzando il simbolo l per indicare la misura del lato. Da qui nasce la regola sempre valida l×l=l2. Questa semplice espressione è un esempio di calcolo letterale, cioè di calcolo eseguito su numeri rappresentati da lettere dell’alfabeto. Lo studio dell’algebra inizia dal calcolo letterale, che serve, in primo luogo, per esprimere relazioni fra numeri in modo generale: la formula per calcolare l’area del quadrato vale, infatti, per tutti i quadrati, indipendentemente dalla misura del loro lato. Il calcolo letterale non si applica soltanto alla geometria, bensì a tutti quei casi in cui è necessario indicare una relazione, un’operazione, una legge in cui siano coinvolte grandezze rappresentabili mediante numeri. Per esempio, sappiamo che in fisica vale la legge scoperta da Newton, secondo cui, applicando una forza F a un corpo di massa m, si imprime al corpo stesso un’accelerazione a: F=ma.
OPERAZIONI
Dati due numeri, a e b, la loro somma si indicherà con a+b, la loro differenza con a−b, il loro prodotto, accostando le due lettere, con ab oppure, scrivendo un puntino (∙) fra loro, con a∙b, il loro quoziente con a/b. Per ciascuna operazione algebrica continuano a valere le proprietà della corrispondente operazione aritmetica. Per esempio, per la moltiplicazione le proprietà commutativa, associativa e distributiva si scrivono rispettivamente: ab=ba, abc=(ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac. Per la moltiplicazione vale anche la legge di annullamento del prodotto. In base a questa legge, un prodotto, ab, si annulla se, e soltanto se, almeno uno dei due fattori a o b è zero.
PROPRIETA’ DELLE OPERAZIONI
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
lamiamate 
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