Derivazione della legge di gravitazione universale

Di seguito cerchiamo di capire come Newton è arrivato alla sua legge considerando alcuni principi di base e osservazioni che riguardano la massa di un oggetto raffigurato dalla lettera m minuscola, la massa della Terra raffigurata dalla M maiuscola e la Luna:

• g accelerazione gravitazionale indipendente da m (F_G=mg):

Galileo dimostrò che sulla Terra (massa M) tutti gli oggetti cadono alla stessa velocità (trascurando la resistenza dell'aria), cioè l'accelerazione gravitazionale g è indipendente da m massa di un oggetto, m minuscola. Quindi la forza gravitazionale deve essere proporzionale a m e può essere scritta come F_G=mg F G è uguale alla massa di un oggetto moltiplicata per l'accelerazione gravitazionale g (secondo principio della dinamica di Newton). L'accelerazione gravitazionale g è indipendente da m ma potrebbe dipendere dal M massa della Terra ed r, quindi g è una funzione di M M maiuscola ed r.

• g accelerazione gravitazionale proporzionale alla massa della Terra (g~M):

La dipendenza di g da M M maiuscola è difficile da misurare (a meno che non ci si trovi in un laboratorio virtuale dove si può cambiare la massa della Terra M) ma poiché grazie al terzo principio della dinamica di Newton sappiamo che la forza che la Terra (massa M) esercita sull'oggetto di massa m deve essere della stessa grandezza della forza che l'oggetto (massa m) esercita sulla Terra (massa M). Quindi F_g F g piccola e anche g devono essere proporzionali a M M maiuscola.

• g accelerazione gravitazionale proporzionale all'inverso del quadrato della distanza:

La grande idea di Newton fu quella di generalizzare la forza gravitazionale e di applicare il concetto non solo agli oggetti sulla Terra ma a tutti gli oggetti, compresa la Luna.

Ha identificato l'accelerazione gravitazionale come accelerazione centripeta che mantiene la Luna in orbita ed è stato quindi in grado di stimare l'accelerazione gravitazionale ad una distanza (Terra - Luna) che è circa 60 volte il raggio della Terra. Supponendo un'orbita circolare, l'accelerazione è circa 3.600 volte più piccola che sulla superficie della Terra. Da questo ha 'indovinato' la legge dell'inverso del quadrato.

Combinando le considerazioni di cui sopra e aggiungendo la costante gravitazionale G G maiuscola arriviamo all'espressione della forza gravitazionale F_G F G maiuscola raffigurata sul lato superiore destro della figura 1.

Applicando i principi, Newton fu in grado di calcolare le orbite dei pianeti e infatti trovò che la traiettoria (orbita) più generale e vincolata è un'ellisse - in accordo con la prima legge del moto planetario di Keplero. Inoltre, Newton dimostrò matematicamente che tutte le possibili traiettorie di un oggetto in un campo gravitazionale possono essere descritte da sezioni coniche.

Figura 1: Newton suppose che non solo la mela ma anche la Luna fosse attratta dalla Terra. Deducendo l'accelerazione gravitazionale della Luna, Newton arrivò alla legge dell'inverso del quadrato.

Forma vettoriale:

Finora abbiamo semplificato la nostra discussione e considerato solo la grandezza della forza gravitazionale. In forma vettoriale la forza gravitazionale che agisce sulla massa m a causa dell'attrazione della massa M M maiuscola è data dall'equazione in basso a destra della figura 1, Dove r_mM è dato r_M-r_m e r_mM = |r_M-r_m| la distanza tra m minuscola e M maiuscola in grassetto è data dalla differenza tra la distanza di M maiuscola e la distanza m minuscola in grassetto, e la distanza tra m minuscola e M maiuscola è data dal modulo della differenza tra la distanza di M maiuscola e la distanza m minuscola in grassetto.