Christoph Schiller MOTION MOUNTAIN La Montaña del Movimiento La Aventura de la Física - Volumen I CAÍDA, FLUJO Y CALOR To Britta, Esther and Justus Aaron τῷ ἐµοὶ δαὶµονι Fortalecer a las personas, aclarar las cosas 1 Christoph Schiller Mountain Moton La Montaña del Movimiento La aventura de la Física PREFACIO * Primum movere, deinde docere. * Antigüedad Primero mover, luego enseñar E ste libro está escrito para cualquiera que tenga curiosidad sobre la naturaleza y el movimiento. La curiosidad acerca de cómo se mueven las personas, los animales, las cosas, las imágenes y el espacio vacío nos conduce a muchas aventuras. Este volumen presenta lo mejor de ellas en el dominio del movimiento cotidiano. La observación cuidadosa del movimiento de todos los días nos permite deducir seis afirmaciones esenciales: El movimiento cotidiano es continuo, conservativo, relativo, reversible, invariante por reflexión y perezoso. Sí, la naturaleza es verdaderamente perezosa: en cada uno de sus movimientos, minimiza el cambio. Este texto explora cómo se deducen estos seis resultados y cómo encajan con todas las observaciones que parecen contradecirlas. En la estructura de la física moderna, cuya estructura se muestra en la Figura 1, los resultados sobre el movimiento cotidiano forman la mayor parte de los puntos de partida en el fondo. El presente volumen -el primero de una colección de seis volúmenes sobre una visión general de la física- es el resultado de un triple objetivo perseguido desde 1990: presentar el movimiento de una manera que sea sencilla, actualizada, viva y cautivadora. Con el fin de ser sencillo, el texto se centra en conceptos, mientras mantiene el uso de las matemáticas en el mínimo necesario. La comprensión de los conceptos de la física tiene prioridad sobre el uso de fórmulas en los cálculos. Todo el texto se encuentra dentro del alcance de un estudiante del primer nivel universitario. Con el fin de estar actualizado, el texto se enriquece con muchas joyas - tanto teóricas como empíricas que se encuentran dispersas a lo largo de la literatura científica. Con el fin de ser vivo y cautivador, es decir para motivar, el texto intenta sorprender al lector tanto como sea posible. La lectura de un libro de física general debe ser como ir a un espectáculo de magia. Miramos, nos sorprende, no creemos a nuestros ojos, pensamos, y finalmente entendemos el truco. Cuando nos fijamos en la naturaleza, a menudo tenemos la misma sensación. De hecho, cada página presenta por lo menos una sorpresa o una provocación que ponga a prueba la sagacidad del lector. Se proponen numerosos desafíos interesantes. El lema del texto, die Menschen starken, die Sachen klaren, una frase famosa der Hartmut von Hentig en pedagogía, se traduce como: "Para fortalecer los hombres, aclarar las cosas". Aclarar las cosas -y adherirse sólo a la verdad - requiere coraje, ya que el cambio de los hábitos de pensamiento produce miedo, a menudo oculto tras la ira. Pero mediante la superación de los miedos, nos volvemos más fuertes. Y experimentamos entonces emociones intensas y hermosas. Todas las grandes aventuras de la vida permiten esto, y la exploración de movimiento es una de ellas. Que lo disfruten! Munich, 18 Mayo 2013. *En las lenguas modernas, la cualidad de mover (el corazón) se llama la motivación; ambas palabras se derivan del mismo origen latino. 2 FIGURA 1 Un mapa completo de la fsica: las conexiones están defnidas por la velocidad de la luz c, la constante gravitacional G, la constante h de Planck, la constante k de Boltzmann y la carga elemental e. CONSEJOS PARA LOS ALUMNOS El aprendizaje amplia el conocimiento, mejora la inteligencia y nos permite descubrir qué tipo de persona somos. Un libro para aprender, especialmente uno de la naturaleza, debe ser eficiente y agradable. El método de aprendizaje más ineficiente y tedioso es utilizar un marcador para subrayar el texto: es una pérdida de tiempo, proporciona un falso confort y vuelve el texto ilegible. Nadie aprende de manera eficiente subrayando un texto ni lo está disfrutando. En mi experiencia como estudiante y profesor, encontré un método de aprendizaje que nunca fallaba para transformar alumnos sin éxito en los más exitosos: si usted lee un libro para estudiar, resuma cada sección a medida que lee, con sus propias palabras e imágenes, en voz alta. Si usted es incapaz de hacerlo, lea la sección de nuevo. Repita esto hasta que pueda resumir con claridad lo que lee con sus propias palabras e imágenes, en voz alta. Usted puede hacer esto solo o con amigos, en una habitación o mientras camina. Si hace esto con todo lo que lee, usted reducirá el tiempo de aprendizaje y de lectura de manera significativa, disfrutará aprendiendo de buenos textos mucho más y odiará los malos textos mucho menos. Los expertos del método pueden utilizarlo incluso mientras escuchan una conferencia, en voz baja, evitando así tener que tomar siempre notas. 3 CONSEJOS PARA PROFESORES A un profesor le gustan su alumnos y le gusta guiarlos en la exploración el campo de conocimiento que han elegido. Su entusiasmo por el trabajo es la clave para la satisfacción en el trabajo. Si usted es un enseñante, antes del inicio de una lección, imagine, sienta y dígase a sí mismo cómo es su forma de disfrutar el tema de la lección; a continuación, imagine, sienta y dígase a sí mismo cómo va a llevar cada uno de sus alumnos a deleitarse con ese tema tanto como lo hace usted. Haga este ejercicio de forma consciente, cada vez. Va a minimizar problemas en su clase y maximizar su éxito en la enseñanza. Este libro no está escrito con los exámenes en la mente; está escrito para que los profesores y estudiantes entiendan y disfruten de la física, la ciencia del movimiento. UTILIZACIÓN DE ESTE LIBRO El texto en verde, como se encuentra en muchas notas marginales, marca un enlace que se puede hacer clic en un lector de pdf. Dichos enlaces verdes son o bien las referencias bibliográficas, notas al pie, referencias cruzadas a otras páginas, las soluciones de desafío, o punteros a sitios web. Soluciones y consejos para los desafíos se presentan en el apéndice. Los Desafíos se clasifican como nivel de investigación (r), difícil (d), nivel de estudiante estándar (s) y fácil (e). Los Desafíos para los que no hay solución todavía se han incluido, sin embargo, en el libro, están marcados (ny). Los enlaces en internet tienden a desaparecer con el tiempo. la mayoría de los enlaces se puede recuperar a través www.archive.org, que tiene una copia de las viejas páginas de Internet. EVALUACIÓN Y APOYO Este texto es y seguirá siendo para descargar gratis desde Internet. El autor estaría encantado de recibir un correo electrónico suyo en fb@motionmountain.net, especialmente en los siguientes temas: - ¿Qué no estaba claro y debe ser mejorado? Desafío 1 s - ¿Qué historia, tema, enigma, imagen o película faltó? - ¿Qué se debe corregir? Con el fin de simplificar las anotaciones, el archivo pdf permite añadir notas adhesivas amarillas en Adobe Reader. La ayuda sobre los puntos específicos que figuran en el www.motionmountain.net / help.html la página web sería especialmente bienvenida. Todos los comentarios se utilizarán para mejorar la próxima edición. En nombre de todos los lectores, gracias de antemano por su entrada. Para una contribución particularmente útil se le mencionará - si quiere - en los agradecimientos, recibirá una recompensa, o ambas cosas. Su donación para beneficencia a la organización sin fines de lucro exenta de impuestos que produce, traduce y publica esta serie de libros es ¡bienvenida! Para obtener más información, consulte la página web www.motionmountain.net / donation.html. Si lo desea, su nombre será incluido en la lista de patrocinadores. Gracias de antemano por su ayuda, en nombre de los lectores de todo el mundo. La versión pdf de este libro, con películas incorporadas, está disponible gratuitamente en www.motionmountain.net. La edición impresa de este libro, impreso bajo demanda y entregado por correo a cualquier dirección de su elección, se puede pedir en www.lulu.com / spotlight / motionmountain. Pero, sobre todo, disfrute de la lectura! 4 ÍNDICE Capítulo 1 ¿POR QUÉ INTERESARSE POR EL MOVIMIENTO? Capítulo 2 DE LA MEDIDA DEL MOVIMIENTO A LA CONTINUIDAD Capítulo 3 CÓMO DESCRIBIR EL MOVIMIENTO– CINEMÁTICA Capítulo 4 DE LOS OBJETOS E IMÁGENES A LA CONSERVACIÓN Capítulo 5 DE LA ROTACIÓN DE LA TIERRA A LA RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Capítulo 6 MOVIMIENTO DEBIDO A LA GRAVITACIÓN Capítulo 7 MECÁNICA CLÁSICA Y LA PREDICTIBILIDAD DEL MOVIMIENTO Capítulo 8 MEDIDA DEL CAMBIO CON LA ACCIÓN Capítulo 9 MOVIMIENTO Y SIMETRÍA Capítulo 10 MOVIMIENTOS SIMPLES DE CUERPOS EXTENSOS – OSCILACIONES Y ONDAS Capítulo 11 ¿EXISTEN LOS CUERPOS EXTENSOS? – LÍMITES DE CONTINUIDAD Capítulo 12 FLUIDOS Y SU MOVIMIENTO Capítulo 13 DEL CALOR A LA INVARIANZA TEMPORALCapítulo 14 AUTO-ORGANIZACIÓN Y CAOS - LA SENCILLEZ DE COMPLEJIDAD Capítulo 15 DE LAS LIMITACIONES (FRONTERAS) DE LA FÍSICA A LOS LÍMITES DEL MOVIMIENTO Apéndice A Apéndice B Apéndice C Solución a los desafíos 7 22 52 69 96 119 152 168 182 198 230 245 263 287 301 306 315 329 333 5 Caída, fuuo y calor En nuestro afán por aprender cómo se mueven las cosas, la aventura de una excursión paseando y otras experiencias de movimiento nos llevan a introducir los conceptos de velocidad, tempo, longitud, masa y temperatura. Aprenderemos a utlizarlos para medir el cambio y encontraremos que la naturaleza lo minimiza. Descubriremos cómo fotar en el espacio libre, por qué tenemos piernas en lugar de ruedas, por qué el desorden nunca puede ser eliminado, y por qué uno de los problemas abiertos más difciles de la ciencia es el concerniente al fuuo de agua a través de un tubo. 6 “El arte supremo del maestro consiste en despertar el goce de la expresión creativa y del conocimiento” –Albert Einstein Mountain Motion. La Montaña del Movimiento CAPÍTULO 1 ¿POR QUÉ INTERESARSE POR EL MOVIMIENTO? Todo movimiento es una ilusión. Zenón de Elea* ¡B OOM! El rayo que golpea violentamente el árbol cercano interrumpe nuestro tranquilo paseo forestal y hace que, de repente, nuestros corazones palpiten más rápido. En la copa del árbol vemos comenzar un fuego y luego apagarse. El viento apacible que mueve las hojas a nuestro alrededor ayuda a restaurar la calma del lugar. Cerca, el agua en un pequeño río sigue su tortuoso descenso hacia el valle, reflejando sobre su cambiante superficie las efímeras formas de las nubes. El movimiento está por todas partes: amistoso y amenazante, terrible y hermoso. Es fundamental para nuestra existencia humana. Necesitamos el movimiento para el crecimiento, para el estudio, para el pensamiento y para el disfrute de la vida. Usamos el movimiento para pasear por un bosque, para escuchar sus ruidos y para hablar de todo esto. Como todos los animales, confiamos en el movimiento para proveernos de alimentos y sobrevivir a los peligros. Como todas las criaturas vivas, necesitamos el movimiento para reproducirnos, respirar y comer. Como a todos los objetos, el movimiento nos calienta. El movimiento es la observación más fundamental que podemos hacer sobre la naturaleza en general. Resulta que todo cuanto acaece en el mundo es algún tipo de movimiento. No hay excepciones. El movimiento es una parte tan básica de nuestras observaciones que incluso el origen de la palabra está perdido en la oscuridad de la historia lingüística indoeuropea. La fascinación por el movimiento siempre ha hecho de él uno de los objetos favoritos de la curiosidad. Durante el siglo quinto a. de C. en la Grecia antigua, dieron a su estudio un nombre: física. El movimiento es también importante para la condición humana. ¿Quiénes somos? ¿De dónde venimos? ¿De dónde viene el mundo? ¿Qué podemos saber? ¿Qué haremos? ¿Qué deberíamos hacer? ¿Qué traerá el futuro? ¿Qué es la muerte? ¿Dónde conduce la vida? Todas estas preguntas tratan sobre el movimiento. El estudio del movimiento proporciona respuestas tan profundas como sorprendentes. FIGURA 2 La Isla de la Experiencia, con la Montaña del Movimiento y la senda a seguir (mc: mécanica clásica, rg: relatividad general, em: electromagnetismo, tq: teoría cuántica, tm: teoría M, tdm: teoría del movimiento). * Zenón de Elea (alrededor del 450 a.C.), fue uno de los principales representantes de la Escuela eleática de filosofía. 7 El movimiento es misterioso. Aunque se le encuentra por todas partes - en las estrellas, en las mareas, en nuestros párpados - ni los pensadores antiguos ni las miríadas de otros que les siguieron en los 25 siglos transcurridos desde entonces han sido capaces de arrojar luz sobre el misterio central: ¿qué es el movimiento? Descubriremos que la respuesta estándar, 'el movimiento es el cambio de lugar en el tiempo', es inadecuada. Solo recientemente por fin se ha encontrado una respuesta. Esta es la historia de la manera de encontrarla. El movimiento es una parte de experiencia humana. Si nos imaginamos la experiencia humana como una isla, entonces el destino, simbolizado por las olas del mar, nos trajo hasta su orilla. Cerca del centro de la isla una montaña especialmente alta se destaca. Desde su cima podemos divisar el paisaje entero y conseguir la impresión de que todas las experiencias humanas están relacionadas, y en particular los varios ejemplos de movimiento. Esto es una guía a la cima de lo que he llamado la Montaña del Movimiento (vea la Figura 2; en la Figura 1 se da una versión menos artística pero más exacta que la de esta figura). La excursión hasta esa cima es una de las aventuras más hermosas de la mente humana. Claramente la primera pregunta que podemos hacer es: ¿EXISTE EL MOVIMIENTO? Das Rätsel gibt es nicht. Wenn sich eine Frage überhaupt stellen läßt, so kann sie beantwortet werden**.Ludwig Wittgenstein, Tractatus, 6.5. El misterio no existe. Si una pregunta puede hacerse, entonces se puede encontrar una respuesta. Para aguzar la mente con vistas a la cuestión de la existencia del movimiento, eche una mirada a la Figura 3 o la Figura 4 y siga las instrucciones. En todos los casos las figuras parecen girar. Podemos experimentar efectos similares si caminamos sobre pavimentos de adoquín en forma de ondas o cuando echamos un vistazo a las numerosas ilusiones de movimiento coleccionadas por Kitaoka Akiyoshi en www.ritsumei.ac.jp /~akitaoka. FIGURA 3 Ilusiones de movimiento: mire la figura de la izquierda y mueva ligeramente la página o mire el punto blanco en el centro de la figura a la derecha y mueva su cabeza hacia atrás y hacia adelante. Desafío 2 s. ¿Cómo podemos asegurarnos que el verdadero movimiento es diferente de esas u otras ilusiones similares? Muchos eruditos simplemente argumentaron que el movimiento no existe en absoluto. Sus argumentos influyeron profundamente en la investigación de movimiento durante muchos siglos. Por ejemplo, el filósofo griego Parmenides (nacido 515 AC en Elea, una pequeña ciudad cerca de Nápoles) argumentó que ya que nada procede de la nada, el cambio no puede existir. Él subrayó la permanencia de naturaleza y así coherentemente mantuvo que todo el cambio y por tanto todo el movimiento es una ilusión. Heráclito (c. 540 a c. 480 a c.) sostuvo la opinión contraria. Lo expresó en su declaración famosa πάντα ** El Anexo A explica cómo leer un texto griego. 8 ῥεῖ ' panta rhei ' o ' todo fluye'.* Imaginó el cambio como la esencia de naturaleza, en contraste con Parménides. Estas dos opiniones igualmente famosas indujeron a muchos eruditos a investigar más detalladamente si en la naturaleza hay cantidades que se conservan o si la creación continua es posible. Descubriremos la respuesta más tarde; hasta entonces considere qué opción prefiere usted. Desafío 3 s. Zenón de Elea (nacido hacia 500 aC), colaborador de Parménides, argüía con tanta intensidad contra el movimiento que algunas personas aún se ocupan de ello hoy día. En uno de sus argumentos alega -en un lenguaje sencillo - que es imposible dar una bofetada a alguien, ya que la mano primero debe viajar a mitad de camino a la cara, luego viajar a través de la mitad de la distancia que resta, a continuación, de nuevo lo mismo, y así sucesivamente; y la mano por lo tanto, nunca debería llegar a la cara. El argumento de Zenón se centra sobre la relación entre el infinito y su opuesto, la finitud, en la descripción del movimiento. En la teoría cuántica moderna, un tema relacionado es un asunto de investigación hasta el día de hoy. Zenón también sostuvo que al ver un objeto en movimiento en un único instante de tiempo, no se puede afirmar que se mueve. Argumentó que en un instante de tiempo, hay no hay diferencia entre un cuerpo móvil y uno en reposo. Acto seguido, deduce que si no hay diferencia en un único instante, no puede haber una diferencia para tiempos más largos. En consecuencia Zenón se preguntó entonces si el movimiento puede ser claramente distinguido de su opuesto, la quietud. En efecto, en la historia de la física, los pensadores cambiaron atrás y adelante entre una respuesta positiva y una negativa a esta cuestión. Fue esta misma pregunta la que llevó Albert Einstein al desarrollo de la relatividad general, uno de los puntos culminantes de nuestro viaje. En nuestra aventura, vamos a explorar todas las diferencias conocidas entre el movimiento y el reposo. Con el tiempo, vamos a atrevernos a preguntar si los instantes de tiempo individuales existen en absoluto. Responder a esta pregunta es esencial para alcanzar la cima de la Montaña del Movimiento. Cuando exploremos la teoría cuántica, descubriremos lo que el movimiento es en realidad - hasta cierto punto- una ilusión, como Parménides reclamaba. Más concretamente, vamos a mostrar que el movimiento se observa sólo debido a las limitaciones de la condición humana. Nos daremos cuenta de que experimentamos el movimiento sólo porque - Tenemos un tamaño finito, - Estamos hechos de un número elevado pero finito de átomos, - Tenemos una temperatura finita pero moderada, - Nos movemos mucho más lentamente que la velocidad de la luz, - Vivimos en tres dimensiones, - Somos grandes comparados con un agujero negro de nuestra misma masa, - Somos grandes comparados con nuestra longitud de onda mecanocuántica asociada, - Somos pequeños en comparación con el universo, - Tenemos una memoria de trabajo limitada, - Estamos constreñidos por nuestro cerebro a aproximar el espacio y el tiempo como entidades continuas y - Estamos obligados por nuestro cerebro a considerar la naturaleza como hecha de diferentes partes. FIGURA 4 Haga zoom en esta imagen a tamaño grande o acérquela cuidadosamente para disfrutar de su aparente movimiento (© Michael Bach luego del descubrimiento de Kitaoka Akiyoshi). Si no se cumple alguna de estas condiciones, no observaríamos movimiento, ¡el movimiento, entonces, no existiría! Si eso no fuera suficiente, tenga en cuenta que ninguna de las condiciones requieren a los seres humanos, son igualmente válidas para muchos animales y máquinas. Cada una de estas condiciones puede ser descubierta más eficientemente si se comienza con la siguiente pregunta: 9 ¿CÓMO DEBEMOS HABLAR DE MOVIMIENTO? Je hais le mouvement, qui deplace les lignes, Et jamais je ne pleure et jamais je ne ris. Charles Baudelaire, (b. 1821 Paris, d. 1867 Paris) La Beauté ‘Odio el movimiento, que descompone la líneas y jamás lloro y jamás río”, Como cualquier ciencia, el enfoque de la física es doble: se avanza con precisión y con curiosidad. La precisión es el grado en que la descripción corresponde a las observaciones. La curiosidad es la pasión que anima a todos los científicos. La precisión hace posible la comunicación significativa, y la curiosidad hace que valga la pena. Ya se trate de un eclipse, una hermosa pieza de música o una hazaña en los Juegos Olímpicos: el mundo está lleno de ejemplos fascinantes de movimiento. FIGURA 5 una cronología (línea de tiempo) de los científicos y de las personalidades políticas en la Antigüedad (la letra del nombre está alineada con el año del fallecimiento). Si alguna vez se encuentra hablando de movimiento, bien para comprender con mayor precisión o bien más profundamente, está subiendo los escalones de la Montaña del Movimiento. * Los ejemplos de la Figura 6 nos lo hacen ver. Cuando usted llena una cubeta con una pequeña cantidad de agua, no se cuelga verticalmente. (Desafío 4 s: ¿Por qué?) Si continúa la adición de agua, empieza a colgar verticalmente en un determinado momento. ¿Cuánta agua se necesita? Al tirar un hilo de una bobina de la manera que se muestra en la ilustración, el carrete se moverá hacia delante o hacia atrás, dependiendo del ángulo en el que se tira. ¿Cuál es el ángulo límite entre las dos posibilidades? Una alta precisión significa entrar en detalles finos, y estar en sintonía con los detalles realmente aumenta el placer de la aventura*. En la Figura 7 se muestra un ejemplo. Cuanto más alto lleguemos sobre la Montaña del Movimiento, más podremos ver y más se verá recompensada nuestra curiosidad. Las vistas que ofrece son impresionantes, sobre todo desde la parte superior. El camino que seguiremos una de las muchas rutas posibles – se inicia desde el lado de la biología y entra directamente en el bosque que se encuentra al pie de la montaña. ** Para una serie de ejemplos interesantes sobre el movimiento en la vida cotidiana, vea el excelente libro de Walker. Desafío 6 s ** Desconfíe de cualquiera que quisiera hablarle sin examinar los detalles. Él intenta engañarle. Los detalles son importantes. Así, permanezca vigilante durante esta excursión. 10 Una intensa curiosidad nos impulsa a ir directamente a los límites: la comprensión del movimiento requiere una exploración de las distancias más grandes, de las más altas velocidades, de las partículas más pequeñas, de las fuerzas más fuertes y de los conceptos más extraños. Comencemos. FIGURA 6 Desafío 5 s ¿Cuánta agua se necesita para hacer que un cubo cuelgue verticalmente? ¿A qué ángulo el hilo que tira del carrete (dibujado incorrectamente) cambia la dirección del movimiento de éste? (© Luca Gastaldi). FIGURA 7 Un ejemplo de cómo la precisión de observación puede conducir al descubrimiento de nuevos efectos: la deformación de una pelota de tenis durante un rebote rápido (6 ms) (© Federación Internacional de Tenis). ¿CUÁLES SON LOS TIPOS DE MOVIMIENTO? Cada movimiento nace de un deso de cambio. Antigüedad Un buen lugar para obtener una visión general sobre los tipos de movimiento es una gran biblioteca (véase la Tabla 1). Los ámbitos en los que el movimiento, los movimientos y los cambios de posición juegan un papel son de hecho variados. Ya los primeros investigadores en la antigua Grecia - enumerados en la Figura 5 - tuvieron la sospecha de que todos los tipos de movimiento, así como muchos otros tipos de cambio, están relacionados. Comúnmente se reconocen tres tipos de cambio: 1 . Transporte. El único tipo de cambio que llamamos movimiento en la vida cotidiana es el transporte material, como, por ejemplo, una persona que camina , una hoja que cae de un árbol, o un instrumento musical sonando. El transporte es el cambio de posición o de orientación de los objetos, líquidos incluidos. En gran medida , el comportamiento de las personas también entra en esta categoría . 2 . Transformación. Otra categoría de cambios agrupa observaciones tales como la disolución de sal en agua, la formación de hielo por congelación, la descomposición de la madera, la cocción de los alimentos, la coagulación de la sangre, y la fusión y aleación de metales. Estos cambios de color, brillo, dureza, temperatura y otras propiedades de los materiales son todas transformaciones. Las transformaciones son cambios que no están conectados visiblemente con el transporte. Para esta categoría, unos pocos pensadores antiguos añadieron la emisión y absorción de la luz. En el siglo XX, estos dos efectos se ha demostrado que son casos especiales de transformaciones, al igual que la aparición y desaparición de la materia recientemente descubiertas, como se ha observado en el Sol y en la radiactividad. El cambio del pensamiento, como el cambio del estado de ánimo, de salud, de educación y de carácter, es también (en su mayoría) un tipo de transformación. 11 TABLA 1 Contenido de los libros sobre el movimiento que se encuentran en una biblioteca pública. TEMAS DE MOVIMIENTO imágenes en movimiento y efectos digitales TEMAS DE MOVIMIENTO el movimiento como terapia para el cáncer, la diabetes, el acné y la depresión Percepción del movimiento Cinetosis: náuseas causadas por el movimiento El movimiento para estar en forma y el bienestar Movimiento para meditación Control de movimiento y entrenamiento en el deporte y el canto Capacidad de movimiento como control de salud Movimiento perpetuo Movimiento en la danza, la música y otras artes escénicas Movimiento como prueba de varios dioses Movimiento de planetas, estrellas y ángeles La eficiencia económica del movimiento. La conexión entre los hábitos dinámicos y emocionales Movimiento como ayuda para superar traumas Movimiento en psicoterapia Locomoción de insectos, caballos, animales y robots Movimiento de células y plantas Colisiones de átomos, coches, estrellas y galaxias El crecimiento de los seres multicelulares, las montañas, las manchas solares y las galaxias Movimiento de resortes, articulaciones, mecanismos, líquidos El movimiento de los continentes, de las bandadas de pájaros, y gases de las sombras y del espacio vacío Conmoción y violencia Movimientos en las artes marciales Mociones en el parlamento Movimientos en arte, ciencias y política Movimientos en los relojes Movimientos en el mercado de valores Movimientos en enseñanza y aprendizaje Desarrollo de movimiento en niños Movimientos musicales Movimientos de tropas Movimientos religiosos Movimientos intestinales Movimientos en ajedrez Movimientos de tramposos en los casinos Conexión entre el producto nacional bruto y la movilidad ciudadana 3 . Crecimiento. Esta última y especialmente importante categoría de cambio, se observa para los animales, plantas, bacterias, cristales, montañas, planetas, estrellas e incluso galaxias. En el siglo XIX, a esta categoría se añadieron los cambios en la población de los sistemas, la evolución biológica, y en el siglo XX, se agregaron los cambios en el tamaño del universo, la evolución cósmica. Tradicionalmente, estos fenómenos fueron estudiados por ciencias separadas. Independientemente, todas llegaron a la conclusión de que el crecimiento es una combinación de transporte y transformación. La diferencia es de complejidad y de escala de tiempo. FIGURA 8 Un ejemplo de transporte, en Monte Etna (© Marco Fulle). En los inicios de la ciencia moderna en el Renacimiento, sólo el estudio del transporte se consideraba el tema de la física. El Movimiento se equiparaba con el transporte. Los otros dos dominios fueron abandonados por los físicos. A pesar de esta restricción, el campo de la investigación sigue siendo tan grande, que cubre una gran parte de la isla de la Experiencia. Los primeros estudiosos diferenciaban los tipos de transporte por su origen. Movimientos tales como los de las piernas al caminar se clasificaron como 12 volitivos, porque están controlados por la propia voluntad, en tanto que los movimientos de objetos exteriores, tales como la caída de un copo de nieve, que no puede ser influenciado por la fuerza de voluntad, eran clasificado como pasivos. Las personas jóvenes, especialmente los jóvenes de sexo masculino, dedican mucho tiempo al aprendizaje de movimientos volitivos elaborados. Un ejemplo se muestra en la Figura 10.* La distinción completa entre el movimiento pasivo y el volitivo la realizan los niños hacia los seis años de edad, y esto es un paso fundamental en el desarrollo de todos los seres humanos hacia una descripción precisa del medio ambiente. A partir de esta distinción se deriva la histórica, pero ahora anticuada, definición de la física como la ciencia del movimiento de las cosas no vivas. El advenimiento de las máquinas obligó a los estudiosos a reconsiderar la distinción entre el movimiento volitivo y el pasivo. Al igual que los seres vivos, las máquinas son auto-móviles (se mueven por sí mismas)y así imitan el movimiento volitivo. Sin embargo, la observación cuidadosa muestra que todas las partes en movimiento de una máquina son movidas por otras, por lo que su movimiento es, de hecho, pasivo. ¿Son los seres vivientes también máquinas? ¿Son las acciones humanas ejemplos de movimiento pasivo también? ←FIGURA 9 Transporte, crecimiento y transformación (© Philip Plisson). X FIGURA 10 Uno de los movimientos volitivos más difíciles conocidos, interpretado por Alexander Tsukanov, el primer hombre capaz de hacer esto: saltar del extremo de una rueda a otra (© Circo estatal de Moscú). La acumulación de observaciones en los últimos 100 años, dejó en claro que el movimiento volitivo de hecho tiene las mismas características físicas y propiedades que el movimiento pasivo en los sistemas no vivos*. (Por supuesto, desde el punto de vista de lo emocional, las diferencias son importantes, por ejemplo, la gracia sólo puede ser atribuida a los movimientos volitivos). Una distinción entre los dos tipos de movimiento es por lo tanto innecesaria. Pero como los movimiento pasivos y volitivos tienen las mismas propiedades, a través del estudio de movimiento de los objetos no vivos podemos aprender algo acerca de la condición humana. Esto es más evidente cuando se tocan los temas del determinismo, la causalidad, la probabilidad, el infinito, el tiempo, el amor y la muerte, por nombrar sólo algunos de los temas que se encontrarán durante nuestra aventura. ** La realización completa de este aprendizaje puede fracasar entre individuos que tengan diversas creencias extrañas, como la creencia acerca la capacidad de influir sobre la bola del juego de la ruleta, tal como se descubre entre los jugadores compulsivos, o sobre la capacidad para desplazar objetos distantes con el pensamiento, como se encuentra entre otras numerosas personas aparentemente con buena salud. Una relación divertida e instructiva sobre todos los engaños y autoengaños implicados por la aparición y la conservación de estas creencias se ofrece en James Randi, The Faith Healers, Prometheus Books, 1989. Prestidigitador profesional, presenta numerosos tópicos similares en varias de sus otras obras. Vea igualmente http://www.randi.org para más detalles. ***En inglés, movimiento se dice motion [N.o.T.]. El término inglés « movement » es más bien reciente: fue importado a la lengua inglesa a partir del antiguo francés y solo llegó a ser popular hacia el fin del siglo dieciocho. No fue nunca utilizado por Shakespeare. 13 En los siglos XIX y XX, otras creencias clásicas sobre el movimiento se quedaron en el camino. Extensas observaciones mostraron que todas las transformaciones y todos los fenómenos de crecimiento, incluyendo el cambio de comportamiento y la evolución, son también ejemplos de transporte. En otras palabras, más de 2000 años de estudios han demostrado que la clasificación antigua de las observaciones era inútil: • todo cambio es transporte. y • transporte y movimiento son lo mismo. A mediados del siglo XX, el estudio del movimiento culminó con la confirmación experimental de una idea aún más específica, articulada ya en la antigua Grecia: • Cada tipo de cambio es debido al movimiento de las partículas. Se necesita tiempo y trabajo para llegar a esta conclusión, que sólo aparece cuando perseguimos sin tregua un cada vez más alto grado de precisión en la descripción de la naturaleza. Las cinco primeras partes de esta aventura recorrerán el camino hacia este resultado. (Desafío 7 s ¿Está de acuerdo con él?) La última década del siglo XX volvió a cambiar por completo la descripción del movimiento: la idea de partículas resulta ser equivocada. Este nuevo resultado, que llegó a través de una combinación de una cuidadosa observación y deducción, se explorará en la última parte de nuestra aventura. Pero aún nos queda mucho camino por recorrer antes de llegar a esa parte, justo debajo de la cumbre de nuestro viaje. En resumen, la historia ha demostrado que la clasificación de los diferentes tipos de movimiento no es productiva. Sólo al tratar de conseguir la máxima precisión podemos esperar llegar a las propiedades fundamentales del movimiento. Precisión, no clasificación, es el camino a seguir. Como Ernest Rutherford dijo humorísticamente: “Toda ciencia es física o filatelia”. Para lograr precisión en nuestra descripción del movimiento, necesitamos seleccionar ejemplos específicos de movimiento y estudiarlos plenamente en detalle. Es intuitivamente obvio que la descripción más precisa es alcanzable para los ejemplos más simples posibles. En la vida cotidiana, este es el caso para el movimiento de cualquier cuerpo inerte, sólido y rígido en nuestro medio, como una piedra lanzada por los aires. De hecho, como todos los humanos, hemos aprendido a lanzar objetos mucho antes de aprender a caminar. Lanzar es uno de los primeros experimentos de física que llevamos a cabo por nosotros mismos *. En realidad, durante nuestra primera infancia, al lanzar piedras , juguetes y otros objetos hasta el punto que nuestros padres temían por cada pieza de la casa, explorábamos la percepción y las propiedades del movimiento . Nosotros hacemos lo mismo aquí. Die Welt ist unabhängig von meinem. Willen. LudwigWittgenstein, Tractatus, 6.373 El mundo es independiente de mi voluntad PERCEPCIÓN, CONTINUIDAD Y CAMBIO Sólo los peleles estudian el caso general, los verdaderos científicos persiguen ejemplos. Beresford Parlett Los seres humanos disfrutan al percibir. La percepción comienza antes del nacimiento, y seguimos disfrutando de ella durante tanto tiempo como nos es posible. Esa es la razón por lo que la televisión, incluso cuando está desprovista de contenido, es tan exitosa. Durante nuestro paseo por el bosque, al pie de la Montaña del Movimiento no podemos evitar percibir. La percepción es en primer lugar la capacidad de distinguir. Utilizamos el acto mental básico de distinguir en casi cada instante de la vida; por ejemplo, durante la infancia aprendemos primero a distinguir observaciones familiares de las no familiares. Esto es posible en combinación con otra capacidad básica, a saber, la capacidad de memorizar experiencias. La memoria nos da la capacidad para experimentar, para hablar y así explorar la naturaleza. Percibir, clasificar y memorizar estas tres actividades juntas conforman el aprendizaje. * La importancia de lanzar (eyectar) se ve también a partir de los términos derivados del propio término iactio: en Latin, palabras como subicio, sujeto, poner abajo o «lanzar abajo», adversus iactium, objeto, protestar o « lanzar en frente», interiactio, interjección, insertar o « lanzar entre ». En griego, el acto de lanzamiento ha llevado a términos como símbolo o « lanzados juntos», problema o « lanzado adelante», emblema o «lanzado dentro» y – la última, pero no la menos importanter– demonio o «lanzado a través ». 14 Sin cualquiera de estas tres posibilidades, no podíamos estudiar el movimiento. Los niños aprenden rápidamente a distinguir la continuidad de la variabilidad. Aprenden a reconocer rostros humanos, a pesar de que una cara no se ve exactamente igual cada vez que se ve. A partir del reconocimiento de rostros, los niños amplían el reconocimiento a todas las demás observaciones. El reconocimiento funciona bastante bien en la vida cotidiana; es agradable reconocer a los amigos, incluso por la noche, e incluso después de muchas cervezas (esto no es un desafío). El acto de reconocer pues utiliza siempre una forma de generalización. Cuando observamos, siempre tenemos una idea general en nuestra mente. Vamos a precisar las principales. Sentado en la hierba en un claro del bosque, al pie de la Montaña del Movimiento, rodeado por los árboles y el silencio típico de tales lugares, una sensación de calma y tranquilidad nos envuelve. Estamos pensando en la esencia de la percepción. De repente, algo se mueve en los arbustos, e inmediatamente los ojos se vuelven y nuestra atención se concentra. Las células nerviosas que detectan el movimiento son una porción de la parte más antigua de nuestro cerebro, que compartimos con las aves y los reptiles: el tronco cerebral. A continuación, el cortex, o cerebro moderno, toma el relevo y se hace cargo de analizar el tipo de movimiento e identificar su origen. Observando el movimiento a través de nuestro campo de visión, observamos dos entidades invariantes: el paisaje fijo y el animal que se mueve. Después de que reconocemos al animal como un ciervo, nos relajamos otra vez. FIGURA 11 ¿Cómo distinguimos un ciervo de su entorno? (© Tony Rodgers). ¿Cómo podemos distinguir, en el caso de la Figura 11, entre el paisaje y el ciervo? La percepción implica varios procesos en el ojo y en el cerebro. Una parte esencial de estos procesos es el movimiento, como se deduce mejor a partir de la película del tirón (flip film) que se muestra en las esquinas inferiores izquierdas de estas páginas. Cada imagen muestra sólo un rectángulo relleno matemáticamente con un patrón al azar. Pero cuando las páginas se hacen desfilar en rápida sucesión, discernimos una forma - un cuadrado - moviéndose sobre un fondo fijo. En cualquier instante, el cuadrado no puede distinguirse del fondo; no hay ningún objeto visible en cualquier instante dado de tiempo. Sin embargo, es fácil percibir su movimiento. Ensayos de percepción como éste se han realizado con muchas variantes. Por ejemplo, se encontró que la detección de un cuadrado en movimiento contra un fondo aleatorio no es nada especial para los seres humanos; las moscas tienen la misma capacidad, al igual que, de hecho, todos los animales que tienen ojos. La película del tirón en la esquina inferior izquierda, al igual que muchos experimentos similares, ilustra dos atributos centrales del movimiento. En primer lugar, el movimiento se percibe sólo si un objeto se puede distinguir de un fondo o ambiente. Muchas ilusiones de movimiento se centran en este punto *. En segundo lugar, se precisa el movimiento para definir entrambos, el objeto y el ambiente, y para distinguirlos entre sí. De hecho, el concepto de espacio es - entre otros - una abstracción de la idea de fondo. El fondo se extiende; la entidad en movimiento está localizada. ¿Le parece aburrido? No lo es, sólo tiene que esperar un segundo. Llamamos localizada a una entidad de investigación que puede cambiar o mover un sistema físico - o simplemente un sistema. Un sistema es un por lo tanto, una parte reconocible, integrante de la naturaleza. Los sistemas pueden ser objetos - también llamados “cuerpos fisicos”- o radiación. Por lo tanto, las imágenes, que están hechas de radiación, son aspectos de los sistemas físicos, pero no sistemas físicos ellas mismas. Estas conexiones se resumen en la Tabla 2. * El ojo humano es más bien bueno para detectar el movimiento. Por ejemplo, el ojo puede detectar el movimiento de un punto luminoso incluso si la variación del ángulo es más pequeña que la que pude ser distinguida sobre une imagen fija. Los detalles de este fenómeno y de otros temas análogos para los otros sentidos forman parte del dominio de la investigación sobre la percepción. El tema de la percepción del movimiento está lleno de aspectos interesantes. El capítulo 6 del magnífico libro de Donald D. Hoffman, Visual Intelligence – HowWe Create WhatWe See, W.W.Norton& Co., 1998 es una excelente introducción. Su serie de ilusiones sobre el movimiento elemental puede ser experimentada y profundizada asociándola con la página Web http://aris.ss.uci.edu/cogsci/personnel/homan/homan.html. ** Contrariamente a lo que se lee a menudo en la literatura popular, la distinción es posible en teoría cuántica. Se hace imposible sólo cuando la teoría cuántica se unifica con la relatividad general. 15 En otras palabras, llamamos objeto (físico) o cuerpo (físico)al conjunto de aspectos localizados que permanecen invariantes o permanentes durante el movimiento, tales como tamaño, forma, color, etc, en su conjunto. Nos ajustaremos a la definición en breve, para distinguir los objetos de las imágenes pues en caso contrario, las imágenes serían objetos también. Notemos que para especificar los objetos en movimiento permanente, debemos distinguirlos del ambiente. Dicho de otro modo, desde el principio experimentamos el movimiento como un proceso relativo; se percibe en relación y en oposición al concepto de entorno o ambiente. La definición de objeto por lo tanto, es también un concepto relativo. Pero la distinción conceptual básica entre los objetos localizados, aislables y el entorno ampliado no es trivial o sin importancia. En primer lugar, tiene la apariencia de una definición circular. (Desafío 8 s ¿Está de acuerdo?) Este problema nos mantendrá ocupado más tarde en la página 374. En segundo lugar, estamos tan acostumbrados a nuestra capacidad de aislar los sistemas locales del ambiente que lo damos por sentado. Sin embargo, como veremos en la última parte de la caminata, Vol.VI, esta distinción resulta ser lógica y experimentalmente imposible! ** El motivo de tal imposibilidad se revelará fascinante. Notemos como primer paso que además de la entidad en movimiento y el fondo permanente, necesitamos un tercer concepto, como se muestra en la Tabla 2. No hay más que una cosa sabia: comprender el pensamiento que puede gobernarlo todo en todas partes. Heraclito de Éfeso ¿NECESITA EL MUNDO DE LOS ESTADOS? Das Feste, das Bestehende und der Gegenstand sind Eins. Der Gegenstand ist das Feste, Bestehende; die Konguration ist das Wechselnde, Unbeständige LudwigWittgenstein, Tractatus, 2.027 – 2.0271 Los objetos, lo inmutable y lo perpetuo son una única y misma cosa. Los objetos son lo que es inmutable y durable; su configuración es lo que es cambiante e inestable. ¿Que distingue a los diversos patrones en las esquinas inferior izquierda de este texto? En la vida cotidiana, diríamos: la situación o la configuración de las entidades involucradas. La situación describe de alguna manera todos los aspectos que pueden diferir de un caso a otro. Es costumbre llamar a la lista de todos los aspectos variables de un conjunto de objetos su estado de movimiento (físico), o simplemente su estado. ¿Cómo se caracteriza el estado? Las configuraciones en las esquinas inferior izquierda se diferencian en primer lugar en el tiempo. El tiempo es lo que hace posible los opuestos: el niño está en una casa y el mismo niño se encuentra fuera de la casa. El tiempo describe y resuelve este tipo de contradicción. Pero el estado no sólo distingue las situaciones en el tiempo: el estado contiene todos los aspectos de un sistema (por ejemplo, de un grupo de objetos) que lo distinguen de todos los sistemas similares. Dos objetos similares pueden tener la misma masa, forma, color, composición y ser indistinguibles en todas las demás propiedades intrínsecas, pero pueden diferir, en todo instante de tiempo, en su • posición • velocidad • orientación • velocidad angular Estas propiedades determinan el estado e identifican individualidad de un sistema físico, y nos permite distinguirlo de copias exactas de sí mismo*. Equivalentemente, el estado también describe la relación de un objeto o de un sistema con respecto a su ambiente. O de nuevo en palabras equivalentes: ➢ el estado describe todos los aspectos de un sistema que dependen del observador. Desafío 10 s La definición de estado no es en absoluto aburrida - sólo reflexione sobre esto: ¿El universo tiene un estado? La lista de las propiedades de los estados que se acaba de dar, ¿es completa? Además, los sistemas físicos se describen por sus propiedades intrínsecas permanentes. Algunos ejemplos son: * Un sistema físico es una entidad de investigación localizada. En la clasificación de la Tabla 2, el término sistema físico es (poco más o menos) lo mismo que 'objeto' o 'cuerpo físico'. Las imágenes no son consideradas habitualmente como sistemas físicos (aunque la radiación lo sea). Desafío 9 s. ¿Son sistemas físicos los agujeros? 16 • masa • forma • color • composición Las propiedades intrínsecas no dependen del observador y son independientes del estado del sistema. Son permanentes - al menos por un cierto intervalo de tiempo. Las propiedades intrínsecas también permiten distinguir los sistemas físicos uno del otro. Desafío 10-a s Y de nuevo, podemos preguntarnos: ¿cuál es la lista completa de las propiedades intrínsecas de la naturaleza? ¿El universo tiene propiedades intrínsecas? Los diversos aspectos de los objetos y de sus estados se llaman observables. Todas estas superficiales definiciones preliminares serán refinadas paso a paso en lo que sigue. Usando los términos que acabamos de introducir, se puede decir que ➢ el movimiento es el cambio de estado de los objetos permanentes. La separación exacta entre aquellos aspectos relacionados con el objeto, las propiedades intrínsecas, y los que pertenecen al estado, las propiedades del estado, depende de la precisión de la observación. Por ejemplo, la longitud de un trozo de madera no es permanente; la madera se contrae y se dobla con el tiempo, debido a procesos a nivel molecular. Para ser precisos, la longitud de un trozo de madera no es la apariencia de un objeto, sino un aspecto de su estado. Observaciones precisas entonces, llevan a la distinción entre el objeto y su estado; la distinción en sí no desaparece - al menos no en el primero de los cinco volúmenes de nuestra aventura. A finales del siglo XX, la neurociencia descubrió que la distinción entre objetos permanentes y estados mudables no sólo la hacen los científicos e ingenieros. La naturaleza también hace la distinción. De hecho, ¡la naturaleza ha conectado fuertemente la distinción en el cerebro! El uso de las señales de salida procedentes de la corteza visual que elabora lo que observan los ojos, la parte adyacente al lado superior del cerebro humano procesan el estado de los objetos que se ven, como por ejemplo, la distancia entre ellos y el movimiento, mientras que la parte adyacente en el lado inferior del cerebro humano procesa las propiedades intrínsecas, como forma, color y patrones. TABLA 2 Arbol genealógico de las nociones físicas fundamentales. el movimiento la forma fundamental del cambio elementos partes/sistemas estable limitado tiene forma objetos impenetrable imágenes penetrable Los aspectos correspondientes: masa intensidad dimensión color carga aparición spin etc. desaparición etc. relaciones fondo inconstante ilimitado sin forma estable extenso mensurable estados global interacciones local espacio de fases espacio-tiempo compuesto simple instante posición cantidad de movimiento energía etc. fuente repartición fuerza dimensión distancia volumen curvatura topología distancia dirección etc. sub-espacio etc. superficie etc. mundo – naturaleza – universo – cosmos la colección de todos los elementos, relaciones y fondo 17 En resumen, los estados son necesarios para la descripción del movimiento. También lo son las propiedades intrínsecas, permanentes. Con el fin de proceder y para lograr una descripción completa del movimiento, necesitamos una descripción completa de los objetos y una descripción completa de sus estados posibles. El primer enfoque que lo intentó, denominado física Galileana, consiste en la especificación de nuestro entorno cotidiano y el movimiento en él con la mayor precisión posible. FÍSICA GALILEANA EN SEIS DECLARACIONES INTERESANTES El estudio del movimiento cotidiano, la física galileana, ya es útil en sí mismo: vamos a descubrir muchos resultados que están en contraste con nuestra experiencia habitual. Por ejemplo, si recordamos nuestro pasado, todos hemos experimentado cuán importantes, deliciosas o desagradables pueden ser las sorpresas. Sin embargo, el estudio del movimiento cotidiano demuestra que no hay sorpresas en la naturaleza. El movimiento, y así el mundo, es predecible o determinista. La principal sorpresa de nuestra exploración del movimiento es que no hay sorpresas en la naturaleza. De hecho, vamos a descubrir seis aspectos de la previsibilidad de movimiento cotidiano: 1. Continuidad. Sabemos que los ojos, las cámaras y los aparatos de medición tienen una resolución finita. Todos tienen una distancia mínima que pueden observar. Sabemos que los relojes tienen un tiempo mínimo que pueden medir. A pesar de estas limitaciones, en la vida cotidiana todos los movimientos, sus estados, así como el espacio y el tiempo mismos, son continuos. 2. Conservación. Todos observamos que la gente, la música y muchas otras cosas en movimiento dejan de moverse después de un tiempo. Del estudio del movimiento se obtiene el resultado contrario: el movimiento nunca se detiene. En realidad, tres aspectos de movimiento no cambian, sino que se conservan: la cantidad de movimiento, el momento angular y la energía (junto con la masa) se conservan, por separado, en todos los ejemplos de movimiento. Ninguna excepción a estos tres tipos de conservación se ha observado jamás. Además, vamos a descubrir que la conservación implica que el movimiento y sus propiedades son las mismas en todos los lugares y en todos los tiempos: el movimiento es universal. 3. Relatividad. Todos sabemos que el movimiento difiere del reposo. A pesar de esta experiencia, un estudio cuidadoso muestra que no hay diferencia intrínseca entre los dos. Movimiento y reposo dependen del observador. El movimiento es relativo. Y también lo es el reposo. Este es el primer paso hacia la comprensión de la teoría de la relatividad. 4. Reversibilidad. Todos observamos que muchos procesos suceden sólo en una dirección. Por ejemplo, la leche derramada nunca regresa en el recipiente por sí misma. A pesar de estas observaciones, el estudio del movimiento nos muestran que todo el movimiento cotidiano es reversible. Los físicos llaman a esto la invariancia de movimiento cotidiano frente a la inversión(reversibilidad) de movimiento (o en forma apresurada, pero no correcta, a la inversión temporal). 5. Invariancia de reflexión. La mayoría de nosotros encuentra difícil manejar las tijeras con la mano izquierda, tienen dificultades para escribir con la otra mano, y han crecido con un corazón en el lado izquierdo. No obstante estas observaciones, la exploración muestra que el movimiento diario es invariante por reflexión o invariante de paridad. Los procesos de reflexión o espejo siempre son posibles en la vida cotidiana. 6. Minimación del cambio. Todos estamos asombrados por las muchas observaciones que el mundo ofrece: colores, formas, sonidos, el crecimiento, los desastres, la felicidad, la amistad, el amor. La variación, la belleza y la complejidad de la naturaleza es increíble. Confirmaremos que todas las observaciones se deben al movimiento. Y a pesar de la aparición de la complejidad, todo movimiento es simple. Nuestro estudio muestra que todas las observaciones se pueden resumir de una manera sencilla: La naturaleza es perezosa. Todo el movimiento ocurre de una manera que minimiza el cambio. El cambio puede ser medido, con una cantidad llamada "acción", y la naturaleza lo mantiene al mínimo. -Las situaciones, o estados, como les gusta decir a los físicos - evolucionan, reduciendo al mínimo el cambio. La naturaleza es perezosa. Estos seis aspectos son fundamentales para entender el movimiento en el deporte, en la música, en los animales, en las máquinas y en las estrellas. Este primer volumen de nuestra aventura será una exploración de tales movimientos. En particular, vamos a confirmar, contra todas las apariencias en contrario, las 18 mencionadas seis propiedades clave del movimiento todos los días: la continuidad, la conservación, la reversibilidad, invariancia de reflexión, la relatividad y la minimización. CURIOSIDADES Y DESAFÍOS DIVERTIDOS SOBRE EL MOVIMIENTO* En contraste con la mayoría de los animales, las criaturas sedentarias, como las plantas o las anémonas de mar, no tienen patas y no puede moverse mucho, por lo que para su auto-defensa, desarrollaron venenos. Ejemplos de este tipo de plantas son la ortiga, la planta de tabaco, la digitalina, la belladona y amapola; venenos son la cafeína, la nicotina y el curare. Venenos como estos se encuentran en la base de la mayoría de los medicamentos. Por lo tanto, la mayoría de los fármacos existen básicamente porque las plantas no tienen patas. Desafío 11 s. Un hombre sube una montaña desde las 9 a.m. hasta la 1 p.m. Duerme en la parte superior y regresa al día siguiente, volviendo a salir a las 09 a.m.y llegando abajo a 1 p.m. ¿Hay algún lugar en el camino en que el hombre pasa a la misma hora en los dos días? ** Desafío 12 s. Cada vez que una pompa de jabón estalla, el movimiento de la superficie durante la estallido es el mismo. A pesar de que es demasiado rápido para ser visto por el ojo desnudo, ¿puede usted imaginar los detalles? ** Desafío 13 s. ¿Es el movimiento de un fantasma un ejemplo de movimiento? ** Desafío 14 s. ¿Puede algo detener el movimiento? ¿Cómo demostrarlo? ** Desafío 15 s. ¿Un cuerpo que se mueve siempre en línea recta, muestra que la naturaleza o el espacio es infinito? ** Desafío 16 s. ¿Cuál es la longitud de la cuerda que uno tiene que tirar para levantar una masa de una altura h con un polipasto de cuatro ruedas, como se muestra a la izquierda de la Figura 12? ¿El agricultor en la derecha de la figura hace algo sensato? ** Desafío 17 s.¿Se puede mover el universo? ** FIGURA 12 Un polipasto y una polea diferencial (izquierda) y un agricultor (a la derecha). ** Desafío 18 s. Para hablar de precisión con precisión, tenemos que medir la propia precisión. ¿Cómo se hace eso? ** Desafío 19 s. ¿Podríamos observar el movimiento si no tuviéramos memoria? ** * Las secciones tituladas ‘curiosidades’ son colecciones de temas y problemas que permiten probar y extender el uso de conceptos ya introducidos. 19 Desafío 20 s. ¿Cuál es la velocidad más baja que se ha observado? ¿Existe una velocidad mínima en la naturaleza? ** Desafío 21 s. Según la leyenda, Sissa Ben Dahir, el inventor indio del juego de Chaturanga o ajedrez, exigió el rey Shirham la siguiente recompensa por su invento: quería un grano de trigo por la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta, y así sucesivamente. ¿Cuánto tiempo necesitarían todos los campos de trigo del mundo para producir los granos necesarios? ** Desafío 22 s. Cuando se mueve una vela encendida, la llama va a la zaga de la vela. ¿Cómo se comporta la llama de la vela, si está dentro de un vaso, encendida aún, y el vaso se acelera? ** Desafío 23 d. Una buena manera de hacer dinero es la construcción de detectores de movimiento. Un detector de movimiento es una pequeña caja con un par de cables. La caja produce una señal eléctrica cada vez que se mueve. ¿Qué tipos de detectores de movimiento puede imaginar? ¿Es barato hacer una caja así? ¿Es muy precisa? ** Desafío 24 d. Una bola perfectamente esférica sin fricción y se encuentra cerca del borde de una mesa perfectamente plana y horizontal, como se muestra en la Figura 13. ¿Qué le sucede? ¿En qué escala de tiempo? ** Desafío 25 s. Usted entra en una caja cerrada y sin ventanas. La caja se mueve por fuerzas externas desconocidas para usted. ¿Puede determinar la forma en que se está moviendo desde el interior de la caja? ** Desafío 26 s. Cuando rueda un bloque sobre el suelo sobre un conjunto de cilindros, como se muestra en la Figura 14, cómo están relacionadas la velocidad del bloque y la de los cilindros? ← FIGURA 13 ¿Qué ocurrirá? FIGURA 14 → ¿Cuál es la velocidad de los rodillos? ¿Son posibles rodillos con otras formas? ** Desafío 27 s. ¿No le gustan las fórmulas? Si es así, utilice el siguiente método que no le llevará más de tres minutos para cambiar la situación. Vale la pena intentarlo, ya que le hará disfrutar de este libro mucho más. La vida es corta: ella debería ser, en tanto sea posible, un placer, como la lectura de este texto. 1. Cierre los ojos y recuerde una experiencia que fuera absolutamente maravillosa, una situación en que se sintió emocionado, curioso y optimista. 2. Abra los ojos por un segundo o dos y mire en la página 193 - o cualquier otra página que contenga muchas fórmulas. 3. Entonces cierre los ojos otra vez y vuelva a su maravillosa experiencia. 4. Repita la observación de las fórmulas y la visualización de su memoria - los pasos 2 y 3 - tres veces más. A continuación deje el recuerdo, mire a su alrededor para regresar al aquí y ahora, y pruébese a sí mismo. Mire de nuevo en la página 193. ¿Cómo se siente acerca de las fórmulas ahora? ** Desafío 28 s. En el siglo XVI, Niccolò Tartaglia* propuso el siguiente problema. Tres parejas jóvenes quieren cruzar un río. Sólo está disponible un pequeño barco que puede transportar a dos personas. Los hombres son muy celosos, y nunca dejan a sus novias con otro hombre. ¿Cuántos viajes por el río son necesarios? * Niccolo Fontana Tartaglia (1499–1557), importante matemático del Renacimiento. 20 ** Desafío 29 s. Los cilindros pueden ser utilizados para rodar un objeto plano sobre el suelo, como se muestra en la Figura 14.Los cilindros mantienen el objeto plano siempre a la misma distancia del suelo. ¿Qué secciones distintas de la circular, las llamadas curvas de anchura constante, puede tener un cilindro para realizar la misma hazaña? ¿Cuántos ejemplos se pueden encontrar? ¿Son posibles objetos diferentes de los cilindros? ** Desafíos 29 s b-c Colgar cuadros en las paredes no es fácil. Primer rompecabezas: ¿cuál es la mejor manera de colgar un cuadro en un clavo? El método debe hacer posible mover el marco en la posición horizontal después de que el clavo se encuentre en la pared, en el caso en el que el peso no está distribuido de manera uniforme. Segundo rompecabezas: ¿Se puede colgar un cuadro en una pared - esta vez con una cuerda larga - sobre dos clavos de manera que tirando cualquiera de los dos clavos el cuadro caiga? ¿Y con tres clavos? ¿Y con n clavos? RESUMEN SOBRE EL MOVIMIENTO El movimiento es la observación más fundamental en la naturaleza. El movimiento diario es predecible y determinista. La previsibilidad se refleja en seis aspectos del movimiento: la continuidad, la conservación, la reversibilidad, invariancia especular o de reflexión, la relatividad y la minimización. Algunos de estos aspectos son válidos para todos los movimientos, y algunos son válidos sólo para el movimiento cotidiano. ¿Cuáles y por qué? Exploraremos esto ahora. 21 CAPÍTULO 2 DE LA MEDIDA DEL MOVIMIENTO A LA CONTINUIDAD "Physic ist wahrlich das eigentliche Studium des Menschen." Georg Christoph Lichtenberg La física es, realmente, el adecuado estudio del hombre L a descripción más simple de movimiento es la que todos nosotros utilizamos inconscientemente, como los gatos o monos, en nuestra vida cotidiana: sólo una cosa puede estar en un lugar determinado en un momento dado. Esta descripción general puede ser separada en tres supuestos: la materia es impenetrable y se mueve, el tiempo está hecho de instantes, y el espacio está hecho de puntos. Desafío 31 s. ¿Está de acuerdo con esos supuestos? Sin estos tres supuestos no es posible definir la velocidad en la vida cotidiana. Esta descripción de la naturaleza se llama física galileana, o a veces física Newtoniana. Galileo Galilei (1564-1642), profesor de matemáticas de la Toscana, fue uno de los fundadores de la física moderna y es famoso por haber defendido la importancia de las observaciones como controles de las aseveraciones acerca de la naturaleza. La exigencia y realización de estos controles a lo largo de su vida, le llevaron a aumentar continuamente la precisión en la descripción del movimiento. Por ejemplo, Galileo estudió el movimiento midiendo el cambio de posición con un cronómetro que confeccionó él mismo. Su enfoque reemplazó la descripción especulativa de la antigua Grecia por la física experimental de la Italia del Renacimiento*. ← FIGURA 15 Galileo Galilei (1564–1642). FIGURA 16 Algunos dispositivos de medida de velocidades: un anemómetro, un taquímetro para patines en línea, una pistola radar para deportesy un tubo de Pitot–Prandtl en un aeroplano (© Fachhochschule Koblenz, Silva, Tracer, Wikimedia). El alquimista, ocultista, teólogo, físico y político inglés Isaac Newton ** (1643-1727) fue uno de los primeros en defender con vigor la idea de que diferentes tipos de movimiento tienen las mismas propiedades, *Georg Christoph Lichtenberg (b. 1742 Ober-Ramstadt, d. 1799 Göttingen) fue un importante físico y ensayista. *El mejor libro y el que proporciona más información sobre la vida de Galileo y su tiempo es el de Pietro Redondi (vea la sección del capítulo 11). Galileo nació el año que se inventó el lápiz. Antes de su época, era imposible hacer cálculos con papel y lápiz. Para el curioso, la página web www.mpiwg-berlin.mpg.de permite leer un manuscrito original de Galileo. ** Newton nació un año despúes de que muriera Galileo. Otro hbby de Newton, como director de la casa de la Moneda, era supervisar personalmente el ahorcamiento de los falsificadores. Acerca del apasionamiento de Newton con la alquimia, vea el libro de Dobbs. Entre otras cosas, Newton creía que él mismo había sido elegido por Dios; tomó su nombre latino, Isaacus Neuutonus, y formó el anagrama Ieova sanctus unus. Acerca de Newton y su importancia para la mecánica clásica, vea el texto de Clifford Truesdell. 22 y dió importantes pasos en la construcción de los conceptos necesarios para demostrar esta idea. Las exploraciones de Galileo y sus predecesores proporcionaron las primeras enunciaciones claras sobre las propiedades de la velocidad, el espacio y el tiempo. ¿QUÉ ES LA VELOCIDAD? No hay nada que se le parezca. Jochen Rindt* La velocidad fascina. Para los físicos, no sólo las carreras de coches son interesantes, sino que cualquier entidad en movimiento lo es. En consecuencia, primero los físicos han evaluado tantos ejemplos como les ha sido posible. Una selección de los valores de velocidad medidos se presentan en la Tabla 3. Las unidades y prefijos utilizados se explican en detalle en el Apéndice B. Algunos dispositivos de medida se muestran en la Figura 16 La vida cotidiana nos enseña mucho acerca del movimiento: los objetos pueden adelantarse unos a otros, y pueden moverse en diferentes direcciones. También observamos que las velocidades se pueden aumentar o modificar sin problemas. La lista exacta de estas propiedades, como se indica en la Tabla 4, la resumen los matemáticos mediante un término especial, dicen que las velocidades forman espacio vectorial euclidiano*. Más adelante se darán más detalles sobre este extraño término. Por ahora notemos simplemente que para la descripción de la naturaleza, los conceptos matemáticos se presentan como el instrumento más preciso. Cuando se supone que la velocidad es un vector euclidiano, se denomina velocidad de Galileo. La velocidad es un concepto fundamental y profundo. Por ejemplo, la velocidad no necesita medidas de espacio y tiempo para ser definida. Desafío 33 d. ¿Es capaz de encontrar un método para medir velocidades sin medir el espacio y el tiempo? Si es así, es probable que desee pasar al siguiente volumen, dando un salto por encima de 2000 años de investigaciones. Si no puede hacerlo, considere esto: cada vez que se mide una cantidad se supone implícitamente que todo el mundo es capaz de hacerlo, y que todo el mundo va a obtener el mismo resultado. En otras palabras, se define la medición como una comparación con un estándar. Nosotros por lo tanto suponemos implícitamente la existencia de tal estándar, es decir, que se puede encontrar un ejemplo de una velocidad "perfecta". Históricamente, el estudio del movimiento no investigó esta cuestión en primer lugar, porque durante muchos siglos nadie pudo encontrar tal norma para la velocidad. Usted está por lo tanto en buena compañía. Algunos investigadores se han especializado en el estudio de las velocidades más bajas que se encuentran en la naturaleza: se llaman geólogos. No se pierda la oportunidad de caminar a través de un paisaje mientras escucha a uno de ellos. ¿Cómo se mide la velocidad en la vida cotidiana? Los animales y las personas estiman su velocidad de dos maneras: mediante la estimación de la frecuencia de sus propios movimientos, como sus pasos, o por el uso de sus ojos, los oídos, el sentido del tacto o el sentido de la vibración para deducir cómo cambia su propia posición con respecto al ambiente. Sin embargo, varios animales tienen capacidades adicionales: algunas serpientes pueden determinar la velocidad con sus órganos de detección por infrarrojos, otros con sus órganos de detección de campos magnéticos. Finalmente, otros animales emiten sonidos que crean ecos con el fin de medir las velocidades con alta precisión. La misma gama de soluciones es utilizado por los dispositivos técnicos. La Tabla 5 ofrece una panorámica general. La velocidad no siempre es un tema fácil. A los físicos les gusta decir, de forma provocadora, que lo que no se puede medir no existe. Desafío 34 s. ¿Puede usted medir su propia velocidad en el espacio interestelar vacío? * Jochen Rindt (1942–1970), famoso piloto austríaco de competiciones de Fórmula uno, hablando sobre velocidad. ** Así llamado por Euclides, o Eukleides, el gran matemñatico griego que vivió en Alejandría alrededor del 300 A.C. Euclides escribió un monumental tratado de geometría, los Στοιχεῖα o Elementos, que constituye un hito en el pensamiento humano. El texto presenta todo el conocimiento sobre geometría de su timepo. Por primera vez, Euclides introduce dos aproximaciones que son ahora de uso común: todos los enunciados son deducidos de un pequeño número de axiomas básicos y para cada enunciado se da una prueba. El libro, que todavía es editado hoy, ha sido el texto geométrico de referencia durante 2000 años. En la web se puede encontrar en aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html. 23 La velocidad es de interés tanto para los ingenieros como para la evolución. En general, los sistemas semovientes (autopropulsados) son más rápidos cuanto más grandes son. Como ejemplo, la Figura 17 muestra cómo se aplica esto a la velocidad de crucero de los objetos que vuelan. En general, la velocidad de crucero es proporcional a la raíz sexta del peso, como se muestra por la línea de tendencia trazada en el gráfico. Desafío 35 d. ¿Es capaz de encontrar por qué? Por cierto, relaciones de escala alométricas similares son válidas para muchas otras propiedades de los sistemas móviles, como veremos más adelante. TABLA 3 Algunos valores medidos de la velocidad. OBSERVACIÓN VELOCIDAD Crecimiento de un nódulo de manganeso en el mar profundo. Desafío 35-bis s¿Puede encontrar algo más lento? 80 am / s El crecimiento de las estalagmitas 0,3 pm/ s Crecimiento liquen por debajo de 7 pm/ s Movimiento típico de los continentes 10mm / a = 0,3 nm / s El crecimiento humano durante la infancia, crecimiento del cabello 4nm / s Crecimiento de un árbol 30 nm / s Desplazamiento de electrones en un hilo metálico 1 μm / s Movimiento de un espermatozoide de 60 a 160 micras / s Velocidad de la luz en el centro del Sol 1 mm / s Movimiento del Ketchup 1 mm / s La menor velocidad de la luz medida en la materia sobre la Tierra 0,3 m / s Velocidad de caídad de copos de nieve 0,5 m / s 1,5 m / s Velocidad de señales en las células nerviosas humanas 0,5 m / s 120 m / s Velocidad del viento a 1º Beaufort ( viento ligero ) por debajo de 1,5 m / s Velocidad de las gotas de lluvia , en función de su radio de 2 m / s 8 m / s El pez más rápido nadando, pez vela ( Istiophorus platypterus ) 22 m / s Récord de navegación 2006 Velocidad sobre 500 m ( por windsurfista Finian Maynard ) 25,1 m/ s Récord de navegación 2008 Velocidad sobre 500 m ( por kitesurfer Alex Caizergues ) 26.0 m / s Récord de navegación 2009 Velocidad sobre 500 m ( por trimarán Hydroptère ) 26,4 m/ s Animal más rápido corriendo, guepardo (Acinonyx jubatus) 30 m / s Velocidad del viento en 12 Beaufort (huracán ) por encima de 33 m / s Velocidad del aire en la garganta al estornudar 42 m / s Tiro más rápido: una pelota de cricket lanzada con la técnica de béisbol 50 m / s Humano en caída libre, dependiendo de la ropa de 50 a 90 m / s La más rápida de las aves, halcón peregrino falco peregrinus en picado 60 m / s El mate más rápido en Badminton 70 m / s La velocidad media de la molécula de oxígeno en el aire a temperatura ambiente 280 m / s Velocidad del sonido en aire seco a nivel del mar y temperatura estándar 330 m / s Velocidad del extremo del látigo en el chasquido 750 m / s Velocidad de una bala de fusil 1 km / s Velocidad de propagación de las grietas en la ruptura del silicio 5 km / s La velocidad más alta de objetos macroscópico alcanzada por el hombre satélites Voyager 14 km/ s 24 satélite Helios II 70,2 km/s Velocidad de la Tierra a través de universo 370 km / s Velocidad media (y velocidad pico) de la punta del rayo 600 km / s (50 000 km / s ) La velocidad macroscópica más alta medida en nuestra galaxia 0,97⋅108 m / s Velocidad de los electrones dentro de un tubo catódico de un televisor en color 1 ⋅ 108 m / s Velocidad de los mensajes de radio en el espacio 299 792 458 La más alta velocidad de grupo jamás medida de la luz 10 ⋅ 10 m / s Velocidad del punto de luz emitido desde una torre de faro al pasar sobre la luna 2 ⋅ 109 m / s La más alta velocidad propia para los electrones jamás realizada por el hombre 7 ⋅ 1013 m / s La más alta velocidad posible de un punto de luz o una sombra sin límite m/s 8 TABLA 4 Propiedades de la velocidad cotidiana o galileana. LA VELOCIDAD PROPIEDAD FÍSICA PUEDE NOMBRE DEFINICIÓN MATEMÁTICO Ser distinguida distinguibilidad Elemento de conmjunto Cambiar gradualmente continuo Vector real en el espacio Apuntar a cualquier parte Dirección Ser comparada Mensurabilidad Metricidad Ser sumadas Aditividad Vector del espacio Tener ángulos definidos Dirección Vector del espacio euclideo Exceder cualquier límite Infinidad infinitud Pág. Vector del espacio, dimensionalidad La velocidad es un asunto profundo por una razón adicional: vamos a descubrir que las siete propiedades de la Tabla 4 son sólo aproximadas, ninguna es realmente correcta. La mejora de los experimentos sacará a la luz los límites del fracaso para cada propiedad de la velocidad Galileana. El fracaso de las últimas tres propiedades de la Tabla 4 nos llevará a la relatividad especial y general, el fiasco de las dos de en medio a la teoría cuántica y el fracaso de las dos primeras propiedades a la descripción unificada de la naturaleza. Pero por ahora, nos quedaremos con la velocidad galileana, y continuamos con otro concepto galileano derivado de ella: el tiempo. 25 TABLA 5 Aparatos de medida de velocidad en sistemas biológico e ingenieriles MEDIDA APARATO Velocidad propia corriendo en insectos, Frecuencia medida del batido de patas mamíferos y humanos (legs beat) con reloj interno Velocidad propia de un coche Taquímetro adherido (attached) a las ruedas RANGO 0 a 33m/s 0 a 150m/s Predadores y cazadores midiendo la velocidad de las presas Sistema de visión 0 a 30m/s Policía midiendo la velocidad de un coche Radar o pistola láser 0 a 90m/s Murciélago midiendo su velocidad propia y la de la presa en la noche. Sonar de efecto Doppler 0 a 20m/s Puerta deslizante midiendo la velocidad de aproximación de las personas radar de efecto Doppler 0 a 3m/s Velocidad propia nadando en peces y humanos Fricción y deformación de la piel 0 a 30m/s Velocidad propia nadando en delfines y barcos Sonar al fondo del mar 0 a 20m/s Velocidad en inmersión de peces, animales subacuáticos y submarinos Cambio de presión 0 a 5m/s sonar 0 a 20m/s Predadores acuáticos y barcos de pesca Velocidad propia relativa a la Tierra en insectos A menudo ninguna (saltamontes) n.a. Velocidad propia relativa a la Tierra en pájaros Sistema visual 0 a 60m/s Velocidad propia relativa a la Tierra en aeroplanos y cohetes Radiogoniómetro, radar 0 a 8000m/s Velocidad propia relativa al aire de insectos y pájaros Velocidad propia relativa al aire de aeroplanos Velocidad del viento medida en estaciones meteorológicas Deesviación del pelo filiforme, desviación del plumaje Tubo de Pitot-Prandtl Anemómetros térmicos, de rotación o de ultrasonidos 0 a 60m/s 0 a 340m/s 0 a 80m/s Golondrinas midiendo la velocidad de sus presas Sistema visual 0 a 20m/s Murciélgos midiendo la velocidad de sus presas Sonar 0 a 20m/s Movimiento macroscópico de la Tierra GPS (sistema de psicionamiento global), Galileo, Glonass 0 a 100m/s Radar 0 a 1000m/s Movimiento de estrellas Efecto Doppler óptico 0 a 1000km/s Movimiento de chorros estelares Efecto Doppler óptico 0 a 200Mm/s Pilotso midiendo la velocidad de un blanco 26 velocidad de crucero a nivel del mar l v [m/s] FIGURA 17 Cómo se relaciona la carga alar y la velocidad de crucero a nivel del mar con el peso en objetos volantes, respecto a la línea general de tendencia (tomado de un gráfico de © Henk Tennekes). 27 Sin los conceptos de lugar, vacío y tiempo, el cambio no puede ser. […] Es claro, pues, […] que su investigación tiene que ser llevado a cabo, mediante el estudio de cada uno de ellos por separado. Aristóteles Física. Libro III, parte I* ¿QUÉ ES EL TIEMPO? El tiempo es un incidente del movimiento. Teofrasto El tiempo no existe en sí mismo, sino sólo a través de los objetos percibidos, de los cuales resultan conceptos de pasado, de presente y de futuro. Lucrecio, De rerum natura **, lib. 1, v 460 En sus primeros años de vida, los niños pasan mucho tiempo lanzando objetos a su alrededor. El término "objeto" es una palabra latina que significa “lo que ha sido lanzado hacia delante”. La Psicología del desarrollo ha demostrado experimentalmente que a partir de estos múltiples experimentos los niños extraen los conceptos de tiempo y espacio. Los físicos adultos hacen lo mismo cuando estudian el movimiento en la universidad. Cuando tiramos una piedra a través del aire, podemos definir una secuencia de observaciones. La Figura 18 ilustra cómo. Nuestra memoria y nuestros sentidos nos dan esta capacidad. El sentido del oído registra los diferentes sonidos durante el ascenso, el descenso y el aterrizaje de la piedra. FIGURA 18 Una típica trayectoria seguida por una piedra lanzada al aire –una parábola – con fotografías (borrosa y estroboscópica) de una pelota de tenis de mesa y una fotografía estroboscópica de una gota de agua rebotando en una superficies fuertemente hidrofóbica (derecha), © Andrew Davidhazy, Max Groenendijk Nuestros ojos localizan la ubicación de la piedra de un punto al siguiente. Todas las observaciones tienen su lugar en una secuencia, con algunas observaciones precediéndolas, algunas observaciones simultáneas a ellas, y otras más posteriores. Decimos que las observaciones se perciben al ocurrir en varios instantes y llamamos a la secuencia de todos los instantes, tiempo. Una observación que se considera la parte más pequeña de una secuencia, es decir, no una secuencia en sí, se llama un evento o acontecimiento. Los eventos son fundamentales para la definición del tiempo, en particular, el inicio o la detención de un cronómetro son eventos. Desafío 36 s. (Pero, ¿existen realmente los eventos? Mantenga esta pregunta en un rincón de su cabeza mientras seguimos adelante.) Los fenómenos secuenciales tienen una propiedad adicional conocida como el tramo, la extensión o duración. Algunos de los valores medidos se dan en la Tabla 6. * La duración expresa la idea del tiempo que toman las secuencias. Decimos que una secuencia lleva tiempo para expresar que otras secuencias pueden llevarse a cabo en paralelo con ella. ¿Cómo es deducido de las observaciones exactamente el concepto del tiempo, incluyendo secuencias y duraciones,? Muchas personas han examinado esta cuestión: los astrónomos, físicos, relojeros, psicólogos y filósofos. Todos encontraron: • El tiempo se deduce al comparar movimientos. *Aristóteles (n. 384/3 Estagira, m. 322 A.C. Euboea), importante filósofo y científico griego, fundador de la escuela Peripatética situada en el Liceo, un gimnasio dedicado a Apollo Lyceus. ** Teofrasto de Eresos (c. 371 – c. 287) fue un venerado filósofo de Lesbos, sucesor de Aristóteles en el Liceo. ** Titus Lucretius Carus (c. 95 to c. 55 bce), erudito y poeta romano. 28 Este es aún el caso de los niños y los animales. A partir de una edad muy temprana, desarrollan el concepto de "tiempo" por comparación de los movimientos en su vecindad. Los adultos toman como patrón el movimiento del Sol y al tipo de tiempo resultante lo llaman tiempo local. De la Luna se deduce un calendario lunar. Si toman un reloj de pueblo en particular en una isla europea lo llaman el tiempo coordinado universal (UTC), antes conocido como “hora de Greenwich”. Los astrónomos usan los movimientos de las estrellas y el resultado obtenido es el tiempo de efemérides (o uno de sus sucedáneos). Un observador que usa su reloj personal llama a la lectura su tiempo propio, y es utilizado a menudo en la teoría de la relatividad. No todo movimiento es necesariamente un buena referencia para el tiempo. En el año 2000, la rotación de la Tierra no tuvo 86 400 segundos, como lo hizo en el año 1900, sino 86 400,002 segundos. Desafío 38 s.¿Puede deducir en qué año su cumpleaños habrá cambiado por un día entero del tiempo predicho con 86 400 segundos? Todos los métodos para la definición de tiempo se basan por lo tanto en la comparación entre movimientos. Con el fin de hacer que el concepto sea tan preciso y útil como sea posible, se elige una referencia estándar de movimiento, y con ello se define una secuencia estándar y una duración estándar. * El dispositivo que realiza esta tarea se llama un reloj. Así, podemos responder a la pregunta del título de la sección: ⊳ El tiempo es lo que se lee en un reloj. TABLA 6 Selección de medidas de tiempo (s: segundos; a: años) OBSERVACIÓN Menor tiempo medible Tiempo más corto jamás medido Tiempo para la luz para cruzar un átomo típico Máxima frecuencia de luz láser producido hasta el momento Período de transición del cesio en tierra (del estado hiperfino) Batir de alas de mosca de la fruta Período de púlsar (estrella de neutrones que gira) PSR 1913 +16 instante Humano vida Más corta de un ser vivo Duración media del día hace 400 millones de años Duración media de la jornada de hoy Desde el nacimiento hasta la celebración de mil millones de segundos Edad del árbol vivo más antiguo El uso de lenguaje humano Edad del Himalaya Edad de las rocas más antiguas, que se encuentran en el Cinturón de Isua, Groenlandia y en Marsopa Cove, la bahía de Hudson Edad de la Tierra Edad de las estrellas más antiguas Edad de la mayoría de los protones en su cuerpo Vida media de un núcleo de tantalio 180Ta Vida media de un núcleo de bismuto 209Bi T IEMPO 10-44 s 10 ys 0,1 a 10 as (10-15 s) 200 as 108.782 775 707 78 ps 1 ms 0,059 029 995 271 (2) s 20 ms 0,3 d 79 200 s 86 400.002 (1) s 31,7 a 4600 a 0.2 Ma 35 a 55 Ma 3,8 Ga 4,6 Ga 13,7 Ga 13,7 Ga 1015 a 1,9 (2)·1019 a Tenga en cuenta que todas las definiciones de tiempo usados en las diversas ramas de la física son equivalentes a ésta, ninguna definición "más profunda" o más fundamental es posible. Tenga en cuenta que la palabra "momento" es de hecho derivada de la palabra "movimiento". El lenguaje sigue a la física en este caso. Sorprendentemente, la definición del tiempo que acabamos de dar es definitiva, nunca cambiará, ni siquiera en la cumbre de la Montaña del Movimiento. Esto puede sorprender a primera vista, ya que se han * El tiempo UTC oficial se usa para determinar la fase de la red de corriente eléctrica, el flujo de las transmisiones de compañías telefónicas y la señal del sistema GPS. Este último se usa en múltiples sistemas de navegación en todo el mundo, especialmente en barcos, aviones y camiones. Para más información, vea www.gpsworld.com. La infraestructura de la gestión del tiempo es también importante para otros sectores de la economía moderna. Desafío 37 s. ¿Puede señalar los más importantes? 2 ** Los relojes más aniguos son los solares, los antiguos cuadrantes solares. La ciencia de su construcción se llama gnomónica. 29 escrito muchos libros sobre la naturaleza del tiempo. ¡En su lugar, se debería investigar la naturaleza del movimiento! Pero este es el objetivo de nuestra caminata de todos modos. Por lo tanto estamos preparados para descubrir todos los secretos del tiempo como consecuencia anexa a nuestra aventura. Cada reloj nos recuerda que, a fin de entender el tiempo, tenemos necesidad de entender el movimiento. El tiempo es no sólo un aspecto de las observaciones, sino que también es una faceta de la experiencia personal. Incluso en nuestra vida privada, íntima, en nuestros pensamientos, sentimientos y sueños, experimentamos las nociones de secuencia y duración. Los niños aprenden a relacionar esta experiencia interna de tiempo con las observaciones externas, y para hacer uso de la propiedad secuencial de eventos en sus actividades. Los estudios sobre el origen del tiempo psicológico muestran que coincide - aparte de su falta de exactitud - con el tiempo del reloj. Cada ser humano viviente se sirve necesariamente en su vida cotidiana del concepto del tiempo como una combinación de secuencia y duración; este hecho se ha comprobado en numerosas investigaciones. Por ejemplo, el término "cuando" existe en todas las lenguas humanas. El tiempo es un concepto necesario para distinguir entre las observaciones. En cualquier secuencia, se constata que los acontecimientos se suceden los unos a los otros sin problemas, aparentemente sin fin. En este contexto, "sin problemas" significa que las observaciones no muy lejanas tienden a ser no muy diferentes. Sin embargo, entre dos instantes, tan cercanos como podamos observarlos, siempre hay espacio para otros eventos. Las duraciones, o intervalos de tiempo, medidas por diferentes personas con diferentes relojes están de acuerdo en la vida cotidiana y, además, todos los observadores están de acuerdo en el orden de una secuencia de eventos*. El tiempo es, pues, único en la vida cotidiana. El tiempo es necesario para distinguir entre las observaciones. Por esta razón, todos los dispositivos observados que distinguen entre las observaciones, desde el cerebro a los dictáfonos y cámaras, tienen relojes internos. En particular, todos los cerebros animales tienen relojes internos. Estos relojes del cerebro permiten a sus usuarios distinguir entre los datos y las observaciones actuales, recientes y pasadas Cuando Galileo estudió el movimiento en el siglo XVII, todavía no había cronómetros. Por lo tanto tuvo que construir uno él mismo, con el fin de medir los tiempos en el intervalo entre una fracción y unos pocos segundos. Desafío 40 s. ¿Se imagina cómo lo hizo? TABLA 7 Propiedades del tiempo Galileano. INSTANTES DE TIEMPO PROPIEDAD FÍSICA NOMBRE MATEMÁTICO Pude distinguirse distinguibilidad Elemento de un conjunto Pueden ser ordenados sucesión Orden Definen la duración mensurabilidad Metricidad Pueden tener una duración infinitesimal continuidad Compacidad, completitud aditividad Metricidad No ocultan sorpresas Invariancia por traslación Homogeneidad No tienen fin infinito Infinitud Son iguales para todos los observadores absolutez Unicidad Permiten que las duraciones puedan sumarse Si formulamos con precisión todas las propiedades del tiempo que experimentamos en nuestra vida cotidiana, como se hace en la Tabla 7, obtenemos un concepto de tiempo que se denomina tiempo Galileano; todas sus propiedades se pueden expresar colectivamente mediante la descripción de tiempo con ayuda de los números reales. De hecho, los números reales construidos por los matemáticos tienen exactamente las * El cerebro contiene numerosos relojes. El reloj más preciso para cortos intervalos de tiempo, el contador de intervalos internos, es más fiable de lo que frecuentemente se cree, especialmente cuando está entrenado. Para intervalos de tiempo de entre unas cuantas decenas de segundo, como se necesita para la música, y unos pocos minutos, los humanos pueden alcanzar una exactitud de unos pocos tanto por ciento. 30 mismas propiedades que el tiempo de Galileo, como se explica en el capítulo sobre el cerebro. Cada instante de tiempo puede ser descrito por un número real, a menudo abreviado t, y la duración de una secuencia de eventos está dada por la diferencia entre los valores para el evento final y el evento de partida. Nos divertiremos bastante con el tiempo de Galileo en esta parte de nuestra aventura, los dos primeros capítulos. Sin embargo, cientos de años de examen minucioso han demostrado que cada propiedad individual de tiempo, que hemos listado en la Tabla 7, es sólo aproximativa y no es estrictamente correcta. Esta historia se cuenta en los capítulos que siguen del resto de nuestra aventura. RELOJES Lo más valioso que un hombre puede gastar es el tiempo. Teofrasto. Un reloj es un sistema móvil cuya posición se puede leer. Hay muchos tipos de relojes: cronómetros, relojes de doce horas, relojes de sol, relojes lunares, relojes estacionales, etc. Algunos se muestran en la Figura 19. Casi todos los tipos de reloj se encuentran también en plantas y animales, como se muestra en la Tabla 8. FIGURA 19 Diferentes tipos de relojes: un reloj de sol de alta tecnología (tamaño unos 30 cm.), Un cronómetro de bolsillo naval (tamaño c 6 cm.), Un reloj atómico de cesio (tamaño c 4m.), Un grupo de cianobacterias y los satélites Galileanos de Júpiter (© Carlo Heller en www.heliosuhren.de, Anonymous, INMS, Wikimedia, NASA). 31 Curiosamente, hay una regla estricta en el reino animal: los grandes relojes van lentos. Cómo sucede esto se muestra en la Figura 20, otro ejemplo de una ley de escalado alométrico. Los Fabricantes de relojes son expertos en la producción de movimientos lo más regulares posible. Vamos a descubrir algunos de sus trucos más abajo. También vamos a explorar, más tarde, los límites fundamentales de la precisión de los relojes. TABLA 8 Ejemplos de ritmos biológicos y relojes SERES VIVOS Pulga de mar (Talitrus saltator) Humano (Homo sapiens) SISTEMAS OSCILANTES Sabe en qué dirección escapar de la posición del Sol y la Luna PERÍODO circadiano Ondas gamma en el cerebro 0.023 to 0.03 s Ondas alfa en el cerebro 0.08 to 0.13 s Latido del corazón 0.3 to 1.5 s Ondas delta en el cerebro 0.3 to 10 s Circulación de la sangre 30 s Ritmos celulares circhorales 1 to 2 ks Movimientos rápidos del ojo en un periodo de sueño 5.4 ks Ciclo nasal 4 to 9 ks Ciclo de crecimiento hormonal 11 ks Núcleo supraquiasmático (SCN), concentración circadiana de hormonas, temperatura, etc.; conduce al jet lag 90 ks Reloj de la piel Circadiano Periodo mensual 2,4(4) Ms Envejecimiento incorporado 3,2(3) Gs Mosca común (Musca domestica) aleteo 30ms Mosca de la fruta (Drosophila melanogaster) Aleteo par el cortejo 34ms Muchos insectos (p.e., avispas, moscas Detección de la proximidad del de la fruta) invierno por la medida de la longitud del día; desencadenan cambios metabólicos Algas (Acetabularia) Anual Concentración de ATP (adenosíntrifosfato) Mohos (p.e., Neurospora crassa) Formación conidia Circadiano Muchas plantas con flores Apertura y cierre de las flores Circadiano Planta del tabaco Arabidopsis Planta telégrafo (Desmodium gyrans) Forsythia europaea, F. suspensa, F. viridissima, F. spectabilis Reloj de apertura de flores; disparado por la longitud del día, descubierto en 1920 por Garner y Allard. Anual circunnutación Circadiano crecimiento Unas cuantas horas Rotación de la cara de la hoja 200 s Oscilaciones de los pétalos de las flores, descubierta por Van Gooch en 2002 5,1 ks Un reloj es, pues, un sistema móvil cuya posición se puede leer. Por supuesto, un reloj de precisión es un 32 sistema en movimiento con tanta regularidad como sea posible, con las menores perturbación externas posibles.¿Hay un reloj perfecto en la naturaleza? A fin de cuentas, ¿existen realmente los relojes? Vamos a seguir estudiando estas cuestiones a lo largo de este trabajo y, finalmente, llegaremos a una conclusión sorprendente. En este punto, sin embargo, afirmamos un resultado intermedio sencillo: dado que los relojes existen, de alguna manera hay en la naturaleza una forma intrínseca, natural e ideal para medir el tiempo. Desafío 39 s. ¿Puede verlo? FIGURA 20 Relación escala ritmos biológico con el tamaño de los mamíferos: toda escala más o menos con la cuarta potencia de la masa (después de los datos de la EMBO y Enrique Morgado). ¿POR QUÉ VAN ASÍ LAS AGUJAS DEL RELOJ EN LOS RELOJES? Desafío 41 s ¿Qué hora es en el Polo Norte ahora? La mayoría de los movimientos de rotación de nuestra sociedad , tales como las carreras de atletismo, de caballos, bicicletas o carreras de patinaje sobre hielo, dan las vueltas hacia la izquierda, en sentido antihorario (contrario a las agujas del reloj). Los matemáticos llaman a esto el sentido de giro positivo. Cada supermercado lleva a sus clientes en sentido antihorario a través de las salas. ¿Por qué? La mayoría de las personas son diestras , y la mano derecha tiene más libertad en el exterior de un círculo. Por esta causa hace miles de años, las carreras de carros en los estadios se hicieron en sentido antihorario *. Como resultado , todas las competiciones en los ** Una notable excepción la constituyen la mayoría, pero no todas, las competiciones de Fórmula 1. 33 estadios todavía lo hacen así hoy en día, y es por eso que los corredores se mueven en sentido antihorario. Por la misma razón, las escaleras de caracol en los castillos están construidas de tal manera que los defensores diestros , por lo general desde arriba, tuvieran la mano derecha en el exterior. Por otra parte , el reloj imita a la sombra de los relojes de sol , obviamente , esto es cierto en el hemisferio norte , y únicamente para los relojes de sol en el suelo , que eran los más comunes . (El viejo truco para determinar el sur apuntando la aguja de las horas de un reloj horizontal con el Sol y reducir a la mitad el ángulo entre éste y la dirección de la 12:00 no funciona en el hemisferio sur). Así que cada reloj implícitamente continúa indicando en qué hemisferio se inventó . Además , también nos dice que los relojes de sol en las paredes empezaron a usarse mucho más tarde que los de suelo. ¿FLUYE EL TIEMPO? Wir konnen keinen Vorgang mit dem ‘Ablaufder Zeit’ vergleichen – diesen gibt es nicht – sondern nur mit einem anderen Vorgang (etwa dem Gang des Chronometers).** Ludwig Wittgenstein, Tractatus, 6.3611 "No podemos comparar cualquier proceso con 'el paso del tiempo" - no hay nada parecido -. Sino sólo con otro proceso (por ejemplo, con el funcionamiento de un cronómetro)' Si le temps est un fleuve, quel est son lit ? Si el tiempo fluye, ¿cuál es su lecho? La expresión «el flujo del tiempo» se utiliza a menudo para expresar el hecho de que en la naturaleza un cambio sigue tras otro cambio, de una manera regular y continua. Pero aunque las manecillas de un reloj "fluyen" , el tiempo mismo no lo hace. El tiempo es un concepto introducido especialmente para describir el flujo de los acontecimientos que nos rodean, no fluye él mismo, describe el flujo. El tiempo no avanza. El tiempo no es lineal ni cíclico. La idea de que “el tiempo fluye” está obstaculizando la comprensión de la naturaleza tanto como la idea que los espejos cambian derecha e izquierda. El uso equívoco de la expresión "flujo del tiempo", propagada por primera vez por algunos pensadores griegos y luego de nuevo por Newton, continúa. Aristóteles, cuidadoso en el razonamiento lógico, señaló su error, y otros muchos lo hicieron después de él. Sin embargo , expresiones tales como "inversión temporal", la "irreversibilidad del tiempo" y "flecha del tiempo", de la que tanto se abusa, son todavía comunes. Basta leer una revista de divulgación científica popular elegida al azar. El hecho es que el tiempo no puede ser invertido, sólo el movimiento lo puede ser, o mejor dicho, sólo las velocidades de los objetos, el tiempo no tiene flecha, solo el movimiento la tiene, no es el flujo del tiempo lo que los seres humanos son incapaces de parar, sino el movimiento de todos los los objetos de la naturaleza. Increíblemente , incluso hay libros escritos por físicos respetables que estudian diferentes tipos de 'flechas de tiempo' y las comparan entre sí. Como era de esperar, ningún resultado nuevo o tangible se extrae . El tiempo no fluye. De la misma manera, se deben evitar expresiones coloquiales como "el principio (o el final ) de los tiempos". Un experto en el movimiento traduce correctamente de inmediato en "el principio ( o el final) del movimiento''. ¿QUÉ ES EL ESPACIO? La introducción de números como coordenadas es un acto de violencia. Hermann Weyl,** Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft.* Siempre que distinguimos dos objetos entre sí, como dos estrellas, en primer lugar distinguimos sus posiciones. Distinguimos posiciones con nuestros sentidos de la vista, el tacto, la audición y la percepción propias. Por lo tanto, la posición es un aspecto importante del estado físico de un objeto. Una determinada posición es ocupada por un solo objeto a la vez. Las posiciones están limitadas. El conjunto de todas las posiciones disponibles, se llama espacio (físico), actúa como un continente y un fondo. En estrecha relación con el espacio y la posición está el tamaño o dimensión, el conjunto de las posiciones *Hermann Weyl (1885 1955) fue uno de los matemáticos más importantes de la época, y también un importante físico teórico. Fue uno de los últimos universalistas en ambos campos, colaborador de la teoría cuántica y la relatividad, padre de la teoría término "gauge", y autor de muchos libros populares. 34 que ocupa un objeto. Los objetos pequeños ocupan sólo un subconjunto de las posiciones ocupadas por los grandes. Vamos a discutir el tamaño con más detalle pronto. ¿Cómo deducir el espacio a partir de las observaciones? Durante la infancia, los humanos (y la mayor parte de animales superiores) aprenden a reunir a las distintas percepciones del espacio, es decir, lo visual, lo táctil, lo auditivo, lo kinestésico, lo vestibular, etc, en un conjunto coherente de experiencias y descripciones. El resultado de este proceso de aprendizaje es un determinado concepto de espacio en el cerebro. De hecho, la pregunta "¿dónde?" Se puede preguntar y responder en todos los idiomas del mundo. Siendo más precisos, los adultos deducen el origen del espacio de medidas de distancia. Los conceptos de longitud, área, volumen, ángulo y ángulo sólido están deducidos con su ayuda. Los geómetras, topógrafos, arquitectos, astrónomos, vendedores de alfombras y productores de cintas métricas basan su comercio en las medidas de distancias. El espacio es un concepto formado al resumir todas las relaciones de distancia entre los objetos para obtener una descripción precisa de las observaciones. Las reglas y los metros funcionan bien sólo si son rectos. Pero cuando los seres humanos vivían en la selva, no había objetos rectos en lo que les rodeaba. No había reglas rectas, ni herramientas rectas, nada. Hoy en día, un paisaje urbano es esencialmente una colección de líneas rectas. Desafío 43 s ¿Puede describir cómo han conseguido esto los seres humanos? Una vez que los humanos salieron de la selva con sus varas de medir de nueva construcción, recogieron una gran cantidad de resultados. Los principales se enumeran en la Tabla 9, se confirman fácilmente por la experiencia personal. Los objetos pueden tomar posiciones de forma aparentemente continua: hay de hecho más posiciones de las que se pueden contar. * El tamaño es aprehendido por la definición de la distancia entre varias posiciones, llamadas longitud, o utilizando el campo de visión que ocupa un objeto cuando se le toca, lo que se llama su superficie. Longitud y superficie se pueden medir con la ayuda de reglas y metros, (los resultados de las mediciones seleccionadas se dan en la Tabla 10; algunos dispositivos de medida de longitud se muestran en la Figura 23.) La longitud de los objetos es independiente de la persona que la mida, de la posición de los objetos y de su orientación. En la vida cotidiana la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos. No hay límites a las distancias, a las longitudes y, por lo tanto, para el espacio. La experiencia nos muestra que el espacio tiene tres dimensiones, podemos definir series de posiciones en precisamente tres direcciones independientes. De hecho, el oído interno de (prácticamente) todos los vertebrados tiene tres canales semicirculares que detectan la aceleración del cuerpo en las tres dimensiones del espacio, como se muestra en la Figura 21. ** Del mismo modo, cada ojo humano es movido por tres pares de músculos. Desafío 44 s. ¿Por qué tres? Otra prueba de que el espacio tiene tres dimensiones es proporcionado por los cordones de los zapatos: si el espacio tuviera más de tres dimensiones, los cordones de los zapatos no serían útiles, debido a que existen nudos sólo en el espacio tridimensional. Pero ¿por qué el espacio tiene tres dimensiones? Esta es una de las cuestiones más difíciles de la física, sólo podrá ser respondida en la última parte de nuestro caminata. FIGURA 21 Dos pruebas de que el espacio tiene tres dimensiones: el laberinto vestibular en el oído interno de mamíferos (aquí un ser humano) con tres canales y un nudo. (© Northwestern University). *** Para una definición de no numerabilidad, vea pag. 235 en Volume III. * Note que decir que el espacio tienen tres dimensiones implica que el espacio es continuo; el matemático y filósofo holandés Luitzen Brouwer (n. 1881 Overschie, f. 1966 Blaricum) demostró que la dimensionalidad es sólo un concepto usado para conjuntos continuos. 35 A menudo se dice que el pensar en cuatro dimensiones es imposible. Eso está equivocado. Simplemente inténtelo. Desafío 45 s. Por ejemplo, ¿puede confirmar que en cuatro dimensiones los nudos son imposibles? Como los intervalos de tiempo, los intervalos de longitud se pueden describir más precisamente con la ayuda de los números reales. Con el fin de simplificar la comunicación, se utilizan unidades de referencia estándar, por lo que todo el mundo utiliza los mismos números para la misma longitud. Las Unidades nos permiten explorar experimentalmente las propiedades generales del espacio galileano: el espacio, el continente de los objetos, es continuo, tridimensional, isotrópico, homogéneo e infinito, euclídeo y único o "absoluto". En matemáticas, una estructura o un concepto matemático con todas las propiedades que acabamos de mencionar se llama un espacio euclidiano tridimensional. Sus elementos, los puntos (matemáticos), se describen mediante tres parámetros reales. Por lo general, se escriben como (x, y, z) y se denominan coordenadas. Ellas especifican y ordenan la ubicación de un punto en el espacio. (Para la definición precisa de los espacios euclídeos, ver más abajo.) Lo que se se acaba de decir aquí en tan solo media página, en realidad llevó 2000 años para ser resueltos, sobre todo porque primero tuvieron que ser descubiertos los conceptos de 'número real' y 'coordenadas'. La primera persona en describir los puntos del espacio de esta manera era el famoso matemático y filósofo René Descartes**, en su honor las coordenadas de la expresión (1) se denominan cartesianas. Como el tiempo, el espacio es un concepto necesario para describir el mundo. En efecto, el espacio se introduce automáticamente cuando describimos situaciones con muchos objetos. Por ejemplo, cuando varias bolas se encuentran en una mesa de billar, no podemos evitar el uso de espacio para detallar las relaciones entre ellas. No hay manera alguna de evitar el uso de los conceptos espaciales cuando se habla de la naturaleza. A pesar de que necesitamos el espacio para hablar de la naturaleza, es, cuando menos, interesante preguntarse por qué esto es posible. Por ejemplo, puesto que hay muchos métodos de medición de la longitud debe haber algunos que son la manera ideal o natural para medir distancias, tamaños y rectitudes. Desafío 46 s. ¿Puede encontrarlos? TABLA 9 TABLA 9 Propiedades del espacio galileano. PUNTOS PROPIEDAD FÍSICA NOMBRE MATEMÁTICO Pueden distinguirse distinguibilidad Elemento de un conjunto Pueden ser ordenados si están alineados Sucesión Orden Pueden dar lugar a formas Forma Topología Se disponen en tres direcciones diferentes Posibilidad de nudos Tridimensionalidad Pueden tener una distancia infinitesimal Continuidad Compacidad, completitud Definen distancias mensurabilidad Metricidad Permiten la adición de las traslaciones Aditividad Metricidad Definen los ángulos Producto escalar Espacio euclídeo No presentan sorpresas Invariancia de traslación Homogeneidad Pueden sobrepasar cualquier límite Infinidad Infinitud Al igual que en el caso del tiempo, cada una de las propiedades del espacio que acabamos de mencionar tiene que ser revisada. Y otra vez, observaciones cuidadosas mostrarán que cada propiedad es una aproximación. En términos ** Rene Descartes o Cartesius (n. 1596 LaHaye, f. 1650 Stockholm), matemático y filósofo francés, autor de la famosa sentencia ‘pienso, luego existo’, en latín ‘cogito ergo sum’ –. En su opinión, esta es la única declaración de la que puede estar seguro.. 36 más concisos y más drásticos, todas ellas están equivocadas. Esto confirma la afirmación de Weyl al principio de esta sección. De hecho, su declaración acerca de la violencia relacionada con la introducción de los números es contada por todos y cada uno los bosques en el mundo, y por supuesto también por aquel situado a los pies de la montaña de movimiento. Para escucharla, sencillamente debemos prestar oídos atentos a lo que los árboles tienen que decirnos. El resto de nuestra aventura mostrará esto. ↑FIGURA 22 René Descartes (1596– 1650). FIGURA 23 Tres dispositivos de medida de longitudes y distancias mecánicos (un calibre vernier, un tornillo micrométrico, un bigote, como el del tigre) y otros tres ópticos (los ojos, un metro láser, una cortina de luz) (© www.medien-werkstatt.de, Naples Zoo, Leica Geosystems and Keyence). Μέτρον ἄριστον.** Cleobulus La medida es la mejor (cosa) ¿SON EL ESPACIO Y EL TIEMPO ABSOLUTOS O RELATIVOS? En la vida cotidiana, los conceptos de espacio y tiempo galileanos incluyen dos puntos de vista antagonistas: el contraste ha coloreado debates durante varios siglos. Por un lado, el espacio y el tiempo deben expresar algo invariable y permanente, ambos actúan como grandes recipientes para todos los objetos y eventos que se encuentran en la naturaleza. Visto así, el espacio y el tiempo tienen una existencia propia. En este sentido se puede decir que son fundamentales o absolutos. Por otro lado, el espacio y el tiempo son las herramientas de descripción que nos permiten hablar de las relaciones entre los objetos. En este punto de vista, no tienen ningún significado cuando se los separa de los objetos, y sólo resultan de las relaciones entre objetos; son derivados, relacionales o relativos. * Cleobulus (Κλεοβουλος) de Lindos, (c. 620– 550 BCE) fue uno de los proverbiales sabios de Grecia. 37 Desafío 47 e ¿Cuál de estos puntos de vista prefiere? Los resultados de la física han favorecido alternativamente un punto de vista u otra. Repetiremos esta alternancia a lo largo de nuestra aventura, hasta que encontremos la solución. Y, obviamente, se tratará de una tercera opción. TABLA 10 Algunos valores de distancia medidos. OBSERVACIONES DISTANCIA Longitud de onda de Compton de la Galaxia 10−85 m (solo calculada) Longitud de Planck, la mínima longitud medible 10−35 m Diámetro del protón 1 fm Longitud de onda de Compton del electrón 2, 426 310 215(18) pm Mínima oscilación del aire detectable por el oído humano 11 pm Tamaño de un átomo de hidrógeno 30 pm Tamaño de una pequeña bacteria 0.2 μm Longitud de onda de luz visible 0,4 a 0,8 μm Radio del borde cortante de la cuchilla de afeitar 5 μm Punto: diámetro del menor objeto visible al ojo desnudo 20 μm Diámetro de un cabello humano (delgado a grueso) 30 a 80 μm Longitud total del ADN de cualquier célula humana 2m Tamaño del ser vivo más grande, el hongo Armillaria ostoyae 3 km El lanzamiento humano más largo de un objeto, utilizando un boomerang 427 m La estructura de construcción humana más alta Burj Khalifa 828 m La tela de araña más grande en México c. 5 km Longitud del Ecuador de la Tierra 40 075 014, 8(6) m Longitud total de los vasos sanguíneos humanos (estimación aproximada) 4 a 16 ⋅ 104 km Longitud total de las células nerviosas humanas (estimación aproximada) 1.5 a 8 ⋅ 105 km Distancia media al Sol 149 597 870 691(30) m Año luz 9.5 Pm Distancia a una estrella típica de noche 10 Em Dimensión de la Galaxia 1 Zm Distancia a la galaxia Andrómeda 28 Zm Máxima distancia a objetos visibles 125Ym TAMAÑO - POR QUÉ EXISTE EL ÁREA, PERO NO EL VOLUMEN Un aspecto primordial de los objetos es su tamaño. Como un niño pequeño, que todavía no está en edad escolar, cada ser humano aprende a usar las propiedades de tamaño y espacio en sus acciones. Como adultos que buscan precisión, la definición de la distancia como la diferencia entre las coordenadas nos permite definir la longitud de una manera fiable. Se necesitaron cientos de años para descubrir que algo no cuadraba. Varias investigaciones en física y matemáticas condujeron a complicaciones. Los problemas físicos comenzaron con una pregunta sorprendentemente sencilla hecha por Lewis Richardson:* ¿Cuánto mide la costa occidental de Gran Bretaña?Siguiendo la línea del litoral en un mapa *Lewis Fray Richardson (1881–1953), físico y psicólogo inglés. 38 mediante un odómetro, un dispositivo que se muestra en la Figura 24, Richardson encontró que la longitud “l” de la costa depende de la escala del mapa utilizado “s” (por ejemplo 1: 10 000 o 1: 500 000): l = l0 s0.25 (2) (Richardson encontró otros exponentes para otras costas) El número l0 es la longitud a escala 1: 1. El principal resultado es que cuanto mayor sea el mapa, más larga es la línea de costa. FIGURA 24 Un curvímetro u odómetro ¿Qué pasaría si la escala del mapa se incrementara incluso más allá del tamaño de la original? La longitud aumentaría más allá de todo límite. ¿Puede una costa realmente tener longitud infinita? Sí, puede. De hecho, los matemáticos han descrito muchas de estas curvas, se llaman fractales. Existe un número infinito de ellos, y la Figura 25 muestra un ejemplo.* Desafío 48 e. ¿Puede Vd. construir otro? La longitud tiene otras extrañas propiedades. El matemático italiano Giuseppe Vitali fue el primero en descubrir que es posible cortar un segmento de recta de longitud l en piezas que pueden volver a montarse simplemente moviéndolos en la dirección del segmento – para dar un segmento de recta de longitud 2. Desafío 49 d. ¿Es capaz de encontrar esa división con el indicio de que sólo es posible utilizando una infinidad de piezas? FIGURA 25 Un ejemplo de un fractal: una curva auto-similar de longitud infinita (a la derecha), y su construcción. Para resumir, la longitud está bien definida para las líneas que son rectas o curvas regulares, pero no para las líneas intrincadas, o para las líneas hechas de infinidad de piezas. Por lo tanto, evitaremos los fractales y otras curvas de formas extrañas en lo que seguirá, y tendremos especial cuidado especialmente cuando hablemos de segmentos infinitamente pequeños. Estas son las premisas centrales de los cinco primeros volúmenes de esta aventura, y nunca deberemos olvidarlas. Volveremos a estos supuestos en el último volumen de nuestra aventura. En realidad, todos estos problemas palidecen cuando se compara con el siguiente problema. Comúnmente, el área y el volumen se definen usando longitudes. ¿Cree que es fácil? Se equivoca, además de ser una víctima de los prejuicios difundidos por las escuelas de todo el mundo. Para definir el área y el volumen con precisión, sus definiciones deben tener dos propiedades: 1.- los valores deben ser aditivos, es decir, para conjuntos finitos e infinitos de objetos, el área total y el volumen tiene que ser la suma de las áreas y volúmenes de cada elemento de el conjunto, y 2.- deben ser rígidas, es decir, si uno corta un área o un volumen en pedazos y reorganiza las piezas, el valor sigue siendo el mismo. ¿Son posibles tales definiciones? En otras palabras, existen los conceptos de volumen y área? Para áreas en un plano, se procede de la siguiente forma estándar: se define el área A de un rectángulo de lados a y b como A = ab; ya que cualquier polígono puede ser reorganizado en un rectángulo con un número *Muchas de esas curvas son autosimilares, es decir, siguen leyes de escala similares a las arriba mencionadas. El término “fractal” se debe al matemático polaco Benoit Mandelbrot y se refiere a una extraña propiedad: en cierto sentido, no tienen un número entero D de dimensiones, pese a ello son unidimensionales por construcción. Mandelbrot dijo que la dimensión no entera estaba relacionada con el exponente e de Richardson por D = 1+e, así, en el ejemplo de la costa anterior se obtiene D = 1.25 .El número D varía caso a caso. Las medidas dan un valor D = 1,14 para la frontera de Portugal, D = 1.13 para la costa Australiana y D = 1.02 para la costa de SurAfrica. 39 finito de cortes rectos, uno puede entonces definir un valor de área de todos los polígonos. Posteriormente, se puede definir el área de formas suavemente curvadas como el límite de la suma de un número infinito de polígonos. Este método se llama integración, se presenta en detalle en la sección dedicada a la acción física. Sin embargo, la integración no nos permite definir el área de regiones delimitadas de manera arbitraria. Desafío 50 s. ¿Puede imaginarse una de tales regiones? TABLA 11 Dispositivos de medición de longitud en los sistemas biológicos y de ingeniería . MEDIDAS DISPOSITIVOS RANGO humanos Medida de la forma del cuerpo, por ejemplo, tamaño de dedos , posición de los ojos, distancia dientes sensores musculares 0.3mm 2 m Medición de la distancia de los objetos visión estereoscópica 1 a 100 m Medición de la distancia del objeto sonido efecto de eco 0.1 a 1000 m bigote hasta 0,5 m Medición de la distancia caminada por las hormigas del desierto contador de pasos hasta 100 metros Medición de la distancia de vuelo de las abejas de miel ojo hasta 3 kilometros Medición de la distancia nadando de los tiburones mapa del campo magnético hasta 1.000 km Medición de la distancia a la presa por serpientes sensor de infrarrojos hasta 2 m Sónar hasta 100m visión 0,1 a 1000m Medición de la distancia del objeto mediante la luz láser reflexión 0.1m 400mm Medición de la distancia de los objetos por radar radio eco de 0,1 a 50 kilometros La medición de la longitud del objeto interferómetro de 0,5 m hasta 50 km Medición de la estrella, galaxia o quasar Decaimiento de intensidad hasta 125 Ym Medición de tamaño de partículas acelerador hasta 10-18 m Animales Medición del tamaño del agujero Medición de la distancia a la presa por los murciélagos, delfines y ballenas joroba Medición de la distancia a la presa por las rapaces Máquinas Para una definición completa, se necesitan herramientas más sofisticadas. Fueron descubiertas en 1923 por el famoso matemático Stefan Banach. ** Él demostró que, de hecho, uno puede definir un área para un conjunto de puntos cualquier que sea, incluso si la frontera no está curvada continuamente, sino que es complicada en extremo, como la curva fractal que se mencionó anteriormente. Hoy en día este concepto generalizado de área, técnicamente un 'medida con aditividad finita e invariante isométricamente,' se llama medida de Banach en su honor. Los matemáticos resumen esta explicación diciendo que ya que hay una medida de Banach en dos dimensiones, hay una manera de definir el concepto de área - una medida aditiva y rígida para cualquier conjunto de puntos dados.** *Stefan Banach (n. 1892 Cracovie , f. 1945–Lvov fue un importante matemático polaco. 40 ¿Cuál es la situación en tres dimensiones, es decir, para el volumen? Podemos empezar de la misma manera que para el área, definiendo el volumen V de un poliedro rectangular con lados a, b, c como V = abc. Pero entonces nos encontramos con un primer problema: un poliedro general, no se puede cortar en un cubo por cortes rectos. La limitación fue descubierta en 1900 y 1902 por Max Dehn. **** Él encontró que esta posibilidad depende de los valores de los ángulos de las aristas, o ángulos diedros, como los matemáticos los llaman. (Se definen en la Figura 26.) FIGURA 26 Un poliedro con uno de sus ángulos diedros (© Luca Gastaldi). Si uno atribuye a cada arista de un poliedro general un número dado por su longitud L multiplicada por una función especial δ (α) de sus ángulos diedros α, a continuación, Dehn encontró que la suma de todos los números de todas las aristas de un sólido no cambian después de la disección, a condición de que la función cumpla g(α + β) = g(α) + д(β) y g(π) = 0. Un ejemplo de tal función extraña g es el de asignar el valor 0 para cualquier múltiplo racional de π y el valor 1 a un conjunto base de múltiplos irracionales de π. Los valores para todos los otros ángulos diedros del poliedro a continuación, se pueden construir por combinación de múltiplos racionales de estos ángulos básicos. Desafío 52 s Con esta función, usted puede entonces deducir por sí mismo que un cubo no puede ser diseccionado en un tetraedro regular porque sus respectivos invariantes Dehn son diferentes. ** A pesar de los problemas con invariantes Dehn, se puede definir un concepto rígido y aditivo de volumen para poliedros, ya que para todos los poliedros y, en general, para todas las formas 'curvadas regularmente', se puede utilizar de nuevo la integración para definir su volumen. Ahora vamos a considerar las formas generales y cortes generales en tres dimensiones, no sólo las 'regulares' mencionadas hasta ahora. Tropezamos entonces con el famoso teorema (o paradoja) de BanachTarski. En 1924, Stefan Banach y Alfred Tarski ** demostraron que es posible cortar una esfera en cinco trozos que se pueden recombinar para dar dos esferas, cada una del tamaño de la original. Este resultado contra-intuitivo es el teorema de Banach-Tarski. Peor aún, otra versión del teorema establece: tomemos dos ***Realmente, esto sólo es verdad para conjuntos de un plano. Para superficies curvadas, tales como la superficie de una esfera, existen complicaciones que no expondremos aquí. Además, los problemas mencionados en la definición de la longitud de los fractales surgen igualmente para áreas si la superficie a medir no es plana. Un ejemplo típico es el área de los pulmones humanos: dependiendo del nivel de detalle con que se examina, se encuentra un valor que oscila entre unos cuantos metros cuadrados hasta más de cien. Max Dehn (b. 1878 Hamburg, d. 1952 Black Mountain), matemático alemán, estudiante de David Hilbert. **Esto es igualmente explicado en el bello libro de M. Aigler & G.M. Ziegler, Proofs from the Book, Springer Verlag, 1999.El título se debe a la famosa costumbre del gran matemático Paul Erdős de imaginar que todas las hermosas demostraciones matemáticas pueden agruparse en el “libro de las demostraciones”. ** Alfred Tarski (b. 1902Warsaw, d. 1983 Berkeley), matemático polaco. *** La demostración del resultado no precisa de muchas matemáticas; lo explica admirablemente Ian Stewart en Paradox of the spheres, New Scientist, 14 January 1995, pp. 28–31.La demostración se basa en el axioma de elección, que se presentará después. La paradoja Banach–Tarski también existe en cuatro dimensiones, así como en cualquier número mayor de dimensiones. Para más detalles matemáticos puede consultar en el estupendo libro de StanWagon. **** Los matemáticos dicen que la llamada medida de Lebesgue es suficiente en física. Esta medida numerable y aditiva isométricamente invariante proporciona el modo más general para definir un volumen. 41 formas cualesquiera que no se extiendan hasta el infinito y que contengan una esfera sólida cada uno; entonces siempre es posible diseccionar uno en el otro con un número finito de recortes. En particular, es posible transformar, diseccionándolo, un guisante en la Tierra, o viceversa. El tamaño no cuenta! *** Por lo tanto el volumen no es un concepto útil en absoluto. Desafío 53 s El teorema de Banach-Tarski plantea dos cuestiones: en primer lugar, ¿se puede aplicar el resultado al oro o pan? Eso resolvería muchos problemas. En segundo lugar, ¿puede ser aplicado a un espacio vacío? En otras palabras, ¿son la materia y el espacio vacío continuos? Ambos temas serán explorados más adelante en nuestro caminar; cada tema tendrá sus propias consecuencias especiales. Por el momento, eliminamos este problema preocupante al restringir nuestro interés a formas suavemente curvadas (y cortes con cuchillos) Con esta restricción, el volumen de la materia y del espacio vacío se comportan muy bien: son aditivos y rígidos, y no muestran paradojas.**** En realidad, los cortes necesarios para la paradoja de Banach-Tarski no son suaves; no es posible llevarlos a cabo con un cuchillo común, ya que requieren infinitos ángulos infinitamente agudos realizados con un cuchillo infinitamente afilado. Tal cuchillo no existe. Sin embargo, guardaremos en un rincón de nuestra mente que el tamaño de un objeto o de un pedazo de espacio vacío es una cantidad sutil y que tenemos que ser cuidadosos y prudentes cuando hablemos de él. ¿QUÉ ES LO RECTO? Cuando vea a un objeto sólido con un borde recto, hay un 99% de probabilidades de que está hecha por el hombre. Por supuesto, hay excepciones, como se muestra en la Figura 27.* Los cristales más grandes que se han encontrado tienen 18 m de longitud. FIGURA 27 Las líneas rectas que se encuentran en la naturaleza: cerusita (foto Anchura aproximadamente 3 mm, © Stephan Wolfsried.) y selenita (cuadro Ancho aprox. 15m, © Arch. Speleoresearch y Películas / La Venta en www.laventa.it y www.naica.com.mx). Pero, en general, el contraste entre los objetos que se ven en una ciudad -edificios, muebles, coches, postes eléctricos, cajas, libros - y los objetos que se ven en un bosque -árboles, plantas, piedras, nubes - es evidente: en el bosque nada es recto o plano, en la ciudad la mayoría de los objetos lo son. ¿Cómo es posible que los humanos produzcan objetos rectos mientras que en la naturaleza no encontramos casi ninguno? Cualquier bosque nos muestra el origen de la rectitud; presenta altos troncos de árboles y rayos de luz que entran desde arriba a través de las hojas. Por esta razón calificamos una línea de recta si, a lo largo de toda su longitud, está en contacto con una plomada o con un rayo de luz. De hecho, las dos definiciones son equivalentes. Desafío 54 s ¿Puede confirmar esto? ¿Puede encontrar otra definición? Indudablemente, calificamos una superficie como plana si para cualquier orientación y posición elegida de la superficie, ésta toca una plomada o un rayo de luz a lo largo de toda su extensión. En resumen, el concepto de rectitud - y por lo tanto también de la planitud - se define con la ayuda de cuerpos materiales o radiaciones. En realidad, todos los conceptos espaciales, como todos los conceptos temporales, requieren del movimiento para su definición. * Otra famosa excepción, no relativa a estructuras atómicas, es la formación geológica irlandesa conocida como Calzada de los Gigantes. Otros candidatos que nos vienen a la mente, como ciertas bacterias con formas casi cuadradas o aproximadamente triangulares no son contraejemplos dado que estas formas son sólo aproximadas. * Roman Sexl (ÕÉìÉ–.É.ä), físico austríaco de renombre, autor de varias obras influyentes sobre gravitación y relatividad. 42 ¿UNA TIERRA HUECA? El espacio y la rectitud plantean desafíos sutiles. Algunas personas excéntricas sostienen que todos los seres humanos viven en el interior de una esfera; por lo general, llaman a esto la teoría de la Tierra hueca. Afirman que la Luna, el Sol y las estrellas están todos cerca del centro de la esfera hueca, como se ilustra en la Figura 29. También explican que la luz sigue trayectorias curvas en el cielo, y que cuando los físicos convencionales hablan de una distancia r del centro de la Tierra, la distancia real de la Tierra hueca es rhe = R2Earth/r. Desafío 55 s ¿Puede demostrar que este modelo no es correcto? Roman Sexl * hacía regularmente esta pregunta a sus alumnos y colegas físicos. La respuesta es simple: si usted piensa que tiene un argumento para demostrar que esta opinión es errónea, ¡está equivocado! No hay manera alguna de demostrar que tal punto de vista es falso. Es posible explicar el horizonte, la aparición de día y de noche, así como las fotografías de satélites de la Tierra redonda, como por ejemplo la de la Figura 28. Desafío 56 e. Explicar lo que se produciría durante un vuelo a la Luna también es divertido. El punto de vista de la Tierra hueca es coherente y totalmente equivalente a la imagen habitual de un espacio infinitamente extendido. Volveremos a este problema en la sección sobre la relatividad general. FIGURA 28 Una fotografía de la Tierra – vista desde la dirección del Sol. CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS DESAFÍOS SOBRE EL ESPACIO Y EL TIEMPO COTIDIANOS Desafío 57 s ¿Cómo se mide la velocidad de una bala de pistola con un cronómetro, en un espacio de 1m 3, sin electrónica? Pista: el mismo método también se puede utilizar para medir la velocidad de la luz. ∗∗ Para una chocante e interactiva manera de hacer zoom a través de de todas las escalas de longitud en la naturaleza, desde la longitud de Planck hasta el tamaño del universo, consulte el sitio web http://htwins.net/scale2/. ∗∗ FIGURA 29 Un modelo que ilustra la teoría de la Tierra hueca, que muestra cómo aparecen día y noche. ∗∗ Desafío 58 s ¿Qué es más rápido: una flecha o una moto? ** 43 Desafío 58 f. Un jardinero quiere plantar nueve árboles de tal manera que forme diez líneas rectas de tres árboles cada una. ¿Cómo lo hace? ** Desafío 59 d ¿A qué velocidad camina la Parca? Esta pregunta es el título de una publicación en el British Medial Journal del año 2011. ¿Se imagina cómo se responde? ∗∗ Las medidas de tiempo requieren fenómenos periódicos. Los anillos del árbol son los rastros de las estaciones. Los glaciares también tienen este tipo de rastros, las ojivas. Trazas similares se encuentran en los dientes. ¿Conoce más ejemplos? ∗∗ Desafío 60 s. Un hombre quiere saber cuántos peldaños tendría que subir si la escalera mecánica que está delante de él, moviéndose hacia arriba, estuviera parada. Él camina hacia arriba por la escalera mecánica y cuenta 60 peldaños, caminando por la misma escalera mecánica hacia abajo con la misma velocidad cuenta 90 peldaños. ¿Cuál es la respuesta? ** Desafío 61 e. Usted tiene dos relojes de arena: uno de 4 minutos y otro de 3 minutos. ¿Cómo puede usted utilizarlos para determinar cuándo han pasado 5 minutos? ** Desafío 62 e. Tiene dos contenedores de agua: uno de 3 litros, otro de 5 litros. ¿Cómo puede usarlos para medir 4 litros de agua? ** Desafío 63 s. ¿Cómo puede hacer un agujero en una postal que le permita pasar a través de ella? ** Desafío 64 s ¿Qué fracción de la altura de una copa cónica, que se muestra en la Figura 30, se deben rellenar para tener el vaso medio lleno? FIGURA 30 ¿A qué altura está el líquido una copa cónica medio llena? (© Helmut Diehl). Desafío 65 s ¿Cuántos lápices se necesitan para dibujar una línea, tan larga como la línea ecuatorial de la Tierra? ** D esafío 65 f.¿Puede encontrar tres puntos de intersección en un tablero de ajedrez que formen un triángulo equilátero? ** Todo el mundo conoce el rompecabezas sobre el oso: Un cazador sale de su casa, camina 10 kilometros al sur y 10 km hasta el Oeste, le dispara a un oso, camina 10 kilometros al norte, y está de vuelta a casa. ¿De qué color es el oso? Usted probablemente sabe la respuesta inmediatamente. Ahora viene una pregunta más difícil, útil para ganar dinero en apuestas. Desafío 66 s La casa podría estar en diversos puntos adicionales en la Tierra, ¿donde están estos lugares menos obvios desde los que un hombre puede hacer exactamente el mismo viaje (olvide el oso ahora) que se acaba de describir y de estar en casa de nuevo? ∗∗ FIGURA 31 ¿Puede el caracol llegar al caballo una vez que comienza a galopar hacia lo lejos? Imagínese una banda elástica de goma que está unida a una pared en un extremo y unida a un caballo en el otro extremo, como se muestra en la Figura 31. En la banda de goma, cerca de la pared, hay un caracol. Desafío 67 s Tanto el caracol como el caballo comienzan a moverse, con velocidades típicas – si suponemos que la goma es infinitamente estirable. ¿Puede el caracol llegar al caballo? ** 44 Para un matemático, 1 km es lo mismo que 1000 m. ¡Para un físico son dos cosas diferentes! De hecho, para un físico, a 1 km es una medida situada entre 0,5 kilometros y 1,5 km, en tanto que 1000 m es una medida entre 999,5m y 1000,5m. Así que tenga cuidado cuando escriba valores de medición. La forma profesional es escribir, por ejemplo, 1000(8) m en el sentido de 1000 m ± 8m, es decir, un valor que se encuentra entre 992 y 1008 m con una probabilidad del 68,3%. ∗∗ Desafío 68 s. Imagine un punto negro en una superficie blanca. ¿Cuál es el color de la línea que separa el punto del fondo? Esta pregunta es llamada a menudo el rompecabezas de Peirce. ** Desafío 69 s. También el pan es un fractal (aproximadamente), aunque uno irregular. La dimensión fractal de pan es de alrededor de 2,7. ¡Trate de medirlo! ∗∗ Desafío 70 e. ¿Cómo encontraría el centro de un posavasos con papel y lápiz? ** Desafío 71 s ¿Cuántas veces en 24 horas la manecilla de las horas y la de los minutos de un reloj se encuentran una sobre la otra? Para los relojes que también tienen una saeta para los segundos, ¿con qué frecuencia se encuentran superpuestas las tres manecillas una encima de otra? ** Desafío 71bis s¿Cuántas veces en 24 horas la manecilla de las horas y la de los minutos de un reloj forman un ángulo recto? ** Desafío 72 s ¿Cuántas veces en doce horas las dos agujas de un reloj pueden ser intercambiadas con el resultado de que la nueva situación muestra un tiempo válido? ¿Qué sucede con los relojes que también tienen una tercera aguja para los segundos? ∗∗ Desafío 73 s ¿Cuántos minutos gira la Tierra en un minuto? ∗∗ Desafío 74 s ¿Cuál es la velocidad más alta alcanzada por un lanzador (con y sin raqueta)? ¿que proyectil se usó? ** Desafío 75 s. Una cuerda se pone alrededor de la Tierra, sobre el Ecuador, lo más apretada posible. La cuerda a continuación, se alargó en 1 m. ¿Puede un ratón deslizarse por debajo de la cuerda? La cuerda original fuerte se alarga en 1mm. ¿Puede un niño deslizarse debajo de la cuerda? ∗∗ Desafío 76 s Jack remaba en su barco sobre un río. Cuando estaba debajo de un puente, dejó caer una pelota en el río. Jack siguió remando en la misma dirección durante 10 minutos después de que dejara caer la pelota. Luego se dio la vuelta y remó de nuevo. Cuando llegó a la pelota, la pelota había flotado 600m desde el puente. ¿Cuál era la velocidad de la corriente del río? ** Desafío 77 e Adán y Bert son hermanos. Adam tiene 18 años. Bert es dos veces mayor que en el momento en que Adán tenía la edad que Bert tiene ahora. ¿Qué edad tiene Bert? ∗∗ Desafío 78 s ”¿Dónde estoy?” Es una pregunta común; “¿Cuando estoy” nunca se pregunta, ni siquiera en otros idiomas. ¿Por qué? ** Desafío 79 s ¿Hay un intervalo de tiempo mínimo en la naturaleza? ¿Y una distancia mínima? ** Desafío 80 s Suponiendo que usted sabe lo que es la rectitud, ¿cómo caracterizaría o definiría la curvatura de una línea curva utilizando números? ¿Y la de una superficie? ** Desafío 81 s ¿Cuál es la velocidad del parpadeo? ∗∗ 45 Desafío 82 s El área superficial del cuerpo humano es de unos 400 m 2. ¿Puede decir de dónde viene este gran número? ** ¿Cómo funciona un vernier? Se llama Nonius en otros idiomas. El primer nombre se deriva de un ingeniero militar francés * que no lo inventó, el segundo es un juego de palabras entre el nombre latinizado del inventor portugués de un dispositivo más elaborado ** y la palabra latina para 'nueve'. En realidad, el dispositivo tal como lo conocemos hoy en día - se muestra en la Figura 32 – fue concebido en torno a 1600 por Christophonius Clavius, *** el mismo astrónomo cuyos estudios fueron la base de la reforma del calendario gregoriano de 1582. Desafío 83 s. ¿Es capaz de diseñar un vernier / nonius / Clavius que, en lugar de aumentar la precisión diez veces, lo haga en un factor arbitrario? ¿Hay un límite a la precisión alcanzable? FIGURA 32 Un Vernier / Nonius / Clavius 9-a-10 y una versión 19-a-20 (de hecho, una versión de 38-a-40) en un calibre (© www.medien-werkstatt.de). ∗∗ Los Fractales en tres dimensiones proporcionan muchas sorpresas. Vamos a generalizar la Figura 25 a tres dimensiones. Tome un tetraedro regular; luego pegue en cada una de sus caras triangulares un tetraedro regular más pequeño, de manera que la superficie del cuerpo esté hecho de nuevo por muchos triángulos regulares iguales. Repita el proceso, encolando tetraedros aún menores a estas nuevas (más numerosas) superficies triangulares. Desafío 84 s ¿Cuál es la forma del fractal final, después de un número infinito de pasos? ∗∗ Desafío 85 s. El parque automovilista plantea muchos problemas matemáticos. Uno central es el siguiente problema de aparcamiento paralelo: ¿cuál es la distancia más corta d hasta el coche delante necesaria para salir de una plaza de aparcamiento sin utilizar la marcha atrás? (Suponga que usted sabe cuál es la geometría de su coche, como se muestra en la Figura 33, y su pequeño radio de viraje exterior R, que es conocida para cada coche). FIGURA 33 Salir de una plaza de aparcamiento. ∗∗ Desafío 86 s. Siguiente pregunta: ¿cuál es el menor hueco requerido cuando se le permite maniobrar hacia atrás y hacia adelante tantas veces como desee? Ahora, un problema para el cual ninguna solución parece estar disponible en la literatura: ¿De qué manera depende el hueco del número n, de veces que use la marcha atrás? (El autor había ofrecido 50 euros por la primera solución bien explicada-, la solución ganadora de Daniel Hawkins ahora se encuentra en el apéndice.) ** Los científicos usan una forma especial para escribir los números grandes y pequeños, se explica en la Tabla 12. ∗∗ ** Pierre Vernier (1580–.1637), oficial militar francés apasionado de la cartografía. ** Pedro Nuñes ou Petrus Nonnius (1502–.1578), matemático y cartógrafo portugués. *** Christophonius Clavius o Schlussel (1537–1612), astrónomo bávaro y uno de los principales astrónomos de su tiempo. 46 Desafío 88 s. En 1996, la distancia mínima experimentalmente verificada fue 10 -19 m, alcanzada entre los quarks en el Fermilab. (Para notar el valor de la distancia, apúntelo sin el exponente.) ¿Qué significa esta medida en relación a la continuidad del espacio? TABLA 12 La notación exponencial : cómo escribir números pequeños y grandes. NÚMERO NOTACIÓN EXPONENCIAL NÚMERO NOTACIÓN EXPONENCIAL 1 100 0.1 10−1 10 101 0.2 2⋅10−1 20 2⋅101 0.01 10−2 100 102 0.0324 3.24 10−2 324 3.24⋅102 0.001 10−3 1000 103 0.000 1 10−4 10 000 104 0.000 056 5.6⋅10−5 56 000 5.6⋅104 0.000 01 etc. 10−5 100 000 105 etc. ** Desafío 89 s. Zenón, el filósofo griego, analizó en detalle lo que sucedería con un objeto en movimiento en un instante dado de tiempo. Para discutir con él, usted decide construir el obturador más rápido posible que se puede imaginar para una cámara fotográfica. Usted tiene todo el dinero que quiera. ¿Cuál es el tiempo de obturación más corto que podría realizar? ∗∗ Reto 90 s ¿Se puede probar el teorema de Pitágoras por medios geométricos solo, sin necesidad de utilizar las coordenadas? (Hay más de 30 posibilidades.) ** Reto 91 s ¿Por qué la mayoría de los planetas y las lunas, incluyendo la nuestra, son (casi) esféricas (véase, por ejemplo, la Figura 28)? ∗∗ Desafío 92 s Una banda de goma conecta las puntas de las dos agujas de un reloj. ¿Cuál es el camino seguido por el punto medio de la banda? ∗∗ Hay dos magnitudes importantes vinculadas a los ángulos. Como se muestra en la Figura 34, lo que generalmente se llama un ángulo (plano) se define como la relación entre las longitudes de arco y el radio. Un ángulo recto es π / 2 radianes (o π / 2 rad) o 90 °. El ángulo sólido es la relación entre el área y el cuadrado del radio. Una octava parte de una esfera es π / 2 estereorradián o π / 2 sr. (Los matemáticos, por supuesto, simplemente dejarían de lado la unidad estereorradián). Como resultado, un pequeño ángulo sólido en forma de cono y el ángulo de la punta del cono de son diferentes. Reto 93 s ¿Puede encontrar la relación? ∗∗ FIGURA 34 La definición de ángulos planos y sólidos. ** 47 La definición de ángulo ayuda a determinar el tamaño de la explosión de los fuegos artificiales. Mida el tiempo T, en segundos, entre el momento en que se ve al cohete explotar en el cielo y en el momento que escuche la explosión, mida también el ángulo α (plano) de la bola formada por los fuegos artificiales con su mano. El diámetro D es D≈ 6m Tα sº ** Desafío 94 e ¿Por qué? Para obtener más información acerca de los fuegos artificiales, consulte el sitio cc.oulu.fi/~kempmp Por cierto, la distancia angular entre los nudillos de un puño extendido son alrededor de 3 °, 2 ° y 3 °, del tamaño de una mano extendida 20 °. Reto 95 s ¿ puede determinar los otros ángulos relacionados con la mano? ∗∗ Desafío 96 e . Usando ángulos, el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante pueden definirse, como se muestra en Figura 35. Usted debe recordar esto desde la escuela secundaria. ¿Puede confirmar que es correcto? ( √ 5−1) 10−2 √ 5 ( √6−√ 2) ; sen 18 º= ; sen 36 º = √ 4 4 4 (1+ √ 5) 10+2 √5 sen 54 º= ; sen 72º = √ 4 4 sen x x x x =cos · cos · cos ... es correcto? ¿Puede también demostrar que x 2 4 8 sen 15 º = FIGURA 35 Dos definiciones equivalentes del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante un ángulo. ∗∗ Desafío 98 e Medir el tamaño angular sólo con el ojo es complicado. Por ejemplo, ¿puede decir si la Luna es más grande o más pequeña que la uña de su dedo pulgar en el extremo de su brazo extendido? El tamaño angular no es una cantidad intuitiva, sino que requiere de instrumentos de medición. Un ejemplo famoso, que se muestra en la Figura 36, ilustra la dificultad de calcular los ángulos. FIGURA 36 Cómo cambia durante un día el tamaño aparente de la Luna y el Sol Tanto el Sol como la Luna parecen más grandes cuando están en el horizonte. En la antigüedad, Ptolomeo explicó esta supuesta ilusión de la Luna por un cambio aparente distancia inconsciente inducida por el cerebro humano. En efecto, la ilusión de la Luna desaparece cuando, de espaldas a la Luna, se inclina y mira a la 48 Luna a través de sus piernas. De hecho, la Luna está aún más lejos del observador cuando está justo sobre el horizonte, por lo que su imagen es más pequeña de lo que era un par de horas antes, cuando estaba alta en el cielo. ** Desafío 99 s. ¿Puede confirmar esto? El tamaño angular de la Luna cambia aún más debido a otro efecto: la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es elíptica. Un ejemplo de la consecuencia se muestra en la Figura 37. FIGURA 37 Cómo cambia el tamaño de la Luna en realidad durante su órbita (© Anthony Ayiomamitis). ∗∗ Desafío 100 d. Galileo también cometió errores. En su famoso libro, los Diálogos, dice que la curva formada por una fina cadena que cuelga entre dos postes es una parábola, es decir, la curva definida por y = x2. Eso no es correcto. ¿Cuál es la curva correcta? Usted puede observar la forma (aproximadamente) en la forma de los puentes colgantes. ∗∗ FIGURA 38 Un famoso rompecabezas: ¿cómo se relacionan los cuatro radios? Desafío 101 s. Dibuje tres círculos, de diferentes tamaños, que se tocan unos con otros, como se muestra en la Figura 38. Ahora dibuje un cuarto círculo en el espacio de en medio, que toque a los tres exteriores. ¿A qué relación simple obedecen los inversos de los radios de los cuatro círculos? ∗∗ Desafío 102 s Tome un tetraedro OABC cuyos lados triangulares OAB, OBC y OAC son rectangulares en O, como se muestra en la Figura 39. En otras palabras, los bordes de OA, OB y OC son perpendiculares entre sí. En el tetraedro, las áreas de la OAB triángulos, OBC y ACO son, respectivamente, 8, 4 y 1. ¿Cuál es el área del triángulo ABC? FIGURA 39 ¿Cuál es el área de ABC, dadas las otras tres áreas y tres ángulos rectos en O? ∗∗ Desafío 103 s. Hay muchos problemas y rompecabezas acerca de escaleras. Dos de ellos se ilustran en la Figura 40. Si una escalera de 5m se pone contra una pared de tal manera que apenas toque una caja con 1 m de altura y otro de anchura, ¿cuál es la altura a la que llega la escalera? FIGURA 40 Dos rompecabezas escalera: uno moderadamente difícil (izquierda) y otro difícil (derecha). Desafío 104 d. Si se ponen dos escaleras contra dos paredes enfrentadas, y si se conocen las longitudes de las escaleras y la altura del punto de cruce, ¿a qué distancia se encuentran las paredes? 49 ∗∗ Desafío 105 s. Con dos reglas, usted puede sumar y restar números adosándolas una junto a otra. ¿Es capaz de diseñar reglas que permitan multiplicar y dividir de la misma manera? Dispositivos más elaborados que utilizan este principio se llaman reglas de cálculo y fueron las precursoras de las calculadoras electrónicas. Fueron utilizadas por todas partes hasta la década de los 70 del pasado siglo. ∗∗ Desafío 106 s ¿Cuántos días tendría el año si la Tierra girase en el otro sentido con la misma frecuencia de rotación? ** Desafío 107 s El Sol se oculta en la situación espectacular mostrada en la Figura 41 ¿Dónde está? FIGURA 41 rayos anticrepusculares - ¿Dónde está el Sol en esta situación? (© Peggy Peterson) ∗∗ Desafío 108 e Un poco diferente, pero igualmente fascinante - y útil para acostumbrarse al dibujo en perspectiva - es la situación que aparece cuando se tiene un faro en la espalda. ¿Puede dibujar los rayos que se ven en el cielo hasta el horizonte? ** Desafío 109 s Dos cilindros de igual radio se intersecan en un ángulo recto. ¿Cuál es el valor del volumen de la intersección? (En primer lugar haga un dibujo.) ** Desafío 110 s Se eliminan las dos caras de un cubo hueco con 1dm de largo en el lateral, para producir un túnel con abertura cuadrada. ¿Es cierto que un cubo de arista 1,06 dm se puede hacer pasar a través del cubo hueco de lado 1 dm? ** Desafío 111 d ¿Podría existir un universo de dos dimensiones? Alexander Dewdney imaginó un universo así en gran detalle y escribió un libro muy conocido sobre el tema. Él describe las casas, el sistema de transporte, la digestión, la reproducción y mucho más. ¿Puede explicar por qué un universo de dos dimensiones no puede existir? ** FIGURA 42 configuraciones ideales de cuerdas hechas de dos, tres y cuatro hilos. En la configuración ideal, el ángulo de inclinación específico con respecto al plano ecuatorial - 39,4 °, 42,8 ° y 43,8 °, respectivamente - conduce a estructuras de torsión cero. En estas configuraciones ideales, la cuerda bajo tensión vertical no girará en una ni en la otra dirección (© Jakob Bohr). ∗∗ Las Cuerdas son estructuras maravillosas. Son flexibles, se tejen de forma helicoidal, pero a pesar de esto, no se desenrollan ni giran, son casi inextensibles, y su geometría depende poco del material utilizado en su fabricación. ¿Cuál es el origen de todas estas propiedades? La colocación de la cuerda es un antiguo arte, y se basa en un resultado puramente geométrico: entre todas las posibles hélices de n hebras de longitud dada establecidas alrededor de una estructura central de radio fijo, hay una hélice para la cual el número de vueltas es máximo. Por razones puramente geométricas, las cuerdas con determinado número de vueltas y el radio interior correspondiente tienen las propiedades mencionadas que hacen tan útiles las cuerdas. Las geometrías de las cuerdas ideales hechas de dos, tres y cuatro cadenas se muestran en la Figura 42. ∗∗ 50 Desafío 113 s Algunos investigadores están estudiando si el tiempo podría ser de dos dimensiones. ¿Puede ser así? Otros investigadores están estudiando si el espacio puede tener más de tres dimensiones. ¿Puede ser esto? ** Una forma de comparar las velocidades de los animales y las máquinas es midiendo en 'longitudes de cuerpo por segundo'. El coleóptero Elatérido (saltapericos) alcanza un valor de alrededor de 2000 durante su fase de salto, ciertas células Archaea (similar a las bacterias) un valor de 500, y ciertos colibríes 380. Estos son los titulares de récords hasta el momento. Coches, aviones, guepardos, halcones, cangrejos y todos los demás sistemas motorizados son mucho más lentos. ∗∗ Dibuje un cuadrado formado por cuatro líneas de igual longitud que conecte los segmentos mediante bisagras en los vértices. Tal estructura puede deformarse libremente en un rombo si se aplica un poco de fuerza. ¿Cuántas líneas adicionales interconectadas de la misma longitud deberán suplementarse para evitar esta libertad y prevenir que el cuadrado se deforme? Las interconexiones de líneas adicionales deben estar en el mismo plano que el cuadrado y cada una de ellas sólo puede ser vinculada a otras en los puntos finales. ∗∗ La medida del área puede ser difícil. En 2014 se hizo evidente que el área del tracto gastro-intestinal de los seres humanos adultos sanos es de entre 30 y 40 m 2. Durante muchos años, la estimación incorrecta del área fue entre 180 y 300m2. ** Aquí hay un simple desafío de longitud que nadie ha resuelto aún. Tome un pedazo de cuerda ideal: de radio constante, idealmente flexible y totalmente resbaladiza. Ate un nudo apretado en ella, como se muestra en la Figura 43. Desafío 115 r ¿Cuánto se acercan los extremos de la cuerda? FIGURA 43 Un problema de investigación abierta: ¿Cuál es la longitud de la cuerda de un nudo apretado? (© Piotr Pieranski, de la Ref.. 51) RESUMEN ACERCA DEL ESPACIO Y TIEMPO COTIDIANOS El movimiento define la velocidad, el tiempo y la longitud. Las observaciones de la vida cotidiana y de los experimentos de precisión son precisa y convenientemente descritos mediante el modelo de la velocidad como un vector euclidiano, el espacio como un espacio euclidiano tridimensional, y el tiempo como una línea real de una sola dimensión. Estas tres definiciones forman la descripción de nuestro ambiente cotidiano, o galileano. El Modelo que utiliza Velocidad, tiempo y espacio como cantidades continuas es preciso y conveniente. La modelización funciona en la mayoría de las aventuras que siguen. Sin embargo, este modelo común del espacio y el tiempo no puede ser confirmado por la experiencia. Por ejemplo, no hay experimentos que pueden comprobar distancias más grandes que 1025 m o menores que 10-25 m; el modelo continuo es probable que sea incorrecto. Encontraremos en la última parte de la ascensión de la montaña que verdaderamente éste es el caso. 51 CAPÍTULO 3 CÓMO DESCRIBIR EL MOVIMIENTO– CINEMÁTICA La filosofia e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo) ... Egli e scritto in lingua matematica. Galileo Galilei, Il saggiatore VI. * La ciencia está escrita en este gran libro que está continuamente abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo) ... Está escrito en lenguaje matemático. L os experimentos muestran que tanto los niños como la mayor parte de los animales extraen del entorno las propiedades del tiempo y del espacio galileanos. Esta extracción se ha confirmado en perros, gatos, ratas, ratones, hormigas y peces, entre otros. En todos ellos se encuentran los mismos resultados En primer lugar, el movimiento es el cambio de posición con el tiempo. Esta descripción se ilustra volteando rápidamente las esquinas inferiores izquierdas de este libro, a partir de la página 210. Cada página simula un instante de tiempo, y el único cambio que tiene lugar durante el movimiento está en la posición del objeto, por ejemplo una piedra, representado por la mancha oscura. Las otras variaciones de una imagen a la siguiente, que se deben a las imperfecciones de las técnicas de impresión, se pueden tomar para simular los inevitables errores de medición. Ahora ya está claro que llamar "movimiento" al cambio de posición con el tiempo, no es una explicación ni una definición, ya que tanto los conceptos de tiempo y posición se deducen del movimiento mismo. Este cambio de posición en el tiempo es sólo una descripción del movimiento. Aún así, la descripción es útil, puesto que permite una elevada precisión, como descubriremos mediante la exploración de la gravitación y de la electrodinámica. Después de todo, la precisión es nuestro principio rector durante este paseo. Además la descripción detallada de los cambios de posición tiene una denominación especial: se llama cinemática. La idea del cambio de posiciones implica que se puede seguir al objeto durante su movimiento. Esto no es obvio, en la sección sobre la teoría cuántica encontrará ejemplos en los que esto es imposible. Pero en la vida cotidiana, los objetos siempre pueden ser rastreados. El conjunto de todas las posiciones adoptadas por un objeto en el tiempo forma su trayecto o trayectoria. El origen de este concepto es evidente cuando uno observa los fuegos artificiales u otra vez la película que se obtiene del volteo rápido de las esquinas inferiores izquierdas a partir de la página 210. En la vida cotidiana, los animales y los seres humanos están de acuerdo con las propiedades euclidianas de la velocidad, el espacio y el tiempo. En particular, esto implica que una trayectoria se puede describir mediante la especificación de tres números, tres coordenadas (x, y, z) - una para cada dimensión - como funciones continuas de tiempo t. (Las funciones se definen en detalle más adelante.) Estas funciones generalmente se escriben como x = x(t) =(x(t), y(t), z(t)) (5) Por ejemplo, ya Galileo encontró, utilizando cronómetro y una regla, que la altura z de cualquier piedra lanzada o en caída libre cambia como z(t) = z0 + vz0 (t – t0) – ½ g(t-t0)2 (6) donde t0 es el tiempo en el que la caída comienza, z0 es la altura inicial, vZ0 es la velocidad inicial en la dirección vertical y g = 9,8 m/s2 es una constante que se encontró que era la misma, dentro de aproximadamente una parte en 300, para todos los cuerpos que caen sobre todos los puntos de la superficie de la Tierra. ¿De dónde vienen el valor 9,8 m/s2 y sus ligeras variaciones? Una respuesta preliminar se dará en breve, pero la elucidación completa nos ocupará durante la mayor parte de esta caminata. El caso especial sin velocidad inicial es de gran interés. Al igual que algunas personas antes que él, Galileo dejó claro que g es la misma para todos los cuerpos, si la resistencia del aire puede ser despreciada. Él tenía muchos argumentos en favor de esta conclusión, 52 Desafío 116 s. ¿Puede encontrar uno? Y, por supuesto, su famoso experimento en la torre inclinada de Pisa confirmó la declaración. (Es una falsa leyenda urbana que Galileo nunca realizó el experimento.) La ecuación (6), por lo tanto nos permite determinar la profundidad de un pozo, sabiendo el tiempo que tarda una piedra en llegar a su fondo. La ecuación también da la velocidad v con la que uno choca contra el suelo después de saltar de un árbol, a saber, v =√2 gh (7) Para una altura de 3 m se obtiene una velocidad de 27 km/h. La velocidad es por lo tanto proporcional sólo a la raíz cuadrada de la altura. Desafío 117 s ¿Significa esto que el fuerte temor de uno a una caída resulta de una sobreestimación de sus efectos reales? Galileo fue el primero en declarar un resultado primordial de la caída libre: los movimientos en las direcciones horizontal y vertical son independientes. Demostró que el tiempo que tarda en caer una bala de cañón que se dispara de forma exactamente horizontal es independiente de la fuerza de la pólvora, como se muestra en la Figura 44. Muchos grandes pensadores no estaban de acuerdo con esta afirmación, incluso después de su muerte: en 1658, la Academia del Cimento organizó un experimento para comprobar esta afirmación, mediante la comparación de la bala de cañón disparada horizontalmente a cierta altura con otra que simplemente cayó verticalmente desde la misma altura. Desafío 118 s. ¿Se imaginan cómo comprobaron la simultaneidad? La Figura 44 también muestra cómo se puede comprobar esto en casa. En este experimento, sea cual sea la compresión del muelle del cañoncito, los dos cuerpos siempre chocan en el aire (si la mesa es lo suficientemente alta), lo que demuestra la aserción. FIGURA 44 Dos modos de verificar que el tiempo de caída libre no depende de la velocidad horizontal. Dicho en otras palabras, una bala de cañón volando no se acelera en la dirección horizontal. Su movimiento horizontal es simplemente inmutable - siempre y cuando la resistencia del aire sea despreciable. Al extender la descripción de la ecuación (6) con las dos expresiones para las coordenadas horizontales X e Y, a saber, x(t) = x0 + vx0(t-t0) y(t) = y0 + vy0(t-t0) (8) resulta una descripción completa de la trayectoria seguida por los objetos cuando son lanzados. Un camino de esta forma se llama una parábola. Ésta se muestra en las Figuras 18, 44 y 45. (Una forma parabólica se utiliza también para los reflectores de luz en el interior linternas o los faros de los automóviles. Desafío 119 s ¿Puede demostrar por qué? Los físicos disfrutan generalizando la idea de trayectoria. Como muestra la Figura 45, una trayectoria es una huella dejada en un diagrama por un objeto en movimiento. Dependiendo de para qué se utilice el diagrama, estas trayectorias tienen nombres diferentes. - Los diagramas espacio-temporales son útiles para hacer que la teoría de la relatividad sea accesible. - El espacio de configuración* abarca las coordenadas de todas las partículas de un sistema. Para muchas partículas, tiene un alto número de dimensiones. Desempeña un papel importante en la auto-organización. La diferencia entre el caos y el orden se puede describir como una diferencia en las propiedades de trayectorias en el espacio de configuración. - Las Hodógrafas, trayectorias en el ‘espacio de velocidades’, se utilizan en la predicción del tiempo. * El espacio de configuración únicamente es igual al espacio real para una sola partícula. 53 - El diagrama de espacio de fase (cantidad de movimiento frente a velocidad) también llamado diagrama de estado del espacio. Desempeña un papel esencial en la termodinámica. FIGURA 45 Varios tipos de gráficos que describen la misma trayectoria de una piedra lanzada. LANZAMIENTO, SALTO Y TIRO La descripción cinemática del movimiento es útil para responder a toda una serie de preguntas. ** Desafío 120 s. ¿Cuál es el límite superior para el salto de longitud? El récord mundial de velocidad de 2008 muestra un pico de velocidad máxima en carrera de más de 12,5 m / s ≈ 45 km/h conseguido por Usain Bolt, y el del récord femenino de 1997 fue de 11m / s ≈ 40 kmh. Sin embargo, los mejores saltadores masculinos de longitud nunca van mucho más rápido que aproximadamente 9,5 m/s. ¿Cuánta distancia de salto adicional podrían lograr si pudiesen correr a toda velocidad? ¿Cómo iban a lograr eso? Además, los saltadores de longitud despegan en ángulo de aproximadamente 20 °, ya que no son capaces de lograr un ángulo superior a la velocidad a la que están corriendo. ¿Cuánto ganarían si podieran alcanzar 45 °? ¿Es 45 °, el ángulo óptimo? ∗∗ ¿Qué tienen en común los atletas Usain Bolt y Michael Johnson, los dos últimos poseedores del récord mundial en la carrera de 200 metros en el momento de escribir estas líneas? Eran altos, atléticos, y tenía muchas fibras de contracción rápida en los músculos. Estas propiedades les hacen buenos velocistas. Una última diferencia los hizo velocistas de clase mundial: tenían una espina aplanada, casi sin forma S. Esta condición anormal les ahorra un poco de tiempo a cada paso, debido a que su columna vertebral no tiene la flexibilidad de las personas normales. Esto les permite sobresalir en carreras de corta distancia. ∗∗ Los atletas mejoran continuamente los récords de velocidad. Los caballos de carreras no lo hacen. ¿Por qué? Para los caballos de carreras, el ritmo de respiración está relacionada con la marcha, para los humanos, no lo está. Como resultado, las caballos de carreras no pueden cambiar o mejorar su técnica, y la velocidad de los caballos de carreras es esencialmente la misma desde que se mide. ∗∗ ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por un lanzamiento humano de cualquier objeto? ¿Cuál es la distancia más larga alcanzada por un tiro humano? Como clarificaría las reglas? Compare los resultados con el récord de distancia con una ballesta, 1871, 8m, llevado a cabo en 1988 por Harry Drake, un récord de distancia con un arco de pie de 1854,4m, construido en 1971 también por Harry Drake, y un arco portátil, 1222,0 m, llevado a cabo en1987 por Don Brown. ** Desafío 121 s. ¿Cómo puede medirse la velocidad de la caída de la lluvia usando un paraguas? La respuesta es importante: el mismo método se puede utilizar también para medir la velocidad de la luz, como vamos a encontrar en el vol. II, página 17 más adelante. (¿Puede adivinar cómo?) 54 ∗∗ Desafío 122 ny. Cuando un bailarín salta en el aire, ¿cuántas veces puede él o ella girar alrededor de su eje vertical antes de llegar de nuevo a tierra? ** Desafío 123 s. Numerosas especies de orugas de polillas y de mariposas tiran lejos de sí su excremento para decirlo más crudamente: su mierda - para que su olor no ayude a los depredadores a localizarlos. Stanley Caveney y su equipo tomaron fotografías de este proceso. La Figura 46 muestra una oruga (amarillo) del género Calpodes ethlius dentro de una hoja verde enrollada sorprendida en el acto. Teniendo en cuenta que la distancia récord observado es 1,5 m (aunque de otra especie, Epargyreus Clarus), ¿cuál es la velocidad de eyección? ¿Cómo lo consiguen las orugas? ∗∗ Desafío 124 s. ¿Cuál es la distancia horizontal a que se puede llegar al tirar una piedra, dada la velocidad y el ángulo respecto a la horizontal con que se lanza? ** FIGURA 46 Tres imágenes superpuestas de una bolita de excremento expulsada por una oruga dentro de una hoja enrollada. (© Stanley Caveney). ** Desafío 125 s. ¿Cuál es el máximo número de pelotas que podrían mantenerse en el aire al hacer malabarismos al mismo tiempo? Esto está claro. En 2012, el registro humano es once bolas. Para los robots, el presente expediente (¿record?) es de tres bolas, interpretada por la internet Sarcoman robot. Internet está lleno de material y videos sobre el tema. Es un reto para las personas y los robots para llegar al máximo número posible de bolas. ∗∗ Desafío 126 s. ¿Es cierto que las gotas de lluvia matarían si no fuera por la resistencia del aire de la atmósfera? ¿Qué pasa con el granizo? ** Desafío 127 s ¿Son peligrosas las balas, disparadas al aire con una pistola, cuando caen hacia abajo? ** Desafío 128 s La Policía encuentra un cuerpo humano muerto en el fondo del acantilado, con una altura de 30 metros, a una distancia de 12 metros desde el acantilado. ¿Fue suicidio o asesinato? ** Desafío 129 s. Todos los animales terrestres, independientemente de su tamaño, lograr saltar alturas de a lo sumo 2,2 m, como se muestra en la Figura 47. La explicación de este hecho tiene sólo dos líneas. ¿Puede encontrarla? ** FIGURA 47 La altura alcanzada en el salto por animales terrestres. Las dos últimas cuestiones se plantean porque la ecuación (6), que describe la caída libre no se sostiene en todos los casos. Por ejemplo, las hojas o las patatas fritas no lo siguen. Como Galileo ya sabía, esto es una consecuencia de la resistencia del aire, lo discutiremos en breve. Debido a la resistencia del aire, el camino de una piedra no es una parábola. 55 Desafío 130 s. En realidad, hay otras situaciones en las que la trayectoria de caída de una piedra no es una parábola, incluso sin resistencia del aire. ¿Puede encontrar una? DISFRUTANDO DE VECTORES Las cantidades físicas con una dirección definida, tales como la velocidad, se describen con tres números, o tres componentes, y se denominan vectores. Aprender a calcular con tales cantidades de varios componentes es una habilidad importante para muchas ciencias. He aquí un resumen. Los vectores pueden ser representados por pequeñas flechas. Tenga en cuenta que los vectores no tienen puntos específicos en los que se inician: dos flechas con la misma dirección y la misma longitud son el mismo vector, incluso si comienzan en puntos diferentes en el espacio. Dado que los vectores se comportan como flechas, se pueden sumar y pueden ser multiplicados por números. Por ejemplo, estirar una flecha a = (ax, ay, az) un número de veces C corresponde, en notación de componentes, al vector ca = (cax , cay , caz). En un lenguaje matemático preciso, un vector es un elemento de un conjunto, llamado espacio vectorial, en el que cumplen las siguientes propiedades para todos los vectores a y b, y para todos los números c y d: c(a + b) = ca + cb , (c + d)a = ca + da , (cd)a = c(da) y 1a = a (9) Ejemplos de espacios vectoriales son el conjunto de todas las posiciones de un objeto o el conjunto de todas sus posibles velocidades. Desafío 131 s. ¿Forma el conjunto de todas las rotaciones un espacio vectorial? Desafío 132 e. Todos los espacios vectoriales permiten definir un vector nulo único y un vector negativo único para cada vector. En la mayoría de los espacios vectoriales de importancia en ciencia se puede introducir el concepto de longitud (especificando la 'magnitud'). Esto se hace a través de un paso intermedio, a saber, la introducción del producto escalar de dos vectores. El producto se llama 'escalar' porque su resultado es un escalar; un escalar es un número que es el mismo para todos los observadores, por ejemplo, es el mismo para observadores con diferentes orientaciones* * El producto escalar entre dos vectores a y b es un número que satisface. aa ≥ 0 , ab = ba , (a + a’)b = ab + a’b , a(b + b’) = ab + ab’󳰀 y (ca)b = a(cb) = c(ab) . (10) Esta definición de un producto escalar no es única; sin embargo es posible definir un producto escalar estándar. En la notación de coordenadas cartesianas, el producto escalar estándar está dada por ab = axbx + ayby + azbz . (11) Si el producto escalar de dos vectores es nulo, los dos vectores son ortogonales, forman un ángulo recto entre sí. Desafío 133 e. ¡Demuéstrelo! La longitud, magnitud, módulo o norma de un vector se puede definir como la raíz cuadrada del producto escalar de un vector por sí mismo: |A| = √A·A A menudo, y también en este texto, las longitudes están escritas en cursiva, mientras que los vectores se escriben en letras en negrita. Un espacio vectorial con un producto escalar se llama un espacio vectorial euclidiano. El producto escalar también es útil para especificar direcciones. De hecho, el producto escalar entre dos vectores codifica el ángulo entre ellos. Desafío 134 s. ¿Puede deducir esta importante relación? *Mencionemos que mientras en matemáticas, un escalar es un número, en la física, un escalar es un número invariable, es decir, un número que es el mismo para todos los observadores. Del mismo modo, en las matemáticas, un vector es un elemento de un espacio vectorial; en la física, un vector es un elemento invariante de un espacio vectorial, es decir, una cantidad cuyas coordenadas, cuando se observa por diferentes observadores, cambian como los componentes de la velocidad. 56 ¿QUÉ ES EL REPOSO? ¿QUÉ ES LA VELOCIDAD? En la descripción Galileana de la naturaleza, el movimiento y el reposo son opuestos. En otras palabras, un cuerpo está en reposo cuando su posición, es decir, sus coordenadas, no cambian con el tiempo. En otras palabras, el reposo (galileano) se define como x (t) = const. (12) Recordemos que x (t) es la abreviatura de las tres coordenadas (x (t), y (t), z (t)). Más adelante veremos que esta definición del reposo, contrariamente a nuestra primera impresión, no es de mucha utilidad y tendrá que ser ampliada. Sin embargo, cualquier definición de reposo implica que los objetos que no están en reposo se pueden distinguir mediante la comparación de la rapidez de su desplazamiento. Así podemos definir la velocidad v de un objeto como el cambio de su posición x en el tiempo t. Esto normalmente se escribe como v= dx dt (13) En esta expresión, válida para cada coordenada por separado, d / dt significa cambio con el tiempo. Por lo tanto, podemos decir que la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo. La velocidad v es el nombre dado a la magnitud de la velocidad v Así pues, tenemos v = √v·v. Las derivadas se escriben como fracciones con el fin de recordar al lector que se derivan de la idea de la pendiente. La expresión ds dt está tomada como una abreviación de lim Δ t →0 Δs Δt (14) es una forma abreviada de decir que la derivada en un punto es el límite de las pendientes de las secantes en el entorno del punto, como se muestra en la Figura 48. Esta definición implica las reglas de funcionamiento d (s +r ) ds dr = + dt dt dt ; d (cs) ds =c dt dt 2 ; d ds d s ( )= 2 dt dt dt ; d (sr ) ds dr (15) = r +s dt dt dt c es cualquier número. Esto es todo lo que uno siempre tiene que saber acerca de las derivadas. Las cantidades como dt y ds, a veces son útiles por sí mismas, se llaman diferenciales. FIGURA 48 La derivada en un punto como límite de secantes. Estos conceptos se deben a Gottfried Wilhelm Leibniz. * * Las derivadas se encuentran en la base de todos los cálculos basados en la continuidad del espacio y del tiempo. Leibniz fue la persona que hizo posible describir y utilizar la velocidad en las fórmulas físicas y, sobre todo, la aplicación a los cálculos de la idea de la velocidad en un punto dado en el tiempo o en el espacio. FIGURA 49 Gottfried Leibniz (1646–1716). . La definición de la velocidad presupone que tiene sentido tomar el límite Δ t → 0. Dicho de otro modo, se admite que existen intervalos de tiempo infinitamente pequeños en la naturaleza. La definición de la velocidad con derivadas sólo es *Gottfried Wilhelm Leibniz (n. 1646 Leipzig, d. 1716 Hannover), abogado sajón, físico, matemático, filósofo, diplomático e historiador. Fue una de las grandes mentes de la humanidad; él inventó el cálculo diferencial (antes que Newton) y publicó varios libros influyentes y exitosos en los diversos campos que exploró, entre ellos De arte combinatoria, Hipótesis physica nova, Discours de métaphysique, Nouveaux Essais sur l'humain entendement, la Teodicea y la Monadología. 57 posible porque el espacio y el tiempo son descritos por conjuntos que son continuos, o en lenguaje matemático, conexos y completos. En el resto de nuestro paseo no debemos olvidar que desde el nacimiento de la física clásica, los infinitos están presentes en su descripción de la naturaleza. Lo infinitamente pequeño es parte de nuestra definición de velocidad. De hecho, el cálculo diferencial se puede definir como el estudio de la infinitud y sus usos. De este modo descubrimos que la aparición del infinito no implica automáticamente que una descripción sea imposible o imprecisa. Con el fin de seguir siendo precisos, los físicos usan sólo dos de los más pequeños de los diversos tipos posibles de infinitos. Su definición precisa y una visión general de otros tipos se introducirán más adelante. La aparición de infinito en la descripción usual del movimiento fue criticada por primera vez por Zenón de Elea , discípulo de Parménides, en sus famosas paradojas sarcásticas (en torno al 445 aC). En su tercera paradoja, Zenón explica que, dado que en cada instante un objeto dado ocupa una parte del espacio que corresponde a su tamaño, la noción de la velocidad en un instante dado, no tiene sentido; provocadoramente concluye que, por tanto, el movimiento no existe. Hoy en día no podríamos llamar a esto una paradoja contra la existencia del movimiento, sino contra su descripción habitual en particular contra el uso del espacio y el tiempo infinitamente divisible. Desafío 136 e ¿Está de acuerdo? Sin embargo, la descripción criticada por Zenón en realidad funciona bastante bien en la vida cotidiana. La razón es simple pero profunda: en la vida cotidiana, los cambios son, en efecto continuos. Los grandes cambios en la naturaleza se componen de muchos pequeños cambios. La estructura de la naturaleza no es obvia. Por ejemplo, notamos que hemos asumido tácitamente que la trayectoria de un objeto no es un fractal o alguna otra entidad de apariencia compleja. En la vida cotidiana esto es correcto, pero en otros dominios de la naturaleza no lo es. La desconfianza de Zenón serán parcialmente rehabilitadas más adelante en nuestra caminata, y cada vez más a medida que más avancemos. La rehabilitación es sólo parcial, ya que la solución final será diferente de la que se entreveía, por otro lado, las dudas sobre la idea de "la velocidad instantánea en un punto' resultan ser fundadas. Por el momento, a pesar de todo, no tenemos otra opción: seguimos con la premisa básica de que los cambios en la naturaleza ocurren de manera continua. ¿Por qué es necesaria la velocidad como concepto indispensable? Porque con el objetivo de alcanzar precisión en la descripción del movimiento, tenemos que encontrar la lista completa de los aspectos necesarios para especificar el estado de un objeto. El concepto de velocidad está, obviamente, en esta lista. ACELERACIÓN Siguiendo en la misma línea, llamamos aceleración a de un cuerpo el cambio de la velocidad v con el tiempo, o d ⃗v d 2 ⃗x a= = 2 ⃗ dt dt (16) La aceleración es lo que sentimos cuando la tierra tiembla, cuando un avión despega, o cuando una bicicleta da la vuelta a una esquina. En la Tabla 13 se dan más ejemplos. Al igual que la velocidad, la aceleración tiene tanto una magnitud como una dirección, propiedades indicadas por el uso de negrita o de una flecha encima para sus abreviaturas como es habitual. En resumen, la aceleración, como la velocidad, es una magnitud vectorial. La aceleración se siente. En un coche usual, o una moto, podemos sentir que somos acelerados. (Estas aceleraciones son menores de 1 g y por lo tanto son inofensivas.) Sentimos la aceleración debido a que una parte de nosotros se mueve en contra de otra parte: la aceleración nos deforma. Esta parte móvil puede ser, por ejemplo, una pequeña parte dentro de nuestro oído (los sensores en los canales semicirculares del oído), el estómago o en el vientre, o simplemente nuestras extremidades contra nuestro tronco. Todos los sensores de aceleración, como son los que se enumeran en la Tabla 14 o los que se muestran en la Figura 50, sean biológicos o técnicos, funcionan de esta manera. Nuestro cuerpo se deforma y los sensores en nuestro cuerpo lo detectan, por ejemplo en los parques de atracciones. Aceleraciones más altas pueden tener efectos más fuertes. Por ejemplo, cuando una persona sentada se acelera en la dirección de la cabeza a dos o tres veces el valor de la aceleración gravitatoria 58 habitual, los ojos dejan de funcionar y la visión se nubla, porque la sangre no puede llegar al ojo. Entre 3 y 5 g de aceleración continua, o de 7 a 9 g de aceleración durante un corto tiempo, se pierde la consciencia, debido a que el cerebro no recibe suficiente sangre, y la sangre puede filtrarse en los pies o las piernas. Una alta aceleración de una persona sentada en la dirección hacia los pies puede conducir a accidentes cerebrovasculares hemorrágicos en el cerebro. Las personas con mayor riesgo son los pilotos de reactores; ellos tienen una ropa especial que envía aire a presión en zonas de los cuerpos de los pilotos para evitar la acumulación de sangre en los lugares equivocados. TABLA 13 Algunos valores medidos de aceleración. OBSERVACIÓN ¿Cuál es la más pequeña aceleración que puede encontrar ? Aceleración de la galaxia M.82 debida a su eyección de materia Aceleración de una joven estrella por un chorro interestelar ACELERACIÓN Desafío 137 s 10 fm/s2 10 pm/s2 Aceleración del Sol en su órbita alrededor de la Vía Lactea 0.2 nm/s2 Deceleración inexplicada (¿debido al equilibrio de a radiación de calor?) de los satélites Pioneer 0,8. nm/s2 La aceleración centrífuga en Ecuador debido a rotación de la Tierra 33 mm/s2 La aceleración de electrones en un cable eléctrico doméstico debido a la corriente alterna 50 mm/s2 Aceleración del metro(tren) más rápido 1.3 m/s2 Aceleración de la gravedad en la Luna 1.6 m/s2 Deceleración mínima de un coche, por ley, sobre asfalto seco 5,5 m/s2 Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra , dependiendo de su ubicación 9,8 ± 0.3 m/s2 Aceleración gravitacional Estándar 9,806 65 m/s2 La mayor aceleración para un coche o una moto con ruedas motorizadas 15 m/s2 Cohetes espaciales en el despegue de 20 a 90 m/s2 Aceleración del guepardo 32 m/s2 Aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter 25 m/s2 Mosca en vuelo ( Musca domestica) . c. 100 m/s2 Aceleración de la piedra lanzada. c. 120 m/s2 La aceleración desencadenada al dispararse los airbags de los coches 360 m/s2 La aceleración más rápida proporcionada por patas (la del afróforo , Philaenus spumarius , un insecto hemíptero) 4 km/s2 Una pelota de tenis contra la pared 0,1 Mm/s2 Aceleración de una bala en un fusil 2 Mm/s2 Centrifugadoras más rápidas 0,1 Gm/s2 Aceleración de protones en un gran acelerador de partículas 90 Tm/s2 Aceleración de protones dentro del núcleo 1031 m/s2 La mayor aceleración posible en la naturaleza 1052 m/s2 Desafío 138 s. ¿Puede pensar en una situación en la que uno se acelera, pero no lo siente? La velocidad es la derivada de la posición, la aceleración es la derivada segunda de la posición. Del mismo modo también se pueden definir de la misma manera derivadas de órdenes superiores a la aceleración. Desafío 139 s.. Estas añaden poco a la descripción de la naturaleza, porque - como mostraremos dentro de poco - ni estas derivadas de orden superior ni siquiera la aceleración misma son útiles para la descripción del estado de movimiento de un sistema. Uno de los objetivos del estudio del movimiento es encontrar una descripción completa y precisa tanto de los estados como de los objetos a la vez. Con la ayuda del concepto de espacio, la descripción de los objetos puede ser refinada considerablemente. En particular, sabemos por experiencia que todos los objetos que se observan en la vida cotidiana tienen una propiedad importante: pueden ser divididos en partes. A menudo, esta observación se expresa diciendo que todos los objetos o cuerpos, tienen dos propiedades. En primer lugar, que están hechos de materia,* definida como el aspecto de un objeto responsable de su impenetrabilidad, es decir, la propiedad que impide que dos objetos puedan encontrarse en el mismo lugar. En segundo lugar, los cuerpos tienen una cierta forma o figura, que se define como el modo preciso en que esta impenetrabilidad se distribuye en el espacio. 59 TABLA 14 Algunos sensores de aceleración . MEDIDA Dirección de la gravedad en las plantas (raíces, tronco, ramas, hojas) Dirección y valor de aceleración en mamíferos SENSOR RANGO estatolitos en las células 0 a 10 m/s2 las membranas en cada canal semicircular, y el utrículo y sáculo del oído interno 0 a 20 m/s2 Dirección y valor de aceleración en modernos contadores de pasos para excursonistas sensores piezoeléctricos 0 a 20 m/s2 Dirección y valor de la aceleración en el airbag de los coches sensores que usan cerámicas piezoeléctricas 0 a 2000 m/s2 OBJETOS Y PARTÍCULAS PUNTIFORMES Wenn ich den Gegenstand kenne, so kenne ich auch samtliche Moglichkeiten seines Vorkommens in Sachverhalten.* LudwigWittgenstein, Tractatus, 2.0123 * ‘Si conozco un objeto, entonces también conozco todas las posibilidades de su ocurrencia en los hechos atómicos » Con el fin de poder describir el movimiento tan fielmente como sea posible, es conveniente comenzar con los cuerpos más elementales posibles. En general, cuanto más pequeño es un cuerpo, más simple es. Un cuerpo que es tan pequeño que sus partes no necesitan forzosamente ser tenidas en cuenta se llama una partícula (el antiguo término corpúsculo, más antiguo, ha caído en desuso). FIGURA 50 Tres acelerómetros: un sensor piezoeléctrico de airbag de un solo eje, un acelerómetro capacitivo de tres ejes, y el utrículo y sáculo cerca de los tres canales semicirculares en el oído humano (© Bosch, Rieker Electrónica, Northwestern University). Así pues, las partículas son como pequeñas piedras idealizadas. El caso extremo, una partícula cuyo tamaño es insignificante en comparación con las dimensiones de su movimiento, de tal manera que su posición se describe completamente mediante una única terna de coordenadas, se denomina partícula puntual o masa puntual o punto masivo. En la ecuación (6), la piedra es asimilada a una partícula puntual. *** Materia es una palabra derivada de 'materia' del latín, que originalmente significaba «madera» y fue derivada a través de pasos intermedios de 'mater', que significa 'madre'. 60 Los objetos asimilados a puntos, es decir, los objetos más pequeños que cualquier cosa que podamos medir, ¿existen en la vida cotidiana? Sí y no. Los más notables ejemplos son las estrellas. Hoy día pueden medirse tamaños angulares tan pequeños como 2 μrad, un límite impuesto por las fluctuaciones del aire en la atmósfera. En el espacio, como ocurre con el telescopio Hubble, en órbita alrededor de la Tierra, el límite se debe al diámetro del telescopio y es del orden de 10 nrad. Prácticamente todas las estrellas vistas desde la Tierra son más pequeñas que esta resolución y son así efectivamente «comparables a puntos», incluso cuando son vistas a través de los más potentes telescopios. Como excepción a la regla general, el tamaño de un par de estrellas grandes y cercanas, de tipo gigante roja, se puede medir con instrumentos especiales. * Betelgeuse, el mayor de los dos hombros de Orión que se muestra en la Figura 51, Mira en Cetus, Antares en Scorpio, Aldebarán en Tauro y Sirius en Canis Major son ejemplos de estrellas cuyo tamaño se ha medido, todas están a sólo unos pocos años luz de la Tierra. Por supuesto, como el Sol, también el resto de las estrellas tienen un tamaño finito, pero no se puede probar esto mediante la medición de las dimensiones en las fotografías. Desafío 141 s ¿Es cierto? La diferencia entre 'puntual' y fuentes de tamaño finito se puede notar a simple vista: en la noche, las estrellas titilan, pero los planetas no lo hacen. Desafío 142 e. ¡Compruébelo! FIGURA 51 Orion en colores naturales (© Matthew Spinelli) y Betelgeuse (ESA, NASA). Una visualización hermosa se muestra en la Figura 52. Este efecto es debido a la turbulencia de aire. La turbulencia tiene un efecto sobre la mayor parte de las estrellas asimiladas a puntos porque desvía los rayos de luz en una pequeña cantidad. Por otro lado, la turbulencia del aire es demasiado débil para provocar el titileo de fuentes de tamaño angular más grande, tales como planetas o satélites artificiales, * porque la deflexión se promedia en este caso. Un objeto es puntiforme para el ojo desnudo si su tamaño angular es menor que aproximadamente 2’ = 0,6 mrad. * La página web www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/sowlist.html proporciona uns introducción a los diferentes tipos de estrellas.La www.astro.wisc.edu/~dolan/constellations ofrece información detallada e interesante sobre las constelaciones. Para una panorámica de los planetas, vea el bellísimo libro di Kenneth R Lang • & Charles A. Whitney, Vagabonds de l’espace – Exploration et découverte dans le système solaire, Springer Verlag, 1993. Imágenes sorprendentemente bellas de las estrellas se pueden encontrar en David Malin†•, A View of the Universe, Sky Publishing and Cambridge University Press, 1993. *Para una visión general de los planetas, ver el hermoso libro de K.R. Lang y C.A Whitney, vagabundos de l'espace - Exploración et découverte dans le système solaire, SpringerVerlag, 1993. Las más bellas imágenes de las estrellas se encuentran en D. Malin, Una Visión del Universo, Cielo editorial y Cambridge University Press, 1993. * Un satélite es un objeto que circunda un planeta, al igual que la Luna, un satélite artificial es un sistema puesto en órbita por los seres humanos,como los Sputnik. 61 Desafío 143 s ¿Puede estimar el tamaño de una partícula de polvo 'puntual'? Por cierto, un objeto es invisible a simple vista si es puntual y si su luminosidad, es decir, la intensidad de la luz que desde el objeto llega al ojo, está por debajo de un valor crítico. FIGURA 52 . Regulus y Marte, fotografiados con 10 segundos de tiempo de exposición, el 4 de junio de 2010 con una cámara tambaleante, muestran la diferencia entre una estrella puntual que centellea y un planeta extenso que no lo hace (© Jürgen Michelberger). FIGURA 52 b Una comparación de las dimensiones de la estrellas (© Dave Jarvis). Desafío 144 s. ¿Puede estimar si existen objetos artificiales visibles desde la Luna o desde el transbordador espacial? La anterior definición de "puntual" en la vida cotidiana es, obviamente engañosa. ¿Existen partículas reales que sean puntuales? De hecho, ¿es del todo posible demostrar que una partícula posea un tamaño nulo? Esta cuestión será central en la última parte de nuestra caminata. De la misma manera, tenemos que preguntar y comprobar si existen puntos en el espacio. Nuestro paseo nos llevará al resultado sorprendente de que todas las respuestas a estas preguntas son negativas. Desafío 145 s. ¿Se imagina por qué? No se desanime si usted encuentra difícil este tema, muchas mentes brillantes han tenido el mismo problema. Sin embargo, muchas partículas, como los electrones, los quarks o los fotones son consideradas puntuales a todos los efectos prácticos. Una vez que se sabe cómo describir el movimiento de partículas puntuales, 62 también se puede describir el movimiento de los cuerpos extensos, rígidos o deformables, asumiendo que están constituidos de partes. Este es el mismo enfoque que describir el movimiento de un animal en su conjunto mediante la combinación del movimiento de las diversas partes de su cuerpo. La descripción más simple, la aproximación continua, describe los cuerpos extensos como un conjunto infinito de partículas puntiformes. Esto nos permite entender y predecir el movimiento de la leche y de la miel, el movimiento del aire en los huracanes y del perfume en las habitaciones. El movimiento del fuego y todos los demás cuerpos gaseosos, la flexión del bambú bajo el viento, los cambios en la forma de un chicle, y el crecimiento de las plantas y de los animales también se pueden describir de esta manera. Una descripción más precisa respecto a la aproximación continua se dará más adelante. Sin embargo, todas las observaciones hasta el momento han confirmado que el movimiento de cuerpos voluminosos puede ser descrito con alta precisión como el resultado del movimiento de sus partes. Este enfoque nos guiará a través de los cinco primeros volúmenes de la ascensión a la Montaña. Sólo en el volumen final vamos a descubrir que, en una escala fundamental, esta descomposición es imposible. PATAS Y RUEDAS Las partes de un cuerpo determinan su forma. La forma es un aspecto importante de los cuerpos: entre otras cosas, nos dice cómo contarlos. En particular, los seres vivos están hechos siempre de un solo cuerpo. Esta no es una afirmación vacía: de este hecho se puede deducir que los animales no pueden tener ruedas o hélices, sino únicamente patas, aletas o alas. Desafío 146 s ¿Por qué? Los seres vivos tienen una sola superficie, en otras palabras, tienen la piel en una única pieza. Matemáticamente hablando, los animales son conexos. Esto, a menudo, se supone obvio, y se dice a menudo que la circulación sanguínea, los nervios y las conexiones linfáticas conectadas a una pieza giratoria se enredarían. Sin embargo, este argumento no es tan sencillo, ya que como la Figura 53 muestra, es posible, de hecho, girar un cuerpo de forma continua en relación a un segundo, sin que se enreden las conexiones. Desafío 147 s. ¿Puede encontrar un ejemplo de este tipo de movimiento en su propio cuerpo? ¿Es capaz de ver cómo varios cables pueden estar pegados al cuerpo giratorio de la figura sin obstaculizar la rotación? A pesar de la posibilidad de que los animales tengan partes rotatorias, el método de la Figura 53 todavía no se puede utilizar para hacer una rueda o una hélice que sean prácticas. Desafío 148 s ¿Puede ver por qué? La evolución no tuvo elección: tenía que evitar animales con partes que giraran alrededor de ejes. Esa es la razón por la que no existen hélices y ruedas en la naturaleza. Por supuesto, esta limitación no descarta que los cuerpos vivos se muevan por rotación como un conjunto: las rodadoras (arbustos espinosos de esos que se ven en los “westerns”), las semillas de varios árboles, ciertos insectos, diversas arañas, * algunos otros animales, los niños y los bailarines de vez en cuando se mueven rodando o girando como un todo. FIGURA 53 Cómo un objeto puede girar de forma continua sin enredar la conexión a un segundo objeto Los grandes cuerpos individuales, y por lo tanto todos los seres vivos, sólo pueden moverse mediante la deformación, un cambio de su forma: por lo tanto, se limitan a caminar, correr, rodar, gatear o agitar sus alas o sus aletas. Mover una pierna es una manera común de deformar un cuerpo. Ejemplos extremos de uso de las patas en la naturaleza se muestran en la Figura 54. El ejemplo más extremo está en las arañas rodantes - existen diferentes especies son las Cebrennus villosus - que viven en la arena en Marruecos. Utilizan sus patas para acelerar la rotación, pueden guiar la dirección de rotación e 63 incluso pueden rodar cuesta arriba 30 % - una hazaña que los humanos no son capaces de lograr. Películas sobre el rollo se pueden encontrar en www.bionik.tu-berlin.de. ** Caminar sobre el agua se muestra en la Figura 107; ejemplos de alas se dan más adelante, así como distintos tipos de deformaciones que permiten nadar en el agua. FIGURA 54 Patas y "ruedas" en los seres vivos: la erythrocephalus Aphistogoniulus milpiés rojo (15 cm de longitud corporal), un Gekko en una hoja de vidrio (15 cm de longitud corporal), una ameba Amoeba proteus (tamaño de 1 mm), el decemspinosa rodando Nannosquilla camarones (2 cm longitud del cuerpo, 1,5 revoluciones por segundo, hasta 2 m, puede incluso rodar laderas poco cuesta arriba) y la oruga rodando Pleurotya ruralis (sólo puede rodar cuesta abajo, para escapar de los depredadores), (© David Parks, Marcel Berendsen, Antonio Guillén, Robert completo, John Brackenbury / Science Photo Library). En contraste, los sistemas constituidos de varios cuerpos, tales como bicicletas, botes de pedal u otras máquinas, pueden desplazarse sin ningún cambio de la forma de sus componentes, permitiendo así el uso de ejes con ruedas, hélices u otros dispositivos giratorios. * En resumen, cada vez que se observa una construcción en la que una parte está girando continuamente (y sin el "cableado" de la Figura 53) sabemos inmediatamente que es un artefacto: es una máquina y no un ser vivo (pero construida por uno). Sin embargo, como tantas afirmaciones acerca de las criaturas vivientes, ésta también tiene excepciones. *La rodadura es también conocida por las arañas rueda de Namibia del género Carparachne; películas sobre su movimiento se pueden encontrar en Internet. * ** A pesar de la desventaja de no ser capaz de utilizar las piezas giratorias y de estar restringido a sólo una pieza, las construcciones móviles de la naturaleza, generalmente llamadas animales, a menudo superan a las máquinas construida por humanos. Como ejemplo, comparemos el tamaño de los sistemas de vuelo más pequeños construidos por la evolución con los construidos por los seres humanos. (Véase, por ejemplo, pixelito.reference.be.) Hay dos razones para esta discrepancia. En primer lugar, los sistemas de la naturaleza han integrado los sistemas de reparación y mantenimiento. En segundo lugar, la naturaleza puede construir grandes estructuras internas en recipientes con pequeñas aberturas. De hecho, la naturaleza es muy buena en lo que hace la gente cuando construye barcos de vela en el interior de botellas de vidrio. Desafío 149 s. El cuerpo humano está lleno de ejemplos de este tipo, ¿puedes nombrar unos pocos? 64 La distinción entre uno y dos cuerpos está mal definida si todo el sistema está hecho de sólo unas pocas moléculas lo que sucede claramente en el interior de las bacterias. Los organismos tales como Escherichia coli, la bien conocida bacteria huésped del intestino humano, o las bacterias de la familia de Salmonella, nadan todas usando flagelos. Los flagelos son filamentos finos, similares a pequeños pelos que sobresalen de la membrana celular. En la década de 1970 se demostró que cada flagelo que está hecho de una o unas pocas moléculas de largo con un diámetro de unas pocas decenas de nanómetros, gira, en realidad alrededor de su eje. Una bacteria es capaz de hacer girar sus flagelos a la vez en sentido horario y antihorario, puede alcanzar más de 1000 vueltas por segundo, y puede hacer girar todos sus flagelos en perfecta sincronización. (Estas ruedas son tan pequeñas que no necesitan una conexión mecánica. la Figura 56 muestra una serie de modelos a motor encontrados en las bacterias. El movimiento y la construcción de estas estructuras increíbles se muestran con más detalle en las películas de las Figuras 57). En síntesis, las ruedas existen efectivamente en los seres vivos, aunque sólo en los muy pequeños. El crecimiento y el movimiento de estas ruedas son maravillas de la naturaleza. Las ruedas macroscópicas no son posibles en los seres vivos, incluso si el movimiento de rodadura lo es. Pero continuemos ahora con nuestro estudio de objetos ordinarios. FIGURA 54-bis Dos de las raras formas de la vida que son capaces de rodar cuesta arriba también en pendientes pronunciadas: la araña del desierto de villosus Cebrennus y Homo sapiens (© Ingo Rechenberg, Karva Javi). CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS RETOS SOBRE LA CINEMÁTICA Desafío 150 s. ¿Cuál es la mayor rueda que jamás se ha hecho? ∗∗ Desafío 151 s Un balón de fútbol es disparado, por un portero, con alrededor de 30 m / s. Calcular la distancia que debe volar y compararlo con las distancias que se encuentran en un partido de fútbol. ¿De dónde viene la diferencia? ∗∗ Desafío 152 e. Un tren comienza a viajar a una velocidad constante de 10 m / s entre dos ciudades A y B, a 36 kilómetros de distancia una de otra. Al tren el viaje le llevará una hora. Al mismo tiempo que el tren, una rápida paloma empieza a volar de A a B, a 20 m / s. Al ser más rápida que el tren, la paloma llega a B primero. La paloma y luego vuela de regreso hacia A, cuando se encuentra con el tren, que se vuelve de nuevo, a la ciudad de B. Continúa volando hacia atrás y adelante hasta que el tren llega a B. ¿Qué distancia recorrió la paloma? ** Desafío 153 e. Equilibre un lápiz verticalmente (¡con la punta hacia arriba!) en un pedazo de papel cerca del borde de una mesa. ¿Cómo se puede sacar el papel sin dejar que el lápiz caiga? 65 ** FIGURA 54-c Algunos tipos de motores flagelares encuentran en la naturaleza; Se toman fotos desde cryotomography, con todas las barras de escala del amarillo de 10 nm (© S. Chen & l., EMBO Journal, Wiley & Sons). ** El nivel de aceleración al que un ser humano puede sobrevivir depende de la duración a la que el sujeto se somete a ella. Por una décima de segundo, es aceptable 30 g = 300 m/s2, la generada por un asiento eyector en un avión. (Parece que la aceleración récord un ser humano ha sobrevivido es de aproximadamente 80 g = 800m/s2.) Sin embargo, como regla general, se dice que las aceleraciones de 15 g = 150 m/s2 o más son fatales. ∗∗ FIGURA 54 d El movimiento de rotación de un flagelo bacteriano , y su inversión (QuickTime film © Osaka University). 66 FIGURA 54 e. El crecimiento de un flagelo bactérico que muestra el montaje molecular (QuickTime film © OsakaUniversity). FIGURA 55 ¿Son los cometas, como el hermoso cometa McNaught vistos en 2007, imágenes o cuerpos? ¿Cómo se puede demostrarlo? (¿Y por qué se curva la cola?) (© Robert McNaught) Desafío 154 e. Un vuelo en avión de ida y vuelta- desde el punto A a B y de vuelta de B a A - ¿es más rápido si sopla el viento o si no lo hace? ∗∗ Las mayores aceleraciones microscópicas se observan en las colisiones de partículas, donde se tienen valores de hasta 1035 m/s2. Las mayores aceleraciones macroscópicas encuentran probablemente en el interior de las supernovas cuando colapsan, las supernovas son explosiones de estrellas que pueden ser tan brillantes como para ser visibles en el cielo incluso durante el día. Un candidato en la Tierra es el colapso de burbujas en el interior de los líquidos, un proceso llamado cavitación. La Cavitación a menudo produce luz, un efecto descubierto por Frenzel y Schultes en 1934 y llamado sonoluminiscencia. (Véase la Figura 56.) Al parecer, lo más prominente cuando las burbujas de aire en el agua se expanden y se contraen por altavoces bajo el agua en torno a 30 kHz y permite mediciones precisas de movimiento de la burbuja. En un cierto umbral de intensidad, la burbuja cambia de radio a 1500 m / s en tan poco como unos pocos μm, dando una aceleración de alrededor de 1011 m/s2. 67 ∗∗ Las patas son fáciles de construir. La Naturaleza incluso ha producido un milpiés, Illacme plenipes, que dispone de 750 patas. El animal tiene de 3 a 4 cm de largo y 0,5 mm de ancho. Este parece ser el récord hasta la fecha. En contraste con su nombre, el milpiés en realidad no tiene mil patas. FIGURA 56 Observación de sonoluminiscencia (© Detlev Lohse). RESUMEN DE CINEMÁTICA La descripción del movimiento cotidiano de puntos de masa con tres coordenadas como (x (t), y (t), z (t)) es simple, precisa y completa. Se supone que los objetos pueden ser seguidos a lo largo de sus trayectorias. Por lo tanto, la descripción a menudo no funciona para un caso importante: el movimiento de las imágenes. 68 CAPÍTULO 4 DE LOS OBJETOS E IMÁGENES A LA CONSERVACIÓN C aminando a través de un bosque observamos dos tipos muy diferentes de movimiento: Vemos que la brisa bambolea las hojas, y, al mismo tiempo, en el suelo, vemos el movimiento de sus sombras. Las sombras son un tipo simple de imágenes. Tanto los objetos como las imágenes, son capaces de moverse, ambos cambian de posición con el tiempo. Unos tigres corriendo, unos copos de nieve que caen y el material expulsado por los volcanes son ejemplos de movimientos, pero también la sombra que sigue a nuestro cuerpo, el haz de luz circundando la torre de un faro en una noche brumosa, y el arco iris que se mantiene constantemente a la misma distancia aparente de nosotros son igualmente ejemplos de movimientos. Ambos, objetos e imágenes, difieren de su entorno en que tienen límites que definen su tamaño y forma. Pero todos los que han visto alguna vez unos dibujos animados saben que las imágenes se pueden mover de una manera más sorprendente que los objetos. Las imágenes pueden cambiar de tamaño y forma, pueden incluso cambiar de color, una hazaña que sólo unos pocos objetos son capaces de realizar. * * Las imágenes pueden aparecer y desaparecer sin dejar rastro, se multiplican, se interpenetran, van hacia atrás en el tiempo y desafían la gravedad o cualquier otra fuerza. Las imágenes, incluso las sombras ordinarias, pueden moverse más rápido que la luz. Las imágenes pueden flotar en el espacio y mantener la misma distancia en comparación con los objetos que se aproximan. Los objetos no pueden hacer casi nada de esto. En general, las "leyes de la física de dibujos animados” son bastante diferentes de los de la naturaleza. De hecho, el movimiento de las imágenes no parece seguir ninguna regla, en contraste con el movimiento de los objetos. Sentimos la necesidad de criterios precisos, que permitan distinguir estos dos casos. Para establecer una clara distinción entre las imágenes y los objetos utilizamos el mismo método que usan los niños o los animales cuando están de pie delante de un espejo por primera vez: tratar de tocar lo que ven. En realidad, si somos capaces de tocar lo que vemos -o más precisamente, si somos capaces de desplazarlolo llamamos un objeto, en caso contrario, una imagen**. Las imágenes no se pueden palpar, mientras que los objetos sí. Las imágenes no se pueden golpear entre sí, los objetos sí pueden serlo. Y como todo el mundo sabe, tocar algo significa sentir que se resiste al movimiento. Algunos organismos, como las mariposas, oponen poca resistencia y se mueven con facilidad, otros, como los barcos, se resisten más, y son desplazados con más dificultad. Esta resistencia al movimiento -o más precisamente, al cambio de movimiento - se llama inercia, y la dificultad con la que un cuerpo se puede mover se llama su masa (inercial). Las imágenes no tienen ni inercia ni masa. En conclusión, para la descripción del movimiento hay que distinguir los cuerpos, que pueden ser tocados y que son impenetrables, de las imágenes, que ni se pueden tocar ni son impenetrables. Todo lo visible es o ** Excluyendo cambios muy lentos, como el cambio de color de las hojas en el otoño, en la naturaleza sólo ciertos cristales, el pulpo y otros cefalópodos, el camaleón y algunos otros animales lo logran. De los objetos hechos por el hombre, la televisión, las pantallas de ordenador, los objetos calientes y ciertos láseres pueden hacerlo. Desafío 155 s. ¿Sabe usted más ejemplos? Una excelente fuente de información sobre el tema del color es el libro de K. Nassau, La física y la química del color - las quince causas de color, J. Wiley & Sons, 1983. En el dominio de la ciencia popular, el libro más hermoso es el trabajo clásico por el astrónomo flamenco Marcel GJ Min naert, Luz y color en el aire libre, Springer, 1993, una versión actualizada basada en su serie de libros maravillosos, De natuurkunde van 't vrije veld, Thieme & Cie, 1937. Su lectura es una necesidad para todos los científicos naturales. En la web, también es el - simple, pero excelente sitio web - webexhibits.org / causesofcolour. ** Se podría proponer que incluye el requisito de que los objetos pueden rotar, sin embargo, este requisito, sorprendentemente, da dificultades en el caso de los átomos, como se explica en la página 77 en el Volumen IV. 69 bien un objeto o bien una imagen, no hay ninguna tercera posibilidad. Desafío 156 s. ¿Está de acuerdo? Si el objeto está tan lejos que no se puede tocar, como una estrella o un cometa, puede ser difícil determinar si uno está tratando con una imagen o un objeto; nos encontraremos con esta espinosa dificultad en repetidas ocasiones . Desafío 157 s. Por ejemplo, ¿cómo demostraría usted que los cometas -como el bello ejemplo de la Figura 55- son objetos y no imágenes, como Galileo (falsamente) sostiene? De la misma manera que los objetos están hechos de materia, las imágenes están hechas de radiación. Las imágenes son el dominio del teatro de sombras, del cine, de la televisión, de la infografía, de los sistemas de creencias y de los expertos en drogas. Las fotografías, las películas cinematográficas, los fantasmas, los ángeles, los sueños y muchas alucinaciones son imágenes (a veces, junto con una disfunción cerebral). Para entender las imágenes, tenemos que estudiar la radiación (y además, el ojo y el cerebro). Sin embargo, debido a la importancia de los objetos -después de todo, nosotros mismos somos objetos- estudiaremos estos últimos primero. MOVIMIENTO Y CONTACTO. Demócrito afirma que sólo hay un tipo de movimiento: el que resulta de la colisión. Aetius, Opiniones. Cuando un niño monta un monociclo, él o ella hace uso de una regla general en nuestro universo: un cuerpo que actúa sobre otro lo pone en movimiento. De hecho, en unas seis horas, todo el mundo puede aprender a montar y disfrutar de un monociclo. Al igual que en todos los placeres de la vida, como los juguetes, los animales, las mujeres o los hombres, las máquinas, los niños, el mar, el viento, el cine, los juegos malabares, el senderismo y hacer el amor, algo empuja algo. Así, nuestro primer reto es el de describir esta transferencia de movimiento en términos más precisos. FIGURA 57 ¿En qué dirección gira la bicicleta? El contacto no es la única forma de poner algo en movimiento: una manzana que cae de un árbol o un imán que atrae a otro son contra-ejemplos. Las influencias a distancia, sin contacto, son más fascinantes: no hay nada oculto y, sin embargo, algo misterioso sucede. El movimiento por contacto parece más fácil de entender, y es por eso que por lo general se comienza con él. No obstante, a pesar de esta elección, las fuerzas sin contacto no son fáciles de evitar. A la luz de esta elección vamos a hacer una experiencia similar a la de todos los ciclistas. (Ver Figura 57). Si usted rueda en una bicicleta a una velocidad suficientemente elevada y tratar de girar a la izquierda, empujando la empuñadura derecha del manillar, se gira a la derecha. Por cierto, este efecto sorprendente, también conocido por los motociclistas, obviamente sólo funciona por encima de una cierta velocidad mínima. Desafío 158 s ¿Puede Vd. determinar qué velocidad es esa? ¡Tenga cuidado! un impulso demasiado fuerte le hará caer. Algo similar nos ocurrirá a nosotros también, a pesar de nuestra elección del movimiento por contacto, el resto de nuestra caminata nos obligará a estudiar las interacciones sin contacto. FIGURA 58 Las Colisiones definen las masas. 70 ¿QUÉ ES LA MASA? Δός μοί (φησι) ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν. Da ubi consistam, et terram movebo.** Arquímedes Dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra. Cuando empujamos algo con lo que no estamos familiarizados, por ejemplo, cuando golpeamos un objeto en la calle, automáticamente prestamos atención a la misma noción que los niños exploran cuando por primera vez están de pie delante de un espejo, o cuando por primera vez ven el punto rojo de un láser. Analizamos si la entidad desconocida puede ser empujada o atrapada, y prestamos atención a la forma en que el objeto desconocido reacciona bajo nuestra influencia. Una versión de alta precisión de este experimento se muestra en la Figura 58. Repitiendo el experimento con diversos pares de objetos, encontramos -como en la vida cotidiana- que se puede atribuir una cantidad fija mi a cada objeto i, determinada por la relación m2 Δv =− 1 m1 Δ v2 donde Δv es el cambio de la velocidad producido por la colisión. Cuanto más díficil sea mover un objeto, mayor es el número. El número mi se llama la masa del objeto i. FIGURA 59 El kilogramo estándar (© BIPM). Con el fin de manipular valores de masa que sean comunes a todo el mundo, el valor de la masa de un objeto seleccionado en particular tiene que ser fijado por anticipado. Este objeto especial, que se muestra en la Figura 59, se llama el kilogramo estándar y se mantiene con mucho cuidado en un recipiente de vidrio en Sèvres, cerca de París. El kilogramo patrón se toca sólo una vez cada pocos años, porque de lo contrario el polvo, la humedad, o los rasguños cambiarían su masa. Por cierto, el kilogramo estándar no se mantiene bajo vacío, porque esto daría lugar a la liberación de gases y por lo tanto a cambios en su masa. Gracias a este kilogramo estándar podemos determinar el valor de la masa de todos los demás objetos en el mundo. FIGURA 60 Antoine Lavoisier (1743–1794) y su esposa. Así, la masa cuantifica la dificultad de conseguir que algo se mueva. Las masas grandes son más difíciles de desplazar que las masas pequeñas. Obviamente, sólo los objetos tienen masa; las imágenes no tienen. (Por cierto, la palabra «masa» se deriva, a través del latín, del griego μαζα - pan - o del hebreo «mazza», pan sin levadura (ázimo). Ese es un bello cambio en el significado). Los experimentos con objetos de la vida cotidiana también muestran que a lo largo de una colisión, la suma de todas las masas se conserva: Σ mi = cte. (18) * Arquímedes (c. 283-212), científico e ingeniero griego. Esta frase se le atribuye por Pappus. Ya Arquímedes sabía que la distinción utilizada por los abogados entre los bienes muebles e inmuebles no tenía sentido. * Antoine-Laurent Lavoisier (1743–1794), Químico francés y un genio. Lavoisier fue el primero en comprender que la combustión es una reacción con el oxígeno; descubrió los componentes del agua e introdujo medidas de la masa en la química. Hay una buena, pero muy probablemente falsa historia sobre él: Cuando fue (injustamente) condenado a la guillotina durante la Revolución Francesa, decidió utilizar la situación para un experimento científico. Se trataría de abrir y cerrar los ojos con tanta frecuencia como fuera posible después de que su cabeza fuese cortada, con el fin de mostrar a los demás cuánto tiempo se tarda en perder la conciencia. Lavoisier consiguió parpadear once veces. No está claro si la historia es verdadera o no. Se sabe, sin embargo, que podría ser verdad. De hecho, si un decapitado no sufre dolor o descarga eléctrica, puede permanecer consciente durante un máximo de medio minuto. 71 El principio de conservación de la masa fue establecido por primera vez por Antoine-Laurent Lavoisier. ** La conservación de la masa también implica que la masa de un sistema compuesto es la suma de la masa de los componentes. En resumen, la masa galileana es una medida de la cantidad de materia. En un famoso experimento en el siglo XVI, durante varias semanas Santorio Santorio (Sanctorius) (15611636), amigo de Galileo, vivió con todo su suministro de comida y bebida, y también con su baño, en una gran balanza. Quería probar la conservación de la masa. Desafío 159 s. ¿Cuál fue el cambio de peso medido con el tiempo? CANTIDAD DE MOVIMIENTO (O MOMENTO LINEAL) Y MASA La definición de la masa puede ser formulada también de otra manera. Podemos atribuir un número mi a cada objeto i tal que, en una colisión libre de interferencias externas, la siguiente suma permanezca invariante a lo largo de la colisión: (19) ∑ mi · v i=cte . El producto de la velocidad vi y la masa mi se llama el momento lineal o cantidad de movimiento del cuerpo.* La suma o cantidad de movimiento total del sistema, es la misma antes y después de la colisión; la cantidad de movimiento es una cantidad conservada. • La conservación de la cantidad de movimiento define la masa. Los dos principios de conservación (18) y (19), fueron expresados por primera vez en esta forma por el importante físico holandés Christiaan Huygens. ** La cantidad de movimiento y la masa se conservan en el movimiento cotidiano de los objetos. Ninguna cantidad semejante se puede definir para el movimiento de las imágenes. FIGURA 61 Christiaan Huygens (1629–1695). Algunos valores típicos de cantidad de movimiento se dan en la Tabla 15. La conservación de la cantidad de movimiento implica que cuando una bola en movimiento impacta con otra de la misma masa en reposo y sin pérdida de energía, una regla simple determina el ángulo entre las direcciones que las dos bolas toman después de la colisión. Desafío 160 s. ¿Puede encontrar esa regla que es particularmente útil cuando se juega al billar? Averiguaremos más tarde que no es válida en la relatividad especial. Otra consecuencia de la conservación de la cantidad de movimiento se muestra en la Figura 62: un hombre está acostado en una cama de clavos con un gran bloque de hormigón sobre su estómago. Otro hombre golpea el bloque con un martillo pesado. A medida que el impacto es absorbido principalmente por el hormigón, no hay dolor y no hay peligro - a menos que el hormigón se deshaga. Desafío 161 s. ¿Por qué? FIGURA 62 ¿Es esto peligroso? * El término inglés es momentum, y para distinguirlo del momento de una fuerza (par, a veces en Hispanoamérica, torque), en español se le añade el adjetivo lineal. En francés y en italiano se usa siempre, y en español muy frecuentemente para evitar confusiones, la expresión «cantidad de movimiento ». No debería confundirse el término con impulso (en inglés, impulse), pues este último es la integral de la fuerza en función del tiempo. Por abuso del lenguaje, en las secciones de relatividad se hablará del «tensor impulso-energía» cuando en rigor deberíamos decir «tensor energía-cantidad de movimiento» * *Christiaan Huygens (n. 1629 's Gravenhage, d. 1695 Hofwyck) fue uno de los principales físicos y matemáticos de su época. Huygens aclaró los conceptos de la mecánica; También fue uno de los primeros en demostrar que la luz es una onda. Escribió libros influyentes en la teoría de la probabilidad, mecanismos de relojería, óptica y astronomía. Entre otros logros, Huygens demostró que la nebulosa de Orión se compone de estrellas, descubrió Titán, la luna de Saturno, y demostró que los anillos de Saturno consisten en roca. (Esto está en contraste con el mismo Saturno, cuya densidad es menor que la del agua.) 72 La definición precedente de masa ha sido generalizada por el físico y filósofo Ernst Mach * de tal manera que permanece válida incluso si los dos objetos interactúan sin contacto, siempre y cuando lo hagan a lo largo de la línea que conecta sus posiciones. La relación de masa entre dos cuerpos se define como una relación negativa inversa de sus aceleraciones, así pues m2 a1 =− m1 a2 (20) TABLA 15 Algunos de los valores medidos de la cantidad de movimiento. OBSERVACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO Imágenes 0 Cantidad de movimiento de un fotón de color verde 1,2 ⋅ 10−27 Ns Cantidad de movimiento promedio de la molécula de oxígeno en el aire 10−26 Ns Cantidad de movimiento de un fotón de rayos X 10−23 Ns Cantidad de movimiento de un fotón γ 10−17 Ns Mayor momento lineal de partículas en los aceleradores de partículas 1 fNs Mayor cantidad de movimiento posible de una sola partícula elemental – cantidad de movimiento de Planck 6,5 Ns Bola de billar rápida 3 Ns Bala de fusil volando 10 Ns Puñetazo en boxeo 15 a 50 Ns Humano caminando confortablemente 80 Ns Zarpazo de un león KNs Golpe de la cola de una ballena KNs Coche en autopista 40 kNs Impacto de meteorito con 2 km diámetro 100 TNs Momento de una galaxia en colisión con otra galaxia hasta 1046 Ns donde a es la aceleración de cada cuerpo durante la interacción. Esta definición ha sido estudiada con gran detalle en la comunidad de la física, sobre todo en el siglo XIX. Algunos puntos resumen estos resultados: • La definición de masa implica la conservación de la cantidad de movimiento total Σm·v. La conservación de la cantidad de movimiento no es un principio independiente. La conservación de la cantidad de movimiento no se puede comprobar experimentalmente, porque la masa se define de tal manera que el principio pueda ser formulado. • La definición de masa implica la igualdad de los productos m1a1 y-m2·a2. Tales productos se denominan fuerzas. La igualdad de fuerzas de acción y reacción no es un principio independiente; las masas se define de tal manera que el principio pueda ser formulado. • La definición de la masa es independiente de si hay o no contacto, y si el origen de las aceleraciones es debido a la electricidad, la gravitación, u otras interacciones. Dado que la interacción no entra en la definición de masa, los valores de masa definidos con la ayuda de la interacción eléctrica, nuclear o **Ernst Mach (1838 Chrlice-1916 Vaterstetten), físico y filósofo austriaco. La unidad mach de velocidad del avión como un múltiplo de la velocidad del sonido en el aire (aproximadamente 0,3 km / s) se llama así en su honor. Desarrolló el denominado interferómetro de Mach-Zehnder; también estudió la base de la mecánica. Sus pensamientos sobre la masa y la inercia influyeron en el desarrollo de la relatividad general, y dieron lugar al principio de Mach, que aparecerá más adelante. También tuvo el orgullo de ser el último científico en negar - con humor, y en contra de toda la evidencia - la existencia de los átomos. 73 gravitacional están todos en concordancia, siempre y cuando la cantidad de movimiento se conserve. Todas las interacciones conocidas conservan la cantidad de movimiento. Por algunas razones históricas desafortunadas, el valor de la masa medida con las interacciones eléctricas o nucleares se llama masa «inercial» y la masa que se mide usando la gravedad se llama la masa «gravitacional». Como resultado, esta distinción artificial no tiene ningún significado intrínseco real; esto se hace especialmente evidente cuando se tiene un punto de observación que está muy lejos de todos los cuerpos en cuestión. * • La definición de la masa requiere observadores en reposo o en movimiento inercial. Al medir las masas de los cuerpos que nos rodean, podemos explorar la ciencia y el arte de la experimentación. Una visión general de los dispositivos se da en la Tabla 18 y la Figura 63. Algunos resultados de la medición se muestran en la Tabla 16. También descubriremos las principales propiedades de la masa. Es aditiva en la vida cotidiana, de modo que la masa de dos cuerpos combinados es igual a la suma de las dos masas separadas. Además, la masa es continua; porque aparentemente puede tomar cualquier valor positivo. Por último, la masa se conserva; la masa de un sistema, que se define como la suma de la masa de todos los componentes, no cambia con el tiempo si el sistema se mantiene aislado del resto del universo. La masa no sólo se conserva en las colisiones, sino también durante la fusión, la evaporación, la digestión y todos los demás procesos de transformación. Más tarde nos daremos cuenta de que en el caso de la masa todas estas propiedades, que se resumen en el Cuadro 17, sólo son aproximadas. Experimentos exactos muestran que ninguna de ellas es correcta. ** Por el momento, continuaremos con nuestra concepción actual, el concepto galileano de la masa, aún no disponemos de uno mejor para ponerlo a nuestra disposición. La definición de la masa a través de la conservación de la cantidad de movimiento implica que cuando un objeto cae, la Tierra se acelera hacia arriba una pequeña cantidad. Si se pudiera medir esta minúscula cantidad, se podría determinar la masa de la Tierra. Desafortunadamente, esta medida es imposible de realizar. Desafío 163 s. ¿Puede encontrar una mejor manera de determinar la masa de la Tierra? Como la Tabla 17 resume, la masa de un cuerpo es descrita con más precisión por un número real positivo, a menudo abreviado m o M. Esto es una consecuencia directa de la impenetrabilidad de la materia. De hecho, una masa negativa (inercial) querría decir que tal cuerpo se movería en la dirección opuesta de cualquier fuerza o aceleración que se le aplique. Este cuerpo no podía ser guardado en una caja, sino que buscaría romper cualquier pared que tratara de detenerlo. Por extraño que parezca, los cuerpos de masa negativa aún caerían hacia abajo en el campo de una masa grande y positiva (aunque más lentamente que una masa positiva equivalente). Desafío 164 e. ¿Es capaz de confirmar este hecho? Desafío 165 e. Por el contrario, un pequeño objeto de masa positiva flotaría lejos de un cuerpo voluminoso de masa negativa, como se puede deducir fácilmente comparando las diversas aceleraciones implicadas. Una masa positiva y una negativa del mismo valor pueden estar a una distancia constante y espontáneamente acelerar a lo largo de la línea que conecta las dos masas. Tenga en cuenta que tanto la energía como la cantidad de movimiento se conservan en todas estas situaciones. * Nunca han sido observados cuerpos de masa-negativa. La antimateria, que se discutirá más adelante, también tiene masa positiva. * Como se mencionó anteriormente, sólo las fuerzas centrales que obedecen a la relación (20) se utilizan para definir la masa. Fuerzas centrales actúan entre los centros de masa de los cuerpos. Daremos una definición precisa más adelante. Sin embargo, puesto que todas las fuerzas fundamentales son centrales, esto no es una restricción. Parece que hay una notable excepción: el magnetismo. Desafío 162 s. ¿Es la definición de masa válida en este caso? **En particular, con el fin de definir la masa debemos ser capaces de distinguir los cuerpos. Esto parece un requisito trivial, pero nos encontramos con que esto no siempre es posible en la naturaleza. *** Para los curiosos, lean R. H. P§.hu, Negative mass can be positively amusing, American Journal of Physics 61, pp. 216–217, 1993. Partículas de masa negativa encerradas en una caja calentarían esta caja de masa positiva y acelerarían, es decir, perderían energía al mismo tiempo, permitiéndonos concebir un móvil perpetuo de segunda especie, es decir un dispositivo que contradiría el segundo principio de la termodinámica. Además, tal sistema no tendría equilibrio termodinámico porque su energía podría disminuir indefinidamente. Cuanto más reflexionamos sobre las masas negativas, más propiedades extrañas encontramos que contradicen las observaciones. Desafío 167 s. Por otra parte, ¿cuál es el rango de posibles valores de masa para los taquiones ? 74 TABLA 16 Algunos valores medidos de masa. OBSERVACIÓN MASA Probablemente el objeto más ligero conocido: neutrino c. 2⋅10−36 kg Aumento de masa debido a la absorción de un fotón verde 4,1⋅10−36 kg El objeto cargado más ligero conocido: electrón 9,109 381 88(72) ⋅ 10−31 kg Átomo de argón 39,962 383 123(3) u = 66.359 1(1) yg Objeto más ligero jamás pesado (una partícula de oro) 0,39 ag Humano en su edad más temprana (óvulo fecundado) 10−8 g Agua adsorbida sobre un peso de metal de un kilogramo 10−5 g Masa de Planck 2,2⋅10−5 g Huella dactilar 10−4 g Hormiga típica 10−4 g Gota de agua 1 mg Abeja melífera, Apis mellifera 0.1 g Moneda de un Euro 7.5 g Ballena azul, Balaenoptera musculus 180 Mg Los más pesados seres vivos, como el hongo Armillaria ostoyae o una gran Sequoia Sequoiadendron giganteum 106 kg Tren más pesado jamás fabricado 99,7⋅106 kg Mayor buque de alta mar 400⋅106 kg El objeto más grande movido por el hombre (una enorme plataforma de gas) 687,5⋅106 kg Mayor iceberg antártico 1015 kg Agua sobre la Tierra 1021 kg Masa de la Tierra 5,98⋅1024 kg Masa Solar 2,0⋅1030 kg Masa visible de nuestra galaxia 3⋅1041 kg Masa total estimada de nuestra galaxia 2⋅1042 kg Supercluster de Virgo 2⋅1046 kg Masa Total visible en el universo 1054 kg ¿ES EL MOVIMIENTO ETERNO? - LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO Todo cuerpo continúa en el estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, salvo en la la medida en que no lo hace. Arthur Eddington* El producto p = m·v de la masa de una partícula por su velocidad se llama momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula (a veces, no del todo correctamente, impulso). Describe la tendencia de un objeto a persistir en su movimiento durante las colisiones. Cuanto más grande es, más difícil es detener el **Arthur Eddington (1882–1944), astrofísico británico. 75 objeto. Al igual que la velocidad, el momento lineal tiene una dirección y una magnitud: es un vector. En francés, el impulso se llama "cantidad de movimiento", un término más apropiado. En los viejos tiempos, se utilizaba el término 'movimiento' en vez de 'momento', por ejemplo, por Newton. La conservación de la cantidad de movimiento en la relación (19), en consecuencia, explicita la conservación de la cantidad de movimiento durante las interacciones. La cantidad de movimiento es una cantidad extensiva. Eso significa que se puede decir que fluye desde un cuerpo a otro, y que puede ser acumulada en los cuerpos, de la misma manera que el agua fluye y puede acumularse en recipientes. Imaginar la cantidad de movimiento como algo que se puede intercambiar entre cuerpos en las colisiones resulta intuitivo y siempre es útil al reflexionar acerca de la descripción de objetos en movimiento. TABLA 17 Propiedades de la masa galileana. LAS MASAS PROPIEDAD FÍSICA DESIGNACIÓN MATEMÁTICA Pueden ser diferenciadas distinguibilidad Elemento de un conjunto Pueden ser ordenadas Sucesión o secuencia orden Pueden ser comparadas mensurabilidad metricidad Pueden cambiar gradualmente continuidad completitud Pueden ser adicionadas Cantidad de materia Aditividad Sobrepasan cualquier límite infinito Infinitud, apertura No cambia conservación Invarianza (m = cte.) No desaparece impenetrabilidad Positividad (m ≥ 0) Medida Sensor Rango Balanzas de Precisión balanza, péndulo, o muelle 1 pg to 103 kg Colisión de Partículas velocidad Por debajo de 1mg Sentido del tacto células sensibles a la presión 1 mg a 500 kg efecto Doppler de la luz reflejada en el objeto interferómetro 1 mg a 100 g Dispositivo para medir la masa del cuerpo de un Cosmonauta frecuencia de un muelle Alrededor de 70 kg Báscula de camiones balanza hidráulica 103 to 60 ⋅ 103 kg Peso de un barco medida del volumen hasta 500 ⋅ 106 kg TABLA 18 Algunos sensores de masa. La cantidad de movimiento se conserva. Eso explica las dificultades que usted podría encontrar si estuviera sobre una superficie perfectamente sin fricción, como hielo o mármol pulido cubierto de aceite: usted no puede propulsarse hacia adelante dándose golpecitos sobre su espalda. (¿Alguna vez ha tratado de poner un gato en una superficie como el mármol? Ni siquiera es capaz de sostenerse sobre sus cuatro patas. Tampoco los seres humanos. Desafío 169 s ¿Se imagina por qué? La conservación de la cantidad de movimiento también permite resolver los rompecabezas de la Figura 64. La conservación de la cantidad de movimiento y de la masa también significa que en la naturaleza no es posible el teletransporte (como en Star Trek). Desafío 170 s ¿Puede explicar esto a un no-físico? 76 La conservación de la cantidad de movimiento implica que ésta se puede imaginar como un fluido invisible. En una interacción, el fluido invisible se transfiere de un objeto a otro. En dichas transferencias, la suma de fluido es siempre constante. FIGURA 63 .Dispositivos de medición de masas: una balanza de vacío utilizada en 1890 por Dmitriy Ivanovich Mendeleyev, una balanza de laboratorio moderno, un dispositivo para medir la masa de un cosmonauta en el espacio y una báscula de camiones (© Thinktank Trust, Mettler-Toledo, la NASA Anónimo). La conservación de la cantidad de movimiento implica igualmente que el movimiento no se detiene, sino que sólo se intercambia. Por otro lado, el movimiento "desaparece" a menudo en nuestro medio ambiente, como en el caso de un pequeño guijarro caído al suelo, o de una pelota rodando abandonada sobre la hierba. También en la vida diaria observamos a menudo la creación de movimiento, por ejemplo, cada vez que abrimos una mano. ¿Cómo encajan estos ejemplos con la conservación de la cantidad de movimiento? Resulta que la respuesta está en los aspectos microscópicos de estos sistemas. Un músculo sólo transforma un tipo de movimiento, a saber, la de los electrones en ciertos compuestos químicos, * en otro, el movimiento de los dedos. El funcionamiento de los músculos es similar al de un motor de automóvil que transforma el movimiento de los electrones contenidos en el combustible en movimiento de las ruedas. Ambos sistemas necesitan carburante y se calientan en el proceso. También debemos estudiar el comportamiento microscópico cuando una bola rueda en el césped hasta que se detiene. La desaparición de movimiento se llama fricción o rozamiento. Estudiando la situación con cuidado, nos encontramos con que la hierba y la bola se calientan un poco durante este proceso. Durante la fricción, el movimiento visible se transforma en calor. Una observación sorprendente de este efecto para una bicicleta se muestra una página adelante, en la Figura 221. Más tarde, cuando se descubre la estructura de la materia, resultará claro que el calor es el movimiento desordenado de los componentes microscópicos de cada material. Cuando estos componentes se mueven todos en la misma dirección, el objeto como un todo se mueve; cuando oscilan al azar, el objeto está en reposo, pero se calienta. El calor es una forma de movimiento. La fricción por lo tanto sólo parece ser la desaparición del movimiento, de hecho se trata de una transformación de movimiento ordenado en desordenado. Desafío 168 s FIGURA 64 ¿Qué sucede en estas cuatro situaciones? A pesar de la conservación de la cantidad de movimiento, no existe la máquina de movimiento perpetuo macroscópico, ya que la fricción no puede ser eliminada por completo. El movimiento es eterno sólo a escala microscópica. En otras palabras, la desaparición y la aparición espontánea del movimiento en la vida * Por lo general, el trifosfato de adenosina (ATP), el combustible de la mayoría de los procesos en los animales. 77 cotidiana es una ilusión debido a las limitaciones de nuestros sentidos. Por ejemplo, existe el movimiento propio de todo ser vivo antes de su nacimiento, y se mantiene después de su muerte. Lo mismo ocurre con su energía. Este resultado es, probablemente, el más cercano se puede llegar a la idea de la vida eterna de las pruebas recogidas por la observación. Es quizás menos que una coincidencia que la energía antes se llamaba vis viva, o "fuerza viva", por Leibniz y muchos otros.* Desde el momento que el movimiento se conserva, no tiene origen. Por lo tanto, en esta etapa de nuestro camino no podemos responder a las preguntas fundamentales: ¿Por qué existe el movimiento? ¿Cuál es su origen? El final de nuestra aventura no está cerca. MÁS CONSERVACIÓN – ENERGÍA Cuando se estudian las colisiones con cuidado, aparece una segunda cantidad conservada. Los experimentos muestran que en el caso de colisiones perfectas, o elásticas - colisiones sin fricción - también se conserva la siguiente cantidad, llamada energía cinética T del sistema,: T = Σ1/2mi·vi2 = Σ1/2mi·vi,02= const . (21) La energía cinética es la capacidad que tiene un cuerpo para inducir cambios en los cuerpos que golpea. La energía cinética depende por tanto de la masa y del cuadrado de la velocidad v de un cuerpo. El nombre completo "energía cinética" fue introducido por Gustave-Gaspard Coriolis**. Algunos valores de energía medidos se presentan en la Tabla 19. • La energía (física) es la medida de la capacidad para generar el movimiento. Un cuerpo tiene una gran cantidad de energía si tiene la capacidad de mover muchos otros cuerpos. La energía es un número; la energía, en contraste con la cantidad de movimiento, no tiene ninguna dirección. La cantidad de movimiento total de dos masas iguales que se mueven con velocidades opuestas es cero, pero su energía total no lo es, y aumenta con la velocidad. La Energía por lo tanto también mide el movimiento, pero de una manera diferente a la cantidad de movimiento. La Energía mide el movimiento de una manera más global. Una definición equivalente es la siguiente: • La energía es la capacidad para realizar el trabajo. Aquí, el concepto físico de trabajo es sólo la versión más detallada de lo que se entiende por trabajo en la vida cotidiana. Como de costumbre, el trabajo (físico) es el producto de la fuerza y la distancia en dirección de la fuerza. En otras palabras, el trabajo es el producto escalar de la fuerza y la distancia. Otra definición, equivalente a la energía se aclarará más adelante: La energía es lo que se puede transformar en calor. La energía es una palabra tomada del griego antiguo, originalmente se usaba para describir el carácter, la determinación, y significaba «el vigor intelectual o moral». Fue introducida en física por Thomas Young (1773 -1829), en 1807, ya que su significado literal es «fuerza interior». (Las letras E, W, A y varias otras también se utilizan para denotar la energía.) Tanto la energía como el momento miden cómo cambian los * Algunos ejemplos divertidos de los intentos anteriores para construir una máquina de movimiento perpetuo se describen con Stanislav Michel, Perpetuum mobile, VDI Verlag, 1976. Curiosamente, la idea del eterno movimiento llegó a Europa desde la India, a través del mundo islámico, en torno al año 1200, y se convirtió en popular, ya que se opuso a la visión, entonces estándar que todo el movimiento en la Tierra desaparece con el tiempo. Ver también el web.archive.org / web / 20040812085618/http://www.geocities.com/mercutio78_99/pmm.html y www.lhup.edu/~dsimanek/museum/unwork.htm websites. El error conceptual realizado por los excéntricos y utilizado por los delincuentes es siempre el mismo: la esperanza de superar la fricción. (De hecho, esto se aplica sólo a las máquinas de movimiento perpetuo de segunda especie, los de la primera clase - que están aún más en contraste con la observación - incluso tratan de generar energía de la nada.) Si la máquina está bien construida, es decir, con poca fricción, que puede tomar la poca energía que necesita para el sostenimiento de su movimiento de efectos ambientales muy sutiles. Por ejemplo, en el Museo Victoria and Albert de Londres se puede admirar un hermoso reloj alimentado por las variaciones de la presión de aire a través del tiempo. Baja fricción significa que el movimiento necesita mucho tiempo para detenerse. Uno piensa inmediatamente en el movimiento de los planetas. De hecho, no hay fricción entre la Tierra y el sol. (Desafío 171 s ¿Puede adivinar uno de los mecanismos?) Pero el valor es tan pequeño que la Tierra ya ha girado en torno al Sol durante miles de millones de años, y lo hará por mucho tiempo más. ** Gustave-Gaspard Coriolis (n. 1792 París, m. 1843 en París), ingeniero y matemático francés. Introdujo los conceptos modernos de "trabajo" y de la "energía cinética", y exploró el efecto Coriolis descubierto por Laplace. Coriolis también introdujo el factor de 1/2 en la energía cinética T, con el fin de que la relación dT / dv = p se cumpliera siempre. ( Desafío 172 s ¿Por qué?) 78 sistemas. La cantidad de movimiento nos muestra cómo cambian los sistemas con la distancia: la cantidad de movimiento es la acción (o cambio), dividido por la distancia. Se necesita cantidad de movimiento para comparar el movimiento, aquí y allá. La energía mide cómo los sistemas cambian con el tiempo: la energía es la acción (o cambio) dividido por el tiempo. La energía es necesaria para comparar el movimiento ahora y después. TABLA 19 Algunos valores medidos de la energía. OBSERVACIÓN ENERGÍA Energía cinética media de la molécula de oxígeno en el aire 6 zJ Energía de un fotón de color verde 0.37 aJ Energía de un fotón de rayos X 1 fJ Energía de un fotón γ 1pJ Mayor energía de una partícula en los aceleradores 0.1 μJ Energía cinética de un mosquito volando 0.2 μJ Hombre caminando tranquilamente 20 J Flecha en pleno vuelo 50 J Derechazo en boxeo 50 J Energía en una pila de linterna 1 kJ Energía en explosión de 1 g TNT 4.1 kJ Energía de 1 kcal 4,18 kJ Bala de fusil volando 10 kJ Un gramo de grasa 38 kJ Un gramo de gasolina 44 kJ Digestión de una manzana 0.2MJ Coche en autopista 0.3 to 1MJ Mayor energía de un pulso láser 1.8MJ Flash de un relámpago hasta 1GJ Energía de Planck 2.0GJ Pequeña bomba nuclear(20 kilotones) 84 TJ Terremoto de magnitud 7 2PJ Bomba nuclear más grande (50 Megatones) 210 PJ Impacto de un meteorito de 2 km de diámetro 1EJ Consumo anual de energía por las máquinas 420 EJ Energía de rotación de la Tierra 2⋅1029 J Explosión de una Supernova 1044 J Estallido de rayos gamma hasta 1047 J Energía contenida en la masa del Sol de E = c2m 1.8 ⋅ 1047 J Energía contenida en al agujero negro central de la Galaxia 4 ⋅ 1053 J No se sorprenda si no entiende la diferencia entre la cantidad de movimiento y la energía de inmediato: ¡a los físicos les llevó cerca de un siglo averiguarlo! Así que se le permite tomarse algún tiempo para 79 familiarizarse con ambas nociones. De hecho, durante muchas décadas, los físicos ingleses insistieron en utilizar el mismo término para ambos conceptos, lo que se debió a la insistencia de Newton de que - no es broma - la existencia de Dios da a entender que la energía era lo mismo que la cantidad de movimiento. Leibniz, en cambio, sabía que la energía aumentaba con el cuadrado de la velocidad y demostró que Newton estaba equivocado. En 1722, Willem Jacob 's Gravesande incluso lo demostró experimentalmente. Dejó que bolas de metal de diferentes masas cayeran en barro desde diferentes alturas. Al comparar el tamaño de las huellas confirmó que Newton estaba equivocado tanto en sus declaraciones físicas como teológicas. Una manera de conocer la diferencia entre la energía y la cantidad de movimiento es pensar en los siguientes desafíos. Desafío 173 e. ¿Es más difícil de detener a un hombre corriendo con masa m y velocidad v, o uno con masa m / 2 y 2v velocidad, o una con masa m / 2 y la velocidad √2·v? Usted puede pedirle a un amigo jugador de rugby que se lo confirme. Otra distinción se ilustra con el atletismo: el verdadero récord mundial de salto de longitud, casi 10 m, aún se conserva por un atleta que a principios del siglo XX corrió con dos pesas en sus manos, y luego arrojó las pesas detrás de él en el momento en que comenzó el salto. Desafío 174 s. ¿Puede explicar la hazaña? Desafío 175 s. Cuando un automóvil que viaja a 100 m / s choca de frente contra un automóvil estacionado de la misma clase y marca, qué coche recibe el mayor daño? ¿Qué cambia, si el coche aparcado tiene puestos sus frenos? Para tener una mejor intuición de la energía, podemos adoptar un enfoque adicional. El consumo mundial de energía por máquinas concebidas por el hombre (procedentes de diversas fuentes: solar, geotérmica, biomasa, eólica, nuclear, hidroeléctrica, gas, petróleo, carbón, animales) en el año 2000 fue de 420 EJ aproximadamente, para una población mundial de unos 6.000 millones de personas. Para ver lo que significa este consumo de energía, lo traducimos en un consumo de potencia personal; tenemos alrededor de 2,2 kW. El watt W es la unidad de potencia y se define simplemente como 1W = 1 J / s, lo que refleja la definición de potencia (física) que es la energía utilizada por unidad de tiempo. (la formulación exacta es: la potencia es la energía que fluye por unidad de tiempo a través de una superficie cerrada definida). Como una persona que trabaja puede producir trabajo mecánico de alrededor de 100W, el consumo energético medio por persona corresponde a unos 22 seres humanos que trabajaran las 24 horas del día. (Vea la Tabla 20 para algunos valores de potencia encontrados en la naturaleza, y la Tabla 21 para algunos dispositivos de medida.) En particular, si nos fijamos en el consumo de energía en los países del Primer Mundo, un habitante promedio tiene máquinas que trabajan para él equivalente a varios cientos de "sirvientes". Desafío 176 s. ¿Puede señalar algunas de estas máquinas? La energía cinética no se conserva en la vida cotidiana. Por ejemplo, en las colisiones no elásticas, tales como la de un trozo de goma de mascar estrellándose contra una pared, la energía cinética se pierde. La fricción destruye la energía cinética. Al mismo tiempo, la fricción produce calor. Fue uno de los descubrimientos conceptuales importantes de la física que el total de la energía se conserva si se incluye el hallazgo de que el calor es una forma de energía. La fricción es por lo tanto, realmente, un proceso de transformación de la energía cinética, es decir, de la energía asociada al movimiento de un cuerpo, en calor. A escala microscópica, la energía se conserva. * De hecho, sin la conservación de la energía, el concepto de tiempo no sería definible. Vamos a mostrar esta correspondencia en breve. En resumen, además de la masa y la cantidad de movimiento, el movimiento lineal cotidiano también conserva la energía. Para descubrir la última cantidad conservada, vamos a explorar otro tipo de movimiento: la rotación. ** En realidad, la conservación de la energía se manifestó en toda su generalidad para el público sólo en 1842, por Julius Robert Mayer. Él era médico de profesión, y la revista Annalen der Physik se negó a publicar su artículo, ya que supuestamente contenía "errores fundamentales". Lo que los editores llaman errores eran de hecho la mayoría - pero no sólo - contradicciones de sus prejuicios. Más tarde, Helmholtz, Thomson-Kelvin, Joule y muchos otros reconocieron el genio de Mayer. Sin embargo, el primero en haber declarado la conservación de energía en su forma moderna fue el físico francés Sadi Carnot (1796-1832) en 1820. Para él, el problema era tan claro que no publicó el resultado. De hecho, siguió y descubrió la segunda "ley" de la termodinámica. Hoy en día, la conservación de energía, también llamada la primera "ley" de la termodinámica, es uno de los pilares de la física, ya que es válida en todos sus dominios. 80 TABLA 20 Algunos valores medidos de Potencia. OBSERVACIÓN POTENCIA La señal de radio que la sonda espacial Galileo envía desde Júpiter 10 zW Potencia del motor que impulsa los flagelos en una bacteria 0.1 pW Consumo de potencia de una célula típica 1 pW Potencia de sonido en el oído en el umbral de audición 2.5 pW CR-R laser, a 780nm 40-80 mW La salida de sonido al tocar un fortissimo en el piano 0.4 W tórtola (0.16 kg) tasa metabólica basal 0.97 W Rata (0.26 kg) tasa metabólica basal 1.45 W Paloma (0.30 kg) tasa metabólica basal 1.55 W Gallina (2.0 kg) tasa metabólica basal 4.8 W Bombilla incandescente salida de luz del bulbo 1a5W Perro(16 kg) tasa metabólica basal 20 W Oveja (45 kg) tasa metabólica basal 50 W Mujer (60 kg) tasa metabólica basal 68 W Hombre (70 kg) tasa metabólica basal 87 W Consumo de una bombilla eléctrica incandescente 25 a 100 W Ser humano, durante un turno de trabajo de ocho horas 100 W Vaca (400 kg) tasa metabólica basal 266 W Un caballo, en un turno de ocho horas 300 W Buey (680 kg) tasa metabólica basal 411 W Eddy Merckx, el gran atleta ciclista, durante una hora 500 W Unidad oficial de potencia (SI) (75 kg ⋅ 9.81m/s2 ⋅ 1m/s) 735.5 W Unidad de potencia británica 745.7 W Moto grande 100 kW Estación de potencia eléctrica (salida) 0.1 a 6 GW Producción mundial de potencia eléctrica en 2000 450 GW Potencia usada por la geodinamo terrestre 200 a 500 GW Limite de producción de energía eólica 18 a 68 TW Aporte en la superficie de la Tierra: la radiación del Sol en la Tierra 0.17 EW Aporte en la superficie de la Tierra: energía térmica del interior de la Tierra 32 TW Aporte en la superficie de la Tierra: potencia de las mareas (es decir, de la rotación de la Tierra) 3 TW Aporte en la superficie de la Tierra: potencia generada por los combustibles fósiles 8 a 11 TW Perdida de la superficie de la Tierra: la energía almacenada por la fotosíntesis las plantas 40 TW Record mundial de potencia de un láser 1 PW Salida de la superficie de la Tierra: la luz del sol reflejada en el espacio 0.06 EW Salida de la superficie de la Tierra: potencia irradiada al espacio a 287K 0.11 EW Pico de potencia en la bomba nuclear más grande 5 YW Potencia emitida por el Sol 384.6 YW 5 Máxima potencia en la Naturaleza, c /4G 9.1 ⋅ 1051W 81 FIGURA 65 Robert Mayer (1814– 1878). FIGURA 65b Algunos dispositivos de medida de potencia: un medidor de potencia para bicicleta, un medidor de potencia láser, y un un medidor de potencia eléctrica (© SRAM, Laser Components, Wikimedia). TABLA 21 Algunos sensores de potencia. MEDIDA SENSOR RANGO Latido del corazón como medida de potencia Sensor de deformación y reloj 75 a 2 000W Medidor de potencia para Fitness Sensor piezoeléctrico 75 a 2 000W Medidor de electricidad en casa Disco de aluminio rodante 20 a 10 000W Freno electromagnético Hasta 1 MW Efecto fotoeléctrico en los superconductores Hasta 10 GW Calorímetro para reacciones químicas Sensor de temperatura Hasta 1 MW Calorímetro para partículas Sensor de luz Medidor de potencia del motor de un automóvil Medidor de potencia láser Hasta unos pocos μJ/ns EL PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ La discusión acerca de la rotación es más fácil si se introduce una forma adicional para multiplicar vectores. Este nuevo producto entre dos vectores a y b se llama el producto cruz o producto vectorial a × b. El resultado del producto vectorial es otro vector, por lo que se diferencia del producto escalar, cuyo resultado es un escalar, es decir, un número. El resultado del producto vectorial es aquel vector que es ortogonal a los dos vectores que se multiplican, cuya orientación está dada por la regla de la mano derecha, y cuya longitud está dada por ab·sen (a,^ b), es decir, por la área de superficie del paralelogramo abarcado por los dos vectores. La definición implica que el producto vectorial se anula si y sólo si los vectores son paralelos. De la definición también se puede demostrar que el producto vectorial tiene las propiedades Desafío 177 e a ×b =−b ×a , a ×(b +c)=a ×b +a ×c , λa ×b=λ(a ×b)=a × λb , a × a = 0 , a(b × c) = b(c × a) = c(a × b) , a × (b × c) = b(ac) − c(ab) , (a × b)(c × d) = a(b × (c × d)) = (ac)(bd) − (bc)(ad) , (a × b) × (c × d) = c((a × b)d) − d((a × b)c) , a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0 . (22) El producto vectorial existe sólo en espacios vectoriales con tres dimensiones. Vamos a explorar más detalles sobre esta conexión enseguida. El producto vectorial es útil para describir sistemas que rotan - y (por tanto) también sistemas con fuerzas magnéticas. La razón principal de su utilidad es que el movimiento de un cuerpo en órbita es siempre perpendicular tanto al eje como a la línea más corta que conecta el cuerpo con el eje. 82 Desafío 178 e Confirme que la mejor manera de calcular el producto vectorial a × b componente por componente está dada por el determinante | | ⃗i ⃗j ⃗k ⃗ a ×b= ax a y a z ⃗ bx b y bz ; | | e⃗x a x b x ⃗ a ×b= e⃗y a y b y ⃗ e⃗z a z b z (23) Este determinante simbólico es fácil de recordar y fácil de realizar, tanto con letras como con valores numéricos. (Aquí, ex es la base vector unitario en la dirección x). Desarrollado en línea, es equivalente a la relación a × b = (aybz − byaz , bxaz − axbz , axby − bxay) (24) que es más difícil de recordar, sin embargo. Desafío 179 e Demostrar que el paralelepípedo formado por tres vectores arbitrarios a, b y c tiene el volumen V = c ( a × b). Demostrar que la pirámide o tetraedro formado por los mismos tres vectores tiene una sexta parte de ese volumen. ROTACIÓN Y MOMENTO ANGULAR El movimiento de rotación nos mantiene vivos. Sin la alternancia del día y de la noche, estaríamos muertos bien sea fritos o bien sea congelados, dependiendo de nuestra ubicación sobre el globo terráqueo. Pero la rotación aparece en muchos otros entornos, como muestra la Tabla 22. Una breve exploración de la rotación es, pues, apropiada y necesaria. Todos los objetos tienen la capacidad de rotar. Vimos antes que un cuerpo se describe por su renuencia a moverse, de manera similar, un cuerpo también tiene una renuencia a girar. Esta cantidad se llama su momento de inercia y, a menudo se abrevia Θ - pronunciado 'theta'- , en español es más frecuente la abreviatura I. La velocidad o la frecuencia de rotación es descrita por la velocidad angular, generalmente abreviada ω - pronunciado 'omega'. Unos cuantos valores encontrados en la naturaleza se dan en la Tabla 22. Los observables que describen la rotación son similares a los que describen un movimiento de traslación lineal, como se muestra en la Tabla 24. Como la masa, el momento de inercia se define de tal manera que la suma de momentos cinéticos o angulares, L - el producto de momento de inercia y la velocidad angular - se conserva en los sistemas que no interactúan con el mundo exterior: (25) ∑ I i · ωi=∑ Li=cte. De la misma manera que la conservación de la cantidad de movimiento (o momento lineal) define la masa, la conservación del momento angular define el momento de inercia. El momento de inercia puede estar relacionado con la masa y la forma de un cuerpo. Si el cuerpo es imaginado consistente en pequeñas partes o elementos de masa, la expresión resultante es Θ =∑ mn · r 2n donde rn es la distancia desde el elemento de masa mn al eje de rotación. Desafío 180 e. ¿Puede confirmar la expresión? En consecuencia, el momento de inercia de un cuerpo depende en el eje de giro elegido. Desafío 181 s. ¿Puede confirmar que esto es así para un ladrillo? En contraste con el caso de la masa, no hay conservación del momento de inercia. El valor del momento de inercia depende de la ubicación del eje utilizado en su definición. Para cada dirección del eje, podemos distinguir un momento intrínseco de inercia, cuando el eje pasa a través del centro de masa del cuerpo, y un momento de inercia extrínseco, cuando no lo hace.* De la misma manera, se distingue momento angular intrínseco y extrínseco. (Por cierto, el centro de masa de un cuerpo es ese punto imaginario que se mueve en línea recta durante la caída vertical, incluso si el cuerpo está girando. Desafío 183 s. ¿Puede encontrar una manera de determinar su ubicación para un cuerpo en particular? ** Los momentos de inercia extrínsecos e intrínsecos están relacionados por: Θ ext = Θint + MD2, donde d es la distancia entre el centro de la masa y el eje de rotación extrínseca. Esta relación se conoce como teorema de los ejes paralelos de Steiner. Desafío 182 s. ¿Es usted capaz de deducirlo? 83 TABLA 22 Algunas frecuencias de rotación medidas. OBSERVACIÓN VELOCIDAD ANGULAR ω = 2 π / T Rotación galáctica 2 π ·0,14·10-15 /s= 2 π /(220.106 a) Rotación media del Sol en torno a su eje 2 π ·3,8·10-7 /s = 2 π / 30 d Faro típico 2 π ·0,08·/s Pirueta de un bailarín 2 π ·3 /s Motor diésel de un navío 2 π ·5 /s Rotor de un helicóptero 2 π ·5,3 /s Lavadora automática Hasta 2 Flagelo de una bacteria 2 π ·100 /s Grabador CD veloz Hasta 2 π ·458 /s Motor de un coche de carreras Hasta 2 π ·600 /s La turbina más veloz jamás construida 2 π ·103 /s El púlsar (estrella rotante) más veloz Hasta 2 Ultracentrifugadora > 2 π ·3·103 /s Taladro dental Hasta 2 Disco técnico 2 π ·333 ·103 /s Rotación de un protón 2 π ·1020 /s La velocidad angular más alta posible, velocidad angular de Planck 2 π ·1035 /s π ·20 /s π ·716 /s π ·13 ·103 /s FIGURA 67 Momento angular y otras cantidades para una partícula puntual en movimiento circular, y las dos versiones de la regla de la mano derecha. FIGURA 68 ¿Puede el simio llegar a la banana? FIGURA 69 Cómo una serpiente gira en torno a su eje Definimos ahora la energía de rotación como 2 1 L Erot = I· ω2= 2 2I (28) La expresión es similar a la expresión para la energía cinética de una partícula. 84 Desafío 184 s. ¿Puede adivinar cuánto mayor es la energía de rotación de la Tierra comparada con el uso anual de electricidad de la humanidad? De hecho, si pudiera encontrar una manera de aprovechar esta energía, se haría famoso. Para objetos rotados sin distorsiones, la energía de rotación se conserva. Cada objeto que tiene una orientación también tiene un momento angular intrínseco. Desafío 185 s. ¿Qué pasa con una esfera? Por lo tanto, las partículas puntuales no tienen momento angular intrínseco - por lo menos en una primera aproximación. (Esta conclusión va a cambiar en la teoría cuántica.) El momento angular extrínseco L de una partícula puntual está dada por ⃗L=⃗r ×⃗p (29) donde p es la cantidad de movimiento de la partícula y r e vector de posición. El momento angular por tanto apunta a lo largo de eje de rotación, siguiendo la regla de la mano derecha, como se muestra en la Figura 67. Algunos valores observados se dan en la Tabla 23. La definición implica que el momento angular puede ser determinado utilizando la expresión L= 2 A (t) m t (39) donde A(T) es el área barrida por el vector de posición, r, de la partícula durante un tiempo t. Por ejemplo, la determinación de la superficie barrida con la ayuda de su telescopio, permitió a Johannes Kepler descubrir en 1609 que todos los planetas en órbita alrededor del Sol tiene un valor de momento angular que es constante en el tiempo. Un cuerpo puede girar simultáneamente sobre varios ejes. La película de la Figura 95 muestra un ejemplo: La parte superior gira alrededor de su eje del cuerpo y alrededor de la vertical al mismo tiempo. Una exploración detallada muestra que la rotación exacta de la parte superior está dada por la suma vectorial de estas dos rotaciones. Para averiguarlo, se “congela” el cambio del eje de rotación en un momento específico. Por lo tanto las rotaciones son vectores. TABLA 23 Algunos valores de momento angular medidos. OBSERVACIÓN El mínimo valor observado en la naturaleza (ℏ/2) -aplicado a la compnente z de partículs de materia elemental (fermiones) MOMENTO ANGULAR 0.53 ⋅ 10−34 Js Máximo de rotación 5 ⋅ 10−6 Js CD (compac disc) que suena c. 0.029 Js Humano que camina (en torno al eje de cu cuerpo) c. 4 Js Bailarín en una pirueta 5 Js Rueda típica de automóvil a 30 m/s 10 Js Aerogenerador típico a 12 m/s (6 Beaufort) 104 Js Atmósfera de la Tierra 1 a 2 ⋅ 1026 Js Océanos de la Tierra 5 ⋅ 1024 Js Tierra en torno a su eje 7.1 ⋅ 1033 Js Luna en torno a la Tierra 2.9 ⋅ 1034 Js Tierra en torno al Sol 2.7 ⋅ 1040 Js Sol en torno a su eje 1.1 ⋅ 1042 Js Júpiter en torno al Sol 1.9 ⋅ 1043 Js Sistema Solar en torno al Sol 3.2 ⋅ 1043 Js Vía Láctea 1068 Js Toda la masa del universo 0 (dentro de los errores de medida) 85 Al igual que en el caso de movimiento lineal, la energía de rotación y el momento angular no siempre se conservan en el mundo macroscópico: la energía de rotación puede cambiar debido a la fricción, y el momento angular puede cambiar debido a fuerzas externas (pares o torques). Sin embargo, para los sistemas cerrados (no perturbados) siempre se conservan las dos cantidades. En particular, en una escala microscópica, la mayoría de los objetos son no perturbados, de modo que la conservación de la energía de rotación y el momento angular es especialmente evidente allí. El momento angular se conserva. Esta afirmación es válida para cualquiera de los ejes de un sistema físico, a condición de que las fuerzas externas (pares o torques) no jueguen ningún papel. Para dejarlo claro, Jean-Marc Lévy-Leblond plantea el problema de la Figura 68. Desafío 186 s ¿Puede el mono alcanzar el plátano sin salir de la placa, en el supuesto de que la placa en la que se encuentra el simio puede rotar sin fricción en torno al eje? Observamos que los efectos de la rotación son los mismos que los de la aceleración. Por lo tanto, muchos sensores de rotación son los mismos que los sensores de aceleración que exploramos anteriormente. Pero algunos sensores para la rotación son fundamentalmente nuevos. En particular, nos encontraremos con el giroscopio en breve. En una superficie sin fricción, como la aproximación que se realiza con el hielo liso o con un suelo de mármol cubierto por una capa de aceite, es imposible avanzar. Para avanzar, tenemos que empujar en contra de algo. ¿Es este también el caso de la rotación? Sorprendentemente, es posible girar sin empujar en contra de algo. Esto se puede comprobar con una silla de oficina giratoria bien lubricada: basta con hacer girar un brazo por encima de la cabeza. Después de cada vuelta, la orientación de la silla ha cambiado por una pequeña cantidad. De hecho, la conservación del momento angular y de la energía de rotación no impide que los cuerpos cambien su orientación. Los gatos aprenden esto en su juventud. Después de que han aprendido el truco, si se dejan caer con las patas hacia arriba, pueden revolverse de tal manera que siempre caen de pie. Las serpientes también saben cómo revolverse sobre sí mismas, como muestra la Figura 69. Durante los Juegos Olímpicos podemos ver a los nadadores, saltadores de trampolín y los gimnastas realizar trucos similares. En este aspecto, la rotación es, por lo tanto, distinta de la traslación. Desafío 187 d. ¿Por qué? TABLA 24 Correspondencia entre movimiento lineal y rotacional. Magnitud Movimiento lineal Movimiento de Rotación Estado tiempo t tiempo t Posición x ángulo φ Cantidad de movimiento p =m·v Energía ½ m·v Movimiento 2 momento angular L = Θω Energía ½ Iω2/2 velocidad v velocidad angular ω aceleración a aceleración angular α Renuencia a moverse masa m momento de inercia I Cambio de movimiento fuerza ma torque Θα RUEDAS EN ROTACIÓN La rotación es un fenómeno interesante en muchos aspectos. Una rueda en rotación no gira alrededor de su eje, sino en torno a su punto de contacto. Mostremos esto. Una rueda de radio R está rodando si la velocidad del eje veje está relacionada con la velocidad angular ω por ω= v eje R Para todo punto P situado en la rueda, a una distancia r del eje, la velocidad v P es la suma del movimiento del eje y el movimiento alrededor del eje. La Figura 70 muestra que vP es ortogonal a d, la distancia entre el punto P y el punto de contacto de la rueda. 86 Desafío 188 e. La figura también muestra que la relación de longitud entre v P y d es la misma que entre veje y R. Como resultado, podemos escribir v⃗P=⃗ ωx⃗ d lo que indica que una rueda giratoria rota de hecho alrededor de su punto de contacto con el suelo. FIGURA 70 Las velocidades y vectores unitarios de una rueda giratoria. FIGURA 71 fotografía simulada de una rueda rodante con radios. Sorprendentemente, cuando una rueda gira, algunos puntos se mueven hacia el eje de la rueda, algunos se quedan a una distancia fija y otros se alejan de él. Desafío 189 s. ¿Puede determinar la ubicación de estos puntos? Al mismo tiempo, nos llevan a descubrir motivos o patrones interesantes cuando se fotografía una rueda giratoria con radios, como una rueda de bicicleta, como se muestra en la Figura 71. Con estos resultados se puede hacer frente al siguiente hermoso desafío. Cuando una rueda de bicicleta girando se pone en una superficie resbaladiza, deslizará por un tiempo, luego deslizará y rodará, y finalmente rodará solamente. Desafío 190 d. ¿Cómo depende la velocidad final de la velocidad inicial y de la fricción? ¿CÓMO ANDAMOS? El golf es un buen paseo estropeado por una pequeña bola blanca. Mark Twain ¿Por qué movemos los brazos cuando caminamos o corremos? ¿Para ahorrar energía o para ser gráciles? En realidad, cada vez que un movimiento del cuerpo se lleva a cabo con la menor energía posible, es natural y elegante. Esta correspondencia puede ser tomada como la definición misma de la gracia o elegancia. Esta conexión es de conocimiento común en el mundo de la danza, igualmente también es un aspecto central de los métodos utilizados por los actores para aprender a mover sus cuerpos tan grácilmente como sea posible. FIGURA 72 El movimiento medido de un humano caminando (© Ray McCoy). Para convencerse a sí mismo acerca del ahorro de energía, trate de caminar o correr con los brazos fijos o en movimiento en la dirección opuesta a la habitual: el esfuerzo requerido es considerablemente mayor. De hecho, cuando se mueve una pierna, produce un par de torsión alrededor del eje del cuerpo que tiene que ser 87 contrarrestado. El método que utiliza la menor cantidad de energía es el balanceo de los brazos, como se representa en la Figura 72. Dado que los brazos son más ligeros que las piernas, deben moverse más lejos en relación al eje del cuerpo, para compensar la cantidad de movimiento, consecuentemente, la evolución ha desplazado la unión de los brazos al tronco, los hombros, separándolos más del eje que la de las piernas, las caderas. Los animales con dos patas, pero sin brazos, como los pingüinos o las palomas, tienen más dificultades para caminar, tienen que mover todo su torso con cada paso. Las mediciones muestran que todos los animales que andan siguen vmax caminando = (2,2 ± 0,2m/s) √l/m . De hecho, al caminar, el movimiento de una pierna después de la otra, se puede describir como una concatenación de oscilaciones de péndulo (invertida). La longitud del péndulo está dada por la longitud de las piernas. La escala de tiempo típico de un péndulo es t ~ √l/g. La velocidad máxima para caminar se convierte en v ~ l / t ~ √gl, que, salvo un factor constante, es el resultado medido. ¿Qué músculos hacen la mayoría del trabajo cuando caminamos en el movimiento que los especialistas llaman marcha? En 1980, Serge Gracovetsky descubrió que en la marcha humana la mayor fracción de la potencia viene de los músculos situados a lo largo de la columna vertebral, no de los de las piernas. (De hecho, las personas sin piernas también son capaces de caminar, sin embargo, también una serie de músculos de las piernas deben trabajar con el fin de caminar normalmente.). Cuando usted da un paso, los músculos lumbares enderezan la columna vertebral, lo que automáticamente le hace girar un poco a un lado, de modo que la rodilla de la pierna de ese lado viene hacia adelante automáticamente. Cuando se mueve el pie, los músculos lumbares pueden relajarse, y luego enderezarse de nuevo para el siguiente paso. De hecho, uno puede experimentar el aumento de la tensión en los músculos de la espalda al caminar sin mover los brazos, lo que confirma que allí se encuentra el motor humano, el llamado motor espinal. Desafío 191 e. Las piernas humanas difieren de los de los simios en un aspecto fundamental: el ser humano es capaz de correr. En realidad, todo el cuerpo humano ha sido optimizado para el funcionamiento de una capacidad que ningún otro primate tiene. El cuerpo humano se ha despojado de la mayor parte de su cabello para lograr una mejor refrigeración, ha desarrollado la capacidad de correr, manteniendo la cabeza en una posición estable, ha evolucionado la longitud adecuada de los brazos para mantener el equilibrio apropiado al correr, e incluso tiene un ligamento especial en la parte trasera que funciona como amortiguador durante la carrera. En otras palabras, correr es la más humana de todas las formas de movimiento. CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS RETOS ACERCA DE LA CONSERVACIÓN Y LA ROTACIÓN Es un hecho matemático que el lanzamiento de este guijarro de mi mano altera el centro de gravedad del universo. Thomas Carlyle, * Sartor Resartus III. FIGURA 72 b E¿Cuántas rotaciones efectúa la décima moneda completar un giro? Desafío 192-bis f Tome diez monedas del mismo valor. Ponga nueve de ellas en una mesa y forme una especie de anillo cerrado de cualquier forma a su gusto. (Las nueve monedas aparecen así como una sección de collar de perlas en el que las perlas están en contacto). Ahora tome la décima moneda y hágala rodar alrededor del anillo, sin que nunca se deslice. ¿Cuántas vueltas da esta última moneda durante una ronda? ** Desafío 192-tris f La conservación del momento se estudia mejor jugando y explorando el billar, el snooker y el pool (tipos de juegos de billar). La mejor carta de presentación son las películas sobre Trickshot (tipo de juego de billar) que se encuentran en Internet. ¿Es usted capaz de utilizar la conservación del momento para averiguar la manera de mejorar su juego de billar? *Desafío 192 s * Thomas Carlyle (1797-1881), ensayista escocés. ¿Está de acuerdo con la cita? 88 ** Desafío 193-bis s. Hay una manera conocida de experimentar 81 salidas del sol en sólo 80 días. ¿Cómo? ** Caminar es una fuente de muchos problemas de la física. Al subir una montaña, la forma energéticamente más eficaz no siempre es seguir el ascenso más rápido, de hecho zigzaguear por pendientes pronunciadas es más eficiente energéticamente. Desafío 193 s. ¿Por qué? ¿Puede estimar el ángulo de la pendiente en la que esto ocurrirá? ∗∗ La muerte es un proceso físico, vamos a explorarlo. En general, los animales tienen una duración de vida T que es proporcional con la raíz cuarta de su masa M. En otros términos, T = M1 / 4. Esto es válido desde las bacterias a las ballenas azules pasando por los insectos. Los animales también tienen un consumo de energía por unidad de masa, o la tasa metabólica por masa, que es inversamente proporcional a la cuarta raíz. Llegamos a la conclusión de que la muerte se produce para todos los animales cuando cierto consumo fijo de energía por masa se ha logrado. Este es, de hecho, el caso, la muerte se produce en la mayoría de los animales cuando se han consumido alrededor 1 GJ/kg. (Sin embargo, un poco más tarde para los seres humanos.) Este resultado sorprendentemente simple es válido, en promedio, para todos los animales conocidos. Tenga en cuenta que el argumento sólo es válido cuando se comparan diferentes especies. La dependencia de la masa no es válida cuando se comparan especímenes de la misma especie. (No se puede vivir más tiempo comiendo menos.) En resumen, los animales mueren después de que metabolizan 1 GJ / kg. En otras palabras, una vez que nos comimos todas las calorías para las que fuimos diseñados, morimos. ∗∗ Desafío 194 s. Un coche a cierta velocidad utiliza 7 litros de gasolina por cada 100 km. ¿Cuál es la resistencia combinada del el aire y la rodadura? (Supongamos que el motor tiene una eficiencia de 25%.) ∗∗ Un tapón de corcho está unido a una cuerda delgada de un metro de largo. La cuerda se pasa a través de una varilla larga en posición horizontal, y una copa de vino está unida al otro extremo. Si deja ir el corcho, nada se rompe. Vea Figura 73 Desafío 195 s ¿Por qué no? ¿Y qué pasa exactamente? FIGURA 73 ¿Es seguro soltar el corcho? ∗∗ En 1907, Duncan MacDougall, médico de profesión, midió el peso de los moribundos, con la esperanza de ver si la muerte provocaba una variación de la masa. Se encontró una disminución repentina entre 10 y 20 g en el momento de la muerte. Él lo atribuyó a que el alma sale del cuerpo. Desafío 196 s ¿Puede encontrar una explicación más satisfactoria? ∗∗ Es bien sabido que el peso de un niño de un año de edad depende de si quiere ser llevado o si quiere alcanzar el suelo. Desafío 197 e ¿Contradice esto la conservación de la masa? ∗∗ La corteza terrestre es menos densa (2,7 kg / l) que el manto de la Tierra (3,1 kg / l) y flota sobre ella. Como resultado, la corteza más ligera debajo de una cresta de la montaña debe estar mucho más profunda que por debajo de una planicie. Desafío 198 s Si una montaña se eleva 1 km por encima de la llanura, ¿a cuánta profundidad debe estar hundida la corteza por debajo de la llanura? El modelo simple de bloques que se muestra en la Figura 74 funciona bastante bien: en primer lugar, se explica por qué, cerca de las montañas, las mediciones de la desviación de la caída libre desde la línea de avance vertical conduce a valores mucho más bajos que los esperados sin una corteza profunda. Más tarde, 89 las mediciones de sonido han confirmado directamente que la corteza continental es de hecho más gruesa debajo de montañas. FIGURA 74 Un modelo simple para los continentes y montañas. ∗∗ Todos los cilindros homogéneos ruedan por un plano inclinado de la misma manera. Desafío 199 e ¿Verdadero o falso? ¿qué pasa con las esferas? ¿Se puede demostrar que las esferas rueden más rápido que los cilindros? ∗∗ Desafío 200 s ¿Qué rueda más rápido: una lata de refresco llena de líquido o una lata de refresco rellena con hielo? (Y ¿cómo hacer una lata rellena de hielo?) ∗∗ Desafío 201 e. Tome dos latas del mismo tamaño y peso, una llena de raviolis y una llena de guisantes. ¿Cuál rueda más rápido en un plano inclinado? FIGURA 75 Un juguete muy conocido. Otra diferencia entre la materia y las imágenes: la materia huele. De hecho, la nariz es un sensor de materia. Lo mismo se puede decir de la lengua y su sentido del gusto. ∗∗ Desafío 202 e. Tome una pila de monedas. Usted puede empujar las monedas, comenzando por la de la parte inferior, mendiante disparos con otra moneda sobre la superficie de la mesa. El método también ayuda a visualizar la conservación del momento en dos dimensiones. ∗∗ A principios de 2004, dos hombres y una mujer ganaron £ 1,200,000 en una sola noche en un casino de Londres. Lo hicieron mediante la aplicación de las fórmulas de la mecánica de Galileo. Utilizaron el método iniciado por varios físicos en la década de 1950 que construyeron varios pequeños computadores que podrían predecir el resultado de una bola de ruleta a partir de la velocidad inicial impartida por el croupier. En el caso de Gran Bretaña, el grupo añadió un escáner láser para un teléfono inteligente que mide la trayectoria de una bola de la ruleta y predijo los números donde podría llegar. De esta manera, aumentaron las probabilidades de 1 en 37 a 1 de cada 6. Después de seis meses de investigaciones, Scotland Yard decidió que podían quedarse con el dinero que ganaron. De hecho en la misma época, algunas personas ganaron alrededor de 400 000 euros durante un par de semanas con el mismo método en Alemania, pero sin ningún equipo en absoluto. En algunos casinos, eran máquinas las que lanzaban la bola de la ruleta. Mediante la medición de la posición del cero cuando entraba la bola a simple vista, estos jugadores fueron capaces de aumentar las probabilidades de las apuestas que se colocan en los últimos segundos permitidos y así ganaron una suma considerable puramente a través de reacciones rápidas. ∗∗ 90 El juguete de la Figura 75 muestra un comportamiento interesante: cuando se levanta un cierto número de esferas y luego se sueltan y golpean a las que están en reposo, el mismo número de esferas se separan en el otro lado, mientras que las esferas que cayeron permanecen inmóviles. A primera vista, todo esto parece desprenderse de la energía y la conservación del momento. Sin embargo, la conservación de energía y momento proporcionar sólo dos ecuaciones, que son insuficientes para explicar o para determinar el comportamiento de las cinco esferas. Desafío 203 d. ¿Por qué entonces se comportan las esferas de esta manera? ¿Y por qué oscilan todas en fase cuando ha pasado un tiempo más largo? ∗∗ Un efecto sorprendente se utiliza en las herramientas caseras tales como martillos perforadores. Recordemos que cuando una pequeña bola golpea elásticamente una grande en reposo, las dos bolas se mueven tras el golpe, y la pequeña, obviamente, se mueve más rápido que la grande. A pesar de este resultado, cuando un cilindro corto choca con uno largo del mismo diámetro y material, pero con una longitud que es un múltiplo entero del corto, sucede algo extraño. Después del golpe, el pequeño cilindro permanece casi en reposo, mientras que el grande se mueve, como se muestra en la Figura 76. A pesar de que la colisión es elástica, la conservación de la energía parece no llevarse a cabo en este caso. (De hecho esta es la razón de que las demostraciones de las colisiones elásticas en las escuelas siempre se realizan con esferas.) Desafío 204 d. ¿Qué ocurre con la energía? FIGURA 76 Una colisión elástica que parece no obedecer a la conservación de energía. FIGURA 77 ¿Es esto posible? FIGURA 78 ¿Cómo se cae la escalera? ** ¿Es posible la estructura que se muestra en la Figura 77? ** Desafío 205 s. ¿Cuándo hay una sacudida más fuerte en una pared, cuando es golpeada por una pelota que rebota de ella o cuando se golpea con una pelota que queda pegada a ella? ∗∗ Desafío 206 s. Las amas de casa saben cómo descorchar una botella de vino con un paño. ¿Se imagina cómo? También saben cómo extraer el corcho con el paño, si el corcho ha caído dentro de la botella. ¿Cómo? ∗∗ El problema escalera deslizante, que se muestra esquemáticamente en la Figura 78, requiere el movimiento detallado de la escalera con el tiempo. El problema es más difícil de lo que parece, incluso si la fricción no se tiene en cuenta. Desafío 207 ny ¿Puede decir si el extremo inferior siempre toca el suelo? 91 ∗∗ Una escalera homogénea de 5m de longitud y de masa 30 kg se inclina en una pared. El ángulo es de 30 °; el coeficiente de fricción estática en la pared es insignificante, y en el suelo es 0,3. Una persona de 60 kg de masa sube la escalera. ¿Cuál es la altura máxima de la persona puede subir antes de que la escalera comience a deslizarse? Este y muchos enigmas acerca de escaleras puede encontrarse en www. mathematischebasteleien.de/leiter.htm. ∗∗ Una mosca común en la popa de un barco de 30.000 toneladas y 100 m de longitud lo inclina algo menos que el diámetro de un átomo. Hoy en día, distancias tan pequeñas se miden fácilmente. Desafío 208 s ¿Puede pensar en al menos dos métodos, uno de los cuales no debería costar más de 2.000 €? ** Desafío 209 ny. La imagen de tres giróscopos apilados mostrados en la Figura 79, ¿es una verdadera fotografía, que muestra una observación real, o es el resultado de la composición digital, mostrando una situación imposible? ∗∗ Desafío 210 s ¿Cómo es la energía cinética de una bala de fusil en comparación con la de un hombre que corre? ** FIGURA 79 ¿Es esta una situación posible o es una una impostura fotográfica? (© Wikimedia) Desafío 211 s ¿Qué pasa con el tamaño de un huevo cuando uno coloca en un frasco de vinagre durante unos días? ** Desafío 212 s ¿Cuál es la amplitud de oscilación de un péndulo de tal manera que el valor absoluto de su aceleración en el punto más bajo y en el punto de retorno sean iguales? ∗∗ Desafío 213 d ¿Puede usted confirmar que el valor de la aceleración de una gota de agua que cae a través de vapor es g / 7? ** Desafío 214 s Usted tiene dos esferas huecas: tienen el mismo peso, el mismo tamaño y están pintados en el mismo color. Una está hecho de cobre, la otra de aluminio. Obviamente, caen con la misma velocidad y aceleración. ¿Qué sucede si ambas ruedan por un plano inclinado? ∗∗ Desafío 215 ny(s) ¿Cuál es la forma de una cuerda cuando saltamos la cuerda? ** Desafíe a 216 s ¿Cómo se puede determinar la velocidad de una bala de rifle con sólo una balanza y una regla de un metro? ** Desafío 217 e ¿Por qué un arma hace un agujero en una puerta, pero no puede empujar para abrirla, exactamente lo contrario de lo que un dedo puede hacer? ** 92 Desafío 218 s ¿Cuál es la curva descrita por el punto medio de una escalera deslizándose por una pared? ** Una compañía de alta tecnología, ver www.enocean.com, vende interruptores eléctricos para las luces de las habitaciones que no tienen cables y sin célula de energía (batería). Usted puede pegar un interruptor de este tipo en el centro de un cristal de la ventana. Desafío 219 s¿Cómo es esto posible? ∗∗ Durante más de 50 años, un famoso fabricante de relojes suizo estuvo vendiendo relojes de mesa con un péndulo giratorio que no necesitan batería y sin rebobinado manual, ya que aprovechan la energía del ambiente. Uno de tales relojes se muestra en la Figura 80. Desafío 220 s ¿Puede usted imaginar cómo es el mecanismo de este reloj? ** Ascensores de barcos, como el que se muestra en la Figura 81, son máquinas impresionantes. Desafío 221 s ¿Cómo cambia el peso del elevador cuando el barco entra? ** ¿Cómo se mide la masa de un barco? ∗∗ Todas las masas se miden comparándolas, directa o indirectamente, con el kilogramo estándar en Sèvres, cerca de París. Desde hace algunos años, existe la seria duda de que el kilogramo estándar está perdiendo peso, posiblemente a través de la liberación de gases, con una tasa estimada de alrededor de 0,5 mg / a. Esta es una situación incómoda, y hay un gran esfuerzo, en todo el mundo para encontrar una definición mejor del kilogramo. Tal definición mejor debe ser simple, precisa y hacer innecesarios los viajes a Sèvres. Tal alternativa no se ha definido todavía. FIGURA 80 Un reloj comercial que no necesita ninguna fuente de energía especial, ya que toma su energía del medio ambiente (© Jaeger-LeCoultre). ∗∗ ¿Qué motor es más eficiente: un ciclomotor o un ser humano en una bicicleta? ** Desafío 222 e Tanto la masa como el momento de inercia se pueden definir y medir ambos con y sin contacto. ¿Puede hacerlo? ∗∗ La Figura 82 muestra la llamada piedra oscilante celta, también llamado anagyre o rattleback, una piedra que empieza a girar sobre una superficie plana cuando se pone a oscilar arriba y abajo. El tamaño puede variar entre unos pocos centímetros y unos pocos metros. Simplemente doblando una cuchara uno puede darse cuenta de una forma primitiva de este extraño dispositivo, si la curva no es completamente simétrica. La rotación es siempre en la misma dirección. Si la piedra se pone en rotación en la dirección equivocada, después de un tiempo se detiene y empieza a girar en el otro sentido! Desafío 223 d ¿Puede explicar el efecto que parece contradecir la conservación del momento angular? ** Un bonito efecto, la fuente de las cadenas, fue descubierto en 2013 por Steve Mould. Algunas cadenas, cuando salen de un recipiente, primero se elevan en el aire. Mire el video en www.youtube.com/embed/_dQJBBklpQQ y la historia del descubrimiento en stevemould.com . ¿le puede explicar el efecto a su abuela? 93 FIGURA 81 El espectacular elevador de barcos en Strépy-Thieu en Bélgica. ¿qué potencia del motor se necesita para levantar una nave, si los ascensores derecha e izquierda están conectados por cables o por un sistema hidráulico? (© Jean-Marie Hoornaert) FIGURA 82 La famosa piedra celta oscilante - arriba, a la derecha - y una versión hecha con una cuchara izquierda (© Ed Keath). 94 RESUMEN SOBRE CONSERVACIÓN Los dioses no son tan ricos como uno podría pensar: lo que le dan a uno, se lo quitan a otro. Antigüedad Nos hemos encontrado con cuatro principios de conservación que son válidos para sistemas cerrados en la vida cotidiana: • Conservación de la cantidad de movimiento total, • La conservación del momento angular total, • La conservación de la energía total, • Conservación de la masa total. Ninguna de estas leyes de conservación se aplica al movimiento de las imágenes. Estos principios de conservación se encuentran entre los grandes resultados de la ciencia. Limitan las sorpresas que la naturaleza puede ofrecer: la conservación significa que el momento lineal, el momento angular, y la masa-energía no pueden ser creados de la nada, ni pueden desaparecer en la nada. La Conservación limita la creación. La cita anterior, casi blasfema, expresa esta idea. Más adelante nos encontraremos con que estos resultados podrían haber sido deducidos a partir de tres observaciones simples: los sistemas cerrados se comportan igual con independencia de dónde se encuentren, en qué dirección se orienten y del momento en el que se establezcan. El movimiento es universal. En términos más abstractos y en cierto modo más general, a los físicos les gusta decir que todos los principios de conservación son consecuencias de invariancias, o simetrías, de la naturaleza. Más tarde, la teoría de la relatividad especial se mostrará que la energía y la masa se conservan sólo cuando se consideran juntas. Muchas aventuras nos esperan todavía . 95 CAPÍTULO 5 DE LA ROTACIÓN DE LA TIERRA A LA RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Eppur si muove! Anónimo.* Y sin embargo se mueve ¿E stá girando la Tierra? La búsqueda de respuestas concretas a esta pregunta es un capítulo interesante de la historia de la física clásica. Alrededor del año 265 aC, en Samos, el pensador griego Aristarco se aventuró a sostener que la Tierra gira. Él había medido la paralaje de la Luna (conocida hoy por 'ser de hasta 0,95 °) y del Sol (conocida hoy por ser 8,8 )' ** La paralaje es una noción cautivadora. Es el ángulo que describe la diferencia entre las direcciones de la posición de un cuerpo en la bóveda celeste cuando es visto por un observador en la superficie de la Tierra y cuando visto por un observador hipotético en el centro de la Tierra. (Ver Figura 83). Aristarco notó que la Luna y el Sol oscilan a través del firmamento, y esta oscilación tiene una duración de 24 horas. Llegó a la conclusión de que la Tierra gira. Parece que Aristarco recibió amenazas de muerte por su resultado. La observación de Aristarco da un argumento aún más poderoso que los senderos de las estrellas que se muestran en la Figura 84. Desafío 224 e ¿Puede explicar por qué? (Desafío 225 s. Y ¿cómo se ven los senderos en los lugares más poblados de la Tierra?) Si la Tierra gira, dijo un no convencido, la velocidad en el ecuador tiene el valor sustancial de 0,46 km / s. Desafío 225-b f Como explicó Galileo, ¿por qué no lo sentimos o nos damos cuenta de esto? Las medidas de la aberración de la luz muestran también la rotación de la Tierra, ésta puede ser detectada con un telescopio mientras miramos las estrellas. La aberración es un cambio de la dirección esperada de la luz, que vamos a discutir en breve. En el Ecuador, la rotación de la Tierra agrega una desviación angular de 0,32’ que cambia de signo cada 12 horas, la aberración debida al movimiento de la Tierra alrededor del Sol, agrega unos 20,5 '. En los tiempos modernos, los astrónomos han encontrado una serie de pruebas adicionales, pero ninguna es accesible al hombre de la calle. Por otra parte, las medidas que mostraban que la Tierra no es una esfera, sino que está achatada en los polos, confirmaron la rotación de la Tierra. La Figura 85 ilustra la situación. Una vez más, sin embargo, esta medida realizada en el siglo XVIII por Maupertuis *** no es accesible a la observación cotidiana. FIGURA 83 La paralaje – no está dibujada a escala. ** "Y sin embargo se mueve" es la frase sobre la Tierra atribuida, probablemente de manera incorrecta, a Galileo desde la década de 1640. Es cierto, sin embargo, que en el juicio se vio obligado a retractarse públicamente de la idea de una Tierra en movimiento para salvar su vida. Para más detalles de esta famosa historia, vea la sección en la página 289. ** Para la definición del concepto de ángulo, consulte la página 65, y para la definición de las unidades de medida de ángulo vea el Apéndice B. *** Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), físico y matemático francés. Era una de las figuras clave en la búsqueda del principio de mínima acción, que él nombró de esta manera. También fue presidente fundador de la Academia de Ciencias de Berlín. Maupertuis pensó que el principio refleja la maximización de la bondad en el universo. Esta idea fue ridiculizada a fondo por Voltaire en este Histoire du Docteur Akakia et du natif de Saint-Malo, 1753. Maupertuis (www.voltaire-integral.com/Html/23/08DIAL.htm) realizó su medición de la Tierra para distinguir entre la teoría de la gravitación de Newton y la de Descartes, que había predicho que la Tierra es alargada en los polos, en lugar de aplanada. 96 FIGURA 84 El movimiento de las estrellas durante la noche, observado el 1 de mayo de 2012 desde el Polo Sur, junto con la luz verde de una aurora austral (© Robert Schwartz). FIGURA 85 Desviación de la Tierra de forma esférica debido a su rotación (exagerada). FIGURA 86 Las desviaciones de la caída libre hacia el este y hacia el Ecuador, debido a la rotación de la Tierra. Fue entonces, en los años 1790 a 1792 en Bolonia, que Giovanni Battista Gugliemini (1763-1817), finalmente tuvo éxito en medir lo que Galileo y Newton habían pronosticado que era la prueba más simple para la rotación de la Tierra. En la Tierra, los objetos no caen verticalmente, sino que están ligeramente desviados hacia el este. Esta desviación aparece porque un objeto mantiene la velocidad horizontal más grande que tenía en la altura desde la que empezó a caer, como se muestra en la Figura 86. El resultado de Gugliemini fue la primera prueba no astronómica de la rotación de la Tierra. Los experimentos fueron repetidos en 1802 por Johann Friedrich Benzenberg (1777-1846). Usando bolas de metal cayendo de la torre Michaelis en Hamburgo - una altura de 76 m - Benzenberg encontró que la desviación hacia el este fue de 9,6 mm. 97 Desafío 226 d. ¿Puede confirmar que el valor medido por Benzenberg casi coincide con la hipótesis de que la Tierra gira una vez cada 24 horas? También hay una desviación mucho menor hacia el Ecuador, no medida por Gugliemini, Benzenberg ni nadie después de ellos hasta el día de hoy, sin embargo, esto completa la lista de los efectos de la rotación de la Tierra sobre la caída libre. Ambas desviaciones de la caída vertical, se entienden fácilmente si utilizamos el resultado (que se describe más adelante) de que los objetos que caen describen una elipse alrededor del centro de la Tierra en rotación. La forma elíptica muestra que la trayectoria de una piedra lanzada al aire no se encuentra en un plano para un observador situado en la Tierra; por lo tanto, para tal observador, la trayectoria exacta no puede ser dibujada en un trozo de papel. En 1798, Pierre Simon Laplace* explicó cómo se mueven los cuerpos en la Tierra en rotación y demostró que sienten una fuerza aparente. Posteriormente, en 1835, Gustave-Gaspard Coriolis reformuló la descripción. Imagínese una bola que rueda sobre una mesa. Para una persona en el suelo, la bola rueda en línea recta. Ahora imagine que la mesa gira. Para la persona en el suelo, la pelota sigue rodando en línea recta. Pero para una persona en la mesa giratoria, la pelota recorre una trayectoria curva. En resumen, cualquier objeto que se desplaza en un fondo de rotación está sujeto a una aceleración transversal. La aceleración, descubierta por Laplace, hoy en día se llama aceleración de Coriolis o efecto Coriolis. Sobre un espacio en rotación, los objetos que viajan se desvían de la línea recta. La mejor manera de entender el efecto de Coriolis es experimentarlo usted mismo, lo que se puede hacer en un carrusel, como se muestra en la Figura 87. Ver películas en Internet sobre el tema también es útil. Usted se dará cuenta de que en un carrusel que gira no es fácil darle a un blanco lanzando o haciendo rodar una pelota. FIGURA 87 Un carrusel típico permite observar el efecto de Coriolis, en su aspecto más llamativo: si una persona hace rodar una bola con la velocidad y la dirección correcta, la pelota es desviada con tanta fuerza que retornar a él. También la tierra es un sistema rotacional. En el hemisferio norte, la rotación es antihoraria (hacia la izquierda). Como resultado, cualquier objeto en movimiento se desvía ligeramente en sentido horario (hacia la derecha) aunque la magnitud de su velocidad se mantiene constante. En la Tierra, al igual que en todos los sistemas rotacionales, la aceleración de Coriolis a resulta de la variación de la distancia al eje de rotación. ⃗ ×⃗v ? Desafío 227 s. ¿Puede deducir la expresión analítica para el efecto de Coriolis, a saber a⃗c =−2 ω En la Tierra, la aceleración de Coriolis en general, tiene un valor pequeño. Por lo tanto, se observa mejor bien sea a escalas grandes o bien en fenómenos con alta velocidad. De hecho, la aceleración de Coriolis determina la tendencia de muchos fenómenos a gran escala con forma de espiral, como las direcciones de los ciclones y anticiclones en meteorología, los patrones generales de los vientos sobre la Tierra y la desviación de las corrientes oceánicas y las mareas. Estos fenómenos tienen tendencias opuestas en el hemisferio norte y en el sur. De forma elegante, la aceleración de Coriolis explica por qué los icebergs no siguen la dirección del viento a medida que se alejan de los casquetes polares. La aceleración de Coriolis también juega un papel en el vuelo de las balas de cañón (que era el interés original de Coriolis), en los lanzamientos de satélites, en el desplazamiento de las manchas solares e incluso en el movimiento de los electrones en las moléculas. Todas estas aceleraciones de Coriolis son de signo contrario en los hemisferios norte y sur y así demuestran ** Pierre Simon Laplace (n. 1749 Beaumont-en-Auge, d. 1827 París), importante matemático francés. Su famoso tratado Traité de Mécanique céleste apareció en cinco volúmenes entre 1798 y 1825. Él fue el primero en proponer que el sistema solar se formó a partir de una nube de gas en rotación, y una de las primeras personas en imaginar y explorar agujeros negros. 98 la rotación de la Tierra. (En la Primera Guerra Mundial, muchos cañones navales erraron sus objetivos en el hemisferio sur debido a que los ingenieros les habían compensado el efecto de Coriolis en el hemisferio norte). No fue hasta 1962, después de varios intentos anteriores llevados a cabo por otros investigadores, que Asher Shapiro fue el primero en verificar que el efecto de Coriolis tiene una pequeña influencia en la dirección del vórtice formado por el agua que fluye por el desagüe de una bañera. En lugar de una bañera normal, tenía que utilizar un cuidadoso diseño experimental, ya que, contrariamente a la afirmación oída con frecuencia, este efecto no se puede ver en una bañera real. Él tuvo éxito sólo al eliminar cuidadosamente todas las perturbaciones del sistema; por ejemplo, esperó 24 horas después de llenar la bañera (y en realidad nunca cedió su lugar a ninguna persona ni dio un paso dentro o fuera de ella!) con el fin de evitar cualquier movimiento residual hacia la izquierda del agua que pudiera alterar el efecto, y construyó un mecanismo de apertura con un cuidado diseño, totalmente simétrico rotacionalmente-. Otros han repetido el experimento en el hemisferio sur, buscando un sentido de giro contrario confirmando así el resultado. En otras palabras, la tendencia de los vórtices en una bañera ordinaria no es causada por la rotación de la Tierra, sino que resulta de la forma en que el agua empieza a fluir hacia el desagüe. (Una serie de delincuentes en Quito, ciudad situada en el ecuador, muestran a turistas incautos que el vórtice en un fregadero cambia al cruzar la línea del Ecuador dibujado en la carretera.) Pero vamos adelante con la historia de la rotación de la Tierra. FIGURA 88 El movimiento de giro del plano de un péndulo muestra la rotación de la Tierra. En 1851, el médico francés reconvertido en físico, Jean Bernard Léon Foucault (n. 1819 París, d. 1868 Paris) realizó un experimento que eliminó todas las dudas al respecto y le hizo famoso de la noche a la mañana. Suspendió un largo péndulo de 67m * en el Panteón de París y mostró a un público estupefacto que la dirección de su giro cambiaba con el tiempo, rotando lentamente. Para cualquier persona paciente bastan unos pocos minutos para ver el cambio de dirección; el experimento demostraba que la Tierra gira. Si la Tierra no rotara, la oscilación del péndulo siempre continuará en la misma dirección. En una rotación de la Tierra, en París, la dirección cambia hacia la derecha, en sentido agujas del reloj, como se muestra en la Figura 88. La dirección de giro no cambia si el péndulo se encuentra en el ecuador, y cambia a la izquierda en el hemisferio sur. * Una versión moderna del péndulo se puede observar a través de la web camat pendelcam.kip.uni-heidelberg.de / ; películas de alta velocidad de movimiento del péndulo durante el día y la noche se pueden descargar en www.kip.uniheidelberg.de/ OeffWiss / Pendel-Internetauftritt / zeitraffer.php. Desafío 229 d. El tiempo durante el cual la orientación de oscilación del péndulo realiza una vuelta completa - el tiempo de precesión – se puede calcular. Estudiando un péndulo que comienza a oscilar en la dirección Norte-Sur e encuentra que el tiempo de precesión T Foucault viene dado por TFoucault = 23 h 56min / sin φ (32) donde φ es la latitud de la ubicación del péndulo, por ejemplo, 0 ° en el ecuador y 90 ° en el Polo Norte. Esta fórmula es uno de los más bellos resultados de la cinemática de Galileo. ** *Desafío 228 d. * ¿Por qué fue necesario un péndulo tan largo? Comprender las razones permiten repetir el experimento en casa, utilizando un péndulo tan corto como 70 cm, con la ayuda de un par de trucos. Para observar el efecto de Foucault con una simple puesta a punto, adjunte un péndulo a su silla de oficina y gire la silla lentamente. Varias animaciones de péndulo, con una desviación exagerada, se puede encontrar en commons.wikimedia.org / wiki / Foucault_pendulum. ** El descubrimiento también muestra cómo la precisión y la genialidad van de la mano. En realidad, el primero en observar el efecto fue Vincenzo Viviani, alumno de Galileo, ya en 1661! De hecho, Foucault había leído sobre el trabajo de Viviani en las publicaciones de la Academia dei Lincei. Pero fue necesario el genio de Foucault para conectar el efecto a la rotación de la Tierra; nadie lo había hecho antes que él. 99 Foucault fue también el inventor del giroscopio y quien le dio nombre. Construyó el dispositivo, que se muestra en la Figura 89, en 1852, un año después de su péndulo. Con él, se volvió a demostrar la rotación de la Tierra. Una vez que un giroscopio gira, el eje permanece fijo en el espacio - pero sólo cuando se ve desde las estrellas distantes o galaxias. (Esto no es lo mismo que hablar de espacio absoluto. Desafío 230 s ¿Por qué?) Para un observador en la Tierra, la dirección del eje cambia regularmente con un período de 24 horas. Los giroscopios se utilizan actualmente de forma rutinaria en los buques y aviones para dar la dirección del norte, debido a que son más precisos y fiables que las brújulas magnéticas. En las versiones más modernas, se utiliza luz láser corriendo en círculos en lugar de las masas en rotación. **** En 1909, Roland von Eötvös midió un efecto simple: debido a la rotación de la Tierra, el peso de un objeto depende de la dirección en que se mueve. Como resultado, una balanza en rotación alrededor de un eje vertical no se mantiene perfectamente horizontal: la balanza empieza a oscilar ligeramente. Desafío 232 s. ¿Puede explicar el origen del efecto? FIGURA 89 El giroscopio: el sistema original por Foucault con su peonza que se puede mover libremente, el dispositivo mecánico para proporcionarle velocidad, el dispositivo óptico para detectar su movimiento, el principio de la construcción en general, y un moderno (triangular) anillo giroscopio láser, basado en el cambio de color de la luz láser girando en lugar de cambios angulares de una masa giratoria (© CNAM, JAXA). En 1910, John Hagen publicó los resultados de un experimento aún más simple, propuesto por Louis Poinsot en 1851. Dos masas se ponen en una barra horizontal que puede girar alrededor de un eje vertical, el llamado isotomeografo. Su masa total fue de 260 kg. Si las dos masas se mueven lentamente hacia el soporte, como se muestra en la Figura 90, y si la fricción se mantiene lo suficientemente baja, la barra rota. Obviamente, esto no pasaría si la Tierra no estuviera girando. Desafío 233 s. ¿Puede explicar la observación? Este efecto poco conocido es también útil para ganar apuestas entre físicos. En 1913, Arthur Compton mostró que un tubo cerrado lleno de agua y algunas partículas flotantes pequeñas (o burbujas) se puede utilizar para mostrar la rotación de la Tierra. El dispositivo se llama tubo de Compton o rueda Compton. Compton demostró que cuando un tubo horizontal lleno de agua se gira 180 °, sucede algo que le permite a uno probar que la Tierra gira. El experimento, se muestra en la Figura 91, **** El cálculo del período del péndulo de Foucault supone que la tasa de precesión es constante durante una rotación. Esta es sólo una aproximación (aunque por lo general una buena). Desafío 231 s *** ¿Puede adivinar cómo se detecta la rotación en este caso? 100 incluso permite la medición de la latitud del punto donde se realiza el experimento. Desafío 234 d. ¿Puede adivinar lo que sucede? FIGURA 90 Mostrando la rotación de la Tierra a través de la rotación de un eje. FIGURA 91 Demostración de la rotación FIGURA 92 Un moderno interferómetro láser de anillo de alta precisión (© Bundesamt für Kartographie und Geodäsie, Carl Zeiss). Otro método para detectar la rotación de la Tierra usando la luz lo realizó por primera vez en 1913 el físico francés Georges Sagnac:* se utiliza un interferómetro para producir franjas brillantes y oscuras de luz con dos haces de luz, uno que circula en dirección hacia la derecha (sentido horario), y el segundo que circula en sentido antihorario. Las franjas de interferencia se desplazan cuando todo el sistema gira; cuanto más rápido gira, más grande es el cambio. Una versión moderna, de alta precisión del experimento, que utiliza el láser en lugar de lámparas, se muestra en la Figura 92. Sagnac también determinó la relación entre el desplazamiento de las franja y los detalles del experimento. Desafío 235 s. La rotación de un interferómetro de anillo completo con frecuencia angular (vector) Ω produce un cambio de fase de la franja angular Δφ dada por Δ φ= 8 πΩ · a cλ (33) donde a es el área (vector) encerrada por los dos rayos de luz que interfieren, su longitud de onda λ y c la velocidad de la luz. El efecto se llama ahora el efecto Sagnac por su descubridor. Ya lo había predicho, 20 años antes, Oliver Lodge ** Hoy, los interferómetros Sagnac son la parte central de los giroscopios láser mostrados en la Figura 89 - y se encuentran en todos los aviones de pasajeros, misiles y submarinos, con el fin de medir los cambios su movimiento y por lo tanto para determinar su posición real. Una parte del desplazamiento de la franja es debida a la rotación de la Tierra. Modernos interferómetros Sagnac de alta precisión utilizan el láser de anillo con áreas de unos pocos metros cuadrados, como se muestra en la Figura 92. Tal interferómetro de anillo es capaz de medir las variaciones de las tasas de rotación de la tierra de menos de una parte por millón. De hecho, en el transcurso de un año, la duración de un día varía irregularmente en unos pocos milisegundos, sobre todo debido a las influencias del Sol o la Luna, debido a los cambios de tiempo y debido al magma caliente que fluye en el interior de la Tierra. *** Pero también los terremotos, el efecto de El Niño en el clima y el llenado de las grandes presas de agua * Georges Sagnac (b. 1869 Perigeux, d. 1928 Meudon-Bellevue) fue un físico en Lille y París, amigo de los Curie, Langevin, Perrin, y Borel. Sagnac también deducirá de su experimento que la velocidad de la luz es independiente de la velocidad de su fuente, y así confirmó una predicción de la relatividad especial. ** Oliver Lodge (1851–1940) fue un físico británico que estudió las ondas electromagnéticas y trató de comunicarse con los muertos. Una figura extraña, pero influyente, sus ideas se citan a menudo cuando los físicos quieren divertirse; por ejemplo, fue uno de esos (raros) físicos que creían que al final del siglo XIX la física estaba completa. *** El crecimiento de las hojas en los árboles y el consiguiente cambio en el momento de inercia de la Tierra, que ya fue pensado en 1916 por Harold Jeffreys, es demasiado pequeño para ser visto, ya que está escondido por efectos más grandes. 101 tienen efectos sobre la rotación de la Tierra. Todos estos efectos se pueden estudiar con tales interferómetros de alta precisión; también pueden ser utilizados para la investigación sobre el movimiento del suelo debido a las mareas lunares o terremotos, y para los controles sobre la teoría de la relatividad especial. Por último, en 1948, siendo estudiante universitario Hans Bucka desarrolló el experimento más simple hasta el momento para demostrar la rotación de la Tierra. Una barra de metal le permite a uno detectar la rotación de la Tierra después de sólo unos segundos de observación, mediante la puesta a punto del dispositivo de la Figura 93. El experimento puede ser fácilmente realizado en clase. Desafío 236 s. ¿Puede adivinar cómo funciona? En resumen, las observaciones muestran que la superficie de la Tierra gira a 464 m/s en el ecuador, un valor mayor que el de la velocidad del sonido en el aire, que es de unos 340 m/s en condiciones habituales. La rotación también implica una aceleración, en el Ecuador, de 0,034 m/s 2. En efecto, estamos dando vueltas por el universo. FIGURA 93 Observando la rotación de la Tierra en dos segundos. ¿CÓMO GIRA LA TIERRA? ¿Es la rotación de la Tierra, o sea la longitud del día, constante en escalas de tiempo geológicas? Esa es una pregunta difícil. Si usted encuentra un método que conduzca a una respuesta, ¡publíquelo! (Lo mismo es cierto para la cuestión de si la duración del año es constante.) Sólo unos pocos métodos son conocidos, como vamos a encontrar en breve. La rotación de la Tierra no es siquiera constante durante el período de una vida humana. Varía por unas pocas partes en 108. En particular, en una escala de tiempo "secular" (de un siglo), la duración de los días aumenta en alrededor de 1 a 2 ms por siglo, principalmente debido a la fricción de la Luna y el derretimiento de los casquetes polares . Esto se dedujo mediante el estudio de las observaciones astronómicas históricas de la antigua Babilonia y de los astrónomos árabes. Cambios adicionales 'decádicos' tienen una amplitud de 4 o 5 ms y son debido al movimiento de la parte líquida del núcleo de la Tierra. (El centro del núcleo de la Tierra es sólido, lo que fue descubierto en 1936 por la sismóloga danesa Inge Lehmann (1888-1993), su descubrimiento fue confirmado de forma más impresionante por dos sismólogos británicos en 2008, que detectaron ondas de corte del núcleo interno, confirmando así la conclusión de Lehmann. Hay un núcleo líquido alrededor del núcleo sólido.) Los cambios estacionales y bianuales de la duración del día - con una amplitud de 0,4 ms durante seis meses, otro de 0,5 ms a largo del año, y 0,08 ms en períodos de 24 a 26 meses - se deben principalmente a los efectos de la atmósfera. En la década de 1950 la disponibilidad de mediciones de precisión mostró que hay incluso un período de 14 y 28 días con una amplitud de 0,2 ms, debido a la luna. En la década de 1970, se descubrieron las oscilaciones debidas al viento con una escala de longitud de alrededor de 50 días, que también se encontró que alteran la longitud del día, con una amplitud de alrededor de 0,25 ms. Sin embargo, estas últimas variaciones son bastante irregulares. También los océanos influyen en la rotación de la Tierra, debido a las mareas, a las corrientes del océano, el empuje del viento y el empuje de la presión atmosférica. Otros efectos se deben a las variaciones de la capa de hielo y también a la evaporación del agua y a la lluvia que cae. Por último, pero no menos importante, los flujos en el interior de la Tierra, tanto en el manto como en el núcleo, cambian la rotación. Por ejemplo, los terremotos, el movimiento de las placas, el rebote post-glacial y las erupciones volcánicas, influyen en la rotación. 102 Pero, después de todo ¿por qué gira la Tierra? La rotación se deriva de la rotación de la nube de gas que giraba en el origen del sistema solar. Esta conexión explica que el Sol y todos los planetas, excepto uno, giran en la misma dirección, y también que todos giran alrededor del Sol en la misma dirección. Pero la historia completa está fuera del alcance de este texto. La rotación alrededor de su eje no es el único movimiento de la Tierra; realiza otros movimientos también. Esto ya era conocido hace mucho tiempo. En 128 aC, el astrónomo griego Hiparco descubrió lo que hoy se llama la precesión (equinoccial). Comparó la medición hecha por él mismo con otra realizada 169 años antes. Hiparco encontró que el eje de la Tierra apuntaba a diferentes estrellas en diferentes momentos. Llegó a la conclusión de que el cielo se estaba moviendo. Hoy preferimos decir que el eje de la Tierra se está moviendo. (¿Por qué?). Durante un período de 25 800 años el eje traza un cono con un ángulo de apertura de 23,5 ° .Este movimiento, que se muestra en la Figura 94, se genera por las fuerzas de marea de la Luna y el Sol sobre el abultamiento ecuatorial de la Tierra que forma su achatamiento. El Sol y la Luna tratan de alinear el eje de la Tierra en ángulo recto con la trayectoria de la Tierra; este par conduce a la precesión del eje de la Tierra. La precesión es un movimiento común a todos los sistemas rotatorios: aparece en los planetas, trompos y átomos. (La precesión está también en la base de la sorpresa relacionada con la rueda suspendida mostrada en la Figura 95). La precesión se ve más fácilmente en trompos, estén suspendidos o no. Un ejemplo se muestra en la Figura 95; para los núcleos atómicos o planetas, solo imagine que falta el cable de suspensión y el cuerpo giratorio es menos plano. Sobre la Tierra la precesión conduce a la surgencia del agua profunda en el Océano Atlántico Ecuatorial y cambia regularmente la ecología de las algas. FIGURA 94 La precesión y nutación del eje de la Tierra. Además, el eje de la Tierra no está ni siquiera fijado en relación con la superficie de la Tierra. En 1884, mediante la medición del ángulo exacto sobre el horizonte del Polo Norte celeste, Friedrich Küstner (18561936) encontró que el eje de la Tierra se mueve con respecto a la corteza de la Tierra, como Bessel había sugerido 40 años antes. Como consecuencia del descubrimiento de Küstner, se creó el Servicio Internacional de la Latitud. El movimiento polar que Küstner descubrió resultó constar de tres componentes: una pequeña deriva lineal - que todavía no entendemos - un movimiento anual elíptico debido a los cambios estacionales de las masas de aire y agua, y un movimiento circular* con un período de alrededor de 1,2 años debido a las fluctuaciones de la presión en el fondo de los océanos. FIGURA 95 La precesión de una peonza suspendida (mpg film © Lucas Barbosa) * El movimiento circular, un bamboleo, fue predicho por el gran matemático suizo Leonhard Euler (1707- 1783). En una historia increíble, con predicciones de Euler y de Bessel y datos de Kustner, en 1891 Seth Chandler afirmó ser el descubridor del componente circular. 103 En la práctica, el Polo Norte se mueve con una amplitud de unos 15 m alrededor de una posición central media, como se muestra en la Figura 96. Las variaciones a corto plazo de la posición del Polo Norte, debido a las variaciones locales en la presión atmosférica, al cambio del clima y a las mareas, también se han medido. Sólo con la ayuda de la posición exacta del eje de la Tierra es posible la alta precisión del sistema GPS; y sólo con este conocimiento pueden guiarse satélites artificiales a Marte u otros planetas. Los detalles del movimiento de la Tierra se han estudiado con gran minuciosidad. La Tabla 25 ofrece una visión general de los conocimientos y la precisión que se encuentra disponible en la actualidad. En 1912, el meteorólogo y físico alemán Alfred Wegener (1880-1930) descubrió un efecto aún mayor. Después de estudiar las formas de las plataformas continentales y las capas geológicas en ambos lados del Atlántico, conjeturó que los continentes se mueven, y que todos ellos son fragmentos de un único continente que se separó hace 200 millones de años.* A pesar de que en un primer momento todo el mundo,se burló de él, los descubrimientos de Wegener eran correctos. FIGURA 96 El movimiento del Polo Norte desde 2003 a 2007, incluyendo la predicción hasta 2008 (izquierda) y la posición promedio desde 1900 (derecha) - con 0,1 segundos de arco estar alrededor de 3,1 m en la superficie de la Tierra - no se representan las variaciones diurnas y semidiurnas de una fracción de un milisegundo de arco debido a las mareas (de hpiers.obspm.fr/eop-pc). Mediciones modernas con satélites, que se muestran en la Figura 97, confirman este modelo. Por ejemplo, el continente americano se aleja del continente europeo por unos 10 mm por año. También hay especulaciones de que esta velocidad puede haber sido mucho mayor en ciertos períodos en el pasado. La manera de comprobar esto es mirando la magnetización de las rocas sedimentarias. En la actualidad, éste sigue siendo un tema candente de la investigación. Después de la versión moderna del modelo, llamada tectónica de placas, los continentes (con una densidad de 2,7⋅103 kg/m3) flotan en el manto fluido de la tierra (con una densidad de 3,1⋅103 kg/m3) como piezas de corcho en agua, y la convección en el interior del manto proporciona el mecanismo de accionamiento para el movimiento. ¿SE MUEVE LA TIERRA? El centro de la Tierra no está en reposo en el universo. En el siglo III aC Aristarco de Samos afirmó que la Tierra gira alrededor del sol. Los experimentos tales como la de la Figura 98 confirman que la órbita es una elipse. Sin embargo, una dificultad fundamental del sistema heliocéntrico es que las estrellas tienen el mismo aspecto durante todo el año. ¿Cómo puede ser esto, si la Tierra gira alrededor del Sol? La distancia entre la Tierra y el Sol se conoce desde el siglo XVII, pero fue sólo en 1837 que Friedrich Wilhelm Bessel * se convirtió en el primero en observar la paralaje de una estrella. Este fue el resultado de mediciones muy *** En este viejo continente, llamado Gondwana, había un enorme río que fluye hacia el oeste desde el Chad hasta Guayaquil en Ecuador. Después de que el continente se separara, este río aún fluía hacia el oeste. Cuando aparecieron los Andes, el agua fue bloqueada, y muchos millones de años más tarde, fluía hacia atrás. Hoy en día, el río sigue fluyendo hacia el este y se llama el río Amazonas. **Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), astrónomo de Westfalia que dejó una exitosa carrera empresarial para dedicar su vida a las estrellas, y se convirtió en el astrónomo más importante de su época. 104 cuidadosas y cálculos complejos: descubrió las funciones de Bessel con el fin de realizarlo. Él fue capaz de encontrar una estrella, 61 Cygni, cuya posición aparente cambiaba con el mes del año. Visto a lo largo de todo el año, la estrella describe una pequeña elipse en el cielo, con una apertura de 0,588'' (este es el valor actual). Después de eliminar cuidadosamente todas las otras posibles explicaciones, dedujo que el cambio de posición se debe al movimiento de la Tierra alrededor del Sol, y por el tamaño de la elipse determinó la distancia a la estrella que resultó ser 105 Pm, o 11,1 años luz. FIGURA 97 Las placas continentales son los objetos del movimiento tectónico. FIGURA 98 El tamaño angular del Sol cambia debido al movimiento elíptico de la Tierra(© Anthony Ayiomamitis). Desafío 237 s. Bessel por lo tanto había logrado por primera vez medir la distancia a una estrella. Al hacerlo, también demostró que la Tierra no está fija con respecto a las estrellas en el cielo y que, de hecho, la Tierra gira alrededor del sol. El movimiento en sí mismo no fue una sorpresa. Se confirmó el resultado de la aberración de la luz que se ha mencionado antes, descubierta en 1728 por James Bradley * y que se discutirán más adelante; la Tierra se mueve alrededor del sol.Con la mejora de los telescopios, se descubrieron otros movimientos de la Tierra. En 1748, James Bradley anunció que hay un pequeño cambio regular de la precesión, que él llamó nutación, con un periodo de 18,6 años y una amplitud angular de 19,2''. FIGURA 99 Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846). La Nutación se debe a que el plano de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra no es exactamente el mismo que el plano de la órbita de la Tierra alrededor del sol. Desafío 238 e. ¿Es capaz de confirmar que esta situación produce nutación? ** James Bradley (1693-1762), astrónomo Inglés. Fue uno de los primeros astrónomos en comprender el valor de la medición precisa, y modernizó a fondo Greenwich. Él descubrió la aberración de la luz, un descubrimiento que demostró que la Tierra se mueve y también le permitió medir la velocidad de la luz; también descubrió la nutación de la Tierra. 105 TABLA 25 Datos modernos de medición sobre el movimiento de la Tierra (de hpiers.obspm.fr/eop-pc). OBSERVABLE SÍMBOLO VALOR Velocidad angular media de la Tierra Ω 72.921 150(1) μrad/s Velocidad angular nominal de la Tierra (época 1820) ΩN 72.921 151 467 064 μrad/s Día solar medio convencional (época 1820) d 86 400 s Día sidéreo convencional dsi 86 164.090 530 832 88 s Razón Día solar medio conv. a Día sidéreo conv. duración Convencional del día estelar Razón Día solar medio conv.a Día estelar k = d/dsi dst k’ = d/dst 1.002 737 909 350 795 86 164.098 903 691 s 1,002 737 811 911 354 48 Precesión general en longitud p 5.028 792(2)''/a Oblicuidad de la eclíptica (época 2000) ε0 23° 26' 21.4119'' período Kustner-Chandler en el marco terrestre TKC 433.1(1.7) d Factor de calidad del pico Kustner-Chandler QKC 170 Período de nutación libre en la trama celeste TF 430.2(3) d Factor de calidad de la nutación libre del núcleo QF 2 ⋅ 104 Unidad Astronómica AU 149 597 870.691(6)km Año sidéreo (año 2000) asi 365.256 363 004 d =365d 6 h 9 min 9.76s Año Trópico atr 365.242 190 402 d =365 d 5 h 48min 45.25 s Período principal de la Luna TM 27.321 661 55(1) d Radio ecuatorial de la Tierra a 6 378 136.6(1)m Primer momento de inercia ecuatorial A 8.0101(2) ⋅ 1037 kgm2 Longitud del eje principal de inercia A λA −14.9291(10)° Segundo momento de inercia ecuatorial B 8.0103(2) ⋅ 1037 kgm2 momento de inercia axial C 8.0365(2) ⋅ 1037 kgm2 momento de inercia ecuatorial del manto Am 7.0165 ⋅ 1037 kgm2 momento de inercia axial del manto Cm 7.0400 ⋅ 1037 kgm2 Achatamiento de la Tierra f 1/298.25642(1) Achatamiento dinámico Astronómico de la Tierra H = (C − A)/C 0.003 273 794 9(1) Achatamiento dinámico Geofísico de la Tierra e = (C − A)/A 0.003 284 547 9(1) Aplanamiento dinámico del núcleo de la Tierra ef Término de segundo grado en el potencial de gravedad de la Tierra Razón secular de J2 Número de Love (medidas de la distorsión de forma por las mareas) J2 = −(A + B −2C)/(2MR2) dJ2/dt 0.002 646(2) 1.082 635 9(1) ⋅ 10−3 −2.6(3) ⋅ 10−11 /a k2 0.3 Número Secular de Love ks 0.9383 Principal gravedad ecuatorial geq 9.780 3278(10)m/s2 constante de gravitación Geocéntrica GM 3.986 004 418(8) ⋅ 1014 m3/s2 Constante de gravitación Heliocéntrica Relación de masas Luna-Tierra GM⊙ μ 1.327 124 420 76(50) ⋅ 1020 m3/s2 0.012 300 038 3(5) 106 Los astrónomos también descubrieron que la inclinación de 23,5 ° - u oblicuidad - del eje de la Tierra, el ángulo entre su intrínseca y su momento angular orbital, en realidad cambia de 22,1 ° a 24,5 °, con un período de 41 000 años. Este movimiento se debe a la atracción del Sol y de las desviaciones de la Tierra de una forma esférica. En 1941, durante la Segunda Guerra Mundial, el astrónomo serbio Milutin Milankovitch (1879-1958) se retiró a la soledad y exploró las consecuencias. En sus estudios se dio cuenta de que este período de 41 000 años de la oblicuidad, junto con un período medio de 22 000 años, debido a la precesión, * da lugar a las más de 20 eras glaciares de los últimos 2 millones de años. Esto ocurre mediante la mayor o menor irradiación de los polos por el sol. Las cantidades cambiantes de hielo derretido dan lugar a cambios en la temperatura media. La última edad de hielo tuvo su auge hace unos 20 000 años y finalizó hace unos 11 800 años; la siguiente está todavía muy lejos. Una espectacular confirmación de la relación entre los ciclos de la edad de hielo y la astronomía vino a través de las mediciones de las proporciones de isótopos de oxígeno en los núcleos de hielo y sedimentos marinos, que permiten que pueda ser rastreada la temperatura media en los últimos millones de años. La Figura 101 muestra cómo de cerca sigue la temperatura los cambios en la irradiación debidos a cambios en la oblicuidad y la precesión. La órbita de la Tierra también cambia su excentricidad con el tiempo, desde completamente circular a ligeramente ovalada y viceversa. Sin embargo, esto ocurre en formas muy complejas, no con regularidad periódica, y se debe a la influencia de los grandes planetas del sistema solar en la órbita de la Tierra. La escala de tiempo típica es de 100 000 a 125 000 años. FIGURA 100 Cambios en el movimiento de la tierra alrededor del Sol. Además, la órbita de la Tierra cambia en inclinación con respecto a las órbitas de los otros planetas; esto parece ocurrir con regularidad cada 100 000 años. En este período la inclinación cambia de 2,5 ° a -2,5 ° y viceversa. Incluso la dirección en la que apunta la elipse cambia con el tiempo. Este llamado desplazamiento del perihelio se debe en gran parte a la influencia de los otros planetas; una pequeña parte restante será importante en el capítulo de la relatividad general. Fue la primera pieza de datos que confirmaban la teoría de Einstein: el desplazamiento del perihelio de Mercurio. Obviamente, la longitud del año también cambia con el tiempo. Las variaciones medidas son del orden de unas pocas partes en 1011 o alrededor de 1 ms por año. Sin embargo, el conocimiento de estos cambios y de su origen están mucho menos detallados que los cambios en la rotación de la Tierra. El siguiente paso es preguntarse si el propio Sol se mueve. En efecto, lo hace. A nivel local, se mueve con una velocidad de 19,4 km / s hacia la constelación de Hércules. Esto fue demostrado por William Herschel *De hecho, la precesión 25 800 años lleva a tres períodos de insolación, de 23 700, 22 400 y 19 000 años, debido a la interacción entre la precesión y el desplazamiento del perihelio. 107 en 1783. Pero a nivel global, el movimiento es aún más interesante. El diámetro de la galaxia es de al menos 100 000 años luz, y estamos ubicados a 26 000 años luz del centro. (Esto se sabe desde 1918. El centro de la galaxia se encuentra en la dirección de Sagitario) En nuestra posición, la galaxia tiene 1 300 años luz de espesor; actualmente, estamos 68 años luz "por encima" del plano central. El Sol, y con ella el sistema solar, tarda unos 225 millones de años en girar una vez alrededor del centro galáctico, su velocidad orbital es alrededor de 220 km / s. Parece que el Sol continuará alejándose del plano de la galaxia hasta que esté a unos 250 años luz por encima del plano, y entonces retrocederá, como se muestra en la Figura 102. El período de oscilación se estima en torno a los 62 millones de años, y se ha sugerido que el mecanismo de las extinciones masivas de la vida animal en la Tierra, posiblemente debido a alguna nube de gas o alguna fuente de radiación cósmica que pueden encontrarse periódicamente en el camino. La cuestión sigue siendo un tema candente de la investigación. FIGURA 101 Mediciones modernas que muestran cómo el parámetro de la precesión de la Tierra (curva negro A) y la oblicuidad (curva negra D) influyen en la temperatura media (a color curva B) y la irradiación de la Tierra (curva azul C) en los últimos 800 000 años: la oblicuidad deducida por análisis de Fourier de la irradiación de RF de datos (curva azul D) y la oblicuidad deducida por el análisis de Fourier de la temperatura (curva roja D) que coincida con la oblicuidad conocida a partir de datos astronómicos (negro curva D); eventos de refrigeración agudos tuvieron lugar cuando la oblicuidad aumentó mientras que el parámetro de precesión estaba cayendo (marcado en rojo por debajo de la curva de temperatura) (© Jean Jouzel / Ciencia). El movimiento del Sol alrededor del centro de la Vía Láctea implica que los planetas del sistema solar pueden ser vistos como formando hélices alrededor del sol. La Figura 102bis muestra esa trayectoria. Damos vueltas alrededor del centro de la galaxia porque la formación de las galaxias, como el de los sistemas solares, siempre ocurren en un vórtice. FIGURA 102 El movimiento del Sol alrededor de la galaxia. 108 Por último, podemos preguntarnos si la propia galaxia se mueve. Desafío 239 s Por cierto, ¿puede confirmar desde su propia observación que nuestra propia galaxia gira? Su movimiento de hecho se puede observar, ya que es posible dar un valor para el movimiento del Sol a través del universo, definiéndolo como el movimiento en contra de la radiación de fondo. Este valor se ha medido de 370 km / s. (La velocidad de la Tierra a través de la radiación de fondo, por supuesto, depende de la estación). FIGURA 102 bis El movimiento helicoidal de los primeros cuatro planetas en torno a la trayectoria trazada por el Sol durante su viaje alrededor del centro de la Vía Láctea. Marrón: Mercurio, blanco: Venus, Azul: Tierra, rojo: Marte. (QuickTime film © Rhys Taylor at www.rhysy.net). Este valor es una combinación del movimiento del Sol alrededor del centro de la galaxia y del movimiento de la propia galaxia. Este último movimiento es debido a la atracción gravitatoria de las galaxias, cerca de nuestro grupo local de galaxias. * En resumen, la Tierra realmente se mueve mucho, y lo hace de una manera bastante compleja. Como Henri Poincaré decía, si nos encontramos en un punto dado hoy, digamos que el Panteón de París, y volvemos al mismo lugar mañana a la misma hora, en realidad estamos a 31.000.000 kilometros de distancia. Esta situación haría que viajar en el tiempo fuera extremadamente difícil, incluso si fuera posible (que no lo es); cuando usted regrese al pasado, tendría que llegar al antiguo lugar exactamente! ¿ES ABSOLUTA LA VELOCIDAD? - LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD COTIDIANA ¿Por qué no sentimos todos los movimientos de la Tierra? Las dos partes de la respuesta ya eran conocidas en 1632. En primer lugar, según explicó Galileo, no sentimos las aceleraciones de la Tierra debido a que los efectos que producen son demasiado pequeños para ser detectadas por los sentidos. De hecho, muchas de las aceleraciones mencionadas inducen efectos medibles sólo en experimentos de alta precisión, por ejemplo, en los relojes atómicos. Pero el segundo punto planteado por Galileo es igualmente importante: es imposible sentir la alta velocidad a la que nos estamos moviendo. No sentimos un movimiento traslacional no acelerado porque esto es imposible en principio. No podemos probar el hecho de que estamos en movimiento. Galileo discutió la cuestión mediante la comparación de las observaciones de dos observadores, uno en tierra y otro sobre el medio de transporte acelerado más moderno de su tiempo, un barco. Galileo se preguntó si un hombre en el suelo y un hombre en un barco en movimiento con velocidad constante experimentan (o "sienten") algo diferente. Einstein utilizó observadores en trenes. Más tarde se puso de moda usar viajeros en cohetes. Desafío 240 e. (¿Qué vendrá después?) Galileo explicó que sólo las velocidades relativas entre cuerpos producen efectos, no los valores absolutos de las velocidades. Para los sentidos y todas las medidas que encontramos • no hay diferencia entre el reposo y un movimiento rectilíneo uniforme sin perturbaciones, cuya velocidad, sin embargo, puede ser rápida. Esto es lo que ahora llamamos principio de relatividad de Galileo. En la vida diaria sentimos el movimiento solamente si los medios de transporte “tiemblan” (por tanto, aceleran), o si se mueven contra el aire. En consecuencia Galileo concluye que dos observadores en * Este es más o menos el extremo de la escalera. Tenga en cuenta que la expansión del universo, que será estudiado más adelante, no produce ningún movimiento. 109 movimiento recto e imperturbado uno junto a otro no pueden decir quién está "realmente" en movimiento. Sea cual sea su velocidad relativa, ninguno de los dos 'se siente' en movimiento. * El reposo es relativo. O más claramente: el reposo es un concepto dependiente del observador. Este resultado de la física galileana es tan importante que Poincaré introdujo la expresión "teoría de la relatividad" y Einstein repitió el principio explícitamente cuando publicó su famosa teoría de la relatividad especial. Sin embargo, estos nombres son embarazosos. ¡La Física galileana es también una teoría de la relatividad! La relatividad del reposo es común a toda la física; es un aspecto esencial del movimiento. El Movimiento sin perturbaciones o uniforme no tiene ningún efecto observable; solo el cambio de movimiento lo tiene. La velocidad no se puede sentir; la aceleración, sí. Como resultado, todos los físicos puede deducir algo simple sobre la siguiente declaración de Wittgenstein*: «Dass die Sonne morgen aufgehen wird, ist eine Hypothese; und das heißt: Wir nicht wissen, ob sie aufgehen wird.»** Esta frase es incorrecta. Desafío 241 s. ¿Puede explicar por qué Wittgenstein se equivocó aquí, a pesar de su fuerte deseo de no errar? ¿ES RELATIVA LA ROTACIÓN? Cuando giramos rápidamente, se levantan nuestros brazos. ¿Por qué ocurre esto? ¿Cómo puede nuestro cuerpo detectar si estamos rotando o no? Hay dos respuestas posibles. El primer enfoque, promovido por Newton, es decir que hay un espacio absoluto; cuando rotamos en relación a este espacio, el sistema reacciona. La otra respuesta es tener en cuenta que cada vez que se levantan los brazos, las estrellas también giran, y exactamente de la misma manera. En otras palabras, nuestro cuerpo detecta la rotación porque nos movemos en comparación con la distribución media de masa en el espacio. El argumento más citado en relación a esta discusión se debe a Newton. En lugar de brazos, examinó el caso del agua en un cubo en rotación. En un cubo rodante, la superficie del agua asume una forma cóncava, mientras que la superficie es plana para un cubo no rodante. Como es habitual en cuestiones filosóficas, la respuesta de Newton fue guiada por su comportamiento místico provocado por la temprana muerte de su padre. Newton vio el espacio absoluto como un concepto religioso y ni siquiera era capaz de concebir una alternativa. Newton ve pues la rotación como un concepto absoluto. ** En 1632, en su Diálogo, Galileo escribe: "enciérrate con algún amigo en la cabina principal bajo la cubierta de un barco grande, y ten contigo algunas moscas, mariposas y otros animales voladores pequeños. Dispón un recipiente grande con agua y algunos peces en el mismo; cuelga una botella que se vacía gota a gota en un recipiente ancho situado bajo de ella. Con nave aún parada, observa cuidadosamente cómo los pequeños animales vuelan con la misma velocidad a todos los lados de la cabina. Los peces nadan indistintamente en todas las direcciones; las gotas caen en el recipiente de abajo; y, lanzando algo a tu amigo, no necesitarás tirarlo con más fuerza en una dirección que en otra, las distancias son iguales: saltando con los pies juntos, se alcanzan distancias iguales en todas las direcciones. Cuando hayas observado todas estas cosas con cuidado (aunque no hay duda de que cuando el barco está parado todo debe suceder de esta manera), haz que el buque se mueva con cualquier velocidad que quieras, siempre y cuando el movimiento sea uniforme y no fluctuante, no descubrirás el menor cambio en todos los efectos mencionados, ni te diste cuenta de cualquiera de ellos si el barco se movía como si está quieto. En el salto, alcanzas en el suelo las mismos distancias que antes, ni va a hacer saltos más grandes hacia la popa que hacia la proa a pesar de que la nave se mueve muy rápidamente, a pesar del hecho de que durante el tiempo que estás en el aire, el suelo va en una dirección opuesta a la de tu salto. Tirando algo a tu compañero, no necesitarás más fuerza para llegar a él si está en la dirección de la proa o la popa, con uno mismo situado enfrente. Las gotas caerán como antes en el recipiente de abajo sin que se caiga hacia la popa, aunque mientras las gotas están en el aire la nave ha corrido muchos tramos. Los peces en el agua nadan hacia la parte delantera del recipiente sin más esfuerzo que hacia la parte posterior, y acuden con la misma facilidad al cebo colocado en cualquier lugar alrededor de los bordes del recipiente. Finalmente las mariposas y las moscas continuarán sus vuelos con indiferencia hacia todos los lados, nunca sucederá que se concentren hacia la popa, como si estuvieran fatigadas de mantenerse al día con el curso de la nave, de la que han estado separadas durante largos intervalos manteniéndose en el aire. Y si hacemos humo quemando incienso, se verá que sube en forma de una pequeña nube, permaneciendo quieta y no se moverá más hacia un lado que al otro. La causa de todas estas correspondencias de efectos está el hecho de que el movimiento del barco es común a todas las cosas contenidas en el mismo, y para el aire también. Por eso he dicho que debe estar por debajo de las cubiertas; porque si este se llevara a cabo al aire libre, que no siga el curso de la nave, se observarían diferencias más o menos notables en algunos de los efectos observados. ** "Que el sol saldrá mañana, es una hipótesis; y eso significa que no sabemos si va a salir. 'Esta declaración conocida se encuentra en Ludwig Wittgenstein, Tractatus, 6.36311. 110 La mayoría de los científicos modernos tienen menos problemas y más sentido común que Newton; como resultado, el consenso actual es que los efectos de rotación se deben a la distribución de masas en el universo: • la rotación es relativa. También la teoría de la relatividad general y un número de experimentos de alta precisión confirman esta conclusión. CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS RETOS SOBRE LA RELATIVIDAD. Desafío 242 e. Al viajar en el tren, usted puede probar la afirmación de Galileo sobre la relatividad del movimiento cotidiano. Cierre los ojos y pídale a alguien que le dé vueltas muchas veces: ¿es usted capaz de decir en qué dirección está marchando el tren? ** Desafío 243 s. Una buena báscula de baño, utilizada para determinar el peso de una persona, no muestra un peso constante cuando usted sube a ella y cuando permanece inmóvil. ¿Por qué no? Desafío 244 s. Si un arma que se encuentra en el ecuador dispara una bala verticalmente, ¿donde se cae la bala? ∗∗ Desafío 245 s ¿Por qué la mayoría de los sitios de lanzamiento de cohetes están lo más cerca posible de la línea del Ecuador? ∗∗ En el Ecuador, la velocidad de rotación de la Tierra es de 465 m / s, o alrededor de Mach 1,4; el segundo número significa que es 1,4 veces la velocidad del sonido. Este movimiento supersónico tiene dos consecuencias interesantes. En primer lugar, la velocidad determina el tamaño de los fenómenos meteorológicos típicos. Este tamaño, la llamada longitud de Rosby, está dada por la velocidad del sonido dividido por la velocidad de rotación local. En latitudes moderadas, la longitud Rosby es cerca de 2000 km. Esta es una fracción considerable del radio de la Tierra, por lo que sólo unos pocos grandes sistemas climáticos están presentes en la Tierra en un momento específico. Si la Tierra girara más lentamente, el tiempo atmosférico estaría determinado por los flujos de corta duración, locales y no tendrían regularidades generales. Si la Tierra girara más rápido, el tiempo sería mucho más violento - como en Júpiter -, pero una pequeña longitud Rosby implica que las grandes estructuras del clima tendrían una duración enorme, como la mancha roja en Júpiter, que se prolonga durante varios siglos. En cierto sentido, la rotación de la Tierra tiene la velocidad que ofrece el clima más interesante. La otra consecuencia del valor de la velocidad de rotación de la Tierra se refiere a la atmósfera. Mach 1 es también, en términos generales, la velocidad térmica de las moléculas de aire. Esta velocidad es suficiente para una molécula de aire para alcanzar la altura característica de la atmósfera, a unos 6 km. Por otro lado, la velocidad de Ω rotación de la Tierra determina su desvío, h, de la esfericidad: la tierra se aplana, como vimos anteriormente. En términos generales, tenemos gh = Ω2R2 / 2, o cerca de 12 km. (Esto es correcto dentro de 50%, el valor real es de 21 km.) Así encontramos que la velocidad de rotación de la Tierra implica que su aplanamiento es comparable al grosor de la atmósfera. ∗∗ El efecto Coriolis influye en los ríos y sus riberas. Esta sorprendente conexión fue hecha en 1860 por Karl Ernst von Baer quien encontró que en Rusia, muchos ríos que fluyen hacia el norte en las tierras bajas tienen orillas derechas que son empinadas y altas, y orillas bajas y planas a la izquierda. Desafío 246 e (¿Puede explicar los detalles?) También encontró que los ríos del hemisferio sur muestran el efecto contrario. ** El efecto de Coriolis salva vidas y ayuda a las personas. De hecho, tiene una aplicación importante para los sistemas de navegación; los usos típicos se muestran en la Figura 102-b. Los insectos utilizan masas 111 vibrantes para estabilizar su orientación, para determinar su sentido de la marcha y para encontrar su camino. La mayoría de los insectos de dos alas, o dípteros, utiliza halterios vibrantes para la navegación: en particular, abejas, moscas domésticas, moscas de la flor y moscas grúa (tipuloidea) los utilizan. Otros insectos, como las polillas, utilizan antenas vibrantes para la navegación. Coches, satélites, teléfonos móviles, modelos de helicópteros a control remoto, y juegos de ordenador también utilizan pequeñas masas vibrantes como sensores de orientación y navegación, exactamente del mismo modo que lo hacen los insectos. En todas estas aplicaciones de navegación, una o unas pocas pequeñas masas se hacen vibrar; si el sistema al que están conectados gira, el cambio de orientación conduce a un efecto de Coriolis. El efecto se mide detectando el cambio resultante en la geometría; el cambio, y por tanto la potencia de la señal, depende de la velocidad angular y su dirección. Tales sensores de orientación se llaman así giroscopios vibrantes de Coriolis. Su desarrollo y la producción es una parte importante de la actividad de las empresas de alta tecnología - y la evolución biológica. FIGURA 102-b El uso efecto de Coriolis en los insectos - de ahí el vuelo de una mosca de la grúa y el vuelo de una mosca de la flor - y sistemas microelectromecánicos (tamaño de unos pocos mm); todos proporcionan señales de navegación a los sistemas que se adjuntan (© Pinzo, Sean McCann, ST microelectrónica). ** Un cliente rico y extravagante pidió a su arquitecto diseñar y construir una casa cuyos cuatro paredes estuvieran todas orientadas al sur. ¿Cómo hizo el arquitecto para satisfacer la demanda? ∗∗ ¿Quiere viajar a través del espacio interplanetario permaneciendo sano? La gente a menudo fantasean acerca de los viajes largos a través del cosmos. Los experimentos han demostrado que en los viajes de larga duración, los mayores peligros son la radiación cósmica, el debilitamiento de los huesos, la degeneración muscular y los problemas psicológicos. Muchos expertos cuestionan la viabilidad de viajes espaciales que duren más de un par de años. Otros peligros son las quemaduras solares rápidas, por lo menos cerca del Sol, y la exposición al vacío. Hasta ahora, sólo un hombre ha experimentado el vacío sin protección. Perdió el conocimiento al cabo de 14 segundos, pero sobrevivió ileso. ∗∗ Desafío 247 s ¿En qué dirección se inclina una llama si se quema dentro de un frasco en una pletina en rotación? ∗∗ El Principio de relatividad de Galileo cotidiano afirma que es imposible determinar una velocidad absoluta. Es igualmente imposible determinar una posición absoluta, un tiempo absoluto y una dirección absoluta. Desafío 248 s. ¿Es así? ∗∗ ¿Existe la aceleración centrífuga? La mayoría de los estudiantes universitarios pasan por la conmoción de conocer a un profesor que dice que no es así, ya que es una cantidad «ficticia», en contra de lo que se 112 experimenta cada día en un coche cuando se conduce por una curva. Simplemente pregunte al profesor que lo niega que defina "existencia". (La definición que generalmente utilizan los físicos se dará más adelante.) Desafío 249 s A continuación, compruebe si la definición se aplica al término y tome su propia decisión. Si le gusta el término "aceleración centrífuga 'o lo evita mediante el uso de su negativo, la llamada aceleración centrípeta, usted debe saber lo que se calcula. Nosotros usamos un simple truco. Para un objeto en movimiento circular de radio r, la magnitud de la velocidad v = dx / dt , es v = 2πr / T. El vector v se comporta en el tiempo exactamente como la posición del objeto: que gira continuamente. Por lo tanto, la magnitud de la aceleración centrífuga / centrípeta a = d v / dt viene dada por la expresión correspondiente, a saber, a = 2π v / T. Eliminando T, nos encontramos con que la aceleración centrífuga / centrípeta a de un cuerpo en rotación respecto a la velocidad y al radio r está dada por a =v2/r=ω2r. (34) Esta es la aceleración que sentimos cuando nos encontramos sentados en un coche que toma una curva. ∗∗ La rotación contiene una sorpresa para cualquiera que la estudie detenidamente. El momento angular es una cantidad con una magnitud y una dirección. Sin embargo, no es un vector, como nos muestra cualquier espejo. El momento angular de un cuerpo girando en un plano paralelo a un espejo se comporta de una manera diferente al de una flecha habitual: ¡su imagen en el espejo no está reflejada si apunta hacia el espejo! Desafío 250 et Puede comprobar fácilmente esto por sí mismo. Por esta razón, el momento angular se llama un pseudovector. El hecho no tiene consecuencias importantes en física clásica; pero hay que tenerlo en cuenta para ocasiones posteriores. ∗∗ Desafío 251 s ¿Cuál es la mejor manera de transportar un cierto número de tazas de café o té llenas y al mismo tiempo evitar que se derrame el precioso líquido? ∗∗ Una pelota de pimpón está unida por una cuerda a una piedra, y el conjunto se pone bajo el agua en un frasco. La configuración se muestra en la Figura 103. Ahora la jarra se acelera en sentido horizontal. Desafío 252 s ¿En qué dirección se mueve la pelota? ¿Qué deduce para una jarra en reposo? FIGURA 103 ¿De qué manera se mueve la pelota cuando el frasco se acelera en la dirección de la flecha? ** La Luna se aleja de la Tierra en 3,8 cm por año, debido a la fricción. Desafío 253 s ¿Puede encontrar el mecanismo responsable del efecto? ∗∗ ¿Qué son los terremotos? Los terremotos son grandes ejemplos del mismo proceso que hace chirriar las puertas. Las placas continentales corresponden a las superficies metálicas en las juntas de la puerta. Los terremotos pueden ser descritos como fuentes de energía. La escala de Richter es una medida directa de esta energía. La magnitud Richter Ms de un terremoto, un número puro, se define a partir de su energía E en julios por medio de la expresión M s= log(E /1 J )−4,8 1,5 (35) Los números extraños en la expresión se han elegido para poner los valores del terremoto lo más cerca posible de la más antigua escala cualitativa de Mercalli (ahora llamada escala macrosísmica europea EMS98) que clasifica la intensidad de los terremotos. Sin embargo, esto no es totalmente posible; los instrumentos más sensibles hoy detectan terremotos con magnitudes de -3. El valor más alto jamás medido tuvo una magnitud de 10, en la escala de Richter, en Chile en 1960. Desafío 254 s. Magnitudes superiores a 12 son probablemente imposibles. (¿Puede demostrar por qué?) 113 ∗∗ Desafío 255 ny ¿Cuál es el movimiento del punto de la superficie de la Tierra que tiene al Sol en su cenit (es decir, verticalmente por encima de él), cuando se ve en un mapa de la Tierra durante un día? ¿Y día tras día? ∗∗ El momento de inercia de un cuerpo depende de la forma del cuerpo; por lo general, el momento angular y la velocidad angular no apuntan en la misma dirección. Desafío 256 s ¿Puede confirmar esto con un ejemplo? ∗∗ Desafío 257 s ¿Puede suceder que una antena parabólica para satélites geoestacionarios de televisión enfoque la luz del sol en el receptor? ∗∗ FIGURA 104 ¿Qué sucede cuando el mono sube? Desafío 258 s ¿Por qué es difícil despedir a un cohete desde un avión en la dirección opuesta al movimiento del avión? ∗∗ Un mono cuelga de una cuerda. La cuerda se enrolla sobre una rueda y está unido a una masa de igual peso que cuelga hacia abajo en el otro lado, como se muestra en la Figura 104. La cuerda y la rueda no tienen masa ni fricción. Desafío 259 s ¿Qué pasa cuando el mono sube la cuerda? ∗∗ Desafío 260 s ¿Puede un esquiador acuático moverse con una velocidad mayor que el barco que tira de él? ** Desafío 261 s ¿Cuál es el momento de inercia de una esfera homogénea? ∗∗ El momento de inercia completo de un cuerpo rígido se determina por los valores de sus tres ejes principales. Estos son todos iguales para una esfera y un cubo. Desafío 262 s ¿Significa esto que es imposible distinguir una esfera de un cubo por su comportamiento inercial? ∗∗ Usted puede conocer la "Dynabee ' (una imitación del Powerball), un dispositivo giroscópico de mano que puede ser acelerado a gran velocidad por los movimientos propios de la mano. Desafío 263 d ¿Cómo funciona? ∗∗ Es posible hacer un trompo con un clip de metal. Incluso es posible hacer un tipo de trompo que se dé la vuelta sobre su cabeza al ir girando. Desafío 264 s ¿Puede descubrir de qué manera? ∗∗ Desafío 265 s ¿Es cierto que la Luna en el primer cuarto en el hemisferio norte se parece a la Luna en el último cuarto en el hemisferio sur? ∗∗ Una confirmación impresionante que la Tierra es redonda se puede ver con la puesta del sol, si uno vuelve, contra los hábitos usuales, la espalda a sol. En el cielo del este se puede ver el impresionante aumento de la sombra de la Tierra. (En realidad, las investigaciones más precisas muestran que no es la sombra de la Tierra por sí sola sino la sombra de su ionosfera.) Se puede admirar una gran sombra que se levanta sobre todo el horizonte, que tiene claramente la forma de un segmento de un círculo enorme . 114 ∗∗ Desafío 266 s ¿Cómo veríamos la Figura 105 si la foto se toma en el Ecuador? FIGURA 105 Una larga exposición de las estrellas por la noche cuando se expone al norte - sobre el telescopio Gemini en Hawai y otra sobre los Alpes que incluye el ecuador celeste, con satélites geoestacionarios en él(© Observatorio Gemini / AURA ∗∗ Mediciones de precisión muestran que no todos los planetas se mueven en su propio plano. Mercurio muestra la desviación más grande. De hecho, ningún planeta se mueve en una elipse con exactitud, ni en un plano alrededor del Sol. La mayoría de estos efectos son demasiado pequeños y demasiado complejos para explicarlos aquí. ** Dado que la Tierra es redonda, hay muchos caminos para ir de un punto de la Tierra a otro siguiendo la curva de un segmento de círculo. Esto tiene consecuencias interesantes para las pelotas de voley y para los que gustan de observar a las muchachas bonitas. Tome una pelota de voleibol y observe su válvula. Si desea mover la válvula a una posición diferente, con una simple rotación, puede elegir el eje de rotación de muchas maneras diferentes. Desafío 267 e ¿Puede confirmar esto? En otras palabras, cuando miramos en una dirección determinada y luego queremos mirar en otra, el ojo puede llevar a cabo este cambio de diferentes maneras. La opción elegida por el ojo humano ya había sido estudiada por los científicos médicos en el siglo XVIII. Es lo que se llama "ley" de Listing.* Establece que todos los ejes que la naturaleza elige se encuentran en un plano único. Desafío 268 s ¿Puede usted imaginar su posición en el espacio? Los hombres tienen un interés real de que este mecanismo se siga estrictamente; si no, observar a las chicas en la playa podría causar el anudamiento de los músculos que mueven los ojos. ¿PATAS O RUEDAS? – OTRA VEZ La aceleración y deceleración de los vehículos estándar impulsados con ruedas raramente sobrepasan el valor de 1 g = 9,8 m/s2, la aceleración de la gravedad en nuestro planeta. Las motos y coches de carreras logran aceleraciones más altas mediante la utilización de suspensiones que desvían el peso hacia los ejes y por el uso de alerones, de manera que la máquina es empujada hacia abajo con fuerzas mayores que su propio peso. Los alerones modernos son tan eficientes en empujar un coche hacia la pista que los coches de carreras podrían competir en el techo de un túnel sin caerse. Mediante el uso de neumáticos especiales estas fuerzas hacia abajo se transforman en fuerzas de agarre; los neumáticos de carreras modernos permiten aceleraciones hacia delante, hacia atrás y hacia los lados **Si usted está interesado en aprender más detalladamente cómo la naturaleza y el ojo hacen frente a las complejidades de tres dimensiones, consulte schorlab.berkeley.edu / vilis / whatisLL.htm y www.physpharm.fmd.uwo.ca/undergrad/llconsequencesweb/ sitios web ListingsLaw/perceptual1.htm. 115 (necesarias para aumentar la velocidad, para frenar y para tomar una curva) de aproximadamente 1,1 a 1,3 veces la carga. Los ingenieros creían que un factor 1 era el límite teórico y este límite aún se encuentra a veces en los libros de texto; pero los avances en la tecnología de las gomas del neumático, principalmente por una mejor comprensión y un uso inteligente del ajuste entre el neumático y la superficie de la carretera como en un mecanismo de engranaje de las cajas de cambio, han permitido a los ingenieros alcanzar estos valores más altos. Las aceleraciones más altas, alrededor de 4 g, se logran cuando parte del neumático se funde y se pega a la superficie. Los neumáticos especiales diseñados para que esto ocurra se utilizan para coches trucados para competición, pero las maquetas de coches radiocontrolados de alto rendimiento también alcanzan esos valores. FIGURA 106 Un lagarto basilisco (Basiliscus Basiliscus) corriendo en el agua, con una longitud total de unos 25 cm, que muestra cómo la pata propulsora empuja al agua (© TERRA). ¿Cómo son todos estos esfuerzos en comparación con el uso de patas o piernas? Los atletas de salto pueden alcanzar aceleraciones máximas de alrededor de 2 a 4 g, los guepardos más de 3 g, los lemures (gálagos) hasta 13 g, langostas sobre 18 g, y a las pulgas se les han medido aceleraciones de aproximadamente 135 g. La aceleración máxima conocida para los animales es la del saltapericos (un escarabajo elatérido), un pequeño insecto capaz de acelerar hasta más de 2.000 m/s 2 = 200 g, casi la misma que la de un balín cuando es disparado por una escopeta de aire comprimido. Las patas son así definitivamente dispositivos de aceleración más eficientes que las ruedas - un guepardo puede superar fácilmente a cualquier coche o moto - y la evolución ha desarrollado patas, en lugar de ruedas, para mejorar las posibilidades de ponerse a salvo para un animal en peligro. En resumen, las patas tienen un rendimiento superior a las ruedas. Desafío 269 s. Hay otras razones para el uso de patas en lugar de ruedas. (¿Puede nombrar algunos?). Por ejemplo, las patas, a diferencia de las ruedas, permiten caminar sobre el agua. El animal más famoso con esta facultad es el basilisco,* una lagartija que vive en América Central y que se muestra en la Figura 106. Este reptil es de hasta 70 cm de largo y tiene una masa de alrededor de 90 g. Se parece a un Tyrannosaurus rex en miniatura y es capaz de correr sobre sus patas traseras por encima de superficies de agua. El movimiento se ha estudiado en detalle con cámaras de alta velocidad y por mediciones utilizando modelos de aluminio de las patas del animal. Los experimentos muestran que los pies golpeando en el agua proporcionan sólo el 25% de la fuerza necesaria para funcionar por encima del agua; el otro 75% es proporcionado por una bolsa de aire comprimido que los basiliscos crean entre sus pies y el agua una vez que los pies están dentro del agua. En realidad, los basiliscos caminan, principalmente en el aire. (Ambos efectos utilizados por los basiliscos se encuentran también en el piragüismo rápido). Se ha calculado que los seres humanos también son capaces de caminar sobre el agua, siempre y cuando sus pies golpeen el agua con una velocidad de 100 km/h utilizando la potencia física y simultánea de 15 velocistas. Toda una hazaña para todos aquellos que alguna vez lo hagan. Hay una segunda forma de caminar y correr sobre el agua; este segundo método incluso permite a sus usuarios permanecer inmóviles en la parte superior de la superficie del agua . Esto es lo que son capaces de hacer los zapateros , insectos de la familia Gerridae con una longitud total de hasta 15 mm , (junto con varias especies de arañas), como se muestra en la Figura 107 . Como todos los insectos , el zapatero tiene seis patas (las arañas tienen ocho ). El zapatero utiliza las patas traseras y delanteras que se ciernen sobre la superficie, * En la Edad Media, el término 'basilisco' se refirió a un monstruo mítico que se suponía iba a aparecer poco antes del fin del mundo. Hoy, es un pequeño reptil en las Américas. 116 ayudado por miles de diminutos pelos pegados a su cuerpo. Los pelos , junto con la tensión superficial del agua , impiden el zapatero se moje. Si usted pusiera champú en el agua, el zapatero se hundiría y ya no podría moverse. El zapatero utiliza sus grandes patas como remos para avanzar sobre la superficie del medio, alcanzando velocidades de hasta 1 m/s al hacerlo. ← FIGURA 107 Un zancudo de agua, su tamaño total es de unos 10 mm (© Charles Lewallen). FIGURA 108 Un robot que camina sobre el agua, el tamaño total de unos 20 mm (© AIP). En resumidas cuentas, los zapateros realmente reman sobre el agua. El mismo mecanismo es utilizado por los pequeños robots que pueden moverse sobre el agua y que fueron desarrollados por Metin Sitti y su grupo, como se muestra en la Figura 108. El diseño de robots está todavía en su infancia. Ningún robot puede caminar o incluso correr tan rápido como el sistema animal al que trata de copiar. Para los robots bípedos, los más difíciles, el récord de velocidad es de alrededor de 3,5 veces la longitud de las piernas por segundo. Actualmente está habiendo una competición en los departamentos de robótica: cada departamento trata de construir el primer robot que sea más rápido, ya sea en metros por segundo o en longitud de las piernas por segundo, que el animal original de cuatro patas o que el humano de dos piernas. Las dificultades para la realización de este objetivo de desarrollo muestran lo complicado del movimiento de caminar y cómo la naturaleza ha optimizado bien los sistemas vivos. Las piernas plantean muchos problemas interesantes. Los ingenieros saben que una escalera es cómoda para subir sólo si para cada paso la profundidad l más dos veces la altura h es una constante: l + 2h = 0,63 ± 0,02 m. Esta es la denominada fórmula de la escalera. Desafío 270 s ¿Por qué se expresa así? Desafío 271 s La mayoría de los animales tienen un número par de patas. ¿Sabe usted alguna excepción? ¿Por qué no? De hecho, se puede argumentar que ningún animal tiene menos de cuatro patas. ¿Por qué es este el caso? Desafío 272 e Por otra parte, todos los animales con dos patas tienen una pata al lado de la otra, mientras que los sistemas con dos ruedas tienen una rueda detrás de la otra. ¿Por qué es así y no al revés? Las patas son actuadores muy eficientes. Como se muestra en la Figura 108 b, la mayoría de los pequeños animales pueden correr con cerca de 25 longitudes por segundo. A modo de comparación, casi ningún coche alcanza esa velocidad. Sólo los animales que pesen más de 30 kg, incluidos los humanos, son más lentos. Las piernas o las patas también proporcionan reglas de distancia sencillas: basta contar sus pasos. En 2006, se descubrió que este método es utilizado por ciertas especies de hormigas, como Cataglyphis fortis. Pueden contar hasta 25.000 por lo menos, como mostraron Matthias Wittlinger y su equipo. Estas hormigas utilizan esa capacidad para encontrar el camino más corto de regreso a su casa, incluso en un terreno desierto desprovisto de toda señal. ¿Por qué corren los velocistas los 100 m más rápido que la gente común? Una investigación a fondo muestra que la velocidad v de un velocista viene dada por 117 v =f·L stride=f·Lc Fc , W (36) donde f es la frecuencia de las piernas, Lstride es la longitud de la zancada, Lc es la longitud de contacto - la longitud que el velocista avanza durante el tiempo que el pie está en contacto con el suelo- W el peso del velocista, y el Fc fuerza media que el velocista ejerce sobre el suelo durante el contacto. Resulta que la frecuencia f es casi la misma para todos los velocistas; la única manera de ser más rápido que la competencia es aumentar la longitud de la zancada L stride. También la longitud Lc de contacto varía poco entre los atletas. El aumento de la longitud de los pasos de este modo requiere que el atleta golpee el suelo con golpes fuertes. Esto es lo que debe conseguir el entrenamiento deportivo para los velocistas. FIGURA 108.b El gráfico muestra que la velocidad de carrera relativa varía con relación a la masa de las especies de mamíferos terrestres, para 142 especies diferentes. El gráfico también muestra cómo cambiar el rendimiento de la carrera por encima de 30 kg. Los cuadrados negros muestran roedores; cuadrados abiertos muestran Primates; rombos completos proboscideanos; rombos blancos Marsupiales; triángulos llenos carnívoros; triángulos abiertos Artiodactyla; los círculos llenos Perisodáctilos; los círculos abiertos (lagomorfos © José Iriarte-Díaz / JEB). RESUMEN DE RELATIVIDAD GALILEANA La Tierra gira. La aceleración es tan pequeña que no la sentimos. La velocidad es grande, pero no la sentimos, porque no hay manera de hacerlo. El Movimiento no perturbado o inercial no se puede sentir o medir. Por tanto, es imposible distinguir el movimiento del reposo; la distinción depende del observador: el movimiento de los cuerpos es relativo. Es por eso que el suelo bajo nuestros pies parece tan estable para nosotros, a pesar de que se mueve a gran velocidad a través del universo. Sólo más adelante vamos a descubrir un ejemplo de movimiento en la naturaleza que no es relativo: el movimiento de la luz. Pero seguiremos de aquí en adelante con el estudio del movimiento transmitido a distancia, sin que haya el menor contacto en absoluto. 118 CAPÍTULO 6 EL MOVIMIENTO DEBIDO A LA GRAVITACIÓN Caddi come corpo morto cade. Dante Infierno, c. V, v. 142.** "Caí como los cuerpos muertos caen." E l primer y principal método para generar movimiento sin contacto que descubrimos en nuestro entorno es el peso en altura. Las cascadas, la nieve, la lluvia, la pelota de su juego deportivo favorito y las manzanas que caen, todos estos fenómenos se basan en él. El hecho de que la altura tenga esta propiedad porque hay una interacción entre todos los cuerpos y la Tierra constituyó uno de los descubrimientos fundamentales de la física. La gravitación produce una aceleración a lo largo de la línea que conecta los centros de gravedad del cuerpo y de la Tierra. Tenga en cuenta que con el fin de hacer esta aseveración, es indispensable darse cuenta de que la Tierra es un cuerpo de la misma manera que una piedra o la Luna, que este cuerpo es finito y que consecuentemente tiene un centro y una masa. Hoy en día, estos asertos son de conocimiento común, pero de ninguna manera son evidentes a partir de la experiencia personal cotidiana.** ¿Cómo cambia la gravedad cuando dos cuerpos están separados? Los expertos en materia de objetos distantes son los astrónomos. A través de los años ellos realizaron numerosas mediciones de los movimientos de la Luna y los planetas. El más laborioso de todos fue Tycho Brahe,*** que organizó una búsqueda a gran escala, casi industrial, para hechos astronómicos gracias al patrocinio de su rey. Sus mediciones fueron la base para la investigación de su joven asistente, el astrónomo suabo Johannes Kepler**** que constituye la primera descripción precisa del movimiento planetario. Esta no es una tarea fácil, como muestra la observación de la Figura 109. En 1684, todas las observaciones acerca de los planetas y las piedras fueron condensadas en un resultado sorprendentemente sencillo por el físico Inglés Robert Hooke y unos cuantos más: **** cada cuerpo de masa M atrae a cualquier otro cuerpo hacia su centro con una aceleración cuya magnitud está dada por a = G M / r2 (37) donde r es la distancia de centro a centro entre los dos cuerpos. Esto se conoce como la "ley" de la gravitación universal , o atracción universal, ya que es válida en ** Dante Alighieri (1265, Firenze-1321, Ravena), el poderoso poeta italiano. ** En varios mitos sobre la creación o la organización del mundo, como el bíblico o uno de la india, la Tierra no es un objeto, sino una entidad imprecisa, como una isla flotante o rodeada de agua con límites poco claros y explicaciones confusas acerca de cómo está suspendida. Desafío 273 s ¿Es usted capaz de convencer a un amigo que la Tierra es redonda y no plana? ¿Puede encontrar otro argumento, aparte de la redondez de la sombra de la Tierra cuando es visible en la Luna, que se muestra en la figura 110? Un célebre explorador tramposo, Robert Peary, afirmó haber llegado al Polo Norte en 1909. (En realidad, Roald Amundsen alcanzó tanto el Polo Sur como el Norte en primer lugar.) Entre otros, Peary afirmó haber tomado una foto allí, pero esa foto , que dio la vuelta al mundo, resultó ser una de las pruebas de que no había estado allí. Desafío 274 s ¿Se imagina cómo? Por cierto, si la Tierra es redonda, la parte superior de dos edificios están más separados que su base. Desafío 275 s ¿se puede medir este efecto? *** Tycho Brahe (n. 1546 Scania, d. 1601 Praga), famoso astrónomo danés, constructor de Uraniaborg (castillo de Urano o castillo de los cielos, Urano era la musa de la astronomía). Para su investigación consumió casi el 10% del producto nacional bruto de Dinamarca, pero produjo el primer catálogo de estrellas y las primeras mediciones de la posición precisa de los planetas. **** Johannes Kepler (1571 Weil der Stadt Regensburg-1630) estudió teología protestante y se convirtió en un profesor de matemáticas, astronomía y retórica. Ayudó a su madre para defenderse con éxito en un juicio en el que fue acusada de brujería. Su primer libro de astronomía lo hizo famoso, y se convirtió en ayudante de Tycho Brahe y después, a la muerte de su maestro, en Matemático Imperial. Él fue el primero en utilizar las matemáticas en la descripción de las observaciones astronómicas, e introdujo el concepto y el ámbito de la "física celeste '. Robert Hooke (1635-1703), eminente físico Inglés y secretario de la Royal Society. Además de descubrir la relación del inverso del cuadrado y muchos otros, como la "ley" de Hooke, que también escribió Micrographia, una soberbia exploración bellamente ilustrada del mundo de lo muy pequeño. 119 general, y se aplica tanto en la Tierra como en el cielo. La constante de proporcionalidad G, se denomina constante de gravitación; es una de las constantes fundamentales de la naturaleza, al igual que la velocidad de la luz o el cuanto de acción. Pronto diremos más acerca de G. El efecto de la gravedad disminuye pues al aumentar la distancia: la gravedad depende inversamente del cuadrado de la distancia de los cuerpos que se consideran. FIGURA 109 El movimiento retrógrado de planeta Marte en el cielo - el cúmulo estelar de las Pléyades está en la parte superior izquierda - cuando el planeta está en el otro lado del sol. Las fotos fueron tomadas alrededor de una semana de distancia y superponen. El movimiento es uno de los muchos ejemplos que se explica completamente por la gravitación universal (© Tunc Tezel). Si los cuerpos son pequeños en comparación con la distancia r, o si son esféricas, la expresión (37) es correcta tal y como está. Para formas no esféricas la aceleración se debe calcular por separado para cada parte de los cuerpos y luego sumarlas. FIGURA 110 Cómo comparar el radio de la Tierra con la de la Luna durante un eclipse lunar parcial (© Anthony Ayiomamitis). La dependencia del cuadrado inverso es a menudo llamada "ley" de Newton de la gravitación, porque el físico Inglés Isaac Newton demostró más elegantemente que Hooke que estaba de acuerdo con todas las observaciones astronómicas y terrestres. sin embargo, por encima de todo, organizó una campaña de relaciones públicas mejor, en la que pretendía de manera falaz ser el creador de la idea. Newton publicó una prueba simple que muestra que esta descripción del movimiento astronómico también da la descripción correcta de las piedras lanzadas al aire, aquí abajo sobre nuestra “Tierra original”. Para lograr esto, comparó la aceleración aL de la luna con la de piedras g. Para la relación entre estas dos aceleraciones, la relación inversa del cuadrado predice un valor g / aL = d2m/R2, donde dm la distancia de la Luna y R es el radio de la Tierra. La distancia de la Luna se puede medir por triangulación, comparando la posición de la Luna contra el fondo de estrellas desde dos puntos diferentes de la Tierra. ** El resultado es dm / R = 60 ± 3, dependiendo de la posición orbital de la luna, prediciendo de esta manera una relación promedio g / aL = 3,6⋅103 a partir de la gravitación universal. Pero ambas aceleraciones también se pueden medir directamente. En la superficie de la Tierra, las piedras están sujetas a una aceleración debida a la gravitación con magnitud g = 9,8 m/s 2, tal como se determina midiendo el tiempo que las piedras tardan en caer desde una altura dada. Para la Luna, la definición de la aceleración, a = dv / dt, en el caso de movimiento circular -aproximadamente correcto aquí - da aL = dL (2π / T)2, donde T = 2,4 Ms es el tiempo que la Luna tarda en efectuar una revolución alrededor de la Tierra. ** la medida del radio de la Tierra *** da R = 6,4 Mm, por lo que el promedio de la distancia Tierra-Luna es d m = 0,38 Gm. Lo que da * La primera medición precisa - pero no la primera- se realizó en 1752 por los astrónomos franceses Lalande y La Caille, que midieron simultáneamente la posición de la Luna vista desde Berlín y desde Le Cap. ** Esta expresión para la aceleración centrípeta se deduce fácilmente observando que para un objeto en movimiento circular, la magnitud v de la velocidad vse da = dx / dt como = 2πr / T. El dibujo del vector v con el tiempo, la llamada hodógrafa, muestra que se comporta exactamente igual que la posición del objeto. Desafío 276 s Por lo tanto la magnitud a= dv / dt de una de la aceleración viene dada por la expresión correspondiente, a saber, a = 2π v / T. ***Esta es la cantidad más difícil de medir por uno mismo. La manera más sorprendente para determinar el tamaño de la Tierra es la siguiente: observe un ocaso desde el jardin de una propiedad que incluya una casa con terraza. Cuando el último rayo de Sol desaparezca, inicie el cronómetro y corra escaleras arriba. Allí, el sol sigue siendo visible; detenga el cronómetro cuando el sol desaparezca de nuevo y anote el tiempo t. Mida la distancia de altura h de las dos posiciones del ojo donde se observó el sol. Entonces el radio R de la Tierra está dada por R = kh/t2, con k = 378 ⋅ 10 6 s2. (Desafío 277 s ) 120 g/aL = 3,6⋅103, de acuerdo con la predicción anterior. Por lo tanto con este famoso "cálculo de la luna”, hemos demostrado que la propiedad del inverso del cuadrado de la gravitación de hecho describe tanto el movimiento de la Luna como el de las piedras. Desafío 279 s Es posible que desee deducir el valor del producto de GM para la Tierra. La gravitación universal describe el movimiento debido a la gravedad en la Tierra y en el cielo. Este fue un paso importante hacia la unificación de la física. Antes de este descubrimiento, Aristóteles y muchos otros habían llegado a la conclusión de que el movimiento en el mundo sublunar tiene propiedades diferentes de movimiento en el mundo translunar partiendo de la observación de que en la Tierra todo el movimiento finalmente termina en reposo, mientras que en el cielo todo movimiento es eterno. FIGURA 111 Un físico y un artista dan su visión de de la caída de la de la Luna: un diagrama por Christiaan Huygens (no a escala) y una estatua de mármol de Auguste Rodin. Varios pensadores criticaron esta distinción, en particular, el filósofo francés y rector de la Universidad de París, Jean Buridan.** El cálculo de la luna fue el resultado más importante que demostraba que esta distinción era errónea. Esta es la razón por la cual se llama a la expresión (37) ley de la gravitación universal. Esta conclusión nos permite responder a otra vieja pregunta. ¿Por qué la Luna no cae del cielo? Bueno, la discusión anterior mostró que la caída es un movimiento debido a la gravitación. Por lo tanto, la Luna en realidad está cayendo, con la particularidad de que en lugar de caer hacia la Tierra, está cayendo continuamente a su alrededor. La Figura 111 ilustra la idea. La Luna está continuamente desapareciendo de la Tierra.** La Luna no es el único objeto que cae en torno a la Tierra, la Figura 113 muestra otro. La gravitación universal explica también por qué la Tierra y la mayoría de los planetas son (casi) esféricos. Puesto que la gravedad aumenta con la disminución de la distancia, un cuerpo líquido en el espacio siempre tratará de formar una forma esférica. Visto en gran escala, la Tierra es de hecho líquida. También * Jean Buridan (c. 1295 ac. 1366) fue también uno de los primeros pensadores modernos para analizar la rotación de la Tierra alrededor de un eje. ** Hay también una manera simple de medir la distancia a la Luna, una vez que se conoce el tamaño de la Tierra. Tome una fotografía de la Luna cuando esté en lo más alto en el cielo, y llame θ a su ángulo cenital, es decir, su ángulo respecto a la vertical. Haga otra fotografía de la Luna a las pocas horas, cuando esté justo por encima del horizonte. En esta imagen, a diferencia de una ilusión óptica común, la Luna es más pequeña, ya que está más lejos. La razón se vuelve inmediatamente clara utilizando un croquis. Si q es la relación de los dos diámetros angulares, la distancia Tierra-Luna dL está dada por la relación dL2= R2 + (2Rq cos θ/(1 − q2))2. Desafío 278 s . Disfrute encontrando su derivación a partir del esquema. Otra posibilidad es determinar el tamaño de la luna mediante la comparación con el tamaño de la sombra de la Tierra durante un eclipse lunar, como se muestra en la Figura 110. La distancia a la Luna se calcula entonces a partir de su tamaño angular, alrededor de 0,5 °. * Otra manera de decirlo es el utilizando la respuesta del físico holandés Christiaan Huygens (1629-1695): la Luna no cae del cielo a causa de la aceleración centrífuga. Como se explica más adelante, esta explicación a menudo no cuenta con el favor de la mayoría de las universidades. Desafío 280 d Hay un hermoso problema relacionado con el lado izquierdo de la figura: ¿Qué puntos de la superficie de la Tierra puede ser alcanzado por disparos desde una montaña? Y qué puntos puede ser golpeado por disparos horizontales? 121 sabemos que la Tierra se está enfriando - así es como se formaron la corteza y los continentes. La esfericidad de objetos más pequeños sólidos encontrados en el espacio, como la Luna, implica pues que solían ser líquidos en tiempos más antiguos. FIGURA 112 Un péndulo de precisión de segundo, por lo tanto de alrededor de 1 m de longitud; casi en el extremo superior, la cámara de vacío que compensa los cambios en la presión atmosférica; hacia el extremo inferior, la amplia construcción que compensa las variaciones de temperatura de la longitud del péndulo; en la parte inferior, el tornillo que compensa las variaciones locales de la aceleración de la gravedad, dando una precisión final de aproximadamente 1 s por mes (© Erwin Sattler OHG). PROPIEDADES DE LA GRAVITACIÓN La gravitación implica que la trayectoria de una piedra no es una parábola, como se dijo anteriormente, sino que en realidad una elipse alrededor del centro de la Tierra. Esto sucede por la misma razón que los planetas se mueven en elipses alrededor del sol. ¿Es usted capaz de confirmar esta declaración? La gravitación universal nos permite comprender el desconcertante valor de la aceleración g = 9,8 m/s2 que encontramos en la ecuación (6) es, finalmente, debido a la relación g = G MTierra/R2 Tierra. (38) La expresión puede deducirse de la ecuación (37), la gravitación universal, mediante la suposición de que la Tierra es esférica. La aceleración de la gravedad cotidiana g por lo tanto, resulta del tamaño de la Tierra, de su masa y de la constante universal de la gravitación G. Obviamente, el valor para g es casi constante en la superficie de la Tierra, como se muestra en la Tabla 26, debido a que el Tierra es casi una esfera. La expresión (38) también explica por qué g disminuye a medida que uno se eleva por encima de la Tierra, y las desviaciones de la forma de la Tierra en relación a la esfericidad explican por qué g es diferente en los polos y más elevada que sobre una meseta. Desafío 281 s ¿Qué valdría g en la Luna? ¿Y en Marte? ¿Y en Júpiter? FIGURA 113 El hombre en órbita no siente el peso, la atmósfera azul, que no lo está, ¿tiene?(NASA). Por cierto, es posible diseñar una máquina simple, que no sea un yo-yo, que disminuya la aceleración efectiva de la gravedad una cierta cantidad conocida permitiendo medir su valor más fácilmente. Desafío 282 s ¿Puede imaginarlo? Tenga en cuenta que 9,8 es aproximadamente π 2. Esto no es una coincidencia: el metro ha sido elegido de tal manera que haga esto (más o menos) correcto. Desafío 283 s El periodo T de un péndulo oscilante, es decir, que se balancea a un lado y a otro, está dado por ** T = 2π (l/g)1/2 , (39) **La Fórmula (39) destaca sobre todo por todo lo que falta. El periodo de un péndulo no depende de la masa del cuerpo oscilante. Además, el periodo de un péndulo no depende de la amplitud. (Esto es cierto siempre y cuando el ángulo de oscilación sea menor que aproximadamente 15 °.) Galileo descubrió esto cuando era estudiante, al observar una lámpara de araña colgando de una cuerda larga en la cúpula de Pisa. Usando el latido de su corazón como un reloj encontró que a pesar de que la amplitud de la oscilación era cada vez más pequeña, el tiempo de cada oscilación se mantenía igual. Desafío 284 s Una pierna también se mueve como un péndulo, cuando uno camina normalmente. ¿Por qué entonces las personas más altas tienden a caminar más rápido? La relación también es cierto para los animales de distintos tamaños? 122 donde l es la longitud del péndulo, y g = 9,8 m/s2 es la aceleración de la gravedad. (El péndulo se supone que consiste en una masa compacta unida a un hilo de masa despreciable). La duración de la oscilación de un péndulo sólo depende de la longitud del hilo y de g, por tanto del planeta en que se encuentre. TABLA 26 Algunos valores medidos de la aceleración debida a la gravedad. LUGAR VALOR Polos 9,83 m/s2 Trondheim 9,8215243 m/s2 Hamburg 9,8139443 m/s2 Munich 9,8072914 m/s2 Roma 9,8034755 m/s2 Ecuador 9,78 m/s2 Luna 1,6 m/s2 Sol 273 m/s2 Desafío 285 e Si el metro se hubiera definido de tal manera que T/2 = 1 s, el valor de la aceleración normal g habrían sido exactamente π2 m/s2. De hecho, esta fue la primera propuesta para la definición del metro; que fue hecha en 1673 por Huygens y repetida en 1790 por Talleyrand, pero fue rechazada por la conferencia que definió el metro ya que las variaciones en el valor de g con la posición geográfica, las variaciones de la longitud de un péndulo inducidas por la temperatura e incluso las variaciones de presión de aire ocasionan errores que son demasiado grandes para producir una definición de precisión suficiente. (De hecho, todos estos efectos deben ser corregidos en los relojes de péndulo, como se muestra en la Figura 112.) Por último, se hizo la propuesta para definir el metro como 1/40 000 000 de la circunferencia de la Tierra a través de los polos, el llamado meridiano. Esta propuesta era casi idéntica a la propuesta del péndulo- pero mucho más precisa- . La definición meridiana del metro fue entonces adoptada por la Asamblea Nacional francesa el 26 de marzo de 1791, según la fórmula consagrada de que 'pasa un meridiano bajo los pies de todo ser humano y todos los meridianos son iguales'. (Sin embargo, la distancia desde el ecuador a los polos no es exactamente 10 Mm, esta es una extraña historia: Uno de los dos geógrafos que determinó el tamaño del primer metro patrón era deshonesto Los datos que dio para sus mediciones - el método general de las cuales se muestra en la Figura 114 – fueron falsificados. Así, la primera barra oficial de un metro patrón en París fue más corta de lo que debería ser). Continuando nuestra exploración de la aceleración de la gravedad, g, todavía podemos preguntar: ¿Por qué la Tierra tiene la masa y el tamaño que tiene? ¿Y por qué G tienen el valor que tiene? La primera pregunta requiere el conocimiento de la historia del sistema solar; la pregunta sigue sin respuesta y es tema de investigación. La segunda cuestión se aborda en el Apéndice B. Si la gravitación es, en efecto,universal, y si todos los objetos realmente se atraen entre sí, la atracción también se produciría para los objetos de nuestra vida cotidiana. La gravedad también debe funcionar incluso lateralmente. Este es, de hecho, el caso, a pesar de que los efectos son tan pequeños que se midieron sólo mucho tiempo después de que la gravitación universal los hubiera predicho. En realidad, la medición de este efecto permite determinar la constante gravitacional G. Veamos cómo. FIGURA 114 Las mediciones que condujeron a la definición de la metro (© Ken Alder). 123 Notemos que la medición de la constante gravitacional G es también la única manera de determinar la masa de la Tierra. El primero en hacerlo, en 1798, fue el físico Inglés Henry Cavendish; él utilizó la máquina, las ideas y el método de John Michell, que murió cuando intentaba el experimento. Michell y Cavendish ** llamaron al objetivo y al resultado de sus experimentos “el pesaje de la Tierra”. La idea de Michell era suspender un mango horizontal, con dos masas en los extremos, al final de un alambre de metal largo. A continuación, acercar dos grandes masas en los dos extremos del mango, evitando cualquier corriente de aire, y medir la cantidad de giro del mango. La Figura 115 muestra cómo repetir este experimento en su sótano, y la Figura 116 la forma de llevarla a cabo cuando se tiene un presupuesto mayor. El valor de la constante de gravitación G encontrado en las versiones más elaboradas de los experimentos Michell-Cavendish es G =6,7 10−11 Nm2/kg2 = 6,7⋅10−11 m3/kg s2. (40) El experimento de Cavendish fue así el primero en confirmar que la gravedad también trabaja lateralmente. El experimento también permite deducir la masa M de la Tierra a partir de su radio R y la relación g = GM/R2. Por último, como veremos más adelante, este experimento demuestra, si tenemos en cuenta que la velocidad de la luz es finita e invariable, que el espacio es curvo. Todo esto se consigue con este sencillo montaje! FIGURA 115 Un experimento que permite pesar la Tierra y que demuestra que la gravedad también trabaja lateralmente y curva el espacio. Arriba a la izquierda y la derecha: una balanza de torsión hecho de espuma y plomo, con bolas de petanca macizas como masas fijas; centro-derecha: una balanza de torsión de madera y plomo, con piedras como masas fijas; parte inferior: una secuencia de tiempo que muestra cómo las piedras se atraen el plomo (© John Walker). Cavendish encontró una densidad de masa de la Tierra de 5,5 veces mayor que la del agua. A su vez, esto fue un resultado sorprendente, porque una piedra solo tiene 2,8 veces la densidad del agua. Desafío 287 s. La gravitación es débil. Por ejemplo, dos personas promedio separadas 1 m sienten una aceleración una hacia otra menor que la ejercida por una mosca común al aterrizar en la piel. Por lo tanto las personas, por lo general no se dan cuenta de la atracción hacia otras. Cuando la notamos, es mucho más ** Henry Cavendish (. N. 1731 Niza, d 1810 Londres) fue uno de los grandes genios de la física; rico, autista, misógino, soltero y solitario, encontró muchas leyes de la naturaleza, pero nunca las publicó. Si lo hubiera hecho, su nombre sería mucho más conocido. John Michell (1724-1793) fue ministro de la iglesia, geólogo y astrónomo aficionado. 124 fuerte que eso. La medida de G por tanto prueba que la gravitación no puede ser la verdadera causa de que la gente se enamore, y también que la atracción erótica no es de origen gravitacional, sino de una fuente diferente. La base física del amor será estudiada más adelante en nuestra caminata: se llama electromagnetismo FIGURA 116 Un moderno experimento con balanza de torsión de precisión para medir la constante gravitacional, realizado en la Universidad de Washington (© EOT-Wash Group). EL POTENCIAL GRAVITACIONAL La gravedad tiene una propiedad importante: todos los efectos de la gravedad también pueden ser descritos por otro observable, a saber, el potencial (gravitacional) φ . Tenemos, pues, la relación sencilla de que la aceleración está dada por el gradiente del potencial a = −∇φ o a = −grad φ. (41) El gradiente es sólo un término culto para definir 'la dirección a lo largo de la cual la pendiente es mayor'. El gradiente se define para cualquier punto como una inclinación, es grande para una pendiente abrupta y pequeño para una poco pronunciada. Apunta en la dirección de ascenso más pronunciado, como se muestra en la Figura 117. El gradiente se abrevia ∇, pronunciado 'nabla', y se define matemáticamente a través de la relación φ = (∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z) = grad φ. El signo menos (41) se introduce por convención, con el fin de obtener valores de potencial más elevados para alturas mayores. ** En la vida cotidiana, cuando la forma esférica de la Tierra puede ser despreciada, el potencial gravitatorio viene dado por φ = gh. (42) FIGURA 117 El potencial y el gradiente. El potencial φ es una cantidad interesante; con un solo número en cada posición en el espacio, podemos describir los aspectos del vector de aceleración de la gravedad. Esto aboca mecánicamente en que la * * En dos o más dimensiones las pendientes están denotadas por ∂ φ / ∂ z - donde ∂ todavía se pronuncia 'd' - ya que en esos casos la expresión dφ / dz tiene un significado ligeramente diferente. Los detalles se encuentran fuera del ámbito de esta caminata. Por otra parte, para un cuerpo extenso en general, el potencial se encuentra al exigir que la divergencia de su gradiente esté dada por la densidad de masa (o carga) multiplicada por alguna constante de proporcionalidad. Más precisamente, se tiene Δφ = 4πGρ (47) donde ρ = ρ (x, t) es la densidad masa-volumen del cuerpo y el operador Δ , que se pronuncia "delta", se define como Δ f = ∇ ∇ f = ∂ 2f / ∂ x2 + ∂2f / ∂y2 + ∂2f / ∂z2. La ecuación (47) se llama la ecuación de Poisson para el potencial φ. Lleva el nombre de SimeónDenis Poisson (1781-1840), matemático francés y eminente físico. Las posiciones en las que ρ no es cero se llaman las fuentes del potencial. El término denominado fuente Δφ de una función es una medida para la cantidad de la función φ (x) en que un punto x difiere del valor medio en una región alrededor de ese punto. (Desafío 290 ny puede mostrar esto, mostrando que Δφ ~ φ̄ - φ (x)?) En otras palabras, la ecuación de Poisson (47) implica que el valor real del potencial en un punto es el mismo que el valor promedio alrededor de ese punto, menos la densidad de la masa multiplicada por 4πG. En particular, en el caso de espacio vacío el potencial en un punto es igual a la media del potencial alrededor de ese punto. A menudo, el concepto de campo gravitatorio se introduce definiéndolo como g = - ∇ φ. Evitamos esto en nuestra caminata, porque vamos a descubrir que, siguiendo la teoría de la relatividad, la gravedad no es completamente causada por un campo; de hecho, incluso el concepto de potencial gravitatorio resulta ser sólo una aproximación. 125 gravedad en Nueva Zelanda actúa en la dirección opuesta a la gravedad en París. Además, el potencial sugiere la introducción de la llamada energía potencial U estableciendo U = mφ (43) y nos permite determinar el cambio de la energía cinética T de un cuerpo que cae desde el punto 1 al punto 2 a través de T1 − T2 = U2 − U1 o bien 1/2 m1 v1 2 − 1/2 m2v2 2 = mφ2 − mφ1. (44) En otras palabras, la energía total, que se define como la suma de la energía cinética y potencial, se conserva en el movimiento debido a la gravedad. Esta es una propiedad característica de la gravitación. La Gravedad conserva la energía y la cantidad de movimiento. No todas las aceleraciones derivan forzosamente de un potencial; los sistemas con esta propiedad se llaman conservativos. La observación muestra que las aceleraciones debidos a la fricción, no son conservativas, sin embargo las aceleraciones debidas al electromagnetismo sí lo son. En resumen, podemos decir que la gravedad puede ser descrita por un potencial, o decir que se conserva la energía y la cantidad de movimiento. Cuando la forma esférica de la Tierra puede ser despreciada, la energía potencial de un objeto a la altura h está dada por U = mgh. (45) Para tener una idea de la cantidad de energía que es, responda a la siguiente pregunta. Un coche con masa 1 Mg cae por un acantilado de 100 metros. Desafío 288 s ¿Cuánta agua se puede calentar desde el punto de congelación al punto de ebullición con la energía del coche? LA FORMA DE LA TIERRA Desafío 289 e Para un cuerpo esférico o puntual de masa M, el potencial φ es φ =-G M/r. (46) Un potencial simplifica considerablemente la descripción del movimiento, ya que el potencial es aditivo: dado el potencial de una partícula puntual, podemos calcular el potencial y entonces el movimiento alrededor de cualquier otro objeto de forma irregular * Curiosamente, el número d de dimensiones del espacio se codifica en el φ potencial de una masa esférica: Desafío 291 sr. La dependencia de φ en el radio r es, de hecho, 1/rd-2. El exponente d - 2 se ha comprobado experimentalmente con una precisión extremadamente alta: Nunca se ha encontrado ninguna desviación de d respecto de 3. El concepto de potencial nos ayuda a comprender mejor la forma de la Tierra. Dado que la mayoría de la Tierra es todavía líquida cuando se la observa a gran escala, su superficie es siempre horizontal con respecto a la dirección determinada por la combinación de las aceleraciones de la gravedad y la rotación. FIGURA 118 La forma de la Tierra, con escala de altura exagerada (© GeoForschungsZentrum Potsdam). En pocas palabras, la Tierra no es una esfera. No es un elipsoide tampoco. La forma matemática definida por el requisito de equilibrio se llama un geoide. La forma del geoide, se ilustra en la Figura 118, se diferencia de un elipsoide adecuadamente elegido en más de 50 m. Desafío 292 ny ¿Puede describir el geoide matemáticamente? El geoide es una excelente aproximación a la forma real de la Tierra; el nivel del mar difiere de él en menos de 20 metros. Las diferencias pueden ser medidas con radar por satélite y son de gran interés para los geólogos y los geógrafos. Por ejemplo, resulta que el Polo Sur está más cerca del plano ecuatorial que el Polo Norte en unos 30 m. Esto es probablemente debido a las grandes masas de tierra en el hemisferio norte. Anteriormente hemos visto cómo la inercia de la materia, a través de la llamada "fuerza centrífuga", aumenta el radio de la Tierra en el ecuador. En otras palabras, la Tierra está achatada en los polos. El Ecuador tiene un radio de un 6,38 Mm, mientras que la distancia b desde los polos al centro de la Tierra es de 6,36 Mm. La precisión de aplanamiento (a - b) / a tiene el valor (ver Apéndice B) 1/298,3 = 0,0034. Como 126 resultado, la cima del Monte Chimborazo, en Ecuador, a pesar de que su altura es sólo 6267 m sobre el nivel del mar, se encuentra a unos 20 km más lejos del centro de la Tierra que la cima del Monte Sagarmatha en Nepal**, cuya altura sobre el nivel del mar es de 8850 m. La cima del monte Chimborazo es de hecho el punto de la superficie del globo terráqueo más distante del centro de la Tierra. La forma de la Tierra tiene otra consecuencia importante. Si la Tierra detuviera su rotación (pero mantuviera su forma), el agua de los océanos fluiría desde el ecuador a los polos; toda Europa estaría bajo el agua, con excepción de algunas montañas de los Alpes con altura superior a unos 4 km. Las regiones del norte de Europa estarían cubiertas por entre 6 y 10 kilómetros de agua. El Monte Sagarmatha estaría a más de 11 km sobre el nivel del mar. También caminaríamos inclinados. Si tenemos en cuenta el cambio resultante de la forma de la Tierra, los números salen algo menores. Además, el cambio en la forma produciría terremotos y tormentas extremadamente violentos. Siempre y cuando no sobrevengan ninguno de estos efectos, podemos estar seguros de que, de hecho, el Sol saldrá mañana a pesar de lo que pretendían algunos filósofos. DINÁMICA - ¿CÓMO SE MUEVEN LAS COSAS EN VARIAS DIMENSIONES? El concepto de potencial es una herramienta poderosa. Si un cuerpo sólo puede moverse a lo largo de una línea - recta o curva -, los conceptos de energía cinética y potencial son suficientes para determinar completamente la manera en que el cuerpo se mueve. Dicho brevemente, el movimiento en una dimensión se desprende directamente de la conservación de energía. Si hay implicadas más de una dimensión, la conservación de energía no es suficiente. En el caso de un cuerpo que se puede mover en dos dimensiones - es decir, sobre una superficie plana o curva - y si las fuerzas involucradas son internas (que es siempre el caso en teoría, pero no en la práctica), se puede utilizar además la conservación del momento angular. El movimiento completo en dos dimensiones, por tanto, se sigue de la conservación de la energía y del momento angular. Por ejemplo, todas las propiedades de caída libre se derivan de la conservación de la energía y del momento angular. (Desafío 293 s ¿Es usted capaz de mostrar esto?) Una vez más, el potencial es esencial. FIGURA 119 Algunos conceptos importantes a la hora de observación de las estrellas en la noche. En el caso de movimiento en tres dimensiones, se necesita una regla más general para la determinación del movimiento. Tratándose de más de dos dimensiones espaciales, los principios de conservación son insuficientes para determinar cómo se mueve un cuerpo. Resulta que el movimiento en general se sigue de un principio simple: la integral de la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial en un intervalo de tiempo es siempre tan pequeña como sea posible. Esto se conoce como el principio de mínima acción. Vamos a explicar los detalles de este método de cálculo más tarde. Pero, de nuevo, el potencial es el ingrediente principal en el cálculo de la variación, y por lo tanto en la descripción de cualquier ejemplo de movimiento. ** El Monte Sagarmatha a veces también se llama Monte Everest. 127 Para movimientos gravitacionales simples, el movimiento es bidimensional, en un plano. La mayoría de los problemas tridimensionales están fuera del alcance de este texto; de hecho, algunos de estos problemas son tan difíciles que todavía son objeto de investigación. En esta aventura, vamos a explorar el movimiento tridimensional sólo en casos seleccionados que nos proporcionen importantes ideas. GRAVITACIÓN EN EL CIELO La expresión de la aceleración debida a la gravitación universal a = GM/r2, también describe el movimiento de todos los planetas a través del cielo. Por lo general, imaginamos que se localizan respecto al centro del Sol y decimos que los planetas orbitan alrededor del Sol ¿Cómo podemos comprobarlo? En primer lugar, mirando el cielo por la noche, podemos comprobar que los planetas siempre permanecen dentro del zodiaco, una franja estrecha a través del cielo. La línea central del zodiaco da la trayectoria del Sol y se llama la eclíptica, ya que la Luna debe estar ubicada en la misma para producir un eclipse. Esto demuestra que los planetas se mueven (aproximadamente) en un único plano común. * El movimiento detallado de los planetas no es fácil de describir. Como muestra la Figura 119, la observación de un planeta o una estrella requiere medir varios ángulos. Para un planeta, estos ángulos cambian cada noche. De la forma en que los ángulos cambian, se puede deducir el movimiento de los planetas. Algunas generaciones antes de Hooke, utilizando las observaciones de Tycho Brahe, el astrónomo Johannes Kepler de Suabia, en su esmerada e intensa investigación de los movimientos de los planetas en el zodiaco, había deducido varias "leyes" Las tres principales son las siguientes: 1. Los planetas se mueven en elipses con el Sol ubicado en uno de los focos (1609). 2. Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales (1609). 3. Todos los planetas tienen la misma relación T2/d3 entre la duración órbita P( período sideral), T, y el semieje mayor d (1619). Los resultados de Kepler se ilustran en la Figura 120. El gran trabajo que se requiere para deducir las tres "leyes" fue titánico. Kepler no tenía ninguna máquina de calcular disponible, ni siquiera una regla de cálculo. El procedimiento de cálculo que utilizó fueron los logaritmos recientemente descubiertos. Cualquiera que haya usado tablas de logaritmos para realizar cálculos puede hacerse una idea de la cantidad de trabajo que hay detrás de estos tres descubrimientos. FIGURA 120 El movimiento de un planeta alrededor del Sol, mostrando su semieje mayor d, que es también el promedio espacial de su distancia del sol. Ahora viene el punto central. El enorme volumen de trabajo realizado por Brahe y Kepler se puede resumir en la expresión a = GM/r2, (48) como Hooke y algunos otros habían aseverado. Veamos por qué. ¿Por qué la órbita usual es una elipse? El argumento más sencillo se da en la figura 121. Sabemos que la aceleración de la gravedad varía como a = GM/r2. También sabemos que un cuerpo en órbita alrededor de la masa m tiene una energía constante E < 0. Podemos entonces dibujar, alrededor del Sol, el círculo de radio R =-GMm / E, lo que le da la mayor distancia a la que un cuerpo con energía E puede estar del sol. Ahora proyectamos la posición del planeta P en este círculo, construyendo así una posición S. A continuación, reflejamos S a lo largo de la tangente en P para conseguir una posición F. Esta última posición F es constante en el tiempo, como un simple argumento muestra. (Desafío 294 s ¿Puede encontrarlo?) Como resultado de la construcción, la suma de las distancias OP + PF es constante en el tiempo, y dada por el radio R =-GMm / E. Puesto que esta suma de distancias es constante, la órbita es una elipse, porque una elipse es, precisamente, la curva que aparece cuando esta suma es constante. (Recuerde que una elipse se puede dibujar con un trozo de cuerda de esta manera.) El punto F, como el Sol, es un foco de la elipse. Esta es la primera de las "leyes" de Kepler. 128 Desafío 295 s ¿Puede confirmar que también las otras dos "leyes" de Kepler se siguen de la expresión de Hooke de la gravedad universal? La publicación de este resultado fue el principal logro de Newton. Trate de repetir su logro: esto le mostrará no sólo las dificultades, sino también las posibilidades de la física, y la alegría que proporciona la resolución de puzzles y enigmas. La segunda de las "leyes" de Kepler, sobre la igualdad de áreas barridas, implica que los planetas se mueven más rápido cuando están cerca del sol. Es una manera sencilla de indicar la conservación del momento angular. Desafío 296 e ¿Qué significa el enunciado de la tercera "ley"? Newton solucionó estos rompecabezas con dibujos geométricos - aunque de una manera muy compleja. Es bien sabido que Newton no era capaz de escribir, y mucho menos manejar, ecuaciones diferenciales en el momento en que publicó sus resultados en la gravitación. De hecho, los métodos de notación y cálculo de Newton eran pobres. (¡Mucho peores que los de usted!) El matemático Inglés Godfrey Hardy ** solía decir que la insistencia en el uso de la notación diferencial e integral de Newton, en lugar del método mucho más fácil y mejor, debido a su rival Leibniz que aún es común hoy en día, - retrasó las matemáticas inglesas durante 100 años. FIGURA 121 La prueba de que un planeta se mueve en una elipse (magenta) alrededor del Sol, dada una relación inversa del cuadrado de la distancia debida a la gravitación (ver texto). Para resumir, Kepler, Hooke y Newton se hicieron famosos porque nos proporcionaron la descripción del movimiento planetario. Ellos demostraron que todo el movimiento debido a la gravedad se deduce de la misma descripción, el inverso del cuadrado de la distancia. Por esta razón, la relación del inverso del cuadrado de la distancia a = GM/r2 se llama la ley de la Gravitación Universal. FIGURA 122 El cambio de la luna durante el mes, mostrando su libración (QuickTime película © Martin Elsässer) **Godfrey Harold Hardy (1877-1947) fue un importante matemático inglés especialista en teoría de números , y el autor de la famosa Apología de un matemático. Él también "descubrió" el famoso matemático indio Srinivasa Ramanujan, y lo llevó a Gran Bretaña. 129 El logro de esta unificación de la descripción del movimiento, aunque de pequeña importancia práctica, fue ampliamente publicitado. La razón principal fueron los prejuicios y fantasías ancestrales vinculadas con la astrología. Pero además, la relación del inverso del cuadrado de la distancia explica muchos fenómenos adicionales. Explica el movimiento y la forma de la Vía Láctea y de las otras galaxias, el movimiento de muchos fenómenos meteorológicos, y explica por qué la Tierra tiene una atmósfera, pero no la Luna. (Desafío 297 s ¿Puede explicar esto?) De hecho, la gravitación universal explica mucho más sobre la Luna. LA LUNA ¿Cuánto dura un día en la Luna? La respuesta es de aproximadamente 29 días terrestres. Ese es el tiempo que le lleva a un observador en la Luna ver el sol de nuevo en la misma posición en el cielo. A menudo se oye que la Luna siempre muestra la misma cara a la Tierra. Pero esto es un error. Como se puede comprobar a simple vista, una determinada característica en el centro de la cara de la Luna en Luna llena no está en el centro de una semana después. Los diversos movimientos que conducen a este cambio se llaman libraciones; y se muestran en la película de la Figura 122. Los movimientos aparecen principalmente porque la Luna no describe una órbita circular alrededor de la Tierra, sino una elíptica y porque el eje de la Luna está ligeramente inclinado, en comparación con el de su rotación alrededor de la Tierra. Como resultado, sólo alrededor del 45% de la superficie de la Luna se oculta de forma permanente de la Tierra. FIGURA 123 Los mapas de alta resolución (no fotografías) de la cara visible (izquierda) y la invisible (derecha) de la luna, que muestra con qué frecuencia la segunda salvó a la Tierra de impactos de meteoritos (cortesía del USGS). Las primeras fotografías de la zona oculta fueron tomadas en los años 1960 por un satélite artificial soviético; los satélites modernos proporcionan mapas exactos, como se muestra en la Figura 123. La superficie oculta es mucho más irregular que la visible, ya que el lado oculto es el que intercepta la mayoría de los asteroides atraídos por la Tierra. Así, la gravedad de la Luna ayuda a desviar los asteroides de la Tierra. El número de extinciones de la vida animal se reduce así a un número pequeño, pero no despreciable. En otras palabras, la atracción gravitacional de la Luna ha salvado a la raza humana de la extinción muchas veces.** Los viajes a la Luna en la década de 1970 también mostraron que la Luna se originó en la Tierra misma: hace mucho tiempo, un objeto golpeó la Tierra de manera casi tangencial y lanzó una fracción considerable de material hacia el cielo. Este es el único mecanismo capaz de explicar el gran tamaño de la Luna, su bajo contenido de hierro, así como la composición general de su material. La Luna se aleja de la Tierra a 3,8 cm al año. Este resultado confirma la antigua deducción que las mareas frenan la rotación de la Tierra. Desafío 299 s ¿Se imagina cómo se llevó a cabo esta medida? Como la Luna ralentiza la Tierra, la Tierra también cambia de forma debido a este efecto. (Recuerde que la forma de la Tierra depende de su velocidad de rotación.) Estos cambios en la forma influyen en la actividad tectónica de la Tierra, y tal vez también en la deriva de los continentes. La Luna tiene muchos efectos sobre la vida animal. Un ejemplo famoso es el mosquito quironómido Clunio, que vive en las costas con mareas pronunciadas. Clunio vive entre seis y doce semanas como una larva, luego eclosiona y vive sólo una o dos horas como un insecto volador adulto, tiempo durante el cual se reproduce. Los mosquitos sólo se reproducirán si su eclosión ocurre durante la fase de bajamar de las mareas *Las página web www.minorplanetcenter.net/iau/lists/Closest.html e InnerPlot.html dan una impresión del numero de objetos que casi golpean la Tierra cada año. Sin la Luna, tendríamos muchas catástrofes suplementarias. 130 vivas. Las mareas vivas son las mareas especialmente fuertes durante las lunas llena y nueva, cuando los efectos solares y lunares se combinan, y ocurren sólo cada 14,8 días. En 1995, Dietrich Neumann demostró que las larvas tienen dos relojes incorporados, uno circadiano y otro circatidal o circalunar, que en conjunto controlan la eclosión precisamente en las pocas horas en que el insecto puede reproducirse. También demostró que el reloj circalunar está sincronizado con el resplandor de la luna en la noche. En otras palabras, las larvas supervisan la Luna en la noche y luego deciden cuándo salir del cascarón: son los astrónomos más pequeños conocidos. Si los insectos pueden tener ciclos circalunares, no debería constituir ninguna sorpresa que las mujeres también tengan un ciclo de este tipo; Sin embargo, en este caso el origen preciso de la longitud del ciclo es todavía desconocido y tema de investigación. La Luna también ayuda a estabilizar la inclinación del eje de la Tierra, manteniéndolo más o menos fijo con relación al plano del movimiento alrededor del sol. Sin la Luna, el eje podría cambiar su dirección de manera irregular, no tendríamos un ritmo regular día y noche, tendríamos cambios climáticos extremadamente grandes, y la evolución de la vida habría sido imposible. Sin la Luna, la Tierra también giraría mucho más rápido y tendríamos un clima mucho menos benigno. El principal efecto remanente de la Luna sobre la Tierra, la precesión de su eje, es responsable de las edades de hielo. También la Luna protege a la Tierra de las radiaciones cósmicas aumentando considerablemente el campo magnético terrestre. En otras palabras, la importancia de la Luna es crucial para la evolución de la vida. Comprender cómo planetas del tamaño de la Tierra llegan a tener satélites tan grandes como la Luna es primordial para estimar la probabilidad de vida en otros planetas. Hasta el presente, parece que los satélites muy grandes sean raros, no hay más que cuatro lunas censadas más grandes que la de la Tierra y están alrededor de planetas mucho mayores, a saber, Júpiter y Saturno. De hecho, la formación de satélites es aún un dominio activo de investigación. Volveremos a ver más adelante las consecuencias de la gravitación en el cielo. ÓRBITAS – Y SECCIONES CÓNICAS La trayectoria de un cuerpo orbitando a otro continuamente bajo la influencia de la gravedad es una elipse con el cuerpo central en un foco. Una órbita circular también es posible, un círculo es un caso especial de elipse. La trayectoria de un objeto gravitando alrededor de otro puede tomar también la forma de parábolas o hipérbolas, como se muestra en la Figura 124. Círculos, elipses, parábolas y hipérbolas se conocen colectivamente como secciones cónicas. De hecho cada una de estas curvas pueden ser producidas por el corte de un cono con un cuchillo. Desafío 300 e ¿Puede mostrarlo? FIGURA 124 Los posibles órbitas, debido a la gravitación universal, de una pequeña masa alrededor de una masa grande (izquierda) y un par de ejemplos recientes de órbitas medidos (derecha), a saber, los de algunos planetas extrasolares y de la Tierra, todos dibujados alrededor de su respectiva estrella central , con distancias dadas en unidades astronómicas (© Geoffrey Marcy). Si las órbitas son principalmente elipses, se deduce que los cometas retornan. El astrónomo inglés Edmund Halley (1656-1742) fue el primero en llegar a esta conclusión, y predecir el regreso de un cometa. Llegó en la fecha prevista en 1756, y ahora lleva su nombre. El período del cometa Halley es de entre 74 y 131 80 años; el primer avistamiento registrado fue hace 22 siglos, y se ha seguido viendo en cada uno de sus 30 pases, la última vez en 1986. Dependiendo de la energía inicial y el momento angular inicial del cuerpo con respecto al astro central, las trayectorias pueden ser elípticas, parabólicas o hiperbólicas. Desafío 301 ny ¿Puede determinar las condiciones de la energía y el momento angular necesarias para que aparezcan estas trayectorias? Concretamente, no existen trayectorias parabólicas en la naturaleza. (Aunque algunos cometas parecen acercarse a este caso cuando se mueven alrededor del Sol; casi todos los cometas siguen trayectorias elípticas). Las trayectorias hiperbólicas sí existen; los satélites artificiales las siguen cuando se les dispara hacia un planeta, por lo general con el objetivo de cambiar la dirección del recorrido del satélite a través del sistema solar. ¿Por qué la "ley" de la inversa del cuadrado nos lleva a las secciones cónicas? En primer lugar, para dos cuerpos, el momento angular total L es una constante: L = mr2 ̇φ y por lo tanto el movimiento se encuentra en un plano. También la energía E es una constante E = 1/2 m·(dr/dt)2 + 1/2 m·(r dφ/dt)2 − GmM/r . (50) Desafío 302 ny Juntas, las dos ecuaciones implican que r= L2 · Gm2 M 1 √ (51) 2 2 EL 1+ 1+ 2 3 2 cos ϕ G m M Ahora bien, cualquier curva definida por la expresión general r= C 1+e · cos ϕ o r= C 1−e · cos ϕ (52) es una elipse para 0 <e <1, una parábola para e = 1 y una hipérbola para e> 1, estando uno de los focos en el origen. La cantidad e, llamada la excentricidad, se describe cómo de apretada está la curva. En otras palabras, un cuerpo en órbita alrededor de una masa central sigue una sección cónica. Desafío 303 f. En todas las órbitas, también la masa pesada central se mueve. De hecho, ambos cuerpos orbitan alrededor del centro de masa común. Ambos cuerpos siguen el mismo tipo de curva (elipse, parábola o hipérbola), pero las dimensiones de las dos curvas difieren. Si hay más de dos objetos que se desplazan bajo influencia gravitacional mutua, aparecen muchas posibilidades adicionales para los movimientos. La clasificación y los movimientos son bastante complejos. En realidad, este problema conocido como el problema de muchos cuerpos sigue siendo un tema de investigación, y los resultados son matemáticamente fascinantes. Veamos algunos ejemplos. Cuando varios planetas giran alrededor de una estrella, también se atraen entre sí. Los Planetas de este modo no se mueven en elipses perfectas. La desviación más grande es el avance del perihelio, como se muestra en la Figura 100. Esto ha sido observado para Mercurio y otros pocos planetas, incluyendo la Tierra. Otras desviaciones en relación a la trayectoria elíptica aparecen durante una única órbita. En 1846, se utilizaron las desviaciones observadas del movimiento del planeta Urano respecto al camino previsto por la gravedad universal para predecir la existencia de otro planeta, Neptuno, que fue descubierto poco después. Hemos visto que la masa es siempre positiva y que la gravitación es, pues, siempre atractiva; no hay antigravedad. Sin embargo, ¿puede utilizarse la gravedad para la levitación, utilizando eventualmente más de dos cuerpos? Sí; hay dos ejemplos.** El primero son los satélites geoestacionarios, que se utilizan para facilitar la transmisión de las cadenas de televisión y otras señales desde y hacia la Tierra. Los puntos de libración de Lagrange son el segundo ejemplo. Nombrados así en honor su descubridor, estos son puntos del espacio situados en las proximidades de un sistema de dos cuerpos, como la Luna-Tierra o Tierra-Sol, en los cuales los objetos pequeños tienen una posición de equilibrio estable. Una visión general se da en la Figura 126. **La levitación se discutirá en detalle en la sección sobre electrodinámica. 132 Desafío 304 s ¿Puede usted encontrar su posición exacta, recuerde tomar en cuenta la rotación? Hay tres puntos de Lagrange adicionales en la línea Tierra-Luna (o la línea Sol-planeta). Desafío 305 d ¿Cuántos de ellos son estables? Hay miles de asteroides, llamados asteroides troyanos, en y alrededor de los puntos de Lagrange del sistema Sol-Júpiter. En 1990, se descubrió un asteroide troyano para el sistema de Marte-Sol. Finalmente, en 1997, un asteroide "casi troyano" se constató que sigue la Tierra en su camino alrededor del Sol (esto es sólo transitorio y sigue una órbita algo más compleja). Este "segundo compañero" de la Tierra tiene un diámetro de 5 km. Del mismo modo, en los principales puntos de Lagrange del sistema Tierra-Luna se ha observado una alta concentración de polvo. FIGURA 125 Los satélites geoestacionarios, vistos aquí en el cuadrante superior izquierdo, se mueven en sentido contrario a las otras estrellas y muestran la ubicación del ecuador celeste. (MP4 film © Michael Kunze) FIGURA 126 satélites geoestacionarios (izquierda) y los principales puntos de Lagrange estables (derecha). Los astrónomos saben que muchos otros objetos siguen órbitas irregulares, en particular, los asteroides. Por ejemplo, un asteroide 2003 YN 107 siguió una órbita irregular, que se muestra en la Figura 137, que acompañó a la Tierra durante un cierto número de años. En resumen, una única y sencilla ecuación a = -GMr/r3 describe correctamente un gran número de fenómenos celestes. La primera persona en revelar de manera clara que esta expresión describe todo lo que ocurre en el cielo era Pierre Simon Laplace en su famoso tratado Traité de Mécanique céleste. Cuando Napoleón le dijo que no encontraba ninguna mención sobre el creador en el libro, Laplace respondió con una famosa frase, resumen de su libro: Je n’ai pas eu besoin de cette hypothese. ‘No he tenido necesidad de esta hipótesis.’ En particular, Laplace estudió la estabilidad del sistema solar, la excentricidad de la órbita lunar, y las excentricidades de las órbitas planetarias, obteniendo siempre un pleno acuerdo entre los cálculos teóricos y las observaciones. 133 FIGURA 137 Un ejemplo de la órbita irregular, en parte, medida y en parte calculada, debido la atracción gravitatoria de diferentes masas: la órbita del efímero cuasi-satélite de la Tierra 2003 YN107 en coordenadas geocéntricas. Este asteroide, con un diámetro de 20 (10) m, quedó orbitalmente atrapado cerca de la Tierra alrededor de 1995 y se mantuvo así hasta el año 2006. El círculo negro es la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. (© Seppo Mikkola). Estos resultados son toda una verdadera proeza para la simple expresión de la gravitación universal; también explican por qué se le califica de "universal". Pero, ¿cómo de exacta es la fórmula? Puesto que la astronomía permite las mediciones más precisas del movimiento gravitacional, también proporciona las pruebas más rigurosas. En 1849, Urbain Le Verrier concluyó después de un estudio intensivo que sólo había un ejemplo conocido de una discrepancia entre la observación y la gravitación universal, a saber, una observación concerniente al planeta Mercurio. (Hoy en día se conocen unas pocas más). El punto de la órbita del planeta Mercurio menos alejado del Sol, su perihelio, cambia a un ritmo que es ligeramente menor que el predicho: se encontró con una minúscula diferencia, en torno a 38'' por siglo. (Esto se corrigió a 43'' por siglo en 1882 por Simon Newcomb.) Le Verrier pensó que la diferencia se debía a un planeta situado entre Mercurio y el Sol, Vulcano, que perseguió en vano durante muchos años. De hecho, Vulcano no existe. La explicación correcta de esa diferencia tuvo que esperar a Albert Einstein. FIGURA 127 Mareas en Saint-Valery en Caux el 20 de septiembre, 2005 (© Gilles Régnier). 134 MAREAS ¿Por qué los textos de física siempre hablan de las mareas? Porque, como mostrará la relatividad general, ¡las mareas muestran que el espacio es curvo! Por lo tanto, es útil estudiarlos un poco más en detalle. La Figura 127 muestra cuán sorprendentes pueden ser las mareas. La gravitación explica las mareas marinas como resultado de la atracción de agua del océano por la Luna y el Sol. Las mareas son interesantes; aunque la magnitud de las mareas es de sólo 0,5 metros en mar abierto, puede ser de hasta 20 metros en lugares especiales cerca de la costa. Desafío 322 s ¿Puede imaginar por qué? El suelo también es elevado y bajado por el Sol y la Luna, alrededor de 0, 3m, como se muestra en las mediciones de satélite. La atmósfera también está sujeta a mareas, y las correspondientes variaciones de presión pueden ser filtradas de las mediciones de presión meteorológica. Las Mareas aparecen en cualquier cuerpo extenso moviéndose en el campo gravitacional de otro. Para entender el origen de las mareas, imagine un cuerpo en órbita, como la Tierra, e imagine sus componentes, tales como los segmentos de la Figura 128, unidos por resortes. La Gravitación universal implica que las órbitas son más lentas cuanto más distantes estén del cuerpo central. Como resultado, al segmento exterior de la órbita le gustaría ser más lento que el central; pero es jalado por el resto del cuerpo a través de los resortes. Por el contrario, al segmento interior le gustaría orbitar más rápido, pero está retenido por los demás. Siendo ralentizados, los segmentos internos querrían caer hacia el sol. En suma, los dos segmentos sienten un tirón que los aleja del centro del cuerpo, limitado por los resortes que detienen la deformación. Por lo tanto, los cuerpos extensos se deforman en la dirección de la inhomogeneidad del campo. FIGURA 128 Deformaciones de marea debido a la gravedad. FIGURA 129 El origen de las mareas. Por ejemplo, como resultado de las fuerzas de marea, la Luna siempre presenta (más o menos) la misma cara a la Tierra. Además, su radio en la dirección de la Tierra es mayor en aproximadamente 5m que el radio perpendicular a ella. Si los resortes internos son demasiado débiles, el cuerpo se rompe en pedazos; de esta manera se puede formar un anillo de fragmentos, como el anillo de asteroides entre Marte y Júpiter o los anillos alrededor de Saturno. Volvamos a la Tierra. Si un cuerpo está rodeado por el agua, se formará protuberancias en la dirección del campo gravitacional aplicado. Con el fin de medir y comparar la intensidad de las fuerzas de las mareas debidas al Sol y a la Luna, reducimos los efectos de marea a su mínima expresión. Como se muestra en la Figura 129, se puede estudiar la deformación de un cuerpo debido a la gravedad mediante el estudio de la deformación de cuatro piezas. Podemos estudiarlo en caída libre, porque el movimiento orbital y la caída libre son equivalentes. Ahora, la gravedad hará de modo que algunas de las piezas se aproximen y otras diverjan, dependiendo de sus posiciones relativas. La figura revela claramente que la intensidad de la deformación - el agua no está integrada por muelles - depende de la variación de aceleración gravitacional con la distancia. En otras palabras, la aceleración relativa que conduce a las mareas es proporcional a la derivada de la aceleración de la gravedad. Usando las cifras del Apéndice B, las aceleraciones gravitacionales del Sol y de la Luna medidos en la Tierra son aSun = GMSun / d2 Sun = 5,9 mm/s2 aMoon = GMMoon /d2 Moon = 0,033 mm/s2 (53) 135 y por lo tanto la atracción de la Luna es de unos 178 veces más débil que la del sol. Cuando dos cuerpos cercanos caen cerca de una gran masa, la aceleración relativa es proporcional a su distancia, y sigue da = (da / dr) dr. El factor de proporcionalidad que da / dr = ∇a, una llamada aceleración de marea (gradiente), que es la verdadera medida de los efectos de las mareas. Desafío 307 e. Cerca de una gran masa esférica M, está dado por da GM =−2 3 dr r (54) que produce los valores GM daSol =−2 3 Sol =− 0.8 ⋅10 −13 s−2 dr d Sol daLuna GM =− 2 3 Luna =− 1,7 ⋅10 −13 s−2 . (55) dr d Luna En otras palabras, a pesar de la fuerza mucho más débil de la Luna, sus mareas se prevé que sean más de dos veces más fuertes que las mareas del Sol; esto es, en efecto, lo observado. Cuando el Sol, la Luna y la Tierra están alineados, las dos mareas se suman; estas llamadas mareas vivas son especialmente fuertes y ocurren cada 14,8 días, en luna llena y nueva. Las mareas conducen a un bonito rompecabezas. Las Mareas Lunares son mucho más fuertes que las mareas solares. Esto implica que la Luna es mucho más densa que el sol. Desafío 308 s ¿Por qué? FIGURA 130 La Tierra, la Luna y los efectos de la fricción de las mareas (no a escala). Las Mareas también producen fricción, como se muestra en la Figura 130. La fricción conduce a una disminución de la rotación de la Tierra. Hoy en día, la desaceleración se puede medir por relojes precisos (a pesar de que las variaciones a corto plazo debidas a otros efectos, tales como el clima, son netamente más importantes). Los resultados se corresponden bien con los resultados de fósiles que demuestran que hace 400 millones de años, en el período Devónico, un año tenía 400 días, y un día cerca de 22 horas. Se ha estimado igualmente que hace 900 millones de años, cada uno de los 481 días de un año tenían 18,2 horas de duración. La fricción que está en la base de esta desaceleración también se traduce en un aumento en la distancia de la luna a la Tierra en aproximadamente 3,8 cm por año. Desafío 309 s ¿Es usted capaz de explicar por qué? Como se mencionó anteriormente, el movimiento de la corteza terrestre debido a las mareas es asímismo responsable de la activación de los terremotos. Así pues, la Luna puede tener también efectos peligrosos en la Tierra. (Desafortunadamente, el conocimiento del mecanismo no permite la predicción de terremotos.) El ejemplo más fascinante de los efectos de las marea se ve en el satélite de Júpiter, Io. Sus mareas son tan fuertes que inducen una intensa actividad volcánica, como se muestra en la Figura 131, con penachos de erupciones de hasta 500 kilómetros de altura. Si las mareas fueran aún más fuertes, podrían destruir el cuerpo por completo, como ocurrió con el astro situado entre Marte y Júpiter, que formó los planetoides, y (posiblemente) con las lunas que dieron lugar a los anillos de Saturno. 136 FIGURA 131 Un resultado espectacular de las mareas: vulcanismo en Io (NASA). En resumen, las mareas son debidas a las aceleraciones relativas de las masas puntuales próximas. Esto tiene una consecuencia importante. En el capítulo sobre la relatividad general nos encontraremos con que el tiempo multiplicado por la velocidad de la luz juega el mismo papel que la longitud. El Tiempo se convierte entonces en una dimensión adicional, como se muestra en la Figura 132. Usando esta similitud, dos partículas libres que se mueven en la misma dirección corresponden a líneas paralelas en el espacio-tiempo. Dos partículas que caen juntas también se corresponden con líneas paralelas. Las Mareas muestran que tales partículas se aproximan entre sí. En otras palabras, las mareas implican que las líneas paralelas se aproximan entre sí. Pero las líneas paralelas se aproximan entre sí sólo si el espacio-tiempo es curvo. En resumen, las mareas implican que el espacio-tiempo y el espacio son curvos. Este sencillo razonamiento se podría haber realizado en el siglo XVIII; sin embargo, tuvieron que transcurrir otros 200 años y el genio de Albert Einstein para descubrirlo. FIGURA 132 Partículas que caen juntas aproximándose con el tiempo. FIGURA 133 Las masas doblan la luz. ¿PUEDE CAER LA LUZ? Die Maxime, jederzeit selbst zu denken, ist die Aufklarung. Immanuel Kant* La máxima de pensar en todo momento por uno mismo es el iluminismo. Hacia el final del siglo XVII, el mundo descubrió que la luz tiene una velocidad finita - una epopeya que contaremos en detalle más adelante. Una entidad que se mueve con velocidad infinita no puede ser afectada por la gravedad, ya que no habría tiempo para producir su efecto. Una entidad con una velocidad finita, sin embargo, debe sentir la gravedad y por lo tanto caer. ¿Puede aumenta su velocidad cuando la luz llega a la superficie de la Tierra? Durante casi tres siglos, las gentes no tenía medios para detectar tales efectos; así que esta pregunta no se investigó. Luego, en 1801, el astrónomo prusiano Johann Soldner (1776-1833) fue el primero en plantear la cuestión de una manera diferente. Al ser un astrónomo, estaba acostumbrado a la observación de las estrellas y medir sus ángulos de visión. Se dio cuenta de que la luz que pasa cerca de un cuerpo masivo se desviaría debido a la gravedad. 137 Soldner analizó la situación de un cuerpo en una trayectoria hiperbólica, que se mueve con velocidad c pasando por una masa M esférica a distancia b (medida desde el centro), como se muestra en la Figura 133. Soldner dedujo el ángulo de deflexión α univ. Grav . = 2 GM b c 2. (56) Se ve que el ángulo es máximo cuando el cuerpo en movimiento casi roza la masa M. Para la luz desviada por la masa del Sol, el ángulo resulta ser a lo sumo un pequeño 0,88'' = 4,3 microrradianes. En la época de Soldner, este ángulo era demasiado pequeño para ser medido. Así, el tema quedó en el olvido. Si su resolución hubiera continuado, la relatividad general habría comenzado como una ciencia experimental, y no como el esfuerzo teórico de Albert Einstein! ¿Por qué? El valor que acaba de calcular es diferente del valor medido. La primera medición se llevó a cabo en 1919, ** que encontró la dependencia correcta en relación a la distancia, pero se encontró una deflexión de hasta 1,75 '', exactamente el doble que el de la expresión (56). La razón no es fácil de encontrar; de hecho, es debido a la curvatura del espacio, como veremos. En resumen, la luz puede caer, pero el asunto esconde numerosas sorpresas. ¿QUÉ ES LA MASA? - CONTINUACIÓN (UNA VEZ MÁS) La Masa describe cómo un objeto interactúa con los demás. En nuestro paseo, nos hemos encontrado con dos de sus aspectos. La masa inercial es la propiedad que mantiene los objetos en movimiento y que ofrece resistencia a un cambio en su movimiento. La Masa gravitacional es la propiedad responsable de la aceleración de los cuerpos cercanos (el aspecto activo) o de ser acelerado por objetos cercanos (el aspecto pasivo). Por ejemplo, el aspecto activo de la masa de la Tierra determina la aceleración en su superficie de los cuerpos; el aspecto pasivo de los cuerpos nos permite pesarlos con el fin de medir su masa usando sólo distancias, por ejemplo, una báscula o una balanza. La masa gravitacional es la base de peso, que es la resistencia a levantar las cosas.*** ¿Es la masa gravitacional de un cuerpo igual a su masa inercial? Una respuesta aproximada está dada por la experiencia: un objeto difícil de desplazar también es difícil de levantar. El experimento más simple es tomar dos cuerpos de diferente masa y dejarlos caer. Si la aceleración es la misma para todos los cuerpos, la masa inercial es igual a la masa gravitacional (pasiva), ya que en la relación m·a= ∇ (GMm / r), la m de la izquierda es en realidad la masa inercial y la m de la derecha es en realidad la masa gravitacional. Ya en el siglo XVII, Galileo había difundido ampliamente un conocido argumento aún más antiguo que muestra sin un solo experimento que la aceleración de la gravedad es, de hecho, la misma para todos los cuerpos. Si las masas más grandes cayeran más rápidamente que las más pequeñas, entonces aparecería la siguiente paradoja. Cualquier cuerpo puede verse como estando compuesto de un fragmento grande unido a un fragmento pequeño. Si los cuerpos pequeños realmente cayeran menos rápidamente, el fragmento pequeño frenaría al grande hacia abajo, de modo que el cuerpo completo tendría que caer menos rápidamente que el fragmento más grande solo (o romperse en pedazos). Al mismo tiempo, el cuerpo es más grande que su fragmento, por lo que debe caer más rápidamente que el fragmento. Esto es obviamente imposible: todas las masas deben caer con la misma aceleración. Muchos experimentos precisos se han realizado desde la discusión inicial de Galileo. En todos ellos la independencia de la aceleración de caída libre en relación a la masa y a la composición del material que la forma, ha sido confirmado con la precisión que los experimentos permitían. En otras palabras, por lo que podemos decir, la masa gravitacional y la masa inercial son idénticas. ¿Cuál es el origen de esta misteriosa igualdad? Este pretendido "misterio" es un ejemplo típico de desinformación, ahora común en todo el mundo de la enseñanza de la física. Volvamos a la definición de la masa como una relación inversa y negativa de las aceleraciones. Hemos mencionado que los orígenes físicos de las aceleraciones no juegan un papel en la definición porque el origen no aparece en la expresión. En otras palabras, el valor de la masa es, por *Desafío 311 s * Por cierto, ¿cómo medir la desviación de la luz cerca del brillante Sol? *Desafío 312 ny ** ¿Cuáles son los valores que muestra una balanza para una persona de 85 kg haciendo juegos malabares con tres bolas de 0,3 kg cada una? 138 definición, independiente de la interacción. Esto significa, en particular, que la masa inercial, basada en la interacción electromagnética y la masa gravitacional son iguales por definición. También tomamos nota de que nunca hemos definido un concepto separado de la "masa gravitacional pasiva". La masa que se acelera por la gravitación es la masa inercial. Peor aún, no hay manera de definir una «masa gravitacional pasiva". Desafío 313 s ¡Pruébelo! Todos los métodos, tales como el peso de un objeto, no se pueden distinguir de los que determinan la masa inercial de su reacción a la aceleración. De hecho, en todos los métodos de medición de la masa se emplean mecanismos no gravitacionales. Las básculas son un buen ejemplo. Si la 'masa gravitacional pasiva" fuera diferente de la masa inercial, tendríamos consecuencias inquietantes. Para aquellos cuerpos para los que fueran diferentes nos encontraríamos con problemas con la conservación de energía. También asumiendo que la 'masa gravitacional activa "se diferencia de la masa inercial nos metemos en problemas. Otra forma de ver el problema es el siguiente. ¿Cómo podría la "masa gravitacional” diferir de la masa inercial? ¿La diferencia dependería de la velocidad relativa, del tiempo, de la posición, de la composición o de la masa en sí? Cada una de estas posibilidades contradice, ya sea la energía o la conservación de la cantidad de movimiento. En resumen, no es de extrañar que todas las medidas confirmen la igualdad de todos los tipos de masas: no hay otra opción - como Galileo subrayó. La falta de otras opciones se debe equivalencia fundamental de todas las definiciones de las masas: • las relaciones de masa son relaciones de aceleración. La cuestión resurgió en la relatividad general, sin nuevos resultados, porque la definición de masa sigue siendo la misma. Ambas' masas, gravitacional e inercial, siguen siendo iguales. • La masa es una propiedad única de todo cuerpo Otro tema, más profundo permanece, sin embargo. ¿Cuál es el origen de la masa? ¿Por qué existe? Esta pregunta simple pero profunda no puede encontrar respuesta en la física clásica. Deberemos armarnos de un poco de paciencia para averiguarlo. CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS RETOS SOBRE LA GRAVITACIÓN Fallen ist weder gefahrlich noch eine Schande; Liegen bleiben ist beides.** Konrad Adenauer ‘La caída no es ni peligrosa ni una vergüenza; mantener la mentira es ambas cosas. La gravedad sobre la Luna es sólo una sexta parte que sobre la Tierra. ¿Por qué esto implica que sea difícil caminar rápidamente y correr en la luna (como se puede ver en las imágenes de televisión grabadas allí)? ∗∗ ¿Es la aceleración debida a la gravedad constante? En realidad no. Cada día, se estima que 10 8 kg de material caen sobre la Tierra en forma de meteoritos y asteroides. (Un ejemplo se puede ver en la figura 133b). Sin embargo, se desconoce si la masa de la Tierra aumenta con el tiempo (debido a la recolección de meteoritos y polvo cósmico) o disminuye (debido a la pérdida de gas). Si usted encuentra una manera de resolver la cuestión, publíquela. FIGURA 133-b Las fotografías de un meteorito son raras; estas dos, tomadas con un intervalo de un segundo muestran también la rotura de un meteorito (© Robert Mikaelyan). ** 'Konrad Adenauer (n. 1876 Koln,. d 1967 Rhöndorf), canciller de Alemania Occidental. 139 ∗∗ Por cierto, el descubrimiento de objetos que puedan chocar contra la Tierra no es nada fácil. A los astrónomos les gusta señalar que un asteroide tan grande como el que llevó a la extinción de los dinosaurios podría chocar con la Tierra sin que ningún astrónomo lo advirtiera por adelantado, por ejemplo si la dirección del asteroide es un poco inusual, como desde el sur, donde se encuentran pocos telescopios. FIGURA 134 Las escobas caen más rápidamente que las piedras (© Luca Gastaldi). ∗∗ Varios seres humanos han sobrevivido a la caída libre desde los aviones de mil o más metros, a pesar de que no tenían paracaídas. Una minoría de ellos incluso lo hizo sin ningún daño en absoluto. Desafío 314 s ¿Cómo fue esto posible? ∗∗ Imagine que tiene doce monedas de apariencia idéntica, de las cuales una es una falsificación. La falsificada tiene una masa diferente de las once auténticas. Desafío 315 e ¿Cómo puede decidir cuál es la falsificada y si es más ligera o más pesada, con una balanza ordinaria con sólo tres pesadas? Usted tiene nueve esferas de aspecto idéntico, todas de la misma masa, excepto una, que es más pesada. ¿Puede determinar cuál de ellas es, usando la balanza sólo dos veces? ∗∗ Para un físico, la antigravedad es la gravedad repulsiva; eso no existe en la naturaleza. Sin embargo, muchas personas utilizan el término "antigravedad" de forma incorrecta, como nos muestra una breve búsqueda en Internet. Algunas personas llaman a cualquier efecto que vence la gravedad, "antigravedad". Sin embargo, esta definición implica que las mesas y sillas son dispositivos de “antigravedad”. Según la definición, la mayoría de los productores de madera, acero y hormigón están en el negocio de la “antigravedad”. La definición de Internet no tiene ningún sentido. ∗∗ Desafío 316 s ¿Cuál es la forma más barata para eliminar la gravedad durante 25 segundos? ∗∗ ¿Todos los objetos en la Tierra caen con la misma aceleración de 9,8 m/s 2, suponiendo que la resistencia del aire puede ser despreciada? No; todas las ama de casa lo saben. Puede comprobarlo por si mismo. Como se muestra en la figura 134, una escoba inclinada un ángulo de alrededor de 35 ° golpea el suelo antes que una piedra, como los sonidos del impacto confirman. Desafío 317 s ¿Es usted capaz de explicar por qué? ** También los aficionados al puenting son acelerados con más fuerza que g. Para una cuerda elástica de masa m y un puente de masa M, la aceleración máxima a es a=g (1+ 1 m m (4+ )) 8M M (57) Desafío 318 s ¿Puede deducir la relación de la Figura 135? FIGURA 135 (izqda.)La situación de partida de un saltador con amortiguación. FIGURA 136 (dcha.) ¿Un equilibrio honesto? 140 ∗∗ Desafío 319 s Adivine: ¿Cuál es el peso de una bola de corcho con un radio de 1 m? ∗∗ Desafío 320 s. Adivine: se recogen mil bolas de acero de 1 mm de diámetro. ¿Cuál es su masa? ** Desafío 321 s Cómo puede usar sus observaciones realizadas durante sus viajes con una báscula de baño para demostrar que la Tierra no es plana? ∗∗ Tanto la Tierra como la Luna atraen los cuerpos. El centro de gravedad del sistema Tierra-Luna está 4.800 kilómetros de distancia del centro de la Tierra, muy cerca de su superficie. Desafío 322 s ¿Por qué los cuerpos en la Tierra sigue cayendo hacia el centro de la Tierra? ∗∗ ¿Caen todos los cuerpos esféricos con la misma aceleración? No. Si el peso del objeto es comparable al de la Tierra, la distancia disminuye de una manera diferente. Desafío 323 e ¿Puede confirmar esta afirmación? La figura 136 muestra un rompecabezas relacionado. Entonces, ¿qué está mal en el argumento de Galileo sobre la constancia de la aceleración de la caída libre? ∗∗ Cuál es la velocidad más rápida que un ser humano puede lograr haciendo uso de la aceleración de la gravedad? Existen varios métodos que tratan de esto; unos pocos se muestran en la Figura 137. La Velocidad Terminal de paracaidistas en caída libre puede ser aún mayor, pero no existe ningún registro de valor de velocidad fiable. La última palabra no se ha dicho, sin embargo, ya que todos estos registros serán superados en los próximos años. Es importante requerir una altitud normal; a alturas estratosféricas, los valores de velocidad pueden ser cuatro veces los valores de la velocidad a baja altitud. FIGURA 137 Reduciendo la resistencia del aire aumenta la velocidad del terminal: a la izquierda, el titular del récord mundial de velocidad esquiando en 2007 Simone Origone con 69,83 m / s y la derecha, el poseedor del récord mundial de velocidad 2007 para bicicletas en la nieve Éric Barone con 61,73 m / s (© Simone Origone, Éric Barone) ∗∗ Es fácil levantar una masa de un kilogramo de la superficie de una mesa. Veinte kilogramos es más difícil. Mil kg es imposible. Sin embargo, 6⋅1024 kg es fácil. Desafío 324 s ¿Por qué? ∗∗ La fricción entre la Tierra y la Luna ralentiza la rotación de ambas. La Luna detuvo su rotación hace millones de años, y la Tierra está en camino de hacer lo mismo. Cuando la Tierra deje de girar, la Luna dejará de moverse lejos de la Tierra. Desafío 325 ny ¿Cuán lejos estará la Luna de la Tierra en ese momento? Posteriormente, sin embargo, en un futuro más lejano, la Luna se moverá de nuevo hacia la Tierra, debido a la fricción entre el sistema Tierra-Luna y el Sol. A pesar de que este efecto sólo se llevaría a cabo si el Sol se ardiera por siempre, lo cual se sabe que es falso, Desafío 326 s ¿puede explicarlo? ∗∗ Cuando Vd. camina hacia el este, pierde peso. Hay dos razones para esto: la aceleración "centrífuga" aumenta de manera que la fuerza con que le tiran hacia abajo disminuye, y aparece la fuerza de Coriolis, con un resultado similar. Desafío 327 ny ¿Puede estimar el tamaño de los dos efectos? 141 FIGURA 138 Los cuatro satélites de Júpiter descubiertos por Galileo y su movimiento (© Robin Scagell). ∗∗ Desafío 328 s ¿Cuál es la relación entre el tiempo que tarda una piedra que caer una distancia l y el tiempo que tarda un péndulo oscilando en recorrer la mitad de un círculo de radio l? (Este problema se debe a Galileo.) ¿Cuántos dígitos del número π se puede esperar determinar de esta manera? ∗∗ Los laboratorios utilizan dos tipos de ultracentrifugadoras: la ultracentrifugadora preparativa que aisla virus, orgánulos y biomoléculas, mientras que las ultracentrifugadoras analíticas miden la forma y la masa de las macromoléculas. Los modelos más veloces disponibles en el mercado alcanzan 200 000 rpm o 3,3 kHz, y una aceleración centrípeta de 106 g. ** Desafío 329 s ¿Por qué puede acelerar una nave espacial a través del efecto honda cuando va alrededor de un planeta, a pesar de la conservación de la cantidad de movimiento? Se especula que el mismo efecto es también la razón de las pocas estrellas excepcionalmente rápidas que se observan en la galaxia. Por ejemplo, la estrella HE0457-5439 se mueve con 720 km / s, que es mucho más alta que la de 100 a 200 km / s de la mayoría de las estrellas de la Vía Láctea. Parece que el papel del centro de la aceleración está ocupado por un agujero negro. ∗∗ Desafío 330 s La órbita de un planeta alrededor del Sol tiene muchas propiedades interesantes. ¿Cuál es la hodógrafa de la órbita? ¿Cuál es la hodógrafa para órbitas parabólicas e hiperbólicas? FIGURA 139 ¿Cuál de las dos trayectorias de la Luna es la correcta? ∗∗ Los satélites galileanos de Júpiter, que se muestra en la figura 138, se pueden ver con pequeños telescopios de aficionados. Galileo los descubrió en 1610 y los llamó los satélites de los Medici. (Hoy, se les nombra, en orden creciente de la distancia desde Júpiter, como Io, Europa, Ganímedes y Calisto.) Son objetos casi míticos. Ellos fueron los primeros cuerpos encontrados que obviamente no orbitan la Tierra; por tanto, Galileo las usó para deducir que la Tierra no es el centro del universo. Los satélites también han sido candidatos para ser el primer reloj estándar, ya que su movimiento se puede predecir con gran precisión, por lo que la hora estándar "podría leerse desde su posición. Por último, debido a esta alta precisión, en 1676, la velocidad de la luz se midió por primera vez con su ayuda, según lo dicho en la sección sobre la relatividad especial. ∗∗ Desafío 331 s. Una simple, pero difícil cuestión: si todos los cuerpos se atraen entre sí, ¿por qué no caen o no han caído todas las estrellas hacia las demás? En realidad, la expresión del inverso del cuadrado de la 142 gravitación universal tiene una limitación: no permite a uno hacer declaraciones sensatas sobre la materia en el universo. La Gravitación universal predice que una distribución de masa homogénea es inestable; de hecho, se observó una distribución no homogénea. Sin embargo, la gravedad universal, no predice la densidad media de la masa, la oscuridad de la noche, las velocidades observadas de las galaxias distantes, etc Realmente, la gravedad "universal" no explica o predice una única propiedad del universo. Para ello, necesitamos la relatividad general. ∗∗ La aceleración de la gravedad, g, a una profundidad de 3.000 kilómetros se 10,05 m/s 2, más del 2% más que en la superficie de la Tierra. ¿Cómo es esto posible? También, en la meseta tibetana, el valor de g es mayor que a nivel del mar, dicho valor está influenciado por el material de debajo de ella. ∗∗ Desafío 332 s Cuando la Luna circunda al Sol, su trayectoria ¿tiene secciones cóncavas hacia el Sol, como se muestra en la parte derecha de la Figura 139, o no las tiene, como se muestra a la izquierda? (Independientemente de esta cuestión, ambas trayectorias en el diagrama esconden el hecho de que la trayectoria de la luna no está en el mismo plano que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol). ∗∗ Usted puede probar que los objetos se atraen entre sí (y que son no sólo atraídos por la Tierra) con un experimento simple que cualquiera puede realizar en casa, tal como se describe en el sitio web www.fourmilab.ch/gravity/foobar. ∗∗ Es instructivo calcular la velocidad de escape de la Tierra, es decir, la velocidad con la que un cuerpo debe ser lanzado para que nunca caiga de nuevo. Esta resulta ser alrededor de 11 km / s. (Se le llamó la segunda velocidad cósmica en el pasado; la primera velocidad cósmica era el nombre dado a la velocidad más baja para una órbita, 7,9 km / s) El valor exacto de la velocidad de escape depende de la latitud del lanzador, y en la dirección del lanzamiento. (Desafío 333 e ¿Por qué?) ¿Cuál es la velocidad de escape del sistema solar? (una vez fue llamada la tercera velocidad cósmica.) Por cierto, la velocidad de escape de nuestra galaxia es de más de 500 kilómetros / s. Desafío 334 s ¿Qué pasaría si un planeta o un sistema fueran tan pesados que su velocidad de escape fuera mayor que la velocidad de la luz? ∗∗ Desafío 335 s ¿Cuál es el asteroide más grande del que uno puede escapar saltando? ** Desafío 336 s . Para los cuerpos de forma irregular, el centro de gravedad de un cuerpo no es el mismo que el centro de masas. ¿Puede usted confirmar esto? (Consejo: Buscar y utilizar el ejemplo más simple posible.) ∗∗ Desafío 337 ny ¿Puede la gravedad producir repulsión? ¿Qué sucede con un pequeño cuerpo de prueba en el interior de una gran masa en forma de C? ¿Es empujado hacia el centro de la masa? ∗∗ Desafío 338 ny La forma de la Tierra no es una esfera. Como consecuencia de ello, una plomada no suele apuntar al centro de la Tierra. ¿Cuál es la mayor desviación en grados? ∗∗ Si observamos el cielo todos los días a las 6 de la mañana, la posición del Sol varía durante el año. El resultado de fotografiar el Sol en la misma película se muestra en la Figura 140. La curva, llamada analema, se debe a dos efectos combinados: la inclinación del eje de la Tierra y la forma elíptica de la órbita de la Tierra alrededor del sol. Los puntos superior e inferior (este último oculto) del analema corresponden a los solsticios. Desafío 339 s ¿Cómo se ve el analema si se fotografía todos los días al mediodía local? Por qué no es una línea recta que apunte exactamente al sur? ∗∗ La constelación en la que el Sol se encuentra a medio día (en el centro de la zona horaria) es el supuestamente llamado "signo zodiacal" de ese día. Los astrólogos dicen que hay doce de ellos, a saber, Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo, Libra, Escorpio, Sagitario, Capricornio, Acuario y Piscis y que cada uno toma (con bastante precisión) un doceavo de un año o de una duodécima parte de la eclíptica. 143 Cualquier verificación con un calendario muestra que en la actualidad, el Sol del mediodía por lo general nunca está en el signo zodiacal en los días conectados a él. La relación se ha desplazado por alrededor de un mes desde que fue definido, debido a la precesión del eje de la Tierra. Una comprobación con un mapa del cielo estelar muestra que las doce constelaciones no tienen la misma longitud y que en la eclíptica hay catorce de ellos, no doce. Existe Ofiuco o Serpentario, la constelación del portador de la serpiente, entre Scorpius y Sagittarius, y Cetus, la ballena, entre Acuario y Piscis. De hecho, ni una sola afirmación astronómica acerca de los signos zodiacales es correcta. Para decirlo claramente, la astrología, a diferencia de su nombre, no trata de estrellas. (En alemán, la palabra 'Strolch', que significa 'pícaro' o 'canalla', se deriva de la palabra "astrólogo".) FIGURA 140 El analema sobre Delfos, fotos tomadas entre enero y diciembre de 2002 (© Anthony Ayiomamitis). ∗∗ Durante mucho tiempo, se pensó que no había ningún planeta adicional en nuestro Sistema Solar exterior a Neptuno y Plutón, porque sus órbitas no muestran alteraciones debidas a otro cuerpo. Hoy en día, esta visión ha cambiado. Se sabe que sólo hay ocho planetas: Plutón no es un planeta, sino el primero de un conjunto de objetos más pequeños en el llamado cinturón de Kuiper. Los objetos del cinturón de Kuiper son descubiertos regularmente; hoy en día se conocen alrededor de 80. En 2003, se descubrieron dos grandes objetos de Kuiper; uno, llamado Sedna, es casi tan grande como Plutón, pero tres veces más alejado del Sol, y el otro, llamado Eris, que es aún más grande que Plutón y tiene una luna. Ambos tienen órbitas fuertemente elípticas (ver Figura 141). Dado que tanto Plutón y Eris, como el asteroide Ceres, han limpiado su órbita de los escombros, estos tres objetos se clasifican ahora como planetas enanos. FIGURA 141 La órbita de Sedna en comparación con las órbitas de los planetas del sistema solar (NASA). 144 En el exterior del cinturón de Kuiper, el sistema solar está circundado de la llamada nube de Oort. En contraste con el haz de Kuiper aplanado, la nube de Oort es de forma esférica y tiene un radio de unos 50 000 UA, como se muestra en la Figura 141-b. La nube de Oort está constituida por un número enorme objetos helados constituidos principalmente por agua y, en menor grado, de metano y amoníaco. Los objetos de la nube de Oort que entran en el sistema solar interno se convierten en cometas; en un pasado lejano, tales objetos llevaron agua sobre la Tierra. ∗∗ En astronomía se descubren con regularidad nuevos ejemplos de cuerpos en movimiento, incluso en el siglo actual. A veces también hay falsas alarmas. Un ejemplo fue la supuesta caída de mini cometas en la Tierra. Estaban presuntamente hechos de unas pocas docenas de kilogramos de hielo, que golpearían la Tierra cada pocos segundos. Ahora se sabe que no sucede. ∗∗ La Gravitación universal sólo permite órbitas elípticas, parabólicas o hiperbólicas. Es imposible que un pequeño objeto que se aproxima a uno grande sea capturado. Al menos, eso es lo que hemos aprendido hasta ahora. Sin embargo, todos los libros de astronomía cuentan historias de capturas en nuestro sistema solar; por ejemplo, varios satélites exteriores de Saturno han sido capturados. Desafío 340 s ¿Cómo es esto posible? ∗∗ ¿Cómo debería concebirse un túnel con el fin de que una piedra cayera a través de él sin tocar las paredes? (Suponga densidad constante.) Si la Tierra no rotara, el túnel sería una línea recta a través de su centro, y la piedra caería hacia abajo y de nuevo hacia arriba, en un movimiento oscilante. Para una rotación de la Tierra, el problema es mucho más difícil. Desafío 341 s ¿Cuál es la forma cuando el túnel se inicia en el Ecuador? FIGURA 141-b El cinturón de Kuiper contiene principalmente planetoides. La nube de Oort cotiene miles de millones de cometas en torno al sistema solar. NASA , JPL , Donald Yeoman). ∗∗ La Estación Espacial Internacional circunda la Tierra cada 90 minutos a una altitud de unos 380 km. Usted puede ver dónde está en el sitio web www.heavens-above.com. Por cierto, cada vez que se sitúa justo por encima del horizonte, la estación es el tercer objeto más brillante en el cielo nocturno, superada sólo por la Luna y Venus. Desafío 342 E Échele una mirada. ∗∗ Desafío 343 s. ¿Es cierto que el centro de masa del sistema solar, su baricentro, siempre está dentro del Sol? A pesar de que una estrella o el Sol se mueven muy poco cuando los planetas se mueven alrededor de ellos, este movimiento puede ser detectado con la toma de medidas de precisión usando el efecto Doppler para la luz o las ondas de radio. Júpiter, por ejemplo, produce un cambio de velocidad de 13 m/s en el Sol, la Tierra 1 m/s. Los primeros planetas fuera del sistema solar, los que están alrededor del púlsar+12 PSR1257 y la estrella Pegasi 51, fueron descubiertos de esta manera, en 1992 y 1995. Mientras tanto, más de 400 planetas han sido descubiertos con este y otros métodos. Algunos tienen incluso masas comparables a la de la Tierra. ∗∗ 145 No todos los puntos de la Tierra reciben el mismo número de horas de luz durante un año. Los efectos son difíciles de detectar, sin embargo. Desafío 344 d ¿Puede usted encontrar uno? ** FIGURA 142 Las fases de la Luna y de Venus, como se observa desde Atenas en el verano de 2007 (© Anthony Ayiomamitis). Desafío 345 s ¿Pueden las fases de la Luna tener un efecto mensurable sobre el cuerpo humano, por ejemplo a través de los efectos de las mareas? ∗∗ Existe una diferencia importante entre el sistema heliocéntrico y la vieja idea de que todos los planetas giran alrededor de la Tierra. El sistema heliocéntrico establece que ciertos planetas, como Mercurio y Venus, pueden estar entre la Tierra y el Sol en determinados momentos, y detrás del Sol en otros momentos. En contraste, el sistema geocéntrico afirma que siempre están en el medio. Desafío 346 s. ¿Por qué una diferencia tan importante no invalida inmediatamente el sistema geocéntrico? ¿Y cómo es que la observación de las fases, que se muestra en la Figura 142 y la Figura 143, invalida el sistema geocéntrico? FIGURA 143 La gravitación universal explica también las observaciones de Venus, la estrella de la tarde y de la mañana. En particular, la gravitación universal, y las órbitas elípticas que implica, explican sus fases y su cambio de tamaño angular. Las imágenes que se muestran aquí fueron tomadas en 2004 y 2005 Las observaciones se pueden hacer fácilmente con prismáticos o un pequeño telescopio (© Wah;.! Película disponible en apod.nasa.gov/apod/ap060110.html). La reformulación más extraña de la descripción del movimiento dada por ma = ∇ U léase ∇ (nabla) mirandola bien es una ecuación casi absurda ∇ v = dv / ds (58) donde s es la longitud de la trayectoria de movimiento. Se llama la forma radial de la ecuación del movimiento de Newton. Desafío 347 s ¿Puede encontrar un ejemplo de su aplicación? ∗∗ Visto desde Neptuno, el tamaño del Sol es el mismo que el de Júpiter visto desde la Tierra en el momento de su máxima aproximación. Desafío 348 s. ¿Es cierto? ∗∗ La aceleración de la gravedad para una partícula dentro de una cáscara esférica es cero. La desaparición de la gravedad en este caso es independiente de la forma de las partículas y su posición, e independiente del espesor de la cáscara. Desafío 349 s. Puede encontrar el argumento mediante la Figura 144? Esto funciona 146 sólo a causa de la dependencia 1/r2 de gravedad. ¿Puede demostrar que el resultado no se mantiene para las cáscaras no esféricas? Tenga en cuenta que la desaparición de gravedad dentro de una cáscara esférica generalmente no rige si se encuentra otra materia fuera de la concha. Desafío 350 s. ¿Cómo se podrían eliminar los efectos de la materia de fuera? ∗∗ ¿Qué es la gravedad? Esta simple pregunta tiene una larga historia. En 1690, Nicolás Fatio de Duillier y en 1747, Georges-Louis Le Sage propusieron una explicación de la dependencia 1/r 2. Le Sage argumentó que el mundo está lleno de pequeñas partículas - los llamó "corpúsculos ultramundanos '- que que revolotean por todas partes al azar y golpean todos los objetos. Los objetos individuales no sienten los golpes, ya que se ven afectados de forma continua y aleatoria en todas las direcciones. Pero cuando dos objetos están cerca entre sí, producen sombras en parte del flujo hacia el otro cuerpo, resultando una atracción, como se muestra en la Figura 145. Desafío 351 e ¿Puede demostrar que tal atracción tiene una dependencia 1/r 2 ? Sin embargo, la propuesta de Le Sage tiene varios problemas. En primer lugar, el argumento sólo funciona si las colisiones son inelásticas. (Desafío 352 e ¿Por qué?) Sin embargo, eso significaría que todos los cuerpos se calientan con el tiempo, como explica Jean-Marc Lévy-Leblond. En segundo lugar, un cuerpo que se mueve en el espacio libre sería golpeado por más partículas o más rápidas en la parte delantera que en la parte posterior; como resultado, el cuerpo debe ser desacelerado. Por último, la gravedad dependerá del tamaño, pero de una manera extraña. En particular, tres cuerpos tendidos en una línea no debe producir sombras, ya que no se observan esas sombras; pero el modelo ingenuo predice esas sombras. A pesar de todas las críticas, la idea de que la gravedad se debe a las partículas ha resurgido periódicamente en la investigación de la física desde entonces. En la versión más reciente, las partículas hipotéticas son llamados gravitones. Por otra parte, nunca se han observado tales partículas. Sólo en la parte final de la ascensión de la montaña vamos a resolver la cuestión del origen de la gravitación. FIGURA 145 Desaparición de la fuerza gravitacional dentro de una concha esférica de materia. FIGURA 145 Ilustración propia de Le Sage de su modelo, que muestra la menor densidad de corpúsculos ultramundanos entre los cuerpos que se atraen y la densidad más alta que los rodea (© Wikimedia) ∗∗ Desafío 353 ny ¿Para que cuerpos disminuye la gravedad cuando te acercas a ellos? ** ¿Se podría poner un satélite en órbita utilizando un cañón? Desafío 354 s ¿Depende la respuesta de la dirección en la que uno dispara? ∗∗ Dos usuarios de computadoras comparten experiencias. "Tiré mi Pentium III y Pentium IV por la ventana." ¿Y? "El Pentium III fue más rápido. ' ** Desafío 355 s ¿Con qué frecuencia se eleva y se pone la Tierra vista desde la Luna? ¿La Tierra muestra fases? ∗∗ 147 Desafío 356 ny. ¿Cuál es el peso de la Luna? ¿Cuál es su proporción comparado con el peso de los Alpes? ** Debido a la forma ligeramente aplanada de la Tierra, la fuente de la Mississippi está unos 20 km más cerca del centro de la Tierra que su desembocadura; el agua corre cuesta arriba con eficacia. Desafío 357 s ¿Cómo puede ser esto? ∗∗ Si una estrella estuviera hecha de un material de alta densidad, la velocidad de un planeta en órbita cerca de ella podría ser mayor que la velocidad de la luz. Desafío 358 s ¿Cómo puede la naturaleza evitar esta extraña posibilidad? ∗∗ ¿Qué pasará con el sistema solar en el futuro? Esta pregunta es sorprendentemente difícil de contestar. El principal experto del tema, el científico planetario francés, Jacques Laskar, ha simulado unos pocos cientos de millones de años de evolución utilizando el cálculo asistido por ordenador. Él descubrió que las órbitas planetarias son estables, pero que a pequeña escala hay una clara evidencia de caos en la evolución del sistema solar. Los diferentes planetas se influyen mutuamente de manera sutil y aún mal comprendida. También se están estudiando efectos en el pasado, como por ejemplo el cambio de energía de Júpiter debido a que provocó la expulsión de pequeños asteroides del sistema solar, o las ganancias de energía de Neptuno. Todavía hay mucha investigación por hacer en este campo. TABLA 27 Una propiedad sin explicación de la naturaleza: las distancias planetarias y los valores resultantes de la regla de Titius- Bode. PLANETA n DISTANCIA PREDICHA EN AU Mercurio −∞ 0,4 0,4 Venus 0 0,7 0,7 Tierra 1 1,0 1,0 Marte 2 1.6 1.5 Planetoides 3 2.8 2.2 a 3.2 Jupiter 4 5.2 5.2 Saturno 5 10.0 9.5 Urano 6 19.6 19.2 Neptuno 7 38.8 30.1 Plutón 8 77.2 39.5 MEDIDA EN UA Uno de los problemas abiertos del Sistema Solar es la descripción de las distancias de planetas descubiertos en 1766 por Johann Daniel Titius (1729-1796) y difundidos por Johann Elert Bode (1747-1826). Titius descubrió que la distancia planetaria d al sol puede ser aproximada por d = a + 2n b ; con a = 0.4 UA, b = 0.3 UA (59) donde las distancias se miden en unidades astronómicas y n es el número del planeta. La aproximación resultante se compara con las observaciones de la Tabla 27. Curiosamente, los tres últimos planetas, así como los planetoides, fueron descubiertos después de la muerte de Bode y de Titius '; la regla había predicho con éxito la distancia de Urano, así como la de los planetoides. A pesar de estos éxitos - y el fracaso de los dos últimos planetas - nadie ha encontrado aún un modelo para la formación de los planetas que explique la regla de Titius '. Los grandes satélites de Júpiter y de Urano tienen un espaciamiento regular, pero no de acuerdo a la regla de Titius-Bode. Explicar o refutar la regla es uno de los retos que permanece en la mecánica clásica. Algunos investigadores sostienen que esta ley es una consecuencia de la invariancia de escala, otros sostienen que se trata de un accidente o incluso una pista falsa. La última interpretación también es sugerida por el comportamiento no Titius-Bode de prácticamente todos los planetas extrasolares. El debate no está cerrado. 148 ** FIGURA 146 El movimiento de los planetoides en comparación con la de los planetas (animación Shockwave © Hans-Christian Greier) TABLA 28 Los periodos orbitales conocidos por los babilonios. CUERPO PERIODO Saturno 29 a Jupiter 12 a Marte 687 d Sol 365 d Venus 224 d Mercurio 88 d Luna 29 d Hace aproximadamente 3.000 años, los babilonios habían medido los tiempos orbitales de los siete cuerpos celestes. Ordenados de más a menos, escribieron en la Tabla 28. Los babilonios introdujeron también la semana y la división del día en 24 horas. Los babilonios dedicaron cada una de las 168 horas de la semana a un cuerpo celeste, siguiendo el orden de la tabla 28. También dedicaron el día completo al cuerpo celeste que corresponde a la primera hora de ese día. El primer día de la semana fue dedicado a Saturno; la ordenación de los otros días de la semana se desprende de la Tabla 28. Esta historia fue contada por Dión Casio (Cassius Dione c. 160 a c. 230). Hacia el final de la Antigüedad, la disposición fue modificada por el imperio romano. En las lenguas germánicas, incluyendo el Inglés, los nombres científicos de los cuerpos celestes fueron sustituidos por los dioses germánicos correspondientes. El orden de los sábados, domingos, lunes, martes, miércoles, jueves y viernes es, pues, una consecuencia tanto de las mediciones astronómicas como de las supersticiones astrológicas de los antiguos. FIGURA 147 El eclipse solar del 11 de agosto de 1999, fotografiado por JeanPierre Haigneré, miembro de la tripulación Mir 27, y el (mejorado) eclipse solar del 29 de marzo de 2006 (© CNES y Laurent Laveder / PixHeaven.net). ∗∗ En 1722, el gran matemático Leonhard Euler cometió un error en su cálculo que le llevó a concluir que si un túnel, o mejor, un profundo agujero fuera construido desde uno de los polos de la Tierra al otro, una piedra que cae en él llegaría a centro de la Tierra y luego giraría inmediatamente y volvería a subir. Voltaire se burló de esta conclusión durante muchos años. Desafío 360 s. ¿Puede corregir a Euler y demostrar que el movimiento real es una oscilación de un polo a otro, y puede calcular el tiempo de caída de polo a polo (suponiendo densidad homogénea)? Desafío 361 s. ¿Cuál sería el periodo de oscilación para un túnel recto de longitud l desde cualquier punto se la superficie terrestre al punto opuesto del globo, no yendo por lo tanto de un polo al otro? 149 Desafío 362 ny. Los retos anteriores eluden los efectos de la rotación de la Tierra. El tema se vuelve mucho más interesante si la rotación está incluida. ¿Cuál sería la forma de un túnel, de manera que una piedra que cayera a través de él nunca tocara la pared? ∗∗ La Figura 147 muestra una fotografía de un eclipse de sol tomada desde la estación espacial rusa Mir y una fotografía tomada en el centro de la sombra de la Tierra. En efecto, una visión global de un fenómeno puede ser muy diferente de una local. Desafío 363 s. ¿Cuál es la velocidad de la sombra? ** En 2005, las mediciones por satélite han demostrado que el agua en el río Amazonas presiona hacia abajo la tierra hasta 75 mm más en la temporada cuando está lleno de agua que en la temporada cuando está casi vacío. ∗∗ ¿Cómo de largo tiene que ser un alambre para que, cuando se une a la línea del Ecuador, pueda permanecer recto en el aire, como se muestra en la Figura 148? Desafío 364 s Imagine que existieran cables que no se rompan. ¿Cuánto tiempo tendría que pasar tal alambre para que, cuando se une a la línea del Ecuador, se mantuviera de pie derecho en el aire, como se muestra en la Figura 148? FIGURA 148 Un cable conectado a Ecuador de la Tierra. ∗∗ Todo el mundo sabe que hay aproximadamente dos mareas por día. Pero hay lugares, como en la costa de Vietnam, donde sólo hay una marea por día. Desafío 365 ny ¿Por qué? Ver www.jason.oceanobs.com/html/applications/marees/marees_m2k1_fr.html. ∗∗ Es suficiente utilizar el concepto de la fuerza centrífuga para mostrar que los anillos de Saturno no pueden ser de un material macizo, sino que deben estar hechas de piezas separadas. Desafío 366 s. Puede encontrar la manera? ** Una pintura cuelga en la pared de la sala de espera del doctor Dolittle. Colgó el cuadro con dos clavos, y enrolló el alambre del cuadro alrededor de los clavos de tal manera que la pintura se caería si se saca cualquiera de los clavos. Desafío 367 e. ¿Cómo lo hizo el Dr. Dolittle? ∗∗ ¿Por qué Marte perdió su atmósfera? Nadie lo sabe. Se ha demostrado recientemente que el viento solar es demasiado débil para que esto suceda. Este es uno de los muchos enigmas abiertos del sistema solar. ∗∗ El movimiento observado debido a la gravedad puede ser demostrado del modo más simple posible, en el siguiente sentido. Si medimos el cambio de un objeto que cae con la expresión 1 ∫ ( 2 mv2−mgh)dt entonces una aceleración constante de la gravedad minimiza el cambio en todos los ejemplos de caída. Desafío 368 ny. ¿Puede confirmar esto? ∗∗ El Movimiento debido a la gravedad es divertido: piense en las montañas rusas. Si quieres saber más de cómo se construyen, visite www.vekoma.com. 150 La teoría científica que más me gusta es que los anillos de Saturno están hechos por las pérdida de equipajes de las líneas aéreas. Mark Russel RESUMEN DE GRAVITACIÓN Los cuerpos esféricos de masa m atraen otros cuerpos que están a una distancia r al inducir una aceleración hacia ellos dada por a = Gm/r2. Esta expresión, la gravitación universal, describe a los esquiadores, parapentes, atletas, practicantes de snowboard, adictos a la televisión, péndulos, piedras, cañones, cohetes, mareas, eclipses, forma de los planeta, movimiento de los planetas y mucho más. Es el primer ejemplo de una descripción unificada, en este caso, de cómo caen todas las cosas. 151 CAPÍTULO 7 MECÁNICA CLÁSICA, LA FUERZA Y LA PREDICTIBILIDAD DEL MOVIMIENTO T odos aquellos tipos de movimiento en el que la única propiedad invariable de un cuerpo es la masa definen el campo de la mecánica. El mismo nombre, “mecánicos”, se da también a los expertos que estudian el campo. Podemos pensar en la mecánica como la rama atlética de la física. ** Tanto en el atletismo como en la mecánica sólo se miden longitudes, tiempos y masas. Más específicamente, nuestro tema de investigación hasta ahora se llama mecánica clásica, para distinguirla de la mecánica cuántica. La principal diferencia es que en la física clásica se asume que pueden existir valores arbitrariamente pequeños, mientras que este no es el caso de la física cuántica. A menudo a la mecánica clásica también se le llama física galileana o física newtoniana.** La mecánica clásica afirma que el movimiento es predecible: por lo tanto afirma que no hay sorpresas en el movimiento. ¿Es esto correcto en todos los casos? ¿La predictibilidad es válida en presencia del rozamiento? ¿Del libre albedrío? ¿Realmente no hay sorpresas en la naturaleza? Sabemos que debe haber algo más que gravitación en el Universo. Una simple observación resuelve este punto: los pavimentos y la fricción. Ninguno de ellos puede ser causado por la gravedad. Los pavimentos no caen y, por tanto, no son descritos por gravedad; y la fricción no se observa en los cielos, donde el movimiento sigue las únicas reglas de la gravedad. *** Por otra parte, en la Tierra, la fricción no está relacionada con la gravedad, como puede que usted desee comprobar (Desafío 369 e). Tiene que haber otra interacción responsable de la fricción. Vamos a estudiarla en breve. Pero una cuestión merece una discusión de inmediato. FIGURA 149-a La forma parabólica formada por chorros de agua acelerados muestran que el movimiento en la vida diaria es predecible (© Oase GmbH). ¿SE DEBE RECURRIR A LA FUERZA? ¿A LA POTENCIA? El uso directo de la fuerza es una solución tan miserable a cualquier problema, que generalmente sólo lo emplean los niños pequeños y las grandes naciones. David Friedman Todo el mundo tiene que tomar una posición sobre esta cuestión, incluso los estudiantes de física. De hecho, en la vida diaria se utilizan y * Esto está en contraste con el verdadero origen del término 'mecánica', lo que significa "ciencia de las máquinas '. Se deriva de la μηκανή griego, que significa "máquina" y aún está en el origen de la palabra inglesa "máquina" misma. A veces el término 'mecánica' se utiliza para el estudio del movimiento de los cuerpos sólidos únicamente, excluyendo, por ejemplo, la hidrodinámica. Este uso cayó en desgracia en la física en el siglo XX. **El fundamento de la mecánica clásica, la descripción del movimiento utilizando solamente el espacio y el tiempo, se denomina cinemática. Un ejemplo es la descripción de la caída libre dada por z(t) = z0 +v0 (t−t0)−1/2 g (t−t0)2 El resto, la mayor parte de la mecánica clásica, es la descripción del movimiento como una consecuencia de la interacción entre los cuerpos. Se le da el nombre de dinámica. Una ilustración de la dinámica es la fórmula de la atracción universal. La distinción en cinética y dinámica puede hacerse también en relatividad, en termodinámica y en electrodinámica. ** Esto no es del todo correcto: en la década de 1980 fue descubierto el primer caso de la fricción gravitacional: la emisión de ondas de gravedad. Se discuten en detalle en el capítulo sobre la relatividad general. El descubrimiento no cambia el punto principal. 152 observan muchos tipos de fuerzas. Se habla de muscular, gravitacional, psíquica, sexual, satánica, sobrenatural, social, política, económica y muchas otras. Los físicos ven las cosas de una manera más simple. Ellos definen a los diferentes tipos de fuerzas observadas, interacciones entre objetos. El estudio minucioso de todas estas interacciones muestra que, en la vida cotidiana, son de origen eléctrico o gravitacional. Para los físicos, todo cambio es debido al movimiento. El término fuerza entonces también asume una definición más restrictiva. La Fuerza (física) se define como el cambio de la cantidad de movimiento con el tiempo, es decir, como d ⃗p ⃗ F= dt Unos cuantos valores de medición se muestran en la Tabla 29. Desafío 369-a s Un caballo está corriendo tan rápido que sus cascos tocan el suelo solamente 20% de las veces. ¿Cuál es la carga soportada por las piernas durante el contacto? La fuerza es el cambio de la cantidad de movimiento. Dado que la cantidad de movimiento se conserva, se puede decir que la fuerza mide el flujo de la cantidad de movimiento. Si una fuerza actúa sobre un cuerpo, la cantidad de movimiento fluye hacia dentro de él. En verdad, la cantidad de movimiento puede ser imaginada como una sustancia invisible e intangible. La Fuerza mide cuánto de esta sustancia fluye dentro o fuera de un cuerpo por unidad de tiempo. • Fuerza es el flujo de la cantidad de movimiento. Utilizando la definición de Galileo de la cantidad de movimiento o momento lineal de traslación p = m·v, podemos reescribir la definición de la fuerza (para la masa constante) como F = m·a donde F = F (t, x) es la fuerza que actúa sobre un objeto de masa m y donde a = a (t, x) = d v/ dt = d2x/dt2 es la aceleración del mismo objeto, es decir su cambio de velocidad. ** TABLA 29 Algunos valores de fuerza en la naturaleza. OBSERVACIÓN FUERZA Valor medido en un microscopio de fuerza de resonancia magnética 820 zN Fuerza necesaria para rasgar y separar una molécula de ADN tirando en sus dos extremos 600 pN La fuerza máxima ejercida por mordedura humana 2,1 kN Fuerza máxima ejercida por un martillo típico 2 kN Fuerza ejercida por cuádriceps Hasta 3 kN 2 Fuerza sostenido por 1 cm de un buen pegamento Hasta 10 kN Fuerza necesaria para romper una buena cuerda utilizada en escalada sobre roca 30 kN Fuerza máxima medible en la naturaleza 3,0 ⋅ 1043 N Los expresión establece en términos precisos que la fuerza es lo que cambia la velocidad de las masas. La cantidad se llama "fuerza" porque se corresponde en muchos aspectos, pero no todos, con la fuerza muscular cotidiana. Por ejemplo, cuanta más fuerza se usa, más lejos puede ser lanzada una piedra. Equivalentemente, cuanta más cantidad de movimiento es bombeada en una piedra, más lejos pude ser lanzada. Como otro ejemplo, el concepto de peso describe el flujo de la cantidad de movimiento debido a la gravedad. • La gravitación bombea constantemente cantidad de movimiento en los cuerpos masivos. Desafío 369-b s La arena de una clepsidra (reloj de arena) está escurriéndose, y la clepsidra está sobre una balanza. El peso especificado en la escala es mayor, menor o igual al peso cuando la arena ha dejado de caer? Las fuerzas se miden con la ayuda de las deformaciones de los cuerpos. A diario se pueden medir valores ** Esta ecuación fue escrita por primera vez por el matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783) en 1747, 20 años después de la muerte de Newton, a quien se le atribuye por lo general y falsamente. Fue Euler, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, no Newton, quien primero entendió que esta definición de fuerza es útil en todos los casos de movimiento, cualquiera que sea la apariencia, ya sea para partículas puntuales u objetos extensos, y ya sean cuerpos rígidos, deformables o fluidos. Sorprendentemente y en contraste con las declaraciones hechas con frecuencia-, la ecuación es aún correcta en la relatividad. 153 de fuerza mediante la medición de la extensión de un resorte. Valores de fuerza pequeños, del orden de un nanonewton, pueden detectarse mediante la medición de la deflexión de pequeñas palancas con la ayuda de un haz láser reflejado. Sin embargo, cada vez que se utiliza el concepto de fuerza, hay que recordar que la fuerza física es diferente a la fuerza ordinaria o el esfuerzo cotidiano. El esfuerzo es probablemente la mejor aproximación al concepto de potencia (física), generalmente abreviado P, y definido (para un fuerza constante) como P= dW ⃗ = F · ⃗v dt (62) en la cual el trabajo (físico) W se define como W = F ⋅ s. El trabajo físico es una forma de energía, como pude comprobar. El Trabajo, como una forma de energía, tiene que ser tomado en cuenta cuando se busca verificar la conservación de la energía. FIGURA 149-b El niño que tira del carro bombea cantidad de movimiento en el carro. De hecho, una cierta cantidad de movimiento fluye de vuelta a la tierra debido a la fricción dinámica (no dibujado). Tenga en cuenta que un hombre que camina llevando una mochila pesada apenas está haciendo trabajo; entonces ¿por qué se cansa? ( Desafío 370 s) Con la definición de trabajo que acabamos de dar puede resolver los siguientes enigmas. Desafío 371 s ¿Qué ocurre con el consumo de electricidad de una escalera mecánica, si se camina sobre ella en lugar de permanecer quieto? Desafío 372 d ¿Cuál es la incidencia de la definición de potencia sobre el salario de los científicos? Cuando los estudiantes en los exámenes dicen que la fuerza que actúa sobre una piedra lanzada es menor en el punto más alto de la trayectoria, se acostumbra a decir que están utilizando un punto de vista incorrecto, es decir, la llamada visión aristotélica, en la que la fuerza es proporcional a velocidad. A veces se llega a decir que están usando un concepto diferente de estado de movimiento. Los críticos a continuación, añaden, con un tono de superioridad, cuán equivocado es todo esto. Este es un ejemplo de desinformación intelectual. Cada estudiante sabe por el hecho de andar en bicicleta, de lanzar una piedra o de dar un tirón a un objeto que un aumento de esfuerzo produce un aumento de la velocidad. El estudiante tiene razón; aquellos teóricos que deducen que el estudiante tiene un concepto equivocado de la fuerza están equivocados. En realidad, en lugar del concepto físico de la fuerza, el estudiante utiliza simplemente la versión cotidiana, es decir, el esfuerzo. De hecho, el esfuerzo realizado por la gravedad en una piedra volando es menor en el punto más alto de la trayectoria. Entender bien la diferencia entre la fuerza física y el esfuerzo diario es el principal obstáculo en el aprendizaje de la mecánica. ** A menudo, el flujo de cantidad de movimiento, la ecuación (60), no se reconoce como la definición de la fuerza. Esto es principalmente debido a una observación cotidiana: parece que hay fuerzas sin ninguna aceleración asociada o variaciones en la cantidad de movimiento, tales como en una cadena bajo tensión o en el agua a alta presión. Cuando nos apoyamos contra un árbol, no hay movimiento, sin embargo, se aplica una fuerza. Si la fuerza es flujo de la cantidad de movimiento, ¿a dónde va ésta? Desemboca en las ligeras deformaciones de los brazos y el árbol. De hecho, cuando uno empieza a empujar y por lo tanto a deformar, el cambio de cantidad de movimiento asociado de las moléculas, los átomos o los electrones de los dos cuerpos puede ponerse en evidencia. Una vez establecida la deformación, y mirando bajo un mayor aumento, ** Este trampolín es tan alto que muchos físicos profesionales mismos no toman realmente; esto es confirmado por los numerosos comentarios en los documentos que indican que la fuerza física se define utilizando la masa, y, al mismo tiempo, que la masa se define utilizando la fuerza (siendo la segunda parte de la frase un error fundamental). 154 se puede encontrar que un flujo continuo e igual cantidad de movimiento está pasando en ambas direcciones. La naturaleza de este flujo se aclarará en nuestra exploración de la teoría cuántica. Como la fuerza es el flujo neto de cantidad de movimiento, el concepto de fuerza no es verdaderamente necesario en la descripción del movimiento. Pero a veces el concepto es práctico. Este es el caso en la vida cotidiana, en la cual es útil en situaciones en las que los flujos netos de cantidad de movimiento son menores que los flujos totales. A nivel microscópico, la cantidad de movimiento por sí sola es suficiente para la descripción del movimiento. Por ejemplo, la noción de peso describe la circulación de la cantidad de movimiento debida a la gravedad. Casi nunca utilizaremos el término "peso" en la parte microscópica de nuestra aventura. Antes de responder a la pregunta que da título a la sección, sobre la utilidad de la fuerza y la potencia, necesitamos más argumentos. A través de su definición, el concepto de fuerza se distingue claramente de la "masa", "cantidad de movimiento", "energía" y "potencia". Pero ¿dónde se originan las fuerzas? En otras palabras, ¿qué efectos en la naturaleza tiene la capacidad de acelerar cuerpos bombeando impulso a los objetos? La Tabla 30 ofrece una visión general. FIGURA 149-c Las dos descripciones equivalentes con fuerza neta cero; es decir con un flujo de cantidad de movimiento cerrado. La compresión se verifica cuando el flujo de la cantidad de movimiento y la cantidad de movimiento apuntan en la misma dirección; la extensión se verifica cuando el flujo de la cantidad de movimiento y la cantidad de movimiento apuntan en direcciones opuestas. FUERZAS, SUPERFICIES Y CONSERVACIÓN Vimos que la fuerza es el cambio de la cantidad de movimiento. También vimos que ésta se conserva. ¿Cómo se unen ambas afirmaciones? La respuesta es la misma para todas las cantidades conservadas. Nos imaginamos una superficie cerrada que es el límite de un volumen en el espacio. La Conservación implica que la cantidad conservada dentro de la superficie cerrada sólo se puede cambiar por lo que fluye a través de esa superficie.** Todas las cantidades conservadas en la naturaleza - como la energía, la **Matemáticamente, la conservación de una cantidad q se expresa con la ayuda de la densidad de volumen ρ = Q / V, la corriente I = Q / t, y el flujo o flujo J = ρ , de forma que j = q / A. La Conservación implica entonces dq ∂ρ =∫V dV =−∫A =∂ V ⃗j d ⃗ A =−I dt ∂t (63) o, equivalentemente, ∂ρ + ∇ ⃗j=0 ∂t (64) Esta es la ecuación de continuidad para la cantidad q. Todo esto sólo indica que una cantidad conservada en un volumen cerrado V sólo puede cambiar fluyendo a través de la superficie A. Este es un ejemplo típico de cómo expresiones matemáticas complejas pueden ocultar un contenido físico simple. 155 cantidad de movimiento, carga eléctrica, el momento angular - sólo pueden cambiar pasando a través de las superficies. En particular, cuando la cantidad de movimiento de un cuerpo cambia, esto sucede a través de una superficie. El cambio de la cantidad de movimiento se debe al flujo de la cantidad de movimiento. En otras palabras, el concepto de fuerza asume siempre una superficie a través de la cual fluye la cantidad de movimiento. • ⊳ La fuerza es el flujo de la cantidad de movimiento a través de una superficie. Este punto es esencial para entender la fuerza física! Toda fuerza requiere una superficie para su definición. Desafío 373 e Para refinar su propio concepto de la fuerza, puede buscar la superficie relevante cuando una cuerda tira de un carro, o cuando un brazo empuja un árbol, o cuando un coche acelera. También es útil para comparar la definición de la fuerza con la definición de potencia: ambos son flujos a través de las superficies. Como resultado podemos decir: • Un motor es una máquina de bombear cantidad de movimiento FRICCIÓN Y MOVIMIENTO Cada ejemplo de movimiento, desde el que nos permite elegir la dirección de la mirada como el que lleva una mariposa a través de un paisaje bucólico, se puede poner en una de las dos columnas más a la izquierda de la Tabla 30. Físicamente, las dos columnas están separadas por el siguiente criterio: en la primera clase, la aceleración de un cuerpo puede ir en una dirección diferente de su velocidad. La segunda clase de ejemplos sólo produce aceleraciones que se oponen exactamente a la velocidad del cuerpo en movimiento, como se ve desde el marco de referencia del medio que frena. Tal fuerza resistente se llama fricción, arrastre o amortiguación. Todos los ejemplos en la segunda clase son tipos de fricción. Desafío 374 e Compruébelo ahora. Desafío 375 s Un rompecabezas en el ciclismo: ¿frena el viento lateral?- y ¿por qué? La fricción puede ser tan fuerte que hace imposible todo movimiento de un cuerpo en relación a su entorno. Este tipo de fricción, llamado rozamiento estático o fricción de adherencia, es común e importante: sin él, los giros de las ruedas de las bicicletas, trenes o automóviles no tendrían absolutamente ningún efecto. Sin fricción estática, las ruedas accionadas por un motor no tendrían asidero. Del mismo modo, ni un solo tornillo quedaría apretado y ninguna pinza de pelo funcionaría. No podíamos correr ni caminar en un bosque, ya que el suelo sería más resbaladizo que el hielo pulido. De hecho, no sólo nuestro propio movimiento, sino todo el movimiento voluntario de los seres vivos se basa en la fricción, el caso es similar al de las máquinas auto-móviles. Sin rozamiento estático, las hélices de barcos, aviones y helicópteros no tendrían ningún efecto y las alas de los aviones no producirían una sustentación para mantenerlos en el aire. (Desafío 376 s ¿Por qué?) En resumen, se requiere la fricción estática cada vez que nosotros mismos o un motor queremos avanzar en relación con nuestro entorno. FRICCIÓN, DEPORTE, MÁQUINAS Y PREVISIBILIDAD Una vez que un objeto se mueve a través de su entorno, se ve obstaculizado por otro tipo de fricción; se llama fricción dinámica y actúa entre cuerpos en movimiento relativo. Sin ella, los cuerpos que caen siempre recuperarían la misma altura, sin llegar nunca a pararse; ni los paracaídas ni los frenos funcionarían; peor aún, no tendríamos memoria, como veremos más adelante. ** Todos los ejemplos de movimiento en la segunda columna de la Tabla 30 incluyen fricción. En estos ejemplos, la energía macroscópica no se conserva: los sistemas son disipativos. En la primera columna, la energía macroscópica es constante: estos sistemas son conservativos. Las dos primeras columnas también se pueden distinguir utilizando un criterio matemático más abstracto: ** Investigaciones recientes sugieren que tal vez en ciertos sistemas cristalinos, tales como cuerpos de tungsteno sobre silicio, en condiciones ideales de deslizamiento, la fricción puede ser muy pequeña y posiblemente incluso desaparecer en ciertas direcciones del movimiento. Esta llamada superlubricación es actualmente un tema de investigación. ** Desafío 378 s Tal afirmación acerca de la fricción sólo es correcta en tres dimensiones, como es el caso de la naturaleza; en el caso de una única dimensión, siempre se puede encontrar un potencial. 156 a la izquierda son las aceleraciones que se pueden derivar de un potencial, a la derecha, las desaceleraciones que no se pueden derivar de un potencial. TABLA 30 Procesos y dispositivos de cambio de movimiento de los cuerpos seleccionados. SITUACIONES QUE PUEDEN CONDUCIR A LA ACELERACIÓN SITUACIONES QUE SÓLO CONDUCEN A DESACELERACIÓN MOTORES Y ACCIONADORES piezoelectricidad cuarzo bajo un voltaje aplicado termoluminescencia trípode piezoeléctrico en marcha Satélite cayendo hacia un planeta accidente automovilístico Motores de cohetes crecimiento de montañas choque de meteorito Natación de larvas Aguja de brújula e imán frenado electromagnético Cañón electromagnético magnetostricción pérdidas de los transformadores Motor lineal calefacción eléctrica Galvanómetro Peine frotado en los cabellos Fricción entre sólidos motor electrostático bombas fuego tubo de rayos catódicos microscopio electrónico Motor Browniano objetos levitando a causa de la luz enfriamiento por láser Molino solar (verdadero) vela solar para satélites presión de la luz dentro de las estrellas célula solar arco y flecha Tirantes de los pantalones Motor de ultrasonidos árboles doblados que se enderezan almohada, air bag Bimorfos Conservación de alimentos por sal péndulo osmótico colisiones Efectos magnéticos Corriente en un alambre próximo a un imán Efectos eléctricos músculos, flagelos de los espermatozoides luz elasticidad osmosis Savia que sube en los árboles electro-osmosis Control a rayos X sintonizables Calor y presión congelación de una botella de champán resistencia al agua de una tabla de surf ingenios hidráulicos tetera arena movediza ingenios de vapor barómetro paracaídas pistola de aire, vela terremotos resistencia al deslizamiento Sismómetro atracción de trenes que pasan Absorbedores de choques turbina de agua sumergirse en el Sol Explosión de una supernova núcleos radioactividad biología crecimiento de bambú Disminución del diámetro de los capilares de la sangre motores moleculares gravitation caída emisión de ondas gravitacionales polea 157 Como en el caso de la gravitación, la descripción de cualquier tipo de movimiento se simplifica mucho mediante el uso de un potencial: en cada posición en el espacio, sólo se necesita un único valor del potencial para calcular la trayectoria de un objeto, en lugar de los tres valores de la aceleración o de la fuerza. Por otra parte, la magnitud de la velocidad de un objeto en cualquier punto puede calcularse directamente a partir de la conservación de energía. Los procesos de la segunda columna no se pueden describir por un potencial. Estos son los casos en los que necesariamente tenemos que usar la fuerza si queremos describir el movimiento del sistema. Por ejemplo, la fricción o fuerza de arrastre F debido a la resistencia del viento de un cuerpo está aproximadamente dada por 1 F= c W ρ A v 2 2 (65) donde A es el área de su sección transversal y v su velocidad en relación con el aire, ρ es la densidad del aire; la cw coeficiente aerodinámico de fricción es un número puro que depende de la forma del objeto en movimiento. (Unos pocos ejemplos se dan en la Figura 149. La fórmula es válida para todos los fluidos, no sólo para el aire, por debajo de la velocidad del sonido, siempre y cuando el arrastre se deba a turbulencias. Este suele ser el caso en el aire y en el agua. En velocidades bajas, cuando el movimiento del fluido no es turbulento sino laminar, el arrastre se denomina viscoso y sigue una relación (casi) lineal con la velocidad.) Desafío 377 ny Usted puede comprobar que la resistencia aerodinámica no puede ser derivada de un potencial.** El coeficiente aerodinámico cw es una cantidad medida experimentalmente. Un coche aerodinámico tiene un valor entre 0,25 y 0,3; muchos coches deportivos comparten valores de 0,44 y superiores con las furgonetas, y los valores de los coches de carreras pueden ser tan altos como 1, dependiendo de la cantidad de la fuerza que se utilice para mantener el coche sujeto al suelo. Los valores más bajos conocidos son para los delfines y pingüinos. * FIGURA 149 Formas y resistencia del aire / agua. La resistencia del viento también es importante para los seres humanos, en particular en el atletismo. Se estima que los velocistas de 100 m dedican entre el 3% y el 6% de su potencia en superar la resistencia del aire. Esto lleva a diferentes tiempos de carrera t w cuando está involucrada la velocidad del viento w, estos tiempos están relacionados por la expresión 2 t0 ωtW =1,03−0,03(1− ) tW 100 m (66) *** El Cálculo de coeficientes de resistencia en las computadoras, dadas la forma del cuerpo y las propiedades del fluido, es una de las tareas más difíciles de la ciencia; el problema aún no está resuelto. El tema de las formas aerodinámicas es aún más interesante para los cuerpos fluidos. Los líquidos se mantienen unidos por la tensión superficial. Por ejemplo, la tensión superficial mantiene juntos los pelos de un cepillo mojado. La tensión superficial también determina la forma de gotas de lluvia. Los experimentos muestran que es esférica para gotas cuyo diámetro es más pequeño de 2 mm, y que las gotas de lluvia más grandes tienen forma de lente, con la parte plana hacia la parte inferior. La forma habitual de lágrimas no se encuentra en la naturaleza; algo vagamente similar es lo que aparece durante el desprendimiento de la gota, pero nunca durante la caída de la gota. 158 donde se utiliza la estimación más conservadora del 3%. Una velocidad del viento opuesta de -2m / s da un aumento del tiempo de 0,13 s, suficiente para cambiar un potencial récord mundial en "sólo" un excelente resultado. (Desafío 379 ny ¿Es capaz de deducir el valor cw para los velocistas a partir de la fórmula?) Del mismo modo, el paracaidismo existe debido a la resistencia del viento. Desafío 380 s ¿Puede determinar cómo cambia con el tiempo la velocidad de un cuerpo que cae, con o sin paracaídas, asumiendo que la forma es constante y también el coeficiente de fricción? En contraste, la fricción estática tiene diferentes propiedades. Es proporcional a la fuerza que presiona los dos cuerpos uno contra otro. ¿Por qué? El estudio de la situación con más detalle, la fricción de adherencia se encuentra que es proporcional al área real de contacto. Resulta que poner dos sólidos en contacto es más bien como darle la vuelta a Suiza colocándola boca abajo y ponerla contra Austria; el área de contacto es mucho menor que la estimada macroscópicamente. El punto crucial es que el área de contacto real es proporcional a la fuerza normal. El estudio de lo que ocurre en esa zona de contacto sigue siendo un tema de investigación; los investigadores están examinando las cuestiones utilizando instrumentos como microscopios de fuerza atómica, microscopios de fuerza lateral y triboscopios. Estos esfuerzos dieron como resultado discos duros de ordenador que duran más tiempo, ya que la fricción entre el disco y el cabezal de lectura es una magnitud fundamental en la determinación de la vida útil. Todas las formas de fricción están acompañadas por un aumento en la temperatura del cuerpo en movimiento. La razón se hizo evidente después del descubrimiento de los átomos. La fricción no se observa en sistemas con algunos pocas partículas - por ejemplo, con 2, 3, o 4 -. La fricción sólo aparece en sistemas con muchas partículas, generalmente de millones o más. Estos sistemas se denominan disipativos. Tanto los cambios de temperatura como la fricción misma son debidos al movimiento de un gran número de partículas microscópicas unas contra otras. Este movimiento no está incluido en la descripción de Galileo. Cuando se incluye, desaparecen la fricción y la pérdida de energía, y entonces los potenciales se pueden utilizar en todas partes. Entonces aparecen también aceleraciones positivas - de magnitud microscópica -, y se encuentra que el movimiento se conserva. Como resultado, todo movimiento es conservativo en una escala microscópica. Por lo tanto, en una escala microscópica es posible describir todo movimiento sin el concepto de fuerza.** La moraleja de la historia es doble: En primer lugar, se debe usar la fuerza y la potencia en una sola situación: en el caso de la fricción, y sólo cuando uno no quiera entrar en detalles microscópicos. ** En segundo lugar, la fricción no es un obstáculo para la previsibilidad. El movimiento permanece predecible. Et qu’avons-nous besoin de ce moteur, quand l’etude reflechie de la nature nous prouve que le mouvement perpetuel est la premiere de ses lois? Donatien de Sade Justine, ou les malheurs de la vertu.* '¿Y para qué necesitamos este motor, cuando el estudio razonado de la naturaleza nos demuestra que el movimiento perpetuo es la primera de sus leyes? ESTADOS COMPLETOS - CONDICIONES INICIALES Quid sit futurum cras, fuge quaerere ...** Horace, Odi, lib. I, ode 9, v. 13. Evita preguntarte qué será mañana ...' Continuemos nuestra exploración de la previsibilidad del movimiento. A menudo se describe el movimiento de un cuerpo mediante la especificación de la dependencia temporal de su posición, por ejemplo, como x(t) = x0 + v0(t − t0) + 1/2a0(t − t0)2 + 1/6 j0(t − t0)3 + ... . (67) **El primer científico que eliminó la fuerza de la descripción de la naturaleza fue Heinrich Rudolf Hertz (n. 1857 Hamburgo,. D 1894 Bonn), el famoso descubridor de las ondas electromagnéticas, en su libro de texto sobre la mecánica, Die Prinzipien der Mechanik, Barth, 1894, reeditado por Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1963. Su idea fue fuertemente criticada en ese momento; sólo una generación más tarde, cuando la mecánica cuántica silenciosamente se deshizo del concepto para bien, hizo que la idea fuera genralmente aceptada. (Muchos han especulado sobre el papel que Hertz habría desempeñado en el desarrollo de la mecánica cuántica y la relatividad general si no hubiera muerto tan joven) En su libro, Hertz también formuló el principio del camino más corto: las partículas siguen geodésicas. Esta misma descripción es uno de los pilares de la relatividad general, como veremos más adelante. ** En el caso de las relaciones humanas, la evaluación debería ser un poco más exigente, como la investigación realizada por James Gilligan muestra. ***Horace es Quinto Horacio Flaco (65-8 aC), el gran poeta romano. 159 Las cantidades con un índice 0, tales como el x0 posición de partida, la velocidad v0 de partida, etc, se denominan condiciones iniciales. Las condiciones iniciales son necesarias para cualquier descripción del movimiento. Distintos sistemas físicos tienen diferentes condiciones iniciales. Por lo tanto las condiciones iniciales especifican la individualidad de un sistema dado. Las condiciones iniciales también nos permiten distinguir la situación actual de un sistema de la que tuvo en cualquier momento anterior: las condiciones iniciales especifican los aspectos cambiantes de un sistema. En otras palabras, las condiciones iniciales resumen el pasado de un sistema. Las condiciones iniciales son, pues precisamente las propiedades que hemos estado buscando para obtener una descripción del estado de un sistema. Para encontrar una descripción completa de los estados por lo tanto sólo necesitamos una descripción completa de las condiciones iniciales, que podemos llamar así también correctamente estados iniciales. Resulta que para la gravitación, como para todas las otras interacciones microscópicas, no hay necesidad de a0 de aceleración inicial, j0 tirón inicial (jerk), o cantidades iniciales de orden superior. En la naturaleza, la aceleración y el tirón, j, dependen sólo de las propiedades de los objetos y su entorno; no dependen del pasado. Por ejemplo, la expresión a = GM/r2 de la gravitación universal, que da la aceleración de un cuerpo pequeño cerca de uno grande, no depende del pasado, sino sólo del entorno. Lo mismo ocurre para las otras interacciones fundamentales, como vamos a descubrir en breve. El estado completo de una masa puntual en movimiento se describe así al especificar su posición y su cantidad de movimiento en todos los instantes de tiempo. Por lo tanto, ahora hemos logrado una descripción completa de las propiedades intrínsecas de los objetos puntuales, es decir, de su masa, y de sus estados de movimiento, a saber, por su cantidad de movimiento, energía, posición y tiempo. Para objetos rígidos extensos también necesitamos la orientación, velocidad angular y momento angular. Pero son necesarios otros estados observables. Desafío 381 s ¿Puede especificar los estados observables en los casos de cuerpos extensos elásticos y de los líquidos? Desafío 382 ¿Puede dar un ejemplo de una propiedad intrínseca que hasta ahora hemos pasado por alto? Al conjunto de todos los estados posibles de un sistema se le da un nombre especial: se llama el espacio de fases. Vamos a utilizar el concepto en varias ocasiones. Como cualquier espacio, tiene un número de dimensiones. esafío 383 s ¿Puede especificarlo para un sistema que consta de N partículas puntuales? Desafío 385 s Es interesante recordar un mayor desafío antiguo y volver a preguntar: ¿El universo tiene condiciones iniciales? ¿Tiene un espacio de fase? Como sugerencia, recuerde que cuando se lanza una piedra, las condiciones iniciales resumen los efectos del lanzador, su historia, la forma en que llegó allí, etc. En otras palabras, las condiciones iniciales resumen el pasado de un sistema, es decir, los efectos que el medio ambiente tuvo durante la historia de un sistema. Dado que tenemos una descripción de las propiedades y los estados de los objetos puntuales, objetos rígidos extensos y cuerpos deformables, ¿podemos predecir todo movimiento? Todavía no. Hay situaciones en la naturaleza, donde el movimiento de un objeto depende de características distintas de su masa; el movimiento puede depender de su color (Desafío 384 s ¿Puede encontrar un ejemplo?), de su temperatura, y de algunas otras propiedades que no tardaremos en descubrir. Y para cada propiedad intrínseca hay variables de estado por descubrir. Cada propiedad es la base de un campo de investigación física. La velocidad es la base de la mecánica, la temperatura es la base de la termodinámica, etc. Por lo tanto, debemos concluir que hasta el momento no disponemos de una descripción completa del movimiento. Un optimista es alguien que piensa que el futuro es incierto. anónimo 160 ¿EXISTEN LAS SORPRESAS? ¿ESTÁ DETERMINADO EL FUTURO? Die Ereignisse der Zukunft können wir nicht aus den gegenwartigen erschliesen. Der Glaubean den Kausalnexus ist ein Aberglaube.* LudwigWittgenstein, Tractatus, 5.1361 No podemos inferir los acontecimientos del futuro de los del presente. La creencia en el nexo causal es la superstición”. Nuestra aventura, sin embargo,demuestra que esta afirmación es incorrecta. La libertad es el reconocimiento de la necesidad. Friedrich Engels (1820-1895) Si, después de subir a un árbol, saltamos hacia abajo, no podemos detener el salto en medio de la trayectoria; una vez iniciado el salto, es inevitable y determinado, como todo movimiento pasivo. Sin embargo, cuando empezamos a mover un brazo, podemos detener su movimiento o cambiar un golpe en una caricia. El movimiento voluntario no parece inevitable o predeterminado. Desafío 386 e ¿Cuál de estos dos casos es el general? Comencemos con el ejemplo que podemos describir más precisamente hasta el momento: la caída de un cuerpo. Una vez que el potencial gravitatorio φ que actúa sobre una partícula está dado y tenido en cuenta, podemos utilizar la expresión a(x) = −∇φ = −GMr/r3, (68) y podemos usar el estado en un momento dado, establecido por las condiciones iniciales, como x(t0) y v(t0), (69) para determinar el movimiento de la partícula de antemano. De hecho, con estas dos piezas de información, podemos calcular la trayectoria completa x(t). Una ecuación que tiene el potencial de predecir el curso de los acontecimientos se llama una ecuación de evolución. La ecuación (68), por ejemplo, es una ecuación de evolución para la caída del objeto. (Tenga en cuenta que el término "evolución" tiene diferentes significados en la física y la biología.) Una ecuación de evolución abarca la observación de que no se observan todos los tipos de cambio en la naturaleza, sino sólo ciertos casos específicos. No se observan todas las secuencias imaginables de eventos, sino sólo un número limitado de ellos. En particular, la ecuación (68) abarca la idea de que de un instante a otro, los objetos que caen cambian su movimiento basado en el potencial gravitacional que actúa sobre ellos. Las ecuaciones de evolución no existen sólo para el movimiento debido a la gravedad, sino para el movimiento debido a todas las fuerzas de la naturaleza. Dada una ecuación de evolución y estado inicial, todo el movimiento de un sistema está por lo tanto fijado de forma única. Esta propiedad del movimiento a menudo se denomina determinismo. Por ejemplo, los astrónomos pueden calcular con antelación la posición de los planetas con gran precisión desde hace miles de años. Vamos a distinguir cuidadosamente el determinismo de otros varios conceptos similares, para evitar malos entendidos. El movimiento puede ser determinista y al mismo tiempo ser impredecible en la práctica. La imprevisibilidad de movimiento puede tener cuatro orígenes: 1. Un enorme número de partículas que intervienen, que hacen el cálculo impracticable, 2. La complejidad matemática de las ecuaciones de evolución, 3. Insuficiente información acerca de las condiciones iniciales, y 4. Extrañas formas del espacio-tiempo. Por ejemplo, en el caso del tiempo meteorológico se cumplen las tres primeras condiciones al mismo tiempo. Es difícil predecir el tiempo durante períodos de más de una semana o dos. (En 1942, Hitler hizo el ridículo al pedir un pronóstico del tiempo preciso para los siguientes doce meses.) Pese a la dificultad de predicción, el cambio de clima todavía es determinista. Como otro ejemplo, cerca de los agujeros negros todos los cuatro orígenes de imprevisibilidad se aplican juntos. Vamos a discutir los agujeros negros en el apartado de la relatividad general. A pesar de ser impredecible, el movimiento es determinista cerca de los agujeros negros. 161 El movimiento puede ser a la vez determinista y aleatorio, es decir, con diferentes resultados en experimentos similares. el movimiento de una bola de la ruleta es determinista, pero también es al azar. ** Como veremos más adelante, los sistemas cuánticos entran en esta categoría, al igual que todos los ejemplos de movimiento irreversible, como una gota de tinta extendiéndose en el agua clara. También la caída de un dado es a la vez determinista y aleatorio. De hecho, los estudios sobre la manera de predecir el resultado del lanzamiento de un dado con la ayuda de una computadora están progresando rápidamente; estos estudios también muestran cómo lanzar un dado con el fin de aumentar las probabilidades de obtener un resultado deseado. En todos estos casos, el azar y la irreproducibilidad son sólo aparentes; desaparecen cuando se incluye la descripción de los estados y las condiciones iniciales en el dominio microscópico. En resumen, el determinismo no contradice la irreversibilidad (macroscópica). Sin embargo, en la escala microscópica, el movimiento determinista es siempre reversible. Una última noción que debe distinguirse del determinismo es la no-causalidad. La causalidad es el requisito de que una causa debe preceder al efecto. Esto es trivial en la física de Galileo, pero se vuelve de importancia en la relatividad especial, donde la causalidad implica que la velocidad de la luz es un límite para la difusión de los efectos. De hecho, parece imposible tener un movimiento determinista (de materia y energía) que sea no causal, en otras palabras, más rápido que la luz. Desafío 387 s ¿Puede confirmar esto? Este tema se examinará más a fondo en la sección sobre la relatividad especial. Decir que el movimiento es 'determinista' significa que está fijado en el futuro y también en el pasado. A veces se afirma que las predicciones de futuras observaciones son la prueba crucial para una descripción acertada de la naturaleza. Debido a nuestra, a menudo impresionante capacidad de influir en el futuro, esto no es necesariamente una buena prueba. Cualquier teoría debe, en primer lugar, describir las observaciones del pasado correctamente. Es nuestra impotencia de cambiar el pasado lo que da lugar a nuestra falta de elección en la descripción de la naturaleza que es tan fundamental para la física. En este sentido, el término "condición inicial" es una elección desafortunada, porque, de hecho, en las condiciones iniciales se resume el pasado de un sistema.** El ingrediente central de una descripción determinista es que todo movimiento se puede reducir a una ecuación de evolución más un estado específico. Este estado puede ser inicial, intermedio o final. El movimiento determinista está especificado de manera única en el pasado y en el futuro. Para tener un concepto claro de determinismo, es útil recordar por qué el concepto de "tiempo" se introduce en nuestra descripción del mundo. Introducimos tiempo porque observamos en primer lugar que somos capaces de definir las secuencias en las observaciones, y en segundo lugar, que el cambio sin restricciones es imposible. Esto está en contraste con las películas, en los que una persona puede pasar a través de una puerta y salir en otro continente u otro siglo. En la naturaleza no observamos metamorfosis, como personas que se cambian en tostadoras o perros en cepillos de dientes. Somos capaces de introducir el "tiempo" sólo porque los cambios secuenciales que observamos son muy restringidos. Si la naturaleza no fuera reproducible, no se podría utilizar el tiempo. En resumen, el determinismo expresa la observación de que las modificaciones secuenciales están restringidas a una sola posibilidad. Desafío 388 s Dado que el determinismo está conectado al uso de la noción del tiempo, surgen nuevas preguntas cada vez que el concepto de tiempo cambia, como ocurre en la relatividad especial, en la relatividad general, y en la física teórica de alta energía. Hay un montón de diversión por delante. En resumen, toda descripción de la naturaleza que utiliza el concepto de tiempo, tal como por ejemplo la de la vida cotidiana, la de la física clásica y la de la mecánica cuántica, es intrínseca e inevitablemente determinista, ya que conecta las observaciones del pasado y el futuro, eliminando las alternativas. Dicho en pocas palabras, el uso del tiempo implica el determinismo, y viceversa. Al extraer conclusiones metafísicas, **Los matemáticos han desarrollado un gran número de pruebas para determinar si una colección de números puede ser debida al azar; los resultados de la ruleta pasan todas estas pruebas - sólo en casinos honestos, sin embargo. Estas pruebas suelen comprobar la distribución equitativa de los números, de los pares de números, de ternas de números, etc Otras pruebas son la prueba de χ2, la prueba de Monte Carlo (s), y el test gorila. * Los problemas con el término "condiciones iniciales" se ponen de manifiesto cerca del Big Bang: en el Big Bang, el universo no tiene pasado, pero a menudo se dice que tiene condiciones iniciales. Esta contradicción sólo se resolverá en la última parte de nuestra aventura. 162 como es tan popular hoy en día cuando se habla de la teoría cuántica, uno nunca debe olvidar esta relación. ¡Quien utiliza los relojes pero niega el determinismo está alimentando una doble personalidad! ** El futuro está determinado. EL LIBRE ALBEDRÍO Usted tiene la capacidad de sorprenderse a sí mismo. Richard Bandler y John Grinder La idea de que el movimiento está determinado a menudo produce temor, porque se nos enseña a asociar el determinismo con la falta de libertad. Por otro lado, nosotros experimentamos la libertad en nuestras acciones y lo llamamos libre albedrío. Sabemos que es necesario para nuestra creatividad y para nuestra felicidad. Luego parece que el determinismo se opone a la felicidad. Pero ¿qué es con precisión el libre albedrío? Mucha tinta ha corrido tratando de encontrar una definición precisa. Uno puede tratar de definir el libre albedrío como la libertad de elección de las condiciones iniciales. Sin embargo, las condiciones iniciales deben, ellas mismas, resultar de las ecuaciones de evolución, de modo que, de hecho, no hay libertad en su elección. Uno puede tratar de definir el libre albedrío desde la idea de lo impredecible, y de propiedades similares, como la no computabilidad. Pero estas definiciones se enfrentan al mismo problema simple: cualquiera que sea la definición, no hay manera de demostrar experimentalmente que la acción se llevó a cabo libremente. Las posibles definiciones son inútiles. Brevemente, dado que el libre albedrío no puede ser definido, el libre albedrío no puede ser observado. (Los psicólogos también tienen una gran cantidad de datos propios para apoyar esto, pero eso es otro tema.) Ningún proceso gradual – por oposición a instantáneo- puede deberse al libre albedrío; los procesos graduales son descritos por el tiempo y son deterministas. En este sentido, la pregunta sobre el libre albedrío se convierte en una acerca de la existencia de cambios repentinos en la naturaleza. Este será un tema recurrente en el resto de este paseo. ¿Puede sorprendernos la naturaleza? En la vida cotidiana, la naturaleza no lo hace. No se observan cambios repentinos. Por supuesto, todavía tenemos que investigar esta cuestión en otros ámbitos, en el de lo muy pequeño y en el de lo muy grande. De hecho, vamos a cambiar nuestra opinión varias veces. La ausencia de sorpresas en la vida cotidiana está asentada profundamente en nuestra naturaleza: la evolución ha desarrollado la curiosidad porque todo lo descubierto será útil después. Si la naturaleza continuamente nos sorprendiera, la curiosidad no tendría ningún sentido. Muchas observaciones contradicen la existencia de sorpresas: en el comienzo de nuestra caminata definimos el tiempo utilizando la continuidad del movimiento; más adelante expresamos esto diciendo que el tiempo es una consecuencia de la conservación de la energía. La conservación es lo contrario de la sorpresa. Por cierto, un desafío sigue pendiente: Desafío 389 s ¿Puede demostrar que el tiempo no sería definible incluso si las sorpresas existieran sólo en raras ocasiones? De modo sucinto, hasta ahora no tenemos ninguna evidencia de que existan sorpresas en la naturaleza. Existe el tiempo porque la naturaleza es determinista. El libre albedrío no puede ser definido con la precisión requerida por la física. Dado que no hay cambios instantáneos, sólo hay una definición coherente del libre albedrío: es una sensación, en particular, de independencia respecto a los demás, de independencia en relación al temor y de aceptación de las consecuencias de nuestras acciones. El libre albedrío es un extraño nombre para un sentimiento de satisfacción. Esto resuelve la aparente paradoja; el libre albedrío, siendo una impresión, existe como una experiencia humana, a pesar de que todos los objetos se mueven sin ninguna posibilidad de elección. No hay ninguna contradicción.* Incluso si la acción humana está determinada, todavía es auténtica. ¿Por qué es el determinismo tan aterrador? Esa es una pregunta que todos tienen que preguntarse a sí mismos. Desafío 391 f ¿Qué diferencia implica el determinismo para su vida, para las acciones, las decisiones, las responsabilidades y los placeres que encuentre? ** Si la conclusión es que ser determinado es diferente de ser libre, ¡debe cambiar su vida! El * Aunque eso puede ser muy divertido,. * Que el libre albedrío es una sensación también puede ser confirmado mediante una cuidadosa introspección. La idea del libre albedrío siempre aparece después de iniciar una acción. Es una hermosa experiencia sentarse en un entorno tranquilo, con la intención de hacer, dentro de un número no especificado de minutos, un pequeño gesto, como el cierre de una mano. Desafío 390 e Si se observa con cuidado, con todo detalle, lo que sucede dentro de ti alrededor del mismo momento de la decisión, encontrará ya sea un mecanismo que condujo a la decisión, o una difusa neblina clara. Usted nunca encontrará libre albedrío. Este experimento es una hermosa manera de experimentar profundamente las maravillas del uno mismo. Experiencias de este tipo también podría ser uno de 163 miedo al determinismo generalmente se debe a la negativa a tomar el mundo tal como es. Paradójicamente, es precisamente aquel que insiste en la existencia del libre albedrío quien está buscando escapar de sus responsabilidades. RESUMEN DE PREDICTIBILIDAD A pesar de las dificultades para predecir los casos específicos, todo el movimiento que encontramos hasta ahora es determinista y previsible. Incluso la fricción es predecible, en principio, si tenemos en cuenta los detalles microscópicos de la materia. Brevemente, la mecánica clásica afirma que el futuro está determinado. De hecho, este es el caso para todos los movimientos en la naturaleza, incluso en el dominio de la teoría cuántica y la relatividad general. Si el movimiento no fuera predecible, no podríamos haber introducido el concepto de "movimiento" en primer lugar. Se puede hablar de movimiento solo porque es predecible. UNA CONCLUSIÓN EXTRAÑA SOBRE EL MOVIMIENTO Darum kann es in der Logik auch nie Überraschungen geben*. Ludwig Wittgenstein, Tractatus, 6-1251 Es por eso que nunca puede haber sorpresas en la lógica La mecánica clásica describe la naturaleza de una manera relativamente simple. Los objetos son invariables y son entidades masivas situadas en el espacio-tiempo. Los estados son las propriedades variables de los objetos, descritos por la posición en el espacio y el instante en el tiempo, por la energía y la cantidad de movimiento, y por sus equivalentes rotacionales. El tiempo es la relación medida por un reloj entre los acontecimientos. Los relojes son dispositivos en movimiento no perturbado cuya posición puede ser observada. El espacio, y la posición, es la relación medida por una regla graduada entre objetos. Las reglas graduadas son aparatos cuya forma está subdividida por algunas marcas, fijadas de manera invariante y observable. El movimiento es la variación de la posición en el tiempo (fois la masa), está determinado, no revela ninguna sorpresa, se conserva (incluso después de la muerte), y está provocado por la gravitación y otras interacciones. Incluso si esta descripción funciona bastante bien, contiene una definición en bucle. Desafío 327 s ¿Puede identificarla? Cada uno de los dos conceptos centrales del movimiento está definido con la ayuda del otro. Los físicos, durante alrededor de 200 años, esgrimieron contra la mecánica clásica sin notar o sin querer notar este hecho. Hasta los pensadores que tenían un interés en desacreditar la ciencia no lo revelaron. Desafío 328 s ¿Puede fundarse una ciencia exacta sobre una definición circular? Manifiestamente, la física ha salido bastante bien parada hasta el presente. Algunos incluso han afirmado que esta situación es en principio inevitable. A pesar de estos juicios, deshacer este bucle lógico es una de ls aspiraciones de nuestra caminata. Para cumplirlo, tenemos necesidad de acrecentar considerablemente el nivel de precisión de nuestra descripción del movimiento. Cada vez que la precisión se acrecienta, la imaginación se restringe. Descubriremos que numerosos tipos de movimiento que parecen realizables no lo son. El movimiento está limitado. La naturaleza limita la velocidad, el tamaño, la aceleración, la masa, la fuerza, la potencia y un gran número de otras cantidades. No persevere en su lectura si no está preparado para cambiar la fantasía por la precisión. Eso no será una pérdida ya que obtendrá otra cosa en su lugar: los engranajes (rouages) de la naturaleza le maravillarán. FIGURA 150 ¿Qué forma de carril permite que la piedra negra se deslice con mayor rapidez desde el punto A hasta el punto más bajo B? FIGURA 151 ¿Puede describir el movimiento de una manera común a todos los observadores? los orígenes de la espiritualidad humana, ya que muestran la conexión que todo el mundo tiene con el resto de la naturaleza. Desafío 392 s * Si las "leyes" de la naturaleza son deterministas, ¿están en contraste con las "leyes" morales o éticas? ¿La gente puede seguir siendo responsable por sus acciones? 164 PREDICTIBILIDAD Y DESCRIPCIONES GLOBALES DEL MOVIMIENTO. Πλεῖν ἀνάγκε, ζῆν οὐκ ἀνάγκη.** Pompeius Navigare necesse, vivere non necesse. ‘Navegar es necesario, vivir no. Los físicos pretenden hablar de movimiento con la máxima precisión posible. La previsibilidad es un aspecto de la precisión. La más alta predictibilidad - y por lo tanto la más alta precisión - es posible cuando el movimiento se describe lo más globalmente posible. Por toda la tierra - incluso en Australia - la gente observa que las piedras caen 'hacia abajo'. Esta observación ancestral llevó al descubrimiento de la "ley" de la gravitación universal. Para encontrarla, todo lo que se precisaba era buscar una descripción de la gravedad que fuera válida a nivel general, en todo el universo. La única observación adicional que necesitaba ser reconocida a fin de deducir el resultado a = GM/r2 es la variación de la gravedad con la altura. En pocas palabras, pensar globalmente nos ayuda a hacer que nuestra descripción del movimiento sea más precisa y nuestras predicciones más útiles. ¿Cómo podemos describir el movimiento de la manera más globalmente posible? Resulta que existen seis enfoques para esta cuestión, cada una de las cuales serán de gran ayuda en nuestro camino a la cima de la montaña de movimiento. En primer lugar, damos una visión general y, a continuación, exploraremos los detalles de cada enfoque. 1. Principios de acción o principios variacionales, la primera aproximación global al movimiento, surge cuando superamos una limitación de lo que hemos aprendido hasta ahora. Cuando predecimos el movimiento de una partícula de su aceleración actual con una ecuación de evolución, estamos utilizando la descripción de movimiento más local posible. Por ejemplo, cada vez que utilizamos una ecuación de evolución, utilizamos la aceleración de una partícula en un determinado lugar y tiempo para determinar su posición y el movimiento justo después de ese momento, y en las inmediaciones de ese lugar. Por tanto, las ecuaciones de evolución tienen un "horizonte" mental de radio cero. La aproximación opuesta a las ecuaciones de evolución son principios variacionales. Un famoso ejemplo se ilustra en la Figura 150. El reto es encontrar el camino que permita el movimiento de deslizamiento más rápido posible desde un punto alto a un punto más bajo distante (Desafío 393 d). La ruta buscada es la braquistocrona, del Griego antiguo para "menor tiempo". Este rompecabezas pregunta acerca de una propiedad del movimiento en su conjunto, para todos los tiempos y posiciones. El enfoque global requerido por cuestiones como ésta nos llevará a una descripción del movimiento que es simple, precisa y fascinante: el llamado principio de la pereza cósmica, también conocido como el principio de mínima acción. 2. Relatividad, el segundo enfoque global de movimiento, surge cuando comparamos las diferentes descripciones de un mismo sistema proporcionados por diferentes observadores. Por ejemplo, las observaciones de alguien que cae de un acantilado - como se muestra en la Figura 151 -, de un pasajero en una montaña rusa, y de un observador en tierra por lo general serán diferentes. Las relaciones entre estas observaciones, las llamadas transformaciones de simetría, nos llevan a una descripción global, válida para todo el mundo. Este enfoque nos conducirá a la teoría especial y general de Einstein de la relatividad. FIGURA 152 ¿Qué sucede cuando se corta una cuerda? FIGURA 153 Un mecanismo famosa, la vinculación Peaucellier-Lipkin, que permite trazar una línea recta con un compás: fije un punto F, ponga un lápiz en P conjunta y mueva C con un compás a lo largo de un círculo. 3. Mecánica de cuerpos extensos y rígidos, en lugar de masas puntuales, es necesario considerar el movimiento de cuerpos extensos y rígidos para comprender el muchos objetos, plantas y animales. A modo de ejemplo, el resultado contra-intuitivo del experimento en la Figura 152 (Desafío 394 ny) muestra por qué ** Cneo Pompeyo Magno (106-48 aC) citado de esta manera por Plutarco (c. 45 a c. 125). 165 este argumento merece la pena. La rueda que gira rápidamente suspendida en sólo un extremo del eje permanece casi horizontal, pero gira lentamente alrededor de la cuerda. Para el diseño de máquinas, es esencial entender cómo un grupo de cuerpos rígidos interactúan entre sí. Por ejemplo, tomemos la vinculación Peaucellier-Lipkin que se muestra en la Figura 153. Una articulación F se fija en la pared. Dos vástagos móviles llevan a dos esquinas opuestas de un rombo móvil, cuyas varillas conectan con las otras dos esquinas C y P. Este mecanismo tiene varias propiedades sorprendentes. En primer lugar, define implícitamente un círculo de radio R de modo que uno siempre tiene la relación r c =R2/rP entre las distancias de las esquinas C y P al centro de este círculo Esto se viene llamando la inversión de un círculo. Desafío 395 ny ¿Puede encontrar este círculo especial? En segundo lugar, si se pone un lápiz en la esquina P , y dejamos que el nudo C siga un cierto círculo, el lápiz P dibuja una línea recta. Desafío 396 ny ¿Puede encontrar ese círculo? Así pues, el mecanismo permite trazar una línea recta con la ayuda de un compás. Desafío 397 d Otro famoso desafío de máquinas es diseñar una carreta de madera, con ruedas dentadas que conectan las ruedas a una flecha, con la propiedad de que, cualquiera sea el camino que tome el carro, la flecha siempre apunte al sur (ver Figura 154). La solución a este enigma será útil incluso para ayudar a comprender la relatividad general, como veremos más adelante. Tal carro permite la medida de la curvatura de una superficie y del espacio. FIGURA 153b Los engranajes encontrados en jóvenes Fulgoromorpha (tipo de insecto). (© Malcolm Burrows). FIGURA 154 Un carruaje que señala al sur: cualquiera que sea el camino que sigue, la flecha en él siempre apunta al sur. Hasta la naturaleza utiliza de piezas de la máquina. En 2011, se encontraron en una articulación de un escarabajo picudo, Trigonopterus oblongus, tornillos y tuercas. En 2013 se descubrió el primer ejemplo de engranajes biológicos: en jóvenes Fulgoromorfos de la especie Isos coleoptratus, las ruedas dentadas aseguran el salto de las dos patas posteriores en sincronía. La Figura 153b muestra algunos detalles. Usted puede disfrutar de los videos en este descubrimiento disponibles en www.youtube.com/watch? v = Q8fyUOxD2EA. Otro ejemplo interesante de movimiento rígido es la forma en que se mueven los humanos, tales como los movimientos generales de un brazo que se componen de un pequeño número de movimientos básicos. Todos estos son ejemplos del cautivador campo de la ingeniería; por desgracia, tendremos poco tiempo para explorar este tema en nuestra caminata. 4. Mecánica de medio continuos. El siguiente enfoque global del movimiento es la descripción de los cuerpos extensos no rígidos. Por ejemplo, la mecánica de fluidos estudia el flujo de fluidos (como la miel, el agua o el aire) en torno a los cuerpos sólidos (como cucharas, barcos, velas o alas). La mecánica de fluidos intenta, pues, explicar cómo vuelan los insectos, los pájaros y los aviones, * * por qué los veleros pueden ** Los mecanismos de vuelo de los insectos siguen siendo un tema de investigación activa. Tradicionalmente, la dinámica de fluidos se ha concentrado en los grandes sistemas, como botes, barcos y aviones. En efecto, el objeto más pequeño hecho por el hombre que puede volar de forma controlada - por ejemplo, un avión controlado por radio o helicóptero - es mucho más grande y más pesado que muchos objetos voladores que la evolución ha diseñado. Resulta que el control de el vuelo de las las cosas pequeñas requiere más conocimientos y más trucos que controlar el vuelo de las cosas grandes. Hay más información sobre este tema en la página 255 en el volumen V. 166 navegar contra el viento, qué sucede cuando se hace girar un huevo duro en una capa delgada de agua, o cómo una botella llena de vino puede ser vaciada del modo más rápido posible. Desafío 398 s FIGURA 155 ¿Cómo y dónde se rompe una chimenea de ladrillo que cae? FIGURA 156 ¿Por qué permanecen inflados los globos de aire caliente? ¿Cómo se puede medir el peso de un ciclista utilizando sólo una regla? Además de los fluidos, podemos estudiar el comportamiento de los sólidos deformables. Esta área de investigación se llama mecánica de medios continuos. Trata de deformaciones y oscilaciones de estructuras extensas. Busca explicar, por ejemplo, por qué las campanas se hacen con formas particulares; cómo se rompen cuando están bajo tensión tanto los cuerpos grandes- por ejemplo, las chimeneas que caen como la que se muestra en la Figura 155 (Desafío 399 s) - cómo los cuerpos pequeños – por ejemplo, los diamantes – se rompen bajo presión; y cómo los gatos pueden darse la vuelta ellos mismos a la posición adecuada cuando caen. Durante el transcurso de nuestro viaje nos encontraremos repetidamente cuestiones de este dominio, que afectan incluso a la relatividad general y el mundo de las partículas elementales. FIGURA 157 ¿Por qué las margaritas - o margaritas de ojo de buey, Leucanthemum vulgare - por lo general tienen alrededor de 21 pétalos (izquierda y centro) o alrededor de 34 (derecha)? (© Anonymous, Giorgio Di Iorio y Thomas Lüthi) 5. Mecánica estadística es el estudio del movimiento de un número colosal de partículas. La mecánica estadística es el quinto enfoque global para el estudio del movimiento. Los conceptos necesarios para describir los gases, tales como la temperatura, la entropía y la presión (ver Figura 156), son herramientas esenciales de esta disciplina. Ellos nos ayudan a entender por qué algunos procesos en la naturaleza no ocurren al revés. Estos conceptos también nos ayudarán a dar nuestros primeros pasos hacia la comprensión de los agujeros negros. 6. Autoorganización. El último enfoque global de movimiento, la auto-organización, involucra a todos los puntos de vista antes mencionados al mismo tiempo. Dicho enfoque se necesita para entender la experiencia cotidiana y la vida misma. ¿Por qué una flor forma un número específico de pétalos, como se muestra en la Figura 157? ¿Cómo se diferencia un embrión en el seno materno? ¿Qué hace que nuestros corazones latan? ¿Cómo surgen las cordilleras montañosas y los patrones de nubes? ¿Cómo evolucionan las estrellas y las galaxias? ¿Cómo forma el viento las olas del mar? Todos estos son ejemplos de procesos de auto-organización; los biólogos simplemente hablan de procesos de crecimiento. Como quiera que los llamemos, todos estos procesos se caracterizan por la aparición espontánea de patrones, formas y ciclos. Tales procesos son un tema común de investigación en muchas disciplinas, como la biología, la química, la medicina, la geología y la ingeniería. Ahora vamos a dar una corta introducción a estos seis enfoques globales para el movimiento. Vamos a comenzar con el primer enfoque, es decir, la descripción global de movimiento de cuerpos, asimilados a puntos, utilizando un principio variacional. Este hermoso método para describir, comprender y prever el movimiento fue el resultado de varios siglos de esfuerzo colectivo, y es el punto culminante de la dinámica de partículas. Los principios variacionales también proporcionan la base para todos los otros enfoques globales que acabamos de mencionar y para todas los otras descripciones del movimiento que exploraremos después. 167 Capítulo 8 MEDIDA DEL CAMBIO CON LA ACCIÓN E l movimiento puede ser descrito mediante números. Tome una partícula que se mueve. La expresión (x (t), y (t), z (t)) describe cómo, durante su movimiento, la posición cambia con el tiempo. Esta descripción se completa diciendo cómo cambia su velocidad (v x (t), vy (t), vz (t)) con el tiempo. El darse cuenta de que estas dos expresiones se pueden utilizar para describir la trayectoria y el comportamiento de una partícula en movimiento fue un hito en el desarrollo de la física y la matemática moderna. El siguiente hito de la física moderna se logra al responder a una pregunta corta pero difícil. Si el movimiento es un tipo de cambio, como ya dijeron los antiguos griegos, ¿cómo podemos medir la cantidad de cambio? El cambio también puede ser descrito con números. En realidad, el cambio puede ser medido por un solo número. A los físicos les llevó casi dos siglos de intentos desvelar la manera de medir el cambio. Como resultado de la larga investigación, la cantidad que mide el cambio tiene un nombre extraño: Se le llama acción (física) ** Para recordar la relación de la "acción" con el cambio, sólo piense en una película de Hollywood: cuando hay mucha acción significa que hay una gran cantidad de cambios. La introducción de la acción física como una medida de cambio es importante, ya que proporciona la primera y más útil descripción global de movimiento. De hecho, ahora estamos listos para definir la acción. Imagine que toma dos fotos instantáneas de un sistema en diferentes momentos. ¿Cómo puedes definir la cantidad de cambio que se produjo entre ambos momentos? ¿Cuándo cambian mucho las cosas, y cuándo cambian sólo un poco? En primer lugar, un sistema con muchas partes móviles muestra una gran cantidad de cambios. Así que parece lógico que la acción de un sistema compuesto de subsistemas independientes debe ser la suma de las acciones de estos subsistemas. En segundo lugar, los sistemas con alta energía, tales como las explosiones que se muestran en la Figura 159, muestran un cambio más grande que los sistemas a baja velocidad. De hecho, hemos introducido la energía como la cantidad que mide cuánto cambia un sistema con el tiempo. En tercer lugar, el cambio, a menudo - pero no siempre - se acumula con el tiempo; en otros casos, el cambio reciente puede compensar el cambio anterior, como en un péndulo. El cambio puede por lo tanto aumentar o disminuir con el tiempo. Por último, para un sistema en el que el movimiento se almacena, se transforma o se transfiere de un subsistema a otro, especialmente cuando se almacena la energía cinética o cambia a energía potencial, el cambio es menor que para un sistema en el que todos los sistemas se mueven libremente. FIGURA 158 Giuseppe Lagrangia/Joseph Lagrange (1736–1813). * Tenga en cuenta que esta "acción" no es lo mismo que la "acción" que aparecen en formaciones como «toda acción tiene una reacción igual y opuesta". Este último uso, acuñado por Newton para ciertas fuerzas, no se ha mantenido; por lo tanto, el término ha sido reciclado. Después de Newton, el término "acción" fue utilizado por primera vez con un sentido intermedio, antes de que finalmente se le diera el significado moderno usado aquí. Este significado moderno es el único sentido utilizado en este texto. Otro término que se ha reciclado es el “principio de mínima acción”. En los viejos textos solía tener un significado diferente del que tiene en este capítulo. Hoy en día, se refiere a lo que solía ser llamado el principio de Hamilton en el mundo anglosajón, a pesar de que (en su mayoría) es debido a otros, especialmente Leibniz. Los antiguos nombres y significados están cayendo en desuso y no se mantendrán aquí. Detrás de estos cambios en la terminología hay una larga historia de dos siglos de un intenso y prolongado intento de describir el movimiento con la llamada extremal o principios variacionales: el objetivo era completar y mejorar la labor iniciada por Leibniz. Estos principios son sólo de interés histórico hoy, porque todos son casos especiales del principio de mínima acción que se describe aquí. 168 Las propiedades mencionadas implican que • la medida natural de cambio es la diferencia media entre la energía cinética y potencial multiplicada por el tiempo transcurrido. Esta cantidad tiene todas las propiedades adecuadas: es la suma de las cantidades correspondientes a todos los subsistemas si éstos son independientes; por lo general, aumenta con el tiempo (a menos que la evolución no compense algo que sucedió antes); y disminuye si el sistema transforma movimiento en energía potencial. Desafío 400 e FIGURA 159 Medidas de cambio de acción física: un ejemplo de proceso con un gran valor de acción (© Christophe Blanc). FIGURA 160 Definición de un cambio total o acción física como una acumulación (adición o integral) de pequeños cambios o acciones en el tiempo. Así, la acción (física), S, que mide el cambio en un sistema, se define como tf tf ti ti S= L̄ · Δ t=T−U ·(t f −t 1)=∫ (T−U )dt=∫ L dt (70) 169 donde T representa la energía cinética, U la energía potencial que ya conocemos, L es la diferencia entre ellas, y la barra superior indica su valor medio en un intervalo de tiempo. La cantidad L se llama lagrangiana o función de Lagrange del sistema,** describe lo que se está agregando en el transcurso del tiempo, cada vez que las cosas cambian. El signo ∫ es una "S" alargada, por "suma", y se pronuncia 'integral de'. En términos intuitivos designa la operación (denominada integración) de sumar los valores de una cantidad que varía en intervalos infinitesimales de tiempo dt . Los tiempos iniciales y finales se escriben debajo y por encima del símbolo de integración, respectivamente. La Figura 160 ilustra la idea: la integral es simplemente el tamaño de la zona oscura debajo de la curva L (t). Desafío 401 e Matemáticamente, la integral de la curva de L (t) se define como tf f ∫ L(t)dt= lim ∑ L(t m) Δ t= L̄ ·(t f −t i) ti Δ t → 0 m=i (71) En otras palabras, la integral es el límite de la suma de las áreas de las tiras rectangulares individuales que aproximan la función, cuando los segmentos de tiempo se hacen cada vez más pequeños. Dado que el signo Σ también significa una suma, y puesto que un Δt infinitesimal se escribe dt, podemos entender la notación utilizada para la integración. La integración es una suma de todas las rebanadas. La notación fue desarrollada por Gottfried Wilhelm Leibniz para subrayar precisamente este punto. Físicamente hablando, la integral del Lagrangiano mide el efecto total que L acumula con el tiempo. De hecho, a la acción se le llama "efecto" en algunos idiomas, como el alemán. El efecto que se acumula es el cambio total en el sistema. En resumen, la acción, o cambio, es la integral de la función de Lagrange en un intervalo de tiempo, dicha función mide el cambio total que se produce en un sistema. La acción física es el cambio total. La unidad de acción, y por lo tanto del cambio, es la unidad de energía (Joule) multiplicada por la unidad de tiempo (el segundo). ⊳ El cambio se mide en Js. Un valor alto de la acción significa un gran cambio. La Tabla 31 muestra algunos valores de acción observados en la naturaleza. Para entender la definición de la acción con más detalle, vamos a comenzar con el caso más simple: un sistema para el cual la energía potencial es cero, tal como una partícula que se mueve libremente. Obviamente, cuanto mayor es la energía cinética es, más cambio hay. Además, si observamos la partícula en dos instantes dados, a mayor distancia entre los dos puntos, mayor cambio. De otra forma, el cambio observado es mayor si la partícula se desplaza más rápidamente, es decir si su energía cinética es mayor. Esto no es sorprendente, más bien parece trivial. A continuación, exploramos el movimiento de una sola partícula desplazándose en un potencial. Por ejemplo, una piedra que cae pierde energía potencial a cambio de una ganancia de energía cinética. Cuanta más energía cinética se gana, mayor es el cambio. Si se lanza la piedra hacia arriba, se pierde energía cinética que se almacena en energía potencial, cuanto más energía potencial se almacena, menos cambio hay. De ahí el signo menos en la definición de L. Si exploramos una partícula que primero se lanza en el aire y luego cae, la curva de L (t) primero está por debajo del eje de abcisas (tiempo), y luego por arriba. Subrayemos que la definición de integración hace que contemos la superficie gris por debajo del eje de tiempo de forma negativa. El cambio puede por lo tanto ser negativo, y se compensa, como habíamos previsto, con un cambio posterior. Para cuantificar el cambio en un sistema formado por varios componentes independientes, simplemente sumamos todas las energías cinética y restamos todas las energías potenciales. Esta técnica nos permite definir acciones para gases, líquidos y materiales sólidos. Aún cuando si los componentes interactúan, siempre obtenemos un resultado razonable. En resumen, la acción es una cantidad aditiva. Así, la acción física mide, con un solo número, el cambio observado en un sistema entre dos instantes de tiempo. La acción física cuantifica el cambio de un proceso físico. Esto es válido para todas las * Lleva el nombre de Giuseppe Lodovico Lagrangia (n. 1736 Torino, d. 1813 de París), más conocido como Joseph Louis Lagrange. Él fue el matemático más importante de su tiempo; comenzó su carrera en Turín, luego trabajó durante 20 años en Berlín, y finalmente durante 26 años en París. Entre otras cosas, trabajó en la teoría de números y la mecánica analítica, donde desarrolló la mayor parte de las herramientas matemáticas utilizadas hoy en día para los cálculos en la mecánica clásica y la gravitación clásica. Él los aplicó con éxito a muchos movimientos observados en el sistema solar. 170 observaciones, es decir, para todos los sistemas y para todos los procesos: una explosión, una caricia o un cambio de color. El cambio se mide en Js. Vamos a descubrir más adelante que describir el cambio con un solo número también es posible en la relatividad y la teoría cuántica. Cualquier cambio, ya sea de transporte, transformación o crecimiento, que ocurra en cualquier sistema de la naturaleza se puede medir con un solo número. TABLA 31 Algunos valores de acción para los cambios y procesos ya sea observados o imaginados. SISTEMA Y PROCESO. VALOR APROXIMADO DE LA ACCIÓN El mínimo cambio medible 1,1 10-34 Js Luz Mínimo ennegrecimiento de una película fotográfica <10-33 Js Flash fotográfico c. 10-17 Js Electricidad Electrón expulsado de un átomo o molécula c. 10-33 Js El flujo de corriente en un rayo c. 104 Js Mecánica y Materiales Separar dos átomos vecinos de hierro c. 10-33 Js Romper una barra de acero c. 101 Js Árbol doblado por el viento de un lado a otro c. 500 Js Hacer desaparecer un conejo blanco por magia "real" c. 100 PJs Ocultar un conejo blanco c. 0.1 Js Choque de coches c. 2 kJs Detener un coche en marcha en un abrir y cerrar de ojos c. 20 kJs Elevarse (levitar) usted mismo durante un minuto a 1m c. 40 kJs Grandes terremotos c. 1 PJs Desaparecer un coche en marcha en un abrir y cerrar de ojos c. 1 ZJs Amanecer c. 0.1 ZJs Química Colisión del átomo en un líquido a temperatura ambiente c. 10-33 Js Oler una molécula c. 10-31 Js Quema de combustible en una explosión en un cilindro del motor de un coche medio Vidrio sostenido frente a vidrio caído c. 104 Js c. 0,8 Js Vida Molécula de aire que golpea el tímpano c. 10-32 Js Fecundación del Óvulo c. 10-20 Js La división celular c. 10-15 Js Aleteo de la mosca de la fruta c 10-10 Js La apertura de la flor en la mañana c. 1 nJs Enrojecer las mejillas c. 10 mJs 171 máximo cambio cerebral en un minuto c. 5 Js Persona que camina una longitud del cuerpo c. 102 Js Nacimiento c. 2 kJs Cambio debido a una vida humana c. 1 EJs Los núcleos y las estrellas Una única reacción de fusión nuclear en una estrella c. 10-15 Js Estallido de rayos gamma en una gran explosión c. 1046 Js Universo después de que haya transcurrido un segundo indefinido e indefinible EL PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN El optimista piensa que éste es el mejor de los mundos posibles y el pesimista es consciente de eso. Robert Oppenhimer Ahora tenemos una medida precisa del cambio que, como acabamos de ver, permite una descripción simple, global y de gran alcance del movimiento. En la naturaleza, el cambio que ocurre entre dos instantes es siempre el más pequeño posible. La naturaleza minimiza la acción.** De todos los movimientos posibles, la naturaleza siempre elige aquel para el cual el cambio es mínimo. Estudiemos algunos ejemplos. En el caso elemental de una partícula libre, cuando no hay potenciales involucrados, el principio de la mínima acción implica que la partícula se mueve en línea recta con velocidad constante. Todos los demás caminos conducirían a acciones más grandes. Desafío 402 e ¿Puede verificar esto? Cuando la gravedad está presente, una piedra lanzada vuela a lo largo de una parábola (o más precisamente, a lo largo de una elipse), ya que cualquier otra ruta, por ejemplo, una en el que la piedra realice un bucle en el aire, implicaría una acción más grande. Desafío 403 e Nuevamente es posible que desee comprobar esto por sí mismo. FIGURA 161 El mínimo de una curva tiene una pendiente nula. Todas las observaciones apoyan esta afirmación simple y básica: las cosas siempre se mueven de una manera que produce el menor valor posible para la acción. Esta afirmación se aplica a la ruta completa y para cualquiera de sus segmentos. Bertrand Russell la llamó la "ley de la pereza cósmica '. Es costumbre expresar la idea de un cambio mínimo de una manera diferente. La acción fluctúa cuando la trayectoria varía. La trayectoria real es el que tiene la más pequeña acción. Usted recordará de la escuela que, en un mínimo la derivada de una cantidad se anula: un mínimo tiene una pendiente horizontal. En el presente caso, no variamos una cantidad sino una trayectoria completa; por lo tanto, no hablamos de una derivada o pendiente, sino de una variación. Es costumbre escribir la variación de la acción como δS. El principio de mínima acción por lo tanto afirma: • La trayectoria real entre puntos extremos especificados satisface la relación δS = 0. (72) Los matemáticos llaman a esto un principio variacional. Tenga en cuenta que los puntos extremos se tienen que especificar: tenemos que comparar los movimientos con las mismas situaciones inicial y final. Antes de discutir el principio más lejos, podemos comprobar que es equivalente a la ecuación de evolución. ** Para ello, podemos utilizar un procedimiento estándar, que forma parte del llamado cálculo de variaciones. La condición δS = 0 implica que la acción, es decir, el área bajo la curva de la figura 160, es un **De hecho, en algunas situaciones macroscópicas la acción puede ser un punto de silla, de modo que la forma cursi del principio es que la acción es "estacionaria". En contraste con lo que se oye a menudo, la acción nunca es un máximo. Por otro lado, para movimientos en pequeñas escalas (infinitesimales), la acción es siempre un mínimo. La condición matemática de anulación de la variación, se indican a continuación, incluye todos estos detalles. * 172 mínimo. Desafío 405 ny Con un poco de reflexión se ve que si la función de Lagrange es de la forma L (x n, v n) = T (v n) - U (x), entonces se alcanza el área mínima cuando d ∂T ∂U ( )= dt ∂ v n ∂ x n (75) donde n cuenta todas las coordenadas de todas las partículas. Desafío 406 e Para una sola partícula, las ecuaciones de Lagrange de estos movimientos se reducen a ma = −∇U. Esta es la ecuación de evolución*: se dice que la fuerza que actúa sobre una partícula es el gradiente del potencial energético U. El principio de mínima acción engendra por tanto la ecuación de movimiento. (Desafío 407 s ¿puede mostrar que también es correcto lo contrario?) En otras palabras, todos los sistemas evolucionan de tal manera que el cambio o acción es tan pequeño como sea posible. La naturaleza es parsimoniosa. La naturaleza es así lo opuesto de un thriller de *Para los interesados, aquí están algunos comentarios sobre la equivalencia de Lagrangianos y ecuaciones de evolución. En primer lugar, los Lagrangianos no existen para sistemas no conservativos, o disipativos. Vimos que no hay ningún potencial para cualquier movimiento que implique fricción (y más de una dimensión); por lo tanto, no hay ninguna acción en estos casos. Un enfoque para superar esta limitación es el uso de una formulación generalizada del principio de acción mínima. Siempre que hay ausencia de * potencial, podemos expresar la variación del trabajo Delta W entre diferentes trayectorias xi como δ W =∑ mi ẍ i δ x i (73) i El movimiento se describe a continuación, de la siguiente manera: • La trayectoria real satisface la relación tf ∫ (δ T +δ W )dt=0 con tal que δ x (t i )=δ x (t f )=0 (74) ti La cantidad que se integra no tiene nombre; representa una noción generalizada de cambio. Desafío 404 ny Es posible que desee comprobar que conduce a las ecuaciones de evolución correctas. Así, aunque sólo existen descripciones lagrangianas apropiadas para los sistemas conservativos, para sistemas disipativos el principio se puede generalizar y sigue siendo útil. Muchos físicos prefieren otro enfoque. Lo que un matemático llama una generalización es un caso especial de un físico: el principio oculta el hecho de que toda fricción resulta del principio habitual de acción mínima, si se incluyen los detalles microscópicos completos. No hay fricción en el dominio microscópico. La fricción es un concepto macroscópico aproximado. Sin embargo, los puntos de vista matemáticos suplementarios son útiles. Por ejemplo, conducen a limitaciones interesantes en el uso de Lagrangianos. Estas limitaciones, que se aplican sólo si el mundo se ve como puramente clásico que no lo es - fueron descubiertos hace unos cien años. En aquellos tiempos, las computadoras no estaban disponibles, y la exploración de nuevas técnicas de cálculo era importante. He aquí un resumen. Las coordenadas utilizadas en relación con Lagrangianos no son necesariamente los cartesianas. Las Coordenadas generalizadas son especialmente útiles cuando hay restricciones en el movimiento. Este es el caso de un péndulo, donde la masa siempre tiene que estar a la misma distancia de la suspensión, o para un patinador sobre hielo, donde el patín tiene que moverse en la dirección en la que está apuntando. Las Coordenadas generalizadas pueden incluso ser mezclas de posiciones y cantidades de movimiento. Ellas se pueden dividir en unos pocos tipos generales. Las Coordenadas generalizadas se llaman holonómico-escleronomicas si están relacionadas con las coordenadas cartesianas de una manera fija, independientemente del tiempo: los sistemas físicos descritos por dichas coordenadas incluyen el péndulo y una partícula en un potencial. Las coordenadas se denominan holonómico-reonómicas si la dependencia implica al tiempo. Un ejemplo de un sistema reonómico sería un péndulo cuya longitud depende del tiempo. Los dos términos reonómico y escleronómico se deben a Ludwig Boltzmann. Estos dos casos, que se refieren a los sistemas que sólo se describen por su geometría, se agrupan en sistemas holonómicos. El término se debe a Heinrich Hertz. La situación más general se llama anholonómica o no holonómica. Los Lagrangianos funcionan bien sólo para sistemas holonómicos. Por desgracia, el significado del término "no holonómica” ha cambiado. Hoy en día, el término también se utiliza para ciertos sistemas reonómicos. El uso moderno llama no holonómico cualquier sistema que implique velocidades. Por lo tanto, un patinador de hielo o un disco de rodadura a menudo se llama un sistema no holonómico. Hay que tener cuidado al decidir qué se entiende por no holonómica en cualquier contexto particular. A pesar de que el uso de Lagrangianos, y de la acción, tiene sus limitaciones, estos no necesitan molestarnos a nivel microscópico, ya que los sistemas microscópicos son siempre conservadores, holonómicos y escleronómicos. A nivel fundamental, las ecuaciones de evolución y los Lagrangianos son realmente equivalentes. *La forma más general de lagrangianas L(qn, qn, t), utilizando coordenadas generalizadas holonómicos q n, conduce a las ecuaciones de Lagrange de la forma Para deducir estas ecuaciones, también necesitamos la relación δ q' = d / dt (δq). Esta relación sólo es válida para las coordenadas holonómicos introducidas en la nota anterior y explica su importancia. 173 Hollywood, en el que se maximiza la acción; la naturaleza es más como un viejo sabio que reduce sus acciones al mínimo. El principio de acción mínima afirma que la trayectoria real es aquella para la cual el promedio de la función de Lagrange sobre toda la trayectoria es mínima (véase la Figura 160). La naturaleza es un Dr. Dolittle. Desafío 408 ny ¿Puede verificar esto? Este punto de vista permite deducir las ecuaciones de Lagrange (75) directamente. El principio de mínima acción distingue la trayectoria real del resto de otras imaginables. Esta observación condujo a Leibniz a su famosa interpretación de que el mundo real es el “mejor de los mundos posibles”. * Podemos descartar esto como especulación metafísica, pero aun así debemos ser capaces de sentir la fascinación de la cuestión. Leibniz estaba tan entusiasmado con el principio de mínima acción porque era la primera vez que las observaciones reales se distinguen de todas las demás posibilidades imaginables. Por primera vez, la búsqueda de razones por qué las cosas son de la manera que son se convirtió en una parte de la investigación física. ¿Puede el mundo ser diferente de lo que es? En el principio de mínima acción, tenemos un indicio de una respuesta negativa. (Desafío 409 s ¿Qué piensa usted?) La respuesta final surgirá sólo en la última parte de nuestra aventura. LAGRANGIANOS Y MOVIMIENTO Nunca confunda el movimiento con la acción. Ernest Hemingway Los sistemas evolucionan para minimizar el cambio. El cambio, o la acción, es la integral de tiempo de la función de Lagrange. Como una manera de describir el movimiento, la función de Lagrange tiene varias ventajas sobre la ecuación de evolución. En primer lugar, la función de Lagrange es, por lo general, más concisa que escribir las ecuaciones de evolución correspondientes. Por ejemplo, sólo se necesita una lagrangiana para un sistema que, sin embargo, incluye muchas partículas. Uno comete menos errores, especialmente errores de signos, al tiempo que aprende a realizar los cálculos más rápidamente. Desafío 410 ny Trate simplemente de escribir las ecuaciones de evolución para una cadena de masas conectadas por muelles; a continuación, compare el esfuerzo con una derivación utilizando una lagrangiana. (El sistema se estudia a menudo porque se comporta como una cadena de átomos.) Nos encontraremos pronto con otro ejemplo: a David Hilbert le llevó sólo unas pocas semanas deducir las ecuaciones de movimiento de la relatividad general utilizando unas lagrangianas, mientras que Albert Einstein había trabajado durante diez años buscándolas directamente. Además, la descripción con ayuda de una lagrangiana es válida con cualquier conjunto de coordenadas que describan los objetos de investigación. Las coordenadas no tienen que ser cartesianas; pueden ser elegidas como se prefiera: cilíndricas, esféricas, hiperbólicas, etc. Estas llamadas coordenadas generalizadas permiten a uno calcular rápidamente el comportamiento de muchos sistemas mecánicos que en la práctica son demasiado complicados para ser descritos con coordenadas cartesianas. Por ejemplo, para programar el movimiento de los brazos de robot, los ángulos de las articulaciones proporcionan una descripción más clara que las coordenadas cartesianas de los extremos de los brazos. Los ángulos son coordenadas no cartesianas. Simplifican los cálculos considerablemente: la tarea de encontrar la manera más económica de mover la mano de un robot de un punto a otro se puede resolver mucho más fácilmente con las variables angulares. Más importante aún, la función de Lagrange permite deducir rápidamente las propiedades esenciales de un sistema, a saber, sus simetrías y sus cantidades conservadas. Vamos a desarrollar esta importante idea en breve, y lo utilizaremos con regularidad durante todo nuestro paseo. Finalmente, la formulación de Lagrange puede generalizarse para abarcar todos los tipos de interacciones. Dado que los conceptos de energía cinética y potencial son generales, el principio de mínima acción puede ser utilizado en la electricidad, el magnetismo y la óptica, tan bien como en mecánica. El principio de También hay que señalar que la función de Lagrange para un sistema en movimiento no es único; Sin embargo, el estudio de cómo se relacionan los distintos Lagrangianos para un sistema en movimiento dado no es parte de este paseo. Por cierto, la letra q para la posición y p para el momento fueron introducidos en la física por el matemático Carl Jacobi (n. 1804 Potsdam, d. 1851 Berlin). * Esta idea fue ridiculizada por el filósofo Francés Voltaire (1694–1778) en sus brillantes escritos, particularmente en el espléndido libro Cándido, escrito en 1759, y todavía ampliamente disponible. 174 mínima acción es fundamental en la relatividad general y en la teoría cuántica, y permite que uno relacione fácilmente ambos campos con la mecánica clásica. TABLA 32 Algunos Lagrangianos SISTEMA LAGRANGIANO MAGNITUDES 2 Masa puntual libre, no relativista L = ½ m·v Partícula en un potencial L = ½ m·v2 - m·φ(x) Masa en un muelle 2 L = ½ m·v - ½ k·x Masa: m, velocidad: v = dx/dt 2 Potencial gravitacional, φ Elongación: x, constante del muelle: k Masa en una mesa sin fricción unida a un muelle L = ½ m·v2 - ½ k·(x2 + y2) Constante del muelle: k, coordenadas x, y Cadena de masas y muelles (modelo simple de átomos en un cristal lineal) L = ½ m·v2 - ½ mω2·Σ(xi - xj)2 Coordenadas: xi , xj; frecuencia de la red cristalina: ω L = - m·c2 (1-v2/c2)1/2 Masa: m, velocidad: v, velocidad de la luz: c Masa puntual libre, relativista A medida que el conocimiento del principio de mínima acción se iba extendiendo, la gente lo aplicaba a un número cada vez mayor de problemas. Hoy en día, las Lagrangianas se utilizan en todo, desde el estudio de las colisiones de partículas elementales a la programación del movimiento de robots en la inteligencia artificial. (La Tabla 32 muestra algunos ejemplos.) Sin embargo, no debemos olvidar que a pesar de su notable simplicidad y utilidad, la formulación de Lagrange es equivalente a las ecuaciones de evolución. No es ni más general ni más específica. En particular, no es una explicación para cualquier tipo de movimiento, sino sólo una visión diferente, una imagen de él. En realidad, la búsqueda de una nueva "ley" física de movimiento es sólo la búsqueda de una nueva función de Lagrange. Esto tiene sentido, ya que la descripción de la naturaleza siempre requiere de la descripción del cambio. El cambio en la naturaleza siempre es descrito por Acciones y Lagrangianas. Desafío 411 s. El principio de mínima acción establece que la acción es mínima cuando los puntos extremos del movimiento, y en particular el tiempo transcurrido entre ellos, son fijos. Es menos conocido que el principio recíproco también es válido: si el valor de la acción - el valor de cambio - se mantiene fijo, el tiempo transcurrido para el movimiento real es máximo. Desafío 412 ny. ¿Puede demostrar esto? A pesar de que el principio de mínima acción no es una explicación del movimiento, el principio requiere de alguna de estas explicaciones. Necesitamos un poco de paciencia, sin embargo. Por qué la naturaleza sigue el principio de mínima acción, y cómo lo hace, se pondrá de manifiesto cuando exploremos la teoría cuántica. ¿POR QUÉ EL MOVIMIENTO ESTÁ LIMITADO TAN A MENUDO? Mirando a nuestro alrededor en la Tierra o en el cielo, nos encontramos con que la materia no se distribuye de manera uniforme. La materia es atraída por otra materia: se agrupa en agregados. Algunos ejemplos importantes de agregados se enumeran en la Figura 162 y la Tabla 33. Todos los agregados tienen masa y tamaño. En el diagrama de la masa y tamaño de la Figura 162, ambas escalas son logarítmicas. Se observan tres rectas: una línea m ~ l que se extienden desde la masa de Planck ** hacia arriba hasta el universo mismo, vía agujeros negros; una línea m ~ 1 / l que se extiende desde la masa de Planck hacia abajo, hasta el más ligero agregado posible; y la línea clásica de la materia con m ~ l 3, que se extiende hacia arriba , a través de objetos de uso cotidiano, desde los átomos pasando por la Tierra y el Sol. **La masa de Planck está dada por mPl = (hc / G) ½ = 21.767 (16) microgramos. ** La Figura 162 sugiere que existen dominios más allá de la física; vamos a descubrir más tarde que este no es el caso, en que la masa y el tamaño no son definibles en esos dominios. 175 En la primera de las líneas, el límite del agujero negro, se explica por la relatividad general; en los dos últimas, el límite de los agregados y la línea clásica de la materia, por la teoría cuántica.** FIGURA 161b El movimiento en el Universo está limitado Los agregados situados fuera de la línea de la materia común también muestran que cuanto más fuerte es la interacción que mantiene juntos los componentes, más pequeño es el agregado. Pero ¿por qué la materia se encuentra principalmente en grumos? En primer lugar, los agregados se forman debido a la existencia de interacciones atractivas entre los objetos. En segundo lugar, se forman debido a la fricción: cuando se acercan dos componentes, sólo se puede formar un agregado si la energía liberada se puede cambiar en calor. En tercer lugar, los agregados tienen un tamaño finito debido a los efectos de repulsión que impiden que los componentes colapsen por completo. Juntos, estos tres factores garantizan que el movimiento limitado es mucho más común que el no limitado, el movimiento "libre", sin límite. Sólo existen tres tipos de atracción principal que llevan a los agregados: gravedad, atracción de cargas eléctricas, e interacción nuclear fuerte. De manera similar, sólo se observan tres tipos de repulsión: la rotación, la presión, y el principio de exclusión de Pauli (que nos volveremos a encontrar más adelante). De las nueve combinaciones posibles de atracción y repulsión, no todas aparecen en la naturaleza. Desafío 413 s. ¿Puede decir cuáles faltan en la Figura 162 y la Tabla 33, y por qué? FIGURA 162 Partículas y agregados elementales que se encuentran en la naturaleza. 176 Juntas, la atracción, la fricción y la repulsión implican que el cambio y la acción se reducen al mínimo cuando los objetos se encuentran y después permanecen juntos. El principio de mínima acción engendra por tanto la estabilidad de los agregados. Por cierto, la historia de su formación también explica por qué tantos agregados giran. Desafío 414 ny. ¿Puede decir por qué? Pero, ¿por qué existe la fricción? Y ¿por qué existen interacciones atractivas y repulsivas? Y ¿por qué como se desprende de lo anterior - en algún lejano pasado la materia no se encontraba en agregados? Con el fin de responder a estas preguntas, primero debemos estudiar otra propiedad global del movimiento: la simetría. TABLA 33 Algunos de los mayores agregados observados en la naturaleza AGREGADOS TAMAÑO (DIÁMETRO) NÚM. OBSERVADO CONSTITUYENTES Agregados ligados gravitacionalmente La materia a través de universo c. 100 Ym 1 superclusters de galaxias, hidrógeno y átomos de helio Quásar 1012 to 1014 m 20 ⋅ 106 bariones y leptones Supercluster de galaxias c.3Ym 107 grupos de galaxias y clusters 9 cluster de galaxias c. 60 Zm Grupo de galaxias o cluster c. 240 Zm Nuestro grupo local 50 Zm 1 Galaxia ordinaria 0.5 to 2Zm 3.5 ⋅ 1012 1010 hasta 3⋅1011 estrellas, polvo y nubes de gas, probablemente sistemas solares Nuestra galaxia 1.0(0.1)Zm 1 1011 estrellas, polvo y nubes de gas, sistemas solares Nubes interestelares hasta15Em ≫ 105 Hidrógeno, hielo y polvo desconocido > 400 Estrellas, planetas Nuestro sistema solar 30 Pm 1 Nube de Oort 6 to 30 Pm 1 Cinturón de Kuiper 60 Tm 1 Sistemas solares Estrella a b 10km to 100Gm 25⋅10 10 to 50 galaxies 50 to over 2000 galaxias c. 40 galaxias Sol, planetas (diámetro de la órbita de Plutón: 11.8 Tm), planetas enanos, lunas, planetoides, cometas, asteroides, polvo, gas. cometas, polvo planetoides, cometas, polvo 22±1 10 gas ionizado: protones, neutrones, electrones, neutrinos, fotones 8+ >400 sólidos, líquidos, gases; en particular, átomos pesados Nuestra estrella, el Sol 1.39Gm Planeta a (Jupiter, Tierra...) 143Mm, 12.8Mm Planetoides (Varuna, etc) 50 to 1 000km Lunas 10 to 1 000km > 50 Sólidos Estrellas de neutrones 10km > 1000 principalmente neutrones > 100 (est. 109) Sólidos 177 Agregados ligados electromagnéticamente c Planetas enanos, planetas menores, asteroides d Cometas 1m to 2400km > 106 (109 estimado) sólidos, generalmente monolíticos 10 cm to 50km > 109 (1012 posible) hielo y polvo 1nmto > 100km n.a. moleculas, átomos Animales, plantas, kefir 5 μm to 1 km 1026±2 órganos, células cerebro humano 0.2m 1010 neuronas y otros tipos de células 1031±1 orgánulos, membranas, moléculas Montañas, sólidos, líquidos, gases, queso Células: La más pequeña (Nanoarchaeum equitans) ameba la más grande (nervio de ballena, plantas unicelulares) c. 400nm moléculas c. 600 μm moléculas c. 30m moléculas Moléculas: H2 DNA (humano) Átomos, iones c. 50 pm 2m (total por célula) 30 pm to 300 pm 1078±2 Átomos 1072±2 Átomos 21 10 Átomos 1080±2 electrones y núcleo 1079±2 Nucleones Agregados ligados por interacción débil Ninguno Agregados ligados por la interacción fuerte c Núcleos 0.9 to > 7 fm 80±2 Nucleones (protones, neutrones) 0.9 fm 10 Quarks Mesones c. 1 fm n.a. Quarks Estrella de neutrones: ver arriba a. Sólo en 1994 se encontró la primera evidencia de objetos orbitando a estrellas distintas de nuestro Sol; más de 400 planetas extrasolares se han encontrado hasta el momento, la mayoría se encuentran en torno a estrellas del tipo F, G y K, incluyendo las estrellas de neutrones (las letras designan el tipo espectral del astro. Es la clasificación de Harvard que atribuye un tipo espectral a una estrella, se corresponde globalmente con una escala de temperatura. Por ejemplo, tres objetos giran alrededor del pulsar PSR 1257 +12, y un anillo de materia círcunda la estrella β Pictoris. Los objetos parecen ser estrellas oscuras, enanas marrones o grandes planetas gaseosos como Júpiter. Debido a las limitaciones de los sistemas de observación, ninguno de los sistemas encontrados hasta el momento forman sistemas solares del tipo en que vivimos De hecho, sólo unos pocos planetas similares a la Tierra se han encontrado hasta ahora. b.El Sol se encuentra entre el 7% de las estrellas más brillantes . De todas las estrellas, el 80%, son enanas rojas de clase M, 8% son enanas naranjas de clase K, y el 5% son enanas blancas de clase D: todas éstas son pálidas. Casi todas las estrellas visibles en el cielo nocturno pertenecen al restante 7% brillante . Algunas de estas son de la rara clase O azul o de clase B azul (como Spica, Regulus y Rigel); 0,7% consisten en la luminosa, blanca clase A (como Sirio, Vega y Altair); 2% son de la clase F -amarillo blanco (como Canopus, Procyon y Polaris); 3,5% son de la clase G amarilla (como Alpha Centauri, Capella o el Sol). Las excepciones incluyen las pocas gigantes K visibles, como Arcturus y Aldebarán y las supergigantes raras M, como Betelgeuse y Antares. Más sobre estrellas se vará más adelante. c. Para más detalles sobre los agregados microscópicos, consulte la tabla de materiales compuestos. d. Se estima que hay hasta 1.020 pequeños cuerpos del sistema solar (asteroides, planetoides, planetas menores, meteoroides) que tengan más 100 kg en el sistema solar. Por cierto, no se han encontrado hasta el momento asteroides entre Mercurio y el Sol - los hipotéticos Vulcanoides -. 178 CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS RETOS SOBRE LAGRANGIANOS El principio de mínima acción como una descripción matemática se debe a Leibniz. Fue posteriormente redescubierta y bautizada por Maupertuis (1698-1759), quien escribió: • Lorsqu'il arrive quelque changement dans la Naturaleza, la quantité d'action nécessaire pour ce changement est la plus petite qu'il soit posible.** Sin embargo, Samuel König la primera persona en establecer claramente, y con razón, que el principio se debió a Leibniz fue expulsada de la Academia Prusiana de Ciencias por afirmar esto, debido a una intriga de Maupertuis, quien era su presidente en ese momento. La intriga también logró que el extraño término 'acción' se mantuviera. A pesar de esta historia vergonzosa, el principio rápidamente tuvo éxito, y fue utilizado y difundido por Euler, Lagrange y por fin por Hamilton. ∗∗ La idea básica del principio de mínima acción, la naturaleza es tan perezosa como sea posible, también se llama parsimoniae lex. Esta idea general fue expresada ya por Ptolomeo, y más tarde por Fermat, Malebranche, y 's Gravesande. Leibniz luego fue el primero en comprender su validez y utilidad matemática para la descripción de todos los movimientos. " Cuando Lagrange publicó su libro Mécanique analytique, en 1788, estableció uno de los puntos más altos en historia de la mecánica. Estaba orgulloso de haber escrito una exposición sistemática de la mecánica y sin un solo dibujo. Obviamente, el libro era difícil de leer y no fue un éxito de ventas. Sin embargo sus métodos se generalizaron en el transcurso de una generación. ∗∗ Partiendo del principio que la acción es la cantidad básica que describe el movimiento, podemos definir la energía como la acción por unidad de tiempo, y la cantidad de movimiento como la acción por unidad de distancia. La energía de un sistema de este modo describe cuánto cambia con el tiempo, y la cantidad de movimiento cuánto cambia con la distancia. Desafío 415 s ¿Qué representan entonces el momento angular y la energía de rotación? ∗∗ "En la naturaleza, la telequinesis o la oración no tienen ningún efecto posible, ya que en la mayoría de los casos, el cambio en el interior del cerebro es mucho menor que el cambio solicitado en el mundo exterior." Desafío 416 s ¿Es este argumento correcto? ∗∗ En la física galileana, la función de Lagrange es la diferencia entre la energía cinética y potencial. Más tarde, esta definición se puede generalizar de una manera que agudiza nuestra comprensión de esta distinción: la función de Lagrange se convierte en la diferencia entre un término para partículas libres y un término debido a sus interacciones. En otras palabras, el movimiento de las partículas es un compromiso continuo entre lo que la partícula haría si estuviera libre y lo que otras partículas quieren que haga. En este sentido, las partículas se comportan un poco como los seres humanos. ∗∗ Desafío 417 ny. ¿Cómo se mide la acción? ¿Cuál es el mejor dispositivo o método para medir la acción? ∗∗ Desafío 418 s. Explique: ¿por qué es T + U constante, mientras que T - U es mínimo? ∗∗ En la naturaleza, la suma de "T + U" de la energía cinética y potencial es constante durante el movimiento (para los sistemas cerrados), mientras que la acción es mínima. Desafío 419 s. ¿Es posible deducir, mediante la combinación de estos dos hechos, que los sistemas tienden a un estado de energía potencial mínima? ∗∗ Otro principio de minimización se puede utilizar para comprender la construcción de cuerpos de animales, especialmente de su tamaño y las proporciones de sus estructuras internas. Por ejemplo, el pulso del corazón * Cuando algún cambio sucede en la naturaleza, la cantidad de acción necesaria para este cambio es la más pequeña que sea posible. 179 y la frecuencia de respiración varían con la masa m de animales como m-1/4, y la potencia disipada varía como m3 / 4. Resulta que esos exponentes son el resultado de tres propiedades de los seres vivos. En primer lugar, el transporte de energía y materia a través del organismo a través de una red ramificada de vasos: unos pocos grandes, y otros cada vez muchos más pequeños. En segundo lugar, los vasos todos tienen el mismo tamaño mínimo. Y en tercer lugar, las redes se han optimizado para reducir al mínimo la energía necesaria para el transporte. En conjunto, estas relaciones explican muchas reglas de escala adicionales; que también podría explicar por qué la vida útil de los animales es proporcional a m-1/4, o por qué la mayoría de los mamíferos tienen más o menos el mismo número de latidos del corazón en una vida. Una explicación alternativa, utilizando un principio de minimización diferente, indica que la cuarta potencia surge en cualquier red construida con el fin de que el flujo llegue a su destino por la ruta más directa. ** Existe un principio de mínimo esfuerzo que describe el crecimiento de los árboles. Cuando un árbol – una phanérophyte monopodial** – crece y produce hojas, entre un 40 y un 60 % de la masa que lo constituye, a saber, agua y minerales debe ser desplazada desde el suelo hasta lo alto **. En consecuencia un árbol obtiene el mayor número posible de ramas colocadas en lo más alto consumiendo la menor cantidad posible de energía. Esta es la razón por la que no todas las hojas se sitúan en lo más alto de la copa de un árbol. Desafío ¿Puede deducir otras conclusiones sobre los árboles a partir de este principio? ** El principio de minimización para el movimiento de la luz es aún más elegante: la luz siempre toma el camino que requiere menor tiempo de viaje. Se sabe desde hace mucho tiempo que esta idea describe exactamente cómo cambia de dirección de luz cuando pasa del aire al agua. En el agua, la luz se mueve más lentamente; la razón entre la velocidad en el aire y en el agua se denomina índice de refracción del agua. El índice de refracción, normalmente denotado n, es dependiente del material atravesado. El valor para el agua es aproximadamente 1,3. Esta relación de velocidades, junto con el principio de tiempo mínimo, conduce a la "ley" de refracción, una simple relación entre los senos de los dos ángulos. Desafío 420 s. ¿Puede deducirla? Para el diamante, el índice de refracción es 2,4. Este valor elevado representa una explicación posible del brillo de los diamantes cuando son tallados con 57 faces resplandecientes. ¿Puede imaginar algunas otras razones? FIGURA 163 La refracción de la luz se debe a la optimización de los tiempos de viaje. ∗∗ Desafío 421 s ¿Puede confirmar que todos los principios de minimización mencionados – tal como el crecimiento de los árboles, como las redes dentro de los animales o el movimiento de la luz - son casos especiales del principio de mínima acción? Verdaderamente, este es el caso para todos los principios de minimización conocidos en la naturaleza. Cada uno de ellos, como el principio de mínima acción, es un principio de cambio mínimo. ∗∗ En la física galileana, el valor de la acción depende de la velocidad del observador, pero no de su posición u orientación. Pero la acción, cuando se define correctamente, no debe depender del observador. Todos los observadores deben ponerse de acuerdo sobre el valor del cambio observado. Sólo la relatividad especial cumplirá el requisito de que la acción sea independiente de la velocidad del observador. Desafío 422 s. ¿Cómo se define la acción relativista? ∗∗ ** Phanérophyte : vegetal perenne cuyos brotes están situados a más de 50 cm del suelo durante el reposo vegetativo (árboles, arbustos). Monopodial: cuyo crecimiento se produce principalmente a partir de brotes terminales (la planta está poco ramificada) ** El resto de la masa procede del CO2 del aire 180 ¿Cuál es la cantidad de cambio acumulado en el universo desde el big bang? Medir todo el cambio que está ocurriendo en el universo presupone que el universo es un sistema físico. Desafío 423 s ¿Es realmente este el caso? ∗∗ Un movimiento para el cual la acción está particularmente bien minimizada en la naturaleza nos es muy querido: caminar. Amplios esfuerzos de investigación tratan de diseñar robots que reproduzcan la optimización de energía del funcionamiento y control de las piernas humanas. Para ver un ejemplo, consulte la página web por Tao Geng en cswww.essex.ac.uk/tgeng/research.html. ∗∗ Desafío 424 d ¿Puede probar el siguiente reto de la integración? φ ∫ sec 0 φ t dt=ln tan( π + ) 4 2 (78) ∗∗ Desafío 425 s. ¿Cuál es la forma ideal del medio tubo para el skate? ¿Qué significa "ideal" ? ¿Qué requisito conduce a una cicloide? ¿Qué requisito habla en contra de una cicloide? ∗∗ Como se mencionó anteriormente, la muerte de los animales es un proceso físico y se produce cuando un animal ha consumido o metabolizado alrededor 1 GJ / kg. Desafío 426 e. Demostrar que la acción total de un animal es propocional a M5 / 4. RESUMEN SOBRE LA ACCIÓN Los Sistemas se mueven de modo que minimizan el cambio. El cambio, o la acción, es el promedio temporal de la energía cinética menos energía potencial. La aseveración "el movimiento minimiza el cambio" contiene la previsibilidad del movimiento, su continuidad y su simplicidad. Los sistemas se mueven minimizando el cambio. De manera equivalente, los sistemas se mueven al maximizar el tiempo transcurrido entre dos situaciones. Ambas afirmaciones demuestran que la naturaleza es perezosa. En los próximos capítulos se muestra que esta es una afirmación fuerte: la minimización del cambio implica la invariancia respecto del observador-, la conservación, la invariancia por reflexión (especular), la reversibilidad y la relatividad del movimiento cotidiano. 181 Capítulo 9 MOVIMIENTO Y SIMETRÍA Am Anfang war die Symmetrie.* * Werner Heisenberg "En el principio, fue la simetría. ' L a segunda manera de describir el movimiento a nivel global es la de describirlo de tal manera que todos los observadores estén de acuerdo. Un objeto situado bajo la luz de proyectores se califica de simétrico cuando, observado desde diferentes posiciones o por diferentes observadores, presenta el mismo aspecto. También decimos que cada vez que una observación permanece exactamente igual cuando se cambia un observador por otro, esa observación es invariante o absoluta o simétrica. Y cada vez que una observación cambia cuando se cambia un observador por otro, la llamamos relativa. Explorar la relatividad por lo tanto significa explorar la simetría. La simetría es la invariancia después del cambio. El Cambio de observador o punto de vista es uno de tales cambios posibles, como puede ser algún cambio operado en la propia observación. Por ejemplo, una flor de nomeolvides, como la que se muestra en la Figura 164, es simétrica, ya que presenta el mismo aspecto después de girarla sobre sí misma 72 grados; muchas flores de árboles frutales tienen la misma simetría. También se dice que bajo ciertos cambios de punto de vista o de posición, la flor tiene una propiedad invariante, a saber: su forma. Si son posibles muchos de estos cambios de puntos de vista, se habla de una alta simetría, de lo contrario una simetría baja. Por ejemplo, un trébol de cuatro hojas tiene una simetría mayor que uno habitual, de tres hojas. En física, estos puntos de vista a menudo se llaman sistemas o marcos de referencia (o referenciales a secas) y son descritos matemáticamente por sistemas de coordenadas.*. Cuando hablamos de la simetría en las flores, en la vida cotidiana, en la arquitectura o en las artes por lo general significa simetría especular, simetría rotacional o alguna combinación de ambas. Estas son simetrías geométricas. Como todas las simetrías, las simetrías geométricas implica invariancia bajo operaciones de cambio específicas. La lista completa de simetrías geométricas se conoce desde hace mucho tiempo. La Tabla 34 ofrece una visión general de los tipos básicos. La Figura 165 y la Figura 166 dan algunos ejemplos importantes. Simetrías geométricas ulteriores incluyen simetrías de color, donde se intercambian colores y grupos de espín, donde los objetos simétricos no sólo contienen puntos sino también giros con su comportamiento especial bajo rotaciones. También las combinaciones con simetría de escala, tal y como aparecen en los fractales, y las variaciones en los fondos curvos son una extensión de la tabla básica. FIGURA 164 Nomeolvides, también llamada Myosotis (Boraginaceae) (© Markku Savela). * En el principio, fue la simetría. Desafío 426-bis f "¿Está de acuerdo con esa afirmación? Ésta ha llevado a muchos investigadores fuera del camino en la última etapa de nuestra aventura. Probablemente, Heisenberg quería decir que al principio había simplicidad. Sin embargo, hay muchas diferencias conceptuales y matemáticas entre simetría y simplicidad. * De un modo más preciso, en física, un referencial es un sistema de coordenadas del espacio-tiempo, compuesto de tres coordenadas espaciales y una coordenada temporal, utilizada para definir las nociones de posición, de velocidad y de aceleración. 182 Una alta simetría significa que muchos cambios posibles dejan una observación invariante. A primera vista, no hay muchos objetos u observaciones en la naturaleza que parezcan simétricos: después de todo, la simetría geométrica es más la excepción que la regla. Pero esto es una falacia. Por el contrario, se puede deducir que la naturaleza en su conjunto es simétrica dado el simple hecho de que ¡tenemos la capacidad de hablar de eso! (Desafío 427 s) Por otra parte, la simetría de la naturaleza es considerablemente mayor que la de un nomeolvides, o de cualquier otra simetría de la Tabla 34. Una consecuencia de esta alta simetría es, entre otras, la expresión famosa E0 = m·c2. TABLA 34 Clasificación y número de simetrías geométricas simples. DIMENSIÓN TRASLACIONES TIPOS DE REPETICIÓN 0 GRUPOS DE PUNTOS 1 1 fila 2 5 redes 3 14 retículos o celosías 2 1 GRUPOS DE LÍNEAS 2 10 grupos de cristales 7 frisos 32 grupos de cristales 75 bastones 2 GRUPOS DE PLANOS n.a. 17 fondos de papel pintado ¿teselaciones? 80 capas 3 GRUPOS DE ESPACIO n.a. n.a. 230 estructuras cristalinas ¿POR QUÉ PODEMOS PENSAR Y DISCUTIR SOBRE EL MUNDO? La armonía oculta es más fuerte que la manifiesta. Heráclito de Éfeso, alrededor del 500 aC ¿Por qué podemos entender a alguien cuando habla sobre el mundo, a pesar de que no estamos en su pellejo? Podemos, por dos razones: porque la mayoría de las cosas tienen una apariencia similar desde diferentes ángulos, y porque la mayoría de nosotros ya ha tenido experiencias similares con anterioridad. 'Similar' significa que lo que nosotros observamos y lo que los demás observan de alguna manera se corresponde. En otras palabras, muchos aspectos de las observaciones no dependen del punto de vista. Por ejemplo, el número de pétalos de una flor tiene el mismo valor para todos los observadores. Por tanto, podemos decir que esta cantidad tiene la más alta simetría posible. Veremos más adelante que la masa es otro ejemplo parecido. Los Observables con la mayor simetría posible se llaman escalares en física. Otros aspectos cambian de un observador a otro. Por ejemplo, el tamaño aparente varía con la distancia de observación. Sin embargo, el tamaño real es independiente del observador. En términos generales, cualquier tipo de independencia de los puntos de vista es un modelo de simetría, y el hecho de que dos personas observando lo mismo desde diferentes posiciones pueden entenderse entre sí demuestra que la naturaleza es simétrica. Empezaremos a analizar las particularidades de esta simetría en esta sección y proseguiremos durante la mayor parte del resto de nuestra caminata. En el mundo que nos rodea, notamos otra propiedad general: no sólo el mismo fenómeno presenta aspecto similar a diferentes observadores, sino que diferentes fenómenos aparecen como similares para un mismo observador. Por ejemplo, sabemos que si el fuego quema los dedos en la cocina, hará lo mismo en el exterior de la casa, y también en otros lugares y en otros momentos. La Naturaleza muestra reproducibilidad. La Naturaleza no da sorpresas. En realidad, nuestra memoria y nuestro pensamiento sólo son posibles gracias a esta propiedad básica de la naturaleza. Desafío 428 s ¿Puede confirmar esto? Como veremos, la reproducibilidad conduce a fuertes restricciones adicionales acerca de la descripción de la naturaleza. Sin la independencia de puntos de vista y la reproducibilidad, hablar con otros o consigo mismo sería imposible. Más importante aún, vamos a descubrir que la independencia de puntos de vista y la reproducibilidad permiten mucho más que hacer posible el hecho de hablar los unos con los otros: también fijan muchos (pero no todos) de los contenidos de lo que podemos decirnos unos a otros. En otras palabras, 183 vamos a ver que la mayor parte de nuestra descripción de la naturaleza se sigue lógicamente, casi sin opciones, por el simple hecho de que podemos hablar de la naturaleza con nuestros amigos. FIGURA 165 La lista completa de los posibles simetrías de fondos de papel pintado, los llamados grupos del papel pintado, sus nombres habituales, y una manera de distinguirlos (© Dror Bar-Natan). Los 17 patrones de papel pintado (¿teselaciones?) y una manera de identificarlos rápidamente. ¿Es el orden de rotación máximo 1, 2, 3, 4 o 6? ¿Hay un espejo (m)? ¿Existe una reflexión de deslizamiento que no se puede descomponer (g)? ¿Existe un eje de rotación en un espejo? ¿No hay un eje de rotación en un espejo? C Cada patrón se identifica de acuerdo a tres sistemas de notación: 442 Notación de Conway-Thurston. P4 Notación de la Unión Internacional de Cristalografía. S442 Notación de Montesinos, como en su libro “Classical Tesselations and Three Manifoldss 184 FIGURA 166 La lista completa de los posibles simetrías de celdas unidad en los cristales, los grupos de puntos o grupos cristalográficos o clases de cristal (© Jonathan Goss, después de Neil Ashcroft y David Mermin). 185 PUNTOS DE VISTA Toleranz ... ist der Verdacht der andere konnte Recht haben. Kurt Tucholsky (1890–1935), escritor alemán "La tolerancia ... es la sospecha de que el otro podría estar en lo cierto." Toleranz – eine Starke, die man vor allem dem politischen Gegner wunscht.. ** WolframWeidner (b. 1925) Periodosta alemán Tolerancia - una fuerza que se desea sobre todo a los opositores políticos. Cuando un pequeño humano empieza a conocer a otras personas en la infancia, rápidamente descubre que ciertas experiencias son compartidas, mientras que otras, como los sueños, no lo son. Aprender a efectuar esta distinción es una de las aventuras de la vida humana. En estas páginas, nos concentramos en una parte de las experiencias del primer tipo: las observaciones físicas. Sin embargo, incluso entre estas, deberán hacerse distinciones. En la vida cotidiana estamos acostumbrados a asumir que los pesos, los volúmenes, las longitudes y los intervalos de tiempo son independientes del punto de vista del observador. Podemos hablar de estas cantidades observadas a cualquiera, y no hay desacuerdos sobre sus valores, siempre que hayan sido medidos correctamente. No obstante, otras cantidades deben depender del observador. Imagínese hablando con un amigo después de que él haya saltado de uno de los árboles que jalonan nuestro camino, mientras él todavía está cayendo hacia el suelo. Él afirmará que el suelo del bosque se acerca a gran velocidad, mientras que usted sostendrá que el suelo está parado. Obviamente, la diferencia entre ambas afirmaciones se debe a sus diferentes puntos de vista. La velocidad de un objeto (en este ejemplo la del suelo del bosque o la de su amigo mismo) es, por lo tanto, una propiedad menos simétrica que el peso o el tamaño. No todos los observadores están de acuerdo en su valor. En el caso de observaciones dependientes del punto de vista, la comprensión es todavía posible con la ayuda de un poco de esfuerzo: cada observador puede imaginarse observando desde el punto de vista del otro, y verificar si el resultado imaginado está de acuerdo con la afirmación del otro. ** Si tanto la afirmación imaginada como la real del otro observador coinciden, las observaciones son coherentes, y la diferencia en las afirmaciones se debe únicamente a los diferentes puntos de vista; de lo contrario, la diferencia es fundamental, y no pueden ponerse de acuerdo o hablar. Desafío 429 s Con este enfoque, incluso se puede discutir si los sentimientos, juicios o gustos humanos surgen de diferencias fundamentales o no. La distinción entre las cantidades independientes del punto de vista (invariantes) y las que dependen del punto de vista es una distinción primordial. Las cantidades invariantes, tales como la masa o la forma, describen propiedades intrínsecas, y las cantidades en función del observador conforman el estado del sistema. En consecuencia, hay que responder imperativamente a las siguientes preguntas con el fin de encontrar una descripción completa del estado de un sistema físico: - ¿Qué puntos de vista son posibles? - ¿Cómo se transforman las descripciones desde un punto de vista a otro? - ¿Qué observables admiten estas simetrías? - ¿Qué nos dicen estos resultados a propósito del movimiento? Hasta el momento, en la discusión se han estudiado los puntos de vista que difieren en la posición, en la orientación, en el tiempo y, sobre todo, en el movimiento. Con respecto unos a otros, los observadores pueden estar en reposo, moverse con velocidad constante, o acelerar. Estos cambios "concretos" de puntos de vista son los que vamos a estudiar en primer lugar. En este caso, el requisito de la coherencia de las observaciones realizadas por diferentes observadores se llama principio de relatividad. Las simetrías asociadas con este tipo de invariancia también se llaman simetrías externas. Se enumeran en la Tabla 36. Una segunda clase de cambios fundamentales de punto de vista se refiere a cambios «abstractos». Los puntos de vista pueden diferir según la descripción matemática utilizada: este tipo de cambios se llaman cambios de gauge (calibre). Serán introducidos por primera vez en la sección sobre la electrodinámica. Una vez más, se requiere que todas las formulaciones sean coherentes entre diferentes descripciones matemáticas. Esta exigencia de coherencia se llama el principio de invariancia de gauge. Las simetrías asociadas se denominan simetrías internas. *Los seres humanos desarrollan la capacidad de imaginar que otros pueden estar en situaciones diferentes a la suya a la edad de cuatro años. Por lo tanto, antes de la edad de cuatro años, los seres humanos son incapaces de concebir la relatividad especial; posteriormente, pueden hacerlo 186 La tercera clase de cambios, cuya importancia puede no ser evidente a partir de la vida cotidiana, es el comportamiento de un sistema bajo el intercambio de sus partes. La invariancia asociada se llama simetría de permutación. Es una simetría discreta, y la vamos a encontrar que cuando exploremos la teoría cuántica. Los tres requisitos de coherencia descritos anteriormente se denominan "principios", ya que estos enunciados básicos son tan fuertes que determinan casi por completo las "leyes" de la física, como veremos en breve. Más adelante vamos a descubrir que la búsqueda de una descripción completa del estado de los objetos también dará lugar a una descripción completa de sus propiedades intrínsecas. Pero basta de introducción: vayamos al núcleo del asunto. SIMETRÍAS Y GRUPOS Debido a que estamos buscando una descripción exhaustiva del movimiento, es necesario comprender y describir el conjunto completo de simetrías de la naturaleza. Pero, ¿qué es la simetría? Se dice que un sistema es simétrico o que posee una simetría si parece idéntico cuando se observa desde diferentes puntos de vista. También decimos que el sistema posee una invariancia en relación al cambio desde un punto de vista a otro. Las modificaciones del punto de vista se denominan operaciones de simetría o transformaciones. Una simetría es por lo tanto una transformación, o más en general, un conjunto de transformaciones que deja un sistema invariante. Sin embargo, una simetría es más que eso: la aplicación sucesiva de dos operaciones de simetría es otra operación de simetría. Para ser precisos, una simetría es un conjunto G = {a, b, c, ...} de elementos, las transformaciones, junto con una operación binaria ∘ denominada concatenación o multiplicación y pronunciado 'seguido' o 'veces', en el que cumplen las siguientes propiedades para todos los elementos a, b y c: - asociatividad, es decir, (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) - existencia de un elemento neutro e tal que e ∘ a = a ∘ e = a - existencia de un elemento inverso a-1 existe de tal manera que a-1 ∘ a = a ∘ a-1 = e. (79) Cualquier conjunto que satisface estas tres propiedades determinantes, o axiomas, se denomina grupo (matemático). Históricamente, la noción de grupo fue el primer ejemplo de una estructura matemática que se definió de una manera completamente abstracta. * Desafío 430 s ¿Puede dar un ejemplo de un grupo tomado de la vida diaria? Los grupos aparecen con frecuencia en la física y las matemáticas, porque las simetrías están presentes casi en todas partes, como veremos más adelante. ** Desafío 432 s ¿Puede enumerar las operaciones de simetría del patrón de la figura 167? REPRESENTACIONES Mirando un sistema simétrico y compuesto como el que se muestra en la figura 167, se observa que cada una de sus partes, por ejemplo, cada motivo de color rojo, pertenece a un conjunto de objetos similares, generalmente llamado multiplete. Desafío 433 e. Tomado en su conjunto, el multiplete tiene (al menos) las propiedades de simetría de todo el sistema. Para algunos de los motivos coloreados de la figura 167 tenemos necesidad de cuatro objetos para constituir un multiplete completo, mientras que para otros lo que necesitamos dos, o sólo uno, como en el caso de la estrella central. De hecho, en cualquier sistema simétrico cada parte puede ser clasificada según el tipo de multiplete al que pertenece. Por lo tanto, tenemos dos desafíos. No sólo tenemos que encontrar todas las simetrías de la naturaleza; a lo largo de nuestra ascensión de montaña también tenemos que determinar el multiplete para cada parte de la naturaleza que observamos. Por encima de todo, vamos a tener que hacer esto para las partes más pequeñas **El término "grupo" se debe a Evariste Galois (1811-1832), su estructura a Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y la definición axiomática a Arthur Cayley (1821-1895). ** En principio los grupos matemáticos no tienen que ser grupos de simetría; pero se puede demostrar que todos los grupos pueden ser vistos como grupos de transformación en un espacio matemático adecuadamente definido, por lo que en matemáticas podemos utilizar los términos "grupo de simetría" y "grupo" de manera intercambiable. Un grupo se llama abeliano si su operación de concatenación es conmutativa, es decir, si a∘ b = b ∘ a para todos los pares de elementos a y b. En este caso la concatenación a veces se llama adición. Desafío 431 e ¿Forman las rotaciones un grupo abeliano? Un subconjunto G1 ⊂ G de un grupo G puede ser en sí un grupo; entonces se llama subgrupo y a menudo se dice descuidadamente que G es mayor que G1 o que G es un grupo de simetría superior a G1. 187 que se encuentran en la naturaleza, las partículas elementales. FIGURA 167 Un ornamento hispanoárabe del Palacio del Gobernador en Sevilla (© Christoph Schiller). Un multiplete es un conjunto de partes que se transforman unas en otras en virtud de todas las transformaciones de simetría. Los matemáticos llaman a menudo a estos multipletes representaciones abstractas. Mediante la especificación de a cuál multiplete pertenece un componente, se describe de qué manera el componente es parte del sistema entero. Vamos a ver cómo se logra esta clasificación. En lenguaje matemático, las transformaciones de simetría se describen frecuentemente por matrices. Por ejemplo, en el plano, una imagen simétrica, una reflexión, en relación a la primera diagonal de este plano, está representado por la matriz ( ) D(ref )= 0 1 1 0 (80) ya que cada punto (x, y) se transforma a (y, x) cuando se multiplica por la matriz D (refl). Por lo tanto, para un matemático una representación de un grupo de simetría G es una asignación de una matriz D (a) a cada elemento de un grupo de tal manera que la representación de la concatenación de dos elementos a y b es el producto de la representación D de cada elemento: D(a ∘ b) = D(a)D(b). (81) Por ejemplo, la matriz de la ecuación (80), junto con las matrices correspondientes para todas las otras operaciones de simetría, tiene esta propiedad. * Para cada grupo de simetría, la construcción y la clasificación de todas las representaciones posibles es una tarea importante. Se corresponde con la clasificación de todos los posibles multipletes de los que puede *Hay algunas condiciones secundarias obvias, pero importantes para la representación: las matrices D (a) deben ser invertible o no singulares, y la operación de identidad de G debe ser asignada a la matriz unidad. En un lenguaje aún más compacto que se dice que la representación es un homomorfismo de G en el grupo de matrices no singulares o invertibles. Una matriz D es invertible si su DET determinante D no es cero. En general, si una aplicación f de un grupo G a otra GT satisface f (a ∘G b) = f (a) ∘G f (b), (82) la función f se llama un homomorfismo. Un f homomorfismo que es uno-a-uno (inyectiva) y en (sobreyectiva) se llama un isomorfismo. Si una representación también es inyectiva, se llama fiel, verdadera o propia. En la misma forma tal como los grupos, las estructuras matemáticas más complejas tales como anillos, campos y álgebras asociativas también pueden ser representados por clases adecuadas de las matrices. Una representación del campo de los números complejos se da más adelante. 188 estar hecho un sistema simétrico. De esta manera, si entendemos la clasificación de todos los multipletes y partes que pueden aparecer en la Figura 167, también entenderemos la forma de clasificar todas las partes posibles que pueden componer un objeto o un ejemplo de movimiento! Una representación D se denomina unitaria si todas las matrices D (a) son unitarias.* Casi todas las representaciones que aparecen en la física, con sólo un puñado de excepciones, son unitarias: este término es el más restrictivo, ya que especifica que las transformaciones correspondientes son uno-a-uno (inyectivas) e invertibles, lo que significa que un observador no verá nunca más o menos que otro. Obviamente, si un observador puede discutir con otro, el segundo puede igualmente hablar al primero. La última propiedad importante de un multiplete, o de una representación, se refiere a su estructura. Si un multiplete puede ser visto como constituido de sub-multipletes, se llama reducible, si no, es irreducible; lo mismo se dice acerca de las representaciones. Las representaciones irreducibles, obviamente, no se pueden descomponer más. Desafío 435 e Por ejemplo, el grupo de simetría (aproximativo) de la figura 167, comúnmente llamada D4, cuenta con ocho elementos. Está asociado a la representación matricial general, exacta, unitaria e irreducible n π/2 (cos sen n π/2 ) −sen n π /2 n=0. ..3 , cos n π /2 (−10 01) ,( 10 −10 ) ,( 01 10), (−10 −10 ) (83) La representación es un octeto. La lista completa de posibles representaciones irreducibles del grupo D4 también incluye singletes, dobletes y cuadrupletes. Desafío 436 ny ¿Puede encontrarlos todos? Estas representaciones permiten la clasificación de todas las cintas en blanco y negro que aparecen en la figura, así como todos los motivos coloreados. La mayor parte de los elementos simétricos son singletes, los menos simétricos son los miembros de los cuadrupletes. El sistema completo constituye siempre un singlete también. Con ayuda de estos conceptos estamos dispuestos a discutir acerca del movimiento con una mejor precisión. SIMETRÍAS, MOVIMIENTO Y FÍSICA GALILEANA Todos los días experimentamos que somos capaces de hablar unos con otros sobre el movimiento. Por tanto, debe ser posible encontrar una cantidad invariante que lo describa. Ya conocemos esa cantidad: es la acción, la medida del cambio. Por ejemplo, encender un fósforo es un cambio. La magnitud del cambio es la misma si el fósforo se encendió aquí o allí, en una dirección u otra, hoy o mañana. En realidad, la acción (Galileana) es un número cuyo valor es el mismo para cada observador en reposo, independiente de su orientación o el instante en que hace su observación. En el caso de los motivos árabes de la Figura 167, la simetría nos permite deducir la lista de multipletes, o representaciones, que pueden ser sus componentes básicos. Este enfoque debe ser también posible para un sistema en movimiento. La Tabla 35 muestra cómo. En el caso del modelo árabe, desde los distintos puntos de vista posibles de observación, hemos deducido la clasificación de las cintas o bandas en singletes, dobletes, etc Para un sistema en movimiento, los elementos básicos, correspondientes a las bandas, son los observables. Dado que se observa que la naturaleza es simétrica bajo muchos cambios de punto de vista, podemos clasificar todos los observables. Para ello, en primer lugar hay que tomar la lista de todas las transformaciones de punto de vista y luego deducir la lista de todas sus representaciones. Nuestra vida diaria muestra que el mundo permanece sin cambios después de cambios en la posición, * La transpuesta AT de una matriz A se define elemento a elemento de (A T) ik = Aki. El conjugado complejo A * de una matriz A se define por (A *) ik = (AIK) *. La adjunta A† de una matriz A se define por A † = (AT) *. Una matriz se llama simétrica si AT = A, ortogonal si AT = A-1, Hermitica o autoadjunta (los dos son sinónimos en todas las aplicaciones físicas) si A † = A (las matrices de Hermitte tienen valores propios reales), y unitario si A † = A-1. Las Matrices unitarias tienen valores propios de norma uno. La multiplicación por una matriz unitaria es una cartografía uno-a-uno; ya que la evolución en el tiempo de los sistemas físicos es una asignación de un tiempo a otro, la evolución siempre está descrita por una matriz unitaria. Una matriz antisimétrica o hemisimétrica se define por AT =-A, una matriz anti-Hermittiana por A † =-A y una matriz anti-unitaria por A † =-A-1. Todas las aplicaciones correspondientes descritas por estos tipos particulares de matrices son inyectivas. Una matriz es singular, y el vector de transformación correspondiente, es decir no inyectiva, si det A = 0. 189 orientación e instante de observación. También se habla de invariancia por traslación en el espacio, invariancia por rotación y invariancia por traslación temporal. Estas transformaciones son diferentes de las del modelo árabe en dos aspectos: son continuas y son ilimitadas. Como resultado, sus representaciones serán generalmente continuamente variable y sin límites: serán las cantidades o magnitudes. En otras palabras, los observables se construirán con ayuda de números. De esta manera hemos deducido por qué los números son necesarios para cualquier descripción del movimiento.* * TABLA 35 Correspondencias entre las simetrías de un adorno, una flor y la naturaleza en su conjunto. SISTEMA PATRÓN (MOTIVO) HISPANO–ÁRABE FLOR MOVIMIENTO Estructura y componentes conjunto de bandas y piezas conjunto de pétalos, tallo Sistema de simetría Patrones de Simetría Simetría de la flor D4 C5 En relatividad galileana: posición, orientación, instante y cambios de velocidad Número de pétalos Número de coordenadas, magnitud de los escalares, vectores y tensores Tipos de multipletes de componentes tensores, incluyendo en ellos escalares y vectores Descripción matemática del grupo de simetría Invariantes Representaciones de los componentes Número de elementos de un multiplete Tipos de multipletes de elementos trayectoria de movimiento y observables Simetría del lagrangiano Representación más simétrica singlete Parte con simetría circular Escalar representación fiel más simple cuadruplete quintuplete Vector Representación menos simétrica cuadruplete quintuplete Sin límite (tensores de rango infinito) Dado que los observadores pueden diferir en la orientación, la mayoría de las representaciones serán objetos que poseen una dirección. Para abreviar una larga historia, la simetría bajo el cambio de posición de observación, orientación o instante conduce al resultado de que todos los observables son o bien 'escalares', 'vectores' o 'tensores de orden superior.** Un escalar es una cantidad observable que se mantiene idéntica para todos los observadores: corresponde a un singlete. Ejemplos de ello son la masa o la carga de un objeto, la distancia entre dos puntos, la distancia al horizonte, y muchos otros. Sus valores posibles son (por lo general) continuos, sin límites y sin dirección. Otros ejemplos de escalares son el potencial en un punto y la temperatura en un punto. La velocidad obviamente no es un escalar; como tampoco lo es la coordenada de un punto. Desafío 438 s. ¿Puede encontrar más ejemplos y contra-ejemplos? La energía es un observable desconcertante. Es un escalar si sólo se consideran los cambios de lugar, la orientación y el instante de la observación. Pero la energía no es un escalar si se tienen en cuenta los cambios de velocidad del observador. Nadie nunca buscó una generalización de la energía de tal manera que fuera un escalar también para observadores en movimiento. Sólo Albert Einstein lo descubrió totalmente por accidente. Volveremos sobre este asunto pronto. Toda cantidad que posea una magnitud y una dirección y que 'permanece idéntica' con respecto al entorno cuando se cambia el punto de vista es un vector. Por ejemplo, la flecha entre dos puntos fijos en el suelo es un vector. Su longitud es la misma para todos los observadores; su dirección cambia de un observador a otro, pero no con respecto a su entorno. ** Desafío 437 e. Sólo los escalares, en contraste con los vectores y tensores de orden superior, pueden ser también cantidades que sólo tienen un conjunto discreto de valores, tales como 1 o -1 solamente. En resumen, sólo los escalares pueden ser observables discretos. ** Más tarde, se añadirán los espinores, y completarán esta lista. 190 Por otra parte, la flecha entre un árbol y el lugar en el que un arco iris toca la tierra no es un vector, ya que ese lugar no se queda fijado con respecto al entorno, cuando cambian los observadores. Los matemáticos dicen que los vectores son entidades orientadas que permanecen invariantes bajo transformaciones de coordenadas. Las velocidades de los objetos, las aceleraciones y la intensidad de campo son ejemplos de vectores. Desafío 439 e. ¿Puede confirmar esto? La magnitud de un vector es un escalar: es la misma para cualquier observador. Por cierto, un resultado famoso y desconcertante de los experimentos del siglo XIX es que la velocidad de un rayo de luz no es un vector, como la velocidad de un coche; la velocidad de un rayo de luz no es un vector para las transformaciones galileanas.* * Este misterio se resolverá un poco más adelante. Los tensores son vectores generalizados. Como ejemplo, tomemos el momento de inercia de un objeto. Él especifica la dependencia del momento angular con la velocidad angular. Para cualquier objeto, la duplicación de la magnitud de la velocidad angular duplica la magnitud del momento angular. Sin embargo, los dos vectores no son paralelos entre sí, salvo que el objeto sea una esfera. En general, si dos cantidades vectoriales son proporcionales, en el sentido de que la duplicación de la magnitud de un vector duplica la magnitud de la otra, pero sin que los dos vectores sean paralelos uno con otro, entonces, el "factor" de proporcionalidad es un tensor (de segundo orden ). Al igual que todos los factores de proporcionalidad, los tensores tienen una magnitud. Además, los tensores tienen una dirección y una forma: ellos describen la correspondencia entre los vectores a los que están asociados. Así como los vectores son las cantidades más simples dotadas de magnitud y dirección, del mismo modo los tensores son las cantidades más simples dotadas con magnitud y con dirección que depende de una segunda dirección elegida. Los vectores pueden ser visualizados como flechas orientadas. Los Tensores simétricos se pueden visualizar como elipsoides orientados, no así los no simétricos. ** Desafío 441 s. ¿Puede citar otro ejemplo de tensor? Volvamos a la descripción del movimiento. La Tabla 35 muestra que en los sistemas físicos siempre tenemos que distinguir entre la simetría del Lagrangiano completo - correspondiente a la simetría del modelo o patrón completo - y la representación de los observables - correspondiente a los multipletes de las bandas. Dado que la acción debe ser un escalar, y puesto que todos los observables debe ser tensores, los Lagrangianos contienen sumas y productos de tensores sólo en combinaciones que forman escalares. Así pues los Lagrangianos sólo contienen productos escalares o generalizaciones de los mismos. En resumen, los Lagrangianos siempre aparecen de la forma L = α aibi + β cjk d jk + γ elmn f lmn + … (84) donde los índices adjuntos a las variables a, b, c, etc. sobre los cuales se realizan las sumas están siempre repetidos (así, en general, los signos de suma suelen ser simplemente dejados de lado.) Las letras griegas representan constantes. Por ejemplo, la acción de una partícula puntual libre en la física Galileana está dado por S=∫ L dt = m v 2 dt 2∫ (85) ** Las transformaciones de Galileo son los cambios de puntos de vista de un observador respecto a un segundo, que se mueve con respecto al primero. La 'Transformación de Galileo "es sólo un término para lo que sucede en la vida cotidiana, donde las velocidades se suman y el tiempo es el mismo para todo el mundo. El término, introducido en 1908 por Philipp Frank, se utiliza sobre todo como contraste con la transformación de Lorentz que es tan común en la relatividad especial. **Un tensor de rango-n es el factor de proporcionalidad entre un tensor de rango de 1- es decir, un vector - y un tensor de rango-(n1) . Los Vectores y escalares son tensores de rango 1 y rango 0 respectivamente. Los escalares pueden ser imaginados como esferas, los vectores como flechas y los tensores simétricos de rango 2 como elipsoides. Un tensor general no-simétrico de rango-2 puede ser descompuesto de una forma única en un tensor simétrico y otro antisimétrico. Un tensor antisimétrico de rango 2 corresponde a un vector polar. Los tensores de mayor rango corresponden a formas más y más complejas. Un vector tiene la misma longitud y la dirección para cada observador; un tensor (de rango 2) tiene el mismo determinante, la misma traza (en álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada es la suma de su elementos diagonales), y la misma suma de subdeterminantes diagonales para todos los observadores. Un vector se describe matemáticamente por una lista de componentes; un tensor (de rango 2) es descrito por una matriz de componentes. El rango u orden de un tensor proporciona así el número de índices que tiene el observable. Desafío 440 e ¿Puede demostrar esto? 191 que es, de hecho, de la forma que acabamos de mencionar. Nos volveremos a encontrar muchos otros casos durante nuestro estudio del movimiento.** Galileo ya había comprendido que el movimiento también es invariante bajo el cambio de puntos de vista con diferente velocidad. Sin embargo, la acción que acabamos de definir no refleja esto. Llevó algunos años averiguar la generalización correcta: está dada por la teoría de la relatividad especial. Pero antes de que lo estudiemos, tenemos que terminar el presente tema. REPRODUCIBILIDAD, CONSERVACIÓN Y TEOREMA DE NOETHER Voy a donar mi masa, mi carga y mi cantidad de movimiento a la ciencia. Pintada La reproducibilidad de las observaciones, es decir, la simetría bajo el cambio del instante de tiempo o "invariancia por traslación del tiempo", es un ejemplo de la independencia del punto de vista. (Eso no es evidente. Desafío 443 ny. ¿Puede encontrar representaciones irreproducibles?) Esta correspondencia tiene varias consecuencias importantes. Hemos visto que la simetría implica invariancia. Resulta que para simetrías continuas, como la simetría de traslación del tiempo, esta afirmación puede ser expresada de manera más precisa: para cualquier simetría continua de la función de Lagrange hay una constante conservada asociada para el movimiento y viceversa. La formulación exacta de esta correspondencia es el teorema de Emmy Noether. * ** Ella encontró el resultado en 1915 al ayudar a Albert Einstein y David Hilbert, que estaban luchando y compitiendo en la construcción de la relatividad general. Sin embargo, el resultado se aplica a cualquier tipo de función de Lagrange. Noether investigó simetrías continuas en función de un parámetro b continuo. Una transformación del punto de vista es una simetría si la acción S no depende del valor de b. Por ejemplo, modificando la posición como sigue S 0= [T ( v)−U ( x)]dt x→x+b (88) deja la acción (89) invariante, ya que S (b) = S0. Esta situación implica que ∫ ∂T = p=const . ∂v (90) En resumen, la simetría bajo el cambio de posición implica la conservación del momento. La inversa también es cierta. Desafío 444 ny En el caso de la simetría bajo cambio del instante de observación, encontramos T + U = const. (93) *Por cierto, ¿es la habitual lista de posibles puntos de vista de observación - a saber posiciones diferentes, diferentes instantes de observación, diferentes orientaciones y diferentes velocidades - completa también para la acción (85)? Sorprendentemente, la respuesta es no. Uno de los primeros que observó este hecho fue Niederer, en 1972. El estudio de la teoría cuántica de partículas puntuales, se encontró que incluso la acción de una partícula puntual libre de Galileo es invariante bajo transformaciones adicionales. Desafío 442 ny Si los dos observadores utilizan las coordenadas (t, x) y (τ, ξ), la acción (85) es invariante bajo las transformaciones donde r describe la rotación de la orientación de un observador al otro, v la velocidad entre los dos observadores, y x0 el vector entre los dos orígenes en el tiempo cero. Este grupo contiene dos importantes casos especiales de transformaciones: El grupo de Galileo estático conexo El último grupo, de tres parámetros incluye la inversión espacial, dilataciones, traducción de tiempo y un conjunto de transformaciones dependientes del tiempo tales como ξ = x / t, τ = 1 / t llamadas expansiones. Dilataciones y expansiones rara vez se mencionan, ya que son simetrías de sólo partículas puntuales, y no se aplican a los objetos y sistemas cotidianos. sin embargo, ellos volverán a tener importancia más adelante. ** Emmy Noether (b. 1882 Erlangen, d. 1935 Bryn Mawr), matemática alemana. El teorema es solamente una actividad secundaria en su carrera que dedicó principalmente a la teoría de números. El teorema también se aplica para medir simetrías, donde se afirma que a cada simetría gauge corresponde una identidad de la ecuación de movimiento, y viceversa. 192 En otras palabras, la invariancia en la traslación del tiempo implica energía constante. Una vez más, la inversa también es correcta. Se dice también que la energía y la cantidad de movimiento son generadores de traslaciones en el tiempo y en el espacio. La cantidad conservada para una simetría continua se llama a veces carga de Noether, porque el término carga se utiliza en física teórica para designar observables extensos conservados. Así, la energía y la cantidad de movimiento son cargas de Noether. La “carga eléctrica”, la "carga gravitacional"(es decir, la masa) y la “carga topológica” son otros ejemplos comunes. Desafío 445 s ¿Cuál es la carga conservada para la invariancia por rotación? Notemos que la expresión 'la energía se conserva' tiene varios significados. En primer lugar, significa que la energía de una sola partícula libre es constante en el tiempo. En segundo lugar, significa que la energía total de cualquier número de partículas independientes es constante. Por último, significa que la energía de un sistema de partículas, es decir, incluyendo sus interacciones, es constante en el tiempo. Las colisiones son ejemplos de este último caso. El teorema de Noether da cuenta a la vez de todas estas situaciones, como se puede comprobar usando los Lagrangianos correspondientes. Desafío 446 e Pero el teorema de Noether también formula, o más bien repite, una verdad aún más profunda: si la energía no se conservara, el tiempo no podría ser definido. La descripción íntegral de la naturaleza requiere de la existencia de cantidades conservadas, como remarcamos al introducir los conceptos de objeto, estado y alrededores. Por ejemplo, definimos los objetos como entidades permanentes, es decir, como entidades caracterizadas por cantidades conservadas. También vimos que la introducción de tiempo sólo es posible debido a que en la naturaleza no hay 'sorpresas'. El teorema de Noether describe exactamente lo que una "sorpresa" tal tendría que ser: la no-conservación de la energía. Sin embargo, nunca se han observado saltos de energía - ni siquiera a nivel cuántico. Dado que las simetrías son tan importantes para la descripción de la naturaleza, la Tabla 36 ofrece una visión general de todas las simetrías de la naturaleza que vamos a encontrar. Sus propiedades principales también se enumeran. A excepción de las marcadas como "aproximada" o "especulativa", una prueba experimental de la inexactitud de cualquiera de ellas sería en verdad una gran sorpresa. TABLA 36 Las simetrías conocidas de la naturaleza,de la relatividad y la teoría cuántica con sus propiedades; así como la lista completa de inducciones lógicas utilizadas en los dos campos. SIMETRÍA TIPO (Nº DE ESPACIO DE GRUPO REPRESENTA- CANTIDAD VACÍO/MATERIA EFECTO PARÁMETROS) ACCIÓN TOPOLÓGICO CIONES CONSERVADA ASIMÉTRICA PRINCIPAL POSIBLES Simetrías externas de espacio-tiempo o geométricas Traslación de espacio y tiempo R ×R3 [4 par.] Espaciotiempo No compacto Escalares, vectores Cantidad de Sí / sí movimiento y energía Permite lo cotidiano Rotación SO(3) [3 par.] Espacio S2 Momento angular Comunica-ción Impulsión de Galileo R3 [3 par.] Espaciotiempo No compacto Escaleres, vectores, tensores Velocidad del Sí / para centro de pequeñas masas velocidades Relatividad del movimiento Lorentz Lie homogéneo SO(3,1) [6 par.] Espaciotiempo No compacto tensores, espinores EnergíaCantidad de movimiento Constancia Velocidad de la luz Lie no homogéneo [10 par.] Espaciotiempo Poincaré ISL(2,C) Invariancia R+ [1 par.] por dilatación Tensores Sí / sí Sí / sí Tμν No compacto tensores, espinores EnergíaCantidad de movimiento Sí / sí Tμν Espaciotiempo radio N-dimensional ninguna continuo Sí/no Partículas sin masa 193 Invarianza conforme especial R4 [4 par.] Espaciotiempo R4 N-dimensional ninguna continuo Sí/no Partículas sin masa Invarianza conforme [15 par.] Espaciotiempo complicado Tensores, espinores sin masa Sí/no Invarianza del cono de luz ninguna Simetrías dinámicas, dependientes de interacciones : la gravitación Gravedad en 1/r2 SO(4) [6 par.] Invarianza por [∞ par.] difeomorfismo Espacio de Como SO(4) Pareja de configuración vectores Dirección del Sí / sí perihelio Órbitas cerradas Espaciotiempo Energía, cantidad de movimiento local Sí/no Avance del perihelio complicado Espaciotiempo local Simetrías dinámicas, dependientes del movimiento clásico y de la mecánica cuántica Movimiento por discreto inversión T (tiempo Espacio de fases o de Hilbert discreto Par-impar Paridad T Sí/no Reversibilidad Paridad por inversión P (espacial) Espacio de fases o de Hilbert discreto Par-impar Paridad P Sí/no Existen los mundos espejo Conjugación de Global, carga C antilineal, anti hermitiano Espacio de fases o de Hilbert discreto Par-impar Paridad C Sí/no Existen las antipartículas CPT Espacio de fases o de Hilbert discreto Par Paridad CPT Sí / sí Hace posible la teoría de campos discreto discreto Simetrías de gauge dinámicas, dependientes de interacciones Invarianza de [∞par.] gauge electromagnétic a clásica Espacio de campos No importante No importante Carga eléctrica Sí / sí Luz sin masa Invarianza de Lie U(1) gauge abeliano [1 electromagnétic par.] a cuántica Espacio de Hilbert Círculo S1 campos Carga eléctrica Sí / sí Fotón sin masa Dualidad electrromagnética Lie U(1) abeliano [1 par.] Espacio de campos Círculo S1 abstracto abstracto Sí/no Ninguno Gauge débil Lie SU(2) [3 Espacio de Hilbert par.] no abeliano Como SU(3) partículas Carga débil No/aprox. Gauge de color Lie SU(3) [8 Espacio de Hilbert par.] no abeliano Como SU(3) Quarks de color color Sí / sí Simetría quiral discreto discreto Izquierda / derecha helicidad aproximadamen- Fermiones sin te masaa fermiones Gluones sin masa Simetrías de permutación Cambio de partícula discreto Espacio de Fock, etc. discreto Fermiones y bosones ninguna n.a. /sí Paradoja de Gibbs 194 Para obtener detalles sobre la conexión entre la simetría y la inducción, ver más adelante Vol. III, page 265. La explicación de los términos de la tabla se completará en el resto de la caminata. Los números reales se indican como R. a. Solo approximado; ‘sin mas’ significa que m ≪ mPl, es decir, que m ≪ 22 μg. CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS RETOS SOBRE LA SIMETRÍA La simetría izquierda-derecha es una propiedad importante en la vida cotidiana; por ejemplo, los seres humanos prefieren rostros con un alto grado de simetría izquierda derecha. Los seres humanos también prefieren que los objetos en las paredes tienen formas simétricas izquierdaderecha. Resulta que el ojo y el cerebro tienen incorporados detectores de simetría. Detectan las desviaciones de una simetría perfecta derecha-izquierda. ** Desafío 447 ny ¿Cuál es el camino seguido por cuatro tortugas que comienzan en los cuatro ángulos de un cuadrado, si cada una de ellas camina de forma continua, a velocidad constante, hacia la siguiente de su derecha (o izquierda)? ¿Cuál es la distancia que recorren? ∗∗ Desafío 448 s ¿Cuál es la simetría de una oscilación simple? ¿Y de una onda? ∗∗ Desafío 449 s Para qué sistemas es la inversión del movimiento una transformación de simetría? ∗∗ Desafío 450 s ¿Cuál es la simetría de una rotación continua? ∗∗ Una esfera posee un tensor para el momento de inercia que es diagonal con tres números iguales. Lo mismo es cierto para un cubo. Desafío 451 s ¿Puede usted distinguir esferas y cubos por su comportamiento de rotación? Desafío 452 s. ¿Hay un movimiento en la naturaleza cuya simetría sea perfecta? ∗∗ Desafío 453 e. ¿Puede demostrar que en dos dimensiones, los objetos finitos sólo pueden tener simetría de rotación y de reflexión, en contraste con los objetos infinitos, que pueden tener también simetría de traslación y desplazamiento de reflexión? ¿Puede demostrar que los objetos finitos en dos dimensiones, si la simetría de rotación no está presente, sólo hay una simetría de reflexión? Y que todas las rotaciones posibles son siempre alrededor del mismo centro? ¿Se puede deducir de esto que al menos un punto no ha cambiado en todos los objetos finitos simétricos de dos dimensiones ? ∗∗ Desafío 454 s ¿Qué objeto de la vida cotidiana, común en el siglo XX, tiene simetría séptuple? ∗∗ Aquí hay pequeño rompecabezas sobre la falta de simetría. Un triángulo agudo general se define como un triángulo cuyos ángulos difieren de un ángulo recto y uno de otro por al menos 15 grados. Desafío 455 e. Demostrar que hay sólo uno de tales triángulos general y encontrar sus ángulos. ∗∗ Desafío 456 e. ¿Puede demostrar que, en tres dimensiones, los objetos finitos pueden tener sólo simetría de rotación, reflexión, inversión y simetría de inversión de rotación, en contraste con los objetos infinitos, que puede tener también la simetría de traslación, de deslizamiento-reflexión, y de rotación de tornillo? ¿Puede demostrar que los objetos finitos en tres dimensiones, si no está presente la simetría de rotación, sólo hay un plano de reflexión? ¿Y que para todos las inversiones o inversiones de rotación del centro debe yacer en un eje de rotación o en un plano de reflexión? ¿Se puede deducir de esto que al menos un punto no ha cambiado en todos los objetos finitos tridimensionales simétricos? PARIDAD E INVARIANCIA TEMPORAL La tabla de las simetrías también da la lista de dos de las llamadas simetrías discretas que son importantes para el estudio del movimiento. 195 La primera es la inversión de la paridad o simetría derecha-izquierda. ¿Hasta dónde puede lanzar una piedra con la otra mano? La mayoría de la gente tiene una mano preferida, y las diferencias son muy pronunciadas. ¿Tiene la naturaleza tal preferencia derecha-izquierda? En la vida cotidiana, la respuesta es clara: todo lo que sucede de una manera también puede ocurrir en su forma especular reflejada. Esto también ha sido utilizado en experimentos de precisión; se encontró que todo lo que es debido a la gravitación, electricidad o magnetismo también puede ocurrir en una forma especular reflejada. No hay excepciones. Por ejemplo, hay personas con el corazón en el lado derecho; hay caracoles con conchas zurdas; hay planetas que giran en sentido contrario. La Astronomía y la vida cotidiana son invariante-especular . Se dice también que la gravitación y el electromagnetismo son de paridad invariante. (Más tarde descubriremos que ciertos procesos raros violan la paridad, pero no debido a la gravedad o el electromagnetismo, sino a la interacción nuclear débil.) La otra simetría discreta es la inversión del movimiento. ¿Pueden las cosas suceder al revés? Esta pregunta no es fácil. Un estudio de movimiento debido a la gravitación muestra que tal movimiento puede también suceder siempre en la dirección inversa. En caso de un movimiento debido a la electricidad y el magnetismo, tales como el comportamiento de los átomos en los gases y líquidos, la cuestión es más complicada. Vamos a hablar de ello en la sección de la termodinámica, pero vamos a llegar a la misma conclusión: la inversión de movimiento es una simetría de todos los procesos debidos a la gravitación y la interacción electromagnética. El movimiento cotidiano es reversible. Y una vez más, ciertos procesos nucleares todavía más raros proporcionarán excepciones. SIMETRÍA DE INTERACCIÓN En la naturaleza, cuando miramos a un sistema, a menudo podemos desentendernos del medio ambiente. Muchos procesos se producen independientemente de lo que sucede a su alrededor. Esta independencia es una simetría física. Teniendo en cuenta la independencia de las observaciones de los detalles que se producen en el medio ambiente, está claro que las interacciones entre los sistemas y el entorno disminuye con la distancia. En particular, se puede deducir que la atracción de la gravedad, la atracción y la repulsión eléctrica, así como la atracción y repulsión magnética debe desaparecer a una gran distancia de los cuerpos. RESUMEN SOBRE LA SIMETRÍA La simetría es la invariancia parcial al cambio. Las simetrías simples son geométricas: las simetrías puntuales de las flores o la simetría de traslación de cristales infinitos son ejemplos. Todos los cambios posibles que dejan un sistema invariante - es decir, todas las posibles transformaciones de simetría de un sistema - forman un grupo matemático. Además de grupos de simetría geométrica, en la naturaleza aparecen varios grupos de simetría adicionales. La reproducibilidad y la previsibilidad de la naturaleza implica varias simetrías continuas fundamentales: dado que podemos hablar de la naturaleza, podemos deducir varias de sus simetrías, en particular de sus simetrías bajo traslaciones de tiempo y espacio. El movimiento es universal. Cualquier declaración de universalidad implica una simetría. Como ejemplos adicionales, se encuentran que las observaciones diarias son simétricas especularmente, y se encuentran que los movimientos simples son simétricos bajo la inversión de movimiento. Estos son simetrías discretas fundamentales. De las simetrías continuas de la naturaleza, usando el teorema de Noether, podemos deducir «cargas» conservadas. Estos son energía, cantidad de movimiento y momento angular. En otras palabras, las definiciones de masa, espacio y tiempo, asociadas a sus propiedades de simetría, son equivalentes a la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento. La conservación y la simetría son dos maneras de expresar la misma propiedad de la naturaleza. Para decirlo sencillamente, nuestra aptitud para hablar acerca de la naturaleza significa que la energía, el momento lineal y el momento angular se conservan. La aislabilidad de los sistemas de su entorno implica una simetría válida para todas las interacciones: ya que el comportamiento de los sistemas aislados es independiente de lo que sucede en su entorno, las interacciones no deben tener ningún efecto a grandes distancias. 196 En general, la manera más elegante para desvelar las «leyes» de la naturaleza consiste en investigar las simetrías naturales. Varias veces a lo largo de la Historia, cada vez que se ha comprendido esta relación, la física hizo rápidos y notables progresos. Por ejemplo, Albert Einstein descubrió la teoría de la relatividad de esta manera, y Paul Dirac dio a luz a la electrodinámica cuántica. Vamos a utilizar el mismo método durante todo nuestro viaje; en nuestra última etapa vamos a descubrir algunas simetrías que son aún más alucinantes que las de la relatividad. Ahora, sin embargo, vamos a pasar a la siguiente aproximación a una descripción global del movimiento. 197 CAPÍTULO 10 MOVIMIENTOS SIMPLES DE CUERPOS EXTENSOS – OSCILACIONES Y ONDAS La observación del cambio es un aspecto fundamental de la naturaleza. Entre todas estas observaciones, el cambio periódico es de los más frecuentes a nuestro alrededor. En efecto, en nuestra vida cotidiana podemos observar oscilaciones y ondas: hablar, cantar, escuchar y ver sería imposible sin ellas. Explorar la siguiente aproximación global al movimiento, las oscilaciones y ondas, es a la vez útil y hermoso. OSCILACIONES Las oscilaciones son cambios recurrentes, es decir, cambios cíclicos o periódicos. Antes, se definió la acción, y por lo tanto el cambio, como la integral de la función de Lagrange (o lagrangiano), y hemos definido el lagrangiano como la diferencia entre la energía cinética y potencial. Uno de los sistemas oscilantes más simples en la naturaleza es una masa m unida a un resorte lineal, o sea, un muelle. El Lagrangiano para la posición x de esta masa viene dado por 1 1 L= m·v2 − k·x 2 2 2 (92) donde k es una magnitud que caracteriza al resorte, denominada constante del resorte. Su lagrangiano se debe a Robert Hooke, en el siglo XVII. Desafío 457 e. ¿Puede demostrar su resultado? El movimiento que resulta de esta función de Lagrange es periódico, y se muestra en la Figura 168. El lagrangiano (92) describe así la oscilación de la longitud del resorte con el tiempo. Este movimiento es exactamente el mismo que el de un largo péndulo con pequeña amplitud. El movimiento se denomina movimiento armónico, debido a que un objeto que vibra rápidamente de esta manera produce un sonido musical completamente puro - o armónico -. (El instrumento musical que produce las ondas armónicas más puras es la flauta travesera. Este instrumento, por lo tanto, da la mejor idea de cómo “suena” un movimiento armónico.) La gráfica de esta oscilación armónica o lineal, que se muestra en la Figura 168, se llama curva sinusoide, y puede ser vista como el elemento fundamental de todas las oscilaciones. Todas las demás oscilaciones anarmónicas en la naturaleza pueden ser reconstruidas a partir de otras armónicas, es decir, a partir de las curvas sinusoidales, como veremos en breve. Cualquier cantidad x (t) que oscila armónicamente es descrita por su amplitud A, su frecuencia angular ω y su fase φ: x = A sen (ωt + φ) (93) La amplitud y la fase dependen de la forma en que se inicia la oscilación. Por el contrario, la frecuencia angular es una propiedad intrínseca del sistema. Desafío 458 s ¿Puede demostrar que para la masa unida al resorte, tenemos ω = 2π f = 2π / T = (k / m)1/2 ? Cada oscilación armónica se describe por tres cantidades: la amplitud, el período (la inversa de la frecuencia) y la fase. La fase distingue oscilaciones de la misma amplitud y período, define en qué momento comienza la oscilación. Algunas frecuencias de oscilación observadas se enumeran en la Tabla 37. La Figura 168 muestra cómo una oscilación armónica está relacionada con una rotación imaginaria. Como resultado, la fase se describe de manera adecuada por un ángulo entre 0 y 2π. Cada movimiento oscilante transforma continuamente la energía cinética en energía potencial y viceversa. Este es el caso de las mareas, del péndulo, o de cualquier receptor de radio. Pero muchas oscilaciones también disminuyen en el tiempo: son amortiguadas. Los sistemas con gran amortiguación, tales como los amortiguadores de los automóviles, se utilizan para evitar oscilaciones. Los sistemas con muy pequeña amortiguación son útiles para la fabricación de relojes precisos y de larga duración. La medida más simple de la tasa de amortiguación es el número de oscilaciones que un sistema utiliza para reducir su amplitud a 1/e ≈ 1/ 2,718 veces el valor original. 198 Este número característico es el llamado factor Q, llamado así por la abreviatura de "factor de calidad". Un factor Q pobre es 1 o menos, uno extremadamente bueno es 100 000 o más. Desafío 459 ny. ¿Puede escribir un Lagrangiano simple para una oscilación amortiguada con un factor Q dado? FIGURA 168 Arriba: la oscilación más simple, la oscilación lineal o armónica: cómo cambia la posición en el tiempo y cómo se relaciona con la rotación. Abajo: un ejemplo de oscilación anarmónica. En la naturaleza, las oscilaciones amortiguadas por lo general no mantienen la frecuencia constante, sin embargo, para el péndulo simple éste sigue siendo el caso en un alto grado de precisión. La razón es que para un péndulo, la frecuencia no depende de manera significativa de la amplitud (siempre y cuando la amplitud sea menor que aproximadamente 20 °). Esta es una de las razones de por qué los péndulos se utilizan como osciladores en los relojes mecánicos. Obviamente, para un buen reloj, el comportamiento de las oscilaciones no sólo debe mostrar una pequeña amortiguación, sino que también debe ser independiente de la temperatura y ser insensible a otras influencias externas. Un progreso importante del siglo XX fue la introducción de cristales de cuarzo como osciladores. El cuarzo técnico son cristales del tamaño de algunos granos de arena, y pueden ser puestos a oscilar mediante la aplicación de una señal eléctrica. Tienen poca dependencia de la temperatura y un gran factor Q, y además, un bajo consumo de energía, por lo que relojes precisos pueden funcionar ahora con baterías pequeñas. El interior de un oscilador de cuarzo se muestra en la Figura 169. RESONANCIA En la mayoría de sistemas físicos que son puestos a oscilar, la amplitud depende de la frecuencia. Las frecuencias seleccionadas para las que la amplitud es máxima se denominan frecuencias de resonancia o simplemente resonancias. Por ejemplo, el oscilador de cuarzo de la figura 169, o las frecuencias de vibración usuales de cuerdas de guitarra o campanas - que se muestran en la Figura 171 – son frecuencias de 199 resonancia. Por lo general, las oscilaciones en la que un sistema oscilará cuando son activados por un golpe seco van a ocurrir en las frecuencias de resonancia. La mayoría de instrumentos musicales son algunos ejemplos. La mayor parte de los sistemas tienen varias frecuencias de resonancia, las flautas, cuerdas y campanas son ejemplos bien conocidos. Tabla 37. Algunos valores de frecuencia encontrados en la naturaleza. OBSERVACIÓN FRECUENCIA Frecuencias sonoras en un gas emitidas por un agujero negro 1 Hz Precisión en las medidas de las frecuencias de vibración del Sol Debajo de 2nHz Frecuencias de vibración del Sol Debajo de c. 300 nHz Frecuencias de vibración que perturban la detección de la radiación gravitacional La más baja frecuencia de vibración de la Tierra Frecuencia de resonancia del estómago y órganos internos (Dando la experiencia "sonido en el vientre") Debajo de 3 μHz 309 μHz 1 to 10 Hz Tempo de la música común 2 Hz Frecuencia usada para la comunicación por los peces pedorros c. 10Hz Sonido audible para jóvenes humanos 20Hz to 20 kHz Sonido producido por conjuntos de altavoces (bocina, electromagnético, piezoeléctrico, electretos, plasma, láser) c. 18Hz to over 150 kHz Voz de un hombre adulto, frecuencia fundamental 85 to 180 Hz Voz de una mujer adulta, frecuencia fundamental 165 to 255 Hz Valor oficial, o tono estándar, de la nota musical ‘A’ o ‘la’, siguiendo ISO 16 (y de la señal de línea del teléfono en muchos países) 440 Hz Valores comunes de la nota ‘A’ o ‘la’ usada por orquestas 442 to 451Hz Aleteo de los más pequeños insectos voladores c. 1000Hz Oscilación de las plumas durante el aleteo del macho saltarín alitorcido, un pájaro tropical americano Sonido producido por varios altavoces Frecuencia fundamental del sonido producido por las plumas del saltarín alitorcido, Machaeropterus deliciosus c. 1000 Hz 30 Hz to 100 kHz 1.5 kHz Frecuencia fundamental del sonido del grillo 2 kHz a 9 kHz Sonar usado por murciélagos Por encima de 100 kHz Sonar usado por delfines hasta 150 kHz Frecuencia del sonido usado en imágenes por ultrasonidos ecografía) 2 to 20 MHz Frecuencias de un oscilador de cuarzo 20 kHz up to 350 MHz Radio emisión del hidrógeno atómico , esp. en el universo 1420.405 751 8(1) MHz La más alta frecuencia generada electrónicamente (con CMOS, en 2007) 324 GHz Frecuencias (sonoras) de los fonones medidas en cristales simples Hasta 20 THz y más En contraste con la música o la electrónica, a menudo la resonancia tiene que ser evitada en otras situaciones. En los edificios, los terremotos pueden provocar resonancias, y en los puentes, el viento puede 200 provocar oscilaciones resonantes, de manera similar, muchas máquinas resonantes necesitan ser humedecidas o bloqueadas con el fin de evitar que la gran amplitud de una resonancia destruya el sistema. En los coches modernos de alta calidad, se calculan las resonancias de cada parte y de cada estructura y, si es necesario, se ajustan de tal manera que no haya vibraciones molestas que perturben al conductor o al pasajero. Figura 169 El interior de un oscilador comercial de cuarzo, de unos pocos milímetros de tamaño, motor a alta amplitud. Todos los sistemas que oscilan también emiten ondas. De hecho, la resonancia sólo se produce porque todas las oscilaciones son en realidad ondas localizadas. En efecto, las oscilaciones sólo aparecen en sistemas extensos y las oscilaciones son sólo descripciones simplificadas de los movimientos repetitivos de cualquier sistema extenso. El movimiento repetitivo completo y general de un sistema extenso es la onda. FIGURA 170 Arriba: las principales propiedades de una onda armónica. Abajo: una señal periódica general, u onda anarmónica; en este ejemplo una onda cuadrada negra, que puede ser descompuesta de forma única en ondas armónicas más simples. Se muestran también las primeras tres componentes (verde, azul y roja) y también su suma intermedia (línea punteada). Esto se llama descomposición de Fourier y el método general para hacerlo análisis de Fourier. (© Wikimedia) No se muestra: la descomposición única en ondas armónicas es incluso posible para señales no periódicas. FIGURA 171 Los patrones de vibración fundamental medidos de una campana. Las campanas, como cualquier otra fuente se oscilación, sea un átomo, una molécula, un instrumento musical o la voz humana, muestran que todas las oscilaciones en la naturaleza son debidas a ondas. (© H. Spiess & al.). 201 ONDAS: GENERAL Y ARMÓNICA Las ondas son desequilibrios o inhomogeneidades viajando, o, equivalentemente, vibraciones desplazándose. Las ondas se desplazan, a pesar de que el sustrato que las envuelve permanezca inmóvil. Cada onda puede ser vista como una superposición de ondas armónicas. Cada efecto de sonido se puede considerar como compuesto de ondas armónicas. Las ondas armónicas, también llamadas ondas sinusoidales u ondas lineales, son los componentes básicos con los que se construyen todos los movimientos internos de un cuerpo extenso, como se muestra en la Figura 170. Desafío 460 e. ¿Puede describir la diferencia en la forma de onda de entre un tono armónico puro, un sonido musical, un ruido y una explosión? Cada onda armónica se caracteriza por una frecuencia de oscilación f, una velocidad de propagación (o de fase) c, una longitud de onda λ, una amplitud A y una fase φ, como se puede deducir de la Figura 170. Las ondas de baja amplitud sobre el agua muestran esto más claramente, son armónicas. En una onda armónica, cada punto (posición) por sí mismo realiza una oscilación armónica. La fase de una onda especifica la posición de un punto de la onda (o una cresta) en un momento dado. Es un ángulo comprendido entre 0 y 2π. La velocidad de fase c es la velocidad con la que se mueve un máximo de onda. Unos pocos ejemplos se enumeran en la Tabla 38. Desafío 461 e. ¿Puede demostrar que la frecuencia y la longitud de onda de una onda están relacionadas por f λ = c? FIGURA 171 b El centro de las ranuras en un viejo disco de vinilo muestra la amplitud de la presión acústica, promediado sobre dos canales estéreo (microscopio electrónico de barrido Fotografías de © Chris Supranowitz/University of Rochester). Las ondas aparecen en el interior de todos los cuerpos extensos, ya sean sólidos, líquidos, gases o plasmas. En el interior de los cuerpos fluidos, las ondas son longitudinales, lo que significa que el movimiento de las ondas ocurre en la misma dirección que su oscilación. El sonido que se propaga en el aire es un ejemplo de onda longitudinal. En el interior de los cuerpos sólidos, las ondas también pueden ser transversales, en cuyo caso la oscilación de la onda es perpendicular a la dirección de propagación. Las ondas aparecen también en las interfases entre los cuerpos: las interfases agua-aire son casos muy conocidos y estudiados. Incluso una interfaz de agua salada-agua dulce, lo que se llama aguas muertas, muestra ondas: pueden aparecen incluso si la superficie superior del agua está inmóvil. Cualquier vuelo en un avión ofrece la oportunidad de estudiar las disposiciones regulares de nubes en la interfaz entre los estratos de aire caliente y frío en la atmósfera. Son bien conocidas también las ondas sísmicas que viajan a lo largo del límite entre el fondo del océano y el agua de mar. Las ondas de superficie generales no son, por lo general, ni longitudinales ni transversales, sino de un tipo mixto. Para tener una primera idea sobre las ondas, tenemos un vistazo a las ondas sobre el agua. 202 TABLA 38 Algunas velocidades de ondas. ONDA VELOCIDAD Tsunami alrededor de 0.2 km/s Sonido en la mayoría de los gases 0.3 ± 0.1 km/s Sonido en el aire a 273K 0.331 km/s Sonido en el aire a 293K 0.343 km/s Sonido en helio a 293K 0.983 km/s Sonido en la mayoría de líquidos 1,2 ± 0.2 km/s Ondas Sísmicas 1 to 14 km/s Sonido en agua a 273K 1,402 km/s Sonido en agua a 293K 1,482 km/s Sonido en agua de mar a 298K 1,531 km/s Sonido en oro 4.5 km/s Sonido en acero 5.8 to 5.960 km/s Sonido en granito 5,8 km/s Sonido en vidrio (longitudinal) 4 to 5,9 km/s Sonido en berilio (longitudinal) 12,8 km/s Sonido en boro Hasta 15 km/s Sonido en diamante Hasta 18 km/s Sonido en fullereno (C60) Hasta 26 km/s Velocidad de una onda de Plasma en InGaAs 600 km/s Luz en el vacío 2,998 ⋅ 108 m/s ONDAS DE AGUA Las Ondas sobre superficies líquidas muestran una amplia gama de fenómenos fascinantes. En primer lugar, clasificamos las ondas en función de la fuerza necesaria para restituir una superficie plana y, así, hay dos tipos diferentes de ondas de agua. En el primer tipo, la fuerza que restaura la superficie plana es la tensión superficial, se llaman ondas de tensión superficial y juegan un papel a escalas de hasta unos pocos centímetros. A escalas más grandes, la principal fuerza restauradora es la gravedad y hablamos de ondas de gravedad*. La diferencia se percibe fácilmente al observarlas: las ondas de tensión superficial tienen una forma sinusoidal, mientras que las ondas de gravedad tienen una forma con máximos más nítidos y depresiones más amplias. Esto se produce debido a la forma especial como el agua se mueve en una tal onda. Como se muestra en la Figura 172, la superficie del agua en una (breve) onda de agua de gravedad describe una curva engendrada por un punto situado sobre un círculo que rueda, lo que conduce a la forma típica y asimétrica de la onda con unas cortas crestas puntiagudas y largas depresiones poco profundas:las ondas no son simétricas arriba-abajo (más desplazamientos). Bajo las crestas, las partículas de agua se mueven en la dirección del movimiento de las olas; abajo en las depresiones, las partículas de agua se mueven en contra del movimiento de las olas. Siempre y cuando no haya viento y el suelo debajo del agua sea horizontal, las ondas de gravedad también son simétricas bajo reflexión de adelante hacia atrás. Si la amplitud es muy alta, o si el viento es demasiado fuerte, las olas se rompen, porque un ángulo en la cúspide de más de 120° no es posible. Estas ondas no tienen simetría adelante-atrás *Los meteorólogos también conocen un tercer tipo: hay ondas con grandes longitudes de onda cuya fuerza restauradora es la fuerza de Coriolis. 203 Además, las ondas de agua deben distinguirse de acuerdo con la profundidad del agua, en comparación con su longitud de onda. Se habla de ondas cortas (o de agua profunda), cuando la profundidad del agua es tan alta que el plano sustentante no juega ningún papel, en el caso contrario se habla de ondas largas (o de aguas poco profundas). Resulta que las ondas de agua profundas son dispersivas, es decir, su velocidad depende de su frecuencia, mientras que las ondas de aguas poco profundas son no dispersivas. La región de transición entre los dos casos son ondas cuya longitud de onda es entre el doble y veinte veces la profundidad del agua. Las dos clasificaciones de las ondas de agua dan cuatro casos límite, sino que se muestran en la Figura 174. (La figura también muestra la ubicación de las ondas capilares -o rizos-, las ondas de largo período, las mareas y las ondas transtidales -periodo superior a 24 horas-.) Es interesante explorar cada uno de estos cuatro casos límite. FIGURA 172 La formación, a partir del movimiento circular de las partículas del agua, de la forma de ondas de gravedad profunda. Note la forma nosinusoidal de la ola. FIGURA 173 Tres de los principales tipos de ondas de agua: Arriba: una onda de gravedad de agua poco profunda, no sinusoidal. Abajo a la izquierda: una ondulación de aguas profundas - una onda de tensión superficial sinusoidal. Las ondulaciones de aguas poco profundas que no se muestran son iguales. Inferior a la derecha: una onda de gravedad de aguas profundas, aquí una estela de barco, de nuevo no sinusoidal. (© Eric Willis, Wikimedia, allyhook). Los experimentos y la teoría muestran que la velocidad de fase de las ondas de gravedad, las dos casos inferiores en la Figura 174, depende de la longitud de onda λ y de la profundidad del agua de la siguiente manera: c= √ gλ 2πd tanh λ 2π (94) 204 donde g es la aceleración debida a la gravedad (y se supone una amplitud mucho menor que la longitud de onda*). La fórmula muestra dos regímenes limitantes. En primer lugar, las denominadas ondas de gravedad cortas o de aguas profundas aparecen cuando la profundidad del agua es mayor que la mitad de la longitud de onda, en las ondas de aguas profundas, la velocidad de fase es c ≈ √ gλ/2π, por lo tanto depende de la longitud de onda – (todas las ondas profundas son dispersivas). Las ondas profundas más cortas son por lo tanto más lentas. La velocidad de grupo es la mitad de la velocidad de fase. Los efectos generales de la dispersión en los grupos de ondas se muestran en la Figura 175. FIGURA 174 Los diferentes tipos de ondas de agua, visualizados en dos diagramas diferentes utilizando la profundidad d, el número de onda ky la tensión superficial γ = 72mPa. La ola del mar siempre es una onda de gravedad en aguas profundas, así son las estelas generadas por los buques. Las Ondas de gravedad cortas generadas por el viento se llaman de mar y son generadas por los vientos locales, y de mar hinchado si son generadas por vientos distantes. La velocidad de fase típica de una onda de gravedad es del orden de la velocidad del viento que lo genera. Por lo tanto, como bien saben los surfistas, las olas en una costa que se deben a una tormenta lejana llegan por separado: primero las ondas de largo período, después las ondas de corto período. La estela típica generada por un barco está hecha de ondas que tienen la velocidad de fase de la nave. Estas ondas forman un grupo de olas, y viaja con la mitad de esa velocidad. Por lo tanto, desde el punto de vista de un barco, la nave deja atrás la estela. La estela está detrás de la nave, debido a que la velocidad de grupo es menor que la velocidad de fase. (Para más información sobre estelas, ver a continuación.) El segundo régimen de limitación son las ondas de gravedad largas o de aguas poco profundas. Aparecen cuando la profundidad es de menos de 1/20 ª o 5% de la longitud de onda, en este caso, la velocidad de fase es c ≈ √gd, no hay dispersión, y la velocidad de grupo es la misma que la velocidad de fase. En las ondas de agua de poca profundidad, las partículas de agua se mueven en trayectorias elípticas muy planas. Por ejemplo, la marea es una onda de gravedad superficial. Además de las mareas, las más impresionantes * La expresión para la velocidad de fase puede derivarse mediante la resolución para el movimiento del líquido en el régimen lineal, pero esto lleva demasiado lejos de nuestro caminata. 205 de las ondas de gravedad superficiales son los tsunamis, las grandes olas provocadas por terremotos submarinos. (El nombre japonés se compone de tsu, que significa puerto y nami, es decir, ola.) Puesto que los tsunamis son ondas superficiales, que no muestran dispersión (o poca) y así recorren grandes distancias, ya que pueden dar la vuelta a la Tierra varias veces. Tiempos típicos de oscilación de los tsunamis son entre 6 y 60 minutos, dando longitudes de onda entre 70 y 700 kilómetros y las velocidades en el mar abierto de 200 y 250 m/s, similar a la de un avión a reacción. Su amplitud en el mar abierto es a menudo del orden de 10 cm, sin embargo, las escalas de amplitud varían con la profundidad d como 1/d4 y alturas de hasta 40 m se han medido en la orilla. Este fue el orden de magnitud del tsunami grande y desastroso observado en el Océano Índico el 26 de diciembre de 2004 y el de Japón en 2011 que destruyó varias plantas de energía nuclear. Los tsunamis también se pueden utilizar para determinar la profundidad del océano mediante la medición de la velocidad de los tsunamis. Esto permite deducir, mucho antes de que el sonar y otros sistemas de alta tecnología estuvieran disponibles, que el Pacífico Norte tiene una profundidad de alrededor de 4 a 4,5 km. Los dos casos superiores en la Figura 174 son las ondas de tensión superficial. (La tensión superficial del agua es de 72 mPa.) El primero de estos regímenes límite son ondulaciones en aguas profundas. La velocidad de fase es c = √ γk / ρ. Como se mencionó anteriormente, todas las ondas profundas son dispersivas. De hecho, la velocidad de grupo de las ondas en aguas profundas es de 3/2 veces la velocidad de fase. Por lo tanto las ondulaciones espumeantes de un barco van hacia adelante, mientras que la estela queda por detrás. FIGURA 175 Una visualización de la velocidad de grupo (azul) y velocidad de fase (rojo) para diferentes tipos de dispersión de ondas. (QuickTime film © ISVR, University of Southampton) La velocidad mínima es la razón de lo que vemos cuando tiramos una piedra en un lago. Un guijarro típico crea ondas con una longitud de onda de alrededor de 1 cm. Para las ondas en esta región, existe un mínimo de una velocidad de grupo de 17,7 cm/s y una mínima velocidad de fase de alrededor de 23 cm/s. Cuando una piedra cae en el agua, crea ondas de diferentes longitudes de onda; aquellas con una longitud de onda de alrededor de 1 cm son las más lentas se ven con mayor claridad. La velocidad mínima de fase de ondas también significa que los insectos que caminan sobre el agua no generan ondas si se mueven más lentamente que la velocidad de fase mínima, por lo que sienten poco arrastre y pueden caminar fácilmente. El último caso de las ondas son ondulaciones en aguas poco profundas. Un ejemplo son las ondas emitidas por las gotas de agua de lluvia que caen en un charco de poca profundidad, por ejemplo con una profundidad de 1 mm o menos. La velocidad de fase es c = √γdk2 / ρ, la velocidad de grupo tiene el doble de ese valor. Las Ondulaciones en las ondas superficiales son dispersivas. La Figura 174 muestra los cuatro tipos de ondas en el agua. La relación de dispersión general para las ondas de agua es ω2 = (gk + γk3 / ρ) tanh kd. Existen también varios otros tipos de ondas en el agua, tales como “seiches”, ondas internas y solitones de diversos tipos. Sólo vamos a explorar el último caso en detalle, más adelante. ONDAS Y SU MOVIMIENTO Las ondas se mueven. Por lo tanto, cualquier estudio del movimiento debe incluir el estudio del movimiento de las ondas. Sabemos por experiencia que las ondas pueden golpear o incluso dañar un objetivo, por lo que cada onda transporta energía y cantidad de movimiento, a pesar de que (en promedio) no mueve materia a lo largo de la dirección de propagación de la onda. La energía E de una onda es la suma de su energía cinética y potencial. La densidad de energía cinética depende de la variación temporal del desplazamiento u en un punto dado: las ondas que oscilan rápidamente transportan una energía cinética 206 mayor. La densidad de energía potencial depende del gradiente del desplazamiento, es decir, en su cambio espacial: ondas empinadas y estrechas llevan una energía potencial mayor que las más suaves. (Desafío 466 s ¿Puede explicar por qué la energía potencial no depende del desplazamiento mismo) Para ondas armónicas, es decir, ondas sinusoidales que se propagan a lo largo de la dirección z, cada tipo de energía es proporcional al cuadrado de su respectivo cambio de desplazamiento: 2 E∼( 2 ∂u ∂u ) +v 2 ( ) ∂t ∂z (95) Desafío 467 ne ¿Cómo se relaciona la densidad de energía con la frecuencia? La cantidad de movimiento de una onda se dirige a lo largo de la dirección de propagación de la onda. El valor de la cantidad de movimiento depende tanto del cambio temporal como del cambio espacial de desplazamiento u. Para las ondas armónicas, la cantidad de movimiento P (densidad) es proporcional al producto de estas dos cantidades: P z∼ ∂u ∂u ∂t ∂ z (96) Cuando dos trenes de ondas lineales choquen o interfieran, la cantidad de movimiento total se conserva durante el choque. Una consecuencia importante de la conservación de la cantidad de movimiento es que las ondas que se reflejan en un obstáculo lo hacen con un ángulo de reflexión igual al opuesto del ángulo de incidencia con respecto a la normal a la superficie. Desafío 468 s ¿Qué le sucede a la fase? FIGURA 176 Las seis principales propiedades del movimiento de las ondas. En resumen, las ondas, al igual que los cuerpos en movimiento, transportan energía y cantidad de movimiento. En términos simples, si usted grita contra una pared, la pared será golpeada. Este impacto puede, por ejemplo, iniciar avalanchas en las laderas nevadas. De la misma manera, las ondas, como los cuerpos, pueden transportar también momento angular. (¿Qué tipo de onda es necesaria para que esto sea posible?). Sin embargo, el movimiento de las ondas también se diferencia del movimiento de los cuerpos. Seis características principales distinguen el movimiento de las ondas del movimiento de los cuerpos. 1. Las ondas pueden sumarse o anularse entre sí, por lo que pueden interpenetrarse mutuamente. Estos efectos, llamados superposición e interferencia, están fuertemente ligados a la linealidad de la mayoría de las ondas. 2. Las ondas, tales como el sonido, pueden viajar doblando en las esquinas. Esto se llama difracción. 3. Las ondas cambian de dirección cuando cambian de medio. Esto se llama refracción. 4. Las ondas pueden tener una velocidad de propagación dependiente de la frecuencia. Esto se denomina dispersión. 5. Con frecuencia, la amplitud de la onda disminuye con el tiempo: las ondas muestran amortiguación. 6. Ondas transversales en tres dimensiones pueden oscilar en direcciones diferentes: muestran la polarización. Los cuerpos materiales en la vida cotidiana no se comportan de esta manera cuando se mueven. Los seis efectos de onda aparecen debido a que el movimiento de las ondas es un movimiento de entidades extensas. El famoso debate sobre si los electrones o luz son ondas o partículas requiere que comprobemos si estos efectos específicos de las ondas se pueden observar o no. Este es un tema de la teoría cuántica. Antes de 207 estudiar, ¿puede dar un ejemplo de una observación que implica automáticamente que el movimiento específico no puede ser una onda? Como resultado de tener una frecuencia f y una fase de propagación o velocidad c, todas las ondas sinusoidales se caracterizan por la λ distancia entre dos crestas de onda vecinos: esta distancia se denomina longitud de onda λ. Todas las ondas obedecen a la relación básica c = λ·f En muchos casos, la velocidad de fase c depende de la longitud de onda de la onda. Por ejemplo, este es el caso para muchas ondas de agua. Este cambio de velocidad con la longitud de onda se denomina dispersión. En contraste, la velocidad del sonido en el aire no depende de la longitud de onda (en un alto grado de precisión). El Sonido se muestra en el aire (casi) sin dispersión. En efecto, si hubiera dispersión de sonido, no podríamos entender el habla del otro a distancias grandes. Ahora viene una sorpresa. También pueden existir ondas en el espacio vacío. Tanto la luz como las ondas de gravedad son ejemplos. La exploración del electromagnetismo y la relatividad nos dirá más acerca de sus propiedades específicas. He aquí un aperitivo. La luz es una onda. En la vida cotidiana no experimentamos la luz como una onda, ya que la longitud de onda es sólo alrededor de unas dos milésimas de milímetro. Pero la luz muestra los seis efectos típicos del movimiento ondulatorio. Un arco iris, por ejemplo, sólo se puede entender plenamente cuando se tengan en cuenta los últimos cinco efectos de las ondas. Desafío 469 s La Difracción y la interferencia, incluso se pueden observar con sólo sus dedos. ¿Puede decir cómo? FIGURA 177 Interferencia de dos ondas circulares o esféricas emitidas en fase: Una instantánea de la amplitud (izquierda), más útil para describir las observaciones de las ondas de agua, y la distribución de la intensidad promedio en el tiempo (derecha), más útil para describir la interferencia de las ondas de luz (© Rüdiger Paschotta). Como cada oscilación anarmónica, toda onda anarmónica se puede descomponer en ondas sinusoidales. La Figura 170 muestra ejemplos. Si las diversas ondas sinusoidales que figuran en una perturbación se propagan de manera diferente, la onda original cambiará en forma mientras viaja. Esa es la razón por la cual un eco no suena exactamente igual que el sonido original, por la misma razón, un trueno cercano y lejano tienen un sonido diferente. Estos son efectos de la dispersión débil de las ondas sonoras. Todos los sistemas que oscilan también emiten ondas. Cualquier receptor de radio o TV contiene osciladores. Como resultado, este tipo de receptor es también un transmisor (débil) y, de hecho, en algunos países las autoridades buscan a las personas que escuchan emisoras de radio no permitidas por las ondas de radio emitidas por estos dispositivos. Además, en el interior del oído humano, numerosas estructuras pequeñas, las células ciliadas, oscilan. Como resultado, el oído también debe emitir sonido. Esta predicción, hecha en 1948 por Tommy Gold, finalmente fue confirmado en 1979 por David Kemp. Estas llamadas emisiones otoacústicas pueden ser detectadas con micrófonos sensibles, en la actualidad se están estudiando con el fin de desentrañar los mecanismos aún desconocidos del oído y con el fin de diagnosticar diversas enfermedades del oído sin la necesidad de cirugía. Como cualquier perturbación que viaja se puede descomponer en ondas sinusoidales, el término "onda" es utilizado por los físicos para todas las perturbaciones que viajan, se asemejen o no a ondas sinusoidales. De hecho, las perturbaciones ni siquiera tienen que estar viajando. Tome una onda estacionaria: ¿es una onda o una oscilación? Las ondas estacionarias no viajan, son oscilaciones. Pero una onda estacionaria puede ser 208 vista como la superposición de dos ondas que viajan en direcciones opuestas. Dado que, en la naturaleza, cualquier objeto que nosotros llamamos "oscilante" o "vibrante" es extenso, su oscilación o vibración es siempre una onda estacionaria (Desafío 472 e ¿puede confirmar esto?), y así podemos decir que, en la naturaleza, todas las oscilaciones son formas especiales de las ondas. Las más importantes perturbaciones móviles son aquellas que están localizadas. La Figura 170 muestra un ejemplo de una onda localizada, también llamado un grupo de onda o pulso, junto con su descomposición en ondas armónicas. Los grupos de onda se utilizan para hablar y como señales para la comunicación. ¿POR QUÉ PODEMOS HABLAR UNOS CON OTROS? PRINCIPIO DE HUYGENS Las propiedades de nuestro medio ambiente a menudo revelan toda su importancia sólo cuando hacemos preguntas sencillas. ¿Por qué podemos usar la radio? ¿Por qué podemos hablar en los teléfonos móviles? ¿Por qué podemos escucharnos unos a otros? Resulta que una parte central de la respuesta a estas preguntas es que el espacio en que vivimos tiene un número de dimensiones impar. En espacios de dimensión par, es imposible hablar, porque los mensajes no se detienen. Este es un resultado importante que se comprueba fácilmente lanzando una piedra en un lago: incluso después de que la piedra ha desaparecido, las olas siguen siendo emitidos desde el momento en que entró en el agua. Sin embargo, cuando dejamos de hablar, ninguna onda más es emitida. Las Ondas en dos y tres dimensiones por lo tanto se comportan de manera diferente. En tres dimensiones, es posible decir que la propagación de una onda ocurre de la siguiente manera: Cada punto de un frente de onda (de la luz o de sonido) puede ser considerado como fuente de unas ondas secundarias; la superficie formada por la envolvente de todas las ondas secundarias determina la posición futura del frente de onda. La idea se ilustra en la Figura 178. Se puede utilizar para describir, sin las matemáticas, la propagación de las ondas, su reflexión, su refracción, y, con una generalización debida a Augustin Fresnel, su difracción. (Desafío 473 e ¡Pruébelo!). Esta idea fue propuesta por primera vez por Christiaan Huygens en 1678, de ahí su apelación como principio de Huygens. Casi doscientos años más tarde, Gustav Kirchhoff demostró que el principio es una consecuencia de la ecuación de onda en tres dimensiones, y por lo tanto, en el caso de la luz, una consecuencia de las ecuaciones de campo de Maxwell. Sin embargo, la descripción de los frentes de onda como envolventes de ondas secundarias tiene una limitación importante: No es correcta en dos dimensiones (aunque la figura 178 es bidimensional!). En particular, no se aplica a las olas en el agua. La Propagación de las ondas no se puede calcular de esta manera de una forma exacta. (Esto sólo es posible si la situación se limita a una onda de una sola frecuencia.) Resulta que para las olas en el agua, las ondas secundarias no sólo dependen del frente de onda de las ondas primarias, sino que dependen también de su parte interior. La razón es que en dos dimensiones (o en un número par de dimensiones), las ondas de frecuencia diferente necesariamente tienen diferentes velocidades. (Las Ondas superficiales no son contraejemplos; son intrínsecamente tridimensionales) Y una piedra que cae en el agua genera ondas de muchas frecuencias. En contraste, en tres dimensiones (y otras dimensiones impares), las ondas de todas las frecuencias tienen la misma velocidad. ←FIGURA 178 Propagación de una onda como consecuencia del principio de Huygens. FIGURA 179↑ Una imposible onda de gravedad en el agua: el centro nunca está completamente plano. 209 También podemos decir que el principio de Huygens es válido si la ecuación de onda se resuelve mediante una onda circular que no deja ninguna amplitud tras ella. Los matemáticos traducen esto exigiendo que la evolución de la función delta δ(c2t2 −r2) satisfaga la ecuación de onda, es decir, que ∂2t δ =c2Δδ. La función delta es aquella "función" extraña que es cero en todas partes excepto en el origen, donde es infinito. Unas pocas propiedades más describen la forma precisa en que esto sucede. ** Resulta que la función delta es una solución de la ecuación de onda sólo si la dimensión del espacio es impar y al menos tres. En otras palabras, mientras que un pulso de onda esférico es posible, un pulso circular no lo es: en una onda en expansión no hay ninguna manera de mantener inmóvil su centro. (Véase la Figura 179). Eso es exactamente lo que muestra el experimento de la piedra. La próxima vez que usted esté en el cuarto de baño o cerca de un lago puede tratar de producir un pulso circular (una onda que tenga sólo unas pocas crestas): no tendrá éxito. En resumen, la razón de que una habitación se ponga oscura cuando apagamos la luz, es que vivimos en un espacio con una serie de dimensiones que es impar y mayor que uno. ECUACIÓN DE ONDA** Las ondas son fenómenos fascinantes. Igualmente fascinante es su descripción matemática. La amplitud A (x, t) de una onda lineal en una, dos o tres dimensiones, la más simple de todas las ondas, resulta de ∂2 A (x ,t ) 2 2 =v ∇ A (x ,t ) ∂t 2 (98) La ecuación dice que la aceleración de la amplitud (el término de la izquierda) está dada por el cuadrado del gradiente, es decir, por la variación espacial, multiplicado por el cuadrado de la velocidad de fase v. En muchos casos, la amplitud es un vector, pero la ecuación sigue siendo la misma. Más correctamente, la amplitud de una onda es lo que los físicos llaman un campo, debido a que es un número (o vector, o tensor) que depende de espacio y tiempo. La ecuación (98) es una ecuación de onda. Matemáticamente, es una ecuación diferencial parcial lineal. Se llama lineal, ya que es lineal en la amplitud A. Por lo tanto, sus soluciones son ondas de seno y coseno del tipo A = sen (x - t + φ). La ecuación de onda lineal se sigue del comportamiento elástico de algún medio. La linealidad también implica que la suma de dos ondas es también una posible onda; este llamado principio de superposición es válido para todas las ecuaciones de ondas lineales (y algunas ecuaciones de ondas no lineales raras, pero importantes). Debido a su linealidad, cualquier onda general, se puede considerar como compuesta de una suma infinita de ondas sinusoidales y cosenoidales. Este descubrimiento se debe a Joseph Fourier (n. 1768, Auxerre, d. 1830, París). La ecuación de onda (98) también es homogénea, lo que significa que no hay un término independiente de A, y por lo tanto, no hay ninguna fuente de energía que impulse las ondas. La descomposición de Fourier también ayuda a entender y resolver ecuaciones de onda no homogéneas, por lo tanto impulsadas externamente en medios elásticos. En varias dimensiones, la forma de la onda es también de interés. En dos dimensiones, los casos más simples descritos por la ecuación (98) son ondas lineales y circulares. En tres dimensiones, los casos más simples descritos por la ecuación (98) son ondas planas y esféricas. En situaciones apropiadas - por lo tanto cuando el medio elástico es finito y está excitado de forma específica - la ecuación (98) también lleva a las ondas estacionarias. Matemáticamente, todas las ecuaciones de onda son ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas. Esto sólo significa que la segunda derivada espacial tiene signo opuesto a la segunda derivada temporal. El sonido en los gases, el sonido en líquidos y sólidos, los terremotos, la luz en el vacío, ciertas ondas de agua de pequeña amplitud, y varios otros casos de ondas con pequeña amplitud se describen por ecuaciones de ondas lineales.**** * La propiedad principal es ∫a(x) dx = 1. En términos matemáticamente precisos, la ‘función delta’ es una distribución. ** Esta sección puede saltarse en primera lectura. ***Nadie sabe lo que sucede si las ondas electromagnéticas tienen gran amplitud; Desafío 473-b e ¡descúbralo! 210 Con mucho, las ecuaciones de onda más interesantes, sin embargo, son no lineales. La más famosa ecuación no lineal es la ecuación Korteweg-de Vries, que es la ecuación de una onda unidimensional At + AAx + bAxxx. (99) Sólo muy tarde se descubrió que esta ecuación se puede resolver con lápiz y papel. Otras ecuaciones de onda no lineales describen situaciones específicas. La ecuación de Boussinesq, la ecuación Sine-Gordon y muchas otras ecuaciones de onda han provocado un vasto campo de investigación en la física matemática y experimental. Las ecuaciones diferenciales parciales no lineales son también esenciales en el estudio de la auto-organización. TABLA 39 Algunas señales. SISTEMA SEÑAL VELOCIDAD SENSOR Pulsos de tensión en los nervios Hasta 120 m/s Cerebro, músculos Hormonas en el flujo sanguíneo Hasta 0,3 m/s Moléculas y membranas celulares Señales del sistema inmunitario Hasta 0,3 m/s Moléculas sobre membranas celulares Canto 340 m/s Orejas Elefantes, insectos Temblor del suelo c. 2 km/s Pies Ballena Canto, sonar 1500 m/s Orejas Perros Trazas químicas 1 m/s Nariz Mariposas Señales químicas de apareamiento transportadas por el viento Hasta 10 m/s Antenas Árboles Señales químicas de ataque llevadas por el aire de un árbol a otro Hasta 10 m/s Hojas Bloques erráticos Transportado por glaciares Hasta 0,1 μm/s Pies Correo Cartas transportadas en camiones, barcos y aviones Hasta 300 m/s Buzones Humanos bostezo 300 Mm/s Ojos Anguila eléctrica Pulsos de tensión Hasta 300 Mm/s Nervios Insectos, peces, moluscos Secuencias de impulsos luminosos Hasta 300 Mm/s Ojos Banderas de señalización Orientación de banderas 300 Mm/s Ojos Transmisiones de radio Intensidad campo electromagnético 300 Mm/s Radio Supernovas Pulsos de neutrinos Próximo a 300 Mm/s Reveladores específicos químicos y de radiación Reacciones nucleares Bolas de gluones, si existen Próximo a 300 Mm/s Reveladores de partículas personalizados Señales en la materia Humanos Campos electromagnéticos Señales nucleares 211 ¿POR QUÉ LA MÚSICA Y EL CANTO VOCAL SON TAN BELLOS? La Música funciona porque conecta con las emociones. Y lo hace, entre otras cosas, porque nos recuerda los sonidos (y las emociones relacionadas con ellas) que experimentamos antes de nacer. Los instrumentos de percusión nos recuerdan el latido del corazón de nuestra madre y del nuestro propio, los instrumentos de cuerda y de viento nos recuerdan a todas las voces que escuchamos entonces. Los instrumentos musicales son especialmente hermosos si son impulsados y modulados por el cuerpo y el arte del ejecutante. Todos los instrumentos clásicos están optimizados para permitir esta modulación y la capacidad de expresar emociones de esta manera. La conexión entre el músico y el instrumento es más intensa para la voz humana; la aproximación sucesiva son instrumentos de viento. Cada instrumento musical, incluyendo la voz humana, se compone de cuatro elementos: una fuente de energía, una fuente sonora oscilante, uno o más resonadores, y una superficie radiante u orificio. En la voz humana, la fuente de energía se compone de los músculos del pecho y el vientre, la fuente de sonido son las cuerdas vocales el resonador es el tracto vocal, y la boca y la nariz forman el orificio. En todos estos casos, el aliento de la cantante o del ejecutante hace dos cosas: proporciona la energía para el sonido y le da una entrada para el circuito de retroalimentación que establece el tono. Mientras canta, el aire pasa a las cuerdas vocales. El flujo rápido de aire reduce la presión de aire, que atrae a las cuerdas entre sí y por lo tanto reduce la sección transversal para el flujo de aire. (Esta reducción de la presión se describe por la ecuación de Bernoulli, como se explica a continuación.) Como resultado la sección transversal se hace más pequeña, el flujo de aire se reduce, la presión aumenta de nuevo, y las cuerdas vocales se abren de nuevo. Esto conduce a mayor flujo de aire, y el círculo comienza de nuevo. La variación entre la mayor y la menor distancia de la cuerda se repite tan rápidamente que se produce el sonido; el sonido se amplifica entonces en la boca con las resonancias que dependen de la forma de la cavidad oral. Utilizando el vocabulario moderno, cantar una nota constante es un caso específico de auto-organización, que es un ejemplo de un ciclo límite. Pero, ¿cómo puede un pequeño instrumento como el tracto vocal conseguir un sonido más intenso que el de un trombón, que es de varios metros de longitud cuando está desenrollado? ¿Cómo puede la voz cubrir una gama de 80 dB en intensidad? ¿Cómo puede la voz transportar hasta cinco, incluso ocho octavas de frecuencia fundamental con sólo dos cuerdas vocales? ¿Y cómo puede la voz humana producir su inigualable variación tímbrica? Muchos detalles -de estas preguntas todavía se están investigando, pero las conexiones generales son bien conocidas. Las cuerdas vocales humanas tiene en promedio el tamaño de una uña del pulgar, pero pueden variar en longitud y tensión. Las cuerdas vocales tienen tres componentes. Por encima de todo, contienen un ligamento que pueda sostener grandes variaciones de tensión o estrés y constituye la estructura básica; este ligamento es necesario para lograr una amplia gama de frecuencias. En segundo lugar, el 90% de las cuerdas vocales están hechas de músculos, por lo que el estrés y por lo tanto la gama de frecuencias se puede aumentar aún más. Finalmente, las cuerdas están cubiertas por una mucosa, un fluido que contiene una membrana que está optimizada para entrar en oscilación, a través de las ondas de superficie, cuando pasa el aire. Este sistema altamente no lineal alcanza, en los cantantes excepcionales, hasta cinco octavas de la gama de tono fundamental. FIGURA 179-b La laringe humana es la parte de la anatomia que contiene la fuente sonora de la palabra, las cuerdas vocales (© Wikimedia). 212 También los resonadores de la voz humana son excepcionales. A pesar del pequeño tamaño disponible, las propiedades no lineales de los resonadores en el tracto vocal - en particular, el efecto llamado reactancia inertiva - permiten la producción de sonido de alta intensidad. Este complejo sistema, así como el entrenamiento intenso, produce las frecuencias, timbres y secuencias musicales que disfrutamos en la ópera, el jazz, y en todas las otras interpretaciones vocales. De hecho, muchos de los resultados de investigación en la voz humana - que también se han deducido con la ayuda de imágenes de resonancia magnética - ahora se utilizan regularmente para entrenar y enseñar a los cantantes, especialmente sobre cuándo utilizar la boca abierta y cuándo usar la boca cerrada en la canción o cuándo bajar la laringe. El canto es, por tanto, bello también porque es un efecto no lineal. Realmente, todos los instrumentos son osciladores no lineales. En los instrumentos de lengüeta (o caña), tales como el clarinete, la caña (lengüeta) tiene el papel de las cuerdas vocales, y el tubo tiene el papel de resonador y los mecanismos de desplazamiento de la abertura desempeñan el papel de la boca y de los labios. En los instrumentos de metal, como el trombón, los labios juegan el papel de la caña. En los instrumentos de flujo de aire, tales como la flauta, el bucle de realimentación es debido a otro efecto: en el extremo donde se produce el sonido, el flujo de aire es desviado por el sonido mismo. La segunda razón por la que la música es hermosa se debe a la forma en que se seleccionan las frecuencias de las notas. Ciertas frecuencias de sonido son agradables al oído cuando se tocan juntas o próximas una tras otra; otras producen una sensación de tensión. Ya los antiguos griegos habían descubierto que estas sensaciones dependen exclusivamente de la relación de las frecuencias, o como dicen los músicos, del intervalo entre los tonos. Más específicamente, una relación de frecuencias de 2 – los músicos la llaman intervalo de una octava - es la consonancia más agradable. Una proporción de 3/2 (llamada quinta perfecta) es la siguiente más agradable, seguido por la relación 4/3 (cuarta perfecta), la relación de 5/4 (tercera mayor) y la relación de 6/5 (tercera menor). La elección de la primera tercera en una escala tiene un efecto importante en las emociones promedio expresadas por la música y por lo tanto está también tomada en el nombre de la escala. Las canciones en Do mayor en general tienen un tono más alegre, en tanto que las canciones en La menor tienden a sonar más tristes. FIGURA 180 Las doce notas utilizadas en la música y sus ratios de frecuencia. 213 Las relaciones de frecuencia menos agradables, las disonancias, son el tritono (7/5, también llamada cuarta aumentada o quinta disminuida o quinta falsa) y, en menor medida, la séptima mayor y menor (15/8 y 9/5). El tritono se utiliza para la sirena de las furgonetas alemanas de la cruz roja. Secuencias largas de disonancias tienen el efecto de inducir el trance; son comunes en la música balinesa y en el jazz. Después de siglos de experimentación, estos resultados conducen a una disposición estándar de las notas y sus frecuencias que se muestra en la Figura 180 La disposición, llamada igual entonación o entonación bien temperada, contiene aproximaciones a todos los intervalos mencionados.; las aproximaciones tienen la ventaja de que permiten la transposición de la música para notas más bajas o más agudas. Esto no es posible con la ideal, la llamada entonación justa. Desafío 479 e. La próxima vez que cante una canción que le guste, intente determinar si utiliza entonación justa o igual - o una entonación diferente. Diferentes personas tienen diferentes gustos y hábitos. FIGURA 181 Una animación esquemática de una membrana vibratoria (dibujada en rojo), a partir de un tambor o un altavoz, generando una onda de sonido en el aire, y mostrando el movimiento molecular. (Quicktime película cortesía Wikicommons) TABLA 40 Intensidades sonoras seleccionadas. OBSERVACIÓN INTENSIDAD SONORA Umbral de sonido a 1 kHz 0 dB or 1 pW Lenguaje humano 25 a 35 dB Tren del metro entrando en una estación 100 dB Imágenes por ultrasonido (ecografía) de bebés 100 dB Umbral de dolor Convencional 120 dB or 1W Concierto de rock con altavoces de 400 000W 135 a 145 dB Fuegos artificiales por encima de 150 dB Tiroteo Hasta 155 dB lanzamiento de misiles por encima de 170 dB El canto de la ballena azul por encima de 175 dB Erupciones volcánicas, terremotos, bomba convenciona por encima de 210 dB Impacto de un meteorito grande, gran bomba nuclear sobre 300 dB MEDIDA DEL SONIDO En cada punto en el espacio, una onda de sonido en el aire produce dos efectos: una variación de presión y una variación de la velocidad. La Figura 181 los muestra a ambos: las variaciones de presión inducen cambios en la densidad de las moléculas, mientras que las variaciones de velocidad actúan sobre la velocidad media de las moléculas. La presión de sonido local se mide con un micrófono o una oreja. La velocidad molecular local se mide 214 con un microanemómetro o sensor acústico de velocidad de las partículas. Ninguno de estos dispositivos existió hasta 1994, cuando Hans Elias de Bree inventó una manera de construir uno. Como se muestra en la Figura 182, tales microanemómetros no son fáciles de lograr. Dos hilos delgados de platino se calientan a 220 ° C; la diferencia de temperatura depende de la velocidad del aire y se puede medir mediante la comparación de las resistencias eléctricas. Debido a las pequeñas dimensiones, es posible un rango de frecuencias de hasta aproximadamente 20 kHz. Poniendo tres de estos dispositivos en ángulo recto entre ellos es posible localizar la dirección de una fuente de ruido Esto es útil para la reparación y desarrollo de automóviles, o para controlar los trenes y maquinaria. Mediante la disposición de muchos dispositivos en una cuadrícula también se puede construir una 'cámara acústica'. También se puede utilizar para localizar las posiciones de las aeronaves y aviones no tripulados, una especie de 'radar acústico'. Debido a que los microanemometros actúan como micrófonos extremadamente pequeños y altamente direccionales, y debido a que operan incluso bajo el agua, los militares y espías son entusiastas. Desafío 479-b e Por cierto, ¿cómo se compara la velocidad de las moléculas debido al sonido con la velocidad de las moléculas debido a la temperatura del aire? FIGURA 182 Arriba: dos minúsculos hilo de platino calentados permiten la construcción de un microanemómetro. Puede ayudar a determinar exactamente de dónde proviene una perturbación (© Microflown Technologies). 215 ¿ES LA ECOGRAFÍA SEGURA PARA LOS BEBÉS? Los ultrasonidos se utiliza en medicina para explorar el interior del cuerpo humano. La técnica, llamada imágenes por ultrasonido, es útil, conveniente y generalizada, como se muestra en la Figura 182. Sin embargo, tiene una desventaja. Los estudios de la Clínica Mayo en Minnesota han descubierto que el ultrasonido pulsante, en contraste con el ultrasonido continuo, produce niveles extremadamente altos de sonido audible en el interior del cuerpo. (Algunas intensidades de sonido se enumeran en la Tabla 40.) El Ultrasonido pulsante se utiliza en la ecografía, y en algunos, pero no todos, monitores de ritmo cardíaco del feto. Por tanto, tales máquinas producen altos niveles de sonido en el rango audible. FIGURA 182 Un sistema de imágenes de ultrasonido moderna, y una imagen de ultrasonido común, pero perjudicial de un feto (© General Electric, Wikipedia). Esto parece paradójico; si usted va a un ginecólogo y se pone el cabezal de los ultrasonidos en el oído o en la cabeza, sólo oirá un ruido muy débil. De hecho, es esta baja intensidad la que engaña a todo el mundo al pensar que el nivel de ruido es bajo. El nivel de ruido es sólo bajo porque el oído humano está lleno de aire. En contraste, en un feto, el oído está lleno de líquido. Este hecho cambia la propagación del sonido por completo: el sonido generado por las máquinas de formación de imágenes está ahora totalmente concentrado y estimula directamente el oído interno. El efecto total es similar a lo que sucede si usted pone su dedo en su oído: esto puede ser muy ruidoso para sí mismo, pero nadie más puede oír lo que pasa. Investigaciones recientes han demostrado que niveles de sonido superiores a 100 dB, lo que corresponde a un tren subterráneo entrando en la estación, son generados por los sistemas de imágenes de ultrasonido. De hecho, cada ginecólogo confirmará que las imágenes perturban al feto. Interrogados acerca de este problema, varios fabricantes de dispositivos de imágenes de ultrasonido confirmaron que "se utiliza una salida de sonido de sólo 5 mW." Eso es "sólo" la potencia acústica de un oboe a plena potencia! Dado que muchas de las ecografías tardan diez minutos o más, no se puede excluir un daño en el oído del feto. No es sensato exponer a un bebé a este nivel de ruido sin una buena razón. En resumen, los ultrasonidos se deben utilizar para las madres embarazadas sólo en caso de necesidad. La ecografía no es segura para los oídos de los fetos. (Declaraciones de las sociedades médicas de ultrasonido diciendo lo contrario se equivocan.) En todos los demás casos, la ecografía es segura, sin embargo. Cabe señalar no obstante, otro problema potencial de las imágenes de ultrasonido, la cuestión de los daños a los tejido a través de cavitación no ha sido explorado en detalle todavía. SEÑALES Una señal representa el medio de transporte de la información. Cada señal, incluyendo las de la Tabla 39, es un movimiento de energía. Las señales pueden ser tanto objetos como ondas. Una piedra lanzada puede ser una señal, al igual que un silbato. Las ondas son una forma de comunicación más práctica debido a que no requieren transporte de la materia: es más fácil usar electricidad en un cable de teléfono para transportar una noticia que enviar un mensajero. En realidad, la mayoría de los avances tecnológicos modernos se remontan a la separación entre la señal y el transporte de materia. En lugar de transportar una orquesta para transmitir música, podemos enviar señales de radio. En lugar de enviar cartas de papel escribimos mensajes de correo electrónico. En vez de ir a la biblioteca navegamos por internet. 216 Los mayores avances en la comunicación son el resultado de la utilización de señales para el transporte de grandes cantidades de energía. Eso es lo que hacen los cables eléctricos: transportan energía sin transporte de cantidades (perceptibles) de materia . No necesitamos conectar nuestros aparatos de la cocina a la central eléctrica: podemos obtener la energía a través de un cable de cobre. Por todas estas razones, con el término "señal" a menudo se pretende implicar sólo a las ondas. Las señales de voz, sonidos, señales eléctricas, la radio y la luz son los ejemplos más comunes de señales ondulatorias. Las señales se caracterizan por su velocidad y su contenido de información. Ambas cantidades resultan ser limitadas. El límite de velocidad es el tema central de la teoría de la relatividad especial. Un límite sencillo sobre el contenido de la información se puede expresar cuando se toma nota de que el flujo de información está dado por la forma detallada de la señal. La forma se caracteriza por una frecuencia (o longitud de onda) y una posición en el tiempo (o espacio). Para cada señal - y cada onda - hay una relación entre el error en el tiempo de llegada Δt y el error en la frecuencia angular Δω: Δt Δω ⩾1/2 . (100) Esta ecuación de indeterminación tiempo-frecuencia expresa que, en una señal, es imposible especificar a la vez el tiempo de llegada y la frecuencia con una precisión exacta. Los dos errores son (dentro de un factor numérico) el inverso uno del otro. (También se dice que el producto de ancho de banda por el tiempo es siempre mayor que 1/4π.) La limitación aparece porque por una parte se necesita una onda lo más similar posible a una onda sinusoidal con el fin de determinar con precisión la frecuencia, pero por otra parte se necesita una señal tan estrecha como posible para determinar con precisión su tiempo de llegada. La contradicción entre los dos requisitos conduce hasta esta limitación. La relación de incertidumbre es, pues, una característica intrínseca de cada fenómeno ondulatorio. Desafío 480 e. Es posible que desee probar esta relación con cualquier onda en su entorno. De modo equivalente, hay una relación entre el error de posición Δx y el error del vector de onda Δk =2π/Δλ de una señal: Δx Δk ⩾1/2 . (101) Al igual que el caso anterior, también esta ecuación de indeterminación expresa que es imposible especificar tanto la posición de una señal como su longitud de onda con precisión completa. También esta relación de indeterminación posición de la onda-vector de onda es una característica de cualquier fenómeno ondulatorio. Cada relación de incertidumbre es el corolario de la existencia de una entidad mínima. En el caso de las ondas, la entidad mínima del fenómeno es el período (o ciclo, como solía ser llamado). Siempre que hay una entidad mínima de un fenómeno natural, se produce un relación de indeterminación. Nos encontraremos con otras relaciones de indeterminación, tanto en la relatividad y la teoría cuántica. Como descubriremos, se deben a las entidades mínimas también. Cada vez que se envían las señales, su contenido se puede perder. Cada una de las seis características de las ondas que ya vimos puede conducir a la degradación del contenido. Desafío 481 ny. ¿Puede dar un ejemplo para cada caso? La energía, la cantidad de movimiento y todas las demás propiedades conservadas de las señales nunca se pierden, por supuesto. La atenuación de las señales es similar a la desaparición de movimiento. Cuando el movimiento desaparece por la fricción, sólo parece desaparecer, y en realidad se transforma en calor. Del mismo modo, cuando una señal desaparece, sólo parece desaparecer, y de hecho es transformada en ruido. El ruido (físico) es una colección de numerosas señales desordenadas, de la misma manera que el calor es una colección de numerosos movimientos desordenados. Toda propagación de una señal se describe por una ecuación de onda. Un ejemplo famoso es el conjunto de ecuaciones encontrados por Hodgkin y Huxley. Se trata de una aproximación realista para el comportamiento del potencial eléctrico en los nervios. Usando datos sobre el comportamiento de los iones de potasio y sodio, encontraron una ecuación de onda complicada que describe la tensión V en los nervios, y por lo tanto la forma en que las señales se propagan. La ecuación describe los picos de tensión característicos medidos en los nervios, que se muestran en la Figura 183. La figura muestra claramente que estas ondas difieren de ondas sinusoidales: no son armónicas. La Anarmonicidad es un resultado de la no linealidad. Pero la no linealidad puede provocar efectos aún más fuertes. 217 ONDAS SOLITARIAS Y SOLITONES En agosto de 1834, el ingeniero escocés John Scott Russell (1808-1882) registró una observación extraña en un canal fluvial en el campo, cerca de Edimburgo. Cuando un barco arrastrado a través del canal se detuvo de repente, una ola de agua extraña se apartó de él. Constaba de una sola cresta, de unos 10 metros de largo y 0,5 m de alto, que se movía a unos 4 m/s. Siguió la cresta, mostrada en una reconstrucción en la figura 184, con su caballo durante varios kilómetros: la ola se extinguió muy lentamente. Russell no observó ninguna dispersión, como es habitual en las ondas de agua de profundidad: la anchura de la cresta se mantuvo constante. Russell luego comenzó a producir este tipo de olas en su laboratorio, y estudió extensamente sus propiedades. FIGURA 183 Las señales eléctricas calculadas (arriba) y medidas (abajo) en un nervio, siguiendo a Hodgkin y Huxley. Demostró que la velocidad depende de la amplitud, en contraste con ondas armónicas lineales. También encontró que la profundidad d del canal de agua era un parámetro importante. De hecho, la velocidad , la amplitud A y la anchura L de estas ondas de una sola cresta están relacionados por v =√ gd (1+ A ) 2d y L= √ 3 d3 3A (102) Como muestran estas expresiones, y señaló Russell, las olas altas son estrechas y rápidas, mientras que las olas someras son lentas y anchas. La forma de las ondas se fija durante su movimiento. Hoy en día, estas y todas las demás ondas estables con una sola cresta se llaman ondas solitarias. FIGURA 184 Una ola de agua solitaria seguida por un barco de motor, reconstrucción del descubrimiento de Scott Russell (© Dugald Duncan). 218 Aparecen sólo cuando la dispersión y la no linealidad del sistema compensan exactamente una con otra. Russell también señaló que las ondas solitarias en canales de agua pueden cruzarse entre sí sin cambios, incluso cuando viajan en direcciones opuestas; las ondas solitarias con esta propiedad se llaman solitones. En resumen, los solitones son estables frente a encuentros, como se muestra en la Figura 185, mientras que las ondas solitarias, en general, no lo son. Sólo sesenta años más tarde, en 1895, Korteweg y de Vries descubrieron que las ondas solitarias en canales de agua tienen una forma descrita por u( x ,t )=A sech 2 x−vt L donde sech x = 2 e +e− x x (103) y que la relación encontrada por Russell era debida a la ecuación de ondas 2 3 1 ∂u 3 ∂u d ∂ u =0 +(1+ u) + 2 d ∂ x 6 ∂ x3 √ gd ∂t (104) Esta ecuación para la elongación u se llama la ecuación Korteweg-de Vries en su honor. ** La sorprendente estabilidad de las soluciones solitarias es debido al efecto opuesto de los dos términos que distinguen esta ecuación de las ecuaciones de onda lineales: para las soluciones solitarias, el término no lineal compensa precisamente por la dispersión inducida por el término de la derivada tercera. Durante muchas décadas estas ondas solitarias eran vistas como curiosidades matemáticas y físicas. La razón era simple: nadie podía resolver las ecuaciones. Todo esto cambió casi cien años más tarde, cuando se hizo evidente que la ecuación Korteweg-de Vries es un modelo universal para las ondas débilmente no lineales en el régimen de dispersión débil, y por lo tanto de importancia básica. Esta conclusión fue desencadenada por Kruskal y Zabusky, que en 1965 demostraron matemáticamente que las soluciones (103) son invariantes en caso de colisiones. Este descubrimiento les llevó a introducir el término solitón. Estas soluciones de hecho se interpenetran entre sí sin cambiar la velocidad o la forma: una colisión sólo produce un pequeño cambio de posición para cada pulso. FIGURA 185 Los solitones son estables frente a los encuentros. (Película QuickTime © Jarmo Hietarinta) Las ondas solitarias juegan un papel en muchos ejemplos de flujos de fluidos. Se encuentran en las corrientes oceánicas; e incluso la mancha roja en Júpiter, que fue una característica constante de fotografías de Júpiter durante muchos siglos, es un ejemplo. Las ondas solitarias también aparecen cuando se genera sonido de muy alta intensidad en los sólidos. En estos casos, pueden dar lugar a pulsaciones sonoras de sólo unos pocos nanómetros de longitud. Pulsaciones luminosas solitarias también se utilizan en el interior de determinadas fibras de comunicación óptica, donde la falta de dispersión permite mayores velocidades de transmisión de datos que los que se pueden lograr con pulsos de luz habituales. Hacia el final del siglo XX, los matemáticos descubrieron que los solitones obedecen a una generalización no lineal del principio de superposición. (Se debe a las transformaciones Darboux-Backlund y la estructura * La ecuación se puede simplificar mediante la transformación de la variable u; más concisamente, que puede ser reescrita como uT + uxxx = 6uux. Mientras las soluciones son funciones sech, esta y otras versiones transformadas de la ecuación son conocidas con el mismo nombre. 219 de la serie Sato Grassmannian.) Las matemáticas de solitones son extremadamente interesantes. El progreso en matemáticas provocó que surgiera una segunda ola de interés en las matemáticas de solitones cuando los teóricos cuánticos se interesaron en ellos. La razón es simple, pero profunda: un solitón es una "cosa intermedia" entre una partícula y una onda; tiene características de ambos conceptos. Por esta razón, los solitones se ven a menudo -aunque de forma incorrecta- como candidatos para la descripción de las partículas elementales. CURIOSIDADES Y DESAFÍOS DIVERTIDOS SOBRE LAS ONDAS Y CUERPOS EXTENSOS La sociedad es una ola. La ola se mueve hacia adelante, pero el agua de la que se compone no lo hace. Ralph Waldo Emerson, Autosuficiencia. Cuando se duplica la frecuencia de una señal, se dice que el tono es una octava más alta. Dos tonos que difieren en una octava, cuando suenan juntos, dan un sonido agradable al oído. Otras dos razones de frecuencia aceptable - o "intervalos", como dicen los músicos - son cuartos y quintas. Desafío 482 e. ¿Cuáles son las razones de frecuencia correspondientes? (Nota: la respuesta fue uno de los descubrimientos más antiguos de la física y la investigación sobre la percepción, se atribuye a Pitágoras, alrededor del año 500 aC.) ** Cuando un niño en un columpio es empujado por un adulto, la acumulación de amplitud es debido a la resonancia (directo). Cuando, por el contrario, el niño pone en movimiento la oscilación por sí mismo, se utiliza dos veces la frecuencia natural de la oscilación; Este efecto se denomina resonancia paramétrica. FIGURA 185-b Un péndulo inverso guiado verticalmente es estable en la posición vertical a determinadas combinaciones de frecuencia y de amplitud. Un efecto sorprendente de resonancia paramétrica aparece cuando un péndulo invertido está unido a una base vibratoria. La Figura 185.b muestra la instalación; a causa de la articulación, la masa es libre de caer en ambos lados. Tal péndulo invertido guiado verticalmente, a veces también llamado un péndulo Kapitza, permanecerá firmemente en una posición vertical si está bien elegida la frecuencia de accionamiento del acoplamiento. Para uno de los muchos videos del fenómeno, ver www.youtube.com/watch?v=is_ejYsvAjY. La resonancia paramétrica aparece en muchos entornos, incluyendo el cielo. Los asteroides troyanos se mantienen en órbita por resonancia paramétrica. ** FIGURA 186 Una onda particularmente lenta: los baches (moguls) de esquí en una pista de esquí acrobático (© Andreas Hallerbach También los baches de pistas de esquí, los llamados chichones (moguls) de esquí, son ondas: se mueven. Los chichones de esquí son esenciales en muchas disciplinas olímpicas de invierno. La observación muestra que los chichones de esquí tienen una longitud de onda típicamente de 5 a 6 m, y que se mueven con una velocidad media de 8 cm/día. Sorprendentemente, la velocidad se dirige hacia arriba, hacia la parte superior de la pista de esquí. Desafío 483 s. ¿Puede explicar por qué esto es así? De hecho, los chichones de esquí son también un ejemplo de autoorganización; este tema se tratará en más detalle a continuación. ∗∗ Una orquesta está tocando música en una gran sala. A una distancia de 30 m, alguien está escuchando la música. A una distancia de 3.000 kilómetros, otra persona está escuchando la música a través de la radio. 220 Desafío 484 s. ¿Quién escucha la música antes? ∗∗ Desafío 485 s. ¿Cuál es el período de un péndulo simple, es decir, de una masa m unida a una cuerda sin masa de longitud l? ¿Cuál es el período si la cuerda es mucho más larga que el radio de la Tierra? ∗∗ Desafío 486 s. ¿Qué trayectoria sigue un cuerpo que se mueve sin fricción en un plano, pero que está unido por un muelle a un punto fijo de este plano? ** La ballena azul, Balaenoptera musculus, es el animal más ruidoso que se encuentra en la naturaleza: su voz se puede oír a una distancia de cientos de kilómetros. ∗∗ La exploración del sonido en el mar, desde la comunicación de las ballenas al el sonar de los delfines, es un mundo en sí mismo. Como punto de partida, explore el sitio web excelente www.dosits.org. ** Un dispositivo que muestra cómo se vinculan la rotación y la oscilación es la sirena de alarma. Desafío 487 e. Descubra cómo funciona y construya una usted mismo. ∗∗ Los liliputienses de Jonathan Swift tienen la doceava parte del tamaño de los seres humanos. Demuestre que la frecuencia de sus voces debe por tanto ser 144 veces mayor que la de los seres humanos, y por lo tanto será inaudible. Gulliver no pudo haber oído lo que decían liliputienses. Lo mismo, con toda probabilidad, sería cierto para brobdingnagianos, que eran diez veces más altos que los humanos. Desafío 488 s Sus frases también serían cien veces más bajas. ∗∗ La luz es una onda, como descubriremos más adelante. En consecuencia, la luz que llega a la Tierra desde el espacio se refracta cuando entra en la atmósfera. Desafío 489 e. ¿Puede confirmar que, como resultado, las estrellas parecen un poco más altas en el cielo de la noche de lo que realmente están? ∗∗ ¿Cuáles son las mayores olas del mar? Esta pregunta se ha investigado sistemáticamente sólo recientemente, utilizando satélites. El resultado sorprendente es que las olas del mar con una altura de 25 metros y más son comunes: hay algunas de tales olas en los océanos en cualquier momento dado. Este resultado confirma las extrañas historias de capitanes experimentados de buques y explica muchos naufragios de otro modo inexplicables. Los surfistas pueden así tener muchas posibilidades para montar olas 30 m. (El récord presente está justo por debajo de esta altura). Pero tal vez las olas más impresionantes para surfear son las de la Pororoca, una serie de olas de 4 m que se mueven desde el mar al río Amazonas, cada primavera, en contra de la corriente del río. Estas ondas pueden ser surfeadas decenas de kilómetros. ∗∗ Curiosamente, todas las superficies de agua tiene ondas, aunque parezcan completamente planas. Como consecuencia de la temperatura finita de agua, su superficie siempre tiene algo de rugosidad: hay ondas capilares térmicas. Para el agua, con una tensión superficial de 72 mPa, la rugosidad típica en condiciones normales es de 0,2 nm. Estas ondas capilares térmicas, previstas desde hace muchos siglos, se han observado recientemente. ∗∗ Todas las ondas se amortiguan, finalmente. Este efecto es a menudo dependiente de la frecuencia. Desafío 490 s. ¿Puede proporcionar una confirmación de esta dependencia en el caso del sonido en el aire? ∗∗ Desafío 491 e. Cuando usted hace un agujero con una aguja en papel negro, el agujero puede ser utilizado como una lente de aumento. (Pruébelo.) La difracción es la responsable del efecto de lente. Por cierto, la difracción de la luz por los agujeros la hizo notar ya Francesco Grimaldi en el siglo XVII; quien dedujo correctamente que la luz es una onda. Sus observaciones fueron posteriormente discutidas por Newton, que erróneamente las desestimó. ∗∗ 221 Ponga una taza vacía cerca de una lámpara, de tal manera que la parte inferior de la copa permanezca en la sombra. Cuando se llena el vaso con agua, un poco de la parte inferior se iluminará, debido a la refracción de la luz de la lámpara. El mismo efecto nos permite construir las lentes. El mismo efecto se encuentra en la base de instrumentos como el telescopio. FIGURA 187 Las sombras muestran la refracción de la luz. ∗∗ Desafío 492 s ¿Las ondas de agua son transversales o longitudinales? ∗∗ La velocidad de las ondas de agua limita las velocidades de los barcos. Un buque de superficie no puede viajar (mucho) más rápido que cerca de vcrit = (0,16·g·l)1/2, donde g = 9,8 m/s2, l es la longitud de la embarcación, y 0,16 es un número determinado de forma experimental, llamado el número crítico de Froude. Esta relación es válida para todos los buques, desde los grandes petroleros (l = 100 m da v crit = 13 m/s) hasta los patos (l = 0,3 m da vcrit = 0,7 m/s). La velocidad crítica es la de una onda con la misma longitud de onda que la nave. De hecho, es posible mover una nave a velocidades más altas que el valor crítico, pero requiere mucha más energía. (Una mayor velocidad también es posible si el buque se encuentra navegando sobre una onda.) Desafío 493 s ¿A qué distancia está el récord olímpico de natación estilo crowl en piscina olímpica del valor crítico? La mayoría de los animales acuáticos y las naves son más rápidos cuando nadan bajo la superficie - donde no existe el límite debido a las ondas de superficie - que cuando nadan en la superficie. Por ejemplo, los patos pueden nadar tres veces más rápido bajo el agua que en la superficie. ∗∗ La velocidad de grupo de las ondas de agua (en aguas profundas) es menor que la velocidad de las crestas de onda individuales, la llamada velocidad de fase. Como resultado, cuando un grupo de crestas de onda viaja, dentro del grupo las crestas se mueven de atrás hacia el frente: aparecen en la parte posterior, viajan hacia adelante y luego desaparecen en la parte delantera. La velocidad de grupo de las ondas de agua es inferior a su velocidad de fase. ∗∗ Uno puede oír el mar lejano o una carretera distante más claramente en la tarde que por la mañana. Este es un efecto de la refracción. La velocidad del sonido disminuye con la temperatura. Por la noche, el suelo se enfría más rápidamente que el aire de encima. Como resultado, el sonido sale del suelo y viajando hacia arriba se refracta hacia abajo, lo que lleva a una distancia de audición más lejana típica de las tardes. En la mañana, generalmente el aire es frío arriba y cálido a continuación. El sonido se refracta hacia arriba, y el sonido distante no llega a un oyente en el suelo. Esta refracción implica que las mañanas son tranquilas, y que podemos escuchar los sonidos más distantes por las noches. Los elefantes usan esta situación del sonido durante las noches para comunicarse a distancias de más de 10 km. (También utilizan ondas sonoras en el suelo para comunicarse, pero eso es otra historia.) ∗∗ La refracción también implica que hay un canal sonoro en el océano, y en la atmósfera. La velocidad de sonido disminuye con la temperatura, y aumenta con la presión. A una profundidad oceánica de 1 km, o a una altura atmosférica de 13 a 17 km (es decir en la parte superior de los más altos cumulusnimbos o de manera equivalente, en medio de la capa de ozono) el sonido tiene una velocidad mínima. Como resultado, el sonido que se inicia a partir de ese nivel y trata de salir, se canaliza de nuevo a él. Las ballenas utilizan este canal de sonido al comunicarse entre sí con hermosas canciones; uno puede encontrar grabaciones de estas canciones en Internet. Desafío 494 e. Los militares utilizan con éxito los micrófonos colocados en el canal de sonido en el océano para localizar submarinos y micrófonos colocados en globos en el canal de la atmósfera para escuchar las explosiones nucleares. (De hecho, los experimentos sonoros realizados por los militares son la razón principal por la que las ballenas están ensordecidas y pierden su orientación, dejándolas varadas 222 en las costas. Experimentos similares en el aire con globos de gran altitud son a menudo confundidos con los platillos voladores, como en el famoso incidente Roswell.) ∗∗ También los pequeños animales se comunican mediante ondas sonoras. En 2003, se encontró que los arenques se comunican utilizando sonidos que producen cuando se tiran pedos. Cuando ventosean, el gas crea un sonido de tic cuyo espectro de frecuencia alcanza hasta 20 kHz. Incluso se pueden escuchar grabaciones de este sonido en Internet. Los detalles de la comunicación, tales como las diferencias entre hombres y mujeres, todavía se están investigando. Es posible que los sonidos también puedan ser utilizados por los depredadores para detectar el arenque, e incluso podría ser utilizado por los futuros buques de pesca. ∗∗ En los mares de mucho viento, las crestas blancas de las olas tienen varios efectos importantes. El ruido proviene de pequeñas burbujas de agua que estallan e implosionan. El ruido de las olas en el mar abierto es, pues, la superposición de muchas pequeñas explosiones. Al mismo tiempo, las crestas blancas son los lugares en los que los mares absorben dióxido de carbono de la atmósfera, y así reducen el calentamiento global. ∗∗ Las llamadas olas anómalas - también llamadas ondas u olas monstruos u olas extrañas -, son olas individuales en mar abierto, con una altura de más de 30 m que aparecen de repente entre olas más pequeñas, ha sido un fenómeno desconcertante durante décadas. Nunca ha estado claro si realmente ocurrieron. Sólo informes dispersos de capitanes y barcos hundidos misteriosamente indicaban su existencia. Por último, en el 1995, las medidas comenzaron a confirmar su existencia. Una de las razones para el escepticismo era que el mecanismo de su formación sigue siendo poco claro. Sin embargo, los experimentos realizados del 2010 en adelante ampliaron la comprensión de las ondas de agua no lineales. Estos experimentos han confirmado que primero bajo condiciones idealizadas, las ondas de agua también muestran la llamadas soluciones de ventilación, o de enfoque no lineal. Finalmente, en 2014, Chabchoub y Fink fueron capaces de demostrar, con una técnica experimental inteligente basado en una inversión del tiempo, que la focalización no lineal incluyendo las olas anómalas - puede aparecer en las ondas de agua irregulares de amplitud mucho más pequeña. (Como explica Amin Chabchoub, la prueba de vídeo se ve como la que se muestra en la Figura187b) FIGURA 187-b Una onda anómala artificial – reducida - creada en un tanque de agua. (QuickTime film © Amin Chabchoub, ver por ejemplo https://wattsupwiththat.com/2016/10/03/researchersucceeds-creating-a-controlled-rogue-wave-in-realisticoceanic-conditions/comment-page-1/). ** Desafío 495 s ¿Por qué hay muchos pequeños agujeros en los techos de algunas oficinas de un gran número de empresas? ∗∗ Desafío 496 ny. ¿Qué magnitud determina la longitud de onda de las olas de agua emitidas cuando se lanza una piedra en un estanque? ** Yakov Perelman enumera los siguientes cuatro problemas en su delicioso libro problemas de física: Desafío 497 s. (1) Una piedra que cae en un lago produce ondas circulares. ¿Cuál es la forma de las ondas producidas por una piedra que cae en un río, donde fluye el agua? ∗∗ Desafío 498 s. (2) Es posible construir una lente para el sonido, de la misma manera que es posible construir lentes para la luz. ¿Cómo sería el objetivo de tal lente? ∗∗ Desafío 499 s (3) ¿Qué es el sonido que se oye en el interior de una concha? 223 ∗∗ Desafío 500 s. (4) La luz tarda unos ocho minutos en viajar desde el Sol a la Tierra. ¿Qué consecuencia tiene esto para el momento de la salida del sol? ** FIGURA 188 Cubo de Rubik: la complejidad de un movimiento tridimensional sencillo (© Wikimedia). Todo estudiante probablemente conoce el cubo de Rubik. ¿Puede hacer o deducir cómo Rubik ha construido el cubo sin mirar en su interior? ¿Y sus generalizaciones para cubos con otros números de segmentos? Desafío 501 s ¿Hay un límite al número de segmentos? Estos rompecabezas son incluso más difíciles que la búsqueda de la reordenación del cubo. ∗∗ Típicamente, el sonido de una persona hablando produce una variación de presión de 20 mPa en la oreja. Desafío 502 ny Cómo se determina este valor? El oído es, de hecho, un dispositivo sensible. Ahora se sabe que la mayoría de los casos de los mamíferos marinos, como las ballenas, que nadan hacia la orilla se deben a problemas en el oído: por lo general algún dispositivo militar (ya sea las señales de sonar o explosiones) ha destruido su oído de tal manera que se vuelven sordos y pierden la orientación. ∗∗ FIGURA 189 El oído humano (© Northwestern University). ¿Por qué es el oído humano, que se muestra en la Figura 189, tan complejo? La parte exterior, el pabellón auricular o auricola, concentra la presión sonora en la membrana timpánica; que produce una ganancia de 3 dB. La membrana timpánica, o tímpano, está hecha de tal manera para oscilar siempre en modo fundamental, por tanto, sin ningún nodo. La membrana timpánica tiene una (muy amplia) resonancia a 3 kHz, en la región donde el oído es más sensible. El tímpano transmite su movimiento, usando la cadena de huesecillos, en el oído interno. Así, este mecanismo transforma las ondas de aire en ondas de agua en el oído interno, donde se detectan. (La eficiencia con la que esta transformación se lleva a cabo es casi ideal, usando el lenguaje de la teoría de las ondas, los huesecillos sobrepasan a todos los transformadores de impedancia) ¿Por qué el oído transforma las ondas de aire en ondas de agua? Debido a que la longitud de onda del sonido en los líquidos es más pequeña, y permite un pequeño detector; de lo contrario, ¡el oído no encajaría dentro de la cabeza! ∗∗ Los infrasonidos, sonidos inaudibles por debajo de 20 Hz, son un tema moderno de investigación. En la naturaleza, los infrasonidos son emitidos por terremotos, erupciones volcánicas, el viento, el trueno, las cascadas, las caídas de meteoritos y las olas rompientes. El movimiento de los glaciares, los maremotos, las 224 avalanchas y las tormentas geomagnéticas también emiten infrasonidos. Las fuentes antrópicas de infrasonidos están representadas por el lanzamiento de misiles, el tráfico, los motores de combustión y los compresores de aire. Se sabe que los infrasonidos de alta intensidad conducen a vómitos o trastornos del sentido del equilibrio (140 dB o más durante 2 minutos), e incluso a la muerte (170 dB durante 10 minutos). Los efectos de menor intensidad en la salud humana no son todavía conocidos. Los infrasonidos pueden viajar varias veces alrededor del mundo antes de extinguirse, como mostró en 1883 la explosión del volcán Krakatoa. Con los detectores de infrasonidos modernos, las olas marinas rompientes pueden detectarse a cientos de kilómetros de distancia. Las olas rompientes generan en el mar un zumbido muy constante de la corteza de la Tierra a frecuencias entre 3 y 7 mhz. La Red Global de infrasonidos utiliza el infrasonido para detectar pruebas de armas nucleares, terremotos y erupciones volcánicas, y puede contar los meteoritos. Sólo en muy raras ocasiones pueden ser escuchados los meteoritos con el oído humano. ∗∗ El método utilizado para deducir las ondas sinusoidales contenidas en una señal, como se muestra en la Figura 170, se llama la transformación de Fourier. Esta es de capital importancia en toda la ciencia y la tecnología. En la década de 1980, una generalización interesante se hizo popular, la llamada transformación de ondículas (wavelet). En contraste con las transformaciones de Fourier, las transformaciones de ondículas permiten localizar las señales en el tiempo. Las transformaciones de ondículas se utilizan para comprimir imágenes almacenadas digitalmente de una manera eficiente, para diagnosticar problemas en la turbina de un avión, y en muchas otras aplicaciones. ∗∗ Si le gustan los desafíos de ingeniería, aquí hay una que todavía está abierta. Desafío 503 r. ¿Cómo se puede hacer un sistema robusto y eficiente que transforme la energía de las olas del mar en electricidad? ** Si usted está interesado en las olas del mar, también puede disfrutar de la ciencia de la oceanografía. Para obtener una introducción, vea los libros de texto de código abierto en oceanworld.tamu.edu. ∗∗ En nuestra descripción de los cuerpos extensos, asumimos que cada punto de un cuerpo se puede seguir por separado a lo largo de su movimiento. ¿Está justificada esta suposición? Desafío 504 r. ¿Qué pasaría si no lo estuviera? ** Un tipo especial de ondas aparece en explosiones y vuelos supersónicos: las ondas de choque. En una onda de choque, la densidad o la presión de un gas cambia bruscamente, en distancias de unos pocos micrómetros. FIGURA 190 La onda de choque creada por un cuerpo en movimiento supersónico conduce a un 'estampido sónico "que se mueve a través del aire; puede hacerse visible en la fotografía Schlieren o por condensación de agua (foto © Andrew Davidhazy, Gary Settles, NASA). 225 El estudio de las ondas de choque es un campo de investigación en sí mismo; las ondas de choque determinan el vuelo de las balas, el chasquido de los látigos y los efectos de las detonaciones. Alrededor de un cuerpo en movimiento con velocidad supersónica, las ondas de sonido forman un cono, como se muestra en la Figura 190. Cuando el cono pasa a un observador en el suelo, el cono conduce a una explosión sónica. Lo que es menos conocido es que el estampido puede ser amplificado. Si un avión acelera a través de la barrera del sonido, ciertos observadores en el suelo escucharán dos estampidos o incluso un llamado superestampido, porque los conos de varias velocidades se pueden superponer en ciertos puntos en el suelo. Un avión que realiza determinadas maniobras, como una curva a gran velocidad, incluso puede producir un súper estampido en un lugar predefinido en el suelo. En contraste con los estampidos sónicos normales, los súper estampidos pueden destruir ventanas, tímpanos y dar lugar a traumatismos, especialmente en los niños. Por desgracia, son producidos regularmente a propósito por pilotos militares frustrados en varios lugares del mundo. ∗∗ ¿Qué tienen en común los cisnes nadando y los barcos navegando? La estela tras de sí. A pesar de la similitud, este fenómeno no tiene relación con la explosión sónica. De hecho, el ángulo de la estela es la misma para los patos y barcos, y es independiente de la velocidad a la que viajan o del tamaño del cuerpo en movimiento, siempre que el agua sea lo suficientemente profunda. Como se explicó anteriormente, las ondas de agua en aguas profundas difieren de las ondas de sonido: su velocidad de grupo es la mitad de la velocidad de fase. (Desafío 505 e ¿Se puede deducir esto de la relación de dispersión ω = √g·k entre la frecuencia angular y el vector de onda, válido para las ondas de aguas profundas?). Las ondas de agua interferirán donde se transporta la mayor parte de la energía, por tanto, en torno a la velocidad de grupo. Por esta razón, en el gráfico que se muestra en la Figura 191, el diámetro de cada círculo de onda es siempre la mitad de la distancia de su punto más a la derecha O al vértice A. Como resultado, el medio ángulo de la estela ápice obedece sin α = 1/3 dando un ángulo de estela 2α = 38.942° . (105) La Figura 191 también permite deducir las curvas que conforman el patrón de onda de la estela, usando geometría simple. FIGURA 191 Las estelas detrás de un barco y detrás de un cisne, y el modo de deducir la forma (fotos © Wikimedia, Christopher Thorn). Es esencial tener en cuenta que el ángulo de estela fija es válida sólo en aguas profundas, es decir, sólo en el agua que es mucho más profunda que la longitud de onda de las ondas involucradas. En otras palabras, para una profundidad dada, la estela tiene la forma fija sólo hasta una velocidad máxima de la fuente. Para altas velocidades, el ángulo de estela se estrecha, y el patrón dentro de la estela cambia. ∗∗ 226 Los murciélagos vuelan en la noche utilizando la ecolocalización. Los delfines también lo usan. El sonar, utilizado por los buques de pesca en busca de peces, copia el sistema de delfines. Mucho menos conocido es que los seres humanos tienen la misma capacidad. Desafío 506 e. ¿Alguna vez ha tratado de ecolocalizar una pared en una habitación completamente a oscuras? Usted se sorprenderá de lo fácil que es que esto sea posible. Simplemente dé un fuerte silbido o ruido silbante que se detenga abruptamente, y escuche el eco. Usted será capaz de localizar paredes de forma fiable ∗∗ Los pájaros cantan. Si desea explorar cómo sucede esto, mire la impresionante película de rayos X que se encuentra en el sitio web www.indiana.edu/~songbird/multi/cineradiography_index.html . ∗∗ Cada solitón es una estructura de una sola dimensión. ¿Existen análogos bidimensionales? Esta cuestión estuvo abierta durante muchos años. Finalmente, en 1988, Boiti, León, Martina y Fumagalli encontraron que una cierta ecuación de evolución, la denominada ecuación de Davey-Stewartson, puede tener soluciones que se localizan en dos dimensiones. Estos resultados han sido generalizados por Fokas y Santini y aún más generalizados por Hietarinta e Hirota. Tal solución se llama hoy una dromion. Los Dromiones son protuberancias que se localizan en dos dimensiones y se pueden mover, sin desaparecer través de la difusión, en los sistemas no lineales. Un ejemplo se muestra en la Figura 192 Sin embargo, hasta el momento, ninguna de estas soluciones se puede observar en los experimentos.; este es uno de los desafíos experimentales más importantes que quedan pendientes en la ciencia no lineal. FIGURA 192 El movimiento calculado de un dromión a través de un sustrato de dos dimensiones. (Película QuickTime © Jarmo Hietarinta) ∗∗ Las Ondas de agua no han perdido su interés hasta el día de hoy. Por encima de todo, las soluciones bidimensionales de las ondas de agua solitónicas siguen siendo un tema de investigación. Los experimentos son simples, las matemáticas complicadas y los temas son fascinantes. En dos dimensiones, las crestas incluso pueden formar patrones hexagonales! La ecuación correspondiente para las ondas superficiales, la generalización de la ecuación Korteweg-de Vries a dos dimensiones, se llama ecuación KadomtsevPetviashvili. Esto lleva a muchas ondas de agua inusuales, incluyendo ondas cnoidales, solitones y dromiones, algunas de las cuales se muestran en la Figura 193. La cuestión de si existen patrones rectangulares sigue abierta, y las ecuaciones y soluciones para las olas en aguas profundas exactas son también desconocidas. FIGURA 193 Ondas inusuales de agua en aguas poco profundas: (arriba) en un tanque de agua experimental y en una tormenta en Carolina del Norte, (abajo) una onda cnoidal casi pura cerca de Panamá y dos de estas ondas se cruzan en la Isla de Ré (foto © Diane Henderson, Anónimo , Wikimedia). 227 Para el agua en movimiento, las ondas son incluso más complejas y muestran fenómenos obvios, como el efecto Doppler, y los menos obvios, como agujeros y cachorros. En resumen, aunque sea un fenómeno tan común la onda de agua sigue siendo un campo de investigación. ∗∗ ¿Cómo depende el tono producido al soplar en una botella de su tamaño? Para botellas que son voluminosas, la frecuencia f, la llamada cavidad de resonancia, se encontró que dependerá del volumen V de la botella: f= √ c A 2 π VL o f∼ 1 √V (106) donde c es la velocidad del sonido, A es el área de la abertura, y L es la longitud del cuello de la botella. Desafío 508 e. ¿La fórmula está de acuerdo con sus observaciones? De hecho, la producción de tono es un tema complicado, y existen libros especializados sobre el tema. Por ejemplo, cuando se sopla sobre un instrumento, un saxofón produce un segundo armónico, una octava, mientras que un clarinete produce un tercer armónico, una quinta (más precisamente, una doceava). ¿Por qué es así? La teoría es compleja, pero el resultado simple: instrumentos cuya sección transversal aumenta a lo largo del tubo, como los cuernos, trompetas, oboes o saxofones, sobresoplan por octavas. Para los instrumentos de aire que tienen (en su mayoría) un tubo cilíndrico, el efecto de sobresoplado depende del mecanismo de generación de tonos. Las flautas sobresoplan a la octava, pero los clarinetes a la doceava. ∗∗ Muchos sistemas acústicos no sólo producen armónicos, sino también sub-armónicos. Hay una manera simple de observar la producción de subarmónicos: cantar con los oídos debajo del agua, en la bañera. Dependiendo del aire que queda en los oídos, se pueden oír subarmónicos de la propia voz. El efecto es bastante especial. FIGURA 193 b Abajo y en negro una onda cnoidal. Son ondas de gravedad superficiales de la longitud de onda bastante larga, con respecto a la profundidad de agua. ∗∗ El origen del sonido de craqueo de las articulaciones, por ejemplo, de la mano, es un rompecabezas bien conocido. Desafío 509 e. ¿Cómo probar la conjetura de que es debido a la cavitación? ¿Qué haría usted para averiguarlo definitivamente? ∗∗ Entre las experiencias más impresionantes de sonido se cuentan las actuaciones de canto de los contraltos y del canto aún más alto de los sopranos masculinos. Si alguna vez tiene la oportunidad de escuchar a uno, no se pierda la ocasión. 228 RESUMEN SOBRE ONDAS Y OSCILACIONES En la naturaleza, además del movimiento de los cuerpos, se observa también el movimiento de las ondas y de los grupos de ondas o señales. Las ondas tienen energía, cantidad de movimiento y momento angular. Las ondas pueden interferir, difractarse, refractarse, dispersar, amortiguarse y, si es transversal, pueden ser polarizadas. Las oscilaciones son un caso especial de las ondas; por lo general son ondas estacionarias. Las ondas solitarias, es decir, las ondas con una sola cresta, son un caso especial de ondas. 229 CAPÍTULO 11 ¿EXISTEN LOS CUERPOS EXTENSOS? – LOS LÍMITES DE LA CONTINUIDAD A cabamos de discutir el movimiento de los cuerpos extensos de manera bastante detallada. Hemos encontrado que todos los cuerpos extensos, ya sean sólidos o fluidos, presentan movimiento ondulatorio. Pero, ¿son cuerpos extensos lo que actualmente encontramos en la naturaleza? Por extraño que parezca, esta cuestión ha sido una de las cuestiones más intensamente discutidas en la física. A través de los siglos, ha reaparecido una y otra vez; en cada mejora de la descripción del movimiento, la respuesta ha alternado entre la afirmación y la negación. Muchos pensadores han sido encarcelados, y numerosos otros todavía están siendo perseguidos, ¡por dar respuestas que no son políticamente correctas! De hecho, el problema surge ya en la vida cotidiana. MONTAÑAS Y FRACTALES Cada vez que subimos una montaña, seguimos el contorno de su forma. Por lo general, describimos este contorno como una superficie bidimensional curvada. Pero, ¿es esto correcto? En la vida ordinaria remarcamos que es una buena aproximación...pero hay posibilidades alternativas. La más popular es la idea de que las montañas son superficies fractales. Un fractal fue definido por Benoît Mandelbrot como un conjunto que es auto-similar bajo una cantidad numerable pero infinita de valores de ampliación. Ya hemos encontrado líneas fractales. Un ejemplo de un algoritmo para la construcción (al azar) de una de superficie fractal se muestra en la parte derecha de la Figura 194. Produce formas que parecen notablemente similares a las montañas reales. Los resultados son tan realistas que se utilizan en las películas de Hollywood. Si esta descripción fuera correcta, las montañas serían extensas, pero no continuas. Pero las montañas también podrían ser fractales de una especie diferente, como se muestra en el lado izquierdo de la Figura 194. Las Superficies montañosas podrían tener una infinidad de pequeños agujeros y otros más pequeños aún. De este modo, también podríamos imaginar que las montañas se describen como versiones en tres dimensiones de la parte izquierda de la figura. Las Montañas serían entonces una especie de queso gruyere suizo matemático. Desafío 510 s. ¿Puede diseñar un experimento para decidir si los fractales proporcionan una descripción correcta de las montañas? Para resolver la cuestión, estudiaremos las barras de chocolate, los huesos, los árboles y las pompas de jabón. FIGURA 194 Los enlosados (izquierda) y las montañas (derecha) podrían ser fractales; en el caso de montañas esta aproximación se utiliza a menudo en gráficos por ordenador (imagen © Paul Martz). 230 ¿PUEDE UNA TABLETA DE CHOCOLATE DURAR PARA SIEMPRE? De una gota de agua un lógico podría predecir un Atlántico o un Niágara. Arthur Conan Doyle, Estudio en escarlata Cualquier niño sabe cómo hacer que una barra de chocolate dure para siempre: comer todos los días la mitad de lo que quede. Sin embargo, esta argucia sólo funciona si la materia es invariante en escala. En otras palabras, el método sólo funciona si la materia es o bien fractal, ya que entonces sería invariante en escala para un conjunto discreto de factores de ampliación (zoom), o bien continua, en cuyo caso sería invariante en escala para cualquier factor de ampliación. Ahora bien, ¿qué caso se aplica a la naturaleza? Ya hemos encontrado un hecho que hace de la continuidad una suposición cuestionable: la continuidad nos permitiría, como mostraron Banach y Tarski, multiplicar los alimentos y cualquier otra materia mediante cortes y reensamblajes inteligentes. La continuidad permitiría a los niños comer la misma cantidad de chocolate todos los días, sin volver a comprar una nueva tableta. Por lo tanto la materia no es continua. Ahora bien, el chocolate fractal no puede descartarse de esta manera, pero otros experimentos resolverán la cuestión. En efecto, observamos que los materiales fundidos no ocupan volúmenes mucho más pequeños que los sólidos. También encontramos que incluso bajo las presiones más altas, los materiales no se encogen. Así llegamos a la conclusión de nuevo que la materia no es un fractal. ¿Cuál es entonces su estructura? Para tener una idea de la estructura de la materia podemos considerar el chocolate fluido, o incluso sólo un poco de aceite - que es el ingrediente principal del chocolate de todos modos - y lo extendemos sobre una superficie grande. Por ejemplo, podemos extender una gota de aceite en un estanque en un día sin lluvia ni viento; no es difícil de observar qué partes del agua están cubiertos por el aceite y cuáles no lo están. Una pequeña gota de aceite no puede cubrir una superficie más grande que … Desafío 511 s. ¿Puede adivinar el valor? El agua cubierta de aceite y el agua al descubierto tienen diferentes colores. Tratar de difundir la película de aceite más allá, inevitablemente la rasga en partes. El método del niño de prolongar el placer del chocolate no funciona por lo tanto para siempre: toma un final repentino. El experimento del aceite, que incluso pueden llevarse a cabo en casa, muestra que existe un espesor mínimo de las películas de aceite, con un valor de aproximadamente 2 nm. El experimento muestra* que hay un tamaño mínimo en el espesor del aceite. El aceite se conforma a base de componentes diminutos. ¿Es esto válido para toda la materia? FIGURA 194.b La difusión de una gota de un medio microlitro de aceite, hecha con una micropipeta, sobre un metro cuadrado de agua cubierta con polvo fino de lycopodium. (© Wolfgang Rueckner). * El experimento del aceite fue popularizado por Thomson-Kelvin unas pocas décadas después de la determinación de Loschmidt del tamaño de las moléculas,. Con frecuencia se afirma que Benjamin Franklin fue el primero en llevar a cabo el experimento del aceite; lo que es incorrecto. Franklin no midió el espesor, y ni siquiera consideró la cuestión del espesor. Hizo verter aceite sobre el agua, pero se perdió la conclusión más importante que puede extraerse de ella. Incluso los genios no lo descubren todo. 231 EL CASO DE GALILEO GALILEI Después de la Edad Media, Galileo (1564-1642) fue el primero en afirmar que toda la materia estaba hecha de partes más pequeñas, que él llamó piccolissimi quanti, es decir, cuantos pequeñísimos. Hoy en día, se llaman átomos. Sin embargo, Galileo pagó un alto precio por esta afirmación. En realidad, durante su vida, Galileo fue atacado por dos razones: Debido a sus ideas sobre el movimiento de la Tierra, y debido a sus ideas sobre los átomos. ** El descubrimiento de la importancia de ambos temas es el mérito del gran historiador Pietro Redondi, colaborador de otro gran historiador, Pierre Costabel. Uno de los temas de investigación de Redondi es la historia de la disputa entre los jesuitas, que en el momento defendían la teología ortodoxa, y Galileo y los demás científicos. En la década de 1980, Redondi descubrió un documento de la época, una denuncia anónima denominada G3, que le permitió demostrar que la condena de Galileo a cadena perpetua por sus puntos de vista sobre el movimiento de la Tierra fue organizada por su amigo el Papa para protegerlo de una segura condena a muerte sobre un tema diferente: los átomos. Galileo defendió el punto de vista, que se explicará en detalle en breve, que puesto que la materia no es invariante en escala, debe estar hecha de 'átomos' o, como él los llamaba, piccolissimi quanti. Esta era y sigue siendo una herejía, porque los átomos de la materia contradicen la idea central católica que en la Eucaristía se dan las cualidades sensibles del pan y del vino de forma independiente de su sustancia. La distinción entre sustancias y cualidades sensibles, introducido por Tomás de Aquino, es esencial para dar sentido a la transustanciación, el cambio del pan y del vino en carne y sangre de Cristo, que es un principio central de la fe católica. De hecho, un verdadero católico aún no se permite creer en los átomos hasta el día de hoy, porque la idea de que la materia está hecha de átomos contradice la transustanciación. (Las iglesias protestantes por lo general no admiten la transustanciación y por lo tanto no tienen ningún problema con los átomos, entre otras cosas.) En la época de Galileo, los tribunales eclesiásticos castigaban la herejía, es decir, las opiniones personales que se desvíaban de la teología ortodoxa, con la pena de muerte. Pero Galileo no fue condenado a muerte. La vida de Galileo fue salvada por el Papa, asegurándose de que la cuestión de la transustanciación no sería un tema del juicio, y velando para que el juicio en la Inquisición fuera organizado por una comisión papal dirigida por su sobrino, Francesco Barberini. Pero el Papa también quería castigar a Galileo, porque sentía que se habían burlado de sus ideas en el libro de Galileo Il Dialogo y también porque, atacado por su política exterior, no fue capaz de ignorar o suprimir el problema. Como resultado, en 1633 a los setenta años de edad, Galileo fue condenado a una pena de prisión, 'después de invocar el nombre de Jesucristo', por 'sospecha de herejía’ (y por lo tanto no por herejía), porque no cumplió con una promesa anterior de no enseñar que la tierra se mueve. De hecho, el movimiento de la Tierra contradice lo que dice la biblia cristiana. Galileo estaba convencido de que la verdad se determinaba mediante la observación, la Inquisición que se determinaba por un libro - y por sí misma. En muchas cartas que Galileo escribió durante toda su vida, expresó su convicción de que la verdad observacional nunca podría ser una herejía. El juicio le demostró lo contrario: se vio obligado a declarar que se equivocó al enseñar que la Tierra se mueve. Después de un tiempo, el Papa redujo la pena de prisión a arresto domiciliario. La condena de Galileo sobre el movimiento de la Tierra no era el final de la historia. En los años posteriores la muerte de Galileo, también el atomismo fue condenado en varios juicios contra las ideas de Galileo y sus seguidores. Pero los efectos de estos juicios no fueron los previstos por la Inquisición. Sólo veinte años después del famoso juicio, alrededor de 1650, todos los astrónomos del mundo estaban convencidos del movimiento de la Tierra. Y el resultado de los juicios contra el atomismo era que al final del siglo XVII, prácticamente todos los científicos estaban convencidos de que existían los átomos. Los juicios aceleraron un efecto adicional: después de Galileo y Descartes, el centro de investigación científica e innovación pasó de los países católicos, como Italia o Francia, a los países protestantes. En estos, como los Países Bajos, Inglaterra, Alemania o los países escandinavos, la Inquisición no tenía poder. Este cambio todavía se siente hoy. ** Para obtener una visión clara de los asuntos de controversia en el caso de Galileo, especialmente las de interés para los físicos, el mejor texto es el excelente libro de Pietro Redondi, Galileo eretico, Einaudi, 1983, traducido al Inglés como Galileo Heretic, Princeton University Press, 1987. También está disponible en muchos otros idiomas; una edición actualizada que incluye los descubrimientos más recientes apareció en 2004 232 Es una historia triste que hasta 1992, la iglesia católica no revocara la condena de Galileo. En ese año, el Papa Juan Pablo II pronunció un discurso sobre el caso Galileo. Muchos años antes, le había pedido a una comisión de estudio para volver a evaluar el juicio, porque él quería expresar su pesar por lo ocurrido y quería rehabilitar a Galileo. La comisión trabajó durante doce años. Pero el obispo que presentó el informe final fue un tramposo: evitó citar los resultados de la comisión de estudio, declarando falsamente la posición de ambas partes sobre el tema de la verdad, falsamente manifestó que los argumentos de Galileo sobre el movimiento de la Tierra eran más débiles que los de la iglesia, resumió falsamente las últimas posiciones de la iglesia sobre el movimiento de la Tierra, evitó que indicara que las penas de prisión no son argumentos buenos en cuestiones de opinión o de herejía, se aseguró de que la rehabilitación ni siquiera se discutiera, y por supuesto, evitó cualquier mención de la transustanciación. Al final de esta lucha de poderes, Galileo no fue así rehabilitado, en contraste con lo que el Papa quería y en contraste con lo que la mayoría de los comunicados de prensa de la época dijeron; el Papa se limitó a declarar que "se habían cometido errores en ambos lados", y el tramposo que había tras todo esto fue compensado con una promoción. * Pero ese no es el final de la historia. Los documentos del juicio, que se mantenían cerrados cuando Redondi hizo su descubrimiento, fueron más tarde accesibles a los estudiosos por orden del Papa Juan Pablo II. En el año 1999, esto condujo al descubrimiento de un nuevo documento, denominado EE 291, un dictamen pericial interno sobre el tema del átomo que fue escrito para el juicio en 1632, pocos meses antes del inicio del procedimiento. El autor del documento llega a la conclusión de que Galileo era de hecho un hereje en la cuestión de los átomos. Así, el documento demuestra que el encubrimiento de la cuestión transustanciación durante el juicio de Galileo debe haber sido sistemática y exhaustiva, como Redondi había deducido. De hecho, los funcionarios de la iglesia y el catecismo católico evitan cuidadosamente el tema de los átomos, incluso hoy en día; puede buscar en la página web del Vaticano www.vatican.va acerca de cualquier mención de ellos. Pero Galileo no quería atacar la transubstanciación; quería avanzar en la idea de los átomos. Y así lo hizo. A pesar de ser condenado a prisión en el juicio, el último libro de Galileo, el Discorsi, escrito mientras un anciano ciego estaba en arresto domiciliario, incluye la discusión de los átomos, o piccolissimi quanti. Es una ironía de la historia que hoy en día, la teoría cuántica, llamada así por Max Born adoptando el término utilizado por Galileo para los átomos, se ha convertido con todo en la descripción más precisa de la naturaleza. Vamos a explorar cómo Galileo llegó a la conclusión de que toda la materia está hecha de átomos. ¿CUÁN ALTO PUEDEN SALTAR LOS ANIMALES? Las pulgas pueden saltar a alturas equivalentes a un centenar de veces su tamaño, los seres humanos sólo a alturas aproximadamente de su propio tamaño. De hecho, los estudios biológicos registran una observación simple: la mayoría de los animales, independientemente de su tamaño, alcanzan la misma altura de salto, a saber, entre 0,8 y 2,2 m, bien sean seres humanos, gatos, saltamontes, monos, caballos o leopardos. Hemos explicado este hecho anteriormente. A primera vista, la observación de la altura constante en los saltos parece ser un ejemplo sencillo de invariancia de escala. Pero echemos un vistazo más de cerca. Hay algunas excepciones interesantes en ambos extremos de la escala de masas. En el extremo de las pequeñas masas, los ácaros y otros pequeños insectos no alcanzan tales alturas, ya que, como todos los objetos diminutos, se encuentran con el problema de la resistencia del aire. En el extremo de las grandes masa, los elefantes no saltan tan alto, porque hacerlo significaría romper sus huesos. Pero ¿por qué se rompen los huesos? ¿Por qué todos los seres humanos tienen aproximadamente el mismo tamaño? ¿Por qué no hay adultos gigantes con una altura de diez metros? ¿Por qué no hay animales terrestres más grandes que los elefantes? Galileo ya dio la respuesta. Los huesos con los cuales están hechos las personas y los animales no permitirían tales cambios de escala, así que los huesos de los gigantes se derrumbarían bajo el peso que tendrían que soportar. (A escala humana al multiplicar la altura por un factor 10 pesaría 1.000 veces más, pero sus huesos sólo sería 100 veces más anchos). Pero, ¿por qué los huesos solo soportan una fuerza finita en todo caso? Sólo hay una explicación: porque los constituyentes de los huesos se unen entre sí con una atracción finita. *No debemos estar demasiado indignados: la misma situación ocurre en muchas empresas comerciales todos los días; la mayoría de los empleados industriales pueden contar historias similares. 233 A diferencia de los huesos, la materia continua - que sólo existe en los dibujos animados - no se podría romper en absoluto, y la materia fractal sería infinitamente frágil. Galileo llegó a la conclusión que la materia se rompe bajo cargas finitas porque está compuesta de pequeños componentes básicos. LA PODA Y TALA DE ÁRBOLES Las suaves laderas de la Montaña del Movimiento, están cubiertas de árboles. Los árboles son estructuras fascinantes. Tome su tamaño. ¿Por qué los árboles tienen un tamaño limitado? Ya en el siglo XVI, Galileo sabía que no es posible aumentar la altura de los árboles sin límites: en algún momento un árbol no tendría la fuerza necesaria para soportar su propio peso. Calculó la altura máxima en alrededor de 90 m; el registro real, desconocido para él en ese momento, parece ser de 150 m, detentado por árboles australianos del tipo Eucalyptus regnans. Pero después de todo, ¿por qué existe un límite? La respuesta es la misma que para los huesos: la madera tiene una resistencia finita ya que no es invariante en escala; y no es invariante en escala porque está hecha de pequeños constituyentes, a saber, los átomos.* En realidad, el cálculo del valor preciso del límite de altura es más complicado. Los árboles no deben romperse bajo fuertes vientos. La resistencia al viento limita la relación entre altura y grosor h/d a aproximadamente una ratio de 50 para los árboles de tamaño normal (de 0,2 m <d <2 m). Desafío 512 s. ¿Puede usted decir por qué? Los árboles más delgados están limitados en altura a menos de 10 m por el requisito de que regresen a la vertical después de haber sido doblados por el viento. Este tipo de estudios sobre las limitaciones naturales también responden a la pregunta de por qué los árboles están hechos de madera y no, por ejemplo, de acero. Desafío 513 s. Puede comprobar por sí mismo que la altura máxima de una columna de una masa dada se determina por la relación E/ρ2 entre los módulos de elasticidad y el cuadrado de la densidad de masa volúmica. Durante mucho tiempo, la madera era, de hecho, el material para el que esta proporción era más alta. Sólo recientemente los científicos han logrado diseñar materiales con ligeramente mejores relaciones: los compuestos de fibra. Pero después de todo, ¿por qué se rompen los materiales? Todas las observaciones proporcionan la misma respuesta y confirman el razonamiento de Galileo: porque hay un tamaño mínimo en los materiales. Por ejemplo, los cuerpos sometidos a estrés se rompen en la posición en la que su resistencia es mínima. Si un cuerpo fuera completamente homogéneo o continuo, no podía ser desgarrado; una grieta no podría iniciarse en ningún lugar. Si un cuerpo fuera un fractal, con estructura fractal de queso suizo gruyere, tendría múltiples lugares donde empezar las grietas, pero necesitarían solamente un choque infinitesimal para producirlas. PEQUEÑAS BOLAS DURAS Yo prefiero saber la causa de una sola cosa que ser el rey de Persia. Demócrito Observaciones precisas muestran que la materia no es ni continua ni un fractal: toda la materia está hecha de partículas básicas más pequeñas. Galileo, que dedujo su existencia al pensar en gigantes y árboles, los llamó, como dijimos antes, «piccolissimi quanti», los cuantos más pequeños. Hoy en día se llaman átomos, en honor a un famoso argumento de los antiguos griegos. Hace 2500 años, los griegos se hicieron la siguiente pregunta: Dado que el movimiento y la materia se conservan, ¿cómo puede existir el cambio y la transformación? La escuela filosófica de Leucipo y Demócrito de Abdera * estudió dos observaciones * Hay otro importante factor limitante: las columnas de agua dentro de los árboles no se deben romper. Ambos factores parecen producir alturas limitantes similares. * Leucipo de Elea (Λευκιππος) (c. 490 al c. 430 AC), Filósofo griego; Elea era un pequeño pueblo al sur de Nápoles. Se encuentra en Italia, pero pertenecía a la Magna Grecia. Demócrito (Δεμοκριτος) de Abdera (c. 460 a c. 356 o 370 aC), también un filósofo griego, fue posiblemente el filósofo más grande que jamás haya vivido. Junto con su maestro Leucipo, fue el fundador de la teoría atómica; Demócrito fue un pensador muy admirado, y contemporáneo de Sócrates. El vanidoso Platón ni siquiera lo menciona, dado que Demócrito era un peligro para su propia fama. Demócrito escribió muchos libros pero todos se han perdido; no se copiaron en la Edad Media debido a su visión del mundo científico y racional, que se percibe como un peligro por los fanáticos religiosos que tenían el monopolio de la industria de la copia. Hoy en día, se ha vuelto 234 particulares con especial detalle. Señalaron que la sal se disuelve en el agua. También observaron que los peces pueden nadar en el agua. En el primer caso, el volumen de agua no aumenta cuando se disuelve la sal. En el segundo caso, cuando los peces avanzan, deben empujar el agua a un lado. Leucipo y Demócrito dedujeron que sólo hay una posible explicación que satisface estas dos observaciones y concilia la conservación con la transformación: • la naturaleza está hecha de vacío y de partículas pequeñas, indivisibles y conservadas. ** En definitiva, dado que la materia es dura, tiene una forma y es divisible, Leucipo y Demócrito la imaginaron como hecha de átomos. Los átomos son partículas que tienen dureza y forma, pero son indivisibles. Así pues, los griegos dedujeron que cada ejemplo de movimiento, cambio y transformación es debido a reordenamientos de estas partículas; de este modo, el cambio y la conservación quedan pues reconciliados. En otras palabras, los griegos imaginaban la naturaleza como un vasto juego de Lego cuyas piezas son los átomos. Las Piezas de Lego son, en primer lugar, duras o impenetrables, es decir, repulsivas a distancias muy pequeñas. Por lo tanto los átomos explican por qué los sólidos no se pueden comprimir mucho. En segundo lugar las Piezas de Lego también son atractivas a pequeñas distancias: se quedan pegadas juntas. Los átomos explican así por qué existen los sólidos. Por último, los ladrillos de Lego no tienen ninguna interacción a grandes distancias. De esta forma los átomos explican la existencia de los gases. (En realidad, lo que los griegos llamaban «átomos» en parte corresponde a lo que hoy llamamos "moléculas". Este último término fue introducido con el fin de aclarar la distinción en 1811 por Amedeo Avogadro**. Pero podemos olvidar este detalle por el momento.) Puesto que los átomos son invisibles, tuvieron que pasar muchos años antes de que todos los científicos quedaran convencidos por los experimentos que demostraban su existencia. En el siglo XIX, la idea de los átomos estaba muy bien verificada por un gran número de experimentos, como el descubrimiento de las "leyes" de la química y las de comportamiento de los gases. Exploramos brevemente los más interesantes. EL SONIDO DEL SILENCIO Después de haber trepado por las laderas de la Montaña del Movimiento, llegamos a una región del bosque cubierta de nieve profunda. Nos detenemos por un momento y miramos a nuestro alrededor. Es ya de noche; todos los animales están dormidos; no hay viento y no hay fuentes de sonido. Nos quedamos quietos, sin respirar, y escuchamos el silencio. (Usted puede tener la misma experiencia también en un estudio de sonido, tales como los utilizados para las grabaciones musicales, o en una habitación tranquila por la noche). En situaciones de completo silencio, el oído se vuelve automáticamente más sensible *; entonces tenemos una extraña experiencia. Escuchamos dos ruidos, una bajo y otro más agudo, que obviamente se generan en el interior del oído. Los experimentos muestran que la nota superior es debida a la actividad de las células nerviosas ciliadas en el oído interno. La nota más baja se debe a la corriente de sangre palpitante a través de la cabeza. Pero finalmente, ¿por qué oímos un ruido? Muchos experimentos similares confirman que hagamos lo que hagamos, nunca podremos eliminar el ruido, es decir, las fluctuaciones aleatorias, en las mediciones. Este tipo inevitable de fluctuaciones aleatorias se llama ruido de disparo (shot noise) en física. Las propiedades estadísticas de este tipo de ruido en realidad común reclamar - incorrectamente - que Demócrito no tenía ninguna prueba de la existencia de los átomos. Ese es un ejemplo típico de la desinformación con el objetivo de hacernos sentir superiores a los antiguos. ** La historia es contada por Lucrecio, nombre completo Tito Lucrecio Caro, en su famoso texto De rerum natura, alrededor del 60 aC. (Una traducción al Inglés se puede encontrar en www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Lucr.+1.1.) Lucrecio relaciona muchas otras pruebas; en el libro 1, muestra que hay vacío en sólidos - como lo demuestra la porosidad y por diferencias de densidad - y en los gases - como lo prueba el viento. El autor muestra que los olores se deben a las partículas, y que también lo es la evaporación. Desafío 514 ny. ¿Puede encontrar más pruebas? También explica que las partículas no se pueden ver debido a su pequeño tamaño, pero que sus efectos se puede sentir y que permiten explicar todas las observaciones de forma coherente. Sobre todo si nos imaginamos las partículas como pequeñas bolas, no podemos evitar llamar a esto una idea típicamente masculina. Desafío 515 d. ¿Cuál sería el enfoque femenino? * Amedeo Avogadro (n. 1776 Turin, f. 1856 Turin) Físico y químico piamontés. El Número de Avogadro se llama así por él. ** El oído humano puede detectar, en su modo más sensible, variaciones de presión, al menos, tan pequeñas como 20 microPa y el tímpano movimientos tan pequeño como 11 pm. 235 corresponden exactamente a lo que se esperaría si los flujos, en lugar de ser movimientos de la materia continua, fueran el transporte de un gran número de entidades idénticas, pequeñas y discretas. Por lo tanto, la medición precisa de ruido puede ser usado para probar que el aire y los líquidos están hechos de moléculas, que la corriente eléctrica está hecha de electrones, y que la luz está hecha de fotones. En cierto sentido, el sonido del silencio es el sonido de los átomos. El ruido de disparo (shot noise) no existiría si la materia fuera continua o fractal. CÓMO CONTAR LO QUE NO SE PUEDE VER En la vida diaria, los átomos no pueden ser contados, principalmente porque no se pueden ver. Curiosamente, el progreso de la física, sin embargo permitió contar los átomos. Como se ha mencionado, muchos de estos métodos utilizan la medición del ruido.* En la física, el término ruido no sólo se utiliza para el efecto acústico; se utiliza para cualquier proceso que ocurre al azar. El más famoso tipo de ruido es el movimiento browniano, el movimiento de pequeñas partículas, como el polvo o el polen, flotando en los líquidos. Pero también las partículas pequeñas que caen en el aire, tales como glóbulos de mercurio o partículas de selenio, y estas fluctuaciones se pueden observar, por ejemplo, con ayuda de flujos de aire. Un espejo pegado sobre una fibra de cuarzo en el aire, especialmente a baja presión, cambia su orientación al azar, en pequeñas cantidades, debido a la colisión de las moléculas de aire. Los cambios de orientación al azar, de nuevo una especie de ruido, pueden ser seguidos por la reflexión de un haz de luz sobre el espejo y viendo el punto de luz a una gran distancia. También las fluctuaciones de densidad, la opalescencia crítica, y la miscibilidad crítica de los líquidos son formas de ruido. En efecto, las fluctuaciones de densidad son importantes para la formación del color del cielo, porque las fluctuaciones de la densidad de moléculas de aire son la fuente real de la dispersión de la luz. El color del cielo es un efecto de ruido. Resulta que todo tipo de ruido se puede utilizar para contar los átomos. La razón es que todo el ruido en la naturaleza está relacionado con la naturaleza corpuscular de la materia o de la radiación. De hecho, todos los métodos mencionados se han utilizado para contar los átomos y las moléculas, y para determinar sus tamaños. Puesto que el color del cielo es un efecto de ruido, se puede, en efecto, contar las moléculas de aire ¡mirando el cielo!** El resultado de todas estas medidas es que un mol de materia - para cualquier gas, eso es la cantidad de materia contenida en 22,4 l de ese gas a presión normal - siempre contiene el mismo número de átomos. • Un mol contiene 6,022 1023 partículas. El número se denomina número de Avogadro, en honor del primer hombre que entendió que los volúmenes de los gases tienen el mismo número de moléculas, o número de Loschmidt,* por el primer hombre que lo midió. Todos los métodos para determinar el número de Avogadro también nos permiten deducir que la mayoría de los átomos tienen un tamaño en el intervalo entre 0,1 y 0,3 nm. Las moléculas se componen de varios o muchos átomos y son correspondientemente más grandes. ¿Cómo logró Joseph Loschmidt* ser el primero en determinar el número suyo o de Avogadro, y ser el primero en determinar con fiabilidad el tamaño de los componentes de la materia? Loschmidt sabía que la viscosidad dinámica de un gas μ estaba dada por μ = ρ·v·l / 3, donde ρ es la densidad del gas, v la velocidad media de los componentes y l su recorrido libre medio. Con la predicción de Avogadro (hecha en 1811 sin especificar ningún valor) que un volumen V de cualquier gas contiene siempre el mismo número N de componentes, se tiene también l = V / 2πNσ 2, donde σ es la sección transversal eficaz de los componentes. (La sección transversal es aproximadamente el área de la sombra de un objeto.) Loschmidt entonces asume que cuando se licua el gas, el volumen del líquido es la suma de los volúmenes * También hay varios métodos para contar los átomos mediante el uso de la electrolisis y la determinación de la carga del electrón, mediante el uso de la radiactividad, dispersión de rayos X o mediante la determinación de constante h de Planck. Los dejamos de lado aquí, porque estos métodos realmente cuentan átomos. Ellos son más precisos, pero también menos interesantes. **Joseph Loschmidt (b. 1821 Putschirn, d. 1895 Viena) químico y físico austríaco. *** 'Número de Loschmidt' El término a veces también se utiliza para designar el número de moléculas en un centímetro cúbico de gas. 236 de las partículas. Midió entonces todas las cantidades en cuestión, para el mercurio, y averiguó N. Determinó por tanto el número de partículas en un mol de la materia, en un centímetro cúbico de la materia, y también el tamaño de estas partículas. EXPERIMENTANDO LOS ÁTOMOS La materia no es continua ni fractal. La materia contiene componentes mínimos con un tamaño característico. ¿Podemos ver los efectos de los átomos individuales o moléculas en la vida cotidiana? Sí, podemos. Sólo tenemos que ver las burbujas de jabón. Las pompas de jabón tienen colores. Pero justo antes de que estallen, en el lado superior de la burbuja, los colores son interrumpidos por pequeñas manchas transparentes, como se muestra en la Figura 195. ¿Por qué? Dentro de una burbuja, el líquido fluye hacia abajo, por lo que con el tiempo, la burbuja se hace más gruesa en la parte inferior y más delgada en la parte superior. Después de un tiempo, en algunas regiones todo el líquido se ha ido, y en estas regiones, la burbuja se compone sólo de dos capas moleculares de las moléculas de jabón. De hecho, la disposición de jabón o aceite de moléculas en superficies de agua se puede utilizar para medir el número de Avogadro. Esto se ha hecho en varias formas ingeniosas, y produce un valor extremadamente preciso con medios muy simples. FIGURA 195 Las burbujas de jabón muestran efectos visibles de tamaño molecular: antes de estallar, pompas de jabón muestran pequeñas manchas transparentes; que aparecen en negro en este cuadro debido a un fondo negro. Estas manchas son regiones donde la burbuja tiene un espesor de sólo dos moléculas, con ningún líquido en el medio (© LordV). Un sencillo experimento que indica que los sólidos tienen componentes de un tamaño mínimo se muestra en la Figura 196. Una varilla cilíndrica de un único cristal de aluminio puro revela un comportamiento sorprendente cuando se ilumina desde un lado: su brillo depende de cómo se orienta la varilla, aunque es completamente redonda. Esta dependencia angular es debida a la disposición atómica de los átomos de aluminio en la varilla. FIGURA 196 Existen los átomos: Girando e iluminando una varilla de un cristal único aluminio perfectamente redonda conduce a oscilaciones de brillo debido a los átomos que lo componen No es difícil confirmar experimentalmente la existencia de un tamaño mínimo en los cristales. Es suficiente romper un cristal único, tal como una oblea de arseniuro de galio, en dos. ** La superficie de corte es, o bien completamente plana o muestra niveles ** Una versión barata cuesta sólo unos pocos miles de euros, y le permitirá estudiar la diferencia entre una oblea de silicio - cristalino - una oblea de harina - granular amorfa - y una hostia consagrada. 237 extremadamente pequeños, como se muestra en la Figura 197. Estos niveles son visibles bajo un microscopio de luz normal. Desafío 516 ny. ¿Por qué? Del mismo modo, la Figura 198 muestra un defecto que apareció en el crecimiento de cristales. Resulta que todas estas alturas de escalón son múltiplos de una altura más pequeña: su valor es de aproximadamente 0,2 nm. La existencia de una altura mínima, correspondiente a la altura de un átomo, contradice todas las posibilidades de invariancia de escala en la materia. FIGURA 197 Escalones atómicos en cristales rotos arseniuro de galio (obleas) se pueden ver con un microscopio óptico. FIGURA 198 Un efecto de los átomos: niveles o escalones en superficies de un cristal único de carburo de silicio - aquí cultivadas en un sustrato de carbonoterminado (izquierda) y en un sustrato de silicio terminados (derecha) observada en un simple microscopio óptico (© Dietmar Siche). VIENDO ÁTOMOS Hoy en día, con los avances en la tecnología, los átomos individuales se pueden ver, fotografiar, holografiar, contar, tocar, mover, levantar, levitar, y hacer girar. Y todas estas manipulaciones confirman que como la materia corriente, los átomos tienen masa, tamaño, forma y color. Los átomos individuales, incluso se han utilizado como lámparas y como láser. Algunos resultados experimentales se muestran en las Figuras 199, 200 y 201. Los griegos se imaginaron la naturaleza como un juego de Lego. Y, de hecho, muchos investigadores modernos en varios campos se divierten jugando con los átomos de la misma manera que los niños juegan con Lego. FIGURA 199 Un único ion bario levitante en una trampa de Paul (tamaño de la imagen alrededor de 2 mm) en el centro de la imagen, también visible a simple vista en el experimento original, realizado en 1985 (© Werner Neuhausser). FIGURA 200 Los átomos en la superficie de un cristal de silicio, mapeadas con un microscopio de fuerza atómica (© Universität Augsburg) 238 Una demostración admirable de estas posibilidades es proporcionada por las muchas aplicaciones del microscopio de fuerza atómica. Si alguna vez tiene la oportunidad de utilizar uno, ¡no se lo pierda! Un microscopio de fuerza atómica es un simple dispositivo de mesa que sigue la superficie de un objeto con una aguja afilada atómicamente; tales agujas, normalmente de tungsteno, se fabrican fácilmente con un simple método de ataque químico. Las fluctuaciones de la altura de la aguja a lo largo de su trayectoria sobre la superficie se registran con la ayuda de un rayo de luz reflejada, como se muestra en la Figura 202. Con un poco de cuidado, los átomos del objeto se pueden sentir y se hacen visibles en la pantalla de un equipo informático. Con tipos especiales de tales microscopios, la aguja se puede utilizar para mover átomos de uno en uno a lugares especificados en la superficie. También es posible escanear una superficie, recoger un átomo dado y proyectarlo hacia un espectrómetro de masas para determinar qué tipo de átomo que es. Por cierto, la construcción de microscopio de fuerza atómica es sólo una pequeña mejora en lo que la naturaleza ha desarrollado ya por millones; cuando usamos nuestros oídos para escuchar, en realidad estamos detectando cambios en la posición del tímpano a 11 pm (picometros). En otras palabras, todos tenemos dos 'microscopios de fuerza atómica' incorporados en nuestras cabezas. FIGURA 201 El resultado del movimiento de átomos de helio sobre una superficie metálica. Tanto el movimiento como la imagen se realizó con un microscopio de fuerza atómica (© IBM). FIGURA 202 El principio y la realización de un microscopio de fuerza atómica (foto © Nanosurf). ¿Por qué es útil saber que la materia está hecha de átomos? Teniendo en cuenta solamente el tamaño de átomos, es posible deducir muchas propiedades de los materiales. La densidad de masa, el módulo elástico, la tensión superficial, el coeficiente de expansión térmica, el calor de vaporización, el calor de fusión, la viscosidad, el calor específico, la difusividad térmica y la conductividad térmica. Desafío 517 s. Haga la prueba. CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS RETOS SOBRE SÓLIDOS El vidrio es un sólido. Sin embargo, muchos libros de texto dicen que el vidrio es un líquido. Este error ha sido propagado durante cerca de un centenar de años, probablemente procedente de una mala traducción de una frase en un libro de texto alemán publicado en 1933 por Gustav Tamman, Der Glaszustand. Desafío 518 s. ¿Puede dar al menos tres razones por las que el vidrio es un sólido y no un líquido? ∗∗ Desafío 519 s. ¿Cuál es la longitud máxima de un cable metálico suspendido verticalmente? ¿Podría bajarse hasta la Tierra un cable colgado de un satélite geoestacionario? Esto significaría que podríamos 239 realizar un ascensor espacial. ¿Cómo de largo tiene que ser el cable? ¿Cuánto pesaría? ¿Cómo construir un sistema de este tipo? ¿Qué peligros enfrentaría? ∗∗ La materia está hecha de átomos. Durante siglos, la tenaz persistencia de muchas personas a negar esta idea ha llevado a la pérdida de muchos tesoros. Durante más de mil años, la gente pensaba que las perlas genuinas podían distinguirse de las falsas golpeándolas con un martillo: sólo las falsas perlas se romperían. Sin embargo, todas las perlas se rompen. (También los diamantes se rompen en esta situación). Debido a esta creencia, en los últimos siglos, una gran parte de las perlas más bellas del mundo han sido hechas pedazos. ∗∗ La física es, a menudo, buena para ganar apuestas. Vea la Figura 202b para una manera de hacerlo, debido a Wolfgang Stalla. FIGURA 202-b ¿Cómo puede introducir la moneda en el vaso sin tocar nada? ** Desafío 520 e. Los cómics tienen dificultades con el concepto de los átomos. ¿Podría Asterix realmente arrojar romanos al aire usando el puño? ¿Son posibles los precisos disparos de revólver de Lucky Luke? ¿Puede el hilo de seda de Spiderman sostenerlo en sus columpiamientos de un edificio a otro? ¿Puede el Correcaminos dejar de correr en tres pasos? ¿Se puede ordenar al Sol que se detenga en el cielo? ¿Pueden las naves espaciales flotar utilizando combustible? Tome cualquier héroe de cómic y pregúntese si la materia hecha de átomos le permitiría las hazañas que parece capaz de hacer. Usted encontrará que la mayoría de los dibujos animados son cómicos precisamente porque suponen que la materia no está formada por átomos, sino que es continua! En cierto sentido, los átomos hacen de la vida una aventura seria. ∗∗ Desafío 521 s ¿Pueden los seres humanos provocar terremotos? ¿Qué pasaría si 1 000 000 000 de indios saltaran al mismo tiempo, desde la mesa de la cocina al suelo? En realidad, varios terremotos fuertes han sido provocados por los seres humanos. Esto ha ocurrido cuando se han llenado las presas de agua, o cuando se ha inyectado agua en agujeros de perforación. También se ha sugerido que la extracción de agua subterránea profunda causa terremotos. Si esto fuese confirmado por la investigación futura, una proporción considerable de todos los terremotos podría haber sido desencadenada por humanos. ∗∗ Muchas cuevas tienen estalactitas. Se forman bajo dos condiciones: las gotas de agua desde el techo de una cueva debe contener carbonato de calcio, CaCO3, y la diferencia entre las concentraciones de dióxido de carbono CO2 en el agua y en el aire de la cueva debe tener un valor mínimo. Si se cumplen estas condiciones, se deposita la sinterización calcárea, y se pueden formar las estalactitas . Desafío 522 s. ¿Cómo puede distinguirse la punta de una estalactita que crece desde el techo de la punta de una estalagmita que surge del suelo? ¿La diferencia existe también para los carámbanos? ∗∗ No existen los fractales. ¿Qué estructuras se le aproximan más de cerca? Uno de los candidatos es el pulmón. Su bronquios se dividen una y otra vez, entre 26 y 28 veces. Cada extremo entonces llega a uno de los 300 millones de alvéolos, las cavidades de 0,25 mm en las que el oxígeno se absorbe en la sangre y el dióxido de carbono es expelido al aire. ∗∗ Desafío 523 s ¿Cuánto peso de más mostraría sus báscula si se pusiera sobre ella en el vacío? ∗∗ Uno de los cuerpos extensos más complejos es el cuerpo humano. En simulaciones recientes sobre el comportamiento de los seres humanos en los accidentes de coche, los modelos más avanzados incluyen costillas, vértebras así como los restantes huesos y los diversos órganos. Para cada parte, se toma en consideración su deformación específica. Con tales modelos y simulaciones, la protección de pasajeros y conductores en los vehículos puede ser optimizada. 240 ∗∗ El cuerpo humano es una estructura notable. Es rígido y flexible, según la situación lo requiera. Además, la mayoría de las piezas rígidas, los huesos, no estén unidos a otras partes rígidas. Desde hace algunos años, los artistas y arquitectos han comenzado a explorar este tipo de estructuras. Un ejemplo de una estructura de este tipo, una torre, se muestra en la Figura 203. Resulta que estructuras similares - a veces llamadas estructuras de tensegridad - son buenos modelos para la columna vertebral humana, por ejemplo. Para más ejemplos sólo tiene que buscar en Internet. FIGURA 203 Una estructura rígida en la que ningún tubo rígido está unido a otro cualquiera (© Kenneth Snelson). ∗∗ El hoyo más profundo jamás horadado en la Tierra tiene 12 km de profundidad. En 2003, alguien propuso alguien propuso agrandar tal agujero y luego verter millones de toneladas de hierro líquido en ella. Afirmó que el hierro se hundiría hacia el centro de la Tierra. Si un dispositivo de medida comunicante se dejase en el hierro, podría enviar sus observaciones a la superficie mediante ondas sonoras. Desafío 524 s. ¿Puede dar algunas razones por las que esto no podría funcionar? ∗∗ El poderío económico de una nación se ha asociado durante mucho tiempo con su capacidad de producción de acero de alta calidad. En efecto, la Revolución Industrial comenzó con la producción en masa de acero. Todo científico debería conocer los hechos básicos y principios fundamentales concernientes del acero. El acero es una combinación de hierro y carbono a la que pueden añadirse también otros elementos, principalmente metales. Se pueden distinguir tres tipos principales de acero, dependiendo de la estructura cristalina. Los aceros ferríticos que tienen una estructura cúbica centrada en el cuerpo, como se muestra en la Figura 204, los aceros austeníticos con una estructura cúbica centrada en la cara, y los aceros martensíticos de estructura tetragonal centrada en el cuerpo. La Tabla 41 da más detalles. ∗∗ El chasquido de un látigo es un fenómeno simple que requiere una explicación compleja. Después del trabajo experimental de Peter Krehl se ha sabido que el látigo chasca cuando la punta alcanza una velocidad de dos veces la velocidad del sonido. Desafío 525 ny. ¿Se imagina por qué? ∗∗ Una cadena de bicicleta es un objeto extenso sin rigidez. Sin embargo, si se hace girar rápidamente, adquiere rigidez dinámica, y puede rodar hacia abajo por un plano inclinado o a lo largo del suelo. Este sorprendente efecto se puede ver en la página web www.iwf.de/iwf/medien/infothek?Signatur=C+14825. Los dispositivos mecánicos no son abordados en este texto. Hay una gran cantidad de progresos en el área, incluso en la actualidad. Por ejemplo, se han construido robots capaces de montar un monociclo. Pero incluso la física de la conducción humana de un monociclo no es simple. Pruébelo; es un excelente ejercicio para mantenerse joven. ∗∗ Hay muchos argumentos en contra de la existencia de los átomos como bolas duras. Thomson-Kelvin lo puso por escrito: "la suposición monstruosa de piezas de materia infinitamente fuertes e infinitamente rígidas." A pesar de que Thomson estaba en lo cierto en su comentario, existen átomos. 241 Desafío 526 s. ¿Por qué? FIGURA 204 Los Aceros ferríticos tienen una estructura cúbica centrada en el cuerpo, como se muestra en el famoso Atomium de Bruselas, una sección de un cristal de hierro magnificado a una altura de más de 100 m (la foto y la construcción se deben a © Asbl Atomium Vzw – SABAM Belgium 2007). ∗∗ TABLA 41 Los tipos de acero, sus propiedades y usos. ACERO FERRÍTICO ACERO AUSTENÍTICO ACERO MARTENSÍTICO Definición Acero “ordinario” cúbica centrada en el cuerpo (bcc) hierro y carbono Acero ligero Acero de gran dureza, frágil cúbica centrada en caras (fcc) tetragonal centrada en el cuerpo hierro, cromo, níquel, manganeso y (bct) carbono acero al carbono y aleaciones Ejemplos Construcciones en acero láminas en acero de coche navíos de acero ferrita inoxidable con 12 % de cromo La mayoría de aceros inoxidables (18/8 Cr/Ni) batería de cocina industria alimentaria Cr/V aceros para reactores nucleares hojas de cuchillos traladros de superficies muelles de acero, cigüeñales Propiedades fases descritas por el diagrama de fases hierro-carbono en equilibrio a Temperatura ambiente fases descritas por el diagrama de Schaeffler algo mezclado en equilibrio a Temperatura ambiente propiedades mecánicas y tamaño de grano dependen del tratamiento térmico propiedades mecánicas y tamaño de grano dependen del pretratamiento las propiedades mecánicas y termo-mecánico tamaño de grano dependen fuertemente del tratamiento con calor Endurecido por reducción del tamaño del grano, por forja, por incremento del contenido de carbono o por nitración. granos de ferrita y perlita, con cementita (Fe3C) ferromagnético fases descritas por el diagrama de fases hierro-carbono y el TTT (transformación tiempo–temperatura) no en equilibrio a temperatura ambiente , pero estable Endurecido únicamente por trabajo Duro de cualquier modo, fabricado en frío por irradiación láser, inducción térmica, etc. granos de austenita no magnético o débilmente magnético granos de martensita ferro magnético 242 ∗∗ La arena tiene muchas maneras sorprendentes de moverse, y todavía se hacen nuevos descubrimientos con regularidad. En 2001, Sigurdur Thoroddsen y Amy Shen descubrieron que una bola de acero que cae sobre un lecho de arena produce, después de que la bola se haya hundido, un chorro granular de arena que salta hacia arriba. La Figura 205 muestra una secuencia de fotografías del efecto. El descubrimiento ha dado lugar a un torrente de posteriores investigaciones. ** FIGURA 205 Un ejemplo de movimiento de la arena: eyecciones granulares (© Amy Shen). ∗∗ La ingeniería no es una parte de este texto. Sin embargo, es un tema interesante. Algunos ejemplos de lo que los ingenieros hacen se muestran en las Figura 206 y Figura 207. FIGURA 206 Reflejos de la ingeniería moderna: una máquina de litografía para la producción de circuitos integrados y una máquina de papel(© ASML, Voith). RESUMEN SOBRE ÁTOMOS En resumidas cuentas, la materia no es invariante en escala: en particular, no es ni lisa (continua) ni fractal. No hay piezas arbitrariamente pequeñas en la materia. La materia ordinaria está hecha de componentes numerables: está hecha de átomos. Esto ha sido confirmado para todos los sólidos, líquidos y gases. Fotos de microscopios de fuerza atómica demuestran que el tamaño y la disposición de los átomos son quienes producen la forma y la extensión de los objetos, lo que confirma el modelo «Lego» de la materia debido a los antiguos Griegos. Los diferentes tipos de átomos, así como sus diversas combinaciones, 243 producen diferentes tipos de sustancias. Del estudio de la materia con más detalle - como se hará más adelante - se obtiene la idea ahora bien conocida que la materia, a ampliaciones cada vez mayores, está hecha de moléculas, átomos, núcleos, protones y neutrones, y por último, quarks. Los átomos también contienen electrones. Un último tipo de materia, los neutrinos, se observa que provienen del Sol y de ciertos tipos de materiales radiactivos. A pesar de que los ladrillos fundamentales se han ido convirtiendo en algo cada vez más pequeño en el siglo XX, esto no va a suceder en el futuro. La idea básica de los antiguos griegos sigue persistiendo: la materia está hecha de las entidades mínimas, hoy en día se les llama partículas elementales. En las partes de la teoría cuántica de nuestro ascenso a la montaña vamos a explorar las consecuencias detalladamente. Vamos a descubrir más tarde que la discontinuidad de la materia es en sí misma una consecuencia de la existencia de un cambio mínimo en la naturaleza. Debido a la existencia de los átomos, la descripción del movimiento cotidiano de los cuerpos extensos se puede reducir a la descripción del movimiento de sus átomos. El Movimiento atómico será un tema importante en las páginas siguientes. Dos de sus consecuencias son especialmente importantes: la presión y el calor. Los estudiaremos ahora. FIGURA 207 A veces objetos en movimiento inusual cruzan las carreteras alemanas(© RWE). 244 CAPÍTULO 12 FLUIDOS Y SU MOVIMIENTO L os fluidos pueden ser líquidos o gases, incluyendo plasmas. Y el movimiento de los fluidos puede ser excesivamente complicado, como muestra la Figura 208. Pero el movimiento de los fluidos es tan común - piense en la respiración, la circulación de la sangre o el clima - que vale la pena explorarlo. FIGURA 208. Ejemplos de movimiento del fluido: un chorro de agua vertical contra un impactador horizontal, dos chorros de una mezcla de glicerol-agua que chocan en un ángulo oblicuo, un chorro de agua que incide sobre un depósito, un vaso de vino que muestra las lágrimas (todos © John Bush, MIT) y un grifo de agua que gotea (© Andrew Davidhazy). 245 EL ESTADO DE UN FLUIDO Describir el movimiento significa describir el estado de un sistema. Para la mayoría de los fluidos, el estado de un sistema en cada punto del espacio se describe por su composición, velocidad, temperatura y presión. Exploraremos la temperatura más adelante. Tenemos así un nuevo observable: • La presión en un punto de un fluido es la fuerza por unidad de área que un cuerpo de tamaño insignificante siente en ese punto. La presión se mide con la ayuda de barómetros o instrumentos similares. La unidad de presión es el pascal: 1 Pa es 1N / m2. Una selección de los valores de presión que se encuentran en la naturaleza se da en la Tabla 42. La presión no es una propiedad simple. Desafío 527 e. ¿Puede explicar las observaciones de la Figura 209? Si la paradoja hidrostática -un efecto de los llamados vasos comunicantes- no fuera cierta, sería fácil hacer los «perpetuum mobile». ¿Puede pensar en un ejemplo? Otro enigma sobre la presión se da en la Figura 210. El aire tiene una presión considerable, del orden de 100 kPa. Como resultado, las fuerzas cotidianas son a menudo demasiado débiles para superarla. Esto se conoce desde hace varios siglos como muestra la Figura 211. Su laboratorio de física favorito debe tener una bomba de vacío y un par de (pequeños) hemisferios de Magdeburgo; diviértase experimentando por sí mismo. FIGURA 209 La paradoja hidrostática y la paradoja hidrodinámica (© IFE). FIGURA 210 Un puzzle Desafío 527-b s: ¿Qué método de vaciado de un contenedor es más rápido? Funciona el método del lado derecho? FIGURA 211 La presión del aire es más fuerte que los seres humanos para objetos suficientemente grandes que encierran un vacío (© Kornelia Möller). 246 FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO Como todo movimiento, el movimiento de un fluido obedece a la conservación de energía. En el caso de que ninguna energía se transforme en calor, la conservación de la energía es particularmente simple. Un movimiento que no genere es un movimiento sin torbellinos; tal movimiento del fluido se califica de laminar. Si la velocidad del fluido no depende de tiempo en todas las posiciones, el flujo se llama estacionario. Para el movimiento que es a la vez laminar y estacionario, la conservación de la energía se puede expresar con ayuda de la velocidad, v, y la presión, p: 1 2 ρv2 + p + ρgh =const (107) donde h es la altura sobre el suelo. Esto se conoce como la ecuación de Bernoulli*. En esta ecuación, el último término sólo es importante si el fluido se levanta contra tierra. El primer término es la energía cinética (por unidad de volumen) del fluido, y los otros dos términos son energías potenciales (por unidad de volumen). En realidad, el segundo término es la energía potencial (por unidad de volumen) que resulta de la compresión del fluido. Esto es debido a una segunda forma de definir la presión: • ⊳ La presión es una energía potencial por unidad de volumen. TABLA 42 Algunos valores medidos de presión. OBSERVACIÓN PRESIÓN Registro de presión negativa (tensión) medido en agua, después de una purificación cuidadosa −140 MPa=−1400 bar La presión negativa medida en la savia de un árbol (xilema) Hasta −10 MPa = −100 bar Presión negativa en los gases No existe La presión negativa en los sólidos se llama tensión récord de Presión de vacío logrado en el laboratorio 10 pPa (10−13 torr) Variación de la presión en el umbral de audición 20 μPa Variación de la presión en el umbral de dolor de la audición 100 Pa Presión Atmosférica en La Paz, Bolivia 51 kPa Presión Atmosférica en los aviones de pasajeros 75 kPa Presión promediada en el tiempo en la cavidad pleural del tórax humano Presión Atmosférica estándar a nivel del mar Presión arterial humana saludable a la altura del corazón: sistólica, diastólica Record de Presión producido en el laboratorio, utilizando un yunque de diamante 0.5 kPa 5mbar debajo de la presión atmosférica 101.325 kPa o 1013.25mbar o 760 torr 17 kPa, 11 kPa encima de la presión atmosférica c. 200GPa Presión en el centro de la Tierra c. 370(20)GPa Presión en el centro del Sol c. 24 Ppa Presión en el centro de una estrella de neutrones c. 4 ⋅1033 Pa Presión de Planck (máxima presión posible en la Naturaleza) 4.6 ⋅10113 Pa ** Daniel Bernoulli (b. 1.700 Bale, d. 1782 Bale), importante matemático y físico suizo. Su padre y su tío Johann Jakob eran matemáticos famosos, al igual que sus hermanos y algunos de sus sobrinos. Daniel Bernoulli publicó muchos resultados matemáticos y físicos. En física, estudió la separación del movimiento compuesto en traslación y rotación. En 1738 publicó su Hydrodynamique, en la que dedujo todos los resultados de un solo principio, a saber, la conservación de la energía. La llamada ecuación de Bernoulli establece que (y cómo) la presión de un fluido disminuye cuando aumenta su velocidad. Estudió las mareas y muchos problemas mecánicos complejos, y explicó que la "ley" de Boyle-Mariotte de los gases. Por sus publicaciones ganó diez veces el prestigioso premio de la Academia Francesa de las Ciencias - un precursor del Premio Nobel 247 Desafío 528 e. La conservación de energía implica que cuanto menor es la presión, mayor llega a ser la velocidad de un fluido. Podemos usar esta relación para medir la velocidad de un flujo estacionario de agua en una tubería. Sólo tenemos que estrechar el tubo un poco en un lugar a lo largo del tubo, y medir la diferencia de presión antes y en la restricción del tubo. La velocidad v lejos de la constricción está dada por v = k √(p1-p2). Desafío 529 s. ¿Cuál es el valor de la constante k? Un dispositivo que utiliza este método es llamado un medidor Venturi o venturímetro. Si la geometría de un sistema se mantiene fija y se aumenta la velocidad del fluido, a una cierta velocidad se observa una transición: el líquido pierde su claridad, el flujo ya no es estacionario. Esto se ve cuando se abre un grifo de agua. A una cierta velocidad, el flujo cambia de laminar a turbulento. En este punto, la ecuación de Bernoulli ya no es válida. La descripción de la turbulencia es ciertamente el más arduo de todos los problemas en física. Cuando se le preguntó al joven Werner Heisenberg si quería continuar la investigación sobre la turbulencia, se negó con razón - diciendo que era demasiado difícil; se volvió hacia algo más fácil y descubrió y desarrolló la mecánica cuántica en su lugar. La turbulencia es un tema tan vasto, con muchos de sus conceptos todavía mal comprendidos, que a pesar del número y la importancia de sus aplicaciones, solamente ahora, en el comienzo del siglo XXI, sus secretos comienzan a desentrañarse. FIGURA 209 Daniel Bernoulli (1700–1782) Se cree que las ecuaciones que describen los fluidos en movimiento, las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes, son suficientes para entender la turbulencia.* Pero las matemáticas tras ellas son alucinantes. Hay incluso un premio de un millón de dólares ofrecido por el Instituto Clay de Matemáticas para la realización de ciertos pasos en el camino a la resolución de las ecuaciones. Sistemas importantes que muestran el flujo laminar, los vórtices y la turbulencia al mismo tiempo son las alas y las velas. (Ver Figura 212) Todas las alas funcionan mejor en modo laminar. La esencia de un ala es impartir al aire una velocidad descendente con la menor turbulencia posible. FIGURA 212-a La presión de aire conduce a sorprendentes grandes fuerzas, especialmente para grandes objetos que encierran un vacío. Esto se demostró con regularidad desde el año 1654 en adelante por Otto von Guericke con la ayuda de sus llamados hemisferios de Magdeburgo y, sobre todo, las distintas bombas de vacío que inventó (© Deutsche Post, Otto-von-GuerickeGesellschaft, Deutsche Fotothek). **Llevan el nombre de Claude Navier (b. 1785 Dijon, d. 1836 de París), importante ingeniero y constructor de puentes francés, y Georges Gabriel Stokes (b. 1819 Skreen, d. 1903 Cambridge), importante físico y matemático irlandés. 248 (El objetivo de minimizar la turbulencia es la razón por la que se curvan alas. Si el motor es muy potente, un ala plana inclinada en un cierto ángulo funciona igualmente. Una fuerte turbulencia también es una ventaja para aterrizar con seguridad.) La velocidad de descenso del aire de salida conduce a una fuerza centrífuga que actúa sobre el aire que pasa sobre el ala. Esto lleva a una presión más baja, y por lo tanto a una elevación. (Las alas por lo tanto no se basan en la ecuación de Bernoulli, donde una presión más baja a lo largo del flujo conduce a una mayor velocidad del aire, como por desgracia, muchos libros tienen la costumbre de decir. Sobre un ala, la mayor velocidad está relacionada con la presión más baja a través del flujo.) Las diferentes velocidades del aire por encima y por debajo del ala conducen a vórtices en el extremo de cada ala. Estos vórtices son especialmente importantes para el despegue de cualquier insecto, pájaro o avión. Más detalles sobre las alas se discuten más adelante. FIGURA 212 La clase de vela polilla: un barco de 30 kg que navega sobre el agua utilizando hidroplanos, es decir, las alas bajo el agua(© Bladerider International). FIGURA 213 Varias capas de la atmósfera son visibles en esta fotografía de la puesta del sol tomada por la estación espacial internacional, volando a varios cientos de millas de altitud (cortesía de la NASA). LA ATMÓSFERA La atmósfera, un velo sutil alrededor de nuestro planeta, que se muestra en la Figura 213, que nos mantiene vivos. La atmósfera se compone de 5⋅1018 kg de gases que rodea la Tierra. La densidad disminuye con la altura: el 50% de la masa está por debajo de 5,6 kilómetros de altura, el 75% dentro de 11 km, el 90% en 16 kilómetros y el 99,99997 % dentro de 100 km. A nivel del mar, la densidad atmosférica es 1:29 kg / m3 - cerca 1/800 de la del agua - y la presión es 101,3 kPa; ambas disminuyen con la altura. La composición de la atmósfera a nivel del mar se da en la página 500. Aunque la composición varía con la altitud, y depende del tiempo y el nivel de contaminación. La estructura de la atmósfera se da en la tabla ç ¥. La atmósfera deja de comportarse como un gas sobre la 249 termopausa, en algún lugar entre 500 y 1000 km; por encima de este nivel, ya no hay colisiones atómicas. De hecho, se podría argumentar que la atmósfera deja de comportarse como un gas ordinario por encima de 150 km , cuando ya no se transmite ningún sonido audible, ni siquiera a 20 Hz, debido a la baja densidad atómica. TABLA 43 Las capas de la atmósfera. CAPA ALTITUD Límites: turbopausa u homopausa 100 km Homosfera Límites: mesopausa Mesosfera DETALLES frontera entre la mezcla difusiva (arriba) y la mezcla turbulenta (abajo) Todo por debajo de concepto separado que abarca la parte inferior de la la turbopausa termosfera y todos los niveles subyacentes 85 km temperatura entre -100 ° C y -85 ° C, la temperatura más baja 'sobre' la Tierra; la temperatura depende de la temporada; contiene iones, que comprende una capa de sodio que se utiliza para actuar como una guía a las estrellas para telescopios De la estratopausa la temperatura disminuye con la altitud, a la mesopausa principalmente hidrógeno, contiene nubes noctilucentes, sprites, duendes, iones; quema la mayor parte de los meteoros, muestra mareas atmosféricas y la circulación de verano en invierno polar Ionosfera o magnetosfera 60 km a 1000 km un concepto separado que incluye todas las capas que contienen iones, a continuación, la exosfera, termosfera y una gran parte de la mesosfera Límites: estratopausa 50 a 55 km temperatura máxima entre estratosfera y mesosfera; presión alrededor de 100 Pa, temperatura de -15 ° C a -3 ° C Estratosfera Hasta la estratopausa estratificada, sin fenómenos atmosféricos, la temperatura aumenta con la altitud, seca, muestra oscilaciones cuasi-bienales, contiene la capa de ozono en la parte inferior 20 km, así como aviones y algunos globos Límites: tropopausa 6 a a 9 km en los polos, 17 a 20 km en el ecuador. temperatura -50 ° C, el gradiente de temperatura se anula, ya no hay agua Troposfera Hasta la tropopausa Contiene agua y muestran fenómenos atmosféricos; contiene la vida, las montañas y aviones; causa que las estrellas parpadean; la temperatura generalmente disminuye con la altitud; la velocidad del sonido es de unos 340 m / s Capa límite planetaria o peplosfera 0,2 a 2km parte de la troposfera que está influenciada por la fricción con la superficie de la tierra; el espesor depende del paisaje y el horario diario LA FÍSICA DE LA SANGRE Y DE LA RESPIRACIÓN El movimiento del fluido es de vital importancia. Hay al menos cuatro sistemas de circulación de fluidos dentro del cuerpo humano. En primer lugar, la sangre fluye a través del sistema de la sangre desde el corazón. En segundo lugar, el aire se hace circular dentro de los pulmones desde el diafragma y otros músculos del pecho. En tercer lugar, la linfa fluye a través de los vasos linfáticos, se trasladó de forma pasiva 250 por los músculos del cuerpo. En cuarto lugar, circula el líquido cefalorraquídeo alrededor del cerebro y la columna vertebral, movidos por los movimientos de la cabeza. Por esta razón, a los médicos les gusta la afirmación simple: cada enfermedad es en última instancia debido a la mala circulación. FIGURA 213 bis Los principales estratos de la atmósfera (© Sebman81). 251 Desafío ¿Por qué los seres vivos tienen sistemas de circulación? La circulación es necesaria porque la difusión es demasiado lenta. ¿Puede detallar el argumento? Ahora vamos a explorar los dos sistemas de circulación principales en el cuerpo humano. La sangre nos mantiene vivos: transporta la mayor parte de las sustancias químicas necesarias para el metabolismo hacia y desde las diversas partes del cuerpo. El flujo de sangre es casi siempre laminar; la turbulencia existe sólo en las cavidades de las venas. El corazón bombea la sangre alrededor de 80 ml por latido del corazón, aproximadamente 5 l / min. En reposo, un latido del corazón consume aproximadamente 1,2 J. El consumo es notable, debido a que la viscosidad dinámica de la sangre tiene un rango entre 3,5 ⋅10 -3 Pa s (tres veces superior a la del agua) y 10 -2 Pa s, dependiendo del diámetro del vaso sanguíneo; es más alta en los pequeños capilares. La velocidad de la sangre es mayor en la aorta, donde fluye a 0,5 m / s, y la más baja en los capilares, donde es de 0,3 mm / s. Como resultado, una sustancia inyectada en el brazo llega a los pies entre 20 y 60 s después de la inyección. Desafío De hecho, todos los animales tienen una velocidad similar de circulación de la sangre, por lo general entre 0,2 m / s y 0,4 m / s. ¿Por qué? Para conseguir la circulación de la sangre, el corazón produce una presión (sistólica) de aproximadamente 16 kPa, lo que corresponde a una altura de aproximadamente 1,6 m de la sangre. Este valor es necesario para el corazón de modo que pueda bombear la sangre a través del cerebro. Cuando el corazón se relaja, la elasticidad de las arterias mantiene la presión (diastólica) alrededor de 10 kPa. Estos valores se miden al nivel del corazón * Los valores varían mucho con la orientación y posición del cuerpo en el que se evalúan: la presión sistólica en el pie de un pie adulto alcanza 30 kPa, mientras que es 16 kPa en los pies de una persona acostada. Para un ser humano de pie, la presión en las venas de la pierna es 18 kPa, mayor que la presión arterial sistólica en el corazón. La presión alta en los pies y las piernas es uno de los motivos que conduce a las venas varicosas. La naturaleza usa muchos trucos para evitar problemas con la circulación sanguínea en las piernas. Las venas de las piernas de los seres humanos tienen válvulas para evitar que la sangre fluya hacia abajo; las jirafas tiene las piernas muy delgadas con la piel fuerte y apretada en las piernas por la misma razón. Lo mismo ocurre con otros animales de gran tamaño. Al final de los capilares, la presión es sólo aproximadamente 2 kPa. La presión sanguínea más baja se encuentra en las venas que la llevan desde la cabeza al corazón, donde la presión puede ser también ligeramente negativa. Debido a la presión de la sangre, cuando un paciente recibe una inyección (intravenosa), la bolsa debe estar a una altura mínima por encima del punto de inyección donde la aguja entra en el cuerpo; valores de aproximadamente 0,8 a 1m no causan problemas. (¿También se requiere una diferencia de altura para las transfusiones de sangre de persona a persona?) Debido a que las arterias tienen presión arterial más alta, para las inyecciones arteriales más raras, los hospitales utilizan generalmente una bomba arterial, para evitar la necesidad de alturas no practicas de 2 m o más. La física de la respiración es igualmente interesante. Un ser humano no puede respirar a cualquier profundidad bajo el agua, incluso si tiene un tubo que vaya a la superficie, como se muestra en la Figura 216. A pocos metros de profundidad, tratar de hacerlo es inevitablemente ¡fatal! Incluso a una profundidad de 50 cm solamente, el cuerpo humano sólo puede respirar de esta manera durante unos minutos, y puede quedar gravemente herido. Desafío 557 s ¿Por qué? FIGURA 216 ¡Atención, peligro! Tratar de hacer esto destruirá su pulmón irreversiblemente y puede matarle. Dentro de los pulmones, el intercambio de gases con la sangre se produce en aproximadamente 300 millones de pequeñas esferas, los alvéolos, con un diámetro entre 0,2 y 0,6 mm. Para evitar que los grandes crezcan y los pequeños colapsen - como en el experimento de la Figura 224 los alvéolos se cubren con un agente tensioactivo fosfolípido que reduce su tensión superficial. En los 252 bebés, el pequeño radio de los alvéolos y el bajo nivel de tensioactivo es la razón por la cual las primeras respiraciones y, a veces incluso las posteriores, requieren un gran esfuerzo. Necesitamos cerca del 2% de nuestra energía para respirar por nosotros mismos. La velocidad del aire en la garganta es de 10 km / h durante la respiración normal; al toser, puede ser de hasta un 160 km / h. El flujo de aire en los bronquios es turbulento; el ruido puede ser oído en un entorno tranquilo. En la respiración normal, los músculos de la respiración, en el pecho y el vientre, intercambian 0,5 l de aire; en una respiración profunda, el volumen puede llegar a 4 l. La respiración es muy dificil en situaciones inusuales. después de inmersiones con autorespiradores (scuba o escafandra) ** más profundas que unos pocos metros durante más de unos pocos minutos, es importante salir poco a poco, para evitar la embolia potencialmente fatal. Desafío ¿Por qué? Lo mismo puede ocurrir a los participantes en un vuelo a gran altitud con globos o aviones, para paracaidismo de gran altura y cosmonautas. FIGURA 213 Pérdida de dinero debido a la falta de conocimiento acerca de los fluidos. CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS RETOS SOBRE FLUIDOS ¿Qué pasa si la gente no sabe las reglas de la naturaleza? La respuesta es la misma desde hace 2000 años: el dinero de los contribuyentes se desperdicia o su salud está en peligro. Uno de los ejemplos más antiguos, los acueductos de época romana, como se muestran en la Figura 213. Sólo existen porque los romanos no sabían cómo se mueven los fluidos. Ahora ya sabe por qué no se hacen más acueductos. Pero el uso de una manguera de agua 1 o 2 m de esta manera para el transporte de gasolina puede ser peligroso. Desafío 530-b ¿Por qué? ** Desafío 530-c Tome un cartón de leche vacío, y haga un agujero en un lado, 1 cm por encima del fondo. A continuación, haga dos agujeros cada 5 cm por encima del anterior. Si se llena el envase con agua y se pone sobre una mesa, ¿cuál de las tres corrientes llega más lejos? Y si se pone el cartón en el borde de la mesa, de manera que los flujos caigan al suelo? ∗∗ Su bañera está llena de agua. Usted tiene un recipiente sin marcas de 3 litros y otro recipiente también sin marcar de 5 litros. Desafío 531 e. ¿Cómo puede obtener 4 litros de agua de la bañera? ** La manera más fácil de crear un chorro supersónico de aire es dejar caer una bola de billar en un cubo lleno de agua. Llevó mucho tiempo descubrir este método simple. ** Los fluidos son importantes para el movimiento. Las arañas tienen músculos para flexionar las patas, pero no tienen músculos para extenderlas. ¿Cómo estiran sus patas? En la 1944, Ellis descubrió que las arañas extienden las patas con medios hidráulicos: aumentan la presión de un fluido en el interior de las patas; esta presión alarga las patas de manera semejante a como la presión * Originalmente, 'scuba' es la abreviatura de 'autorespirador subacuático autónomo'. El dispositivo central, el "pulmón de agua", fue inventado por Emile Gagnan y Jacques Cousteau; mantiene la presión del aire siempre al mismo nivel que la presión del agua. 253 del agua endurece una manguera de jardín. Si lo prefiere, las patas de la araña por tanto trabajan un poco 'como el brazo de una excavadora. Es por eso que las arañas tienen las patas dobladas cuando mueren. El mecanismo fluido funciona bien: también es utilizado por las arañas que saltan. ∗∗ ¿De dónde provino el agua de los océanos? Curiosamente, esta pregunta ¡no está totalmente resuelta! En la temprana edad de la Tierra, las altas temperaturas hicieron que toda el agua se evaporara y escapara hacia el espacio. Así que ¿de dónde vino el agua que tenemos hoy ? (Por ejemplo, ¿podría provenir el hidrógeno de la radioactividad del núcleo de la Tierra?) La propuesta más plausible es que el agua proviene de los cometas. Los cometas están compuestos, en gran medida, de hielo. Los cometas que golpearon la Tierra en el pasado distante parecen haber formado los océanos. En 2011, se demostró por primera vez, por el telescopio espacial infrarrojo Herschel de la Agencia Espacial Europea, que los cometas del cinturón de Kuiper - en contraste con los cometas del sistema solar interior - tienen hielo con la misma composición de isótopos de oxígeno que los océanos de la Tierra. El origen de los océanos en los cometas parece cerca de la confirmación final. ∗∗ La física de buceo bajo el agua, en particular de buceo en apnea, está lleno de maravillas y de efectos que todavía no se entienden. Por ejemplo, cada campeón de apnea sabe que es muy difícil mantener la respiración durante cinco o seis minutos mientras estaba sentado en una silla. Pero si se hace lo mismo en una piscina, la hazaña se convierte en fácilmente alcanzable para los modernos campeones de apnea. (No está completamente claro por qué este es el caso.) Hay muchas disciplinas de buceo en apnea. En 2009, el récord de buceo apnea sin límite es la increíble profundidad de 214 m, logrado por Herbert Nitsch. El tiempo récord de apnea estática es más de once minutos, y, con la hiperventilación con oxígeno puro, más de 22 minutos. El récord de apnea dinámica, sin aletas, es 213 m. Cuando un buceador en apnea alcanza una profundidad de 100 m, la presión del agua corresponde a un peso de más de 11 kg en cada centímetro cuadrado de su piel. Para evitar los problemas de compensación de la presión del oído a grandes profundidades, un buzo tiene que inundar la boca y la tráquea con agua. Sus pulmones se han reducido a un onceavo de su tamaño original, al tamaño de manzanas. La presión del agua desplaza casi toda la sangre desde las piernas y los brazos al tórax y al cerebro. A 150 m, no hay luz, y no hay sonido - sólo el latido del corazón. Y el latido del corazón es lento: sólo hay un latido cada siete u ocho segundos. Él se siente relajado y eufórico al mismo tiempo. Ninguna de estas fascinantes observaciones se entiende completamente. Los cachalotes, Physeter macrocephalus, pueden permanecer bajo el agua más de media hora, y sumergirse a una profundidad de más de 3.000 m. Focas de Weddell, weddellii Leptonychotes, pueden permanecer bajo el agua durante una hora y media. Los mecanismos no están claros, aunque parecen implicar la hemoglobina y neuroglobina. La investigación de los mecanismos es interesante, porque la capacidad de buceo fortalece el cerebro. Por ejemplo, las ballenas de cabeza arqueada, Balaena mysticetus, no sufren derrames cerebrales ni degeneración cerebral, a pesar de que llegan a más de 200 años de edad. ∗∗ Los récords de apnea muestran los efectos beneficiosos del oxígeno en la salud humana. Por tanto, una botella de oxígeno es un elemento común entre los equipos médicos de primeros auxilios. ∗∗ ¿Cuál es el récord de velocidad para el movimiento bajo el agua? Probablemente pocos lo saben: es un secreto militar. De hecho, la respuesta tiene que ser dividida en dos. La velocidad más rápida publicada para un proyectil bajo el agua, casi completamente encerrado en una burbuja de gas, es 1550 m / s, más rápido que la velocidad del sonido en el agua, logrado a través de una distancia de unos pocos metros en un laboratorio militar en la década de 1990. El sistema más rápido con un motor parece ser un torpedo, también se mueve principalmente en una burbuja de gas, que llega a más de 120 m / s, por lo tanto más rápido que cualquier coche de carreras de fórmula 1. La velocidad exacta alcanzada es mayor y secreta. (El método de encerrar los objetos bajo el agua en burbujas de gas, llamado supercavitación, es un tema de investigación de los ingenieros militares en todo el mundo.) El pez más rápido, el pez vela Istiophorus platypterus, alcanza 22 m/s, pero se sospechan velocidades de hasta 30 m/s. Los objetos más rápidos tripulados son submarinos 254 militares, cuyas velocidades son secretas, pero se cree que están alrededor de 21 m/s. (Todos los ingenieros navales militares en este mundo, con los enormes presupuestos que tienen, no son capaces de hacer que los submarinos sean más rápidos que los peces La razón de que los aviones sean más rápidos que las aves es evidente: los aviones no fueron desarrollados por ingenieros militares). El submarino más rápido de propulsión humana alcanzan alrededor de 4 m/s. Uno puede adivinar que si los desarrolladores de submarinos de propulsión humana tuvieran el mismo presupuesto de desarrollo que los ingenieros militares, sus máquinas probablemente serían más rápidas que los submarinos nucleares. No hay listas de récords para natación bajo el agua. Se sabe que nadar bajo el agua es más rápido que el nadar en estilo braza, el estilo espalda o el estilo delfín por encima del agua: esa es la razón por la que nadar bajo el agua a grandes distancias está prohibido en las competiciones en estos estilos. Sin embargo, no se sabe si los récords de estilo crowl son más rápidos o más lentos que los récords para el estilo de natación más rápido por debajo del agua. Desafío 532 e. ¿Cuál es más rápido en su propio caso? ∗∗ Desafío 533 e ¿Cuánta agua es necesaria para humedecer el aire de una habitación en invierno? A 0 ° C, la presión de vapor de agua es de 6 mbar, a 20 ° C es 23 mbar. Como resultado de ello, calentar el aire en el invierno da como máximo una humedad del 25%. Para aumentar la humedad en un 50%, por lo tanto se requiere aproximadamente 1 litro de agua por 100 m 3. ∗∗ La tensión superficial puede ser peligrosa. Un hombre que sale de una piscina está mojado. Lleva alrededor de medio kilogramo de agua en su piel. En contraste, un insecto húmedo, tal como una mosca doméstica, lleva muchas veces encima su propio peso de agua. Es incapaz de volar y por lo general muere. Por lo tanto, la mayoría de los insectos se quedan tan lejos del agua como puedan - o al menos utilizan una trompa larga. ∗∗ Todos los animales tienen velocidades similares de circulación de la sangre, es decir, entre 0,2 m / s y 0,4 m / s. Desafío 535 ny. ¿Por qué? ** La Presión de un líquido depende de la altura. Si la presión media de la sangre humana a la altura del corazón es 13,3 kPa, Desafío 536 s. ¿Puede adivinar cuál es dentro de los pies estando de pie? ∗∗ El corazón humano bombea la sangre a una velocidad de aproximadamente 0,1 l / s. Un capilar típico tiene el diámetro de un glóbulo rojo, alrededor de 7 micras, y en él la sangre se mueve a una velocidad media de un milímetro por segundo. Desafío 537 s. ¿Cuántos vasos capilares hay en un ser humano? ∗∗ Desafío 538 s. Usted está en un barco que flota en un estanque con una piedra, un cubo de agua y un trozo de madera. ¿Qué sucede con el nivel del agua del estanque después de tirar la piedra en ella? ¿Y después de tirar el agua en el estanque? ¿Y después de tirar el trozo de madera? ∗∗ Desafío 539 s. Un barco sale de un río y penetra en el mar. ¿Qué sucede? ** Desafío 540 e. Ponga un globo de aire de goma sobre el extremo de una botella y deje que cuelgue dentro de la botella. ¿Cuánto puede usted hinchar el globo dentro de la botella? ∗∗ Desafío 541 e. Ponga una bola pequeña de papel en la embocadura de una botella horizontal y pruebe a soplar en la botella para hacerla entrar dentro. El papel va a volar hacia usted. ¿Por qué? ** Desafío 542 e. Es posible hacer saltar un huevo de una huevera (copa) a una segunda que esté justo detrás de ella soplando encima. ¿Puede realizar este truco? ∗∗ Desafío 543 s. En el siglo XVII, los ingenieros que necesitaban bombear agua se enfrentaron a un desafío. Para bombear el agua desde los pozos mineros a la superficie, ninguna bomba de agua lograba más de 10 255 metros de diferencia de altura. Para dos veces esa altura, siempre se necesitaban dos bombas en serie, conectadas por un depósito intermedio. ¿Por qué? ¿Cómo entonces los árboles logran bombear agua hacia arriba hasta alturas más grandes? ∗∗ Cuando el hidrógeno y el oxígeno se combinan para formar agua, la cantidad en volumen de hidrógeno que se necesita es exactamente el doble de la cantidad de oxígeno, si no queda gas después de la reacción. Desafío 544 s. ¿Cómo confirma esta observación la existencia de los átomos? ∗∗ Desafío 545 s ¿Cómo se hacen los bombones de chocolate rellenos de alcohol? Tenga en cuenta que el alcohol no se inyecta en ellos después, porque no habría manera de mantener el resultado lo suficientemente estanco. ∗∗ FIGURA 214 ¿Cuál es su registro personal de saltos de piedra ? Desafío 546 r. ¿Cuántas veces puede rebotar una piedra cuando se lanza sobre la superficie del agua? El presente récord mundial se logró en 2002: 40 saltos. Más información se tiene sobre el récord mundial anterior, alcanzado en 1992: una piedra plana y triangular del tamaño de la palma, fue lanzada con una velocidad de 12 m / s (otros dicen 20 m / s) y una velocidad de rotación de aproximadamente 14 revoluciones por segundo a lo largo de un río, abarcó unos 100 metros con 38 saltos. (La secuencia fue filmada con un grabador de vídeo desde un puente.) ¿Qué necesitaría hacer para aumentar el número de rebotes? ¿Se puede construir una máquina que sea mejor lanzadora que usted? ∗∗ Desafío 547 s. El componente más abundante de aire es nitrógeno (aproximadamente 78%). El segundo componente es oxígeno (aproximadamente 21%). ¿Cuál es el tercero? ∗∗ Desafío 548 s. ¿Qué sistema de la vida diaria tiene una presión menor que la de la atmósfera y por lo general mata a una persona si la presión se eleva hasta el valor atmosférico habitual? ∗∗ El agua puede fluir hacia arriba: la fuente de Herón muestra esto con mayor claridad. Herón de Alejandría (... C 10 a 70 c) la describió hace 2000 años; se construye fácilmente en casa, usando algunas botellas de plástico y un poco de tubería. Desafío 549 s. ¿Cómo funciona? ¿Cómo se pone en marcha? FIGURA 215 Fuente de Herón en funcionamiento. ∗∗ Desafío 550 s. Una bombilla se coloca, bajo el agua, en un cilindro de acero estable con un diámetro de 16 cm. Un coche Fiat Cinquecento original (500 kg) se coloca sobre un pistón que empuja sobre la superficie del agua. Resistirá la bombilla? ∗∗ Desafío 551 s. ¿Cuál es el gas más denso? ¿Y el vapor más denso? ∗∗ Cada año, el Instituto de Sistemas Marítimos de la Universidad de Rostock organiza un concurso. El desafío es construir un barco de papel con la mayor capacidad de carga. El barco de papel debe pesar como máximo 10 g y cumplir con algunas condiciones adicionales; la capacidad de carga se mide mediante el vertido de perdigones de plomo en ella, hasta que el barco se hunde. El registro de 2008 se sitúa en 5,1 kg. Desafío 552 e. ¿Puede conseguir este valor? (Para obtener más información, consulte el sitio web 256 www.paperboat.de) ∗∗ Desafío 553 s ¿Es posible utilizar el viento para moverse de frente contra el viento? ** Medir la velocidad del viento es una tarea importante. Dos métodos permiten medir la velocidad del viento, a una altitud de aproximadamente 100 metros desde el suelo: sodar, es decir, detección de sonido y alineamiento, y lidar, a saber, la detección de la luz y alineamiento. Dos dispositivos típicos se muestran en la Figura 215-b. El sodar también trabaja para el aire limpio, mientras que el lidar necesita de aerosoles. FIGURA 215-b Dos sistemas de medición del viento: un sistema sodar y un sistema lidar (© AQSystems, Leosphere). ∗∗ Desafío 554 s .Una versión moderna de una vieja pregunta - ya planteada por Daniel Colladon (1802-1893) -es la siguiente. Un barco de masa m en un río es arrastrado por caballos trotando por la orilla del río y atados mediante cuerdas. Si el río fuera de helio superfluido, lo que significa que no hay fricción entre el buque y el río, ¿cuál es la energía es necesaria para empujar el barco subiendo a lo largo del río hasta franquear una altura h? ∗∗ Una leyenda urbana pretende que en la parte inferior de las grandes cascadas que no hay suficiente aire para respirar. Desafío 555 e. ¿Por qué es incorrecto? ∗∗ El físico e inventor suizo Auguste Piccard (1884-1962) fue un famoso explorador. Entre otros lugares, exploró la estratosfera: llegó a la altura récord de 16 kilómetros en su aerostato, un globo de gas hidrógeno. Dentro de la cabina hermética colgando debajo de su globo, tenía la presión de aire normal. Sin embargo, tenía que introducir varias cuerdas atadas al globo en la cabina, con el fin de ser capaz de tirar y aflojar con ellas, ya que controlaban su globo. Desafío 556 s. ¿Cómo introdujo las cuerdas en la cabina, mientras que al mismo tiempo evitaba que el aire se escapara? ∗∗ Desafío 558 e. Un ser humano en el aire cae con una velocidad límite de unos 50 m / s (180 km/h, el valor depende de la ropa). ¿Cuánto tiempo se tarda en caer desde un avión a 3.000 metros a una altura de 200 m? ∗∗ Desafío 559 s. Para tener una idea del tamaño del número de Avogadro y de Loschmidt, se hacen habitualmente dos preguntas . En primer lugar, en promedio, ¿cuál es el número de moléculas o átomos que se inhala en cada respiración que han sido previamente exhalados por César? En segundo lugar, en promedio, ¿cuál es el número de átomos de Jesús que come todos los días? A pesar de que la Tierra es grande, los números resultantes lo siguen diciendo todavía. ∗∗ Unas pocas gotas de té se escurren generalmente a lo largo de la parte inferior de la boquilla de una tetera (o caen sobre la mesa). Este fenómeno se ha simulado mediante simulaciones de supercomputación del movimiento de líquidos, por Kistler y Scriven, usando las ecuaciones de Navier-Stokes. A pesar de eso, las teteras todavía siguen derramando gotas. ∗∗ Las mejores pompas de jabón gigantes se pueden hacer mezclando 1,5 l de agua, 200 ml de jarabe de maíz y 450 ml de detergente. Mezcle todo junto y luego deje reposar durante cuatro horas. A continuación, puede hacer que las burbujas sean más grandes por inmersión de un anillo metálico de hasta 100 mm de diámetro en la mezcla. Desafío 560 s. Pero, ¿por qué revientan las pompas de jabón? 257 ∗∗ Una gota de agua que cae en un recipiente que contiene aceite moderadamente caliente se evapora inmediatamente; sin embargo si el aceite está muy caliente, por encima de 220 ° C, baila en la superficie del aceite durante un tiempo considerable. Los Cocineros prueban la temperatura del aceite de esta manera. Desafío 561 s. ¿Por qué tienen lugar este llamado efecto Leidenfrost? * El efecto Leidenfrost permite hundir la mano desnuda en plomo fundido, mantener el nitrógeno líquido en la boca, comprobar si una plancha está caliente, o caminar sobre carbón caliente - si uno sigue varias reglas de seguridad, según ha explicado Jearl Walker . (¡No intente hacer esto usted mismo! Muchas cosas pueden salir mal.) La condición principal es que la mano, la boca o los pies debe estar mojadas. Walker perdió dos dientes en una demostración y sus pies quedaron muy quemados en un paseo al no cumplir las reglas. Usted puede ver algunos vídeos de los efectos de una mano en nitrógeno líquido en www.popsci.com/science/article/2012-02/our-columnisttests-his-trust-science-dipping-his-finger-molten-lead. FIGURA 216-c Una gota de agua en una cacerola: un ejemplo del efecto Leidenfrost(. © Kenji Lopez-Alt). ∗∗ Desafío 562 s. ¿Por qué las moléculas de aire no caen hacia el fondo del recipiente y se quedan allí? ∗∗ Desafío 563 s ¿Cuál de los dos embudos del agua en la Figura 217 se vacía más rápido? Aplicar la conservación de la energía para el movimiento del fluido (la ecuación de Bernoulli) para encontrar la respuesta correcta. ∗∗ FIGURA 217 ¿Qué embudo se vacía antes? Desafío 564 s. Como hemos visto, el flujo rápido genera una depresión. ¿Cómo evitan los peces que sus ojos estallen cuando nadan rápidamente? ∗∗ Desafío 565 ny. Las pelotas de golf tienen hoyuelos por las mismas razones que las pelotas de tenis son peludas y que la piel del tiburón y del delfín no es lisa: las asperezas de su superficie reducen la resistencia al flujo debido a que muchos pequeños remolinos producen menos fricción que unos pocos más grandes. ¿Por qué? ∗∗ La altura récord reconocida alcanzada por un helicóptero es de 12 442 m sobre el nivel del mar, aunque también se ha reportado 12 954 m. (Se llegó a la primera altura en 1972, a la segunda en 2002, ambas por pilotos franceses en helicópteros franceses.). Desafío 566 s. ¿Por qué, entonces, qué la gente todavía siguen utilizando sus piernas con el fin de llegar a la cima del monte Sagarmatha, la montaña más alta del mundo? ∗∗ Desafío 567 e. Un hilo de coser anudado se encuentra libre en la superficie de un recipiente lleno de agua. El hecho de poner un poco de detergente líquido en el interior del área rodeada por el hilo hace que ésta adopte inmediatamente una forma circular. ¿Por que? ∗∗ Desafío 568 s. ¿Cómo puede depositar un pañuelo bajo el agua usando un vaso y que permanezca completamente seco? * Llamado así por Johann Gottlieb Leidenfrost (1715–1794), físico alemán. 258 ∗∗ Desafío 568 s. ¿Es usted capaz de sacar de un embudo una pelota de pimpón soplando? ¿Qué espera que ocurra si sopla a través de un embudo hacia una vela encendida? ∗∗ La caída de una hoja, con su trayectoria compleja, es todavía tema de investigación. Aún estamos lejos de predecir el tiempo que tardaría una hoja cayendo en llegar al suelo; el movimiento del aire alrededor de una hoja no es fácil de describir. Uno de los más simples fenómenos de hidrodinámica permanece igualmente como uno de los problemas más difíciles. ∗∗ Los fluidos exhiben muchos efectos interesantes. Las pompas de jabón están hechas de una delgada película esférica de líquido con aire a ambos lados. En 1932 se observaron por primera vez antipompas, delgadas películas esféricas de aire con líquido en ambos lados. En 2004, el físico belga Stéphane Dorbolo y su equipo mostraron que es posible producirlas en experiencias sencillas y, en particular, en las cervezas belgas. ∗∗ Desafío 569 s. ¿Ha dejado caer un caramelo Mentos en una botella de Coca-Cola Light? Obtendrá un efecto interesante (hágalo bajo su propia responsabilidad). ¿Es posible construir un cohete de esta manera? ∗∗ Desafío 570 e. Un aguja puede flotar en el agua si la coloca cuidadosamente. Pruebe usando simplemente un tenedor. ¿Por qué flota? ∗∗ El Rin vierte alrededor de 2 300 m3/s de agua en el Mar del Norte, el río Amazonas unos 120 000 m 3/s en el Atlántico. Desafío 571 e. ¿Cuánto es esto menor que c3/4G? ∗∗ FIGURA 218 Un anillo de humo, de cerca de 100 m de tamaño, emitido desde la Boca Nueva del Monte Etna en 2000 (© Daniela Szczepanski at www.vulkanarchiv.de and www.vulkane.net). Desafío 572 e. Los fluidos muestran movimientos muy complejos. Para disponer de una visión de conjunto, eche una ojeada a la hermosa colección de la página web serve.me.nus.edu.sg/limtt. Entre los movimientos de los fluidos, los anillos de vórtices, como los emitidos por los fumadores o los volcanes, a menudo han disparado la imaginación. (Vea la Figura 218.) Uno de los ejemplos más fascinantes de movimiento de fluidos es el motivo de vórtices anulares imbricados unos en otros (como si saltaran a la pídola), mostrados en la Figura 219 . Lim Tee Tai explica que es extremadamente difícil obtener más de dos anillos imbricados debido a que la más mínima desalineación de los anillos de vórtices conduce al colapso del sistema. ∗∗ Puede observarse un efecto sorprendente cuando se vierte champú en un plato: algunas veces un delgado chorro es eyectado desde la región donde el champú alcanza el plato. Se trata del llamado efecto Kaye, este efecto puede disfrutarse en la bella película producida por la Universidad de Twente se encuentra en youtube.com/watch?v=GX4_3cV_3Mw . ** Los aseos de los aviones son lugares peligrosos. En la década de 1990, una persona gorda se sentó en el asiento del inodoro y pulsó el botón de ‘flush’ mientras estaba sentado. (Nunca intente usted lo mismo.) La baja presión ejercida por el inodoro era tan fuerte que le sacó el intestino y la persona tuvo que ser llevada al hospital. (Todo terminó bien, por cierto.) 259 FIGURA 219 Dos vórtices de anillos imbricados. (QuickTime film © Lim Tee Tai) FIGURA 220 ¿Cómo se puede mover la moneda en el vaso sin tocar nada? ∗∗ Si uno rodea las gotitas de agua con el tipo correcto de polvo, las gotitas pueden rodar a lo largo de planos inclinados. Pueden rodar con una velocidad de hasta 1 m / s, mientras que en la misma superficie, el agua fluiría cien veces más lentamente. Cuando las gotitas bajan demasiado rápido, se convierten en discos planos; a una velocidad aún mayor, se obtiene una forma de rosquilla. Estas gotitas pueden incluso saltar y nadar. ¿QUÉ PUEDE MOVERSE EN LA NATURALEZA? - FLUJOS Antes de continuar con la siguiente manera de describir el movimiento a nivel global, echemos un vistazo a las posibilidades de movimiento en la vida cotidiana. Una visión general se da en la Tabla 43. Los dominios que pertenecen a la vida cotidiana - movimiento de los fluidos, de la materia, de los tipos de materia, de calor, de la luz y de carga - son los dominios de la física de medios continuos. En la física de los medios continuos, hay tres dominios que aún no hemos estudiado: el movimiento de la carga eléctrica y la luz, la llamada electrodinámica, el movimiento de calor, lo que conocemos como termodinámica, y el movimiento del vacío. Una vez que hemos explorado estos dominios, habremos completado el primer paso de nuestra descripción del movimiento: la física de los medios continuos. En física de los medios continuos, el movimiento y las entidades en movimiento se describen con cantidades continuas que pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores arbitrariamente pequeños o arbitrariamente grandes. Pero la naturaleza no es continua. Ya hemos visto que la materia no puede ser dividida infinitamente en entidades cada vez más pequeñas. De hecho, vamos a descubrir que hay experimentos precisos que proporcionan límites a los valores observados para cada dominio de la física de los medios continuos. Hay un límite a la masa, a la velocidad, al momento angular, a la fuerza, a la entropía y a la variación de carga. Las consecuencias de estos descubrimientos forman la segunda etapa de nuestra descripción del movimiento: la relatividad y la teoría cuántica. La relatividad se basa en límites superiores macroscópicos, la teoría cuántica en límites inferiores microscópicos. La última etapa de nuestra descripción del movimiento estará formada por la unificación de la teoría cuántica y la relatividad general. Cada dominio de la física, con independencia de su pertenencia a cualquiera de las etapas anteriores, describe el cambio en términos de dos cantidades: la energía, y una cantidad extensiva característica del dominio. Una cantidad observable se llama extensiva si aumenta con el tamaño del sistema. La Tabla 43 proporciona una visión general. Las cantidades extensivas e intensivas para fluidos - lo que fluye y por qué fluye - son el volumen y la presión. Las cantidades extensivas e intensivas que corresponden a lo que en el lenguaje cotidiano se llama "calor" - lo que fluye y por qué fluye - son entropía y temperatura. Las analogías de la tabla se pueden llevar aún más lejos. En todos los dominios, la capacidad de un sistema se define por la cantidad extensiva dividida por la cantidad intensiva. La capacidad mide cuán fácilmente fluyen las cosas en el sistema. Para la carga eléctrica la capacidad es la capacidad eléctrica habitual. Para la cantidad de movimiento lineal (impulso), la capacidad se denomina masa. La masa mide, la 260 facilidad con que uno puede poner cantidad de movimiento en un sistema. Desafío 573 e. ¿Puede determinar qué cantidades miden la capacidad en los otros casos? TABLA 43 Cantidades extensivas de la naturaleza, es decir, las cantidades que fluyen y se acumulan. DOMINIO CANTIDAD EXTENSIVA (PORTADOR DE ENERGÍA) CORRIENTE (INTENSIDAD DE FLUJO) CANTIDAD FLUJO DE INTENSIVA (FUERZA MOTRIZ) ENERGÍA (POTENCIA) RESISTENCIA AL DESPLAZAMIENTO. (INTENSIDAD EN LA GENERACIÓN DE ENTROPÍA) Ríos masa m Flujo de masa m/t Diferencia de altura gh P =ghm/t Rm =ght/m [m2/s kg] Gases volumen V Volumen de Flujo V/t presión p P = pV/t RV = pt/V [kg/sm5] Cantidad de movimiento, p fuerza F =dp/dt Velocidad v P =F·v Rp =ΔV/F = t/m [s/kg] Momento angular L Par de fuerzas o torque M = dL/dt Velocidad angular P =M ω RL = t/mr2 [s/kgm2] Cantidad de sustancia, n Flujo de sustancia In = dn/dt Potencial químico μ P = μ In Rn = μt/n [Js/mol2] entropía S Flujo de entropía IS = dS/dt P = T IS RS = Tt/S [K2/W] P= UI R = U/I [Ω] Mecánica Química Termodinámica Luz Electricidad como toda radiación sin masa, puede fluir, pero no se puede acumular carga q Magnetismo no se encuentran en la naturaleza fuentes magnéticas acumulables Física Nuclear existen cantidades extensivas, pero no aparecen en la vida cotidiana Gravitación temperatura T Corriente eléctrica I = dq/dt potencial eléctrico U El espacio vacío puede moverse y fluir, pero el movimiento no se observa en la vida cotidiana Del mismo modo, en todos los campos es posible almacenar energía mediante el uso de las cantidades intensivas - tales como E = CU2 / 2 en un condensador o E = mv2 / 2 en un cuerpo en movimiento - o mediante el uso de cantidades extensivas tales como E = LI2 / 2 en una bobina o E = F2 / 2k en un muelle. Combinando los dos, tenemos oscilaciones. Desafío 574 e. ¿Puede ampliar la analogía en los otros casos? 261 RESUMEN DE FLUIDOS El movimiento de los fluidos es el movimiento de sus partículas constituyentes. El Movimiento del fluido (flujo) permite nadar, volar, la respiración, la circulación de la sangre, los vórtices y la turbulencia. El movimiento fluido puede ser laminar o turbulento. El flujo laminar que carece de cualquier fricción interna se describe por la ecuación de Bernoulli, es decir, por la conservación de energía. El flujo laminar con rozamiento interno está más allá del alcance de este texto, es el flujo turbulento. La descripción exacta de movimiento del fluido es el problema más complicado de la física y no está aún resuelto del todo. 262 CAPÍTULO 13 DEL CALOR A LA INVARIANZA TEMPORAL- L a leche derramada nunca regresa a su recipiente por sí misma. Cualquier objeto caliente, si se deja solo, empieza a enfriarse con el tiempo; nunca se calienta. Estas y muchas otras observaciones muestran que numerosos procesos de la naturaleza son irreversibles. Otras observaciones muestran que la irreversibilidad sólo se encuentra en sistemas compuestos de muchas partículas, y que todos los sistemas irreversibles implican calor. Llegamos así a explorar el siguiente enfoque global para la descripción del movimiento: la física estadística. La Física estadística, que incluye la termodinámica, el estudio de la temperatura y el calor, explica el origen de la irreversibilidad y de muchas propiedades de la materia. ¿Significa la irreversibilidad que el movimiento, en un nivel fundamental, no es invariante bajo la inversión, como pensaba el ganador del Premio Nobel Ilya Prigogine, uno de los padres de la autoorganización? En este capítulo se muestra que él estaba equivocado. * Para deducir este resultado, primero tenemos que conocer los hechos básicos acerca de la temperatura y el calor; entonces hablamos de irreversibilidad y la inversión del movimiento. TEMPERATURA Los cuerpos macroscópicos, es decir, los cuerpos hechos de muchos átomos, tienen temperatura. Los cuerpos hechos de pocos átomos no tienen temperatura. Los hornos tienen una temperatura elevada, los refrigeradores una temperatura baja. Los cambios de temperatura tienen efectos importantes: la materia cambia de estado sólido a líquido a gaseoso al estado de plasma. Con un cambio en la temperatura, la materia también cambia el tamaño, el color, las propiedades magnéticas, la rigidez y muchas más. La temperatura es un aspecto del estado de un cuerpo. En otras palabras, dos cuerpos idénticos pueden caracterizarse y distinguirse por su temperatura. Esto es bien conocido por las organizaciones criminales de todo el mundo que amañan las loterías. Cuando se le pide a un niño con los ojos vendados que extraiga una bola numerada de un conjunto de tales bolas, como en la Figura 222, se le dice a menudo de antemano que extraiga sólo las bolas calientes o frías. El vendar los ojos también ayuda a ocultar las lágrimas debidas al dolor. La temperatura de un cuerpo macroscópico es un aspecto de su estado. En particular, la temperatura es una cantidad o variable intensiva. En resumen, la temperatura describe la intensidad del calor. Una visión general de las temperaturas se dan en la Tabla 44. Observamos que dos cuerpos en contacto tienden a la misma temperatura: la temperatura es contagiosa. En otras palabras, la temperatura describe una situación de equilibrio. La existencia y el contagio de la temperatura se denomina a menudo el principio cero de la termodinámica. Llamamos calentar al aumento de la temperatura, y refrigerar o enfriar a su disminución. ¿Cómo se mide la temperatura? El siglo XVIII produjo la respuesta más clara: la temperatura se define mejor y se mide por la expansión de los gases. Para los más simples, denominados gases ideales o perfectos, el producto de la presión, p, por el volumen, V, es proporcional a la temperatura: p·V ∼ T. (108) La constante de proporcionalidad queda fijada por la cantidad de gas utilizado. (Veremos más sobre esto pronto). ** Muchos pensadores incluso los menos serios a menudo preguntan la cuestión en los siguientes términos: ¿es el movimiento invariante en el tiempo? La prensa sensacionalista va más allá, y se pregunta si el movimiento tiene una "flecha" o si el tiempo tiene un 'sentido de flujo' preferido. Ya hemos demostrado anteriormente que esto es una tontería y que hay que mantenerse alejado de este tipo de frases en lo que sigue. 263 TABLA 44 Algunos valores de temperatura. Observación Temperatura Temperatura más baja, pero inalcanzable 0K = −273,15°C En el contexto de los láseres, a veces hace que (casi) tenga sentido hablar de temperatura negativa. Temperatura que un vacío perfecto tendría en la superficie de la Tierra Gas sodio en ciertos experimentos de laboratorio - sistema de materia más frío logrado por el hombre y, posiblemente, en el universo 40 zK 0.45 nK Temperatura de fondo de neutrinos en el universo. c. 2 K Temperatura de fondo de un Gas de fotones (o radiación de fondo) en el universo 2,7 K Helio líquido 4,2 K Punto triple del Oxígeno 54,3584 K Nitrógeno líquido 77 K Temperatura atmosférica más fría medida (Antártida) 185 K = −88°C Punto de congelación del agua a presión estándar 273,15 K = 0.00°C Punto Triple del agua 273,16K = 0.01°C Temperatura media de la superficie de la Tierra 287,2 K La menor temperatura no confortable de la piel 316 K (10K por encima de la normal) Interior del cuerpo humano 310.0 ± 0.5K = 36,8 ± 0,5°C Temperatura dela mayoría de mamíferos terrestres 310 ± 3K = 36,8 ± 2°C Clima más cálido jamás registrado 343,8K = 70,7°C Punto de ebullición del agua a presión estándard 373,13 K o 99,975°C Temperatura más caliente de seres vivos: bacterias termófilas 395 K = 122°C Gran fuego de leña c. 1100 K Bronce líquido c. 1100 K Punto de congelación del oro 1337,33 K Hierro puro líquido 1810 K Llama del mechero Bunsen Hasta 1870 K Filamento de una bombilla 2,9 kK Centro de la Tierra 4 kK Punto de fusión del carburo de hafnio 4,16 kK Superficie del Sol 5.8 kK Aire en el rayo 30 kK superficie de la estrella más caliente (centro de NGC 2240) 250 kK El espacio entre la Tierra y la Luna (sin error tipográfico) Hasta 1 MK Centro de enana blanca 5 to 20 MK Centro del Sol 20 MK Centro del disco de acreción en estrellas binarias de rayos X 10 to 100 MK Dentro del JET de fusion del tokamak 100 MK 264 Centro de las estrellas más calientes 1 GK Temperatura máxima de los sistemas sin generación de pares electrón-positrón ca. 6 GK Universo cuando tenía 1 s de edad 100 GK temperatura de Hagedorn (punto de ebullición" de la materia hadrónica) 1,9 TK Colisiones de iones pesados - el valor más alto alcanxzado por el hombre 3,6 TK Temperatura de Planck. Límite superior de temperatura de la naturaleza 1032 K La relación de los gases ideales nos permite determinar la temperatura mediante la medida de la presión y el volumen. Esta es la forma en que la temperatura (absoluta) ha sido definida y medida durante alrededor de un siglo. Para definir la unidad de temperatura, sólo tenemos que fijar la cantidad de gas utilizado. Es costumbre de fijar la cantidad de gas en 1 mol; para el oxígeno esto corresponde a 32 g. La constante de proporcionalidad para 1 mol, denomina la constante de los gases ideales R, se define de modo que R = 8,3145 J / mol K. Este número ha sido elegido con el fin de obtener la mejor adecuación a la escala de temperatura Celsius establecida anteriormente de forma independiente a aquella. Fijando así la constante de los gases ideales, definimos la unidad de temperatura como 1 K, o uno Kelvin. En términos concisos, un aumento de la temperatura de un Kelvin (1 K) se define como el aumento de la temperatura que hace que -manteniendo la presión fija- el volumen de los gases ideales aumente en una fracción de 1/273,16 o 0,3661%. (Desafío 575 e ). FIGURA 221 El frenado genera calor en el suelo y en el neumático (© Klaus-Peter Möllmann y Michael Vollmer). FIGURA 222 Una lotería amañada muestra que la temperatura es un aspecto del estado de un cuerpo (© ISTA). En general, si tenemos que determinar la temperatura de un objeto, tomamos un mol de gas, lo ponemos en contacto con el objeto, esperamos un momento y, a continuación, medimos la presión y el volumen del gas. La relación de los gases ideales (p·V = RT) determina entonces la temperatura. Más importante aún, la relación de los gases ideales muestra que hay una temperatura que es la más baja posible en la naturaleza, a saber, la temperatura a la que un gas ideal tendría un volumen (casi) nulo. Eso sucedería a T = 0 K, es decir, a -273,15 ° C. En realidad, otros efectos, como el volumen de los propios átomos, impiden que el volumen del gas alcance un valor exactamente de cero. De hecho, la inaccesibilidad del cero absoluto se llama el tercer principio de la termodinámica. Por otro lado, las temperaturas alcanzadas por una civilización se pueden utilizar como una medida de sus logros tecnológicos. De esta manera, en cuanto a temperaturas elevadas, podemos definir la Edad del Bronce 265 (1,1 kK, 3500 aC), la Edad de Hierro (1,8 kK, 1000 aC), la Edad Eléctrica (3 kK de c. 1880) y la Era Atómica (varios MK, a partir de 1944). Teniendo en cuenta también la búsqueda de temperaturas más bajas, podemos definir la Edad Cuántica (4 K, a partir de 1908). Pero, ¿qué se está calentando o enfriando? ¿Qué sucede en estos procesos? LA ENERGÍA TÉRMICA Tanto la calefacción como la refrigeración consisten en un flujo de energía desordenada. Por ejemplo, la fricción ralentiza los cuerpos en movimiento, y, mientras lo hace, ellos se calientan. La "creación" de calor por fricción puede ser probada experimentalmente. Un ejemplo se muestra en la Figura 221. El calor puede ser generado sin ningún límite a partir de la fricción, con la ayuda solamente de un rozamiento continuo,. Esta interminable 'creación' de calor implica que el calor no es un fluido material o sustancia extraída del cuerpo –ya que en este caso se consumiría después de un cierto tiempo- sino algo más. De hecho, hoy en día sabemos que el calor, a pesar de que se comporta en cierto modo como un fluido, es debido al movimiento desordenado de las partículas. La conclusión de estas investigaciones es simple: La fricción es la transformación de la energía mecánica (es decir, ordenada) en energía térmica (desordenada), es decir, en movimiento desordenado de las partículas que componen un material. Con el fin de aumentar la temperatura de 1 kg de agua por 1 K usando la fricción, se necesitan suministrar 4,2 kJ de energía mecánica. El primero en medir esta cantidad con precisión fue, en 1842, el físico alemán Julius Robert Mayer (1814-1878). Describió sus experimentos como pruebas de la conservación de la energía; de hecho, ¡él fue el primero en formular la conservación de energía! FIGURA 223 Termómetros: un termómetro de Galileo (izquierda), la fila de sensores infrarrojos en la mandíbula de la boa esmeralda de árbol Corallus caninus, un termómetro de infrarrojos para medir la temperatura corporal en el oído, un termómetro náutico utilizando un bimetal, un termómetro de mercurio, y un termopar que está unido a un voltímetro de lectura (© Wikimedia, Ron Marcus, Braun GmbH, Universum, Wikimedia, Thermodevices). Es algo así como una vergüenza para la física moderna, que un médico fuera el primero en demostrar la conservación de la energía y, además, que fuera ridiculizado por la mayoría de los físicos de su tiempo. Peor aún, la conservación de la energía sólo fue aceptada por los científicos cuando muchos años después la dieron a conocer dos autoridades en la materia: Hermann von Helmholtz - también médico que 266 posteriormente se dedicó a la física - y WilliamThomson, quien también citó los experimentos similares, pero posteriores de James Joule.* Todos ellos reconocieron la prioridad de Mayer. La mercadotecnia de William Thomson condujo luego a la designación de la unidad de energía como Joule. En resumen, dos médicos demostraron que: • ⊳ En un sistema cerrado, la suma de la energía mecánica y energía térmica es constante. (Esto se llama primer principio de la termodinámica). De manera equivalente, es imposible producir energía mecánica sin tener que pagar por ello con alguna otra forma de energía. Esta es una declaración importante, porque entre otras cosas, y por encima de ellas, significa que la humanidad dejará de vivir un día. De hecho, vivimos principalmente gracias a la energía del Sol, y puesto que el Sol es de tamaño finito, con el tiempo se consumirá su contenido energético. Desafío 576 s. ¿Puede estimar cuándo sucederá esto? FIGURA 224 ¿Qué globo gana cuando se abre el grifo? El primer principio de la termodinámica, la conservación de la energía, implica que no existe móvil perpetuo de primera especie: ninguna máquina puede funcionar sin aporte de energía. Por esta misma razón, necesitamos ingerir alimentos: la energía de los alimentos nos mantiene vivos. Si dejamos de comer, nos morimos. La conservación de la energía también hace imposible la mayoría de los llamados 'milagros': en la naturaleza, la energía no puede ser creada, pero se conserva. La energía térmica es una forma de energía. La energía térmica se puede almacenar, acumular, transferir, transformar en energía mecánica, energía eléctrica o luminosa. En resumen, la energía térmica se puede transformar en movimiento, en trabajo, y por lo tanto en dinero. El primer principio de la termodinámica también nos permite formular lo que logra un motor de automóvil. Los motores de los vehículos son dispositivos que transforman materia caliente - el combustible caliente explotando dentro de los cilindros - en el movimiento de las ruedas del coche. Los motores de vehículos, como las máquinas de vapor, son, pues, ejemplos de máquinas térmicas. El estudio del calor y la temperatura se llama termostática si los sistemas en cuestión están en equilibrio, y termodinámica si no lo están. En este último caso, se distinguen - situaciones cerca del equilibrio, es decir, cuando se pueden seguir utilizando conceptos de equilibrio tales como la temperatura, de - situaciones alejadas del equilibrio, como la auto-organización, donde a menudo no se pueden aplicar estos conceptos. ¿Tiene sentido distinguir entre la energía térmica y el calor? Sí lo tiene. Muchos textos antiguos utilizan el término "calor" con el mismo significado de energía térmica. Sin embargo, esto es confuso; en este texto, se utiliza el "calor", de acuerdo con los enfoques modernos, como el término cotidiano para la entropía. Tanto la energía térmica como el calor fluyen desde un cuerpo a otro, y ambos se acumulan. Ninguno de los tiene masa medible. * Tanto la cantidad de energía térmica como la ** Hermann von Helmholtz (n. 1821 Potsdam,. D 1894 Berlin), importante científico prusiano. William Thomson Kelvin (n. 1824 Belfast,. D 1907 Netherhall), importante físico norirlandés. James Prescott Joule (nacido en 1818 en Salford, d. 1889 Sale), físico Inglés. Joule se pronuncia para que rime con 'cool', como sus descendientes enfatizan. (La pronunciación del nombre "Joule" varía de una familia a otra.) *Esto podría cambiar en el futuro, cuando las mediciones de masa mejoren en precisión, permitiendo así la detección de los efectos relativistas. En este caso, el aumento de temperatura puede ser detectado a través de su aumento de masa relacionada. 267 cantidad de calor dentro de un cuerpo aumentan con el aumento de temperatura. La relación exacta se dará en breve. Pero el calor tiene muchas otras propiedades interesantes e historias que contar. De éstas, dos son particularmente importantes: primero, el calor se debe a las partículas; y en segundo lugar, el calor está en el corazón de la diferencia entre el pasado y el futuro. Estas dos historias se entrelazan. ¿POR QUÉ LOS GLOBOS OCUPAN ESPACIO? - EL FINAL DE LA CONTINUIDAD Las propiedades del calor son dependientes de la materia. El estudio de las propiedades térmicas, por tanto, debe permitirnos entender algo acerca de los constituyentes de la materia. Ahora bien, los materiales más sencillos de todos son los gases. ** FIGURA 225 ¿Qué ha pasado aquí?(© Johan de Jong) Los gases necesitan espacio: cualquier cantidad de gas posee una presión y un volumen. No pasó mucho tiempo antes de que se demostrara que los gases no podían ser continuos. Uno de los primeros científicos en pensar en los gases como compuestos de átomos o moléculas fue Daniel Bernoulli. Bernoulli razonó que si los gases están formados por partículas pequeñas, con masa y cantidad de movimiento, se debería ser capaz de hacer predicciones cuantitativas sobre el comportamiento de los gases, y comprobarlas mediante experimentos. Si las partículas revolotean por todos lados en un gas, entonces la presión de un gas en un recipiente es producida por el flujo constante de partículas que golpean la pared. Desafío 577 ny. Era entonces fácil concluir que si se supone que las partículas se comportan como bolas pequeñas, duras y perfectamente elásticas, la presión p, el volumen V y la temperatura T debe estar relacionados mediante la igualdad: pV = kNT (109) donde N es el número de partículas contenidas en el gas. (La constante k de Boltzmann, una de las constantes fundamentales de la naturaleza, se define a continuación). Un gas hecho de partículas que tengan tal comportamiento se llama un gas ideal en los libros de texto . La relación (109), a menudo llamada la "ley" de los gases ideales, era conocida antes de Bernoulli, ha sido confirmada por experimentos a temperatura ambiente y otros a temperaturas más altas, para todos los gases conocidos. Bernoulli por lo tanto, derivó la relación de los gases ideales, con una predicción específica para la constante de proporcionalidad, a partir de la única suposición de que los gases están hechos de pequeñas partículas masivas. Esta derivación proporciona un argumento claro para la existencia de los átomos y de su comportamiento como objetos normales, aunque pequeños. Ya hemos visto antes cómo puede determinarse experimentalmente N. Desafío 578 s. El modelo de gas ideal, nos ayuda a responder preguntas como la que se ilustra en la Figura 224. Dos globos de goma idénticos, uno lleno hasta un tamaño más grande que el otro, están conectados a través de una tubería y una válvula. Se abre la válvula. ¿Cuál de los dos se desinfla? Desafío 579 e. La relación de los gases perfectos afirma que los gases más calientes, a una presión determinada, necesitan más volumen. Esta relación explica pues, por qué existen los vientos y las tormentas, por qué los globos de aire caliente se elevan - incluso los de la Figura 225 -, por qué trabajan los motores de los coches, por qué la capa de ozono es destruida por ciertos gases, o por qué durante el verano extremadamente caluroso de 2001 en el sur de Turquía, eran necesarias máscaras de oxígeno para caminar al aire libre durante el día. La relación de gas ideal también explica por qué el 21 de agosto de 1986, más de mil personas y tres mil cabezas de ganado fueron encontrados muertos en sus hogares en Camerún. Sin embargo, tales cambios se notarán sólo con doce o más dígitos de precisión en las mediciones de masa. * ** Por cierto, la palabra de gas es una construcción moderna. Fue acuñado por el alquimista de Bruselas y el médico Johan Baptista van Helmont (1579-1644), para que suene similar a "caos". Es una de las pocas palabras que han sido inventadas por una persona y luego adoptados en todo el mundo. 268 Ellos vivían debajo de un volcán cuyo cráter contiene un lago, el lago Nyos. Resulta que el volcán emite continuamente dióxido de carbono o CO2, en el lago. El dióxido de carbono se disuelve normalmente en el agua. Pero en agosto de 1986, un evento desconocido provocó la liberación de una burbuja de alrededor de un millón de toneladas de CO2, alrededor de un kilómetro cúbico, a la atmósfera. Debido a que el dióxido de carbono (2,0 kg/m3) es más denso que el aire (1,2 kg/m3), el gas fluyó hacia los valles y pueblos debajo del volcán. El gas no tiene color y olor, y condujo a la asfixia. No está claro si el sistema de desgasificación instalado en el lago después del acontecimiento es lo suficientemente potente como para evitar la repetición del evento. Usando la relación gas ideal usted es ahora capaz de explicar por qué los globos aumentan de tamaño a medida que se elevan en lo alto de la atmósfera, a pesar de que el aire es más frío allí. El mayor globo construido hasta ahora tenía un diámetro, a gran altura, de 170 m, pero sólo una fracción de ese valor en el despegue. Desafío 580 ny. ¿Cuánto? Desafío 581 s. Ahora también puede resolver el siguiente reto: ¿cómo se puede medir el peso de un coche o una bicicleta con sólo una regla? La imagen de los gases que nos hemos formado a base de componentes duros y sin ninguna interacción a larga distancia se descompone a temperaturas muy bajas. Por tanto, la relación de los gases ideales (109) debe ser mejorada para superar estas limitaciones, teniendo en cuenta las desviaciones debidas a las interacciones entre los átomos o moléculas. Este enfoque es ahora una práctica estándar y nos permite medir las temperaturas, incluso a valores extremadamente bajos. Los efectos observados por debajo de 80 K, como la solidificación del aire, el transporte sin fricción de la corriente eléctrica, o el flujo de líquidos sin fricción, forman su propio mundo fascinante: el cautivador campo de la física de bajas temperaturas. Este campo se estudiará más adelante. No mucho después de Bernoulli, los químicos encontraron fuertes argumentos que confirmaban la existencia de los átomos. Descubrieron que las reacciones químicas tienen lugar bajo 'proporciones fijas': solamente reaccionan relaciones específicas de cantidades de productos químicos. Muchos investigadores, incluyendo a John Dalton, dedujeron que esta propiedad se debe a que en la química, todas las reacciones se producen átomo por átomo. Por ejemplo, dos átomos de hidrógeno y un átomo de oxígeno forman una molécula de agua de esta manera - incluso si no existieran estos términos en el momento. La relación se expresa por la fórmula química H 2O. Estos argumentos son fuertes, pero no convencieron a todos. Finalmente, la existencia de átomos se confirmó mediante la observación de los efectos de su movimiento más directamente. MOVIMIENTO BROWNIANO Si los líquidos están hechos de partículas que se mueven al azar, este movimiento aleatorio debe tener efectos observables. En efecto, bajo el microscopio, es fácil observar que las pequeñas partículas, como el polvo de carbón, en o sobre un líquido nunca permanecen en reposo. Un ejemplo del movimiento observado se muestra en la Figura 227. Las partículas parecen seguir un movimiento de zig zag al azar. Esto fue descrito por primera vez por Lucrecio, en el año 60 aC, en su poema De rerum natura. Él describe lo que todo el mundo ha visto: la danza de las partículas de polvo en el aire iluminado por el sol. En 1785, Jan Ingenhousz vio que las partículas de polvo de carbón nunca llegan a descansar. Descubrió lo que hoy se llama movimiento browniano. 40 años después de él, el botánico inglés Robert Brown fue el primero en repetir la observación, esta vez para pequeñas partículas en suspensión que flotan en el interior de vacuolas de un grano de polen. Ulteriores experimentos mostraron que la observación de un movimiento aleatorio es independiente del tipo de partícula y del tipo de líquido. En otras palabras, Ingenhousz había descubierto una forma fundamental de ruido en la naturaleza. Alrededor de 1860, varias personas atribuyeron el movimiento aleatorio de partículas en líquidos a los choques de las moléculas del líquido con esas partículas. En 1905 y 1906, Marian von Smoluchowski e, independientemente, Albert Einstein sostenían que esta atribución se podría probar experimentalmente, a pesar de que en ese momento no había nadie capaz de observar directamente las moléculas. El ensayo hace uso de las propiedades específicas del ruido térmico. Ya había quedado claro desde hacía mucho tiempo que si las moléculas, es decir, las partículas indivisibles 269 de materia realmente existían, entonces la energía térmica tenía que ser el movimiento desordenado de estos componentes y la temperatura tenía que ser la energía media por grado de libertad de los componentes. Desafío 582 ny. El modelo de la Figura 230 de Bernoulli implica que para los gases monoatómicos la energía cinética, Tkin , por partícula está dada mediante la expresión 3 T kin= kT 2 (110) donde T es la temperatura. La denominada constante de Boltzmann k = 1,4 ⋅ 10-23 J / K es el factor de conversión estándar entre la temperatura y la energía. * A una temperatura ambiente de 293 K, la energía cinética de una partícula es por lo tanto 6 zJ. FIGURA 226 Una imagen de los granos de polen - tamaño del campo de aproximadamente 0,3 mm - hecha con un microscopio electrónico (Wikimedia). Usando la relación (110) para calcular la velocidad de las moléculas de aire a temperatura ambiente se encuentran valores de varios cientos de metros por segundo, ¡próximos a la velocidad del sonido! Desafío 583 e. Dada esta gran velocidad, ¿por qué el humo de una vela tarda tanto en difundirse a través de una habitación? Rudolph Clausius (1822-1888) respondió a esta pregunta en la mitad del siglo XIX: la difusión del humo es más lenta por las colisiones con las moléculas del aire, de la misma forma que las partículas de polen colisionan con las moléculas en los líquidos. Debido a que los flujos son generalmente más eficaces que la difusión, los materiales que no muestran flujos en absoluto son aquellos en los que la importancia de la difusión es más evidente: los sólidos. El endurecimiento en el metal y la producción de semiconductores son ejemplos. La descripción del movimiento browniano se puede probar siguiendo el desplazamiento de las partículas de polen bajo el microscopio. A primera vista, podríamos suponer que la distancia media que se ha movido **La constante k de Boltzmann fue descubierta y nombrada por Max Planck, en la misma obra en la que también descubrió lo que ahora se llama constante h de Planck, el cuanto de acción. Para más detalles sobre Max Planck, ver más adelante. Planck llamó a k la constante de Boltzmann en honor del importante físico austríaco Ludwig Boltzmann (n. 1844 Viena,. D 1906 Duino), que es famoso por su trabajo sobre la termodinámica. Boltzmann explicó todos los fenómenos y observables termodinámicos, sobre todo la entropía misma, como resultado del comportamiento de las moléculas. Se dice que Boltzmann se suicidó en parte debido a la animosidad de sus colegas físicos hacia sus ideas y hacia él mismo. Hoy en día, su obra es material estándar en los libros de texto 270 una partícula de polen después de n colisiones debe ser cero, ya que las velocidades moleculares son aleatorias. Sin embargo, esto es incorrecto, como muestra el experimento. Para la partícula de polen se observa un aumento del desplazamiento cuadrático medio, escrito ⟨d2⟩. No se puede predecir en qué dirección la partícula se moverá, pero se mueve. Si la distancia que la partícula recorre después de una colisión es l, el desplazamiento cuadrático medio después de n choques, como usted debe ser capaz de mostrarse a sí mismo, está dada por Desafío 584 ny. ⟨d2⟩ = nl2 . (111) Para moléculas con una velocidad promedio v en el tiempo t esto da ⟨d2⟩ = nl2= vlt. (112) FIGURA 227 Ejemplos de rutas para las partículas en movimiento browniano y su distribución de desplazamiento. En otras palabras, el desplazamiento cuadrático promedio aumenta proporcionalmente con el tiempo. Por supuesto, esto sólo es válido si el líquido está hecho de moléculas separadas. Midiendo repetidamente la posición de una partícula se debería obtener la distribución que se muestra en la Figura 227 para la probabilidad de que la partícula se encuentre a una distancia dada del punto de partida. Esto se llama distribución normal o gaussiana. En 1908, Jean Perrin* realizó numerosos experimentos con el fin de poner a prueba esta predicción. Él encontró que la ecuación (112) se correspondía completamente con las observaciones, convenciendo así a todo el mundo que el movimiento browniano de la partícula es, de hecho, debido a las colisiones con las moléculas del líquido que la rodea, tal como se había esperado. ** Perrin recibió el Premio Nobel de 1926 por estos experimentos. Einstein mostró igualmente que el mismo experimento podría ser utilizado para determinar el número de moléculas contenidas en un litro de agua (o de forma equivalente, la constante k de Boltzmann). Desafío 585 d. ¿Puede averiguar cómo lo hizo? ¿POR QUÉ LAS PIEDRAS NO PUEDEN SER NI CONTINUAS NI FRACTALES, NI HECHAS DE PEQUEÑAS BOLAS DURAS? La exploración de la temperatura produce otro resultado interesante. Los investigadores estudiaron primero los gases, y midieron cuánta energía se necesita para calentarlos 1 K. El resultado es asombrosamente simple: todos los gases comparten sólo unos pocos valores, cuando se tiene en cuenta el * Jean Perrin (1870-1942), importante físico francés, dedicó la mayor parte de su carrera a la prueba experimental de la hipótesis atómica y la determinación del número de Avogadro; en la búsqueda de este objetivo se perfeccionó el uso de emulsiones, el movimiento browniano y las películas de aceite. Su discurso del Premio Nobel (nobelprize.org/physics/laureates/1926/perrinlecture.html) cuenta la historia interesante de su investigación. Escribió el influyente libro Les atomes y fundó el Centre National de la Recherche Scientifique. También fue el primero en especular, en 1901, que un átomo es similar a un pequeño sistema solar. ** En una deliciosa pieza de investigación, Pierre Gaspard y su equipo demostraron en 1998 que el movimiento browniano también es caótico, en el sentido físico estricto dado más adelante. 271 número de moléculas N. Los gases monoatómicos (colocados en un recipiente con volumen constante) requieren 3Nk/2, los gases diatómicos (y aquellos que poseen una molécula lineal) 5Nk/2, y casi todos los otros gases 3Nk, donde k = 1,4⋅10 -23 J / K es la constante de Boltzmann. La explicación de este resultado no tardó en llegar: cada grado termodinámico de libertad * contribuye con la energía kT / 2 a la energía total, donde T es la temperatura. Así que el número de grados de libertad en un cuerpo físico es finito. Los cuerpos no son continuos, ni son fractales: si lo fueran, su energía térmica específica sería infinita. La materia está, en realidad, hecha de pequeñas entidades básicas. Todos los grados de libertad contribuyen a la energía térmica específica. Al menos, esto es lo que predice la física clásica. Los sólidos, como las piedras, tienen 6 grados de libertad termodinámicos así que deben mostrar una energía térmica específica de 3Nk. A altas temperaturas, esto es realmente lo observado. Pero las medidas efectuadas sobre los sólidos a temperatura ambiente producen valores más bajos, y cuanto más baja es la temperatura, menores son los valores. Incluso los gases muestran valores más bajos que los que acabamos de mencionar, cuando la temperatura es lo suficientemente baja. En otras palabras, las moléculas y los átomos se comportan de manera diferente a bajas energías: los átomos no son inmutables bolitas duras. La desviación de estos valores es uno de los primeros indicios hacia el advenimiento de la teoría cuántica. ENTROPÍA – Es irreversible. - Como mi impermeable! Mel Brooks, Spaceballs, 1987 Cada dominio de la física describe el cambio en términos de tres cantidades: 1) energía, 2) una magnitud intensiva y 3) una magnitud extensiva características del dominio estudiado. En el dominio de la física térmica, la cantidad intensiva es la temperatura. ¿Cuál es la magnitud extensiva correspondiente? FIGURA 228 La bomba que hace fuego. La suposición obvia sería "calor". Desafortunadamente, la cantidad que los físicos suelen llamar "calor" no es lo mismo que lo que llamamos "calor" en nuestro lenguaje cotidiano. Por esta razón histórica, tenemos que introducir un nuevo término. La magnitud extensiva cantidad que se corresponde a lo que llamamos "calor" en el lenguaje cotidiano se llama entropía en la física.* La entropía describe la cantidad de calor cotidiano. La entropía se mide en julios por kelvin o J / K; algunos valores de ejemplo (por cantidad de materia) se enumeran en la Tabla 45 y la Tabla 46. La Entropía describe el calor cotidiano de la misma manera que la cantidad de movimiento describe el movimiento cotidiano. La entropía describe la cantidad de calor de la misma manera que la cantidad de movimiento * Un grado termodinámico de libertad es, para cada partícula en un sistema, el número de dimensiones en las que se puede mover más el número de dimensiones en las que se mantiene en un potencial. Los átomos en un sólido tienen seis, partículas en los gases monoatómicos sólo tienen tres; las partículas de los gases diatómicos o las moléculas lineales rígidas tienen cinco. El número de grados de libertad de las moléculas más grandes depende de su forma. **El término "entropía" fue inventado por el físico alemán Rudolph Clausius (n. 1822 Köslin,. D 1888 Bonn) en 1865. Lo formó a paartir de ἐν griego 'en' y τρόπος "dirección", para que suene parecido a 'energía ". el término entropía siempre ha tenido el significado dado aquí. Por el contrario, lo que los físicos llaman "calor" es una forma de energía y no una cantidad extensiva en general. 272 describe cuánto movimiento hay. Correspondientemente, la temperatura describe la intensidad del calor, de la misma manera que la velocidad describe la intensidad de movimiento. Cuando dos objetos de diferentes velocidades chocan, un flujo de cantidad de movimiento tiene lugar entre ellos. Del mismo modo, cuando dos objetos que difieren en la temperatura se ponen en contacto, un flujo de entropía tiene lugar entre ellos. Definimos ahora el concepto de entropía - ‘calor cotidiano’ - con más precisión y exploramos sus propiedades con un poco más de detalle. La entropía mide el grado en el cual la energía está mezclada en el interior de un sistema, es decir, el grado en que la energía se transmite o se comparte entre los componentes de un sistema. Cuando todos los componentes de un sistema - por lo general las moléculas o átomos – se mueven de la misma manera, en concierto, la entropía del sistema es baja. Cuando los componentes del sistema se mueven de forma totalmente independiente, al azar, la entropía es grande. En resumen, la entropía mide la cantidad de contenido de energía desordenada por unidad de temperatura en un sistema. Esa es la razón por la que que se mide en J/K. La entropía ΔS que fluye en un sistema se mide mediante la energía que fluye en el sistema y registrando la temperatura T que se da durante el proceso: T final Δ S= ∫ T inicial dE T (113) A menudo, esto se puede aproximar como ΔS = P Δt/ T, donde P es la potencia del dispositivo de calentamiento, Δt es el tiempo de calentamiento, y T es la temperatura media. Dado que la entropía mide una cantidad, una magnitud extensiva, y no una intensidad, la entropía se suma cuando sistemas idénticos se combinan para formar uno solo. Cuando dos botellas de un litro de agua a la misma temperatura se vierten juntas, la entropía del agua se suma. Una vez más, esto corresponde al comportamiento del momento lineal: también se suma cuando los sistemas se combinan. Como cualquier otra cantidad extensiva, la entropía se puede acumular en un cuerpo, y también puede fluir dentro o fuera de los cuerpos. Cuando transformamos agua en vapor por calentamiento, se dice que se añade entropía al agua. Después de que el agua se ha convertido en vapor, la entropía añadida está contenida en el vapor. En pocas palabras, la entropía es el término exacto para lo que llamamos "calor" en el habla cotidiana. Cuando disolvemos un bloque de sal en el agua, la entropía del sistema total debe aumentar, ya que el desorden aumenta. Ahora exploraremos este efecto. TABLA 45 Algunos valores medidos de entropía específica. PROCESO / SISTEMA VALOR DE ENTROPÍA Carbono sólido, en forma de diamante 2,43 J/Kmol Carbono sólido, en forma de grafito 5,69 J/Kmol Fusión del hielo 1.21 kJ/Kkg = 21.99 J/Kmol Hierro, sólido, bajo condiciones estándar 27.2 J/Kmol Magnesio, sólido, bajo condiciones estándar 32.7 J/Kmol Agua, líquida, bajo condiciones estándar 70.1 J/Kmol Ebullición de 1 kg de agua líquida a 101.3 kPa 6.03 kJ/K= 110 J/Kmol Oxígeno O2 bajo condiciones estándar 205.1 J/Kmol C2H6 gas bajo condiciones estándar 230 J/Kmol C3H8 gas bajo condiciones estándar 270 J/Kmol C4H10 gas bajo condiciones estándar 310 J/Kmol C5H12 gas bajo condiciones estándar 348.9 J/Kmol TiCl4 gas bajo condiciones estándar 354.8 J/Kmol 273 ENTROPÍA DE LAS PARTÍCULAS Una vez que se hizo evidente que el calor y la temperatura se deben al movimiento de las partículas microscópicas, los estudiosos se preguntaron qué era la entropía microscópicamente. La respuesta se puede formular de varias maneras. Las dos respuestas más extremas son: • La entropía mide el (logaritmo del) número W de posibles estados microscópicos. Un estado macroscópico dado puede tener muchas realizaciones microscópicas. El logaritmo de este número, multiplicado por la constante k Boltzmann, da la entropía. * • La entropía es el número esperado de preguntas con respuestas sí o no, multiplicado por k ln 2, esas respuestas nos dicen todo sobre el sistema, es decir, sobre su estado microscópico. En resumen, cuanto mayor es la entropía, más microestados son posibles. A través de cualquiera de estas definiciones, la entropía mide la cantidad de aleatoriedad en un sistema. En otras palabras, la entropía mide la capacidad de transformación de la energía: una mayor entropía significa menor capacidad de transformación. Alternativamente, la entropía mide la libertad en la elección de microestados que tiene un sistema. Alta entropía significa una alta libertad de elección para el microestado. Por ejemplo, cuando una molécula de glucosa (un tipo de azúcar) es producida por fotosíntesis, aproximadamente se liberan 40 bits de entropía. Esto significa que después de que se forma la glucosa, 40 preguntas adicionales de sí o no deben ser respondidas con el fin de determinar el estado microscópico completo del sistema. Los físicos a menudo utilizan una unidad macroscópica; la mayoría de los sistemas de interés son grandes, y por lo tanto una entropía de 1023 bits se escribe como 1 J/K. (Esto sólo es aproximado. Desafío 586 ny. ¿Puede encontrar el valor exacto?) TABLA 46 Algunos valores típicos de entropía por partícula a temperatura y presión estándar en múltiplos de la constante de Boltzmann. MATERIAL ENTROPÍA POR PARTÍCULA Sólidos Monatómicos 0.3 k to 10 k Diamante 0.29 k Grafito 0.68 k Plomo 7.79 k Gases Monatómicos 15-25 k Helio 15.2 k Radon 21.2 k Gases diatómicos 15 k to 30 k Sólidos poliatómicos 10 k to 60 k Líquidos poliatómicos 10 k to 80 k Gases poliatómicos 20 k to 60 k Eicosano 112 k Resumiendo, la entropía es, pues, una medida específica para la caracterización del desorden de los sistemas térmicos. Tres reflexiones son válidas aquí. En primer lugar, la entropía no es la medida de desorden, sino una medida del desorden. Por tanto, no es correcto usar la entropía como un sinónimo para el concepto de desorden, como ocurre a menudo en la literatura popular. La entropía se define sólo para sistemas que tienen una temperatura, en otras palabras, sólo para sistemas que están en o cerca del equilibrio. (Para los sistemas alejados del equilibrio, no se ha encontrado todavía ninguna medida del desorden, probablemente ninguna sea posible). De hecho, el uso del término entropía ha degenerado tanto que a veces * Cuando Max Planck fue a Austria para buscar la tumba anónima de Boltzmann con el fin de hacer que lo enterraran en una fosa adecuada, inscribió la fórmula S = k LNW en la lápida. (¿qué físico financiaría la tumba de otro, hoy en día?) 274 uno tiene que llamarla entropía termodinámica para mayor claridad. En segundo lugar, la entropía está relacionada con la información sólo si la información se define también como - k Ln W. Para aclarar este punto, tome un libro con una masa de un kilogramo. A temperatura ambiente, su contenido entropía es de aproximadamente 4 kJ / K. La información impresa en el interior de un libro, digamos 500 páginas de 40 líneas cada una con 80 caracteres de 64 posibilidades, corresponde a una entropía de 4⋅10-17 J / K. En resumen, lo que se suele llamar "información" en la vida cotidiana es una fracción insignificante de lo que un físico llama información. La entropía se define con el concepto físico de la información. Por último, la entropía no es una medida para lo que en la vida normal se llama la complejidad de una situación. De hecho, nadie ha encontrado aún una cantidad que describa esta noción cotidiana. La tarea es sorprendentemente difícil. Desafío 587 ny. ¡Haga un intento! En resumen, tenga cuidado si usted oye entropía como término utilizado con un significado diferente a la expresión S = k lnW. Probablemente alguien con alguna ideología está tratando de conseguir algo de usted. LA ENTROPÍA MÍNIMA DE LA NATURALEZA - EL "CUANTO" DE INFORMACIÓN Antes de concluir nuestra discusión de física térmica hay que destacar de otra forma la importancia de la constante k de Boltzmann. Hemos visto que esta constante aparece siempre que la granularidad de la materia juega un papel; expresa el hecho de que la materia está hecha de pequeñas entidades básicas. La forma más llamativa de poner esta afirmación es la siguiente: • ⊳ Hay una entropía mínima en la naturaleza. En efecto, para todos los sistemas, la entropía obedece S ≥ k. (113) Este resultado tiene casi 100 años de edad; lo dijo muy claramente (con un factor numérico diferente) el físico húngaro-alemán Leo Szilard. La idea fue recogida por el físico francés Léon Brillouin (de nuevo con un factor numérico diferente). La afirmación también se puede tomar como la definición de la constante de Boltzmann. La existencia de una entropía mínima en la naturaleza es una idea fuerte. Se elimina la posibilidad de la continuidad de la materia y también la de su fractalidad. Un entropía mínima implica que la materia está hecha de un número finito de componentes pequeños. El límite inferior de la entropía expresa el hecho de que la materia está hecha de partículas. * El límite a la entropía también muestra que la física galileana no puede ser correcta: la física galileana asume que existen cantidades arbitrariamente pequeñas. El límite de la entropía es el primero de varios límites al movimiento que encontraremos en nuestra aventura. Después de que hayamos encontrado todos los límites, podemos iniciar el tramo final que conduce a la descripción unificada del movimiento. La existencia de una cantidad mínima implica un límite a la precisión de las mediciones. Las mediciones no pueden tener una precisión infinita. Esta limitación se indica generalmente en forma de una relación de indeterminación. De hecho, la existencia de una entropía mínima puede ser reformulada como una relación de indeterminación entre la temperatura T y la energía interna U de un sistema: Δ(1/T) ΔU ⩾ k/2 . (114) Esta relación ** fue dada por Niels Bohr; posteriormente discutida por Werner Heisenberg, quien la llamó una de las relaciones de indeterminación básicas de la naturaleza. La constante de Boltzmann (dividida por 2) de este modo fija el valor más pequeño posible de entropía en la naturaleza. Por esta razón, Gilles CohenTannoudji la llama el cuanto de información y Herbert Zimmermann, el cuanto de la entropía. La relación (114) apunta hacia un modelo más general. Para cada valor mínimo de un observable, hay una relación de incertidumbre correspondiente. Nos encontraremos con esto varias veces en el resto de nuestra * La entropía mínima implica que la materia está hecha de pequeñas esferas; la acción mínima, que nos vamos a encontrar en la teoría cuántica, implica que estas esferas son en realidad pequeñas nubes. ** Parece que el valor histórico de la derecha, k, tiene que ser corregido a k / 2, por la misma razón que el cuanto de acción, ħ, aparece con un factor de 1/2 en las relaciones de indeterminación de Heisenberg. 275 aventura, de un modo más importante en el caso del cuanto de acción y la relación de indeterminación de Heisenberg. La existencia de una entropía mínima tiene numerosas consecuencias. En primer lugar, arroja luz sobre el tercer principio de la termodinámica. Una entropía mínima implica que la temperatura absoluta de cero no se puede lograr. En segundo lugar, una entropía mínima explica por qué los valores de entropía son finitos en lugar de infinitos. En tercer lugar, se fija el valor absoluto de la entropía para cada sistema; en la física del continuo, la entropía, como la energía, sólo se define hasta una constante aditiva. El cuanto de entropía zanja todos estos temas. La existencia de un valor mínimo para un observable implica que aparece una relación de indeterminación para dos cantidades cuyo producto proporciona ese observable. Por ejemplo, la tasa de producción de entropía y el tiempo son una de tales parejas. Ciertamente, una relación de indeterminación conecta la tasa de producción de entropía P = ds / dt y el tiempo t: ΔP Δt ⩾ k /2. (115) A partir de esto y la relación previa (114), es posible deducir toda la física estadística, es decir, la teoría precisa de la termostática y termodinámica. No vamos a explorar esto más a fondo aquí. Nos limitaremos a una de las piedras angulares de la termodinámica: el segundo principio. Desafío 588 ny. ¿Puede usted demostrar que el principio cero y el tercer principio se siguen a partir de la existencia de una entropía mínima? TABLA 47 Algunos valores de flujo mínimo que se encuentran en la naturaleza. OBSERVACIÓN FLUJO MÍNIMO Flujo de Materia una molecula o un átomo o una partícula Flujo de Volumen una molecula o un átomo o una partícula Flujo de momento Angular cuanto de acción de Planck Cantidad de sustancia química una molecula o un átomo o una partícula Flujo de Entropía mínimo de entropía Flujo de Carga una carga elemental Flujo de Luz un único fotón, el cuanto de acción de Planck ¿ESTÁ TODO HECHO DE PARTÍCULAS? Un físico es la forma que el átomo tiene de saber que hay átomos. George Wald Históricamente, el estudio de la mecánica estadística ha sido de importancia crucial para la física. Ella proporcionó la primera demostración de que los objetos físicos están hechos de partículas que interactúan. La historia de este argumento es, de hecho, una larga cadena de argumentos que muestran que todas las propiedades que atribuimos a los objetos, como el tamaño, la rigidez, el color, la densidad de la masa, el magnetismo, la conductividad térmica o eléctrica, resultan de la interacción de las muchas partículas de que constan. El descubrimiento de que todos los objetos están hechos de partículas que interactúan a menudo se ha llamado el principal resultado de la ciencia moderna. ¿Cómo se hizo este descubrimiento? La Tabla 43 enumera los principales cantidades extensivas usadas en la física. Las cantidades extensivas son capaces de fluir. Resulta que todos los flujos de la naturaleza se componen de procesos elementales, como se muestra en la Tabla 47. Hemos visto que los flujos de masa, volumen, carga, entropía y sustancia son compuestos. Más tarde, la teoría cuántica mostrará lo mismo para los flujos de momento angular y de los números cuánticos nucleares. Todos los flujos están hechos de partículas. El éxito de esta idea ha llevado a muchas personas a generalizarla en el enunciado: "Todo lo que observamos está hecho de partes”. Este enfoque se ha aplicado con éxito a la química con las moléculas, a la 276 ciencia de materiales y a la geología con los cristales, a la electricidad con los electrones, a los átomos con las partículas elementales, al espacio con puntos, al tiempo con instantes, a la luz con los fotones, a la biología con células, a la genética con genes, a la neurología con neuronas, a las matemáticas con conjuntos y relaciones, a la lógica con proposiciones elementales, e incluso a la lingüística con morfemas y fonemas. Todas estas ciencias han florecido en la idea de que todo está hecho de partes en relación. La idea básica parece tan evidente que nos resulta difícil, incluso formular una alternativa. Desafío 589 ny. ¡Inténtelo! FIGURA 229 Una superficie de cristal 111 de un monocristal de oro con una dislocación superficial, cada punto brillante es un átomo. (© CNRS). Sin embargo, en el caso de la totalidad de la naturaleza, la idea de que la naturaleza es una suma de partes relacionadas es incorrecta. Resulta ser un prejuicio y un prejuicio tan arraigado que retardó la evolución de la física en las últimas décadas del siglo XX. En particular, no se aplica a las partículas elementales o al espacio-tiempo. Encontrar la correcta descripción de la totalidad de la naturaleza es el mayor desafío de nuestra aventura, ya que requiere un cambio total en los hábitos de pensamiento. Hay un montón de diversión por delante. Jede Aussage uber Komplexe last sich in eine Aussage uber deren Bestandteile und in diejenigen Satze zerlegen, welche die Komplexe vollständig beschreiben. LudwigWittgenstein, Tractatus, 2.0201 ‘Cada declaración acerca de los complejos se puede descomponer en una declaración acerca de sus componentes y en las proposiciones que describen los complejos por completo. " EL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA En contraste con varias otras cantidades extensivas importantes, la entropía no se conserva. Por un lado, en sistemas cerrados, la entropía se acumula y nunca disminuye; el intercambio o la mezcla de energía entre los componentes de un sistema no se puede deshacer. Por otro lado, el intercambio o la mezcla pueden aumentar de forma espontánea con el tiempo. La entropía es, pues, sólo "medio conservada '. Lo que llamamos equilibrio térmico es simplemente el resultado de la situación de mezcla (desorden) más alta posible. La entropía nos permite definir el concepto de equilibrio con mayor precisión como el estado de máxima entropía, o el intercambio máximo de energía entre los componentes de un sistema. En resumen, la entropía de un sistema cerrado aumenta hasta que se alcanza el valor máximo posible, el valor de equilibrio. La no conservación de la entropía tiene consecuencias de largo alcance. Cuando un trozo de roca se desprende de una montaña y cae, da tumbos por el valle, calentándose ambos un poco, y finalmente, se detiene. El proceso inverso, en el que una roca se enfría y cae hacia arriba, nunca se observa. Desafío 590 s. ¿Por qué? Podríamos argumentar que el movimiento contrario no contradice ninguna regla o patrón sobre el movimiento que hemos deducido hasta ahora. 277 Las rocas nunca caen hacia arriba porque las montañas, los valles y las rocas están hechas de muchas partículas. Los movimientos de los sistemas compuestos de muchas partículas, especialmente en el dominio de la termodinámica, se llaman procesos. Un aspecto central en termodinámica es la distinción entre los procesos reversibles, como la trayectoria de una piedra lanzada, y los procesos irreversibles, tales como la roca dando tumbos antes mencionado. Los procesos irreversibles son todos aquellos procesos en los que la fricción y sus generalizaciones desempeñan un papel. Los procesos irreversibles son aquellos procesos que aumentan el reparto o la mezcla de la energía. Ellos son importantes: si no hay fricción, los botones de la camisa y los cordones de los zapatos no nos quedarían atados, no podríamos caminar o correr, las máquinas de café no podrían hacer café, y tal vez lo más importante de todo, no tendríamos memoria. Los procesos irreversibles, en el sentido en que este término se utiliza en la termodinámica, transforman el movimiento macroscópico en el movimiento desordenado de todos los pequeños componentes microscópicos involucrados: aumentan el intercambio y la mezcla de la energía. Los procesos irreversibles, por lo tanto no son estrictamente irreversibles - pero su reversión es extremadamente improbable. Por ejemplo, cuando dos líquidos diferentes a la misma temperatura se mezclan - tales como el agua y el ácido sulfúrico - la temperatura final de la mezcla puede variar. De manera similar, cuando la corriente eléctrica fluye a través del material a temperatura ambiente, el sistema se puede calentar o enfriar, dependiendo del material. Podríamos decir que la entropía mide la «cantidad de irreversibilidad»: cuantifica el grado de mezcla o de decaimiento que un movimiento colectivo ha sufrido. El segundo principio de la termodinámica establece que: • La entropía en un sistema cerrado tiende hacia su máximo. En términos chapuceros, "la entropía ya no es lo que era" (‘entropy ain’t what it used to be’). En esta afirmación, un sistema cerrado es un sistema que no intercambia energía o materia con su entorno. Desafío 591 ny. ¿Puede pensar en un ejemplo? En un sistema cerrado, la entropía nunca disminuye. Incluso la vida diaria nos muestra que en un sistema cerrado, como una habitación, el desorden aumenta con el tiempo, hasta que llega algún máximo. Para reducir el desorden, necesitamos esfuerzo, es decir, trabajo y energía. En otras palabras, con el fin de reducir el desorden de un sistema, es necesario conectar el sistema a una fuente de energía de alguna manera habilidosa. Por esta razón, los refrigeradores necesitan corriente eléctrica o alguna otra fuente de energía. En 1866, Ludwig Boltzmann demostró que el segundo principio de la termodinámica resulta del principio de mínima acción. Desafío592 ny. ¿Puede usted imaginar y trazar las ideas generales? Debido a que la entropía nunca disminuye en los sistemas cerrados, el color blanco no dura. Cada vez que el desorden aumenta, el color blanco se vuelve "sucio", por lo general de color gris o marrón. Quizás por esta razón los objetos blancos, tales como ropa blanca, casas blancas y ropa interior blanca, son valorados en nuestra sociedad. Los objetos blancos desafían la decadencia. El segundo principio implica que el calor no puede ser transformado en trabajo completamente. En otras palabras, cada motor térmico necesita refrigeración: esa es la razón de los agujeros en la parte delantera de los coches. El primer principio de la termodinámica afirma que la potencia mecánica de un motor térmico es la diferencia entre el en flujo de energía térmica a alta temperatura y el flujo de energía térmica a baja temperatura. Si la refrigeración es insuficiente - por ejemplo, porque el clima es demasiado caliente o la velocidad del coche demasiado baja - la potencia del motor se reduce. Todo conductor lo sabe por experiencia. En resumen, el concepto de entropía, que corresponde a lo que se llama "calor" en la vida cotidiana - ¡pero no a lo que se llama "calor" en física! - Describe la aleatoriedad del movimiento interno en la materia. La entropía no se conserva: en un sistema cerrado, la entropía nunca disminuye, pero puede aumentar hasta que se alcanza un valor máximo. La no conservación de la entropía se debe a los muchos componentes dentro de los sistemas cotidianos. El gran número de componentes conduce a la no conservación de la entropía y, por tanto, a explicar, entre muchas otras cosas, que muchos procesos en la naturaleza nunca se producen hacia atrás, a pesar de que podrían hacerlo en principio. 278 ¿POR QUÉ NO PODEMOS RECORDAR EL FUTURO? Es una clase pobre de memoria la que sólo funciona hacia atrás. Lewis Carroll, Alicia en el País de las Maravillas Cuando hablamos por primera vez del tiempo, ignoramos la diferencia entre el pasado y el futuro. Pero, obviamente, existe una diferencia, ya que no tenemos la capacidad de recordar el futuro. Esto no es solo una limitación de nuestro cerebro. Todos los dispositivos que hemos inventado, como grabadoras, cámaras fotográficas, periódicos y libros, sólo nos hablan sobre el pasado. Desafío 593 e. ¿Hay una manera de construir una grabadora de vídeo con un botón de "futuro"? Tal dispositivo tendría que resolver un profundo problema: ¿cómo sería distinguir entre el futuro cercano y el lejano? No hace falta pensar mucho para ver que cualquier manera de hacer esto entraría en conflicto con el segundo principio de la termodinámica. Eso es lamentable, ya que íbamos a necesitar precisamente el mismo dispositivo para mostrar que no hay movimiento más rápido que la luz. Desafío 594 ny. ¿Puede encontrar la conexión? En pocas palabras, el futuro no puede ser recordado porque la entropía en sistemas cerrados tiende hacia un máximo. Dicho más simplemente, existe la memoria debido a que el cerebro está compuesto de muchas partículas, por lo que el cerebro se limita al pasado. Sin embargo, para los tipos más simples de movimiento, cuando sólo unas pocas partículas están involucradas, la diferencia entre el pasado y el futuro desaparece. Para los sistemas de algunas partículas, no hay ninguna diferencia entre los tiempos pasados y los tiempos venideros. Podríamos decir que el futuro difiere del pasado sólo en nuestro cerebro, o de manera equivalente, sólo a causa de la fricción. Por lo tanto, la diferencia entre el pasado y el futuro no se menciona con frecuencia en esta caminata, a pesar de que es una parte esencial de nuestra experiencia humana. Pero la diversión de la presente aventura es precisamente superar nuestras limitaciones. FLUJO DE ENTROPÍA Sabemos por la experiencia diaria que el transporte de una magnitud extensiva siempre implica fricción. La fricción implica generación de entropía. En particular, el flujo de la entropía en sí mismo produce una entropía adicional. Por ejemplo, cuando se calienta una casa, la entropía se produce en la pared. Calefacción significa mantener una diferencia ΔT la temperatura entre el interior y el exterior de la casa. El flujo de calor J que atraviesa un metro cuadrado de pared está dado por J = κΔT = κ(Ti − Te) (116) donde κ es una constante que caracteriza la capacidad de la pared para conducir el calor. Durante la conducción de calor, la pared también produce entropía. La producción de entropía σ es proporcional a la diferencia entre el flujo de entropía interior y exterior. En otros términos, tenemos que 2 (T i −T e ) J J σ= − =κ Te Ti T iT e (117) Nótese que hemos asumido en este cálculo que todo está cerca del equilibrio en cada corte paralelo a la pared, una suposición razonable en la vida cotidiana. Un caso típico de una buena pared tiene κ = 1 W/m 2K en el rango de temperatura entre 273 K y 293 K. Con este valor, se obtiene una producción de entropía de σ = 5⋅10-3 W/m2K. (118) En comparación, un buen edredón de plumas de ganso tiene κ = 1,5 W/m 2K, que en las tiendas también se llama 15 tog.* Desafío 595 ny. ¿Se puede comparar la cantidad de entropía que se produce en el flujo con la cantidad que se transporta? La entropía puede ser transportada de tres maneras: a través de la conducción de calor, como se acaba de **Esa unidad (y no es una broma), no es tan mala como la oficial: BthU⋅h / pie / cm / ° F utilizada en algunas provincias remotas de nuestra galaxia. El poder de aislamiento de los materiales se mide por lo general por la constante de λ = κd que es independiente del espesor d de la capa aislante. Los valores de la naturaleza oscilan en un rango que va desde 2000 W/Km para el diamante, que es el mejor conductor de todos, hasta entre 0.1 W/Km y 0.2 W/Km para la madera, y entre 0.015W/Km y 0.05W/Km para lanas, corcho y espumas, y el pequeño valor de 5⋅10-3 W/Km del gas kriptón. 279 mencionar, a través de la convección, utilizado para la calefacción de las casas, y a través de la radiación, que es posible también a través del espacio vacío. Por ejemplo, la Tierra irradia alrededor de 1,2 W/m 2K en el espacio, en total, por lo tanto aproximadamente 0,51 PW / K. La entropía es (casi) la misma que la Tierra recibe del sol. Si fuera radiada al exterior más entropía que la recibida, la temperatura de la superficie de la Tierra tendría que aumentar. Esto se conoce como el efecto invernadero o calentamiento global. Esperemos que siga siendo pequeña en un futuro próximo. FIGURA 230 TLa idea básica de la mecánica estadística acerca de los gases: los gases son sistemas de partículas que se mueven, y la presión es debido a sus colisiones con el recipiente. ¿EXISTEN LOS SISTEMAS AISLADOS? En todas nuestras discusiones hasta ahora, hemos supuesto que podemos distinguir el sistema objeto de la investigación de su entorno. Pero, ¿estos sistemas aislados o cerrados, es decir, los sistemas que no interactúan con su entorno, existen realmente? Probablemente nuestra propia condición humana fue el modelo original para el concepto: nosotros tenemos la experiencia de que existe la posibilidad de actuar con independencia de nuestro entorno. Un sistema aislado puede ser definido simplemente como un sistema que no intercambia energía o materia con su entorno. Durante muchos siglos, los científicos no vieron ninguna razón para cuestionar esta definición. El concepto de un sistema aislado tuvo que ser refinado un tanto con el advenimiento de la mecánica cuántica. Sin embargo, el concepto ofrece descripciones útiles y precisas de la naturaleza también en ese dominio, si bien debe ser utilizada con un poco de cuidado. Sólo en la parte final de nuestra caminata va a cambiar la situación drásticamente. Allí, la investigación de si el universo es un sistema aislado dará lugar a resultados sorprendentes. Desafío 596 s. ¿Qué le parece? Un consejo extraño: su respuesta estará casi con seguridad equivocada. Vamos a dar los primeros pasos hacia la respuesta en breve. CURIOSIDADES Y DIVERTIDOS DESAFÍOS SOBRE EL CALOR Y LA REVERSIBILIDAD En verano, la temperatura del aire se puede medir fácilmente con un reloj. De hecho, la tasa del canto de la mayoría de los grillos depende de la temperatura. Por ejemplo, para la especie de grillo más extendida en los Estados Unidos, contando el número de chirridos durante 8 segundos y añadiendo 4 produce la temperatura en grados Celsius. ** La compresión del aire aumenta su temperatura. Esto se muestra directamente por la bomba de combustión, una variación de una bomba de bicicleta, que se muestra en la Figura 228. (Para ver un ejemplar en funcionamiento, consulte la página web www.demonstrare.nl). Una cabeza de cerilla en la parte inferior de una bomba de aire de material transparente se inflaman fácilmente por la compresión del aire que hay por encima de ella. La temperatura del aire después de la compresión es tan alta que la cabeza del fósforo se enciende espontáneamente. ∗∗ Desafío 597 e. Correr hacia atrás es un deporte interesante. Los récords mundiales 2006 para correr hacia atrás se pueden encontrar en www.recordholders.org / es / list / hacia atrás-running.html. Usted se sorprenderá de cuánto más rápidos son estos registros que su mejor marca personal corriendo hacia adelante. 280 ∗∗ Si el calor es realmente el movimiento desordenado de átomos, aparece un gran problema. Cuando dos átomos chocan de frente, en el instante de la distancia mínima, los dos átomos tienen velocidad nula. ¿A dónde va la energía cinética? Obviamente, se transforma en energía potencial. Pero esto implica que los átomos pueden ser deformados, que tienen estructura interna, que tienen partes, y por lo tanto que pueden ser divididos en principio. Dicho de otra manera, si el calor es movimiento atómico desordenado, ¡los átomos no son indivisibles! En el siglo XIX esta alegación se formuló con el fin de demostrar que el calor no puede ser movimiento atómico, sino que debe ser algún tipo de fluido. Pero ya sabemos que el calor es realmente la energía cinética, así que los átomos deben ser ciertamente divisibles, a pesar de que su nombre significa "indivisible". No necesitamos un experimento costoso para mostrar esto. ∗∗ ¿Cuánto tiempo se tarda en cocinar un huevo? Este tema ha sido investigado en muchos detalles; por supuesto, el tiempo depende de qué tipo de huevo cocido quieres, lo grande que sea, y si viene de la nevera o no. Hay incluso una fórmula para calcular el tiempo de cocción! La clara de huevo comienza su endurecimiento a 62 °, la yema comienza a endurecerse a 65 °. Los huevos duros de mejor sabor se forman a 69 ° los huevos medio-duros a 65 °, y los huevos blandos a 63 °. Si se cocinan huevos a 100 ° (durante mucho tiempo), la clara toma la consistencia del caucho y la yema forma una superficie verde que huele mal, debido a que la alta temperatura conduce a la formación de H 2S maloliente, que luego se une al hierro y forma FeS verdes. Tenga en cuenta que cuando se controla la temperatura, el tiempo no juega ningún papel; 'cocinar' un huevo a 65 º durante 10 minutos o 10 horas, produce el mismo resultado. ∗∗ Desafío 598 s. Es fácil cocer un huevo de tal manera que la clara sea dura, pero la yema permanezca en estado líquido. ¿Se puede lograr lo contrario? La investigación ha demostrado incluso cómo se puede cocinar un huevo para que la yema se mantenga en el centro. Desafío 599 e. ¿Se imaginan el método? ∗∗ En 1912, Emile Borel señaló que si un gramo de materia en Sirius fuera desplazado un centímetro, cambiaría el campo gravitatorio de la Tierra en una cantidad minúscula. Pero este pequeño cambio infinitesimal sería suficiente para hacer que sea imposible calcular la trayectoria de las moléculas en un gas al cabo de una fracción de un segundo. ∗∗ Desafío 600 s. No sólo los gases, sino también la mayoría de los otros materiales se expanden cuando la temperatura se eleva. Como resultado, los cables eléctricos soportados por pilones cuelgan mucho más bajo en verano que en invierno. ¿Es cierto? FIGURA 231 ¿Se puede hervir agua en este vaso de papel? Desafío 601 ny. El siguiente es un famoso problema planteado por Fermi. Teniendo en cuenta que un cadáver humano se enfría en cuatro horas después de la muerte, ¿cuál es el número mínimo de calorías necesarias por día en nuestra alimentación? ** La energía contenida en el movimiento térmico no es despreciable. Un bala de 1 g que viaja a la velocidad del sonido tiene una energía cinética de tan sólo 0,01 kcal. ∗∗ Desafío 602 s. ¿Cómo funciona un típico globo de aire caliente de 1500 m 3? ** 281 Desafío 603 s. Si no le gusta este texto, he aquí una sugerencia. Usted puede utilizar el papel en el que está escrito para hacer una taza, como se muestra en la Figura 231, y hervir el agua en ella sobre una llama abierta. Sin embargo, para tener éxito, tiene que ser un poco cuidadoso. ¿Puede indicar de qué manera? ∗∗ Desafío 604 ny. La mezcla 1 kg de agua a 0 ° C y 1 kg de agua a 100 ° C da 2 kg de agua a 50 ° C. ¿Cuál es el resultado de mezclar 1 kg de hielo a 0 ° C y 1 kg de agua a 100 ° C? ∗∗ Desafío 605 s. La temperatura del aire más alta registrada en la que un hombre ha sobrevivido es de 127 ° C. Esta experiencia fue llevada a cabo en 1775 en Londres, por el secretario de la Royal Society, Charles Blagden, junto con unos amigos, quienes permanecieron en una habitación a esa temperatura durante 45 minutos. Curiosamente, la carne cruda que había llevado con él se coció ('bien hecha'), cuando él y sus amigos salieron de la habitación. ¿Qué condiciones tuvieron que ser estrictamente cumplidas con el fin de evitar cocer a las personas de la misma forma que el filete? ∗∗ Desafío 606 s. El astrónomo sueco Anders Celsius (1701-1744) estableció originalmente el punto de congelación del agua a 100 grados y el punto de ebullición a 0 grados. Poco después, la escala se invirtió y es la que está en uso ahora. Sin embargo, esto no es toda la historia. Con la definición oficial del kelvin y el grado Celsius, a la presión normalizada de 101 325 Pa, el agua hierve a 99,974 ° C. ¿Puede explicar por qué ya no es 100 º C? Desafío 607 s. ¿Se puede llenar una botella con precisión ± 1 10-30 kg de agua? ∗∗ Un gramo de grasa, ya sea mantequilla o grasa humana, contiene 38 kJ de energía química (o, en unidades antiguas más familiares para los nutricionistas, 9 kcal). Ese es el mismo valor que el de la gasolina. Desafío 608 s. ¿Por qué son las personas y la mantequilla menos peligrosas que la gasolina? ∗∗ En 1992, el físico holandés Martin van derMark inventó un altavoz que funciona calentando el aire con un rayo láser. Él demostró que con la longitud de onda correcta y con una modulación adecuada de la intensidad, un haz de láser en el aire puede generar sonido. Este efecto, llamado efecto fotoacústico, es el fundamento del dispositivo, y aparece en muchos otros materiales. La mejor longitud de onda de láser para el aire se encuentra en el dominio de los infrarrojos, en una de las pocas líneas de absorción del espectro del vapor de agua. En otras palabras, un haz de láser infrarrojo adecuadamente modulado que radia a través del aire genera sonido. Esta luz se puede emitir desde un pequeño láser semiconductor del tamaño de caja de cerillas oculto en el techo y radiando hacia abajo. El sonido se emite en todas las direcciones perpendiculares a la radiación. Dado que la luz láser infrarroja no es visible, Martin van derMark así inventó ¡un altavoz invisible! Desafortunadamente, la eficiencia de las versiones actuales es todavía baja, de manera que la potencia del altavoz no es todavía suficiente para aplicaciones prácticas. Los avances en la tecnología láser debe cambiar esto, para que en el futuro deberíamos ser capaces de escuchar sonidos que se emiten desde el centro de una habitación aparentemente vacía. FIGURA 232 El altavoz invisible ∗∗ Desafío 609 s. Una famosa pregunta de examen: ¿Cómo se puede medir la altura de un edificio con un barómetro, una cuerda y una regla? Encuentre al menos seis formas diferentes de responder. 282 ∗∗ Desafío 610 ny. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que al lanzar un millón de veces una moneda se obtenga exactamente 500 000 caras y otras tantas cruces? Es posible que desee utilizar la fórmula de Stirling n! ≈ (2πn)1/2 (n / e)n para calcular el resultado.* ** Desafío 611 s. ¿Tiene sentido hablar de la entropía del universo? ** Desafío 612 ny. ¿Puede un globo de helio levantar el tanque que sirvió para llenarlo? ∗∗ Todos los procesos en los que interviene la fricción, tales como la ósmosis, la difusión, la evaporación, o la caries, son lentos. Tardan un tiempo característico. Resulta que cualquier proceso (macroscópico) dotado con una escala de tiempo es irreversible. Esto no es una verdadera sorpresa: sabemos intuitivamente que deshacer las cosas siempre lleva más tiempo que hacerlas. Es de nuevo el segundo principio de la termodinámica. ∗∗ Resulta que el almacenamiento de información es posible con generación de entropía insignificante. Sin embargo, borrar la información requiere entropía. Esta es la razón principal por la cual los ordenadores, así como el cerebro, requieren fuentes de energía y sistemas de refrigeración, incluso si sus mecanismos no necesitaran ninguna energía en absoluto,salvo las mencionadas. ∗∗ Desafío 613 ny. Al mezclar el ron caliente con agua fría, ¿cómo aumenta la entropía debido a la mezcla si se compara con el aumento de la entropía debido a la diferencia de temperatura? ** Desafío 614 s. ¿Por qué no hay pequeños seres humanos, digamos de 10 mm de tamaño, como en muchos cuentos de hadas? De hecho, no hay animales de sangre caliente de ese tamaño en absoluto. ¿Por qué no? ∗∗ Encender una luz sobre un cuerpo y apagarla y encenderla repetidamente produce sonido. Esto se llama efecto fotoacústico, y es debido a la expansión térmica del material. Cambiando la frecuencia de la luz, y midiendo la intensidad del ruido, revelamos un espectro fotoacústico característico del material. Este método nos permite detectar concentraciones de gas en el aire de una parte en 10 9. Se utiliza, entre otros métodos, para el estudio de los gases emitidos por las plantas. Las plantas emiten metano, alcohol y acetaldehído en pequeñas cantidades; el efecto fotoacústico puede detectar estos gases y ayudarnos a comprender los procesos que subyacen en su emisión. ∗∗ Desafío 615 ny. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que todas las moléculas de oxígeno en el aire se alejaran de una ciudad determinada durante unos minutos, matando así a todos sus habitantes? ∗∗ Desafío 616 ny. Si se vertiera un litro de agua en el mar, se mezclara a fondo a través de todos los océanos y luego se sacara un litro de la mezcla, ¿cuántos de los átomos originales se recuperarían? ** Desafío 617 ny. ¿Cuánto tiempo puede respirar en la habitación donde se encuentra si estuviera cerrada herméticamente? ∗∗ La pérdida de calor es un grave problema para los animales más pequeños, debido a que la relación de superficie a volumen aumenta cuando el tamaño disminuye. Como resultado, los animales pequeños se encuentran en climas calientes, los animales grandes se encuentran en climas fríos. Esto es cierto para los osos, aves, conejos, insectos y muchas otras familias de animales. Por la misma razón, los pequeños seres vivos necesitan grandes cantidades de alimento por día, cuando se calcula en relación con el peso corporal, mientras que los animales grandes necesitan mucha menos comida. ∗∗ ** Hay muchas mejoras en la fórmula de Stirling. Una simple es la fórmula de Gosper: n! ≈ [(2n + 1/3) π] 1/2 (n / e)n. Otra es [2πn]1/2 (n / e) n e1 / (12n +1) <n! < [2πn]1/2 (n / e) n e1 / 12n . 283 Desafío 618 ny. ¿Qué pasa si pone un poco de ceniza en un pedazo de azúcar y prende fuego a la totalidad? (Advertencia: esto es peligroso y no es para niños.) ∗∗ Desafío 619 ny. Los cálculos de entropía son a menudo sorprendentes. Para un sistema de N partículas con dos estados cada uno, hay Wtodos los estados = 2N estados. Para su configuración más probable, con exactamente la mitad de las partículas en un estado, y la otra mitad en el otro estado, tenemos W max = N! / ((N / 2)!)2. Ahora, para un sistema macroscópico de partículas, puede ser que típicamente tenga N = 10 24 partículas. Eso da a Wtodo >> Wmáx.; de hecho, la primera es 1012 veces mayor que la segunda. Por otro lado, nos encontramos con que ln Wtodo y ln Wmáx coinciden para los primeros 20 dígitos! A pesar de que la configuración con exactamente la mitad de las partículas en cada estado es mucho más rara que el caso general, donde esta relación puede variar, la entropía resulta ser la misma. Desafío 620 ny. ¿Por qué? ∗∗ Desafío 621 ny. Si el calor se debe al movimiento de los átomos, nuestros órganos sensoriales de percepción del calor y del frío son simplemente detectores de movimiento. ¿Cómo funcionarían? Desafío 622 ny. Por cierto, los sentidos del olfato y el gusto también puede ser visto como detectores de movimiento, ya que señalan la presencia de moléculas volando en el aire o en líquidos. ¿Está de acuerdo con esta idea? ∗∗ Desafío 623 s. La Luna tiene una atmósfera, aunque una extremadamente tenue, que consiste en sodio (Na) y potasio (K). Esta atmósfera se ha detectado hasta una distancia de nueve radios de la Luna de su superficie. La atmósfera de la Luna se genera en la superficie por la radiación ultravioleta procedente del sol. ¿Puede estimar la densidad de la atmósfera de la Luna? ∗∗ Desafío 624 ny . ¿Tiene sentido añadir una línea en la Tabla 43 para la cantidad de acción física? ¿Y una columna? ¿Por qué? ∗∗ FIGURA 233 el diseño de la Wirbelrohr o tubo de vórtice Ranque-Hilsch, y una versión comercial, de unos 40 cm de tamaño, utilizado para enfriar en los procesos de fabricación (© Coolquip). La Difusión proporciona una escala de longitud. Por ejemplo, los insectos toman el oxígeno a través de su epidermis. Como resultado, las partes interiores de sus cuerpos no pueden estar a mucho más distancia de la superficie que alrededor de un centímetro. Desafío 625 s. ¿Puede enumerar algunas otras escalas de longitud en la naturaleza que impliquen procesos de difusión? ∗∗ La elevación del aire caliente es la razón por la que muchos insectos se encuentran en nubes altas a la caída de la tarde. Muchos insectos, especialmente los que se nutren de la sangre de los animales, son atraídos por el aire caliente y húmedo. ∗∗ Desafío 626 s. Los termómetros basados en mercurio pueden llegar a 750 ° C. ¿Cómo es posible, dado que el mercurio hierve a 357 ° C? ∗∗ Desafío 627 s. ¿Qué aspecto tiene una vela encendida en condiciones de ingravidez? ∗∗ Desafío 628 s. Es posible construir una central de energía eléctrica mediante la construcción de una gran chimenea, de modo que el aire calentado por el sol fluye en ella hacia arriba, haciendo girar una turbina . También es posible hacer una central de energía mediante la construcción de un tubo vertical largo, y dejar 284 que un gas como el amoníaco suba por él y que a continuación se licúe, en la parte superior debido a las bajas temperaturas de la atmósfera superior; a medida que cae hacia abajo en forma de líquido por un segundo tubo - al igual que la lluvia - mueva una turbina. ¿Por qué esos planes, que son casi completamente no contaminantes, no se utilizan todavía? ∗∗ Uno de los dispositivos más sorprendentes que se han inventado es el tubo de torbellinos Wirbelrohr o Ranque-Hilsch, ver Figura 233. Al soplar aire comprimido a temperatura ambiente en ella en su punto medio, se forman en sus extremos dos flujos de aire. Uno de ellos es extremadamente frío, pudiendo alcanzar fácilmente una temperatura tan baja como -50 ° C, y el otro muy caliente, hasta 200 ° C. Sin que haya partes móviles ni dispositivos de calefacción en su interior. Desafío 629 s. ¿Cómo funciona? ∗∗ Los motores termoacústicos, bombas y refrigeradores ofrecen muchas aplicaciones extrañas y fascinantes del calor. Por ejemplo, es posible utilizar un sonido fuerte en cámaras cerradas de metal para desplazar el calor de un lugar frío a uno caliente. Tales dispositivos tienen pocas piezas móviles y se están estudiando con la esperanza de encontrar aplicaciones prácticas en el futuro. ∗∗ Desafío 630 ny. ¿Contradice un sistema aislado de pocas partículas el segundo principio de la termodinámica? ** ¿Qué le sucede a la entropía cuando se toma en cuenta la gravitación? Nosotros hemos dejado cuidadosamente de lado la gravitación en nuestra discusión. De hecho, la gravedad lleva a muchos nuevos problemas - trate simplemente de reflexionar sobre el tema. Por ejemplo, Jacob Bekenstein ha descubierto que la materia alcanza su máxima entropía posible cuando se forma un agujero negro. Desafío 631 ny. ¿Puede confirmar esto? ∗∗ Desafío 632 ny. Los valores numéricos (¡pero no las unidades!) de la constante de Boltzmann k = 1,38⋅10-23 J / K y la combinación h / ce concuerdan en su exponente y en sus tres primeros dígitos, donde h es la constante de Planck y e es la carga del electrón. ¿Se puede descartar esto como una mera coincidencia? ** Desafío 633 s. La mezcla no siempre es fácil de realizar. El experimento de la Figura 234 da resultados completamente diferentes con agua y glicerina. ¿Puede adivinar por qué? ∗∗ Desafío 634 s. ¿Cómo deshacerse de la goma de mascar en la ropa? ∗∗ Hay argumentos menos conocidos acerca de los átomos. De hecho, dos fenómenos cotidianos demuestran la existencia de los átomos: la reproducción y la memoria. Desafío 635 ny. ¿Por qué? ** Desafío 636 s. En el contexto de los láseres y los sistemas de espín, es divertido hablar de temperatura negativa. ¿Por qué esto en realidad no es razonable? FIGURA 234 ¿Qué pasa con la banda de tinta si el cilindro interior gira un par de veces en una dirección, y luego se hace volver en la misma cantidad de giros? 285 RESUMEN DE CALOR Y DE LA INVARIANZA TEMPORAL El movimiento microscópico es debido a la gravedad y las interacciones eléctricas, por lo que todo el movimiento microscópico en la vida cotidiana, es reversible: tal movimiento puede ocurrir hacia atrás en el tiempo. En otras palabras, el movimiento debido a la gravedad y el electromagnetismo es invariante por inversión del tiempo, o invariante por inversión del movimiento. Sin embargo, el movimiento diario es irreversible, ya que no existen sistemas totalmente cerrados en la vida cotidiana. La falta de aislamiento conduce a fluctuaciones; las fluctuaciones conducen a la fricción. De manera equivalente, la irreversibilidad resulta de las probabilidades extremadamente bajas requeridos para realizar una inversión de movimiento. La irreversibilidad macroscópica no contradice la reversibilidad microscópica. Por estas razones, en la vida cotidiana, la entropía en un sistema aislado siempre aumenta. Esto nos lleva a un problema famoso: ¿cómo puede la evolución biológica reconciliarse con el aumento de la entropía? Vamos a echar un vistazo. 286 CAPÍTULO 14 AUTO-ORGANIZACIÓN Y CAOS - LA SENCILLEZ DE LA COMPLEJIDAD Hablar de física no-lineal es como calificar la zoología como el estudio de los animales no-elefantes. Stanislaw Ulam E n nuestra enumeración de las descripciones globales de movimiento, el último punto concierne al estudio de la auto-organización. La auto-organización es la aparición del orden. En física, el orden es un término que hace referencia tanto a las formas, tales como la simetría compleja de los copos de nieve; como a los modelos, como las rayas de las cebras y las ondulaciones en la arena; y a los ciclos, tales como la creación de sonidos cuando cantamos. Al mirar a nuestro alrededor, observamos que todos los ejemplos de lo que llamamos belleza son una combinación de formas, patrones y ciclos. Desafío 637 s. ¿Está de acuerdo? La Autoorganización por lo tanto puede ser llamada el estudio del origen de la belleza. La Tabla 48 muestra la frecuencia con que la apariencia de orden modela nuestro entorno. APARIENCIA DE ORDEN La apariencia de orden es una observación general en toda la naturaleza. Los Fluidos en particular exhiben muchos fenómenos en los que el orden aparece y desaparece. Entre los ejemplo de esto podemos citar el parpadeo más o menos regular de una vela encendida, el aleteo de una bandera en el viento, el flujo regular de las burbujas que salen de pequeñas irregularidades en la superficie de un vaso de champán, y el goteo regular o irregular de un grifo de agua mal cerrado. La figura 208 muestra algunos ejemplos, y también lo hacen las otras figuras de este capítulo. Otros ejemplos incluyen la aparición de las nubes y de las disposiciones regulares de nubes en el cielo. Puede ser fascinante para reflexionar, durante un vuelo que de otra manera sería aburrido, acerca de los mecanismos que subyacen a la formación de las formas de las nubes y los patrones que se ven desde el avión. Desafío 638 e. Una nube típica tiene una masa de 1 a 5 g / m3, de modo que una gran nube puede contener varios miles de toneladas de agua. TABLA 48 Algunos ritmos, modelos y formas observadas en la naturaleza. OBSERVACIÓN FUERZA MOTRIZ FUERZA RESTAURADORA ESCALA TIP. Huella dactilar Reacciones químicas Difusión 0,1 mm Tic-tac del reloj Peso cayendo Fricción 1s Chirrido debido al deslizamiento por inestabilidad de una barra de tiza Movimiento Fricción 600Hz Generación de la nota musical en el arco de violín Movimiento Fricción 600Hz Generación de la nota musical en una flauta Flujo de aire Turbulencias 400Hz Oscilaciones de un Tren transversalmente a la vía. Movimiento Fricción 0,3 Hz Estructuras de flujo en cascadas y fuentes Flujo de agua Turbulencias 10 cm 287 Desprendimiento abrupto de cinta adhesiva Velocidad con que se estira Fricción de adhesión 0,1 Hz 10 cm Oscilaciones de radio en la producción de espaguetis y de fibra de polímero Velocidad de extrusión Fricción Patrones en placas y láminas de metal alabeadas Deformación Rigidez Aleteo de banderas con viento constante Flujo de aire Rigidez 20 cm Flujo de agua Tensión superficial 1 Hz Gas disuelto presión Tensión superficial 0,1 Hz, 1 mm Difusión 0,1 Hz, 1 mm Gradiente de velocidad Fricción 0,1 Hz, 1 mm Flujo de Benard–Marangoni generación de olas marinas Tensión superficial Viscosidad 0,1 Hz, 1 mm Estelas de Karman, manchas de Emmon, flujo de Osborne Reynolds Cantidad de movimiento Viscosidad De mm a km Explosiones regulares en un tubo de escape de coche Flujo Goteo de agua del grifo Corriente de burbujas de una irregularidad en un vaso de cerveza Inestabilidad Raleigh-Bénard Flujo Coutte-Taylor gradiente de temperatura Resonancias de presión dependen del espesor 0,3 Hz Disposición regular de nubes Flujo Difusión 0,5 km El Niño Flujo Difusión 5 a 7 años Arcos de vino en las paredes de un vaso Tensión superficial Mezcla binaria 0,1 Hz, 1 mm Superficies de ferrofluidos en campos magnéticos Energía magnética Gravedad 3 mm Energía eléctrica Tensión 1 mm, 3 s El parpadeo de luces fluorescentes al envejecer Flujo de electrones Difusión 1 Hz Inestabilidades superficiales de soldadura Flujo de electrones Difusión 1 cm Inestabilidades del Plasma de un Tokamak Flujo de electrones Difusión 10 s Patrones en cristales líquidos Formación de copos de nieve y otros procesos de crecimiento dendríticos Patrones en la interfaz de solidificación, por ejemplo, en CBr4 Gradiente de concentración Superficie de difusión Flujo de entropía Capas periódicas en la corrosión de un Gradiente de metal concentración 10 μm 1 mm difusión 10 μm El endurecimiento de acero por trabajo en frío Tensión Movimiento de dislocación 5 μm Estructuras de laberinto en metales irradiados con protones Flujo de partículas Movimiento de dislocación 5 μm Patrones en aleaciones Cd-Se por irradiación láser Irradiación láser Difusión 50 μm 288 Patrones de dislocación y oscilaciones de densidad en cristales individuales Cu sometidos a fatiga Tensión Emisión de luz láser, sus ciclos y regímenes caóticos Modelos rotantes del brillo de luz láser sobre la superficie de algunos electrolitos Patrones y ciclos en la reacción de Belousov-Zhabotinski Parpadeo de una vela encendida Movimiento de dislocación 10 μm 100 s Energía de bombeo Pérdidas de luz 10 ps to 1ms Energía de la luz Difusión 1mm Difusión 1mm, 10 s Gradientes de concentración Calor y gradiente de concentración Secuencia regular de llamas calientes y Calor y gradiente de frías en la combustión de los concentración carbohidratos Difusión térmica y de sustancia 0.1 s Difusión térmica y de sustancia 1 cm Silbido de retroalimentación del micrófono al altavoz Amplificadores Pérdidas eléctricas 1 kHz Cada oscilador electrónico en radios, televisores, ordenadores, teléfonos móviles, etc. alimentador Pérdidas resistivas 1 kHz to 30GHz Erupciones periódicas de géiseres subterráneos Calor Evaporación 10 min Movimiento tectónico rupturas 1Ms calentamiento Difusión 1m Difusión de agua 0.5m Terremotos periódicos en ciertas fallas Patrones hexagonales sobre rocas de basalto Patrones hexagonales sobre suelo seco Cambios regulares de temperatura Cambios de intensidad periódicos de las cefeidas y otras estrellas Fusión nuclear Emisión de energía 3Ms Células de convección sobre la superficie del Sol Fusión nuclear Emisión de energía 1000km Pérdidas resistivas 100 ka Formación y oscilación de campos magnéticos de la Tierra y otros cuerpos celestes Separación de cargas debido a la convección y la fricción Transición arrugas /apelotonamiento curlingWrinkling/crumpling transition tensión rigidez 1mm Patrones de pieles animales Concentración química Difusión 1 cm Crecimiento de dedos y miembros Concentración química Difusión 1 cm Difusión 1m Concentración química Difusión 10 μm a 30m Oscilaciones presa-predador Reproducción Hambre 3 a 17 a Pensamiento Excitación de neuronas Disipación de calor 1ms, 100 μm Ruptura de la simetría en la embriogénesis, tal como el corazón en el lado izquierdo Diferenciación celular y aparición de órganos durante el crecimiento Probablemente quiralidad molecular y concentración química 289 Otros casos de autoorganización son mecánicos, tales como la formación de cadenas montañosas cuando los continentes se mueven, la creación de terremotos, o la formación arrugas por la risa en las comisuras de los ojos humanos. Todo crecimiento y todos los procesos de crecimiento son fenómenos de auto-organización. La aparición de orden se revela en la diferenciación de las células de un embrión en el interior del cuerpo de una mujer; en la formación de los patrones de color de los tigres, de los peces tropicales y de las mariposas; en las disposiciones simétricas de los pétalos en las flores; en la formación de los ritmos biológicos; y así sucesivamente. ¿Alguna vez ha reflexionado sobre la manera increíblemente maravillosa en que crecen los dientes? Un material prácticamente inorgánico construye formas en las alineaciones superiores e inferiores de los dientes que encajan exactamente una en la otra. La manera en que se controla este proceso es todavía un tema de investigación. También la formación de las redes neuronales en el cerebro, antes y después del nacimiento, es otro proceso de auto-organización. Incluso los procesos físicos que están en la base del pensamiento, y que implican señales eléctricas variables, se van a describir en términos de auto-organización. La evolución biológica es un caso excepcional de crecimiento. Tome la evolución de las formas animales. Resulta que las lenguas de serpientes tienen esa forma bífida porque esa es la forma más eficaz para el seguimiento de los rastros químicos que dejan las presas de las serpientes y otras serpientes de la misma especie. (Las serpientes huelen con la ayuda de su lengua). El número fijo de los dedos en una mano humana es también consecuencia de la auto-organización. El número de los pétalos de las flores puede ser o puede no ser debido a la auto-organización. FIGURA 235 Los ejemplos de autoorganización para la arena: aparición espontánea de un ciclo temporal (a y b), aparición espontánea de un patrón periódico (b y c), aparición espontánea de un patrón espaciotemporal, es decir, ondas solitarias (derecha) (© Ernesto Altshuler et al.). Los estudios sobre las condiciones necesarias para la aparición o desaparición del orden han mostrado que su descripción requiere sólo unos pocos conceptos comunes, independientemente de los detalles del sistema físico. Esto se ve mejor mirando un par de ejemplos sencillos. 290 AUTO-ORGANIZACIÓN EN ARENA Toda la riqueza de la auto-organización se desvela en el estudio de la arena normal. ¿Por qué las dunas de arena tienen ondulaciones, al igual que el suelo arenoso del fondo del mar? ¿Cómo se producen las avalanchas en montones empinados de arena? ¿Cómo se comporta la arena en los relojes de arena, en mezcladores o en recipientes que vibran? Los resultados suelen ser sorprendentes. Una visión general de la auto-organización en la arena se da en la Tabla 49. Por ejemplo, en fecha tan reciente como 2006, el grupo de investigación en Cuba de Ernesto Altshuler y sus colegas descubrieron ondas solitarias en los flujos de arena (que se muestran en la Figura 235). Ellos ya habían descubierto en 2002 el efecto de río giratorio en montones de arena, que se muestra en la misma figura. Aún más sorprendente es que estos efectos se producen sólo para la arena cubana, y algunos otros tipos raros de arena. Las razones todavía no están claras. TABLE 49 Patrones y un ciclo sobre arena horizontal y sobre superficies como la arena en el mar y en tierra. PATRÓN / CICLO PERÍODO AMPLITUD ORIGEN Ondulaciones 5 cm 5 mm Ondas de agua Megaondulaciones 1m 0,1 m mareas Ondas de arena 100 a 800m 5m Mareas Bancos de arena 2 a 10 km 2 a 20 m Mareas Rizos 0,1 m 0,05 m Viento Zumbido de arena 65 a 110 Hz Hasta 105 dB Corrugaciones de carreteras 0,3 a 0,9 m 0,05 m Ruedas Ski moguls ¿trineos mecánicos?) 5 a 6m Hasta 1 m Esquiadores Algunos km Algunas decenas de m viento Bajo el agua En el aire Viento sobre dunas de arena, avalanchas que hacen vibrar la duna. En otra parte Sobre Marte Del mismo modo, en 1996 Paul Umbanhowar y sus colegas descubrieron que cuando un recipiente plano que contienen bolas de bronce pequeñas (alrededor de 0,165 mm de diámetro) se sacude hacia arriba y abajo en el vacío, a ciertas frecuencias la superficie de esta 'arena' de bronce forma montones estables. Se muestran en la Figura 237. Estos montones, llamados Oscilones, también van arriba y hacia abajo. Los Oscilones pueden moverse e interactuar entre sí. Los oscilones en arena de bronce son un ejemplo sencillo para un efecto de carácter general: los sistemas discretos dotados de interacciones no lineales pueden exhibir excitaciones localizadas. Este fascinante tema está empezando a ser investigado. Bien podría ser que un día diera resultados relevantes para nuestra comprensión del crecimiento de los organismos. La arena muestra muchos otros procesos formadores de patrones. —- Una mezcla de arena y azúcar, cuando se vierte en un montón, forma estructuras en capas regulares que, vistas al biés, en sección transversal se parecen a las rayas de una cebra. — Cilindros que giran horizontalmente con mezclas binarias dentro de ellos separan la mezcla al cabo de un cierto tiempo. 291 - Tome un recipiente con dos compartimentos separados por una pared de 1 cm. Rellene las dos mitades con arena y rápidamente sacuda todo el recipiente con una máquina. Con el tiempo, toda la arena se acumulará de forma espontánea en una mitad de recipiente. —Algunos han estudiado en la arena otra forma de autoorganización, los distintos tipos de dunas de arena que "cantan" cuando el viento sopla sobre ellas. — Igualmente, las corrugaciones formadas por el tráfico en las carreteras sin asfaltar las «washboard roads» mostradas en la Figura 236, son un ejemplo de autoorganización. Estos patrones de corrugación se mueven, a lo largo del tiempo, en contra de la dirección del tráfico. Desafío 639 . ¿Puede explicar por qué? El movimiento de los chichones de esquí (moguls) mencionados anteriormente también concierne aquí. En realidad, el comportamiento de la arena y del polvo prueba ser un tema magnífico y fascinante de tal manera que la perspectiva de que cada humano retorne al polvo no parece tan siniestra después de todo. FIGURA 236 Corrugaciones en una carretera(cortesía de David Mays). LA AUTO-ORGANIZACIÓN DE LAS ESFERAS Un ejemplo increíblemente simple y hermoso de la auto-organización es el efecto descubierto en 1999 por Karsten Kötter y su grupo. Ellos encontraron que el comportamiento de un conjunto de esferas arremolinadas en un plato depende del número de esferas utilizadas. Por lo general, todas las esferas se mezclan continuamente. Sin embargo, para ciertos números "mágicos", como por ejemplo 21, surgen patrones de anillos estables, por lo que las esferas externas permanecen fuera y las de dentro permanecen en el interior. Los anillos, mejor vistos por la coloración de las esferas, se muestran en la Figura 238. APARICIÓN DEL ORDEN Los numerosos estudios de los sistemas de auto-organización han trastornado nuestra comprensión de la naturaleza en un gran número de maneras. En primer lugar, han demostrado que los patrones y formas son similares a los ciclos: todos son debidos al movimiento. Sin movimiento, y por lo tanto sin historia, no hay orden, ni patrones, ni formas, ni ritmos. Cada patrón tiene una historia; cada modelo es una consecuencia del movimiento. Como ejemplo, la Figura 239 muestra cómo crece un copo de nieve. En segundo lugar, los patrones, formas y ritmos se deben a la organización de un gran número de pequeños componentes. Los sistemas que se auto-organizan son siempre compuestos: son estructuras cooperativas. Numerosos sistemas autoorganizados exhiben igualmente un movimiento caótico. En tercer lugar, todos estos sistemas obedecen ecuaciones de evolución que son no lineales en las variables de configuración macroscópicas. Los sistemas lineales no se auto-organizan. En cuarto lugar, la aparición y desaparición del orden depende del vigor de una fuerza motriz, el llamado parámetro de orden. A menudo, el movimiento caótico sobreviene cuando la fuerza motriz crece por encima del valor necesario para la aparición de orden. 292 FIGURA 237→ Oscilones formadas por las bolas de bronce sacudidas; el tamaño horizontal es de aproximadamente 2 cm (© Paul Umbanhowar) ←FIGURA 238 Números mágicos: 21 esferas, cuando se arremolinaban en un plato, se comportan de manera diferente a partir de los números no mágicos de las esferas, como el 23, (Reproducida de fotografías © Karsten Kötter La turbulencia es un ejemplo de movimiento caótico que aparece cuando el parámetro de orden que es proporcional a la velocidad del fluido adquiere valores elevados. Más aún, todo orden y toda la estructura aparecen cuando dos tipos generales de movimiento compiten entre sí, a saber, un proceso «motor» que incrementa la energía y una «disipación», un mecanismo de frenado. Por tanto, la termodinámica juega un papel en toda auto-organización. Los sistemas auto-organizados son siempre sistemas disipativos, y están siempre lejos del equilibrio. Cuando el proceso motor y la disipación son del mismo orden de magnitud, y cuando el comportamiento clave del sistema no es una función lineal de la acción motora, puede aparecer orden.* FIGURA 239 Auto-organización: crecimiento de un copo de nieve de cultivo. (Película QuickTime © Kenneth Libbrecht) LAS MATEMÁTICAS DE LA APARIENCIA DE ORDEN Cada modelo, cada forma y cada ritmo o ciclo puede ser descrito por algún observable A que describe la amplitud del patrón, forma o ritmo. Por ejemplo, la amplitud A puede ser una longitud para los patrones de arena, o una concentración química para los sistemas biológicos, o una presión sonora para la aparición de sonido. El orden aparece cuando la amplitud A difiere de cero. Para entender la apariencia de orden, uno tiene que entender la evolución de la amplitud A. El estudio de la orden ha demostrado que esta amplitud siempre sigue ecuaciones de evolución similares, independientemente del mecanismo físico del sistema. Este sorprendente resultado unifica todo el campo de la autoorganización. Todos los sistemas auto-organizados al comienzo de la aparición de orden pueden ser descrito por las ecuaciones para el modelo de amplitud A de la forma general ∂ A (t , x) 2 =λ A−μ|A | A+κ Δ A +órdenes superiores ∂t (119) ** Para describir el "misterio" de la vida humana, términos como "fuego", "río" o "árbol" se utilizan a menudo como analogías. Todos estos son ejemplos de sistemas auto-organizados: tienen muchos grados de libertad, han de competir fuerzas motrices y de frenado, dependen fundamentalmente de sus condiciones iniciales, muestran el caos y el comportamiento irregular, y algunas veces muestran ciclos y comportamiento regular. Los seres humanos y la vida humana se asemejan en todos estos aspectos; por tanto, existe una base sólida para su uso como metáforas. Incluso podríamos ir más allá y especular que la belleza pura es pura autoorganización. La falta de belleza de hecho a menudo resulta de un equilibrio perturbado entre disipación externa y conducción externa. 293 Aquí, el observable A - que puede ser un número real o uno complejo, con el fin de describir los efectos de fase - es el observable que aparece cuando aparece orden, tales como la amplitud de la oscilación o modelo de amplitud. El primer término λA es el término motor, en la que λ es un parámetro que describe la fuerza motriz. El siguiente término es una no linealidad típica de A, con un parámetro μ que describe su fuerza, y el tercer término κ ΔA = κ (∂ 2A / ∂ x2 + ∂ 2A / ∂ y2 + ∂ 2A / ∂ z2) es un difusivo típico y, por tanto, un término disipativo. Desafío 640 ny. Podemos distinguir dos situaciones principales. En los casos en que el término disipativo no juega ningún papel (κ = 0), nos encontramos con que cuando el parámetro de conducción, λ, aumenta por encima de cero, aparece una oscilación temporal, es decir, un ciclo límite con amplitud no evanescente. Desafío 641 ny. En los casos en que el término difusivo juega un papel, la ecuación (119) describe cómo aparece una amplitud de oscilación espacial cuando el parámetro de conducción λ se convierte en positivo, como la solución A = 0, entonces se convierte en espacialmente inestable. En ambos casos, la aparición de orden se llama una bifurcación, porque en este valor crítico del parámetro de conducción, λ, la situación con amplitud cero, es decir, el estado homogéneo (o desordenado), se convierte en inestable, y el estado ordenado se vuelve estable. En los sistemas no lineales, el orden es estable. Este es el principal resultado conceptual de este dominio. La ecuación (119) y sus numerosas variantes nos permiten describir muchos fenómenos, que van desde espirales, ondas, patrones hexagonales y defectos topológicos, hasta ciertas formas de turbulencia. Para cada sistema físico en estudio, la tarea principal es extraer el observable A y los parámetros λ, μ y κ de los procesos físicos subyacentes. La auto-organización es un vasto dominio que está dando nuevos resultados casi cada semana. Para descubrir nuevos temas de estudio, a menudo es suficiente mantener los ojos abiertos; la mayoría de los efectos son comprensibles sin matemáticas avanzadas. Desafío 642 e. ¡Disfrute de la caza! FIGURA 240 Ejemplos de diferentes tipos de movimiento en el espacio de configuración. CAOS La mayoría de los sistemas que muestran auto-organización también muestran otro tipo de movimiento. Cuando el parámetro de orden de un sistema de auto-organización se incrementa a valores más y más altos, el orden se vuelve cada vez más irregular, y al final usualmente encontramos caos. Para los físicos, el movimiento caótico es el tipo más irregular de movimiento que puede existir. * El Caos se puede definir de forma independiente de la auto-organización, es decir, como el movimiento de los sistemas para los que pequeños cambios en las condiciones iniciales evolucionan hacia enormes cambios en el movimiento (de forma exponencial con el tiempo). Esto se ilustra en la Figura 241. Más precisamente, el caos es el movimiento desordenado caracterizado por un exponente de Lyapounov positivo en presencia de una evolución estrictamente válida. Un sistema caótico simple es el péndulo amortiguado colocado encima de tres imanes. La figura 242 muestra cómo regiones de previsibilidad (alrededor de las tres posiciones de imán) cambian gradualmente en una región caótica, es decir, una región de imprevisibilidad efectiva, para mayores amplitudes iniciales. El tiempo atmosférico también es un sistema caótico, al igual que el goteo del agua en un grifo, el lanzamiento ** Sobre el tema del caos, ver el hermoso libro escrito por H. -O. Peitgen, H. Jurgens y D. Saupe, Caos y Fractales, Springer Verlag, 1992 Incluye imágenes impresionantes, la base matemática necesaria, y algunos programas informáticos que permiten la exploración personal del tema. 'Caos' es una palabra antigua: según la mitología griega, la primera diosa, Gaia, es decir, la Tierra, surgió del caos existente en el inicio. A continuación, dio a luz a los otros dioses, los animales y los primeros humanos. 294 de los dados, y muchos otros sistemas corrientes. Por ejemplo, la investigación sobre los mecanismos por los cuales se genera el latido del corazón ha demostrado que el corazón no es un oscilador sino un sistema caótico con ciclos irregulares. Esto permite que el corazón esté continuamente preparado para las exigencias de los cambios en la frecuencia de latido que surgen una vez que el cuerpo lo necesita para aumentar o disminuir sus esfuerzos. FIGURA 241 Caos como sensitividad a condiciones iniciales. Hay movimiento caótico también en las máquinas: el caos aparece en el movimiento de los trenes sobre los raíles, en las cajas de cambio de los automóviles y otros mecanismos de engranajes, y en las mangueras de los bomberos. FIGURA 242 Un sistema caótico simple: un péndulo de metal sobre tres imanes (fractal © Paul Nylander). Desafío 643 ny. El estudio preciso del movimiento que aparece en un encendedor Zippo probablemente también produciría un ejemplo de caos. La descripción matemática del caos - simple para algunos ejemplos de libros de texto, pero extremadamente complicado para los demás - sigue siendo un tema importante de investigación. Desafío 644 s. Por cierto, ¿puede dar un argumento sencillo para demostrar que no existe el llamado efecto mariposa? Este "efecto" se cita a menudo en los periódicos y revistas. La explicación que se da generalmente es que las no linealidades implican que un pequeño cambio en las condiciones iniciales puede conducir a vastos efectos; de este modo el aleteo de una mariposa se asegura que es capaz de inducir un tornado. A pesar de que las no linealidades conducen de hecho a un crecimiento de las perturbaciones, nunca se ha observado el "efecto" mariposa. Por lo tanto, no existe. Existe este "efecto" sólo para vender libros y obtener financiación. Todos los pasos del desorden al orden, la cuasiperiodicidad y finalmente al caos, son ejemplos de autoorganización. Estos tipos de movimiento, que se ilustran en la Figura 240, se observan en muchos sistemas de fluidos. Su estudio debe conducir, un día, a una comprensión más profunda de los misterios de la turbulencia. A pesar de la fascinación de este tema, no vamos a explorar más a fondo, porque no conduce hacia la cima de la Montaña del Movimiento. EMERGENCIA La auto-organización es de interés también por una razón más general. A veces se dice que nuestra capacidad de formular modelos o leyes de la naturaleza a partir de la observación no implica que tengamos la capacidad de predecir todas las observaciones a partir de estas leyes. De acuerdo con este punto de vista, existen las llamadas "propiedades emergentes", es decir, las propiedades que aparecen en sistemas complejos como algo nuevo que no se puede deducir de las propiedades de sus componentes y sus interacciones. (El telón de fondo ideológico relativo a esta idea es obvio, fue el más reciente intento de luchar contra la idea del 295 determinismo). El estudio de la auto-organización ha cercenado definitivamente este debate. Las propiedades de las moléculas de agua nos permiten predecir las cataratas del Niagara. * (Del mismo modo, la difusión de las moléculas mensajeras determinan el desarrollo de una única célula en un ser humano completo: en particular, los fenómenos cooperativos determinan los lugares donde se forman los brazos y las piernas; aseguran (de forma aproximada) la simetría derecha-izquierda de los cuerpos humanos, previenen amalgamas en las conexiones cuando las células de la retina se conectan al cerebro, y explican los patrones de piel de las cebras y de los leopardos, por citar sólo algunos ejemplos. Del mismo modo, los mecanismos en el origen de los latidos del corazón y muchos otros ciclos han sido descifrados. Varios fenómenos de fluidos cooperativos se han simulado, incluso hasta el nivel molecular. La auto-organización nos provee de principios generales que nos permiten, en principio, predecir el comportamiento de sistemas complejos de cualquier tipo. Actualmente se están aplicando en el sistema más complejo del universo conocido: el cerebro humano. Los detalles de cómo se aprende a coordinar el movimiento del cuerpo, y cómo se extrae la información de las imágenes en el ojo, están siendo estudiados intensamente. El trabajo continuo en este ámbito es fascinante. (Un caso despreciado de auto-organización es el humor.). Desafío 646 e. Si va a convertirse en un científico, considere tomar este camino. La investigación de la auto-organización proporcionó los argumentos finales que confirmaron lo que Joffrey de la Mettrie declaró y exploró en su famoso libro L'homme machine en 1748: los seres humanos son máquinas complejas. De hecho, las lagunas en la comprensión de los sistemas complejos en el pasado se debió principalmente a la enseñanza restrictiva del estudio del movimiento, que por lo general se concentra como lo hacemos en este paseo - en ejemplos de movimiento en sistemas simples. Los conceptos de autoorganización nos permiten entender y describir lo que sucede durante el funcionamiento y el crecimiento de los organismos. A pesar de que el tema de la auto-organización proporciona una visión fascinante, y lo hará por muchos años en el futuro, ahora lo dejamos de lado. Continuamos con nuestra propia aventura,destinada a explorar los fundamentos del movimiento. Ich sage euch: man muss noch Chaos in sich haben, um einen tanzenden Stern gebaren zukonnen. Ich sage euch: ihr habt noch Chaos in euch. Friedrich Nietzsche, Also sprach Zarathustra. Te digo: se debe tener el caos dentro de sí mismo, para poder dar a luz a una estrella danzante. Te digo: tú todavía tienes el caos dentro de ti '. CURIOSIDADES Y DESAFÍOS DIVERTIDOS ACERCA DE LA AUTO-ORGANIZACIÓN Todos los carámbanos tienen una superficie ondulada, con una distancia de cresta a cresta de aproximadamente 1 cm, como se muestra en la Figura 243. La distancia se determina por la interacción recíproca entre el flujo de agua y enfriamiento de la superficie. Desafío 647 ny. ¿Cómo? (De hecho, las estalactitas no muestran el efecto.) ∗∗ Cuando un delgado hilo de agua sale de un grifo de agua, poner un dedo en la corriente conduce a la aparición una forma ondulada, como se muestra en la Figura 244. Desafío 648 ny. ¿Por qué? ** La investigación sobre la arena ha demostrado que a menudo es útil para introducir el concepto de temperatura granular, que cuantifica la velocidad a que se mueve una región de arena. La investigación en este campo está todavía en pleno apogeo. ∗∗ Cuando el agua emerge de una abertura oblonga, la corriente forma un patrón en forma de trenza, como se muestra en la Figura 245. Este efecto resulta de la interacción y la competencia entre la inercia y la tensión ** Hay versiones pequeñas de las cataratas del Niágara, a saber, los grifos que gotean agua, estos muestran una gran variedad de fenómenos cooperativos, incluyendo la caída caótica (es decir, no periódica) de gotas de agua. Desafío 645 e. Esto sucede cuando el caudal de agua tiene el valor correcto, como puede verificar en su propia cocina. 296 superficial: la inercia tiende a ensanchar la corriente, mientras que la tensión superficial tiende a reducirla. La predicción de la distancia de una región estrecha a la siguiente es todavía tema de investigación. Si el experimento se realiza en aire libre, sin un recipiente, por lo general se observa un efecto adicional: hay un trenzado quiral en las regiones estrechas, inducida por las asimetrías del flujo de agua. ¡Usted puede observar este efecto en el inodoro! La curiosidad científica no conoce límites: Desafío 649 e. ¿Es usted un trenzador a la derecha, a la izquierda, o en ambos? ¿Todos los días? ∗∗ Desafío 650 ny -Cuando se hace girar el vino en una copa, después de que el movimiento se ha calmado, el vino que fluye por las paredes de cristal forma pequeños arcos. ¿Puede explicar en pocas palabras qué los forma? FIGURA 243 Las ondulaciones en la superficie de carámbanos. FIGURA 244 perlas de agua. FIGURA 245 Un chorro de agua con forma de trenza(© Vakhtang Putkaradze). ∗∗ Desafío 651 ny . ¿Cómo cambia la distancia media entre los coches estacionados a lo largo de una calle en el transcurso del tiempo, suponiendo que hay una tasa constante de coches que salen y que llegan? ∗∗ Un caso famoso de aparición de orden es la reacción Belousov-Zhabotinski. Esta mezcla de productos químicos produce espontáneamente patrones espaciales y temporales. Las capas delgadas producen patrones en espiral que giran lentamente, como se muestra en la Figura 246; grandes volúmenes agitados, oscilan hacia adelante y hacia atrás entre dos colores. Una película hermosa de las oscilaciones se puede encontrar en www.uni-r.de/Fakultaeten/nat_Fak_IV/Organische_Chemie/Didaktik/Keusch / D-oscill-d.htm. La exploración de esta reacción condujo al Premio Nobel de Química para Ilya Prigogine en 1997. FIGURA 246 La reacción Belousov-Zhabotinski: el líquido cambia periódicamente de color, tanto en el espacio como en el tiempo (© Yamaguchi Universidad). ∗∗ Gerhard Müller ha descubierto una elemental pero hermosa manera de observar la auto-organization en los sólidos. Su sistema también proporciona un modelo para un famoso proceso geológico, la formación de las columnas hexagonales de basalto, tales como la Calzada de los Gigantes en Irlanda del Norte. Formaciones similares se encuentran en numerosos otros lugares de la tierra. Desafío 652 e . Tome simplemente un poco de harina de arroz o almidón de maíz, mézclelo con alrededor de la mitad de esa cantidad en agua, ponga la mezcla en una cacerola o sartén y séquela con una lámpara. Se formarán columnas hexagonales. La analogía con las estructuras basálticas es posible porque el secado del almidón y el enfriamiento de la lava volcánica son procesos difusivos gobernados por las mismas ecuaciones porque las condiciones de contorno son las mismas, y porque los dos materiales responden al enfriamiento con una disminución moderada de su volumen. 297 ∗∗ El flujo de agua en las tuberías puede ser laminar (continuo) o turbulento (irregular y desordenado). La transición depende del diámetro de la tubería, d, y la velocidad, v, del agua. La transición se produce cuando el denominado número de Reynolds es superior a un valor de aproximadamente 2000. El número de Reynolds se define como R = vd/η ; (siendo η la viscosidad cinemática del agua, alrededor de 1 mm2/s; la viscosidad dinámica se define como μ = ηρ, donde ρ es la densidad del fluido). Un elevado número de Reynolds significa una alta proporción de los efectos inerciales y disipativos y especifica un flujo turbulento; un bajo número de Reynolds es típico de flujo viscoso. Sin embargo, experiencias cuidadosas muestran que, con una manipulación adecuada, pueden producirse flujos laminares hasta con R = 100 000. Un análisis lineal de las ecuaciones de movimiento del fluido, las ecuaciones de Navier-Stokes, predicen incluso la estabilidad del flujo laminar para todos los números de Reynolds. El enigma no fue resuelto hasta los años 2003 y 2004. Primeramente, un análisis matemático complejo indicó que el flujo laminar no siempre es estable y que la transición hacia la turbulencia en una larga tubería sobreviene con ondas viajeras. Entonces, en 2004, meticulosas experiencias mostraron que estas ondas viajeras aparecen de hecho cuando el agua fluye a través de una tubería con grandes números de Reynolds. ** FIGURA 247 Una famosa correspondencia: a la izquierda, columnas hexagonales en almidón, que creciendo en una sartén de cocina (las líneas rojas son 1 cm de longitud), y a la derecha, las columnas hexagonales en basalto, pasado de lava en Irlanda del Norte (arriba a la derecha, vista desde alrededor de 300 m, y en el centro derecha, vista de cerca de 40 metros) y en Islandia (vista de cerca de 30 metros, en la parte inferior derecha) (© Gerhard Müller, Raphael Kessler - www.raphaelk.co.uk, Bob Pohlad, y Cédric Hüsler) . ∗∗ Para obtener más bellas imágenes en la autoorganización en los líquidos, consulte el sitio web mencionado. serve.me.nus.edu.sg/limtt ∗∗ El Caos también se puede observar en los circuitos electrónicos simples (y complicados). Si el circuito electrónico que usted ha diseñado se comporta de forma errática, ¡marque esta opción! ∗∗ También la danza es un ejemplo de auto-organización. Este tipo de auto-organización tiene su fuente en el cerebro. Igual que para todos los movimientos complejos, aprenderlos es, a menudo, un desafío. Hoy en día hay libros admirables que indican cómo la física puede ayudarle a mejorar sus habilidades en el baile y la gracia de sus movimientos. ∗∗ ¿Quiere disfrutar trabajando en su doctorado de física? Vaya a una tienda de juguetes científicos, y busque cualquier juguete que se mueva de una manera compleja. Hay muchas posibilidades de que el movimiento sea caótico; explore el movimiento y presente una tesis sobre el tema. Por ejemplo, yendo hasta el extremo: explore el movimiento de una cuerda colgante cuyo extremo superior es removido por una fuente externa. Este sencillo sistema es fascinante en su gama de comportamientos de movimiento complejos. ∗∗ La auto-organización se observa también en mezclas líquidas de agua y almidón de maíz. Disfrute de la película en www.youtube.com/watch?v=f2XQ97XHjVw y vea incluso los efectos más extraños, como seres humanos que caminan sobre una piscina llena de líquido, en www.youtube.com/watch?v=nq3ZjY0Uf-g. 298 ** Los Copos de nieve y los cristales de nieve ya han sido mencionados como ejemplos de autoorganización. La figura 248 muestra la conexión general. Para aprender más sobre este fascinante tema, explore el sitio web maravilloso snowcrystals.com por Kenneth Libbrecht. También se ha desarrollado una clasificación completa de los cristales de nieve. ∗∗ Un famoso ejemplo de auto-organización cuyos mecanismos no son bien conocidos hasta el momento, es el hipo. Se sabe que el nervio vago juega un papel en él. Al igual que para muchos otros ejemplos de autoorganización, se necesita bastante energía para deshacerse de un hipo. La investigación experimental moderna ha demostrado que los orgasmos, que estimulan fuertemente el nervio vago, son excelentes maneras de superar el hipo. Uno de estos investigadores ha ganado el Premio IgNobel 2006 de medicina por su trabajo. ∗∗ Otro ejemplo importante de la auto-organización es el clima. Si quieres saber más acerca de las conexiones conocidas entre el tiempo atmosférico y la calidad de la vida humana en la Tierra, libre de cualquier ideología, lea el maravilloso libro de Reichholf. En él se explica cómo se conecta el clima entre los continentes y describe cómo y por qué el clima ha cambiado en los últimos mil años. ∗∗ FIGURA 248 Cómo depende la forma de los cristales de nieve de la temperatura y la saturación(© Kenneth Libbrecht). ¿La auto-organización o evolución biológica contradicen el segundo principio de la termodinámica? Por supuesto que no. La auto-organización, incluso puede demostrarse que se sigue a partir del segundo principio, como cualquier libro de texto sobre el tema explicaría. También para la evolución no hay contradicción, ya que la Tierra no es un sistema termodinámico cerrado. Afirmaciones de lo contrario sólo las hacen los embaucadores. ∗∗ ¿Son los sistemas que muestran autoorganizaciones más complejas los que pueden ser estudiados con ecuaciones de evolución? No. Los sistemas más complejos son los que constan de muchos sistemas de autoorganización que interactúan. El ejemplo obvio son los enjambres. Enjambres de aves, como se muestra en la Figura 249, de pescado, de insectos y de personas - por ejemplo, en un estadio o en los coches en una autopista - han sido ampliamente estudiados y siguen siendo un tema de investigación. Su belleza es fascinante. 299 El otro ejemplo de muchos sistemas autoorganizados interconectados es el cerebro; la exploración de cómo funcionan las neuronas interconectadas ocupará a los investigadores durante muchos años. Vamos a explorar algunos aspectos en los próximos volúmenes. FIGURA 249 Una típica bandada de estorninos que los visitantes de Roma pueden observar cada otoño.(© Andrea Cavagna/Physics Today). RESUMEN SOBRE AUTOORGANIZACIÓN Y CAOS La aparición de orden, en forma de patrones, formas y ciclos, no se debe a una disminución de la entropía sino a una competición entre las causas motoras y efectos disipativos en sistemas abiertos. Tal apariencia de orden es predecible (bastante) con ecuaciones simples. También la evolución biológica es la aparición de orden. Se produce de forma automática y obedece a ecuaciones simples. El caos, la sensibilidad a las condiciones iniciales, es común en sistemas abiertos fuertemente impulsados, está en la base del azar cotidiano, y, a menudo es descrito por ecuaciones simples. En la naturaleza, la complejidad es aparente. El movimiento es simple. 300 CAPÍTULO 15 DE LAS LIMITACIONES DE LA FÍSICA A LOS LÍMITES DEL MOVIMIENTO "Sólo sé que no sé nada, Sócrates citado por Platón" H emos explorado, hasta ahora, el concepto de movimiento cotidiano. Llamamos a esta exploración de objetos y fluidos en movimiento la física galileana. Encontramos que en todos estos casos, el movimiento es predecible: la naturaleza no muestra sorpresas ni milagros. En particular, hemos encontrado seis aspectos importantes de esta previsibilidad: • 1. El movimiento cotidiano es continuo. El movimiento nos permite definir el espacio y el tiempo. • 2. El movimiento cotidiano conserva la masa, la cantidad de movimiento, la energía y el momento angular. Nada aparece de la nada. • 3. El movimiento cotidiano es relativo: el movimiento depende del observador. • 4. El movimiento cotidiano es reversible: el movimiento cotidiano puede ocurrir al revés. • 5. El movimiento cotidiano es un invariante especular (por reflexión): El movimiento cotidiano puede ocurrir de manera especularmente invertida. La última propiedad es la más importante, y además contiene los anteriores: • 6. El movimiento cotidiano es perezoso: el movimiento ocurre de tal manera que minimiza el cambio, es decir, la acción física. Esta descripción Galileana de la naturaleza hizo posible la ingeniería: máquinas textiles , máquinas de vapor , motores de combustión, aparatos de cocina, relojes, muchos juguetes infantiles , máquinas de fitness y todos los avances en la calidad de vida que vienen con estos dispositivos se deben a los resultados de la física galileana . Pero a pesar de estos éxitos , la frase de Sócrates, antes citada, todavía se aplica a la física galileana . Veamos por qué . TEMAS DE INVESTIGACIÓN EN DINÁMICA CLÁSICA A pesar de que la mecánica y la termodinámica tienen ahora varios cientos de años de existencia como ciencias, la investigación sobre sus detalles está todavía en curso. Por ejemplo , ya hemos mencionado anteriormente que no está claro si el sistema solar es estable. El futuro a largo plazo de los planetas no se conoce. En general , el comportamiento de sistemas de pocos cuerpos que interactúan a través de la gravitación es todavía un tema de investigación de la física matemática. Responder a la simple cuestión de durante cuánto tiempo permanecerá unido un determinado conjunto de cuerpos que gravitan alrededor unos de otros, es un reto formidable. La historia de este llamado problema de muchos cuerpos es antigua y complicada. Se han logrado avances interesantes, pero la respuesta final todavía se nos escapa. Quedan muchos retos en los ámbitos de la auto-organización, de ecuaciones no lineales de evolución , y del movimiento caótico. En estos campos, la turbulencia es el ejemplo más famoso: una precisa descripción de la turbulencia aún no se ha logrado. Este y otros desafíos motivan a numerosos investigadores en matemáticas, física, química, biología, medicina y otras ciencias naturales. Pero aparte de estos temas de investigación, la física clásica deja sin respuesta varias preguntas básicas. ¿QUÉ ES EL CONTACTO ? " Demócrito declaró que existe una especie única de movimiento: el resultante de la colisión” Simplicius: Comentarios a la Física de Aristóteles, De las preguntas no contestadas por la física clásica , los detalles del contacto y de las colisiones se encuentran entre las más urgentes. De hecho, hemos definido la masa en términos de cambios de velocidad 301 durante las colisiones. Pero, ¿por qué los objetos cambian su movimiento en esos casos ? ¿Por qué son las colisiones entre dos bolas de chicle diferentes a las que existen entre dos bolas de acero inoxidable ? ¿Qué sucede durante esos momentos de contacto? El contacto se relaciona con las propiedades del material, que a su vez influyen en el movimiento de una manera compleja. La complejidad es tal que las ciencias de la propiedades de los materiales se desarrollaron de forma independiente del resto de la física durante mucho tiempo, por ejemplo, las técnicas de la metalurgia (frecuentemente citada como la ciencia más antigua de todas), de la química y de la cocina sólo se relacionaron con las propiedades de movimiento en el siglo XX, después de haber sido ejercidas de forma independiente desde hace miles de años. Dado que las propiedades del material determinan la esencia del contacto, necesitamos el conocimiento sobre la materia y sobre los materiales para comprender la noción de masa, del contacto y, por lo tanto, del movimiento. Las partes de nuestro ascenso en la montaña del movimiento que tienen que ver con la teoría cuántica revelarán estas conexiones. LA PRECISIÓN Y LA EXACTITUD La precisión tiene su propia fascinación. Desafío 653 : ¿Cuántos dígitos de π , la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, sabe de memoria? ¿Cuál es el mayor número de dígitos de π que ha calculado usted mismo? Desafío 654 s : ¿Es posible dibujar o cortar un rectángulo para el que la relación de longitudes es un número real, por ejemplo, de la forma 0,131520091514001315211420010914 ... , y cuyos dígitos codifiquen un libro? (Un método simple codificaría un espacio como 00 , la letra 'a' como 01 , 'b ', como 02 , 'c' como 03, etc. Aún más interesante, ¿podría estar el número impreso en el interior de su propio libro?) ¿Por qué son tantos los resultados de una medición, tales como los de la Tabla 50, de una precisión limitada, incluso si el presupuesto es casi ilimitado? Estas son preguntas sobre la precisión. Cuando empezamos la escalada de la Montaña del Movimiento , explicamos que ganar altura significa aumentar la precisión en la descripción de la naturaleza. Para hacer esta afirmación en sí más precisa, hacemos una distinción entre dos términos: la precisión es el grado de reproducibilidad, la exactitud es el grado de correspondencia con la situación real . Ambos conceptos se aplican a las mediciones, ** a los enunciados y a los conceptos físicos. TABLA 50 Ejemplos de errores en las mediciones en el estado actual de la técnica (los números en paréntesis indican una desviación estándar en los últimos dígitos), en parte tomada de physics.nist.gov / constants. OBSERVACIÓN MEDICIÓN PRECISIÓN EXACTITUD -1,001 159 652 180 76 (24) 2,6⋅10-13 Alta precisión: constante de Rydberg 10 973 731,568 539 (55) m-1 5,0⋅10-12 Alta precisión: unidad astronómica 149 597 870.691 (30) km 2,0⋅10-10 1 μm de 20 cm 5⋅10-6 Baja precisión: constante gravitacional G 6,674 28 (67) ⋅ 10-11 Nm2/kg2 1,0⋅10-4 Precisión cotidiana: el del reloj circadiano humano rector del sueño 15 h a 75 h 2 Máxima precisión alcanzada: la relación entre el momento magnético de electrones y el magnetón Bohr μe / μB Precisión Industrial: parte dimensión la tolerancia en un motor de automóvil / Los enunciados con falsa precisión y falsa exactitud abundan. Desafío 655 s ¿Qué debemos pensar de una empresa de automóviles - Ford - que afirma que el coeficiente aerodinámico cw de un determinado modelo es 0,375? O de la pretensión oficial de que el récord mundial en ** Para las mediciones, la precisión y la exactitud se describen mejor por su desviación estándar, como se explica en el Apéndice B. 302 el consumo de combustible para los automóviles es 2315,473 km / l? O de la declaración de que el 70,3% de todos los ciudadanos comparten una cierta opinión?Una lección que aprendemos de las investigaciones sobre los errores de medición es que nunca debemos dar más dígitos para un resultado de los que podemos estar seguros y ciertos, en otras palabras que pondríamos nuestra mano en el fuego por ellos. Cuando empezamos a subir la Montaña del Movimiento, explicamos que ganar altura significa aumentar la precisión de nuestra descripción de la naturaleza. Para hacer esta afirmación en sí misma más precisa, podemos distinguir entre dos términos: • La precisión es el grado de reproducibilidad; • La exactitud es el grado de correspondencia con la situación real. Ambos conceptos se aplican a las mediciones, las declaraciones y los conceptos físicos. Las declaraciones con falsa exactitud y falsa precisión abundan. ¿Qué debemos pensar de la casa automovilística - Ford - que establece que el coeficiente aerodinámico c w de un modelo en particular es 0,375? O de la afirmación oficial de que el récord mundial de combustible para automóviles es 2315,473 km / l? o la declaración de que el 70,3 % de todos los ciudadanos comparten una cierta opinión? Una lección que aprender de las investigaciones sobre los errores de la medida es que nunca debemos dar más dígitos para un resultado de aquellos para los que podemos poner nuestro mano en el fuego. En pocas palabras , la precisión y la exactitud son limitados. En la actualidad, el número de registro de cifras fiables jamás medido de una magnitud física es 13. ¿Por qué tan pocos? La física clásica no proporciona una respuesta en absoluto. ¿Cuál es el número máximo de dígitos que podemos esperar en las mediciones?, ¿qué lo determina , y cómo podemos esperar alcanzarlo? Estas preguntas siguen abiertas en este momento de nuestra ascensión; se van a cerrar en las partes de la teoría cuántica. En nuestro paseo, nos dirigimos a la más alta precisión y exactitud posible, evitando al mismo tiempo la falsa exactitud. Por lo tanto , en primer lugar los conceptos deben ser precisos, y las descripciones deben ser exactas. Cualquier inexactitud es una prueba de la falta de comprensión. Para decirlo sin rodeos , en nuestra aventura, 'inexacta' significa falsa. El aumento de la exactitud y precisión de nuestra descripción de la naturaleza implica dejar atrás todos los errores que hemos cometido hasta ahora. Esta misión plantea varias cuestiones. ¿PUEDE TODA LA NATURALEZA DESCRIBIRSE EN UN LIBRO? Darum kann es in der Logik auch nie Uberraschungen geben. LudwigWittgenstein, Tractatus, 6.1251 Por lo tanto, nunca puede haber sorpresas en la lógica.. Divirtámonos con un rompecabezas relativo a nuestra aventura: ¿Podría existir una publicación perfecta de física, una que describa toda la naturaleza,? Si pudiera, esta publicación también debería describirse a sí misma, su propia producción - incluyendo a sus lectores y su autor - y lo más importante de todo, sus propios contenidos. ¿Es posible un libro así? Utilizando el concepto de información, se puede afirmar que tal libro debe contener toda la información contenida en el universo. ¿Es esto posible? Examinemos las opciones. Si la naturaleza requiere un libro infinitamente largo para ser descrita totalmente, tal publicación, obviamente, no puede existir. En este caso, sólo son posibles las descripciones aproximadas de la naturaleza y un libro exhaustivo de física es imposible. Si la naturaleza requiere una cantidad finita de información para su descripción, hay dos opciones. Una de ellas es que la información del universo es tan grande que no se puede resumir en un libro, luego un libro perfecto de física es de nuevo imposible. La otra opción es que el universo contiene una cantidad finita de información y que se puede resumir en algunas pequeñas fórmulas o enunciados breves. Esto implicaría que el resto del universo no añadiría información a la ya contenida en el libro completo de física. Pero en este caso, parece que la entropía del libro y la entropía del universo deben ser similares. Esto también es imposible, o al menos poco probable. Tomamos nota de que la respuesta a este enigma implica también la respuesta a otro enigma: si un cerebro puede contener una descripción completa de la naturaleza. En otras palabras, la verdadera pregunta es: ¿podemos entender la naturaleza? ¿Es posible nuestra caminata hasta la cima de la montaña del movimiento? 303 Por lo general, creemos esto. Pero los argumentos que acabamos de dar implican que creemos algo que parece poco probable: creemos que el universo no contiene más información que la que nuestro cerebro podría contener o incluso contiene ya. ¿Tenemos un error en nuestros argumentos? Sí, lo tenemos. Los términos "universo" e "información" no se utilizan correctamente en el razonamiento anterior, como es posible que desee verificar Desafío 655-b f . Vamos a resolver este rompecabezas más tarde en nuestra aventura. Hasta entonces, no tome su propia decisión. ALGO ESTÁ MAL EN LO QUE CONCIERNE A NUESTRA DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO Je dis seulement qu’il n’y a point d’espace, ou il n’y a point de matiere; et que l’espace lui-meme n’est point une realite absolue. Leibniz* Yo digo que no hay espacio donde no hay materia; y que el espacio en sí no es una realidad absoluta'. Hemos descrito la naturaleza de una manera bastante simple. Los objetos son entidades permanentes y masivas localizadas en el espacio-tiempo. Los estados son cambios de propiedades de los objetos, descritos por la posición en el espacio y el instante de tiempo, la energía y el impulso, y por sus equivalentes de rotación. El tiempo es la relación entre los eventos medidos por un reloj. Los relojes son dispositivos en movimiento no perturbado cuya posición se puede observar. El espacio y la posición es la relación entre los objetos medidos por un metro. Los metros rígidos son dispositivos cuya forma se subdivide por algunas marcas, fijados de manera invariable y observable. El movimiento es el cambio de posición con el tiempo (tiempo de la masa), está determinado, no presenta sorpresas, se conserva (incluso en la muerte), y se debe a la gravitación y otras interacciones. A pesar de que esta descripción funciona bastante bien en la práctica, contiene una definición circular. Desafío 657 s ¿Puede ver eso? Cada uno de los dos conceptos centrales del movimiento se define uno con ayuda del otro. Los físicos trabajaron durante cerca de 200 años en la mecánica clásica sin darse cuenta o querer darse cuenta de la situación. Incluso los pensadores que tienen interés en desacreditar la ciencia no lo señalan. Desafío 658 s ¿Puede una ciencia exacta basarse en una definición circular? Obviamente sí, y la física ha ido bastante bien hasta ahora. ¿La situación es inevitable, en principio? Cómo deshacer este bucle lógico es uno de los objetivos del resto de nuestra caminata. Lograremos la solución en la última etapa de nuestra aventura. Para lograr la solución, tenemos que aumentar sustancialmente el nivel de precisión en la descripción del movimiento. Cada vez que se aumenta la precisión, la imaginación está restringida. Vamos a descubrir que muchos tipos de movimientos que parecen posibles no lo son. El movimiento es limitado. La Naturaleza limita la velocidad , el tamaño, la aceleración, la masa, la fuerza, la potencia y muchas otras cantidades. Continúe leyendo las otras partes de esta aventura sólo si está preparado para cambiar fantasía por precisión. No será una pérdida, porque explorar el funcionamiento preciso de la naturaleza va a llegar a ser más fascinante que cualquier fantasía. ¿POR QUÉ ES POSIBLE LA MEDICIÓN? En la descripción de la gravedad dada hasta ahora, la que todo el mundo aprende - o debería haber aprendido - en la escuela, la aceleración está conectada a la masa y la distancia a través de a = GM/r2. Eso es todo. Pero esta sencillez es engañosa. Con el fin de comprobar si esta descripción es correcta, tenemos que medir longitudes y tiempos. Sin embargo, ¡es imposible medir las longitudes e intervalos de tiempo con cualquier reloj o cualquier regla sobre la base de la interacción gravitatoria solo! Desafío 659 s. Trate de concebir un aparato de este tipo y quedará inevitablemente decepcionado. Siempre se necesita un método no-gravitacional para iniciar y detener el cronómetro. Del mismo modo, cuando se mide la longitud, por ejemplo, de una tabla, usted tiene que mantener una regla o algún otro dispositivo cerca de ella. La interacción necesaria para alinear la regla y la tabla no puede ser gravitacional. Una limitación similar se aplica incluso a las mediciones de masa. Desafío 660 s. Trate de medir la masa *Gottfried Wilhelm Leibniz escribió esta de vuelta en 1716, la sección 61 de su famosa quinta carta a Clarke, asistente y portavoz de Newton. Newton, y por tanto Clarke mantenían el punto de vista opuesto; y como de costumbre, Leibniz tenía razón. 304 usando la gravitación solo. Cualquier escala o balanza necesita otras interacciones - generalmente mecánicas, electromagnéticas u ópticas- para lograr su función. Desafío 661 s. ¿Puede confirmar que lo mismo se aplica a la velocidad y a las mediciones de ángulos? En resumen, cualquier método que utilicemos, • con el fin de medir la velocidad, longitud, tiempo, y la masa, necesita interacciones distintas de la gravedad. Nuestra capacidad de medir demuestra que la gravedad no es todo lo que hay. Y, de hecho, todavía tenemos que comprender la carga y los colores. En resumen, la física galileana no explica nuestra capacidad de medir. En realidad, ni siquiera explica la existencia de estándares de medición. ¿Por qué los objetos tienen longitudes fijas? ¿Por qué los relojes funcionan con regularidad? La Física galileana no puede explicar estas observaciones; vamos a necesitar la física de la relatividad y la mecánica cuántica para averiguarlo. ¿ES EL MOVIMIENTO ILIMITADO? La Física galileana sugiere que el movimiento podría continuar para siempre. En realidad, la física galileana no formula ninguna explicación clara sobre el universo en su conjunto. Ella parece sugerir tácitamente que es infinito en el espacio y en el tiempo. En efecto, la finitud no encaja con la descripción galileana del movimiento. Por otra parte, sabemos de las observaciones que el universo no es infinito: si fuera infinito, la noche no sería oscura (Desafío 662 e). La Física galileana está limitada, por tanto, en sus explicaciones, ya que no tiene en cuenta este y otros límites al movimiento. En particular, la física galileana sugiere que las velocidades pueden tener cualquier valor. Pero la existencia de velocidades infinitas en la naturaleza no nos permitiría definir las secuencias de tiempo. Los relojes serían imposibles. En otras palabras, una descripción de la naturaleza que permite velocidades ilimitadas no es precisa. La precisión requiere límites. Puesto que la física galileana no tiene en cuenta los límites de movimiento, la física galileana es imprecisa, y por lo tanto errónea. Para lograr la máxima precisión posible, tenemos que descubrir todos los límites de movimiento. Hasta ahora, hemos descubierto uno solo: existe una entropía mínima. Pasamos ahora a otro límite, uno más sorprendente: el límite de velocidad tanto para la energía, como para los objetos y las señales. Para entender este límite, en el próximo volumen vamos a explorar el movimiento más rápido de la energía, de los objetos y de las señales que conocemos: el movimiento de la luz. 305 Apéndice A NOTACION Y CONVENCIONES E n este texto hemos introducido y definido conceptos nuevos que se indican con tipo de letra cursiva. Las nuevas definiciones también están contempladas en el índice. En este texto, naturalmente utilizamos las unidades internacionales SI; se definen en el Apéndice B. Los resultados experimentales se citan con precisión limitada, generalmente sólo dos dígitos, ya que casi siempre es suficiente para nuestros propósitos. Valores de referencia de alta precisión para cantidades importantes también pueden encontrarse en el Apéndice B. Valores de precisión adicionales para los sistemas físicos compuestos se proporcionan en el Vol. V. Pero la información que se proporciona en este volumen usa algunas convenciones adicionales que requieren un segundo vistazo. EL ALFABETO LATINO Lo que se escribe sin esfuerzo es, en general, leído sin placer. Samuel Johnson Los libros son colecciones de símbolos. La escritura fue inventada probablemente entre 3400 y 3300 A.C. por los sumerios en Mesopotamia (aunque otras posibilidades también se discuten). Luego llevó más de mil años antes de que la gente comenzara a utilizar símbolos para representar sonidos en vez de conceptos: esta es la forma en que se creó el primer alfabeto. Esto sucedió entre el 2000 y 1600 A. C. (posiblemente en Egipto) y llevó al alfabeto Semítico. El uso de un alfabeto tenía tantas ventajas que rápidamente fue adoptado en todas las culturas vecinas, aunque en diferentes formas. Como resultado, el alfabeto Semítico es el antepasado de todos los alfabetos utilizados en el mundo. Este texto está escrito utilizando el alfabeto latino. A primera vista, esto parece implicar que su pronunciación no puede explicarse en forma impresa, en contraste con la Pronunciación de otros alfabetos o del alfabeto fonético internacional (IPA). (Puede explicarse utilizando el alfabeto del texto principal.) Sin embargo, es en principio posible escribir un texto que describe exactamente cómo mover los labios, la boca y la lengua para cada letra, utilizando conceptos físicos donde sea necesario. Las descripciones de las pronunciaciones que encontramos en diccionarios hacen uso indirecto de este método: se refieren a la memoria de palabras pronunciadas o sonidos de la naturaleza. Históricamente, el alfabeto latino se derivó del de los etruscos, que a su vez era una derivación del alfabeto griego. Hay dos formas principales. El antiguo alfabeto latino, utilizado desde el siglo VI A.C. en adelante: A B C D E F Z H I K L M N O P Q R S T V X El alfabeto latino clásico, utilizado desde el siglo II a.c. hasta el siglo XI: A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T V X Y Z La letra G fue añadida en el siglo III a.c. por el primer romano que dirigió una escuela de pago, Espurio Carvilio Ruga. Añade una barra horizontal a la letra C y sustituye la letra Z, que no fue utilizada en latín, con esta nueva letra. En el segundo siglo a.c., tras la conquista de Grecia, los romanos incluyeron las letras Y y Z del alfabeto griego al final del suyo propio (por lo tanto efectivamente reintroduciendo la Z) para poder escribir palabras griegas. Este alfabeto latín clásico permaneció estable durante los siguientes mil años. * El latín clásico se extendió por Europa, África y Asia por los romanos durante sus conquistas; debido a su simplicidad comenzó a ser usado para la escritura en numerosos otros idiomas. Alfabetos 'Latinos' más modernos incluyen algunas otras letras. La letra W fue introducida en el siglo XI en francés y fue adoptada en la mayoría de los idiomas Europeos**. La letra U fue introducida a mediados del siglo XV en Italia, la letra J al final de ese siglo en España, para distinguir ciertos sonidos que previamente habían sido *Para encontrar oradores y escritores latinos, visite www.alcuinus.net. ** En Turquía, incluso en 2008, puede ser citado ante un juez, si utiliza las letras w, q o x en una carta oficial; estas letras sólo existen en curdo, no en turco. Utilizarlas es un comportamiento 'anti-turco' y castigado por la ley. No se conoce generalmente como los profesores de física hacen frente a esta situación. 306 representados por V e I. La distinción ha sido un éxito y ya era común en la mayoría de los idiomas Europeos en el siglo XVI. Las contracciones æ y oe datan de la edad media. El alfabeto alemán incluye la s cortante, escrito ß, una contracción de 'ss' o 'sz', y los alfabetos nórdicos agregan espina (thor), escrito Þ o þ y eth, escrito Ð o ð, ambos tomados desde el futhorc* (alfabeto rúnico) y otros signos. Las letras minúsculas no fueron utilizadas en latín clásico; Sólo datan de la edad media, desde la época de Carlomagno. Como la mayoría acentos, como ê, ç o ä, que también fueron utilizados en la edad media, las letras minúsculas fueron introducidas para salvar superficie de papel entonces caro acortando palabras escritas. Fuera de un perro, un libro es el mejor amigo del hombre. Dentro de un perro, está demasiado oscuro para leer. Groucho Marx EL ALFABETO GRIEGO El alfabeto griego fue derivado de los fenicios o un alfabeto semítico septentrional similar en el décimo siglo AdC. El alfabeto griego, por primera vez, incluía letras también para las vocales, de las que carecían los alfabetos semíticos (y a menudo aún faltan). En el alfabeto fenicio y en muchos de sus derivados, tales como el alfabeto griego, cada letra tiene su propio nombre. Esto está en contraste con los alfabetos etrusco y el latín. Los dos primeros nombres de letra griega son, por supuesto, el origen del mismo término alfabeto. En el décimo siglo AdC, el alfabeto griego Jónico o antiguo (oriental) consistió en las letras mayúsculas solamente. En el sexto siglo AdC varias letras fueron retiradas, mientras que las versiones minúsculas y algunos nuevos fueron agregadas, dando el alfabeto griego clásico. Aún más adelante, se introdujeron los acentos, índices y respiraciones. La Tabla 51 también da los valores representados por las letras cuando fueron utilizadas como números. Para este uso especial, las letras antiguas obsoletas se mantuvieron durante el periodo clásico; así también adquirieron formas minúsculas. La correspondencia Latina en la tabla es el estándar clásico, utilizado para escribir palabras griegas. La cuestión de la pronunciación correcta del griego ha sido acaloradamente debatida en los círculos especializados; la pronunciación tradicional de los erasmistas no corresponde a los resultados de la investigación lingüística, o al moderno Griego. En griego clásico, el sonido que hacen las ovejas era βη–βη. (la tradicional pronunciación erasmista erróneamente insiste en un η estrecha; la pronunciación griega moderna es diferente para β, que ahora se pronuncia 'v', y η, que ahora se pronuncia como 'i:' – una 'i' larga). Obviamente, la pronunciación del griego variaba de región a región y con el tiempo. Para el griego ático, el dialecto principal en el período clásico, la cuestión está resuelta ahora. La investigación lingüística ha demostrado que chi, phi y theta eran menos aspiradas que como generalmente se pronuncian en inglés y parecía más como los sonidos iniciales de 'cat', 'perfect' y 'tin'; además, zeta parece haber sido pronunciada como 'zd' como en 'buzzed'; en cuanto a las vocales, contrariamente a la tradición, épsilon es breve y cerrada mientras que eta es abierta y larga; ómicron es cerrada y corta mientras que omega es ancha y larga, e Ípsilon es realmente un sonido como un 'u' francés o alemán 'ü'. Las vocales griegas pueden tener respiraciones ásperas o lisas, subíndices y acentos agudos, graves, circunflejo o diéresis. Las respiraciones – utilizadas también en la ρ – determinan si la letra es aspirada. Acentos, que fueron interpretados como las tensiones en la pronunciación erasmista, representan en realidad lanzamientos. El Griego clásico podría tener hasta tres de estos signos agregados por letra; el Griego moderno no tiene más de uno. Otro descendiente del alfabeto griego * es el alfabeto cirílico, que se utiliza con *La escritura rúnica, también llamado Futhark o futhorc, un tipo de alfabeto utilizado en la Edad Media en Alemania, los países nórdicos y anglosajones, probablemente, también se deriva del alfabeto etrusco. El nombre se deriva de las seis primeras letras: f, u, th, a (odo), r, k (o c). La tercera letra es la letra thorn anterior; que a menudo se escribe 'Y' en Inglés Antiguo, como en 'Ye Olde Shoppe.' Del alfabeto rúnico el Inglés Antiguo también tomó la letra Wyn tomada para representar el sonido de la 'w', y la ya citada eth antes mencionado. (Las otras letras utilizadas en el Viejo Inglés - no desde futhorc - fueron los yogh, una antigua variante g, o Æ æ y ligaduras, las llamadas ash, o la OE y oe, llamadas ethel.) *El alfabeto griego es también el origen del alfabeto gótico, que fue definido en el siglo VI por Wulfila para la lengua gótica, incluso utilizando algún signo del latín y de futhorc. El alfabeto gótico no debe confundirse con las llamadas letras góticas, un estilo de alfabeto latino utilizado en toda Europa desde el siglo XI en adelante. En los países latinos, los caracteres góticos fueron reemplazados en el siglo XI por ‘Antiqua’, el antepasado del tipo en el que se establece este texto. En otros países, las letras góticas permanecieron en uso durante mucho más tiempo. Fueron utilizados en la escritura y en Alemania hasta 1941 cuando el gobierno Nazional Socialista los abolió de repente con el fin de cumplir con las demandas populares. Se mantienen en uso esporádico en toda Europa. En muchos libros de física y matemáticas, las letras góticas se utilizan para indicar las cantidades vectoriales. 307 ligeras variaciones, en muchas lenguas eslavas, como el ruso y búlgaro. Sin embargo, no existe ningún estándar para la transcripción del cirílico al latín, por lo que a menudo el mismo nombre ruso se escribe de manera diferente en distintos países o incluso en el mismo país en diferentes ocasiones. TABLA 51 Antiguo y clásico alfabeto Griego, y la correspondencia con letras Latinas y cifras Indias. CORRESP. ANTIGUO CLÁSICO NOMBRE A A α alfa a B B beta b β CLÁSICO NOMBRE 1 N N ν ni N 50 2 Ξ Ξ ξ xi x 60 3 O O o omicron o 70 4 Π Π π pi p 80 qoppa3 q 90 rho r 100 sigma4 s 200 t 300 1 Γ Γ…...γ gamma g, n Δ Δ…….δ delta d E E epsilon e …...5 ϘϙϞ w 6 P P ε Ϝ, ϛ Digamm a, stigma2 CORRESP. ANTIGUO ρ Z Z ζ zeta z……7 Σ Σ H H η eta e 8 T T τ tau Θ Θ θ theta th 9 Υ υ upsilon y, u5 400 I I ι iota i, j 10 Φ φ fi ph, f 500 K K κ kappa k 20 X χ chi Ch 600 Λ Λ λ lambda l Ψ…...ψ psi ps…..700 M M μ mi m Ω omega O …..800 sampi6 s 30 40 Ϡ ω 900 Las letras arcaicas regionales Yot, Sha y San no están incluidas en la tabla. La letra san era el antepasado de sampi. 1. Sólo antes de velares, es decir, antes de kappa, gamma, xi y chi. 2. 'digamma' es el nombre usado para las formas de tipo F. Se utiliza principalmente como una letra (pero también a veces en su forma minúscula, como un número), mientras que la forma y el nombre de 'estigma' se utiliza sólo para el número. Ambos nombres se derivaron de las formas respectivas; De hecho, el estigma es una versión medieval de la digamma uncial. El nombre 'estigma' se deriva del hecho de que la carta parece un Tau Sigma adjunta debajo de ella aunque por desgracia no en todas las fuentes modernas. El nombre original de la letra, también está dada por su pronunciación, era 'waw'. 3. La versión de qoppa que parece una z invertida y girada todavía está en uso ocasional en griego moderno. El Unicode llama a la versión 'koppa'. 4. La segunda variante de sigma se usa sólo al final de las palabras. 5. Uspilon corresponde a 'u' sólo como segunda letra en los diptongos. 6. En la antigüedad, la letra sampi fue colocada entre pi y qoppa. EL ALFABETO HEBREO Y OTROS TIPOS DE LETRAS (SCRIPTS). El alfabeto fenicio es también el origen del alfabeto consonántico hebreo o abjad. Sus primeras letras figuran en la tabla 52. Sólo la letra aleph se utiliza comúnmente en las matemáticas, aunque también se han propuesto otras. Cerca de un centenar de sistemas de escritura están en uso en todo el mundo. Los expertos los clasifican en cinco grupos. Los alfabetos fonémicos, tales como el Latín o el griego, tienen un signo para cada consonante y vocal. Los Abjads o alfabetos consonánticos, como el hebreo o árabe, tienen un signo para cada consonante (a veces incluso algunas vocales, como el aleph) y no escriben (la mayoría) de las vocales; la 308 mayoría de abjads se escriben de derecha a izquierda. Los Abugidas, también llamados alfabetos silábicos o alfasilabarios, como Balinés, birmano, devanagari, Tagalo, tailandés, tibetano o Laosiano, escriben las consonantes y vocales; cada consonante tiene una vocal inherente que puede ser cambiada a las demás por signos diacríticos. Los silabarios, como Hiragana o etíope, tienen un signo para cada sílaba del lenguaje. Por último, sistemas de escritura complejos, como chino, maya o los jeroglíficos egipcios, usan signos que tienen significado y sonido. Los sistemas de escritura pueden tener texto que fluye de derecha a izquierda, de abajo hacia arriba y pueden contar páginas del libro en el sentido opuesto al de este libro. TABLA 52 El origen del abjad hebreo . LETRA NOMBRE CORRESPONDENCI LETRA NOMBRE A CORRESPONDENCI A ℵ alef a 1 ‫ה‬ he H ℶ bet b 2 ‫ו‬ vav v ℷ guimel g 3 ‫ז‬ zain z ℸ dalet d 4 ‫ח‬ jet j 5 etc Aunque existen cerca de 7000 lenguas en la tierra, sólo hay alrededor de cien sistemas utilizados hoy en día en la escritura. Unos cincuenta de otros sistemas de escritura han caído fuera de uso. Para fórmulas físicas y matemáticas, sin embargo, el sistema de signos usados en este texto, basado en letras latinas y griegas, escritas de izquierda a derecha y de arriba a abajo, terminó siendo un estándar del mundo. Se utiliza independientemente del sistema de escritura del texto que la contiene. NÚMEROS Y DÍGITOS INDIOS Tanto las cifras como el método utilizado en este texto para escribir los números se originó en la India. Fueron llevados al Mediterráneo por los matemáticos árabes en la Edad Media. El sistema de numeración utilizado en este texto es, pues, mucho más joven que el alfabeto. ** Los números indios se hicieron populares en Europa gracias a Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci en su libro Liber Abaci o "Libro de Cálculo ', que publicó en 1202. Ese libro revolucionó las matemáticas. Cualquier persona con un papel y un lápiz (el lápiz aún no se había inventado) ahora era capaz de calcular y anotar los números tan grandes como la razón permitiera, o incluso mayores, y podía realizar cálculos con ellos. El libro de Fibonacci comenzó: Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur.** El método indio de escribir los números, el sistema de numeración indio, introdujo dos innovaciones: una grande, el sistema posicional, y otra pequeña, el dígito cero. El sistema posicional, como se describe por Fibonacci, era mucho más eficiente y terminó por sustituir completamente el anterior sistema de numeración romano, que escribe 1996 como IVMM o MCMIVC o MCMXCVI, así como al sistema de numeración griego, en el que se utilizaron las letras griegas para los números de la forma indicada en la Tabla 51 escribiendo así 1996 como ͵αϠϞϚ'. En comparación con estos sistemas, la numeración de la India es una tecnología mejor. El sistema de numeración indio resultó tan práctico que los cálculos hechos en papel eliminan por completo la necesidad del ábaco, que por lo tanto cayó en desuso. El ábaco está todavía en uso sólo en los países que no utilizan un sistema posicional para escribir números. El sistema de numeración indio también eliminó la necesidad de sistemas para representar números con *Leonardo di Pisa, llamado Fibonacci (bc 1175 Pisa, d. 1250 Pisa), matemático italiano, y el matemático más importante de su tiempo. ** 'Las nueve figuras de los indios son: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Con estas nueve cifras, y con este signo 0 que en árabe se llama zephirum, cualquier número puede ser escrito, como se demostrará abajo " 309 los dedos. Estos sistemas antiguos, que podían mostrar números de hasta 10 000 y más, han dejado un solo rastro: el término "dígitos" en sí, que se deriva de la palabra latina para el dedo. El poder del sistema de numeración posicional a menudo se olvida. Pero sólo un sistema numérico posicional permite cálculos mentales y hace posible prodigios de cálculo. *** LOS SÍMBOLOS USADOS EN ESTE TEXTO To avoide the tediouse repetition of these woordes: is equalle to: I will sette as I doe often in woorke use, a paire of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: = , bicause noe .2. thynges, can be moare. Robert Recorde*** Además de texto y números, los libros de física contienen otros símbolos. La mayoría de los símbolos se han desarrollado a lo largo de cientos de años, por lo que sólo los más claros y simples están ahora en uso. En este ascenso de la montaña, los símbolos utilizados como abreviaturas de magnitudes físicas están tomadas de los alfabetos latinos o griegos y siempre se definen en el contexto en que se utilizan. Los símbolos que designan unidades, constantes y partículas se definen en el Apéndice B y en el Apéndice B del volumen V. Los símbolos empleados en este texto son los de uso común. Incluso hay un estándar internacional para los símbolos en fórmulas físicas - ISO EN 80000, anteriormente ISO 31 - pero es vergonzosamente caro, prácticamente inaccesible e increíblemente inútil: los símbolos que figuran son los de uso común de todas formas, y su uso no es vinculante en cualquier lugar,¡ ni siquiera en la propia norma! ISO 80000 es un buen ejemplo de burocracia que ha salido mal. Los símbolos matemáticos utilizados en este texto, en particular, los de las operaciones y relaciones matemáticas, se dan en la siguiente lista, junto con su origen histórico. Los detalles de su historia han sido estudiados ampliamente por los estudiosos. TABLA 53 La historia de la notación y símbolos matemáticos SÍMBOLO SIGNIFICADO +, − Más, menos Johannes Widmann 1489; el signo más se deriva del latino “et” √ Leído como raiz cuadrada Usada por Christoff Rudolff en 1525; el signo evolucionó de un punto = Igual a {}, [], () Símbolos de reagrupamiento ORIGEN Robert Recorde 1557 Se inició su uso en el siglo XVI >,< Mayor que, menor que x Multiplicado por, veces an A elevado a la potencia n René Descartes 1637 x, y, z Coordenadas, incónitas René Descartes 1637 ax+by+c=0 ∞ d/dx, dx, ∫ y dx Constanres y ecuaciones con incógnitas infinito Derivada, diferencial, integral Thomas Harriot 1631 Inglaterra hacia 1600, popularizado por William Oughtred 1631 René Descartes 1637 John Wallis 1655 Gottfried Wilhelm Leibniz 1675 ****Actualmente, el menor tiempo para encontrar la raíz decimotercera (conjunto) de un número de cien dígitos (enteros), un resultado con 8 dígitos, que 11,8 segundos. Por otra parte, sobre la historia y el cómo de la modalidad de cálculos prodigiosos, véase la bibliografía. *** Robert Recorde (C 1510-.), matemático y médico Inglés. Murió en prisión debido a las deudas. La cita es de su The Whetstone of Witte, tro. Una imagen que muestra la cita se puede encontrar en en.wikipedia.org/wiki/Equals_sign. Por lo general, se sugirió que la cita es la primera introducción del signo igual; afirmaciones que los matemáticos italianos han utilizado el signo igual antes Recorde no se apoyan con ejemplos convincentes. 310 : Dividido por Gottfried Wilhelm Leibniz 1684 · Multiplicado por Gottfried Wilhelm Leibniz 1690 a1,, an índices Gottfried Wilhelm Leibniz 1690 ∼ Semejante a Gottfried Wilhelm Leibniz 1690 π Relación círculo diámetro William Jones 1706 φx Función de x Johann Bernoulli 1718 fx, f(x) Función de x Leonhard Euler 1734 n e Lim 1/n! ; limn→∞(1 + 1/n) Leonhard Euler 1736 f’ (x) Derivada de la función Giuseppe Lagrangia 1770 Δx,Σ Diferencia, suma Leonhard Euler 1755 Π producto Carl Friedrich Gauss 1812 i Unidad imaginaria +√-1 Leonhard Euler 1777 = Es distinto de Leonhard Euler ∂/∂x Derivada parcial, n! factorial Christian Kramp Δ Operador de Laplace Robert Murphy 1833 |x| Valor absoluto Karl Weiertrass 1841 ∇ Leído como nabla ⊂, ⊃ Inclusión de conjuntos ∪, ∩ ∈ ⊗ Unión e intersección de conjuntos Elemento de Introducido por William Hamilton en 1853 y Peter Tait en 1867, toma el nombre de un viejo instrumento musical egipcio Ernst Schröeder en 1890 Giuseppe Peano 1888 Giuseppe Peano 1888 Producto diádico o producto tensorial o producto externo ⟨ψ|, |ψ⟩ Bra-ket vectores de estado ⌀ Conjunto vacío [x] derivada de una forma cursiva de la letra d o de la letra “dey” del alfabeto cirílico por Adrien-Marie Legendre en 1786 y popularizado por Carl Gustav Jacobi en 1841 Unidad de medida de una magnitud x Desconocido Pauk Dirac 1930 André Weil como miembro del grupo Nicolás Bourbaki en los inicios del siglo XX Siglo XX Otros signos utilizados aquí tienen orígenes más complicados. El signo & es una contracción de latín et que significa 'y', como suele ser más claramente visible en sus variaciones, tales como , la forma cursiva común. Cada uno de los signos de puntuación utilizados en oraciones con alfabetos latinos modernos, tales como,. ; :! ? '' »« - () ... Tiene su propia historia. Muchos son de la antigua Grecia, pero el signo de interrogación es de la corte de Carlomagno, y los signos de exclamación aparecen por primera vez en el siglo XVI*. El signo @ o arroba probablemente deriva de una abreviatura medieval del latín ad, que * Para los paréntesis vea el bellísimo libro de J. Lennard, But I Digress, Oxford University Press, OAAO. 311 significa 'a', de forma similar a cómo el signo & evolucionó del latín et. En los últimos años, el signo smiley :-) y sus variaciones se han hecho populares. El smiley (la sonrisa) es, de hecho, una nueva versión del ‘punto de ironía’ que había sido anteriormente propuesto, sin éxito, por A. de Brahm (1868-1942). El signo de sección § data del siglo XIII en el norte de Italia, como demostró el paleógrafo alemán Paul Lehmann. Fue derivado de versiones ornamentales de la letra mayúscula C para capitulum, es decir, "cabecita" o "capítulo. 'La señal apareció por primera vez en los textos legales, en donde todavía se utiliza hoy en día, y luego se extendió a otros dominios. El signo de parágrafo (apartado) ¶ se derivó de una antigua forma más simple que parece una letra griega Γ, un signo que se utilizó en los manuscritos de la antigua Grecia hasta bien entrada la Edad Media para marcar el inicio de un nuevo párrafo de texto. En la Edad Media tomó la forma moderna, probablemente debido a una letra c de cápita que se añadió frente a ella. Uno de los signos más importantes de todos, el espacio en blanco que separa las palabras, se debió a influencias celtas y germánicas cuando estos pueblos empezaron a usar el alfabeto latino. Se convirtió en un lugar común entre los siglos noveno yXIII, en función de la lengua en cuestión. CALENDARIOS Las múltiples formas de medir el tiempo difieren mucho de una civilización a otra. El calendario más común, y el que se utiliza en este texto, es también una de las más absurdas, ya que es un compromiso entre las diversas fuerzas políticas que intentaron darle forma. En la antigüedad, las entidades localizadas independientes, tales como tribus o ciudades, preferían los calendarios lunares, porque el cronometraje lunar se organiza fácilmente a nivel local. Esto condujo a la utilización del mes como unidad de calendario. Los estados centralizados imponen calendarios solares, con base en el año. Los calendarios solares requieren astrónomos, y por lo tanto una autoridad central para financiarlos. Por diversas razones, los agricultores, políticos, recaudadores de impuestos, astrónomos y algunos, pero no todos, grupos religiosos querían el calendario para seguir el año solar con la mayor precisión posible. Los compromisos necesarios entre los días y los años son el origen de los días bisiestos. Los compromisos necesarios entre meses y años llevó a las diferentes longitudes de los meses, que son diferentes en los distintos calendarios. La estructura de años-meses más utilizada fue organizada hace más de 2000 años por César, y por lo tanto se llama el calendario juliano. El sistema fue destruido pocos años después: agosto se alargó a 31 días, cuando fue llamado así por Augusto. Originalmente, el mes tenía sólo 30 días de duración, pero con el fin de demostrar que Augusto era tan importante como César, después de que julio se denominara así por él, todas las longitudes de los meses en el segundo semestre del año se han cambiado, y febrero fue reducido en un día adicional. La semana es un invento de Babilonia. Un día de la semana babilónica era "malo" o "de mala suerte", por lo que era mejor no hacer nada en ese día. El ciclo de la semana moderna con su día de descanso desciende de esa superstición. (La forma en que la superstición astrológica y la astronomía cooperaron para determinar el orden de los días de semana se explica en la sección sobre la gravitación). Aunque con cerca de tres mil años de antigüedad, la semana fue totalmente incluida en el calendario juliano sólo en torno al año 300, hacia el final de el Imperio romano de Occidente. El último cambio en el calendario Juliano tuvo lugar entre 1582 y 1917 (en función del país), cuando se utilizaron las mediciones más precisas del año solar para establecer un nuevo método para determinar los días bisiestos, un método todavía está en uso hoy en día. Junto con un restablecimiento de la fecha y la fijación del ritmo semanas, esta norma se llama calendario gregoriano o simplemente calendario moderno. Es utilizado por la mayoría de la población mundial. A pesar de su complejidad, el calendario moderno le permite determinar el día de la semana de una fecha determinada de cabeza. Simplemente ejecute los siguientes seis pasos: 1. tome los dos últimos dígitos del año, y divida por 4, descartando cualquier fracción; 2. añada los dos últimos dígitos del año; 3. reste 1 para enero o febrero de un año bisiesto; 4. añada 6 para los años 2000 o 1600, 4 para los años 1700 o 2100, 312 2 para 1800 y 2200, y 0 para 1900 o 1500; 5. agregue el día del mes; 6. añadir el valor de la clave del mes, es decir 144 025 036 146 para EFM AMJ JAS OND. El resto de la división por 7 da el día de la semana, con la correspondencia 1-2-3-4-5-6-0 significando Domingo-Lunes-Martes-Miércoles-Jueves-Viernes-Sábado. * Cuándo comenzar a contar los años es una cuestión de elección. El método más antiguo no unido a las estructuras de poder político era el utilizado en la antigua Grecia, cuando los años se contaban a partir de los primeros juegos olímpicos. La gente solía decir, por ejemplo, que habían nacido en el primer año de la vigésimotercera Olimpiada. Más tarde, los poderes políticos siempre impusieron la cuenta de los años a partir de algún acontecimiento importante en adelante *. Tal vez merezca la pena considerar que se restablezca el conteo Olímpico? NOMBRES DE PERSONAS En el Lejano Oriente, como Corea**, Japón o China, los apellidos se ponen delante del nombre dado. Por ejemplo, el primer ganador japonés del Premio Nobel de la Física fue Yukawa Hideki. En la India, a menudo, pero no siempre, no hay un nombre de familia; en esos casos, se utiliza el primer nombre del padre. En Rusia, el nombre de la familia raramente se usa en la conversación, en cambio, se usa el primer nombre del padre. Por ejemplo, Lev Landau es tratado como Lev Davidovich (‘hijo de David’). Además, la transliteración rusa no ha sido estandarizada; varía de un país a otro y de tradición a tradición. Por ejemplo, se encuentra la ortografía Dostojewski, Dostoevskij Dostoievski y Dostoievski para la misma persona. En los Países Bajos, los nombres oficiales dados nunca se usan; cada persona tiene un primer nombre semioficial por el que se le llama. Por ejemplo, el nombre oficial de Gerard 't'Hooft es Gerardus. En Alemania, algunos apellidos tienen pronunciaciones especiales. Por ejemplo, Voigt se pronuncia 'Fohgt'. En Italia, durante la Edad Media y el Renacimiento, a las personas se les llamaba por su nombre de pila, como Miguel Ángel o Galileo, o con frecuencia por el nombre más un apellido personal que no era su apellido, pero se utilizó como uno, como Niccolò Tartaglia o Leonardo Fibonacci. En la antigua Roma, el nombre por el cual se conocen las personas es, con frecuencia, su apellido. El nombre de la familia era el segundo nombre. Por ejemplo, el nombre de la familia de Cicerón era Tulio. Por tanto, la ley introducida por Cicerón era conocido como "lex Tulia '. En la antigua Grecia, no había apellidos. La gente tenía un solo nombre. En el idioma Inglés, se utiliza la versión latina del nombre griego, como por ejemplo Demócrito. * *Recordando el resultado intermedio para el año en curso puede simplificarse la cosa aún más, sobretodo porque las fechas 4-4/66/8-8/10-10/12-12/9-5/5-9/7-11/11-7 y el último día de Febrero caen todos en el mismo día de la semana, es decir el resultado intermedio del ejercicio más 4. *El recuento actual de los años fue definido en la Edad Media mediante la fijación de la fecha de la fundación de Roma en el año 753 AdC, o 753 antes de la era común, y luego contando hacia atrás, de manera que los años AdC se comportan casi como los números negativos. Sin embargo, el año uno sigue directamente después del año 1 AdC, no hubo año 0. Algunas otras normas establecidas por el Imperio Romano explican diferentes siglas utilizadas en el texto: - c. es una abreviación Latina para circa y significa aproximadamente’; - i.e. es una abreviación Latina para id est y significa ’es decir’; - e.g. es una abreviación Latina per exempli gratia y significa ‘a título de ejemplo’; - ibid. es una abreviación Latina para ibidem y significa ’en el mismo lugar’; - inf. es una abreviación Latina per infra y significa ‘(ver) abajo’; - op. cit. es una abreviación Latina para opus citatum y signi.fia ‘la obra citada ’; - et al. es una abreviación Latina para et alii y significa ‘y otros’. A propósito, idem significa ‘lo mismo’ y passim significa ‘"Aquí y allá" o "en todas partes"’. Muchos términos usados en física, como frecuencia, aceleración, velocidad, masa, fuerza, cantidad de movimiento, inercia, gravitación y temperatura, son derivadas del Latín. En realidad, se puede decir que el lenguaje de la ciencia ha sido latino durante más de dos mil años. En la época romana era el vocabulario latino con la gramática latina, en los tiempos modernos se pasó al vocabulario latino con gramática francesa, luego por un breve período el vocabulario latino con gramática alemana, después de lo cual fue cambiado al vocabulario latino con la gramática inglesa / americana. Muchas unidades de medida se remontan a la época romana, como se explica en el siguiente apéndice. Incluso el encaprichamiento con términos técnicos griegos, como se muestra en conceptos tales como 'giroscopio', 'entropía', o 'protón', se remonta a la época romana. ** Corea se vio obligado a cambiar temporalmente su ortografía a 'Korea' por el ejército japonés debido a que los generales no podían soportar el hecho de que Corea precediera a Japón en el alfabeto. No es broma. 313 ¿ABREVIATURAS Y EPÓNIMOS O CONCEPTOS? Frases como las siguientes son el flagelo de la física moderna: • La paradoja EPR en la formulación Bohm quizás se puede resolver utilizando el enfoque GRW, usando la aproximación WKB de la ecuación de Schrodinger. El uso de este vocabulario es la mejor manera de hacer que el lenguaje sea ininteligible para extraños. (De hecho, la frase no tiene sentido de todos modos, debido a que el “enfoque GRW” es erróneo.) En primer lugar, la frase usa abreviaturas, lo cual es una lástima. Además de esto, la frase utiliza nombres de personas para caracterizar los conceptos, es decir, utiliza epónimos. Originalmente, los epónimos fueron concebidos como homenajes a destacados logros. Hoy, cuando la formulación radical de nuevas leyes o variables se ha convertido en casi imposible, la propagación de epónimos inteligibles a un número cada vez menor de personas simplemente refleja un cada vez más ineficaz camino a la fama. Los epónimos son una prueba de la falta de imaginación del científico. Evitémoslos tanto como sea posible en nuestro caminar y demos nombres comunes a las ecuaciones matemáticas o a las entidades siempre que sea posible. Los nombres de las personas se utilizan después como aposiciones a estos nombres. Por ejemplo, la 'ecuación de movimiento de Newton' nunca se llamó 'la ecuación de Newton'; las 'ecuaciones de campo de Einstein' se utilizan en lugar de "las ecuaciones de Einstein ', y' la ecuación de Heisenberg de movimiento" se utiliza en lugar de "la ecuación de Heisenberg. Sin embargo, algunas excepciones son inevitables: algunos términos utilizados en la física moderna no tienen alternativas reales. La constante de Boltzmann, la escala de Planck, la longitud de onda de Compton, el efecto Casimir y grupos de Lie son ejemplos. En compensación, el texto se asegura de que usted pueda buscar las definiciones de estos conceptos utilizando el índice. Además, el texto trata de proporcionar una lectura placentera. 314 Apéndice B UNIDADES, MEDIDAS Y CONSTANTES L as medidas son comparaciones con patrones. Los patrones o estándares están basados en unidades. Muchos sistemas de unidades diferentes han sido usados en todo el mundo a lo largo de la historia. La mayoría de estos estándares confieren poder a la organización que está a cargo de ellos. Tal poder puede ser mal utilizado, lo que es el caso hoy en día, por ejemplo en la industria de la computación, y así fue en el lejano pasado. La solución es la misma en ambos casos: organizar una norma independiente y global. Para las unidades de medida, esto ocurrió en el siglo XVIII: a fin de evitar el mal uso por parte de instituciones autoritarias, para eliminar los problemas con patrones diferentes, variables e irreproducibles, y esto no es una broma - para simplificar la recaudación de impuestos y para hacerla más justa, un grupo de científicos, políticos y economistas acordaron un conjunto de unidades . Se llama el Sistema Internacional de Unidades , abreviado SI, y se define por un tratado internacional , la “Convention du Metre”. Las unidades son gestionadas por una organización internacional, la “Conférence Général de Poids et Mesures”, y sus organizaciones hijas, la " Comisión Internacional de Pesas y Medidas " y la "Oficina Internacional de Pesas y Medidas " ( BIPM ) . Todo se originó en la época inmediatamente anterior a la revolución francesa. UNIDADES DEL SI Todas las unidades del SI se construyen a partir de siete unidades básicas, cuyas definiciones oficiales, traducidas del francés, se indican a continuación , junto con las fechas de su formulación: • El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. ( 1967 ) * • El metro es la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/ 299 792 458 de segundo. ' ( 1983 ) * • El kilogramo es la unidad de masa; es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo. (1901 ) * • El amperio es la corriente constante que, circulando en dos conductores paralelos, rectilíneos , de longitud infinita , de sección circular despreciable y separados 1 metro en el vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2⋅10-7 newton por metro de longitud. (1948 ) * • El kelvin , unidad de temperatura termodinámica , es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. (1967) * • El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. (1971 ) * • La candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada , de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540⋅1012 hercios y tiene una intensidad radiante en esa dirección de ( 1/683 ) watt por estereorradián. (1979)** ** Los símbolos respectivos son s, m, kg, A, K, mol y cd. El prototipo internacional es un cilindro de platino-iridio conservado en el BIPM en Sèvres, Francia. Para obtener más detalles sobre los niveles de cesio, consulte un libro sobre física atómica. El rango de temperatura y temperatura Celsius es como: y θ/° C = T / K - 273.15; observe la pequeña diferencia con el número que aumenta en la definición de kelvin. SI también dice: 'Cuando se usa el mol, las entidades elementales deben especificarse y ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o agrupaciones específicas de tales partículas. En la definición de mol, se entiende que los átomos de carbono 12 están libres, en reposo y en su estado básico. En la definición de la candela, la frecuencia de la luz corresponde a 555.5 nm, es decir, al color verde, alrededor de la longitud de onda donde el ojo es más sensible. 315 Notemos que las unidades de tiempo y longitud se definen como ciertas propiedades de un ejemplo de movimiento estándar, es decir, la luz. En otras palabras, también la Conferencia General de Pesas y Medidas remarca que la observación del movimiento es un requisito previo para la definición y construcción del tiempo y el espacio. El movimiento es el fundamento de toda observación y de toda medición. Por cierto, el uso de la luz en las definiciones fue propuesto ya en 1827 por Jacques Babinet. ** A partir de estas unidades básicas, se definen todas las demás unidades por multiplicación y división. Por lo tanto, todas las unidades del SI tienen las siguientes propiedades: • Las Unidades del SI forman un sistema con la precisión del estado de la técnica en cada momento: todas las unidades se definen con una precisión que es mayor que la precisión de las medidas de uso común. Por otra parte, regularmente se mejora la precisión de las definiciones. La presente incertidumbre relativa de la definición del segundo es de alrededor de 10-14, para el metro sobre 10-10, para el kilogramo cerca de 10-9, para el amperio 10-7, para el mol menos de 10-6, para el kelvin 10-6 y para la candela 10-3. • Las Unidades del SI forman un sistema absoluto: todas las unidades se definen de tal manera que puedan ser reproducidos en cada laboratorio equipado adecuadamente, de forma independiente, y con alta precisión. Esto evita en lo posible cualquier uso indebido de la agencia de certificación. (El kilogramo, siendo definido con la ayuda de un artefacto, es la última excepción a este requisito, una amplia investigación está en marcha para eliminar este artefacto de la definición - una carrera internacional que llevará unos cuantos años más. Hay dos enfoques: contar partículas, o la fijación de ħ. El primero se puede lograr en los cristales, y el segundo utilizando cualquier fórmula en la que aparezca ħ, tal como la fórmula de la longitud de onda de De Broglie o el efecto Josephson.) • Las Unidades del SI forman un sistema práctico: las unidades básicas son cantidades de magnitudes cotidianas. Las Unidades utilizadas con frecuencia tienen nombres y abreviaturas estándar. La lista completa incluye las siete unidades básicas que acabamos de dar, las unidades suplementarias, las unidades derivadas y las unidades admitidas. Las unidades SI suplementarias son dos: la unidad de ángulo (plano), definida como la relación de la longitud del arco al radio, es el radián (rad). Para el ángulo sólido, definido como la relación entre el área subtendida al cuadrado del radio, la unidad es el estereorradián (sr). Las unidades derivadas con nombres especiales, en su ortografía oficial, es decir, sin letras mayúsculas ni acentos, son los siguientes: NOMBRE ABREVIATURA NOMBRE hertz Hz = 1/s newton N = kgm/s2 pascal Pa = N/m2 = kg/ms2 joule J = Nm = kgm2/s2 watt W = kgm2/s3 coulomb C = A·s farad F = As/V = A2s4/kgm2 siemens S = 1/Ω tesla T = Wb/m2 = kg/As2 = kg/Cs 2 3 volt V = kgm /As ohm Ω = V/A = kgm2/A2s3 2 2 ABREVIATURA weber Wb = Vs = kgm /As henry H = Vs/A = kgm2/A2s2 degree Celsius °C (ver definición de kelvin) lumen lm = cd sr lux lx = lm/m2 = cd sr/m2 becquerel Bq = 1/s gray Gy = J/kg = m2/s2 sievert Sv = J/kg = m2/s2 katal kat = mol/s Notemos que en todas las definiciones de las unidades, el kilogramo sólo aparece para las potencias de 1, 0 y -1. Desafío 663 s ¿Puede intentar encontrar la razón? Las unidades ajenas al SI admitidas son: minutos, horas, días (para el tiempo), *Jacques Babinet (1794-1874),físico francés que pubñicó un importante trabajo en óptica. 316 el grado 1º = π/180 rad, el minuto 1' = π/10 800 rad, segundo 1'' = π/648 000 rad (para ángulos), el litro y la tonelada. Cualesquiera otras unidades deben ser evitadas. Todas las unidades SI se hacen más prácticas gracias a la introducción de nombres y abreviaturas estándar para las potencias de diez, los llamados prefijos*: POTENCIA NOMBRE POTENCIA NOMBRE POTENCIA NOMBRE POTENCI NOMBRE A 101 deca da 10−1 deci d 1021 Zetta Z 10−21 zepto z 102 hecto h 10−2 centi c 1024 Yotta Y 10−24 yocto y −3 10−27 xenno x −30 3 10 kilo k 10 mili m 106 Mega M 10−6 micro μ 9 −9 Prefijos no oficiales 1027 30 Xenta X 10 Giga G 10 nano n 10 Wekta W 10 weko w 1012 Tera T 10−12 pico p 1033 Vendekta V 10−33 vendeko v 1015 Peta P 10−15 femto f 1036 Udekta U 10−36 udeko u 1018 Exa E 10−18 atto a • Las Unidades del SI forman un sistema completo : abarcan de manera sistemática el conjunto completo de observables de la física. Por otra parte , fijan las unidades de medida de todas las otras ciencias puras también. • Las Unidades del SI-forman un sistema universal que se puede utilizar en el comercio, en la industria, en el comercio, en casa, en educación y en investigación. incluso podría ser utilizado por las civilizaciones extraterrestres, si existieran. • Las Unidades del SI forman un sistema autoconsistente: el producto o cociente de dos unidades del SI es también una unidad del SI. Esto significa que, en principio, la misma abreviatura, por ejemplo, 'SI', podría ser utilizado para cada unidad. Las unidades del SI no son el único conjunto posible que pueda cumplir con todos estos requisitos, pero es el único sistema existente, que lo hace. * En un futuro próximo, el BIPM tiene previsto utilizar el cubo de las constantes físicas, que se muestran en la Figura 1, para definir las unidades del SI. Esto implica la fijación de los valores de E y K, además de la ya fijado valor de c. La única excepción será la fijación de una unidad de tiempo básica con la ayuda de una transición atómica, no con la constante G, porque esta constante no se puede medir con alta precisión. Los detalles de este futuro, nuevo SI se presentan en www.bipm.org/en/measurement-units/new-si/ y www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_dra._chOoc.pdf. EL SIGNIFICADO DE LA MEDICIÓN Cada medición es una comparación con un patrón estándar. Por lo tanto, cualquier medición requiere materia para realizar el patrón (incluso para un patrón estándar de velocidad), y radiación para lograr la comparación. El concepto de la medición por lo tanto asume que existen materia y radiación y se puede separar claramente una de otra. ** Algunos de estos nombres son inventados ( yocto suene similar al latin octo 'ocho' , zepto por sonar de manera similar al latín septem , yotta y zetta a parecerse a ellos, y exa peta a suenan como las palabras griegas ἑξάκις y πεντάκις para ' seis veces "y" cinco veces ", los no oficiales al sonido similar a las palabras griegas para nueve, diez, once y doce) , algunos son de danés / noruego ( atto de atten « dieciocho » , femto de femten « quince » ) ; algunos son del latín (de mille ' mil ' , de centum ' cien ' , de decem ' diez ' , de nanus ' enano ' ) , algunos son del italiano (de piccolo "pequeño" ) , algunos son griego (micro es de μικρός ' pequeña ' , deca / deka de δέκα ' diez ' , hecto de ἑκατόν ' cien ' , el kilo de χίλιοι ' mil ' mega de μέγας ' grande ' , giga de γίγας ' gigante ' , tera de τέρας ' monstruo ' ) . Desafío 664 e Traducir : Estaba atrapado en un atasco de tráfico , tal que necesitaba un microsiglo para recorre un picoparsec y el consumo de combustible del mi coche era dos décimas de un milímetro cuadrado. 317 Cada medición es una comparación. La medición de este modo implica que existen espacio y el tiempo, y que se diferencian uno de otro. Cada medida produce un resultado de la medición. Por lo tanto, cada medición implica el almacenamiento del resultado. El proceso de la medición de este modo implica que la situación antes y después de la medición se puede distinguir. En otros términos, todos los procesos de medición son procesos irreversibles. Cada medición es un proceso. Así, cada medición requiere una cierta cantidad de tiempo y una cierta cantidad de espacio. Todas estas propiedades de las mediciones son sencillas pero importantes. Tenga cuidado con cualquiera que lo niegue. CURIOSIDADES Y DESAFÍOS DIVERTIDOS ACERCA DE LAS UNIDADES No usar las unidades del SI puede ser costoso. En 1999 , la NASA perdió un satélite en Marte debido a que algunos programadores de software han utilizado unidades provinciales en lugar de las unidades del SI en la parte del código. Como resultado del uso de pies en lugar de metros, el Mars Climate Orbiter se estrelló en el planeta , en lugar de orbitarlo, la pérdida fue de alrededor de 100 millones €. * ** El segundo no corresponde a 1/86 400 º del día, aunque lo hizo en el año 1900, la Tierra ahora tarda unos 86 400.002 s para una rotación, por lo que el Servicio Internacional sobre la Rotación de la Tierra debe presentar regularmente un segundo intercalar para asegurarse de que el Sol esté en el punto más alto en el cielo a las 12 en punto. ** El tiempo así definido se llama tiempo universal coordinado. La velocidad de rotación de la Tierra también cambia de forma irregular en el día a día debido a las condiciones meteorológicas, la velocidad de rotación media, incluso los cambios de invierno a verano, debido a los cambios en los casquetes polares, y además de que disminuye el promedio en el tiempo, debido a la fricción producida por las mareas. La tasa de inserción de los segundos intercalares por tanto, es superior a una vez cada 500 días, y no es constante en el tiempo. ** El reloj más preciso jamás construido, usaba microondas, tenía una estabilidad de 10 -16 durante un tiempo de ejecución de 500 s. Para periodos de tiempo más largos, el registro en 1997 fue de unos 10 -15, pero valores de alrededor de 10-17 parecen al alcance tecnológico. La precisión de los relojes está limitada a cortos tiempos de medición por el ruido, y para medir los tiempos de largo por derivas, es decir, por los efectos sistemáticos. La región de máxima estabilidad depende del tipo de reloj, por lo general se encuentra entre 1 ms para relojes ópticos y 5 000 s para el máser. Los púlsares son el único tipo de reloj para el que esta región no se conoce todavía, ciertamente se encuentra en más de 20 años, el tiempo transcurrido desde su descubrimiento hasta el momento de la escritura de este texto. ** La medida con menor precisión de las constantes fundamentales de la física son la constante gravitacional G y los constantes de acoplamiento fuertes aS. Aún son conocidas con menos precisión la edad del universo y su densidad (véase la tabla 57 ) . ** La precisión de las mediciones de masa de sólidos está limitado por efectos tan simples como la adsorción ** Además de las unidades internacionales , también hay unidades provinciales . La mayoría de las unidades provinciales todavía en uso son de Origen romano. La milla viene de milia passum, que solía ser mil (dobles) pasos de unos 1.480 mm cada uno; hoy en día una milla náutica, que una vez fue definida como minuto de arco en la superficie de la Tierra, es exactamente 1.852 m). La pulgada proviene de uncia / onzia ( doceavo - ahora de un pie ) . La libra (de pondéré ' sopesar ' ) se utiliza como traducción de libra - equilibrio - que es el origen de su abreviatura lb. Incluso el hábito de contar en docenas en lugar de las decenas es de origen romano. Estas y todas las otras unidades de entretenimiento similares - como el sistema en el que todas las unidades comienzan con ' f' y que utiliza furlong / quincena como unidad de velocidad - ahora se definen oficialmente como múltiplos de las unidades del SI . ** Esta historia revivió una vieja pero falsa leyenda urbana que dice que sólo tres países en el mundo no utilizan unidades SI : Liberia , los EE.UU. y Myanmar. * Su sitio web en hpiers.obspm.fr da más información sobre los detalles de estas inserciones, como lo hace maia.usno.navy.mil, uno de los pocos sitios web militares útiles. Ver también www.bipm.fr, el sitio de la BIPM. 318 de agua. ¿Puede estimar la masa de una monocapa de agua - una capa con un grosor de una molécula - en un peso de metal de 1 kg? ** En el milenio anterior, la energía térmica utilizada se medía usando la unidad caloría , escrito como cal . 1 cal es la energía necesaria para calentar 1 g de agua en 1 K. Para confundir las cosas, 1 kcal se escribe a menudo 1 Cal . ( También se habló de una caloría grande y otra pequeña). El valor de 1 kcal es 4,1868 kJ . ** Las Unidades del SI se adaptan a los seres humanos : los valores de los latidos del corazón , la altura de los seres humanos , su peso, la temperatura y sustancia humana no están más que un par de órdenes de magnitud cerca del valor unitario. Las unidades del SI así ( más o menos ) confirman lo que dijo Protágoras hace 25 siglos : «El hombre es la medida de todas las cosas». ** Algunos sistemas de unidades se adaptan especialmente mal a los seres humanos. El más infame es el tamaño del zapato S. Es un número puro calculado como SFrancia = 1,5 cm-1 (l + (l ± 1) cm) SEuropa central = 1,5748 cm-1 (l + (1 ± 1) cm) SHombres Anglosaxon = 1,181cm-1 (cm l + (1 ± 1)) - 22 (120) donde l es la longitud de un pie y la longitud de corrección depende de la empresa de fabricación. Además, la fórmula anglosajona no es válida para las mujeres y los niños, donde el primer factor depende, por razones de marketing, tanto del fabricante como del tamaño en sí. El estándar ISO para el tamaño del zapato requiere, como era de esperar, utilizar la longitud de pie en milímetros. ** La tabla de prefijos del SI cubre 72 órdenes de magnitud. ¿Cuántos prefijos adicionales se necesitarán? Incluso una lista ampliada incluirá sólo una pequeña parte de la infinita gama de posibilidades. ¿La Conferencia General de Pesas y Medidas tendrá que continuar para siempre, definiendo un número infinito de prefijos del SI? ¿Por qué? Desafío 667 s. El filósofo francés Voltaire, después de reunirse con Newton , publicó la ya famosa historia de que la conexión entre la caída de objetos y el movimiento de la Luna fue descubierta por Newton cuando vio una manzana que cayó de un árbol. Más de un siglo más tarde, justo antes de la Revolución Francesa, un comité de científicos decidió tomar como unidad de fuerza, precisamente, la fuerza ejercida por la gravedad sobre una manzana estándar , y ponerle el nombre del científico Inglés . Después de un extenso estudio , se encontró que la masa de la manzana estándar era 101,9716 g ; su peso fue llamado 1 Newton . Desde entonces , los visitantes del museo en Sèvres , cerca de París han podido admirar el metro patrón , el kilogramo estándar y la manzana estándar. * LA PRECISIÓN Y LA EXACTITUD DE LAS MEDICIONES Las medidas son la base de la física. Toda medida tiene un error. Los errores son debido a la falta de precisión o a la falta de exactitud. La precisión significa lo bien que se reproduce un resultado cuando se repite la medición; exactitud es el grado en que una medición corresponde al valor real. La falta de precisión se debe a errores accidentales o al azar, estos se miden mejor por la desviación estándar, σ normalmente abreviada, que se define a través n σ2 = 1 ( xi − x̄)2 ∑ n−1 i=1 donde x es el promedio de la xi mediciones. (Desafío 668 s ¿Se imagina por qué se utiliza n - 1 en la fórmula en lugar de n?) Para la mayoría de los experimentos, la distribución de los valores de medición tiende a una distribución *Para que quede claro, esto es una broma; no existe la manzana estándar. Sin embargo no es una broma, que los propietarios de varios manzanos en Gran Bretaña y Estados Unidos los declaran descendientes, replantándolos, del árbol original bajo la cual Newton tuvo su intuición. También se realizaron pruebas de ADN para determinar si todos estos se derivan del mismo árbol. El resultado fue, por supuesto, que el árbol del MIT, a diferencia de los británicos, es falso. 319 normal, también llamada distribución gaussiana, cuando se aumenta el número de mediciones. La distribución, que se muestra en la Figura 250, se describe por la expresión 2 N (x)≈e −(x− x̄) 2 2σ El cuadrado σ2 de la desviación estándar es también llamada la varianza. Desafío 669 e para una distribución gaussiana de los valores de medición, 2,35σ es la anchura a media altura. La falta de precisión se debe a errores sistemáticos, éstos, por lo general, sólo se pueden estimar. Esta estimación se añade a menudo a los errores aleatorios para producir un error experimental total, a veces también llamada la incertidumbre total. El error relativo o la incertidumbre es la relación entre el error y el valor medido. Por ejemplo, una medida profesional dará un resultado como 0,312 (6) m. El número entre paréntesis es la desviación típica σ, en unidades de los últimos dígitos. Desafío 670 e Igual que antes, se supone una distribución de Gauss de los resultados de medición. Por lo tanto, un valor de 0,312 (6) m implica que se espera que el valor real a medir - dentro 1σ con 68,3% de probabilidad, por tanto, en este ejemplo, dentro de 0,312 ± 0,006 m; - dentro de 2σ con 95,4% de probabilidad, por tanto, en este ejemplo, dentro de 0,312 ± 0,012 m; - Dentro de 3σ con 99,73% de probabilidad, por tanto, en este ejemplo, dentro de 0,312 ± 0,018 m; - Dentro de 4σ con 99,9937% de probabilidad, por tanto, en este ejemplo, dentro de 0,312 ± 0,024 m; - Dentro de 5σ con 99,999 943% de probabilidad, por tanto, en este ejemplo, dentro de 0,312 ± 0,030 m; - Dentro de 6σ con 99.999 999 80% de probabilidad, por tanto, en este ejemplo, dentro de 0,312 ± 0,036 m; - Dentro de 7σ con 99,999 999 999 74% de probabilidad, por tanto, en este ejemplo, dentro de 0,312 ± 0,041 m. Desafío 671 s (¿Los últimos números tienen sentido?) Tenga en cuenta que las desviaciones estándar tienen un dígito, usted tendría que ser un experto mundial para usar dos, y un tonto para usar más. Si no se da una desviación estándar, se supone un (1). Como resultado, entre los profesionales, 1 km y 1000 m no son la misma longitud! ¿Qué sucede con los errores cuando se suman o restan dos valores de medición A y B? Si todas las mediciones son independientes - o no correlacionadas - la desviación estándar de la suma y de σ= σ2A +σ2B la diferencia está dada por Tanto para el producto o cociente de dos valores medidos y no correlacionados C y D, el resultado es ρ= ρ2A +ρ2B , donde los términos ρ son las desviaciones estándar relativas. Desafío 672 s Suponga usted mide que un objeto se mueve 1,0 m en 3,0 s: ¿cuál es el valor de la velocidad medida? √ √ FIGURA 250 Un experimento de precisión y su distribución de medición. La precisión es alta si el ancho de la distribución es estrecho; la precisión es alta si el centro de distribución está de acuerdo con el valor real. LÍMITES A LA PRECISIÓN ¿Cuáles son los límites de la exactitud y precisión ? No hay manera, incluso en principio , de medir una longitud x con una precisión mayor que alrededor de 61 dígitos, porque en la naturaleza , la relación entre la mayor y la más pequeña longitud medible es Δx / x > LPlanck / dhorizonte = 10-61 . 320 ( Desafío 673 e ¿Es esta relación válida también para la fuerza o para el volumen? ) En el volumen final de nuestro texto, el estudio de los relojes y metros rígidos fortalece este límite teórico. Pero no es difícil deducir límites prácticos más estrictos. Ninguna máquina imaginable puede medir cantidades con una precisión superior a la medición del diámetro de la Tierra entre la longitud más pequeña jamás medida, sobre 10-19 m , es decir cerca de 26 dígitos de precisión . El uso de un límite más realista de una máquina de tamaño 1000 m implica un límite de 22 dígitos. Si , como se predijo anteriormente, medidas de tiempo realmente lograran 17 dígitos de precisión , entonces se acercan al límite práctico , ya que además de tamaño, existe una restricción práctica adicional: el costo. De hecho , un dígito adicional en la precisión de medición a menudo significa un dígito adicional en el coste del equipo. LAS CONSTANTES FÍSICAS En la física, las observaciones de carácter general se deducen de las más fundamentales. Como consecuencia de ello, muchas mediciones se pueden deducir de las más fundamentales. Las medidas más fundamentales son las de las constantes físicas. Las siguientes tablas muestran los mejores valores del mundo de las constantes físicas más importantes y propiedades físicas de las partículas - en las unidades del SI y en algunas otras unidades comunes publicados en las referencias estándar. Los valores son los promedios mundiales de las mejores mediciones realizadas hasta el presente. Como de costumbre, los errores experimentales, incluyendo los errores sistemáticos, tanto aleatorios como estimados, se expresan dando la desviación estándar en los últimos dígitos. De hecho, detrás de cada uno de los números en las siguientes tablas hay una larga historia digna de ser contada, pero para las que no hay suficiente espacio aquí . TABLA 54 Constantes físicas básicas CANTIDAD SÍMBOLO VALORES EN UNIDADES SI INCERTIDUMBREa Constantes que definen las unidades de medida SI Velocidad de la luz en el vacíoc Permeabilidad del vacío c c μ0 299 792 458m/s 4π⋅10−7 H/m =1,256 637 061 435 μH/m 0 0 Permitividad del vacíoc ε0 = 1/μ0c2 8, 854 187 817 620 ... pF/m 0 Constante de Planck original h 6, 626 069 57(52)⋅10−34 Js 4,4⋅10−8 Constante de Planck reducida, cuanto de acción ℏ 1, 054 571 726(47)⋅10−34 Js 4,4⋅10−8 Carga del positrón e 0,160 217 656 5(35) aC 2, 2⋅10−8 Constante de Boltzmann k 1,380 6488(13)⋅10−23 J/K 9,1⋅10−7 Constante gravitacional G 6,673 84(80)⋅10−11 Nm2/kg2 1, 2⋅10−4 κ= 8πG/c4 2,076 50(25)⋅10−43 s2/kgm 1, 2⋅10−4 Constante de acoplamiento gravitacional Constantes fundamentales (de origen desconocido) Número de dimensiones espacio-temporales 3+1 0b Constante de estructura finad o constante de acoplamiento α= e2/4πμ0ℏc =gem (me2c2) 1/137, 035 999 074(44) =0,0072973525698 3, 2⋅10−10 Constante de acoplamiento de Fermid o constante de acoplamiento débil GF/(ℏc)3 αw(MZ) = g2w/4π 1, 166 364(5)⋅10−5 GeV−2 1/30,1(3) 4,3⋅10−6 321 Ángulo de mezcla débil Constante de acoplamiento fuerte Matriz de mezcla de quark CKM Invariente Jarlskog Matriz de mezcla de neutrinos PMNS sin2 θW(MS) 0, 231 24(24) 1, 0⋅10−3 αs(MZ) = g s /4π 0, 118(3) 25⋅10−3 2 |V| J P (0, 97428(15) 0, 2252(7) 0, 00862(26) 0, 2253(7) 0, 00347(16) 0, 97345(16) 0, 0410(11) 0, 0403(11) 0,999152(45)) 2,96(20)⋅10−5 0, 82 038i −0,36 + 0,020i 0, 44 + 0, 026i 0, 55 −0, 15 + 0, 0, 70 + 0, 013i −0, 45 + 0, 017i 0,61 0,77 Masa de partículas elementales (de origen desconocido) Masa de electrón me 9,109 38291(40) ⋅ 10−31 kg 5, 485 799 0946(22) ⋅ 10−4 u 0, 510 998 928(11) MeV 4, 4⋅10−8 4, 0⋅10−10 2 2,2·10−8 Masa de muón mμ 1, 883 531 475(96) ⋅ 10−28 kg 0, 113 428 9267(29) u 105, 658 3715(35)MeV 5, 1⋅10−8 5, 1⋅10−8 3.4⋅10−8 Masa Tau mτ 1, 776 82(16)GeV/c2 4,4⋅10−8 Masa neutrino electrónico mν < 2 eV/c2 Masa neutrino muónico mν < 2 eV/c2 masa neutrino tau mν < 2 eV/c2 Masa quark up u 1,8 a 3,0 MeV/c2 Masa quark down d 4,5 a 5,5 MeV/c2 Masa quark extraño s 95(5) MeV/c2 Masa quark encanto c 1, 275(25) GeV/c2 Masa quark bottom b 4, 18(17) GeV/c2 Masa quark top t 173, 5(1, 4) GeV/c2 Masa del fotón γ < 2 ⋅ 10−54 kg Masa bosón W W± 80.385(15) GeV/c2 Masa bosón Z Z0 91.1876(21) GeV/c2 Masa de Higgs H 126(1) GeV/c2 Masa del gluón g1...8 c. 0 MeV/c2 Masa del protón mp 1, 672 621 777(74) ⋅ 10−27 kg 1, 007 276 466 812(90) u 938, 272 046(21) MeV 4,4⋅10−8 8,9⋅10−11 2,2⋅10−8 Masa del neutrón mn 1, 674 927 351(74) ⋅ 10−27 kg 1, 008 664 916 00(43) u 939, 565 379(21) MeV 4,4⋅10−8 4,2⋅10−10 2,2⋅10−8 1,660 538 921(73) yg 4,4⋅10−8 Masa de partículas compuestas Unidad de masa atómica mu = m 12C/12 =1u a. Incertidumbre: desviación estándar de los errores de medición. 322 b. Sólo se mide a partir de 10 -19 m hasta 1026 m. c. Definición constante. d. Todas las constantes de acoplamiento dependen de la transferencia de 4-momento, como se explica en el apartado de renormalización. Constante de estructura fina es el nombre tradicional para la constante de acoplamiento electromagnético gem en el caso de una transferencia de 4- momento de Q2 = c2m2e, que es la más pequeña posible. A mayores transferencias de momento tiene valores más grandes, por ejemplo, gem (Q2 = c2m2W) ≈ 1/128. Por el contrario, la constante de acoplamiento fuerte tiene valores más bellos a mayores transferencias de momento, por ejemplo, αS (34GeV) = 0,14 (2). En principio , todas las propiedades cuantitativas de la materia se pueden calcular con la teoría cuántica y los valores de ciertas constantes físicas. Por ejemplo, el color , la densidad y la propiedad elástica se pueden predecir usando las ecuaciones de la física de partículas del modelo estándar y los valores de las constantes básicas. ¿Por qué todas estas constantes fundamentales tienen los valores que tienen? Para cualquier constante básica con una dimensión, tales como el cuanto de acción ℏ el valor numérico sólo tiene significado histórico. Es 1,054⋅10-34 Js debido a la definición SI del julio y del segundo. La pregunta de por qué el valor de una constante dimensional no es más grande o más pequeño, por lo tanto requiere siempre comprender el origen de algunos números adimensionales que da la relación entre la constante y la unidad natural correspondiente que es definida con c, G, ℏ y α. Más detalles y los valores de las unidades naturales se darán posteriormente. Comprender el tamaño de los átomos, las personas, los árboles y las estrellas, la duración de los procesos moleculares y atómicos, o la masa de núcleos y montañas, implica la comprensión de la relación entre estos valores y la correspondiente unida natural. La clave para entender la naturaleza por lo tanto es la comprensión de todas las relaciones, y por tanto todas las constantes adimensionales. La búsqueda de la comprensión de todos las relaciones, incluyendo la constante de estructura fina α, se completa sólo en el volumen final de nuestra aventura. Las constantes básicas producen las siguientes observaciones útiles de alta precisión. TABLA 55 Costantes fisicas derivadas. CANTIDAD SÍMBOLO VALOR EN UNIDADES SI INCERTIDUMBRE Resistencia onda en el vacío Z0 = (μ0/ ε0)1/2 376,730 313 461 77... Ω 0 Número de Avogadro NA 6, 022 141 29(27)⋅10 4, 4⋅10−8 Número de Loschmidt a 273,15 K y 101 325 Pa NL 2, 686 7805(24) ⋅1023 9, 1⋅10−7 Costante de Faraday F = NAe 96 485, 3365(21)C/mol 2, 2⋅10−8 Costante universal de los gases R = NAk 8, 314 4621(75) J/mol K 9 1⋅10−7 V = RT/p 22, 413 968(20) l/mol 9, 1⋅10−7 Constante de Rydberga R∞ = mecα2/2ℎ 10 973 731, 568 539(55)m−1 5⋅10−12 Conductancia cuántica G0 = 2e2/ℎ 77, 480 917 346(25) μS 3.2⋅10−10 Flujo magnético cuántico φ0 = ℎ/2e 2,067 833 758(46) pWb 2, 2⋅10−8 2e/ℎ 483, 597 870(11) THz/V 2 2⋅10−8 Costante de Von Klitzing ℎ/e2 = μ0 c/2α 25 812.807 4434(84)Ω 3, 2⋅10−10 Magnetón de Bohr μ0 B = eℏ/2me 9, 274 009 68(20) yJ/T 2 2 ⋅ 10−8 Radio clásico del electrón re = e2/4πu0c2me 2,817 940 3267(27) fm 9, 7 ⋅ 10−10 λC = ℎ/mec 2, 426 310 2389(16) pm 6, 5 ⋅ 10−10 Volume molar de un gas ideal a 273,15 K y 101 325 Pa Razón de frecuencia de Josephson Longitud de onda Compton del electrón 23 323 λc = ℏ/mec = re/a 0, 386 159 268 00(25) pm 6, 5 ⋅ 10−10 Radio de Bohra a∞ = re/a2 52, 917 721 092(17) pm 3, 2 ⋅ 10−10 Cuanto de circulación ℎ/2me 3.636 947 5520(24) ⋅ 10−4 m2/s 6.5 ⋅ 10−10 Carga específica del positrón e/me 1, 758 820 088(39)⋅1011 C/kg 2 2 ⋅ 10−8 fc/B = e/2πme 27, 992 491 10(62)GHz/T 2 2 ⋅ 10−8 μe −9, 284 764 30(21) ⋅ 10−24 J/T 2 2 ⋅ 10−8 μe /iB −1, 001 159 652 180 76(27) 2, 6 ⋅ 10−13 μe /iN −1, 838 281 970 90(75) 103 4, 1 ⋅ 10−10 Factor-g del electrón ge −2, 002 319 304 361 53(53) 2, 6 ⋅ 10−13 Razón de masa muón–electrón mμ/me 206, 768 2843(52) 2, 5 ⋅ 10−8 Momento magnético muón μμ −4, 490 448 07(15)·10−26 J/T 3, 4 ⋅ 10−8 Factor-g del muón gμ −2, 002 331 8418(13) 6, 3 ⋅ 10−10 mp/me 1 836,152 672 45(75) 4, 1 ⋅ 10−10 e/mp 9, 578 833 58(21) 107 C/kg 2 2 ⋅ 10−8 λC,p = ℎ/mpc 1, 321 409 856 23(94) fm 7, 1 ⋅ 10−10 μN = eℏ/2mp 5, 050 783 53(11) ⋅ 10−27 J/T 2 2 ⋅ 10−8 μp 1, 410 606 743(33) ⋅ 10−26 J/T 2 4 ⋅ 10−8 μp/μB 1, 521 032 210(12) ⋅ 10−3 8, 1 ⋅ 10−9 μp/μN 2,792 847 356(23) 8, 2⋅10−9 Frecuencia ciclotrón del electrón Momento magnético electrón Razón de masa protón– electrón Carga específica protón Longitud de onda Compton del protón Magnetón nuclear Momento magnético del protón 2, 675 222 005(63) ⋅108 Hz/T2 4⋅10−8 Razón giromagnética protón γp = 2μp/ℏ Factor-g protón gp 5, 585 694 713(46) 8, 2⋅10−9 mn/me 1 838 683 6605(11) 5, 8⋅10−10 mn/mp 1, 001 378 419 17(45) 4, 5⋅10−10 eC,n = ℎ/mnc 1, 319 590 9068(11) fm 8, 2⋅10−10 μn −0, 966 236 47(23)⋅10−26 J/T 2 4⋅10−7 μn/μB −1, 041 875 63(25) ⋅10−3 2, 4⋅10−7 μn/μN −1, 913 042 72(45) 2, 4⋅10−7 Constante de Stefan– Boltzmann σ = π2k4/60ℏ3c2 56, 703 73(21) nW/m2K4 3, 6⋅10−6 Constante de desplazamiento de Wien b = λmaxT 2,897 7721(26) mmK 58, 789 254(53) GHz/K 9, 1⋅10−7 Electron-volt eV 1, 602 176 565(35) 10−19 J 2 2⋅10−8 cost. conversión bit a entropia k ln 2 1023 bit = 0, 956 994 5(9) J/K 9, 1⋅10−7 c, T a 4,0 MJ/kg 4⋅10−2 Razón de masa neutrón– electrón Razón de masa neutrón–protón Longitud de onda Compton neutrón Momento magnético neutrón TNT contenido energía 324 a: para una masa infinita del núcleo Algunas propiedades útiles de nuestro medio ambiente local se dan en la siguiente tabla. TABLA 55 Costantes astronómicas CANTIDAD SÍMBOLO VALOR Año trópico 1900a a 31 556 925,974 7 s Año trópico 1994 a 31 556 925,2 s Día sideral medio d 23ℎ 56’ 4, 090 53’’ 149 597 870,691(30) km Distancia media Tierra-Solb Unidad astronómica b AU 149 597 870 691 m Año luz basado en el año juliano al 9,460 730 472 5808 Pm Parsec pc Masa de la Tierra M♁ 5, 973(1) ⋅ 1024 kg Constante gravitacional geocéntrica GM 3, 986 004 418(8)⋅1014 m3/s2 Longitud gravitacional de la Tierra l♁= 2GM/c2 8,870 056 078(16) mm R♁eq 6378, 1366(1) km R♁p 6356, 752(1) km Radio ecuatorial de la Tierra c Radio polar de la Tierra 30, 856 775 806 Pm = 3, 261 634 al 10 001, 966 km (media) Distancia ecuador-polo Aplanamiento terrestre e♁ 1/298, 25642(1 Densidad media de la Tierra ρ♁ 5,5Mg/m3 Edad de la Tierra T♁ 4, 50(4)Ga = 142(2) Ps Gravedad normal de la Tierra g 9,806 65m/s2 Presión atmosférica estándar de la Tierra p0 101 325 Pa Radio de la Luna Rv 1738 km en dirección de la Tierra Radio de la Luna Rh 1737,4 km en las otras dos direcciones Masa de la Luna M 7,35⋅1022 kg Distancia media a la Luna d 384 401 km Distancia a la Luna en el perigeo 363 Mm, mínimo histórico 359 861 km Distancia a la Luna en el apogeo 404 Mm, máximo histórico 406 720 km media 0,5181° = 31,08’, mínimo 0,49°, máximo 0,55° Dimensión angular de la Luna Densidad media de la Luna ρ 3,3 Mg/m3 Gravedad superficial en la Luna g 1,62m/s2 Presión atmosférica en la Luna p Masa de Júpiter de 10−10 Pa (noche) a 10−7 Pa (día) 1,90 ⋅ 1027 kg 325 Radio ecuatorial de Júpiter 71,398 Mm Radio polar de Júpiter 1(1)Mm Distancia media de Júpiter al Sol 778 412 020 km Gravedad superficial en Júpiter 24,9 m/s2 Presión atmosférica en Júpiter de 20 kPa a 200 kPa Masa del Sol M⊙ 1,988 43(3) ⋅ 1030 kg Longitud gravitacional del Sol 2GM⊙/c2 2, 953 250 08(5) km Constante gravitacional heliocéntrica GM⊙ 132,712 440 018(8)⋅1018 m /s2 3 Luminosidad del Sol L⊙ 384, 6 YW Radio ecuatorial del Sol R⊙ 695, 98(7) Mm Dimensión angular del Sol 0, 53∘ media; mínima el cuatro de julio (afelio) 1888’’, máxima el cuatro de enero (perihelio) 1952’’ Densidad media del Sol 1,4 Mg/m3 Edad del Sol 4,6 Ga Velocidad solar en torno al centro de la galaxia 220(20) km/s Velocidad solar contra la radiación cósmica de fondo 370, 6(5) km/s Gravedad superficial del Sol 274 m/s2 Presión inferior en la fotosfera del Sol 15 kPa Distancia al centro de la Vía Láctea 8,0(5) kpc = 26,1(1, 6) kal Edad de la Vía Láctea 13.6 Ga Dimensión de la Vía Láctea c. 1021 m o 100 kal Masa de la Vía Láctea 1012 masas solares, c. 2⋅1042 kg La mayor parte del grupo de galaxias lejanas SXDF-XCLJ 9,6 ⋅ 109 al a. Definición constante desde equinoccio de primavera a equinoccio de primavera; una vez se utilizó para definir el segundo. (Recuerde: π segundos es alrededor de un nanosiglo.) El valor de 1990 e aproximadamente 0, 7 s o menos, que corresponde a una ralentización de alrededor de 0, 2 ms / a. (Ojo: ¿por qué?) Desafío 673-b s También hay una fórmula empírica para la variación de la duración del año en el tiempo. b. La realmente sorprendente precisión de tan sólo 30 m en la distancia media Tierra-Sol es el promedio de tiempo de las señales enviadas desde las órbitas de Viking y Mars tomadas durante un período de más de 20 años. Tenga en cuenta que la 'Unión Astronómica Internacional distingue a la distancia media Tierra-Sol de la unidad astronómica en sí; esta última se define como una longitud fija y precisa. Incluso el año luz es una unidad definida como un número exacto de la UAI. Para obtener más información, consulte www.iau.org/public/measuring. c. La forma de la Tierra se describe con mayor precisión con el Sistema Geodésico Mundial. La última edición fue publicada en la 1984\. Para una presentación completa de sus antecedentes y sus detalles, véase la página web www.wgs.\.com. La Unión Astronómica Internacional afinó los datos en 2000. Los radios y los datos de aplanamiento aquí son los del 'sistema de marea media '. Se diferencian de las del 'sistema de marea cero' y otros sistemas en aproximadamente 0, 7 m. Los detalles son una ciencia en sí misma. 326 d. Medida de centro a centro. Para encontrar la posición exacta de la Luna en el cielo en una cierta fecha, ver la páginawww.fourmilab.ch/earthview/moon_ap_per.html. Para los planetas, ver la página www.fourmilab.ch/solar/solar.html e y las otras páginas del mismo sitio. e. Los ángulos son definidos como sigue: 1 grado = 1º = π/180 rad, 1 (primo) minuto = 1’ = 1°/60, 1 segundo = 1’’ = 1’ /60. Las unidades antiguas ‘un tercio diminuto’ y ‘un cuarto diminuto’, cada uno 1/60 -un sesentésimodel precedente, ya no están en uso. (‘Minuto’ significa originariamente ‘muy pequeño’, como se hace todavía en inglés moderno) Algunas propiedades de la naturaleza en general se enumeran en la siguiente tabla. (Desafío 673-c s Si quiere un reto, ¿puede determinar si una propiedad del universo, no viene en la lista?) TABLA 56 Costantes cosmológicas. CANTIDAD SÍMBOLO VALOR Constante cosmológica Λ c. 1⋅10−52 m−2 Edad del Universoa (Determinado por el espacio-tiempo, a través de la expansión, utilizando la relatividad general) t0 4,333(53)⋅1017 s = 13,8(0,1)⋅109 a Edad del Universoa (determinada de la materia, vía galaxias y estrellas, usando la teoría cuántica) t0 Alrededor de 3,5(4)⋅1017 s = 11, 5(1,5)⋅109 a Parámetro de Hubble H0 2,3(2)⋅10−18 s−1 = 0,73(4)⋅10−10 a−1 = ℎ0⋅100 km/sMpc = ℎ0⋅1,0227 10−10 a−1 Parámetro de Hubble reducido h0 Parámetro de deceleracióna Distancia horizonte Universoa q0 = −(a/̈ a)0/H20 d0 = 3ct0 0,71(4) −0, 66(10) 40, 0(6) ⋅ 1026 m = 13, 0(2)Gpc Topología universo Trivial hasta 1026 m Numero de dimensiones espaciales 3 para distancias hasta 1026 m Densidad crítica ρc = 3H20 / 8πG ℎ20 ·1, 878 82(24) ⋅ 10−26 kg/m³ = 0, 95(12) ⋅ 10−26 kg/m3 Del universo Parámetro de densidad (total) Ω0 = ρ0/ρc 1,02(2) Parámetro de densidad barión ΩB0 = ρB0/ρc 0,044(4) Parámetro de densidad materia oscura fría ΩCDM0 = ρCDM0/ρc 0,23(4) 0,001 a 0,005 Parámetro de densidad neutrino Ων0 = ρν0/ρc Parámetro de densidad materia oscura ΩX0 = ρX0/ρc Parámetro de estado energía oscura w = pX/ρX −1,0 (2) Masa barión mb 1,67 ⋅ 10−27 kg Numero densidad bariones 0, 25(1) /m3 densidad materia luminosa 3, 8(2) ⋅ 10−28 kg/m3 Estrellas en el universo ns 1022±1 Bariones en el universo nb 1081±1 Temperatura del fondo de microondasb T0 2, 725(1)K 327 Fotones en el universo Densidad de energía de los fotones na na = π2k4/15T4 1089 4, 6 ⋅ 10−31 kg/m3 Densidad número de fotones 410, 89 /cm3 or 400 /cm3(T0/2.7 K)3 Amplitud perturbación densidad 5, 6(1, 5) ⋅ 10−6 Amplitud onda gravitacional < 0, 71 Fluctuación de masa 8Mpc o8 Indice escalar n 0,93(3) Índice de ejecución escalar dn/d ln k −0, 03(2) Longitud de Planck lPl = (ℏG/c3)1/2 1, 62 ⋅ 10−35m Tiempo de Planck tPl = (ℏG/c5)1/2 5, 39 ⋅ 10−44 s Masa de Planck mPl = (ℏc/G)1/2 21, 8 μg Instantes en la historiaa t0/tPl 8, 7(2, 8) ⋅ 1060 Puntos espacio-temporales N0 = (R0/lPl)3 10244±1 en el horizonte interno ·(t0/tPl) Masa en el horizonte interno M 1054±1 kg a. El índice 0 indica valores de hoy. b. La radiación originada cuando el universo teníac 380 000 años y poseía una temperatura de aldededor de 3000 K; las fluctuaciones ΔT0 que condujeron a la formación de las galaxias son hoy unos 16±4 μK = 6(2)·10-6 T0. NÚMEROS ÚTILES Π e γ ln 2 ln 10 √10 3, 2, 0, 0, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 375105 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 699959 57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 939923 69314 71805 59945 30941 72321 21458 17656 80755 00134 360255 2, 30258 50929 94045 68401 79914 54684 36420 76011 01488 628772 3,16227 76601 68379 33199 88935 44432 71853 37195 55139 325216 328 APÉNDICE C FUENTES DE INFORMACIÓN SOBRE EL MOVIMIENTO Ningún lugar ofrece una convicción más sorprendente de la vanidad de las esperanzas humanas que una biblioteca pública. Samuel Johnson En una sociedad de consumo es inevitable que existan dos tipos de esclavos: los prisioneros de la adicción y los prisioneros de la envidia. "Ivan Illich* E n el texto, los buenos libros que presentan dominios adyacentes se presentan en la bibliografía. La literatura también indica revistas y sitios web, con el fin de satisfacer la más intensa curiosidad acerca de lo que encontramos en esta aventura. Todas las citas se encuentran también buscando el autor en el índice de nombres. Para ulteriores informaciones, las bibliotecas o Internet pueden ser de ayuda. En una biblioteca, artículos de revisión sobre investigación reciente aparecen en revistas como Reviews of Modern Physics, Reports on Progress in Physics, Contemporary Physics e Advances in Physics. Buenas introducciones pedagógicas se encuentran en el American Journal of Physics , la Revista Europea de Física (European Journal of Physics) y Physik in unserer Zeit. Panorámicas sobre las tendencias en investigación aparecen a veces en revistas como Physics World, Physics Today, Europhysics Journal, Physik Journal and Nederlands tijdschrift voor natuurkunde. Para la cobertura de todas las ciencias juntas, las mejores fuentes son las revistas Nature, New Scientist, Naturwissenschaften, La Recherche y Science News. Artículos de investigación sobre los fundamentos del movimiento aparecen principalmente en Physics Letters B, Nuclear Physics B, Physical Review D, Physical Review Letters, Classical and Quantum Gravity, General Relativity and Gravitation, International Journal of Modern Physics y Modern Physics Letters. Los resultados y conjeturas más recientes se encuentran en las actas de las conferencias, como Nuclear Physics B Supplements. Artículos de investigación aparecen también en Fortschritte der Physik, European Physical Journal, La Rivista del Nuovo Cimento, Europhysics Letters, Communications inMathematical Physics, Journal of Mathematical Physics, Foundations of Physics, International Journal of teoretical Physics and Journal of Physics G. Sin embargo, con mucho, el modo más simple y más eficaz para mantenerse en contacto con la investigación actual sobre el movimiento y la física moderna es el uso de Internet, la red informática internacional. Para empezar a utilizar el Internet o la web, pídaselo a un amigo que la conozca. ** En la última década del siglo XX, Internet se ha expandido en una especie de biblioteca, un instrumento de negocios, una herramienta de trabajo, una plataforma de discusión, una colección de medios, un depósito de basura y, sobre todo, un dispensador de dependencias. No la utilice demasiado. El comercio, la publicidad y por desgracia – el material absorbente para niños, jóvenes y adultos, así como los delitos de todo tipo son también una parte integral de la web. Con un ordenador personal, un módem y un navegador gratuito, se puede buscar información en millones de páginas de documentos o destruir su carrera profesional a través de la adicción. Las diversas partes de los documentos se encuentran en diferentes ordenadores de todo el mundo, pero el usuario no tiene que ser consciente de esto. * * Ivan Illich (b. 1926 Vienna, d. 2002 Bremen), teologo y pensador social y politico. ** También puede utilizar Internet y descargar los archivos a través de FTP con la única ayuda del correo electrónico. Pero las herramientas cambian muy a menudo aquí para dar una guía estable. Pregunte a su amigo. *Hace algunas décadas, el libro provocador de Iván Illich, Deschooling Society (desescolarizando la sociedad), Harper & Row, 1971, listaba cuatro ingredientes básicos para cualquier sistema educativo: • 1. El acceso a los recursos para el aprendizaje, tales como libros, equipos, juegos, etc. a un precio asequible para todos, en cualquier momento de sus vidas; • 2. para todos aquellos que quieran aprender, igualdad de acceso a la misma situación de aprendizaje, para la discusión, la confrontación, la cooperación y la competencia; • 3- el acceso a los ancianos, tales como maestros, para su atención y crítica de aquello que están aprendiendo; • 4. intercambios entre estudiantes y artistas en su campo de interés, para que puedan ser modelos para los primeros. Por ejemplo, es oportuno y debe proporcionarse la oportunidad de escuchar a músicos profesionales y la lectura de las obras de escritores especializados. Esto da también a los artistas la oportunidad de compartir, promocionar y utilizar sus habilidades. 329 La mayoría de los trabajos teóricos físicos están disponibles gratuitamente, como pre-imprenta, es decir, antes de la publicación oficial y cualquier control de los árbitros, el sitio arxiv.org. También está disponible un servicio para encontrar pre-impresiones sucesivas que mencionan una fecha. Hay un par de revistas de física Internet de calidad: una Living Reviews in Relativity, que se encuentra en www.livingreviews.org, la otra es el New Journal of Physics, que se encuentra en el sitio www.njp.org . Hay, por desgracia, demasiadas revistas de física de Internet que publican investigación incorrecta. Son fáciles de detectar: piden dinero para publicar en papel. En Internet, los trabajos de investigación sobre la descripción del movimiento sin tiempo y espacio que aparecen después de que este texto se publicara puede ser localizado a través de la Web of Science, un sitio accesible sólo por las bibliotecas. Se le permite buscar todas las publicaciones que citan un documento dado. La búsqueda on line por autores, organizaciones, libros, publicaciones, empresas o simples palabras clave que utilizan los motores de búsqueda puede ser una experiencia gratificante o un episodio de dependencia, dependiente enteramente de sí mismo. Una selección de servidores interesante sobre el movimiento es la siguiente. Conocimiento general Wikipedia www.wikipedia.org Discusiones útiles de expertos www.stackexchange.com Colecciones de libros www.ulib.org books.google.com Libros de texto de química, online chemed.chem.wisc.edu/chempaths/GenChem-Textbook Educación divertida de Theodore Gray www.popsci.com/category/popsci-authors/theodore-gray Educación científica de entretenimiento y profesional da Robert Krampf thehappyscientist.com Science Frontiers www.science-frontiers.com Science Daily News www.sciencedaily.com Science News www.sciencenews.org Encyclopedia of Science www.daviddarling.info Investigación científica interesante www.max-wissen.de La inovación en el campo de la ciencia y de la tecnologia www.innovations-report.de Video de cualidad de ciencia www.vega.org.uk Video de ciencia ASAP plus.google.com/OyOT.aocOOOAoyTyO.cOc/posts Fisica Aprendizaje de la física con los juguetes de la basura Sitio oficial Unidad SI Unidad de Conversiones Datos sobre partículas Datos técnicos y fórmulas Información sobre relatividad Investigación preimprenta Los resúmenes en las revistas de física Physics news, weekly www.arvindguptatoys.com www.bipm.fr www.chemie.fu-berlin.de/chemistry/general/units.html pdg.web.cern.ch www.efunda.com math.ucr.edu/home/baez/relativity.html arxiv.org www.slac.stanford.edu/spires www.osti.gov www.aip.org/physnews/update Illich desarrolla la idea de que si un sistema de este tipo fuese informal - el llamado entonces 'aprendizaje web' o 'oportunidades' web - sería superior a las instituciones formales, institutos financiados por el estado, al igual que a las escuelas convencionales, para el desarrollo de seres humanos maduros. En sus obras posteriores profundiza en estas ideas, Deschooling Our Lives, Penguin 1976 y Tools for Conviviality, Penguin, 1973. Hoy en día, cualquier ordenador de la red proporciona correo electrónico (e-mail), CASC FTP (transferencia de archivos desde y hacia otro ordenador), el acceso a Usenet (grupos de discusión sobre temas específicos, tales como física de partículas) y la web en todo el mundo. (En otras palabras, cada uno de ellos incluye la primera.) De un modo completamente inesperado, todos estos servicios de Internet se han convertido en la columna vertebral de '«oportunidad web» discutido por Illich. Sin embargo, como en cualquier escuela, depende fuertemente de las directrices del usuario si Internet realmente proporciona una red de aprendizaje o el ingreso en una adicción. 330 Notizie di Fisica, giornaliere Problemas de física de Yacov Kantor Problemas de física di Henry Greenside Fisica ‘cuestiones de la semana’ Fisica ‘miniproblemas’ Physikhexe Trucos Mágicos de ciencia Pile a scambio in fisica ‘Chiedete agli esperti’ Ganadores Premio Nobel Video de los discursos de los ganadores de los Premio Nobel Immagini di físicos Organizaciones de Fisica www.nikhef.nl Test de física en la web phys.org www.tau.ac.il/~kantor/QUIZ/ www.phy.duke.edu/~hsg/physics-challenges/challenges.html www.physics.umd.edu/lecdem/outreach/QOTW/active www.nyteknik.se/miniproblemet physik-verstehen-mit-herz-und-hand.de/html/de-a.html www.sciencetrix.com physics.stackexchange.com www.sciam.com/askexpert_directory.cfm www.nobel.se/physics/laureates www.mediatheque.lindau-nobel.org www.if.ufrj.br/famous/physlist.html www.cern.ch www.hep.net www.het.brown.edu/physics/review/index.html www.plasma.uu.se/CED/Book www.biophysics.org/education/resources.htm www.lightandmatter.com www.motionmountain.net Tre belle serie francesi di note su meccanica classica e teoria particelle feynman.phy.ulaval.ca/marleau/notesdecours.htm L’eccellente Radical Freshman Physics by David Raymond www.physics.nmt.edu/~raymond/teaching.html Fisica script corso dal MIT ocw.mit.edu/courses/physics/ Guión de lecciones de Física en alemán e Inglés www.akleon.de ‘Aula di lezione mondiale’ wlh.webhost.utexas.edu Ottica immagine del giorno www.atoptics.co.uk/opod.htm Living Reviews in Relativity www.livingreviews.org Wissenscha. in die Schulen www.wissenscha.-schulen.de Video lecciones de física di Walter Lewin ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/ Video di Fisica diMatt Carlson www.youtube.com/sciencetheater Video di Fisica dell’Universita di Nottingham www.sixtysymbols.com Video lezioni di Fisica www.coursera.org/courses?search=physics www.edx.org/course-list/allschools/physics/allcourses Matemática ‘Forum di matematica’ raccolta di risorse Internet mathforum.org/library Biografías de matemáticos www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/BiogIndex.html Problema di matematica di Purdue della settimana www.math.purdue.edu/academics/pow Matematica del Macalester College problema de la semana mathforum.org/wagon Fórmula matematiche dlmf.nist.gov Il mondo della Matematica di Weisstein mathworld.wolfram.com Funciones functions.wolfram.com Integracióne simbólica www.integrals.com Superficie algebraica www.mathematik.uni-kl.de/~hunt/drawings.html video lecciones de matemática, en alemánwww.jclTh.de/videos.html Gazeta Matematica, in rumeno www.gazetamatematica.net Astronomia ESA NASA sci.esa.int www.nasa.gov 331 Telescopio espacial Hubble Sloan Digital Sky Survey El ‘espejo cósmico’ Simulatore sistema solare Satelliti osservabili Imagen de Astronomía del día La Tierra desde el espacio De la astronomía a las astronaves Datos solares actuales Argumentos específicos Minerales hubble.nasa.gov skyserver.sdss.org www.astro.uni-bonn.de/~d.scher/mirror space.jpl.nasa.gov li.o..msfc.nasa.gov/RealTime/JPass/oy antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/astropix.html www.visibleearth.nasa.gov www.phya.org/stargaze/Sintro.htm www.nckl.org/sun webmineral.com www.mindat.org onegeology.org Mapas Geológicos Ilusiones ópticas www.sandlotscience.com Geologia de las rocas sandatlas.org fumetti scienti.ci di Petit www.jp-petit.org Giocattoli físicos www.eoy.physik.tu-muenchen.de/~cucke/toylinke.htm Humorismo de Física www.dctech.com/physics/humor/biglist.php La letteratura sulla magia www.faqs.org/faqs/magic-faq/parto Costruire aeroplani di carta www.pchelp.net/paper_ac.htm www.ivic.qc.ca/~aleexpert/aluniversite/klinevogelmann.html Piccoli elicotteri volanti pixelito.reference.be Curiosita di scienze www.wundersamessammelsurium.info Orologio di diecimila anni www.longnow.org Gesellscha. Deutscher Naturforscher und Arzte www.gdnae.de Pseudoscienza suhep.phy.syr.edu/courses/modules/PSEUDO/pseudo_main. html Crackpots www.crank.net Tavola periodica con i video per ogni elemento www.periodicvideos.com Citazioni matematiche math.furman.edu/mwoodard/~mquot.html Il ‘World Question Center’ www.edge.org/questioncenter.html Plagi www.plagiarized.com Bufale www.museumofhoaxes.com Enciclopedia della Terra www.eoearth.org ¿Quieres estudiar física sin tener que ir a la universidad? Hoy en día es posible hacerlo a través del correo electrónico y de Internet, en alemán en la Universidad de Kaiserslautern. * En un futuro próximo, un proyecto nacional en Gran Bretaña debe permitir lo mismo para los estudiantes de lengua inglesa. A modo de introducción, ¡utilice la última actualización de este texto de física! Das Internet ist die o.enste Form der geschlossenenAnstalt.. Matthias Deutschmann Internet es la forma más abierta de una institución cerrada Si tacuisses, philosophus mansisses. Tomado de Boecio 'Si yo hubiera estado en silencio, habría seguido siendo un filosofo.' * Vea el sito web www.fernstudium-physik.de. ** De la historia que Boecio (c. 480–c. 525) dice en De consolatione philosophiae, .. 332 DESAFÍOS CONSEJOS Y SOLUCIONES Nunca haga un cálculo antes de conocer la respuesta. Lema de John Wheeler John Wheeler quería que las personas probaran, estimaran y conjeturaran (adivinaran), pero sin decir la conjetura en voz alta. Una conjetura correcta refuerza el instinto hacia la física, mientras que una equivocada conduce al placer de la sorpresa. Adivinar es, pues, un primer paso importante en la solución de todos los problemas. Los maestros tienen en cuenta otros criterios. Los buenos problemas se pueden resolver en diferentes niveles de dificultad, se pueden solucionar con palabras o con imágenes o con fórmulas, activan los conocimientos, se refieren a aplicaciones del mundo real, y están abiertos. Desafío 1, página 3: No dude en ser exigente y riguroso. La próxima edición del texto se beneficiará de ello. Desafío 2, página 7: Hay muchas maneras de distinguir el movimiento real de una ilusión de movimiento: Por ejemplo, sólo el movimiento real puede ser usado para establecer algo más en el movimiento. Además, las ilusiones de movimiento de las figuras muestran un fallo importante; nada se mueve si la cabeza y el papel permanecen fijas una con respecto a la otra. En otras palabras, la ilusión sólo amplifica los movimientos existentes, no crea el movimiento de la nada. Desafío 3, página 8: Sin experimentos detallados y precisos, ambas partes pueden encontrar ejemplos para probar su punto de vista. La Creación es apoyada por la aparición de moho o bacterias en un vaso de agua, la creación también es apoyada por su contrario, a saber la desaparición sin pistas, como la desaparición del movimiento. Sin embargo, la conservación es apoyada y la creación falseada por todas aquellas investigaciones que exploran los casos supuestos de aparición o desaparición con todo detalle. Desafío 4, página 9: La cantidad de agua depende de la forma de la cubeta. El sistema elige la opción (inclinado o recto) para los que el centro de gravedad es más bajo. Desafío 5, página 10: Supongamos, para simplificar, un cubo cilíndrico. Si necesita ayuda, haga el experimento en casa. Para el carrete, la imagen es engañosa: el círculo en que avanza el carrete tiene un diámetro mayor que la sección en la que se enrolla la cuerda. La cadena enrollada no toca el suelo. Desafío 6, página 9: Los partidos políticos, sectas, organizaciones de ayuda y terapeutas de todo tipo son típicos de este comportamiento. Desafío 7, página 13: La cuestión aún no está completamente resuelta para el movimiento del espacio vacío, como en el caso de las ondas gravitacionales. Por lo tanto, el movimiento del espacio vacío podría ser una excepción. En cualquier caso, el espacio vacío no está hecho de pequeñas partículas de tamaño finito, ya que esto estaría en contradicción con la transversalidad de las ondas de gravedad. Desafío 8, página 15: La definición circular es la siguiente: los objetos son definidos como siendo lo que se mueve respecto a un fondo, y el fondo se define como aquello que permanece en reposo cuando los objetos cambian. Volveremos varias veces a esta importante cuestión en el curso de nuestra aventura. Requerirá, sin embargo, una buena dosis de paciencia. Desafío 9, pag. 15: Los agujeros no son sistemas físicos, porque en general no pueden ser rastreados. Desafío 10, pag. 15: No, el universo no tiene un estado. No es medible ni siquiera en principio. Vea la discusión en el volumen Vol. IV, página 158 IV, en la teoría cuántica. Desafío 10-a pág. 16. El listado final de las propiedades intrínsecas de los sistemas físicos encontrados en la naturaleza y reportados en el volumen V, en la sección de partículas físicas. Y, por supuesto, el universo no tiene propiedades intrínsecas, permanentes. Ninguna de ellas es medible para el universo como un todo, ni siquiera en principio. Desafío 11, pag. 18: Sugerencia: sí, hay un punto tal. Desafío12, pag. 18: Véase la Figura 251 b para un paso intermedio. Una burbuja estalla en un punto, y luego el borde del agujero aumenta rápidamente, hasta que desaparece en las antípodas. Durante ese proceso, el resto de la burbuja mantiene su forma esférica, como se muestra en la figura. Para una película de este proceso, consulte www.youtube.com/watch?v=dIZwQ24_OU0 (o buscar 'reventar la burbuja de jabón "). En otras palabras, las gotitas finales que son expulsadas derivan del punto de la burbuja que es opuesto al punto de punción; nunca se expulsan desde el centro de la burbuja. Desafío13, pag. 18: Un fantasma puede ser una imagen en movimiento; no puede ser un objeto en movimiento, ya que los objetos no pueden interpenetrarse. Desafío 14, pag. 18: Si algo pudiera dejar de moverse, el movimiento podría desaparecer en la nada. 333 Para una prueba precisa, habría que demostrar que ningún átomo se mueve más. Hasta ahora, esto nunca ha sido observado: el movimiento se conserva. (No hay nada en la naturaleza que pueda desaparecer en la nada.) Desafío 20, página 18: Tenga en cuenta que usted nunca ha observado velocidad cero. Siempre hay algún error de medición que impide que uno diga que algo es cero. ¡No hay excepciones! FIGURA 251-a La forma adoptada por el rompecabezas de la bobina. Desafío 15, pag. 18: Esto significa de hecho que el espacio es infinito; Sin embargo, es imposible de observar que algo se mueve "por siempre": nadie vive tanto tiempo. En resumen, no hay forma de probar que el espacio es infinito de esta manera. En realidad, no hay manera de probar que el espacio es infinito en cualquier otra forma. Desafío 16, pag. 18: La longitud de la cuerda necesaria es nh, donde n es el número de ruedas / poleas. Y sí, el agricultor está realmente haciendo algo sensato Desafío 17, página 18: ¿Cómo mediría esto? Desafío 18, página 18: El número de dígitos fiables de un resultado de medida es una sencilla cuantificación de precisión. Más detalles se pueden encontrar mirando en "desviación estándar" en el índice. Desafío 19, página 18: No; se necesita memoria para la observación y las mediciones. Este es el caso para los seres humanos y los aparatos de medición. La teoría cuántica hará esta reflexión. FIGURA 251-b Una burbuja de jabón mientras que estalla(© Peter Wienerroither). Desafío 21, página 18: (264-1) = 18 446 744 073 700 551 615 granos de trigo, con un peso por grano de 40 mg, son 738 mil millones de toneladas. Dada una cosecha mundial en 2006 de 606 millones de toneladas, los granos ascienden a unos 1200 años de cosechas de trigo del mundo. El cálculo del número de granos se simplifica mediante el uso de la fórmula 1 + m + m2 + m3 + ... mn = (mn+ 1 -1) / (m-1), que da la suma de la llamada secuencia geométrica. (El nombre es histórico y se utiliza como contraste con la secuencia aritmética 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... n = n (n + 1) / 2.) ¿Puede probar las dos expresiones? La leyenda del ajedrez es mencionado por primera vez por Abu-l 'Abbas Ibn Ahmand Khallikan (1211 Arbil-1282 Damasco) . El rey Shiram y el rey Balhait, también mencionados en la leyenda, son figuras históricas que vivieron entre el segundo y cuarto siglo DdC. La leyenda parece haber combinado dos historias diferentes. De hecho, el cálculo de los granos aparece ya en el año 947, en el famos texto Praderas de oro y minas de piedras preciosas por Abu ul-Hasan 'Ali ibn Husayn ibn Ali ul-Masudi (nacido. c. 896 Baghdad, muerto 956 Cairo).. Desafío 22, página 19: En los experimentos limpios, la llama se inclina hacia el interior. Pero tales experimentos no son fáciles, y, a veces la llama se inclina hacia el exterior. Haga la prueba. ¿Puede explicar ambas observaciones? Desafío 23, página 19: Los acelerómetros son los detectores de movimiento más simples. Existen en forma de dispositivos piezoeléctricos que producen una señal cada vez que la caja se acelera y puede costar tan poco como un euro. Otro acelerómetro que podría tener un futuro es un acelerómetro de interferencia que hace uso del movimiento de una rejilla de interferencia; este dispositivo podría ser integrado en el silicio. Otros acelerómetros más precisos utilizan giroscopios o rayos láser que corren en círculos. Velocímetros y detectores de posición también pueden detectar el movimiento; necesitan una rueda o al menos una forma óptica para mirar fuera de la caja. Los tacógrafos en los coches son ejemplos de velocímetros, los ratones de ordenador son ejemplos de detectores de posición. Un dispositivo lo suficientemente barato sería perfecto para medir la velocidad de los esquiadores o los patinadores. No existe tal dispositivo todavía. Desafío 24, página 19: La bola rueda (o desliza) hacia el centro de la mesa, puesto que el centro de la mesa está un 334 poco más cerca del centro de la Tierra que el borde; entonces la bola sale disparada otra vez, realiza una oscilación alrededor del centro de la mesa. El período es 84 min, como se muestra en el desafío 360. (Esto nunca se ha observado, hasta ahora. ¿Por qué?). Desafío 25, página 19: Sólo si la aceleración no se anula. Las aceleraciones se pueden sentir. Los acelerómetros son dispositivos que miden las aceleraciones y luego deducen la posición. Se utilizan en los aviones durante el vuelo sobre el Atlántico. Si la caja no se acelera, es imposible decir si se mueve o está quieta. Incluso es imposible decir en qué dirección nos movemos. (Cierre los ojos en un tren por la noche para confirmar esto.) Desafío 26, página 19: El bloque se mueve dos veces más rápido que los cilindros, independientemente de su radio. Desafío 27, página 19: Este método es conocido por trabajar con otros miedos también. Desafío 28, página 19: Tres parejas requieren 11 pasos. Dos parejas requieren 5. Para cuatro o más parejas no hay solución. ¿Cuál es la solución si hay n parejas y n - 1 lugares en el barco? Desafío 29, página 19: Sugerencia: hay un número infinito de tales formas. Estas curvas se llaman también curvas Reuleaux. Otra pista: Las monedas de 20 y 50 peniques en el Reino Unido tienen tales formas. Y sí, otras formas que no sean los cilindros también son posibles: tener una barra cuadrada torcida, por ejemplo. Desafío 29-b, página 20. Desafío 30, página 20: La Conservación, la relatividad y la minimización son válidos en general. En algunos procesos raros en la física nuclear, la invariancia del movimiento (reversibilidad) se rompe, dado que es invariante por reflexión. La continuidad se sabe que no será válida en los intervalos mínimos de tiempo y longitud, pero ningún experimento aún ha sondeado esos dominios, por lo que sigue siendo válida en la práctica. Desafío 30-b página 20: Si usted no lo sabe, pregunte a su restaurador de viejos muebles favoritos. Desafío 30-c para este bellísimo problema vea arxiv.org/abs/1203.3602. Desafío 31, página 21: En la vida cotidiana, esto es correcto; ¿qué sucede cuando se tienen en cuenta los efectos cuánticos? Desafío 32, página 21: Tome el cambio de la distancia media de dos átomos vecinos en una pieza de cuarzo durante el último millón de años. ¿Conoce algo todavía más lento? Desafío 33, página 22: Sólo hay un camino: comparar la velocidad a medir con la velocidad de la luz. De hecho, casi todos los libros de texto de física, tanto para las escuelas como para la universidad, comienzan con la definición del espacio y el tiempo. Por lo demás excelentes libros de texto de la relatividad tienen dificultades para evitar este hábito, incluso los que introducen el k-cálculo ahora estándar (que es de hecho el enfoque mencionado aquí). Comenzar con la velocidad es el enfoque lógicamente más limpio. Desafío 34, página 22: No hay manera de sentir su propio movimiento si se encuentra en el vacío. De ninguna manera, en principio. Este resultado a menudo llama el principio de la relatividad. De hecho, hay una manera de medir su movimiento en el espacio (aunque no en el vacío): medir la velocidad con respecto a la radiación cósmica de fondo. Así que tenemos que tener cuidado con lo que está implícito en la pregunta. Desafío 35, página 23: La carga alar W / A, es la relación entre el peso W y área del ala A, y obviamente es proporcional a la raíz cúbica del peso. (De hecho, W ~L3, A ~ L2, L es la dimensión del objeto volador.) Esta relación da la línea de tendencia verde. La carga alar W / A, la relación entre el peso W y área del ala A, al igual que todas las fuerzas en fluidos, es proporcional al cuadrado de la velocidad de crucero: tenemos W / A = v20,38 o ·· kg / m3. El factor inexplicado contiene la densidad del aire y un coeficiente numérico general que es difícil de calcular. Esta relación conecta las escalas horizontales superior e inferior en el gráfico. Como resultado, la velocidad de crucero es proporcional a la raíz sexta de peso: 󳰀 u~ W1/ 6. En otras palabras, un Airbus A380 es 750 000 000 000 veces más pesado que una mosca de la fruta, pero sólo un centenar de veces más rápido. Desafío 36, página 27: De manera equivalente: ¿existen puntos en el espacio? La parte final de nuestro ascenso estudia este tema en detalle. Desafío 37, página 27: Todas las fuentes de electricidad deben utilizar la misma fase cuando se alimentan de energía eléctrica en la red. Los relojes de los ordenadores en Internet deben estar sincronizados. Desafío 38, página 28: Tenga en cuenta que el cambio aumenta cuadráticamente con el tiempo, no linealmente. Desafío 39, página 32: El tiempo Natural se mide con el movimiento natural. El movimiento natural es el movimiento de la luz. El Tiempo natural se define así con el movimiento de la luz. Desafío 40, página 29: Galileo medía el tiempo con una balanza (y con otros métodos). Su cronómetro era un tubo de agua que se mantiene cerrado con el pulgar, dirigido hacia un cubo. Para iniciar el cronómetro, quitaba el pulgar, para detenerlo, lo ponía de nuevo. El volumen de agua en el cubo entonces le daba una medida del intervalo de tiempo. Esto 335 lo explicó en su famoso libro Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno un nuove scienze attinenti alla mecanica e i movimenti locali, generalmente simplemente llamado los 'Discursos', que publicó en 1638 con Louis Elsevier en Leiden, Países Bajos. Desafío 41, página 32: No hay manera de definir una hora local en los polos que sea coherente con todos los puntos vecinos. (Para los curiosos, consulte el sitio web www.arctic.noaa.gov/gallery_np.html.) Desafío 43, página 34: El bosque está lleno de luz y por lo tanto de rayos de luz: son rectos, como lo muestran los rayos de sol de la Figura 252. FIGURA 252 Rayos de sol en un bosque (© Fritz Bieri y Heinz Rieder). Desafío 44, página 34: Un par de músculos mueve la lente a lo largo del tercer eje deformando el ojo desde alargada a esférica achatada. Desafío 45, página 35: Puede resolver este problema tratando de pensar en cuatro dimensiones. (Entrene utilizando las conocidas proyecciones tridimensionales de cubos de cuatro dimensiones.) Trate de imaginar cómo cambiar la secuencia cuando dos piezas se cruzan. Nota: normalmente no es correcto, en este dominio, usar el tiempo en vez de una cuarta dimensión espacial! Desafío 46, página 35: Medir distancias usando la luz. Desafío 47, página 35: Desafío 48, página 39: Desafío 49, página 39: Es más fácil trabajar con el toro unidad. Tome el intervalo unitario [0, 1] y asimile los puntos extremales a un único punto. Defina un conjunto B cuyos elementos son un número real b del intervalo más todos los números que difieren de este real en un número racional. El círculo unidad puede imaginarse como la unión de todos estos conjuntos B. (De hecho, cada conjunto B es una copia desplazada del conjunto Q de números racionales). Ahora construya un conjunto A tomando un elemento de cada conjunto B. Después construya una familia de conjuntos formada por el conjunto A y sus copias Aq desplazadas en un racional q. La unión de todos estos conjuntos es el toro unidad. Esta familia de conjuntos es infinitamente numerable. Luego divídala en dos familias infinitamente numerables. Es fácil ver que cada una de las dos familias puede ser renumerada y sus elementos desplazados de tal manera que cada una de las dos familias forma un toro unidad. Los matemáticos dicen que no hay medida aditiva infinitamente numerable de Rn o que los conjuntos como A no son medibles. Como resultado de su existencia la multiplicación de longitudes es posible. Más tarde exploraremos si el pan o el oro pueden ser multiplicados de esta manera Desafío 50, página 40: Sugerencia: comenzar con triángulos. Desafío 51, página 40: Un ejemplo es la región entre el eje x y la función que asigna 1 a cada número trascendente y 0 para cada número no trascendente. Desafío 52, página 40: Usamos la definición de la función del texto. El ángulo diedro de un tetraedro regular es un múltiplo irracional de π, por lo que el tetraedro tiene una invariante no nula de Dehn. El cubo tiene un ángulo diedro de π / 2, por lo que el invariante Dehn del cubo es 0. Por lo tanto, el cubo no está equidescomponible con el tetraedro regular. Desafío 53, página 41: Si piensa usted que puede demostrar que el espacio vacío es continuo, se equivoca. Revise sus argumentos. Si cree que puede demostrar lo contrario, puede que tenga razón - pero sólo si ya sabe lo que se explica en la parte final del texto. Si ese no es el caso, revise sus argumentos. Desafío 54, página 41: Obviamente, se utiliza la luz para comprobar que la línea de la plomada es recta, por lo que las dos definiciones deben ser lo mismo. Este es el caso debido a que las líneas de campo de gravedad son también posibles caminos para el movimiento de la luz. Sin embargo, este no es siempre el caso; ¿puede detectar las excepciones? Otra forma de comprobar la rectitud es a lo largo de la superficie de unas aguas tranquilas. Una tercera manera, menos precisa, forma es hacer uso de los sensores de rectitud en el cerebro. El cerebro humano tiene una facultad innata para determinar si un objeto visto con los ojos es recto. Existen células especiales en el cerebro que se activan cuando este es el caso. Cualquier libro sobre percepción de la visión contiene más información sobre este tema. 336 Desafío 55, página 42: La teoría de la Tierra hueca es correcta si la fórmula de la distancia se utiliza constantemente. En particular, uno tiene que hacer la suposición de que los objetos se hacen más pequeños cuando se acercan al centro de la esfera hueca. Buenas explicaciones de todos los eventos se encuentran en www.geocities.com/inversedearth. Algún material más se puede encontrar en Internet, también bajo los nombres de sistema celestiocéntrico, teoría del mundo interior o teoría de la Tierra cóncava. No hay manera de preferir una descripción sobre la otra, excepto, posiblemente, por razones de simplicidad o de pereza intelectual. Desafío 57, página 42: Un indicio se da en la Figura 253. Para la medición de la velocidad de la luz con casi el mismo método, véase el volumen II, en la Página 19. FIGURE 253 Una forma sencilla de medir las velocidades de las balas. FIGURA 254 Cómo hacer un agujero en una postal que permite pasar a través de ella. Desafío 58, página 42: Una rápida motocicleta es más veloz: un conductor de moto puede coger una flecha, un truco que fue mostrado en un programa de televisión en el año 2001. Desafío 59, página 42: La velocidad de la marcha de los hombres mayores depende de su salud. Si las personas caminan más rápido que 1,4 m / s, es que están sanas. El estudio concluyó que la parca camina con una velocidad preferida de 0,82m / s, y con una velocidad máxima de 1,36m / s. Desafío 60, página 43: 72 escalones. Desafío 63, página 43: Vea la Figura 254. Desafío 64, página 43: Dentro de 1 por ciento, una quinta parte de la altura debe estar vacía, y las cuatro quintas partes deben estar llenas; el valor exacto sigue de √2)1/3 = 1.25992... Desafío 65, página 43: Un lápiz dibuja una línea de entre 20 y 80 kilómetros, si no se pierde demasiado grafito cuando se afila. Los números para los lápices de plástico, flexibles recientemente inventados son desconocidos. Desafío 66, página 43: El oso es blanco, porque el lugar obvio de la casa está en el polo Norte. Pero hay un número infinito de puntos adicionales (sin osos) cerca del polo Sur: ¿puede encontrarlos? Desafío 67, página 43: Llamamos L la longitud inicial de la banda de goma, v, la velocidad del caracol relativa a la banda y V la velocidad del caballo en relación con el suelo. La velocidad del caracol en relación al suelo se da como ds s =v+ V dt L+Vt (123) Esto es lo que llamamos una ecuación diferencial para la posición desconocido del caracol s (t). Puede comprobar por simple inserción - que su solución está dada por s (t)= v Vt (L+Vt )ln(1+ ) V L (124) Por lo tanto, el caracol alcanza el caballo en un tiempo t alcance= L V /v (e −1) V (125) que es finito para todos los valores de L, V y v. Usted puede comprobar sin embargo, que el tiempo es muy grande en efecto, si se utilizan valores realistas de las velocidades. Desafío 68, página 44: El color es una propiedad que se aplica sólo a los objetos, no a los límites de los objetos. En el caso mencionado, sólo los puntos y los fondos tienen colores. La pregunta muestra que es fácil hacer preguntas que no tienen sentido también en física. Desafío 69, página 44: Puede hacerlo Vd. mismo. Puede incluso encontrar sitios web sobre el tema. Desafío 71, página 44: Relojes con dos manecillas: 22 veces. Relojes con tres manecillas: 2 veces. 337 Desafío 71-b 44 veces. Desafío 72, página 44: Para dos manecillas, la respuesta es 143 veces. Desafío 73, página 44: La Tierra gira 15 minutos por minuto. Desafío 74, página 44: Usted puede sorprenderse, pero no existen datos fiables sobre esta cuestión. La velocidad más alta de un lanzamiento medido hasta ahora parece ser la de una bola de cricket: 45 m / s. Por cierto, están disponibles muchos más datos para velocidades alcanzadas con ayuda de raquetas. El c. 70 m / s de un smash rápido de bádminton parecen ser un buen candidato para el récord de velocidad con raqueta; velocidades similares consiguen las pelotas de golf. Desafío 75, página 44: Un alargamiento disperso de 1m permite incluso que muchos gatos puedan deslizarse por debajo, como se muestra en el lado izquierdo de la figura 255. Pero la parte derecha de la figura muestra una mejor manera de utilizar la longitud extra de la cuerda, como Dimitri Yatsenko señala: un alargamiento localizado de 1mm entonces ya da una altura de 1,25 m, lo que permite a un niño a caminar a través. De hecho, un alargamiento en 1 m realizado de esta manera da lugar a ¡un pico de altura de 121 m! Desafío 76, página 44: 1.8 km/h o 0,5m/s. Desafío 78, página 44: La pregunta tiene sentido, sobre todo si ponemos nuestra situación en relación con el mundo exterior, como nuestra historia familiar o la historia del universo. El diferente uso refleja la idea de que somos capaces de determinar nuestra posición por nosotros mismos, pero no el tiempo en el que estamos. La sección de la página 206 sobre el determinismo mostrará lo equivocado de esta distinción. Desafío 79, página 44: Sí, lo hay. Sin embargo, esto no es evidente, ya que implica que el espacio y el tiempo no son continuos, en contraste con lo que aprendemos en la escuela primaria. La respuesta se encuentra en la parte final de este texto. FIGURA 255 Dos maneras de alargar una cuerda alrededor de la Tierra. Desafío 80, página 44: Para una curva, use, en cada punto de ella, el radio de curvatura del círculo que se aproxima a la curva en ese punto; para una superficie, defina dos direcciones en cada punto y utilice dos de estos círculos a lo largo de esas direcciones. FIGURA 256 Saliendo de una plaza de aparcamiento - el radio de giro exterior .de la maniobra. Desafío 81, página 44: Se mueve alrededor de 1 cm en 50 ms. Desafío 82, página 45:El área superficial del pulmón está comprendida entre 100 y 200 m2 , dependiendo de la fuente de la literatura científica, y la de los intestinos entre 200 y 400 m2. Desafío 83, página 45: No existe tal límite en la física clásica; sin embargo, sí lo hay en la naturaleza, que aparece tan pronto como se tienen en cuenta los efectos cuánticos. Desafío 84, página 45: La forma final es un cubo lleno sin ningún agujero. Desafío 85, página 45: La distancia del hueco requerida d es √ d= ( L−b)2−ω2 +2 ω √ (R2−(L−b)2)−L+ b como se deduce de la Figura 256. Vea también R. Hoyle, Requirements for a perfect s-shaped parallel parking maneuvre in a simple mathematical model, 2003. En efecto, las matemáticas de estacionamiento en paralelo son bonitas e interesantes. Véase, por ejemplo,, la pagina web http://rigtriv.wordpress.com/oyyT/Oy/yO/parallel-parking/ o la explicación de Edwardo Nelson, Tensor Analysis, Princeton University Press, OAaT, pp. cc–ca. Nelson explica cómo definir los campos de vectores que cambian la configuración de las cuatro dimensiones de una máquina, y cómo usar su 338 álgebra para mostrar que uno puede salir de las plazas de aparcamiento con distancias arbitrariamente cortas a los coches de delante y de atrás. Desafío 86, página 45: No existe un hueco más pequeño: ¡ningún valor lo hará! ¿Puede explicar esto? FIGURA 257 Resolución del rompecabezas del aparcamiento(© Daniel Hawkins) Desafío 87, página 46: La siguiente solución fue propuesta por Daniel Hawkins. Suponga que usted está sentado en el coche A, estacionado detrás del coche B, como se muestra en la Figura 257. Hay dos métodos básicos para salir de un hueco de estacionamiento que requieren la marcha atrás: girar el coche para alejar el centro de rotación en relación al coche B (a la derecha), y desplazar lateralmente el coche para alejar el centro de rotación (más lejos, hacia el lado) en relación al coche B. El primer método requiere que el coche A esté parcialmente en diagonal, lo que significa que el método no funcionará para d inferior a un cierto valor, esencialmente el valor dado anteriormente, cuando no se necesita la marcha atrás. Vamos a ocuparnos de el segundo método (en la figura), que funcionará para una d infinitesimal. En el caso en que la distancia d es menor que la distancia mínima requerida para salir de la plaza de aparcamiento sin necesidad de utilizar la marcha atrás para una geometría dada L, w, b, R, un intento para salir de la plaza de aparcamiento entrañará que la esquina del coche A toque al coche B a una distancia T de la esquina del coche B, como se muestra en la Figura 257. Esta distancia T es la cantidad por la cual el coche debe ser desplazado lateralmente con el fin de salir con éxito fuera de la plaza de aparcamiento . El método para salir de la plaza de aparcamiento, que se muestra en la esquina superior izquierda de la Figura 257, requiere dos fases para tener éxito: la fase de viraje inicial, y la fase de enderezamiento. Al girar y enderezar, conseguimos un desplazamiento vertical hacia abajo y un desplazamiento horizontal hacia la izquierda mientras preserva la orientación original. Esa última parte es clave porque si intentamos girar hasta que la esquina del coche A toque al coche B, el coche A estaría inclinado, y cualquier intento de enderezarlo sólo tendría el mismo arco para seguir hacia atrás a la posición inicial, mientras que girando las ruedas en la otra dirección el coche giraría aún más, como en el primer método descrito anteriormente. Nuestro objetivo es girar tanto como podamos y aún así ser capaces de enderezar antes que el coche A toque al coche B. Para analizar precisamente cuál debería ser la magnitud de este giro, en primer lugar debemos mirar las propiedades de un coche que gira. El ángulo de Ackermann es el principio según el cual para que un coche gire uniformemente, las cuatro ruedas deben girar alrededor del mismo punto. Esto fue patentado por Rudolph Ackermann en 1817. Algunas propiedades de la dirección Ackermann en relación a este problema son las siguientes: • Las ruedas traseras se quedan alineadas, pero las ruedas delanteras (que son las que controlamos), deberán girar diferentes cantidades alrededor del mismo centro. • Los centros de rotación de giros a izquierda y derecha están en lados opuestos del coche 339 • Para magnitudes iguales de giros a la izquierda y derecha, los centros de rotación son equidistantes del borde más cercano del coche. La Figura 257 hace esto mucho más claro. • Todos los posibles centros de rotación están en la misma línea, que también siempre pasa a través de las ruedas traseras. • Cuando las ruedas traseras están "rectas" (recto significará siempre en la misma orientación como la posición inicial), se alinean verticalmente con los centros de rotación. • Cuando el coche está girando alrededor de un centro, por ejemplo el que está asociado con el máximo giro a la izquierda, entonces el centro potencial asociado con el giro máximo a la derecha girará junto con el coche. Del mismo modo, cuando los coches giran sobre el centro derecho, el centro izquierda gira. Ahora que conocemos las propiedades de la dirección Ackermann, podemos decir que con el fin de maximizar el desplazamiento hacia abajo mientras preserva la orientación, hay que girar a la izquierda en torno al primer centro de tal manera que el segundo centro gira una distancia horizontal d, como se muestra en la Figura 257 .Cuando esto se logra, frene, y gire el volante de la dirección opuesta por completo, de modo que ahora estamos dando vuelta a la derecha sobre el segundo centro. Debido a que cambiamos d hacia la izquierda, vamos a enderezar el coche en el momento exacto que A entra en contacto con el coche B. El resultado es nuestra meta, un desplazamiento hacia abajo m y desplazamiento a la izquierda d preservando al mismo tiempo la orientación del coche A. Un proceso similar puede ser realizado en sentido inverso para lograr otra m descendente de cambio y un desplazamiento hacia la derecha d, moviéndose efectivamente coche A desde su posición inicial (antes de cualquier movimiento) 2m hacia abajo mientras que mantiene su orientación. Esto se puede hacer de forma indefinida, por lo que es posible salir de una plaza de aparcamiento con un d infinitesimal entre coche y coche A B. Para determinar cuántas veces este procedimiento (ambos conjuntos de rotación y enderezamiento) debe ser realizada, debemos dividir solo T (recordemos T es la cantidad por la cual un coche debe desplazarse hacia abajo para girar fuera de la plaza de aparcamiento normalmente) por 2m, el desplazamiento hacia abajo total para una iteración del procedimiento. Simbólicamente, n= T 2m (127) Con el fin de obtener una expresión para n en términos de la geometría del coche, debemos resolver para T y 2m. Para simplificar las derivaciones definimos una nueva longitud x, también se muestra en la Figura 257. x=√ R 2−( L−b)2 T =√ R 2−(L−b+d )2−x+ ω=√ R2−( L−b+ d)2− √ R2−( L−b)2 +ω √ 2 m=2 x−ω− √ (2 x−ω)2−d 2=2 x−ω− (2 √ R 2−(L−b)2 ω) −d 2 √ m=2 √ R −( L−b) −ω− √ 4 R −4 ( L−b) −4 ω √ R −( L−b) +ω −d m=2 √ R 2−( L−b)2 −ω− 4( R2−(L−b)2 )−4 ω √ R2 −( L−b)2 +ω 2−d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y entonces obtenemos n= T √ R 2−( L−b+d )2−√ R 2−( L−b)2+ ω = 2 m 4 R 2−(L−b)2−2ω−2 4 R2−4( L−b)2−4 ω R2−( L−b)2 +ω2 −d 2 √ √ √ El valor de n debe ser redondeado por exceso siempre al siguiente entero para determinar cuántas veces hay que ir hacia atrás y hacia adelante para dejar el lugar de estacionamiento. Desafío 88, página 46: Nada, ni es una prueba ni una refutación. Desafío 89, página 46: véase el volumen II, en la página 19. En obturadores extremos, ver también la discusión en el Volumen VI, en la página 111. Desafío 90, página 46: Una pista para la solución se da en la Figura 258. Desafío 91, página 46: Debido a que son o eran líquidas. Desafío 92, página 46: La forma se muestra en la Figura 259; tiene once lóbulos. Desafío 93, página 46:El ángulo φ del cono, el ángulo entre el eje del cono y el borde del cono (o equivalentemente, la mitad del ángulo de vértice del cono) se relaciona con el ángulo sólido Ω través de la relación Ω = 2π (1 - cos φ). Utilice el área de superficie de un casquete esférico para confirmar este resultado. Desafío 95, página 47: Véase Figure 260. 340 Desafío 99, página 48: Sugerencia: dibujar todos los objetos involucrados. Desafío 100, página 48: La curva se llama obviamente una catenaria, del latín 'catena' para la cadena. La fórmula de la catenaria es y = a cosh(x/a). Si se aproxima la cadena por cortos segmentos rectos, es posible hacer bloques de madera que pueden formar un arco que se sostiene sin necesidad de pegamento. El arco de St. Louis tiene la forma de una catenaria. Un puente colgante tiene la forma de una catenaria antes de añadirle carga, es decir, antes que la vía sea adherida a él. Cuando el puente está acabado, la forma está entre una catenaria y una parábola. FIGURA 258 A simple dibujo – Una de las muchas formas que permiten demostrar el teorema de Pitágoras. FIGURA 259 La trayectoria del punto medio entre los dos extremos de las agujas de un reloj. Desafío 101, página 48: El inverso de los radios, o curvaturas, obedecen a2 + b2 + c2 + d2 = (1/2)(a + b + c + d)2. Esta fórmula fue descubierta por René Descartes. Si se continúa poniendo círculos en los espacios vacíos, obtenemos los denominados empaquetamientos compactos de círculos, un bonito dominio de las matemáticas recreativas. Ellos tienen muchas propiedades extrañas, tales como intrigantes relaciones entre las coordenadas de los centros de los círculos y sus curvaturas. Desafío 102, página 48: Una opción: use el análogo tridimensional del teorema de Pitágoras. La respuesta es 9. Desafío 103, página 48: Hay dos soluciones. ¿Por qué? Son las dos soluciones positivas de l2 = (b + x)2 + (b + 2 b /x)2; la altura está dada como h = b + x. Las dos soluciones son 4,84 m y 1,26 m. Existen fórmulas explícitas para las soluciones: ¿puede encontrarlas? Desafío 104, página 48: El mejor método consiste en calcular primero la altura B a la cual la esclera azul toca la pared. El valor está dado como una solución de B4 −2hB3 −(r2 −b2)B2 +2h(r2 −b2)B − h2(r2 −b2) = 0. Las soluciones con valores enteros se discuten en Martin Gardner, Mathematical Circus, Spectrum, 1996. Desafío 105, página 48: Dibuje una escala logarítmica, es decir, ponga cada número a una distancia correspondiente a su logaritmo natural. Tal dispositivo, llamado regla de cálculo se muestra en la Figura 261. La regla de cálculo es la precursora de las calculadoras electrónicas; eran usadas en todo el mundo en tiempos prehistóricos, es decir, hasta alrededor de 1970. Vea también la página web www.oughtred.org. Desafío 106, página 49: Dos días más. Construya usted mismo un modelo del Sol y la Tierra para comprobar esto. De hecho, hay una pequeña corrección al valor 2, por la misma razón que hace que el día solar sea más corto de 24 horas. Desafío 107, página 49: El Sol está exactamente detrás de la parte posterior del observador; se está poniendo, y los rayos están llegando desde atrás y penetran profundamente en el cielo en la dirección opuesta a la del Sol Desafío 109, página 49: El volumen está dado por V = ∫ Adx = ∫1−1 4(1 − x2)dx = 16/3. Desafío 110, página 49: Sí. Pruébelo con un modelo de papel. Desafío 111, página 49: Surgen problemas cuando añadimos efectos cuánticos. Un universo bidimensional no tendría materia, puesto que la materia está hecha de partículas con espín ½. Pero las partículas con espín ½ no existen en dos dimensiones. ¿Puede encontrar otras razones? Desafío 112, página 49: Dos dimensiones no permiten ordenar acontecimientos. Decir “antes” o “después” resulta imposible. En la vida cotidiana y en todos los dominios accesibles a la medida, el tiempo es ciertamente unidimensional. Desafío 113, página 49: Ningún experimento ha encontrado nunca ningún indicio. Sin embargo, ¿puede ser esto? Probablemente no, como se argumenta en el último volumen de La montaña del Movimiento. 341 Desafío 114, página 50: La mejor solución parecen ser 23 líneas extra. ¿Puede deducirlo? Para evitar que se pierda la diversión de la investigación, la solución no se da aquí. Puede encontrar soluciones en blog.vixra.org/2010/12/26/achristmas-puzzle. FIGURA 261 Una regla de cálculo de gama alta, en torno a 1970 (© Jörn Lütjens). Desafío 115, página 50: Si usted resuelve este problema de la longitud de la cuerda, se convertirá en un famoso matemático. La longitud se conoce con alrededor de 6 decimales de precisión. No se conoce una fórmula exacta, y la forma precisa de tal nudo ideal es desconocida para todos los nudos no triviales. Es un problema irresuelto todavía para todos los nudos no triviales ideales cerrados, para los cuales los dos extremos están pegados juntos. Desafío 116, página 52: De x = gt2/2 obtenemos la siguiente regla: haga el cuadrado del número de segundos, multiplique por cinco y obtendrá la profundidad en metros. Desafío 117, página 52: Experiméntelo ahora. Desafío 118, página 52: Los académicos suspendieron una bola de cañón con un alambre delgado justo enfrente de la boca del cañón. Cuando se disparó, la segunda bola de cañón al volar cortó el alambre; así se aseguraban que las dos bolas partían al mismo tiempo. Un observador situado muy lejos intentaba determinar si ambas bolas llegaban a tierra al mismo tiempo. El experimento no es fácil, cualquier pequeño error en el ángulo y la resistencia del aire falsean los resultados. Desafío 119, página 53: Una parábola tiene un denominado foco o punto focal. Toda luz emitida desde ese punto y reflejada en ella sale en la misma dirección: todos los rayos de luz se emiten paralelos. El nombre focus – palabra latina para chimenea – expresa el hecho de que es el punto más caliente cuando se ilumina un espejo parabólico. ¿Dónde está el foco de la parábola y = x2? (Las elipses poseen dos focos, con una definición ligeramente diferente. ¿Puede encontrarlos? Desafío 120, página 53: El record de salto de longitud seguramente podría incrementarse librándose de la cinta métrica sobre la arena y midiendo la verdadera distancia del salto con una cámara fotográfica. Esto permitiría a los atletas correr más cerca de su velocidad límite. El récord podría también ser mejorado con una pequeña plancha inclinada o con una tabla suspendida de un resorte para incrementar el ángulo de impulso. Desafío 121, página 53: Camine o corra en la lluvia, mida su propia velocidad v y el ángulo α que forma la vertical con la dirección en la que la lluvia parece caer. Entonces la velocidad de la lluvia es vlluvia =v/tan α. Desafío 122, página 54. Puede que lo tenga Roald Bradstock, que lanzó una pelota de golf sobre 155 m. Los Records para lanzar teléfonos móviles, jabalinas, personas y lavadoras son más cortos. Desafío 122-b, página 54. Camine o corra bajo la lluvia, mida su propia velocidad v, y el ángulo desde la vertical en la que la lluvia parece caer. Por lo que la velocidad de la lluvia es de vrain = v/ tan α. Desafío 122-c, página 54.En patinaje, los saltos cuádruples son ahora asunto de técnica. En la danza, no existen tales unidades de records. Desafío 123, página 54: Despreciando la resistencia del aire y aproximando el ángulo a 45º, tenemos, v = (dg)1/2 , o alrededor de 3,8 m/s. Esta velocidad es generada por un constante acúmulo de presión, utilizando la presión de la sangre, que se libera de repente con un sistema mecánico en el extremo del conducto digestivo. La referencia citada proporciona más acerca de los detalles. Desafío 124, página 54: Sobre un suelo horizontal, para una velocidad, v, y un ángulo con relación a la horizontal, α, despreciando la resistencia del aire y la altura del lanzador, la distancia d es d = v2·sin 2α/g. Desafío 125, página 54: Sorprendentemente, la respuesta no está clara. En 2012, el record humano es once bolas. 342 Para los robots, el registro actual es tres bolas, como el conseguido por el robot Sarcoman. Internet está lleno de material y vídeos sobre el tema. Es un reto para personas y robots lograr el máximo número posible de esferas. Desafío 126, página 54: Se dice que es verdad, puesto que las gotas de lluvia serían ahora esferas de hielo y caerían con gran velocidad. Desafío 127, página 54: ¡Sí! Algunas personas han ido al hospital e incluso han muerto a causa de proyectiles en caída libre que han atravesado su cráneo. (Vea S. Mi rsky, It is high, it is far, Scientific American p. 86, February 2004, o C. Tuij n, Vallende kogels, Nederlands tijdschrift voor natuurkunde 71, pp. 224–225, 2005.) Disparar una arma al aire es un crimen. Desafío 128, página 54: Esta es una historia verdadera. La respuesta puede darse sólo si se conoce si la persona tiene probabilidad de saltar mientras corre o no. En el caso descrito por R. Cross, Forensic physics 101: falls from a height, American Journal of Physics 76, pp. 833–837, 2008, no había sitio para correr, así que la respuesta fue: asesinato. Desafío 129, página 54: Para saltos de un animal de masa m la energía necesaria E está dada por E = mgh, y el trabajo disponible para un músculo es a grandes rasgos proporcional a su masa W ∼ m. Así se tiene que la altura h es independiente de la masa del animal. En otras palabras, la energía mecánica específica de los animales es alrededor de 1,5 ± 0,7 J/kg. Desafío 130, página 54: Las piedras nunca siguen parábolas: cuando se estudia en detalle, es decir, cuando tomamos en consideración la variación de g con la altura, su trayectoria precisa es una elipse. Esta forma aparece más claramente para lanzamientos largos, tal como los lanzamientos alrededor de una parte significativa de la Tierra, o para objetos orbitando. En pocas palabras, las piedras siguen parábolas solamente si asumimos que la tierra es plana. Si su curvatura se tiene en cuenta, siguen elipses. Desafío 131, página 55: El conjunto de todas las rotaciones alrededor de un punto en un plano constituye verdaderamente un espacio vectorial. ¿Qué es el conjunto de todas las rotaciones alrededor de todos los puntos en un plano? ¿Y qué es en lo concerniente a situaciones tridimensionales? Desafío 134, página 55: El producto escalar entre dos vectores a y b está dado por ab = ab cos (a, b) . ¿En qué difiere esta fórmula de la del producto vectorial? Desafío 137, página 58: Un buen candidato para una aceleración débil de un sistema físico podrían ser las aceleraciones medidas por detectores de ondas gravitacionales. Son inferiores a 10−13 m/s2. ¿Hay un límite teórico más bajo para la aceleración? Desafío 138, página 58: En caída libre (cuando no está presente el aire) o dentro de una estación espacial orbitando la Tierra, somos acelerados, pero no sentimos nada. Sin embargo, la cuestión no es tan simple. Por un lado, las aceleraciones constantes y homogéneas no se sienten realmente si no hay un referencial acelerado. De hecho, esta indistinguibilidad o equivalencia entre aceleración y “no sentir nada” constituyó una etapa crucial para Albert Einstein en su desarrollo de la relatividad general. Por otra parte, si nuestros sentidos fueran suficientemente sensibles, sentríamos algo: en caída libre y en la estación espacial, la aceleración no es constante ni uniforme. Así que incluso podemos decir que las aceleraciones que se encuentran en la naturaleza pueden sentirse siempre. Desafío 139, página 58: El Profesor al estudiante: ¿Cuál es la derivada de la velocidad? ¡Aceleración! Cuál es la derivada de la aceleración? No lo sé. ¡ Imbécil! (En inglés Jerk (tirón, también significa imbécil ) La cuarta, quinta, sexta derivadas de la posición se llaman a veces snap (chasquido), crackle (estallido) y pop (pum). Desafío 141, página 60: Se puede argumentar que cualquier fuente de luz debe tener tamaño finito. Desafío 143, página 61: Lo que el ojo humano desnudo (sin ayuda) percibe como un minúsculo punto negro tiene generalmente alrededor de 50 μm de diámetro. Desafío 144, página 61: Vea volumen III, página 146. Desafío 145, página 61: Debemos verificar cuidadosamente si las etapas conceptuales que nos han llevado a extirpar la noción de punto a partir de las observaciones son correctas. Veremos en la parte final de esta aventura que no es el caso. Desafío 146, página 62: Podemos hacer girar la mano de tal manera que el brazo realice el movimiento descrito. Vea también volumen IV, página 122. Desafío 147, página 62: Cualquier número, sin límite. Desafío 148, página 62: La circulación sanguínea y nerviosa no sería posible si la rueda tuviera un eje. El método indicado para evitar enmarañar las conexiones únicamente funciona cuando la parte en rotación no tiene ejes : la rueda debe flotar o mantenerse en su lugar por otros procedimientos. Resulta imposible concebir un eje de rueda utilizando un simple trozo de piel. Y si una rueda sin eje pudiera construirse (lo que podría ser posible), entonces la rueda aplastaría regularmente la conexión. ¿Podría servir una conexión sin eje para realizar una hélice? Por otra parte, siempre es concebible que los animales posean ruedas sobre ejes, si la rueda es un objeto inerte. Incluso si se emplearan tecnologías de circulación sanguínea como los reactores de flujo continuo, los animales no 343 podrían hacer crecer tal rueda separada de un modo adaptado al resto del cuerpo y encontraría dificultades para reparar una rueda dañada. Las ruedas separadas no pueden ponerse sobre los animales: deben ser inertes. Desafío 149, página 63: El cerebro en el cráneo, la fábrica de sangre dentro de los huesos o el crecimiento de los ojos son ejemplos. Desafío 150, página 64: En 2007, Las más grandes ruedas de feria para pasajeros (norias) tenían alrededor de 150 m de diámetro. La más grande turbina de viento tiene unos 125 m de diámetro. Los hornos de cemento son las ruedas más grandes: pueden tener más de 300 m a lo largo de su eje. Desafío 151, página 64: La resistencia del aire reduce la máxima distancia, la cual se alcanza para un ángulo de cerca de π/4 = 45°, de cerca de v2/g= 91.7 m más o menos hasta unos 50m. Desafío 155, página 68: Podemos añadir también el Sol, el cielo y el paisaje a la lista. Desafío 156, página 69: No hay una tercera opción. Los fantasmas, las alucinaciones, las apariciones de Elvis o los extraterrestres deberían ser objetos o imágenes. Incluso las sombras son tan solo un tipo especial de imágenes. Desafío 157, página 69: El problema fue calurosamente debatido en el siglo XVII; el mismo Galileo postulaba que eran imágenes. Sin embargo son objetos, ya que pueden chocar con otros objetos, como mostró la espectacular colisión entre Jupiter y el cometa Shoemaker-Levy 9 en 1994. Desde entonces, se han fabricado satélites para chocar con cometas e incluso para disparar a ellos (y acertar). FIGURA 262 Las medidas (barras negras) y comportamiento calculado (líneas coloreadas) – más precisamente, los autovalores dinámicos – de una bicicleta en función de su velocidad (© Arend Schwab). Bicycle motion Desafío 158, página 69: La velocidad mínima es aproximadamente aquella a la cual es posible rodar sin manos. Si usted lo hace así, y empuja entonces delicadamente el manillar, puede reproducir la experiencia descrita arriba. Tenga cuidado, un empuje demasiado fuerte hará que caiga peligrosamente. La bicicleta es uno de los sistemas mecánicos cotidianos más complejos, y aún es asunto de investigación. Obviamente, los expertos mundiales son holandeses. Una panorámica del comportamiento de una bicicleta se da en la Figura 262. El principal resultado es que la bicicleta es estable en posición de pie en un rango de velocidades medias. Solamente a bajas y grandes velocidades debe el conductor manejar activamente para asegurar la posición vertical de la bicicleta. Para más detalles, vea J. P. Meijaard, J. M. Papadopoulos, A. Ruina & A. L. Schwab, Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle: a benchmark and review, Proceedings of the Royal Society A 463, pp. 1955– 1982, 2007, and J.D.G. Kooi jman, A. L. Schwab & J. P. Meijaard, Experimental validation of a model of an uncontrolled bicycle, Multibody System Dynamics 19, pp. 115–132, 2008. Vea también audiophile.tam.cornell.edu/~als93/Bicycle/index.htm . Desafío 159, página 71: El peso disminuye debido al agua evaporada perdida por sudoración y, en menor medida, al carbono exhalado contenido en dióxido de carbono. Desafío 160, página 71: Si la bola que se mueve no está rotando, después de la colisión las dos bolas saldrán justo con un ángulo recto entre ellas. Desafío 161, página 71: Parte de la energía se convierte en calor; el resto se transfiere como energía cinética al 344 bloque de hormigón. Como el bloque es pesado, su velocidad es pequeña y es fácilmente detenido por el cuerpo humano. Este efecto actúa también con yunques. En otra variante común la persona no está acostada sobre clavos, sino suspendido en el aire: se mantiene horizontal solamente con la cabeza y los hombros apoyados en una silla y las piernas en otra. Desafío 162, página71: Sí, la definición de masa es válida también para el magnetismo, porque la condición precisa no es que la interacción sea central, sino que la interacción satisfaga una condición más general que incluya aceleraciones como las producidas por el magnetismo. ¿Puede deducir esta condición a partir de la definición de masa como la magnitud que conserva la cantidad de movimiento? Desafío 163, página 73: Mejor que utilizar efectos inerciales de la Tierra, es más fácil deducir su masa de sus efectos gravitacionales. Desafío 167, página 73: A primera vista, la relatividad implica que los taquiones tienen masa imaginaria; sin embargo, el factor imaginario puede retirarse de la relación masa-energía y masa-cantidad de movimiento, así que se puede definir un valor real de la masa para los taquiones; como resultado, los taquiones más rápidos tienen menor energía y menor cantidad de movimiento. Ambos, cantidad de movimiento y energía pueden tomar valores negativos cualesquiera. Desafío 168, página 76: La posición más a la izquierda tiene un efecto pequeño, la segunda hace que el coche ruede adelante y atrás, las dos figuras de la derecha muestran la manera de descorchar botellas de vino sin sacacorchos. Desafío 169, página 75: Las piernas no están nunca perfectamente verticales; se deslizan inmediatamente hacia el exterior. Una vez que el gato o la persona está en el suelo, es casi imposible mantener la posición mucho tiempo. Desafío 170, página 75: La conservación de la cantidad de movimiento (del centro de masas) implicaría que los alrededores fueran acelerados en la dirección opuesta. La conservación de la energía implicaría que una cantidad colosal de energía sería transferida entre los dos posiciones, disolviendo todo lo demás.. El teletransporte estaría así en contradicción con la conservación de la energía y la cantidad de movimiento. Desafío 171, página 77: la fracción de las mareas debida al Sol, el viento solar y las interacciones entre ambos campos magnñeticos son ejemplos de mecanismos de fricción entre la Tierra y el Sol. Desafío 172, página 77: Con el factor 1/2, el aumento de energía cinética (física) es igual al trabajo (físico) ejercido sobre un sistema: la energía total se conserva sólo si se añade el factor ½. Desafío 174, página 79: Es una hábil aplicación de la conservación de la cantidad de movimiento. Desafío 175, página 79: Ni uno ni otro. Con los frenos apretados, el daño es mayor, pero siempre repartidos por igual en ambos coches. Desafío 176, página 79: Equipos de calefacción, locomotoras, motores en las fábricas, plantas de acero, generadores de electricidad para cubrir pérdidas en la potencia de la red, etc. En todas partes, los países más ricos del mundo, como Suecia o Suiza, consumen solamente la mitad de energía por habitante que en EE. UU. Este despilfarro es una de las razones del menor nivel de vida medio en EE. UU. Desafío 181, página 82: Simplemente láncelo al aire y compare la destreza necesaria para hacerlo girar alrededor de varios ejes. Desafío 182, página 82: Utilice la definición del momento de inercia y el teorema de Pitágoras para cada elemento de masa del cuerpo estudiado. Desafío 183, página 82: Suspenda el cuerpo de una cuerda atada en dos puntos diferentes. El punto donde se cruzan las dos líneas definidas por la cuerda prolongadas es el centro de masas. Desafío 184, página 83: Vea las Tablas 19 y 20. Desafío 185, página 84: Las esferas tienen una orientación, porque siempre podemos añadir un minúsculo punto en su superficie. Esta posibilidad no existe para los objetos microscópicos y estudiaremos esta situación en la parte de la mecánica cuántica. Desafío 186, página 85: Sí, el mono puede alcanzar la banana. El mono solo tiene que girar alrededor de su propio eje. Para cada vuelta, el plato girará un poco hacia la banana. Por supuesto, hay otros métodos posibles, como soplar en ángulo recto con el eje, hacer pipí, etc. Desafío 187, página 85: El movimiento rectilíneo autopropulsado viola la conservación de la cantidad de movimiento; el cambio de dirección autopropulsado (en tanto el movimiento cese de nuevo) no contradice ninguna ley de conservación. Pero la profunda, la última razón para la diferencia será desvelada en la parte final de nuestra aventura. Desafío 189, página 86: Los puntos que se mueven exactamente a lo largo de la dirección radial de la rueda forman un círculo situado debajo del eje y encima de la llanta. Son los puntos que aparecen netos (no difuminados) en la Figura 71 de la página 85. Desafío 190, página 86: Utilice la conservación del momento angular alrededor del punto de contacto. Si asumimos que toda la masa de la rueda está en la llanta, entonces la velocidad final de rotación es la mitad de la inicial y es independiente del coeficiente de fricción. 345 Desafío 192, página 87: Probablemente el escritor quería significar el ‘resto del universo’. De hecho, un movimiento de una parte nunca cambia el centro de gravedad de un sistema cerrado. Pero, ¿el universo es cerrado? ¿o un sistema? La última parte de nuestra aventura cubre estas cuestiones. Desafío 193, página 88: El cuerpo humano es más eficiente energéticamente a baja y media potencia. El asunto es todavía asunto de investigación, como se detalla en la citada referencia. La inclinación crítica se estima en alrededor de 16° para caminantes cuesta arriba, pero podría ser diferente para caminantes cuesta abajo. Desafío 193-b. El método permitió Phileas Fogg ganar la apuesta principal de la famosa novela de aventuras La vuelta al mundo en ochenta días, de Jules Verne, traducida de Le tour du monde en quatre-vingts jours. Desafío 194, página 88: Pista: una energía dividida por una distancia es una fuerza. Desafío 195, página 88: La conservación del momento angular salva el vidrio. Inténtelo. Desafío 196, página 88: Antes que nada, los datos experimentales de MacDougall son defectuosos. En los seis casos que examinó MacDougall, no conocía el momento exacto de la muerte. Su pretensión de que la masa disminuía no se deduce de sus propios datos. Medidas modernas con ovejas moribundas, de aproximadamente la misma masa que los humanos, han mostrado que la masa no cambia, pero el peso neto oscila unas pocas docenas de gramos cuando se para el corazón. Esta disminución temporal del peso podría ser debida al aire expelido o a humedad, a la relajación de los músculos o a la detención de la circulación de la sangre. La cuestión no está resuelta. Desafío 198, página 88: Asumiendo una montaña rectangular, la altura h sobre la corteza circundante y la profundidad d por debajo está dada por h ρm−ρc = ρ c d (129) donde ρc es la densidad de la corteza y ρm es la densidad del manto. Para los valores de densidad dados, la razón es 0,14815, o lo que es lo mismo 1 a 6,75, llegando a una profundidad adicional de 6,75 km bajo la montaña. Desafío 200, página 89: La lata llena de líquido. Hay videos en internet que muestran el experimento. ¿Por qué es este el caso? Desafío 203, página 89: El comportamiento de las esferas sólo puede explicarse notando que se propagan ondas elásticas a través de la cadena de bolas. Sólo la propagación de estas ondas elásticas, en particular, su reflejo en el extremo de la cadena, explica que el mismo número de bolas que ha golpeado en un lado se levantó en el otro. Para tiempos largos, la fricción hace que todas las esferas oscilen en fase. ¿Puede confirmar esto? Desafío 204, página 114: Cuando el cilindro corto golpea al largo, dos ondas de compresión comienzan a correr desde el punto de contacto a través de los dos cilindros. Cuando cada onda de compresión llega al final, se refleja como una onda de expansión. Si la geometría está bien elegida, la onda expansiva que regresa del cilindro corto puede continuar en el largo (que todavía está en su fase de compresión). Para un tiempo de contacto suficientemente largo, las ondas del cilindro corto pueden depositar mucha de su energía en el cilindro largo. La cantidad de movimiento se conserva, así como la energía; el cilindro largo está oscilando en longitud cuando se desprende, así que no toda su energía es energía traslacional. Esta oscilación es usada entonces para introducir clavos o taladros en muros de piedra. En los taladros de martillo comerciales se usan típicamente ratios de longitudes de 1:10 Desafío 205, página 114: La cantidad de movimiento transferido al muro es el doble que cuando la pelota rebota perfectamente. Desafío 206, página 114: Si el tapón de corcho está en su posición normal: Quite la cubierta de plástico del tapón, ponga el paño alrededor de la botella (esto es por razones de protección solamente) y, repetidamente, golpee la botella contra el piso o contra una pared en dirección inclinada, como se indica en la Figura 64. Con cada golpe, el tapón saldrá un poco. Si el tapón ha caído dentro de la botella: ponga la mitad del paño dentro de la botella; sacuda hasta que el tapón caiga dentro del paño. Empuje el paño hacia fuera: primero lentamente, hasta que el paño se cierre cerca del corcho, y entonces con fuerza. Desafío 208, página 115: El microscopio de fuerza atómica. Desafío 210, página 115: Para un hombre corriendo: E ≈ 0,5⋅80 (kg) ⋅(5m/s)2 = 1 kJ; para una bala de rifle: E ≈ 0,5 ⋅0,04 kg ⋅(500 m/s)2 = 5 kJ. Desafío 211, página 115: Casi duplica el tamaño. Desafío 212, página 116: En el punto más alto. La aceleración es g·sin α, donde α es el ángulo del péndulo en el punto más alto. En el punto más bajo, la aceleración es v2/l, donde l es la longitud del péndulo. La conservación de la energía implica que v2 = 2gl(1 − cos α). Así el problema requiere que sen α = 2(1 − cos α). De ahí resulta que cos α = 3/5. Desafío 213, página 116: Se necesita la ecuación del cambio de masa debida al vapor dm/dt = πρvaporr2|v| y a la evolución de velocidad de la gota mdv/dt = mg − v dm/dt. Estas dos ecuaciones dan 346 dv 2 2 g v2 = −6 dr C r (130) donde C = ρvapor/4ρagua. El truco consiste en mostrar que esto puede ser reescrito como d v2 2 g v2 r = −7 dr r C r (131) Durante mucho tiempo, todas las soluciones sensibles físicamente se aproximaban a v2/r = 2g/7C; lo que implica, 2 dv v g = dt r 7 y r= gC 2 t 14 (132 Sobre este famoso problema, vea por ejemplo, B. F. Edwards, J. W. Wi lder & E. E. Sci me, Dynamics of falling raindrops, European Journal of Physics 22, pp. 113–118, 2001, or A. D. Sokal, The falling raindrop, revisited, preprint at arxiv.org/abs/09080090. Desafío 214, página 116: uno es más rápido porque los momentos de inercia son diferentes. ¿Cuál? Desafío 215. No hay una respuesta simple, ya que la resistencia del aire juega un papel importante. Casi no hay estudios sobre el tema. Por cierto, saltar competitivamente la cuerda es un reto; por ejemplo, un par de personas en el mundo son capaces de girar la cuerda 5 veces bajo sus pies durante un solo salto. ¿Se puede hacer mejor? Desafío 216, página 116: Pese la bala y dispare contra una masa que cuelga de un techo. De la masa y el ángulo de desviación puede determinarse la cantidad de movimiento de la bala. Desafío 218, página 116: La curva descrita por por el punto medio de una escalera deslizando hacia abajo en una pared es un círculo. Desafío 219, página 116: El conmutador usa la potencia que recibe cuando se pulsa el interruptor y alimenta un pequeño transmisor que actúa por control remoto a alta frecuencia para encender la luz. Desafío 220, página 116: Se usa un ingenioso arreglo de láminas bimetálicas. Ellas se mueven cada vez que la temperatura cambia del día a la noche -y viceversa- y dan cuerda al reloj. El reloj mismo es un reloj mecánico con bajo consumo de energía. Desafío 221, página 116: El peso del ascensor no cambia en absoluto cuando la pareja de barcos entra en él. Un par de ascensores, es decir, un sistema en el que ambos ascensores estén mecánica o hidráulicamente conectados, no necesita para nada de motores: es suficiente llenar hasta arriba el ascensor con un poco de agua adicional cada vez que un barco entra en él. Tales embarcaciones se elevan sin motores en absoluto, como era habitual usar en el pasado. Desafío 223, página 119: Esto no es fácil: una combinación de fricción y pares de fuerzas (momentos de fuerzas) desempeñan un papel. Vea por ejemplo el artículo J. Sauer, E. Schorner & C. Lennerz, Real-time rigid body simulation of some classical mechanical toys, 10th European Simulation and Symposium and Exhibition (ESS ’98) 1998, pp. 93– 98, or http//www.lennerz.de/paper_ess98.pdf. Desafío 225, página 124: Vea la Figura 105. Desafío 226, página 126: Laplace y Gauss mostraron que la desviación hacia el este d de un objecto cayendo está dada por √ 2 2h3 d= Ω cos φ 3 g (133) Aquí Ω = 72,92 μrad/s es la velocidad angular de la Tierra, φ es la latitud, g la aceleración gravitatoria y h es la altura de la caída. Desafío 227, página 127: El efecto Coriolis puede verse como la suma de dos efectos diferentes de igual intensidad. El primero de estos efectos es el siguiente: en un sistema de referencia en rotación, la velocidad cambia con el tiempo. Lo que un observador inercial (que no está en rotación) considera ser una velocidad constante, será visto como una velocidad que cambia con el tiempo para el observador en rotación. La aceleración medida por el observador en rotación será negativa y proporcional a la velocidad angular y a la velocidad. El segundo efecto es la variación de la velocidad en el espacio. En un sistema de referencia en rotación, diferentes puntos tienen diferentes velocidades. El efecto es negativo y proporcional a la velocidad angular y la velocidad. En total, la aceleración de Coriolis (o efecto Coriolis) es así aC = −2ω × v . Desafío 228, página 128: Un péndulo corto de longitud L oscila en dos dimensiones (con una amplitud ρ y orientación φ) hace aparecer dos términos adicionales en el lagrangiano L: l 2z ρ2 ρ2 1 ˙2 1 ~ 2 2 L=T −V = m ρ (1+ 2 )+ . m ω0 ρ (1+ 2 ) 2 L 2 mρ2 2 4L (134) donde como es habitual la frecuencia fundamental es ω20 = g/L y el momento angular es lz = mρ2 ·φ'. Los dos términos adicionales desaparecen cuando L → ∞; en tal caso, si el sistema oscila en una elipse con semiejes a y b, la 347 elipse está fijada en el espacio y la frecuencia es ω0. Para un péndulo de longitud finita L, la frecuencia cambia a 2 ω=ω0 (1− 2 a +b ) 16 L2 (135) La elipse rota con una frecuencia Ω=ω 3 ab 8 L2 (136) Estas fórmulas pueden derivarse utilizando el principio de mínima acción, como han mostrado C. G. Gray, G. Karl & V. A. Novikov, Progress in classical and quantum variational principles, arxiv.org/abs/physics/0312071. Dicho de otra manera, un péndulo corto en movimiento elíptico muestra una precesión aún sin el efecto Coriolis. Dado que esta frecuencia de precesión disminuye con 1/L2, el efecto es imperceptible para péndulos largos, donde solo el efecto Coriolis permanece. Para observar el efecto de la fuerza de Coriolis en un péndulo corto debemos prestar atención a que no comience a oscilar según una órbita elíptica añadiendo algún mecanismo que anule el movimiento elíptico. Desafío 229, página 129: La aceleración de Coriolis es la razón de la desviación en relación a la línea recta. La aceleración de Coriolis se debe a la variación de la velocidad con la distancia al eje de rotación. Imaginemos ahora un péndulo, localizado en París, oscilando en dirección Norte-Sur con una amplitud A. En el extremo meridional de la oscilación, el péndulo está alejado del eje una distancia A sen φ, donde φ es la latitud. En este extremo de la oscilación, el pivote del apoyo central sobrepasa al plano de oscilación del péndulo con una velocidad horizontal relativa dada por v = 2πAsin φ/23 h56min. El período de precesión está dado por TF = v/2πA, donde 2πA es la circunferencia de la envolvente de la trayectoria del péndulo (relativa a Tierra). Esto conduce a TF = 23 h56min/ sin φ. ¿Por qué el valor que aparece en la fórmula no es 24 h sino 23 h 56 min? Desafío 230, página 129: El eje permanece fijo con respecto a las estrellas distantes, no en relación al espacio absoluto (el cual es una entidad que, rotundamente, no puede ser observada). Desafío 231, página 129: La rotación entraña una minúscula variación de la frecuencia y por lo tanto del color de la luz que circula. Desafío 232, página 129: El peso cambia cuando vamos hacia el este o cuando nos desplazamos hacia el oeste debido a la aceleración de Coriolis. Si la velocidad de rotación coincide con la frecuencia de oscilación de la balanza, el efecto se amplifica por resonancia. Esta argucia fue utilizada también por Eötvös. Desafío 233, página 129: La aceleración de Coriolis hace girar la barra porque cada cuerpo en movimiento es desviado hacia un lado y la dos desviaciones se suman en este caso. La dirección de deflección depende del lugar donde se realice la experiencia, en el hemisferio norte o sur. Desafío 234, página 129: Cuando se le gira un águlo π alrededor de un eje este-oeste la fuerza de Coriolis produce una deriva de la velocidad del líquido alrededor del tubo, que tiene el valor (137) v = 2ωr sin θ, En tanto la fricción sea despreciable. Aquí ω es la velocidad angular de la Tierra, θ la latitud y r el (mayor) radio del toro. Para un tubo con 1m de diámetro en Europa continental, esto da una velocidad de alrededor de 6,3⋅10−5 m/s. La medida pueden facilitarse si el tubo restringe su diámetro en un punto, porque entonces la velocidad aumenta en esta situación. Una disminución de área en un factor 100 incrementa la velocidad en el mismo factor. Cuando se realiza el experimento, debemos descartar cuidadosamente todos los otros efectos que obligan al agua a moverse, tales como gradientes de temperatura a través del sistema. FIGURA 263 Deduciendo la expresión para el efecto Sagnac. Desafío 235, página 131: Imagine que la luz describe una trayectoria circular (por ejemplo, en una fibra de vidrio circular) y dos haces desplazándose en direcciones opuestas, como se indica en la Figura 263. Si la fibra gira con una frecuencia de rotación Ω, podemos deducir que después de una vuelta, la diferencia ΔL es 4 π R2 Ω Δ L=2 R Ω t= c (138) La diferencia de fase es así 348 Δ φ= 8 π2 R 2 Ω cλ (139) si el índice de refracción es 1. Esta es la fórmula requerida para el estudio del principal caso del efecto Sagnac. Regularmente se sugiere que el efecto Sagnac solamente puede ser comprendido con ayuda de la relatividad general; esto es incorrecto. Como se ha hecho, el efecto es fácilmente deducible de la invariancia de la velocidad de la luz. Este efecto es consecuencia de la relatividad especial. FIGURA 264 Cómo se ve en el infrarrojo cercano el cielo nocturno, y nuestra galaxia, en particular,(imagen en falso color de la NASA). Desafío 236, página 132: La barra de metal es ligeramente más larga en un lado del eje. Cuando el alambre que la mantiene horizontal se quema con una vela, su momento de inercia disminuye en un factor 104; Por lo tanto, comienza a girar con (idealmente) 104 veces la tasa de rotación de la Tierra, una tasa que es fácilmente visible por el resplandor de un haz de luz sobre el espejo y observando cómo su reflexión se mueve en la pared. Desafío 237, página 138: El resultado original de Bessel fue 0,3136’’ , o 657,7 radios orbitales, que él cree que es 10,3 años luz o 97,5 Pm. Desafío 239, página 141: La galaxia forma una banda lechosa en el cielo. La galaxia tiene así una estructura aplanada. Esto es aún más claro en el infrarrojo, como se muestra más nítidamente en la figura 264. Del aplanamiento (y la simetría circular) podemos deducir que la galaxia debe estar rotando. Así pues, debe existir otra materia en el universo. Desafío 241, página 143: Vea la página 164. Desafío 243, página 143: La báscula reacciona a los latidos de su corazón. El peso es casi constante todo el tiempo, excepto cuando late el corazón: durante un breve intervalo de tiempo, el peso es algo más bajo en cada latido. Aparentemente ello ese debe a que la sangre golpea el arco aórtico cuando el corazón bombea hacia arriba. La velocidad de la sangre es de unos 0,3 m/s en la máxima contracción del ventrículo izquierdo. La distancia al arco aórtico es de unos pocos centímetros. El tiempo entre la contracción y la inversión de la dirección es alrededor de 15 ms. y el peso medido no es exactamente constante para una persona muerta, dado que también las corrientes de aire alteran la medida. Desafío 244, página 144: Use la Figura 86 para la segunda mitad de la trayectoria y piense cuidadosamente acerca de la primera mitad. El cuerpo cae abajo levemente al oeste del punto de partida. Desafío 245, página 144: Pista: los cohetes que son lanzados en el Ecuador ahorran una gran cantidad de energía, tanto de fuel como de peso. Desafío 247, página 145: La llama se inclina hacia el interior. Desafío 248, página 145: Sí. No hay posición absoluta ni dirección absoluta. Equivalentemente no hay posición preferente ni dirección preferente. Para el tiempo, solamente el big bang proporciona una excepción, al principio; pero cuando se incluyen efectos cuánticos, la carencia de una escala de tiempo preferente se confirma. Desafío 249, página 145: Para su examen es mejor que diga que la fuerza centrífuga no existe. Pero dado que en cada sistema estacionario hay un balance de fuerzas, la discusión es un poco una falsa pista, o como se dice en alemán, como un arenque rojo (una distracción). Desafío 251, página 145: Coloque el té en las tazas sobre una bandeja y ate las esquinas de la bandeja con cuatro largas cuerdas que luego sostendrá con su mano. Desafío 252, página 145: La pelota se inclina en la dirección en la cual es acelerada. En consecuencia, podríamos imaginar la pelota colocada en un vaso en reposo del que tiramos hacia arriba porque el fondo del vaso es acelerado hacia lo alto. Regresaremos sobre esta cuestión en la sección sobre relatividad general. Desafío 253, página 146: La fricción de las mareas con la Tierra es la principal causa. 349 Desafío 254, página 146: Un terremoto de magnitud 12 en la escala de Richter tiene 1000 veces más energía que el terremoto de 1960 en Chile con una magnitud 10. Este último fue provocado por una fisura que se manifestó a través de 40 km de profundidad de la corteza terrestre y a lo largo de 1000 km, en los cuales los dos flancos se deslizaron 10 m uno respecto del otro. Solo el impacto de un meteorito podría conducir a valores mayores que 12. Desafío 256, página 146: Si una alianza de matrimonio (anillo) gira alrededor de un eje que no es el principal, el momento angular y la velocidad no son paralelos. Desafío 257, página 146: Sí, se produce dos veces cada año. Para minimizar los daños, las parábolas deberían ser de color negro. Desafío 258, página 147: Un misil disparado hacia atrás sería un medio de defensa perfecto contra aviones que atacan desde atrás. Sin embargo, cuando se lanza, el misil está efectivamente volando hacia atrás respecto al aire, así que se vuelve y se convierte en una amenaza para le avión que lo lanzó. Los ingenieros que no habían pensado en este efecto casi matan a un piloto en el transcurso del primer test de este tipo. Desafío 259, página 147: Haga lo que haga el mono, que trepe hacia arriba o hacia abajo o incluso que se deje caer, él queda a la misma altura que la masa. Ahora bien, ¿qué pasa si hay rozamiento en la polea? Desafío 260, página 147: Sí, se desplaza en un ángulo suficientemente grande en relación a la dirección del movimiento del barco. Desafío 261, página 147: El momento de inercia es Θ = 2/5 mr2. Desafío 262, página 147: Los momentos de inercia son iguales también para el cubo, pero los valores son Θ = 1/6 ml2. Los esfuerzos requeridos para poner una esfera y un cubo en rotación son pues diferentes. Desafío 263, página 147: Vea el artículo de C. Ucke & H. -J. Schlichting, Faszinierendes Dynabee, Physik in unserer Zeit 33, pp. 230–231, 2002. Desafío 264, página 147: Vea el artículo de C. Ucke & H. -J. Schlichting, Die kreisende Büroklammer, Physik in unserer Zeit 36, pp. 33–35, 2005. Desafío 265, página 148: Sí, la Luna se distingue en este sentido. ¿Puede imaginar lo que pasa para un observador situado en el ecuador? Desafío 266, página 148: Una línea recta al zénit, y círculos cada vez más pequeños a cada lado. Puede consultar un ejemplo en antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap021115.html. Desafío 268, página 149: Este plano se describe en los sitios web citados: para un hombre erguido el plano es un plano vertical que contiene los dos ojos. Desafío 269, página 149: Como ya se ha dicho antes , las patas son más fáciles que las ruedas para hacerlas crecer, para mantenerlas y repararlas; adicionalmente no requieren superficies planas (lo que llamamos “calles”) para funcionar. Desafío 270, página 151: La fórmula de la escalera es un resultado empírico encontrado por la experiencia y usado por ingenieros del mundo entero. Tanto su origen como su explicación parecen estar perdidos en la historia. Desafío 271, página 151: La naturaleza clásica o cotidiana posee una simetría derecha-izquierda y exige, en consecuencia, un número par de piernas. Para caminar en superficies bidimensionales son necesarias naturalmente un mínimo de cuatro piernas. La estrella marina, los caracoles, las babosas, las almejas, las anguilas y las serpientes son algunas de las más importantes excepciones para las cuales los argumentos no son válidos. Desafío 273, página 152: La duración del día cambia con la latitud. De la misma manera que la longitud de una sombra o la elevación de las estrellas en la noche; estos hechos son fácilmente comprobables telefoneando a un amigo. Los navíos emergen del horizonte enseñando sus mástiles en primer lugar. Estos argumentos, añadidos a la sombra de la Tierra durante un eclipse lunar y la observación de que en todas partes todos los cuerpos caen hacia abajo, ya habían sido consignados por Aristóteles en su obra Tratado del cielo. Ahora sabemos que en los últimos 2500 años todo el mundo sabía que la Tierra era una esfera. El mito que estipula que numerosos individuos continuaban creyendo que la Tierra era plana fue difundido en el mundo -como una controversia retórica- por Copérnico. Este cuento continuó desde entonces siendo exagerado más y más durante los siglos siguientes porque un nuevo dispositivo para difundir mentiras acababa de ser inventado: la imprenta. La verdad es que durante los últimos 2500 años la vasta mayoría de las personas han sabido que la Tierra es una esfera. Desafío 274, página 152: Robert Peary había olvidado que en la fecha en que pretendía haber estado en el Polo norte el 6 de abril de 1909, el Sol estaba muy bajo en el horizonte y proyectaría sombras muy largas, de unas diez veces la altura de los objetos. Pero en su fotografía las sombras son mucho más cortas. (en realidad, la fotografía está tomada de manera que ocultaba todas las sombras tan cuidadosamente como era posible). De modo interesado, aún convenció al congreso USA para declararle oficialmente como el primer hombre sobre el Polo Norte en 1911. (Un retorcido rival había reclamado haberlo alcanzado antes, pero su fotografía tenía el mismo error). Peary también cometió fraude con las distancias recorridas los días precedentes a la llegada, omitió mencionar igualmente que los últimos días era llevado 350 por su compañero Matthew Henson porque él no podía caminar más. En realidad Matthew Henson había tenido más mérito que Peary en esta aventura. Henson, sin embargo, no sabía que Peary mentía sobre la posición que habían alcanzado. Desafío 275, página 152: Sí, este efecto ha sido medido para los rascacielos. ¿Puede estimar los valores? Desafío 276, página 154: La punta del vector velocidad, cuando la dibujamos frente al tiempo, genera un círculo alrededor del centro de movimiento. Desafío 277, página 155: Dibuje una figura de la situación. Desafío 278, página 155: De nuevo, dibuje una figura de la situación. Desafío 279, página 155: El valor del producto GM para la Tierra es 4,0⋅1014 m3/s2. Desafío 280, página 156: Todos los puntos pueden ser alcanzados por inclinaciones generales; pero cuando disparamos horizontalmente en una dirección dada, sólo los puntos de la primera mitad de la circunferencia pueden ser alcanzados. Desafío 281, página 157: En la Luna, la aceleración gravitacional es 1,6 m/s2, aproximadamente un sexto del valor en la Tierra. Los valores para la aceleración de la gravedad en la superficie de los planetas se pueden encontrar en michos sitios de internet. Desafío 282, página 158: La máquina de Atwood es la respuesta: dos masas m1 y m2 casi iguales conectadas por una cuerda que cuelga de una rueda bien engrasada de masa despreciable. La más pesada cae muy lentamente. Se puede demostrar que la aceleración a de esta caída 'no libre' viene dada por a = g (m1 - m2) / ( m2 + m1)? En otras palabras, cuanto menor es la diferencia de masa es, más lenta es la caída. Desafío 283, página 158: Debería pensar en tratar de entender el origen de esta expresión. Dicha expresión permite entender muchos conceptos importantes de la mecánica. La idea es que para pequeñas amplitudes, la aceleración de un péndulo de longitud L es debida a la gravedad. Dibujando un diagrama de fuerzas para un péndulo en un ángulo α en general muestra que ma = −mg sin α ml d2α/dt2 = −mg sin α l d2α/dt2 = −g sin α . (140) Para las pequeñas amplitudes mencionadas (por debajo de 15 °) podemos aproximar esto a 2 l d α =−g α 2 dt (141) Esta es la ecuación para un oscilador armónico (es decir, una oscilación sinusoidal). El movimiento resultante es: α(t) = A sin(ωt + φ) . (142) La amplitud A y la fase φ dependen de las condiciones iniciales; sin embargo, la frecuencia de oscilación viene dada por la longitud del péndulo y la aceleración de la gravedad (¡compruébelo!): ω= √ l g . (143) (Para amplitudes arbitrarias, la fórmula es mucho más compleja; vea internet o libros especiales de mecánica para más detalles.) Desafío 284, página 158: La velocidad de marcha caminando es proporcional a l/T, lo que hace que sea proporcional a l1/2. La relación es también verdadera para los animales en general. De hecho, las medidas muestran que la máxima velocidad caminando (pero no la velocidad corriendo) para todos los animales está dada por vmaxwalking = (2,2 ± 0.2) m1/2/s √l (144) Desafío 287, página 160: la aceleración debida a la gravedad a = Gm/r2 ≈ 5nm/s2 para una masa de 75 kg. Para una mosca de masa mfly = 0,1 g que se posa sobre una persona con una velocidad de vfly = 1 cm/s y que deforma la piel (sin pérdida de energía) en d = 0,3mm, una persona sería acelerada por a = (v2/d)(mfly/m) = 0,4 μm/s2. La pérdida de energía debida a la colisión ineslática reduce este valor al menos en un factor diez. Desafío 288, página 162: Los cálculo muestran un valor sorprendentemente elevado de la energía se almacena como movimiento térmico. Desafío 291, página 163: La manera más fácil de representársela consiste en imaginarla como un flujo que emana de una esfera. Eso da una dependencia 1/rd−1 para la fuerza y consecuentemente una dependencia 1/rd−2 para el potencial. Desafío 293, página 164: Puesto que las trayectorias de la caída libre son elipses las cuales son curvas contenidas en un plano, esto es trivial. Desafío 294, página 166: El vector OF puede calcularse usando OS = −(GmM/E)OP/OP y entonces trasladando la construcción dada en la figura a la fórmula. Este ejercicio da OF = K / mE donde 351 K = p × L − GMm2x/x (146) es el así llamado vector Runge–Lenz. (Hemos usado x = OP para la posición del cuerpo que orbita, p para su cantidad de movimiento y L para su momento angular. El vector Runge–Lenz K es constante a lo largo de la órbita de un cuerpo, así se tiene el mismo valor par cualquier posición x en la órbita. (Pruébelo comenzando desde xK = xK cos θ.) El vector Runge–Lenz es de este modo una magnitud conservada en gravitación universal. Como resultado el vector OF es también constante en el tiempo. El vector Runge–Lenz se usa también a menudo en mecánica cuántica, cuando se calculan los niveles de energía de un átomo de hidrógeno, igualmente aparece en todos los problemas con un potencial 1/r . (En realidad, el incorrecto nombre vector ‘Runge–Lenz’ se debe a Wolfgang Pauli; el descubridor del vector fue, en 1710, Jakob Hermann.) Desafío 295, página 166: Sobre órbitas, vea página 169. Desafío 297, página 167: La débil aceleración de la Luna, 1,6m/s2, implica que las moléculas de gas a la temperatura normal pueden escapar a su atracción. Desafío 299, página 169: Un flash luminoso se envía hacia la Luna donde el Lunokhod y varias misiones Apolo instalaron varios reflectores ojos de gato. La precisión de la medida del tiempo que tarda el flash en ir y volver es suficiente para evaluar la variación de la distancia de la Luna. Para más detalles vea Desafío 8. Desafío 299-b. Un cuerpo con una cantidad de movimiento cero en el infinito espacial se encuentra en una trayectoria parabólica. Un cuerpo con un impulso inferior es en una trayectoria elíptica y una con una alta cantidad de movimiento está en una ruta hiperbólica. FIGURA 265 Los puntos de Lagrange y el potencial efectivo que los produce (NASA). Desafío 304, página 171: Los puntos de Lagrange L4 y L5 están situados en la órbita, 60° delante y 60º detrás del cuerpo que orbita. Son estables si la razón entre la masa del cuerpo central y el cuerpo que orbita es suficientemente grande (superior a 24,9) Desafío 305, página 171: El punto de Lagrange L3 está situado en la órbita, pero exactamente al otro lado del cuerpo central. El punto de Lagrange L1 está situada en la línea que conecta el planeta con el cuerpo central, mientras que L2 está en el exterior de la órbita sobre la misma línea. Si R es el radio de la órbita, la distancia al cuerpo que gravita y L1 y L2 es (m/3M)1//3 R , lo que da alrededor de 4 veces la distancia de la Luna para el sistema Tierra-Sol. L1, L2 y L3 son puntos inestables, pero existen órbitas estables alrededor suyo. Numerosos satélites aprovechan estas propiedades, incluyendo el famoso satélite WMAP que mide las fluctuaciones del Big Bang y que está localizado en el punto L2, donde el Sol, la Tierra y la Luna se escudan fácilmente y la temperatura del satélite permanece constante. FIGURA 266 El famoso ‘vomit comet’, un KC-135, que realiza un vuelo parabólico. (NASA). Desafío 306, página 174: Esto es un efecto de resonancia, de la misma manera que una pequeña vibración de una cuerda puede engendrar una gran oscilación del aire y de la caja de resonancia en una guitarra. Desafío 308, página 175: La expresión de la fuerza de las mareas, o sea 2GM/d3, puede ser reescrita como (8/3)πGρ(R/d)3. Ahora, R/d es aproximadamente la misma para el Sol y la Luna, como cada eclipse muestra. Así pues la densidad ρ debe ser mucho más grande para la Luna. De hecho, la razón de las fuerzas (alturas) de las mareas de la Luna y el Sol es aproximadamente 7 : 3. Esta es también la razón entre las densidades de los dos cuerpos. Desafío 309, página 175: El momento angular de la Tierra y la Luna debe permanecer constante. Desafío 311, página 178: Espere a un eclipse solar. Desafío 313, página 179: Desgraciadamente, el mito de “masa gravitatoria pasiva” está esparcido por muchos libros. Una investigación cuidadosa muestra que su medida es exactamente la misma que la masa inercial. Ambas masas se miden con las mismas maquinarias y sistemas. Y todos estos experimentos se mezclan y requieren ambos masa inercial gravitacional y efectos pasivos. Por ejemplo, una báscula o una balanza de baño deben amortiguar cualquier oscilación, lo que requiere la masa inercial. En general, parece imposible distinguir la masa inercial de la masa gravitacional pasiva debido a todas las masas en el resto del universo. En resumen, los dos conceptos son idénticos. 352 Desafío 313-b. Estos problemas se deben a que la masa gravitacional determina la energía potencial y la masa inercial determina la energía cinética. Desafío 314, página 180: Sea porque cayeron sobre pendientes inclinadas de montañas nevadas o sea porque cayeron sobre árboles muy altos u otras estructuras blandas. El récord de supervivencia fue de más de 7 km de caída libre. Un caso reciente fue noticia en 2007 y contada en www.bbc.co.uk/jersey/content/articles/2006/12/20/michael_holmes_fall_feature.shtml Desafío 316, página 180: Por unos pocos miles de euros, puede experimentar la gravedad cero en un vuelo parabólico, tal como se muestra en la Figura 266. (Numerosas “fotografías” de vuelos parabólicos que se encuentran en internet son en realidad imágenes virtuales hechas por ordenador. ¿Cuál es este caso? ¿Qué se siente en gravedad cero? Se siente algo similar a flotar bajo el agua, pero sin la resistencia del agua. También se siente como cuando uno está en el aire el tiempo previo a zambullirse en el agua. Sin embargo, para los astronautas, hay una sensación adicional; cuando su cabeza gira rápidamente, los sensores de orientación en el oído no están reiniciados por la gravedad. Por lo tanto, durante el primer día o hasta el segundo, muchos astronautas sienten vértigo y náuseas, lo que llaman enfermedad del espacio. Después de ese tiempo, el cuerpo se adapta y los astronautas pueden disfrutar a fondo de la situación. Desafío 317, página 181: El centro de masas de la escoba cae con la aceleración habitual, así que el extremo cae más rápidamente. Desafío 318, página 181: Utilice simplemente la conservación de energía para las dos masas, la del puente y la de la cuerda. Para más detalles, incluyendo la comparación de las medidas experimentales y la teoría, vea N. Dubelaar & R. Brantjes, De valversnelling bij bungee-jumping, Nederlands tijdschrift voor natuurkunde 69, pp. 316–318, October 2003. Desafío 319, página 181: Alrededor de 1 ton. Desafío 320, página 181: Unos 5 g. Desafío 321, página 181: Su peso es aproximadamente constante puesto que la tierra debe ser redonda. En una Tierra plana, el peso cambiaría de un sitio a otro en función de la distancia al borde. Desafío 322, página 181: ¡Nadie afirmó nunca que el centro de masas es lo mismo que el centro de gravedad! La atracción de la Luna es despreciable en la superficie de la Tierra. Desafío 324, página 182: Eso es la masa de la tierra. Gire simplemente la mesa sobre su cabeza Desafío 326, página 183: La Luna se alejará alrededor de 1,25 veces la distancia actual. El Sol entonces ralentizará la frecuencia de rotación del sistema Tierra-Luna, esta vez debido a la mucho más pequeña fricción de marea debido a la deformación del Sol. En consecuencia la Luna regresará a distancias más y más pequeñas de la Tierra. Sin embargo, el Sol para entonces se habrá convertido en gigante roja ingurgitando a la vez a ambas, la Tierra y la Luna. Desafío 328, página 183: Tal como Galileo determinó, para media oscilación (medio periodo) la razón es (2)1/2 /π. (Vea Desafío 283). Pero no podemos calcular de este modo más que dos, quizás tres decimales de π . Desafío 329, página 183: La conservación de la cantidad de movimiento no es un obstáculo, puesto que cualquier raqueta de tenis tiene el mismo efecto sobre una pelota de tenis. Desafío 330, página 183: De hecho, en el espacio de velocidades, los movimientos elípticos, parabólicos e hiperbólicos son todos descritos por círculos. En todos los casos la hodógrafa es un círculo. Desafío 331, página 184: Esta cuestión es muy vieja (ya se lo preguntaban en la época de Newton) y profunda. Una razón es que las estrellas permanecen separadas por su rotación alrededor de la galaxia. La otra es que las galaxias se mantienen separadas por la cantidad de movimiento tras el big bang. Sin el big bang, todas las estrellas habrían colapsado juntas. En este sentido el big bang puede deducirse de la atracción de la gravedad y del cielo inmutable en la noche. Encontraremos más adelante que la oscuridad del cielo nocturno proporciona un segundo argumento en favor del big bang. Desafío 332, página 185: La elección es clara cuando se advierte que no hay una sección de la órbita que sea cóncava hacia el Sol. ¿Puede probarlo? Desafío 334, página 185: La velocidad de escape, de la Tierra, para dejar el sistema solar – sin ayuda de los otros planetas – es 42 km/s. Sin embargo, si se considera la ayuda de los otros planetas, puede ser menos de la mitad de ese valor. (¿Por qué?). Si la velocidad de escape de un cuerpo fuera la velocidad de la luz, el cuerpo podría ser un agujero negro; ni siquiera la luz podría escapar. Los agujeros negros se discutirán en detalle en el volumen sobre relatividad. Desafío 335, página 185: Usando una altura máxima del salto de h =0,5 m en la Tierra y una densidad estimada del asteroide de ρ =3Mg/m3, obtenemos un radio máximo de R2 = 3gh/4πGρ, o R ≈ 2.4 km. Desafío 336, página 185: Un brazo de dos cuerpos. Desafío 339, página 185: La forma de una analema al mediodía local se muestra en Figura 267. La extensión vertical de la analema se debe a la oblicuidad, es decir, la inclinación del eje de la Tierra (que es el doble de 23,45°). La extensión horizontal se debe a la combinación de la oblicuidad y la elipticidad de la órbita alrededor del Sol. Ambos 353 efectos cambian la velocidad de la Tierra a lo largo de su órbita, conduciendo a cambios de la posición del sol al mediodía local durante el transcurso del año. La posición asimétrica del punto de cruce central. La forma de la analema también se integra en la sombra polar de los relojes de sol de precisión. Desafío 340, página 188: La captura de un cuerpo fluido es posible si se divide por las fuerzas de marea. Desafío 341, página 188: El túnel debería ser una elipse elongada en el plano del ecuador, extendiéndose de un punto en el Ecuador al punto en las antípodas. El tiempo de revolución podría no cambiar comparado con una tierra no rotativa. Vea A. J. Sim onson, Falling down a hole through the Earth, Mathematics Magazine 77, pp. 171–188, June 2004. FIGURA 267 La analema fotografiada, al mediodía local, de enero a diciembre de 2002, en el Partenón de la Acrópolis de Atenas, y un reloj de sol de precision (© Anthony Ayiomamitis, Stefan Pietrzik). Desafío 343, página 188: El centro de masas del sistema solar puede estar tan lejos como un par de radios del centro del Sol; así puede estar fuera del Sol. Desafío 344, página 188: Primero, durante el período estival en el hemisferio Norte, la Tierra se mueve más rápido alrededor del Sol que durante el invierno. Segundo, las órbitas solares bajas en el cielo dan días más largos gracias a la luz que viene del sol cuando está bajo el horizonte. Desafío 345, página 188: Aparte de la visibilidad de la Luna, ningún efecto ha sido jamás detectado. Los efectos gravitacionales -incluyendo los efectos de marea- efectos eléctricos, magnéticos y cambios en los rayos cósmicos son todos largamente ahogados por otros efectos. En realidad, la gravedad ejercida por camiones que pasen, los campos electromagnéticos de las fábricas, el clima y los cambios de la actividad solar tienen mucha más influencia sobre los humanos que la Luna. El ajuste del ciclo menstrual con las fases de la luna es un puro efecto de la imaginación. Desafío 346, página 188: Las distancias son difíciles de medir. Es fácil observar que un planeta está delante del Sol, pero es complicado comprobar si un planeta está detrás del Sol. Las fases de Venus son predichas también por el modelo geocéntrico; pero las fases predichas no son las que se observan. Solamente las fases deducidas del sistema heliocéntrico se corresponden con las observadas. Venus orbita en torno al Sol. Desafío 347, página 189: Vea la mencionada referencia. Desafío 348, página 190: Verdad. Desafío 349, página 190: Para cada pareja de elementos opuestos del cascarón (dibujadas en amarillo), las dos atracciones se compensan. Desafío 350, página 190: No hay ninguna manera práctica;si las masas de la concha pudieran moverse a lo largo de la superficie (de la misma manera que las cargas pueden moverse en un metal) eso podría ser factible, suponiendo que haya disponible suficiente masa. Desafío 354, página 191: Sí, se podría, y esto ha sido pensado muchas veces, incluso por Jules Verne. La velocidad necesaria depende de la dirección del tiro con respecto a la rotación de la Tierra. Desafío 355, página 191: Nunca. La Luna apunta siempre hacia la Tierra. La Tierra cambia un poco de posición, debido a la elipticidad de la órbita de la Luna. Obviamente, la Tierra muestra fases. Desafío 357, página 191: Lo que cuenta es la verticalidad local; con respecto a ella, el río siempre fluye monte abajo. Desafío 358, página 191: No hay tales cuerpos, como mostrará el capítulo de relatividad general. Desafío 360, página 194: La oscilación es puramente sinusoidal, u oscilación armónica, ya que la fuerza restauradora crece linealmente con la distancia al centro de la Tierra. El periodo T para una Tierra homogénea es T = 2π (R3/GM) ½ = 84 min. Desafío 361, página 194: El periodo es el mismo para cada uno de los túneles y así en particular es el mismo periodo de 84 min que es válido para el túnel de polo a polo. Vea por ejemplo, R.H. Romer, The answer is forty-two – many mechanics problems, only one answer, Physics Teacher 41, pp. 286–290,May 2003. Desafío 361-b. Si la Tierra fuera no rotante, la trayectoria general de una piedra sería una elipse cuyo centro es el centro de la Tierra. Para una Tierra rotante, la elipse tendría un movimiento de precesión. Simoson sugiere que los torbellinos espirográficos de la Nebulosa Spirograph, que se encuentra en antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap021214.html podrían ser debido a un efecto de este tipo. Un caso particular es una trayectoria que comienza verticalmente en el 354 ecuador; en este caso, la ruta es similar a la ruta de péndulo de Foucault, con una estrella de 16 puntas en las cuales la piedra emerge alrededor del ecuador. Desafío 363, página 194: No hay una respuesta simple: la velocidad depende de la latitud y de otros parámetros. Internet también ofrece videos de los eclipses solares desde el espacio, que muestran cómo la sombra se mueve sobre la superficie de la Tierra. Desafío 364, página 195: La fuerza centrífuga debe ser igual a la fuerza gravitacional. Llame a la densidad lineal de masa constante d y l a la longitud desconocida. Entonces tenemos R +l GMd ∫ R R +l dr =ω 2 d ∫ r dr . esto da 2 r R GMd dl 2 2d =( 2 Rl+ l )ω , dando l = 0,14 Gm. 2 R + Rl 2 Desafío 366, página 195: Los anillos interiores deben girar más rápido que los anillos exteriores. Si los anillos fueran sólidos, serían destrozados. Pero este razonamiento es cierto sólo si los anillos están dentro de un cierto límite, el llamado límite de Roche. El límite de Roche es tal que el radio en el que la fuerza gravitatoria Fg y fuerza de marea Ft se cancelan en la superficie del satélite. Para un satélite con masa m y radio r, orbitando alrededor de una masa central M a una distancia d, nos fijamos en las fuerzas sobre una masa pequeña μ en su superficie. Tenemos la condición Gmμ/r2 = 2GMμr/d3. Con un poco de álgebra, uno llega al límite de Roche ρ M 31 d Roche =R(2 ρ ) m (147) Por debajo de esta distancia a una masa central M, no pueden existir satélites fluidos. El cálculo que se muestra aquí es sólo una aproximación; el límite real Roche es aproximadamente dos veces dicho valor. Desafío 367 La carga es de 5 veces la carga en una posición erecta. Esto explica por qué los caballos de carreras se rompen las piernas con regularidad. Desafío 368. En la escuela, se le requiere responder que ese peso es el mismo. Esta es una buena aproximación. Pero en realidad la balanza muestra un peso ligeramente mayor para el reloj de arena en funcionamiento constante en comparación con la situación en la que la arena está en reposo. Viendo el flujo de la cantidad de movimiento explica el resultado de manera sencilla. La única pregunta que importa es la cantidad de movimiento de la arena en la cámara superior, todos los demás efectos no son relevantes. Ese impulso disminuye lentamente durante la carrera. Esto requiere una corriente de la cantidad de movimiento de la balanza: el peso efectivo aumenta. Véase también la confirmación experimental, y su explicación de F. Tuinstra & B. F. Tuinstra , El peso de una clepsidra, Europhysics News 41,pp. 2528, March 2010, disponible también online. Si imaginamos un fotón rebotando hacia arriba y hacia abajo en una caja cuyas caras interiores son espejos perfectos, las ideas del rompecabezas del reloj de arena implican que la balanza muestra un aumento de peso en comparación con una situación sin el fotón. El aumento de peso es Eg / c2, donde E es la energía del fotón, g = 9.81m / s2 y c es la velocidad de la luz. Esta historia es contada por E. Huggins, pesada de los fotones con la báscula de baño: un experimento mental, The Physics Teacher 48, pp. 287-288, Mayo 2010, Desafío 370, página 199: En realidad los músculos mantienen un objeto sobre el suelo levantándolo y haciéndolo caer continuamente; eso requiere energía y trabajo. Desafío 371, página 199: El consumo de electricidad de una escalera mecánica ascendente aumenta de hecho cuando la persona camina hacia arriba. ¿Por cuánto? Desafío 372, página 199: El conocimiento es poder. El tiempo es dinero. Ahora bien, el poder (la potencia) se define como el trabajo por unidad de tiempo. Insertando las ecuaciones anteriores y transformándolas da: dinero = trabajo dividido por conocimiento, (148) lo que demuestra que cuanto menos sepa, más dinero hace. Es por eso que los científicos tienen salarios bajos. Desafío 375, página 202: Sí, porque el viento lateral aumenta la velocidad efectiva v en el aire debido a la suma de vectores, y porque la resistencia del aire es (más o menos) proporcional a v2. Desafío 376, página 202: La falta de fricción estática evitaría que el fluido permaneciera unido al cuerpo; la denominada capa límite no existiría. Se tendría entonces el efecto vuelo. Entonces no tendríamos ningún efecto ala. Desafío 378, página 203: ¿Verdad? Desafío 380, página 204: De dv/dt = g − v2(1/2cvAρ/m) y usando la abreviación c = 1/2cvAρ, podemos resolver para v(t) poniendo todos los términos que contienen la variable v en un lado, todos los términos con t en el otro, y la integración en ambos lados. obtenemos v(t) = (gm/c) ½ tanh (cg/m t) ½ . Desafío 381, página 205: Para cuerpos deformables extensos, las propiedades intrínsecas están dadas por la densidad de masa - por lo tanto una función de espacio y tiempo - y el estado se describe por la densidad de la energía cinética, y cantidad de movimiento lineal y angular, así como por sus distribuciones de tensiones y deformaciones. Desafío 382, página 205: Carga eléctrica. 355 Desafío 383, página 206: El espacio de fases tiene 3N coordenadas de posición y 3N coordenadas de cantidad de movimiento. Desafío 384. página 206: El molino de luz es un ejemplo. Desafío 385, página 206: No en ambos casos. Recordemos que cuando se lanza una piedra, las condiciones iniciales resumen los efectos del lanzador, su historia, cómo llegaron allí, etc .; en otras palabras, las condiciones iniciales resumen el pasado de un sistema, es decir, los efectos que el medio ambiente ha tenido en la historia de un sistema. Por lo tanto, el universo no tiene condiciones iniciales y no hay espacio de fase. Si ha encontrado razones para contestar sí, usted pasa algo por alto. Sólo busque más detalles y compruebe si los conceptos que utilizó se pueden aplicar al universo. También defina cuidadosamente lo que quieres decir con "universo". Desafío 387, página 208: Un sistema que mostrara movimiento de energía o materia moviéndose más rápido que la luz implicaría que para tales sistemas hay observadores para los que el orden entre causa y efecto se invierte. Un diagrama espacio-tiempo (y un poco de ejercicio de la sección sobre la relatividad especial) muestra esto. Desafío 388, página 208: Si no existiera la reproducibilidad, tendríamos dificultades para comprobar las observaciones; también leer el reloj es una observación. La conexión entre la reproducibilidad y el tiempo pasará a ser importante en la parte final de nuestra aventura. Desafío 389, página 209: Incluso si las sorpresas fueran sólo raras, cada sorpresa haría imposible definir el tiempo justo antes y justo después de ella. FIGURA 268. Cómo dibujar una línea recta con un compás. Desafío 392, página 210: Por supuesto; las leyes morales son resúmenes de lo que otros piensan o quieren hacer sobre las acciones personales. Desafío 393, página 211: El camino más rápido para el deslizamiento entre dos puntos, la braquistócrona, resulta ser la cicloide, la curva generada por un punto en una rueda que está rodando a lo largo de un plano horizontal. La prueba se puede encontrar de muchas maneras. La más simple es la de Johann Bernoulli y se da en en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem. Desafío 393-b. Cuando F, C y P están alineados, este círculo tiene un radio dado por R = √FCFP; F es su centro. En otras palabras, la conexión Peaucellier-Lipkin realiza una inversión a un círculo. Desafío 394. Cuando F, C y P están alineados, el círculo tiene que seguir un radio dado de la mitad de la distancia FC; su centro se encuentra a medio camino entre F y C. La Figura 300 ilustra la situación. Desafío 397, página 212: La Figura 268 muestra la reconstrucción más creíble de un carruaje que señala al sur. Desafío 398, página 213: El agua es arrastrada hacia arriba a lo largo de los lados del huevo que gira. La forma más rápida de vaciar una botella de agua es hacer girar el agua mientras la vacía. Desafío 399, página 213: La manera correcta es aquella en la que la chimenea cae como una V, no como una forma invertida V. Ver el Desafío 317 sobre caída de escobas en busca de inspiración sobre cómo deducir la respuesta. Dos ejemplos se muestran en la Figura 269. Resulta que las chimeneas se rompen (si no se sujeta a la base) a una altura entre la mitad o dos tercios del total, dependiendo del ángulo en el que esto sucede. Para una solución completa del problema, ver el excelente documento G. Vareschi & K. Kamiya, modelos de juguetes para la chimenea cayendo, American Journal of Physics 71, pp 1025-1031, 2003. Desafío 407, página 222: En una dimensión, la expresión F = ma puede escribirse como −dV/dx = md2x/dt2. Esto puede reescribirse como d (−V ) d d 1 ˙2 − [ ( m x )]=0 dx dt d ẋ 2 1 1 ˙2 ∂ m x˙2−V (x ) m x −V (x ) 2 d 2 − ∂ =0 Y exenderse a ∂x dt ∂ ẋ la cual es la ecuacion de Lagrange para este caso. Desafío 409, página 222: No se desespere. Hasta ahora, nadie ha sido capaz de imaginar un universo (que no es necesariamente lo mismo que un "mundo") diferente del que conocemos. Hasta el momento, estos intentos siempre han dado lugar a incoherencias lógicas. Desafío 411, página 223: Los dos son equivalentes ya que las ecuaciones de movimiento se derivan del principio de acción mínima y al mismo tiempo el principio de la mínima acción se sigue de las ecuaciones del movimiento. Desafío 413, página 224: Para la gravedad, existen los tres sistemas: la rotación de las galaxias, la presión en los 356 planetas y la presión Pauli en las estrellas que se debe al principio de exclusión de Pauli. Contra la interacción fuerte, el principio de Pauli actúa en los núcleos y las estrellas de neutrones; en las estrellas de neutrones tal vez también la rotación y presión complementan la presión Pauli. Sin embargo, para la interacción electromagnética no hay compuestos distintos de nuestra materia cotidiana, que es organizado solo por el principio de Pauli que actúa entre los electrones. Desafío 414-b. Los agregados se forman a menudo a partir de materia convergente en un centro. Si sólo hay una pequeña asimetría en esta convergencia - debido a alguna influencia externa - el resultado final es un agregado que rueda. FIGURA 268-b El mecanismo dentro del carruaje que señala al sur. FIGURA 269 Caída de una chimenea de ladrillo – por tanto con rigidez limitada – Cae con forma de V (© John Glaser/Frank Siebner). Desafío 415, página 228: El momento angular es el cambio con respecto al ángulo, mientras la energía rotacional es de nuevo el cambio con respecto al tiempo, como toda energía es. Desafío 416, página 228: No de esta manera. Un pequeño cambio puede tener un gran efecto, como cada interruptor nos muestra. Sin embargo, un pequeño cambio en el cerebro debe ser comunicado fuera, y esto ocurrirá con una dependencia aproximadamente de 1/r2. Eso hace los efectos tan pequeños, que incluso con los interruptores más sensibles - que de todas formas no existen para los pensamientos - no se pueden realizar efectos. Desafío 418, página 228: Esta es una pregunta equivocada. T - U no es mínimo, sólo su promedio es. Desafío 419, página 228: No. Un sistema tiende a un potencial mínimo sólo si es disipativo. Se podría, sin embargo, deducir que los sistemas conservativos oscilan alrededor de los potenciales mínimos. Desafío 419, página 229: La relación es c1 sen α1 = c2 sen α2 (149) La proporción particular entre la velocidad en el aire (o de vacío, que es casi el mismo) y en un material da el índice de refracción n: n= c 1 sen α 1 (150) = c 0 sen α 0 Desafío 421, página 229: El principio para el crecimiento de los árboles es simplemente el mínimo de energía potencial, ya que la energía cinética es despreciable. El crecimiento de los vasos dentro de los cuerpos animales se 357 reduce al mínimo para el transporte de energía; que es de nuevo un principio de mínimo. La refracción de la luz es el camino de menor tiempo; por lo tanto, reduce al mínimo el cambio también si nos imaginamos la luz como entidades en movimiento sin ningún tipo de energía potencial implicada. Desafío 422, página 229: La relatividad especial requiere que exista una medida invariante de la acción. Se presenta más adelante en el camino. Desafío 423, página 230: El universo no es un sistema físico. Este tema será discutido con detalle más adelante en el vol. VI, página 99. Desafío 424, página 230: Utilice la sustitución u = tan t / 2 o usar el truco histórico cos φ 1 cos φ + ) sec φ= ( 2 1+sen φ 1−sen φ (151) Desafío 425, página 230: Un skater en una cicloide tiene el mismo tiempo de oscilación independientemente de la amplitud de la oscilación. Sin embargo, una medio-tubería necesita tener extremos verticales, con el fin de evitar saltar fuera de ella. Una cicloide nunca tiene un extremo vertical. Desafío 427, página 231: Hablamos con una persona porque sabemos que alguien nos entiende. Por lo tanto suponemos que de alguna manera ella ve las mismas cosas que nosotros. Eso significa que la observación es parcialmente independiente del punto de vista. Por tanto, la naturaleza es simétrica. Desafío 428, página 235: La Memoria funciona porque reconocemos situaciones. Esto es posible porque las situaciones en el transcurso del tiempo son similares. La memoria no se habría desarrollado sin esta reproducibilidad. Desafío 429, página 236: Las diferencias gustativas no son fundamentales, pero debido a los diferentes puntos de vista y - principalmente - a las distintas experiencias de los observadores. Lo mismo ocurre con los sentimientos y juicios, como cada psicólogo confirmará. Desafío 430, página 237: Los enteros bajo adición forman un grupo. ¿Forma un grupo un conjunto de colores de un pintor al óleo bajo la operación mezcla? Desafío 432, página 237: Sólo hay una operación de simetría: una rotación de cerca de π alrededor del punto central. Esa es la razón por la que más tarde en el grupo D4 sólo se llama el grupo de simetría aproximada de la figura 167. Desafío 438, página 241: Un escalar es la magnitud de cualquier vector; por lo tanto la velocidad, definida como v =| v| , es un escalar, mientras que la velocidad no lo es. Por lo tanto la longitud de cualquier vector (o pseudovector), tales como la fuerza, la aceleración, el campo magnético, o un campo eléctrico, es un escalar, mientras que el vector en sí mismo no es un escalar. Desafío 441, página 242: La distribución de carga de un cuerpo extenso puede ser visto como una suma de una carga neta, un momento dipolar de carga, un momento cuadripolar de carga, un momento octopolar de carga, etc. El cuadripolo es descrito por un tensor. Comparar: La inercia contra el movimiento de un cuerpo extenso puede ser vista como suma de una masa, un dipolo de masa, una cuadrupolo de masa, una octopolo de masa, etc. El cuadripolo de masas se describe por el momento de inercia. Desafío 445, página 244: La carga conservada en la invariancia de rotación es el momento angular. Desafío 446, página 244. La gráfica es una espiral logarítmica (¿puede probarlo?); se ilustra en la figura 269-b. La distancia recorrida tiene una respuesta sencilla. FIGURA 269-b El movimiento de cuatro tortugas que se persiguen (diseñado por Zach Joseph çÇEspiritu). Desafío 448, página 247: una oscilación tiene un período en el tiempo, es decir, una simetría de traslación temporal discreta. Una onda tiene simetría tanto temporal discreta como espacial discreta. Desafío 449, página 247: La inversión del movimiento es una simetría en cualquier sistema cerrado; a pesar de las observaciones de la vida cotidiana, las afirmaciones de la termodinámica y la opinión de varios físicos famosos (que forman una minoría sin embargo) todos los sistemas idealmente cerrados son reversibles. Desafío 450, página 247: El grupo de simetría es un grupo de Lie y llamado U (1), por "grupo unitario en 1 358 dimensión". Desafío 451, página 247: La sorprendente respuesta es no. Desafío 452, página 248: No existe una cosa tal como una simetría "perfecta". Desafío 454, página 248: La línea telefónica rotativa tenía los números del 1 a 0 en las esquinas de un polígono regular de 14 lados. Los números pares y los impares estaban en los ángulos de heptágonos regulares. Desafío 458, página 251: Sólo tiene que insertar x (t) en el Lagrangiano L = 0, el valor mínimo posible para un sistema que transforma toda la energía cinética en energía potencial y viceversa. Desafío 466, página 260: La energía potencial es debido a la "flexión" del medio; un simple desplazamiento no produce flexión y por lo tanto no contiene energía. Sólo el gradiente captura la idea de flexión. Desafío 468, página 261: La fase cambia en π. Desafío 470, página 262: Las ondas pueden amortiguarse a valores muy bajos. Si esto no es posible, la observación no es una onda. Desafío 471, página 263: La manera de observar la difracción y la interferencia con los dedos desnudos se cuenta en el volumen III. Desafío 471-b. La interferencia puede hacer incomprensibles las señales de radio. Debido a la difracción, las señales de radio se debilitan detrás de una pared; Esto se aplica especialmente a longitudes de onda cortas, como las utilizados en los teléfonos móviles. La refracción hace que las comunicaciones de radio con submarinos imposibles para las frecuencias de radio habituales. La dispersión de la fibra de vidrio hace que sea necesario añadir repetidores en los cables submarinos alrededor de cada 100 km. La amortiguación hace que sea imposible escuchar a alguien hablar a mayores distancias. Las señales de radio pueden perder su polarización y convertirse en difíciles de detectar por las antenas Yagi normales que tienen una polarización fija. Desafío 483, página 275: Los esquiadores raspar la nieve desde el lado inferior de cada chichón (protuberancia) hacia el lado superior del siguiente chichón. Esto conduce a un movimiento hacia arriba de los chichones de esquí. Desafío 484, página 275: Si las distancias hasta el altavoz son de unos pocos metros, y la distancia a la orquesta es de 20 metros, tal como para las personas con dinero suficiente, el oyente en casa escucha primero. Desafío 485, página 275: Mientras la amplitud es pequeña en comparación con la longitud l, el periodo T viene dado por T =2 π √ l g . (152) La fórmula no contiene la masa m en absoluto. Independientemente de la masa m en su extremo, el péndulo tiene siempre el mismo período. En particular, para una longitud de 1 m, el período es de aproximadamente 2 s. La mitad de un período, o un balanceo por lo tanto toma alrededor de 1 s. (Esta es la razón original para la elección de la unidad de metro). Para un péndulo extremadamente largo, la respuesta es, sin embargo, un valor finito, y se corresponde con la situación del Desafío 24. Desafío 486, página 275: En general, el cuerpo se mueve a lo largo de una elipse (como los planetas alrededor del Sol), pero con el punto fijo como centro. A diferencia de los planetas, en el que el Sol está en un foco de la elipse y hay un perihelio y afelio, tal cuerpo se mueve simétricamente alrededor del centro de la elipse. En casos especiales, el cuerpo se mueve hacia atrás y hacia adelante a lo largo de un segmento recto. Desafío 488, página 276: Esto se deduce de la fórmula en que la frecuencia de una cadena está dada por T μ √ f= 2l , donde T es la tensión, μ es la densidad de masa lineal, y L es la longitud de una cadena. Esto se discute en el hermoso documento de G. Barnes, Física y tamaño en los sistemas biológicos, The Physics Teacher 27, pp. 234-253, 1989. Desafío 490, página 276: El sonido de un trueno o del tráfico de coches adquiere frecuencias más y más bajas al aumentar la distancia. Desafío 492, página 277: Ninguna; ambas posibilidades están en contra de las propiedades del agua: en las ondas de superficie, las moléculas de agua se mueven en círculos. Desafío 493, página 277: Los nadadores son capaces de cubrir 100 m en 48 s, o una velocidad ligeramente mejor que 2 m/s. (Un nadador con aletas puede alcanzar poco más de 3 m/s.) Con una longitud corporal de aproximadamente de 1,9 m, la velocidad crítica es de 1,7 m/s. Es por eso que la natación de corta distancia depende del entrenamiento; para distancias más largas la técnica juega un papel más importante, ya que la velocidad crítica no se ha alcanzado todavía. La fórmula también predice que en la distancia de 1.500 metros, un nadador de 2 m de altura tiene una ventaja potencial de más de 45 s en otro con la altura corporal de 1,8 m. Además, los nadadores más altos tienen una ventaja adicional: 359 nadan distancias más cortas en las piscinas (¿por qué?). Por tanto, se prevé que los nadadores de éxito de larga distancia se volverán más altos con el tiempo. Esto es una lástima para un deporte que hasta ahora podría decir que ha tenido campeones de todos los tamaños y formas del cuerpo, a diferencia de muchos otros deportes. Desafío 495, página 278: Para reducir la reflexión del ruido y por lo tanto los efectos sala. Ellos difunden de manera efectiva los frentes de onda que llegan. Desafío 497, página 279: Las ondas en un río nunca son elípticas; permanecen circulares. Desafío 498, página 279: La lente es un cojín de material que es "transparente" al sonido. La velocidad del sonido es más rápida en el cojín que en el aire, en contraste con una lente de cristal, en donde la velocidad de la luz es más lenta en el vidrio. La forma es por tanto diferente: el cojín debe verse como una lente bicóncava. Desafío 499, página 279: Los experimentos muestran que el sonido no depende de los flujos de aire (averigüe cómo), pero sí depende del sonido externo presente. El sonido es debido a la amplificación selectiva por las resonancias resultantes de la geometría de la forma de la concha. Desafío 500, página 279: El Sol está siempre en una posición diferente a la que observamos que esté. ¿Cuál es la diferencia, medida en diámetros angulares del Sol? Desafío 501, página 279: El cubo 3 × 3 × 3 tiene un sistema rígido de tres ejes perpendiculares, en la que un cuadrado puede girar a cada uno de los 6 extremos. Las otras piezas se unen a las piezas en movimiento alrededor de esos ejes. El cubo 4 × 4 × 4 es diferente, sin embargo; averígüelo. A partir de 7 × 7 × 7 en adelante, las partes no tienen todas el mismo tamaño o forma. El actual límite en el número de segmento en "cubos" disponibles en el mercado es de 17 × 17 × 17! Se puede encontrar en www.shapeways.com/shops/oskarpuzzles. El sitio www.oinkleburger.com/Cube/applet permite jugar con cubos virtuales de hasta 100 × 100 × 100, y más. Desafío 503, página 281: Una visión general de los sistemas se está probando en la actualidad se encuentra en K. - U. Grow, Energiereservoir Ozean, Physik en unserer Zeit 33, pp 82-88, Febrero de 2002. Véase también Océanos de electricidad -. las nuevas tecnologías convierten el movimiento de olas en vatios, Science News 159, pp. 234-236, abril de 2001. Desafío 504, página 281: En la vida cotidiana, la suposición suele justificarse, ya que cada punto puede ser aproximadamente representado por un átomo, y los átomos pueden estar seguidos. La suposición es cuestionable en situaciones tales como turbulencia, donde no todos los puntos se pueden asignar a los átomos, y sobre todo, en el caso del movimiento del propio vacío. En otras palabras para las ondas de gravedad, y en particular para la teoría cuántica de las ondas de gravedad, la suposición no está justificada. Desafío 510, página 287:Hay muchos. Uno sería que el coeficiente de reflexión y por lo tanto el de transmisión para las ondas fuera casi independiente de la longitud de onda. Desafío 511, página 288: Una gota con un diámetro de 3 mm podría cubrir una superficie de 7,1 m2 con una película de 2 nm. Desafío 512, página 291: El viento romperá los árboles altos que son demasiado delgados. A los árboles pequeños y también delgados, el viento no les causa daño. Desafío 513, página 291: La altura crítica para una columna de material viene dado por h4crit = β E m 2 donde β ≈ 1,9 es la constante determinada por el cálculo cuando una columna se pandea 4π g ρ bajo su propio peso. Desafío 515, página 292: Una posibilidad es describir las partículas como nubes; otra, está dada en la última parte del texto. Desafío 517, página 298: Compruebe sus respuestas con el texto delicioso por P. Goldrich, S. Mahajan y S. Phinney, Orden de magnitud Física: Entender el mundo con Análisis dimensional, conjeturas, y mentiras sin importancia, disponible en Internet Desafío 518, página 298: El vidrio se fractura haciéndose añicos, el vidrio es elástico, el vidrio presenta ondas sonoras transversales, el vidrio no fluye (a diferencia de lo que se dice en muchos libros), ni siquiera en una escala de siglos, las moléculas de vidrio están fijas en el espacio, el vidrio es cristalino a distancias pequeñas, una hoja de vidrio apoyada en los extremos no se cuelga en el medio. Desafío 519, página 298: Ningún hilo metálico permite la construcción de un cable tan largo. Sólo la idea de los nanotubos de carbono ha aumentado la esperanza de nuevo; un sueño de material basado en ellos, más fuerte que cualquier material conocido hasta ahora. Sin embargo, no hay tal material, aún se desconoce. El sistema se enfrenta a muchos peligros, como defectos de fabricación, rayos, tormentas, meteoritos y desechos espaciales. Todos podrían conducir a la ruptura de los cables - si alguna vez existieran dichos cables. Pero el mayor de todos los peligros es la falta de dinero para construirlo. Desafío 521, página 299: se generaría un sismo mediano-grande. Desafío 522, página 299: Una estalactita contiene un canal fino a lo largo de su eje a través del cual el agua fluye, 360 mientras que una estalagmita es totalmente maciza. Desafío 523, página 299: Cerca de 1 por mil. Desafío 524, página 300: A pesar de que el núcleo de hierro de la Tierra se formó por recogida del hierro de colisiones de asteroides que luego se hundieron en el centro de la Tierra, el sistema no funcionará hoy: en su juventud, la Tierra era mucho más líquida que hoy. El hierro, muy probablemente no se hundiría. Además, no hay manera conocida para construir una sonda de medición que pueda enviar fuertes ondas sonoras suficientes para este esquema. La resistencia a la temperatura también es un problema, pero esto puede ser solucionable. Desafío 526, página 302: Los átomos no son infinitamente duros, como demuestra la teoría cuántica. Los átomos son más similares a nubes deformables. Desafío 526. Si no hay fricción, los tres métodos funcionan igual de rápido, incluyendo el de más a la derecha. Desafío 529, página 309: La constante k se deduce de la conservación de la energía y de la masa que: k= √ 2 . Las secciones transversales se designan por A y el subíndice 1 se refiere a ρ( A / A 22−1) 2 1 cualquier punto alejado de la constricción, y el subíndice 2 a la constricción. Desafío 530, página 312: Algunas personas notan que en algunos casos la fricción es demasiado alta, y empiezan a chupar en un extremo del tubo para obtener inicio del flujo; mientras lo hacen, pueden inhalar o tragar gasolina, que es venenosa. Desafío 536, página 314: La presión de la sangre en los pies de un humano en pie es de aproximadamente 27 kPa, el doble de la presión en el corazón. Desafío 537, página 314: El cálculo da N = J / j = 0,0001 m3 / s / (7 μm2 0.0005 m / s), o aproximadamente 6⋅109; en realidad, el número es mucho mayor, ya que la mayoría de los capilares están cerradas en un instante dado. El enrojecimiento de la cara muestra lo que sucede cuando todos los pequeños vasos sanguíneos se abren al mismo tiempo. Desafío 538, página 314: Tirar la piedra hace que el nivel baje, arrojar el agua o la pieza de madera no produce cambio de nivel. Desafío 539, página 314: La nave se eleva más alto en el cielo. (¿Por qué?) Desafío 539-b. El movimiento de un globo de helio es opuesta a la de un globo lleno de aire o a la de las personas: el globo de helio se mueve hacia el lado delantero cuando el coche se acelera y en la parte trasera cuando el desacelera de automóviles. Se comporta de manera diferente, incluso en las curvas. Varias películas en Internet muestran los detalles. Desafío 543, página 314: Las bombas trabajaban mediante succión; pero la presión de aire sólo permite 10 m de desnivel para tales sistemas. Desafío 544, página 315: Este argumento sólo es comprensible si se recuerda que «el doble de la cantidad '' significa el doble de moléculas '. Desafío 545, página 315: El alcohol se congela y el chocolate se pone alrededor de él. Desafío 546, página 315: El autor sugiere en una vieja edición que una máquina debería basarse en las mismas máquinas que proyectan los platos de arcilla utilizados en los deportes de tiro al plato y tiro al pichón. Mientras tanto, Lyderic Bocquet y Christophe Clanet han construido una máquina de este tipo, pero utilizando un diseño diferente; una imagen se pueden encontrar en el sitio web lpmcn.univ-lyon1.fr/lbocquet. Desafío 547, página 315: El tercer componente del aire es el gas noble argón, lo que representa aproximadamente el 1%. Una lista más larga de los componentes se da en la Tabla 59. Desafío 548, página 315: La cavidad pleural entre los pulmones y el tórax está permanentemente por debajo de la presión atmosférica, por lo general 5 mbar, incluso 10 mbar en la inspiración. Un agujero en él, formado por ejemplo por una bala, una espada o un accidente, lleva al colapso del pulmón - el llamado neumotórax - y muchas veces hasta la muerte. Las Operaciones a pecho abierto sobre las personas sólo han sido posibles después de que el cirujano Ferdinand Sauerbruch aprendió en 1904 cómo lidiar con el problema. Hoy en día, sin embargo, los cirujanos mantienen el pulmón bajo una presión superior a la atmosférica hasta que todo se sella de nuevo. Desafío 549, página 315:La fuente mostrada en la figura se inicia mediante el vertido de agua en el recipiente superior. La fuente utiliza entonces la presión de aire creada por el agua que fluye hacia abajo. Desafío 550, página 316: Sí. La bombilla no resistirá dos de tales coches sin embargo. Desafío 551, página 316: El radón es aproximadamente 8 veces más pesado que el aire; es el gas más denso conocido. En comparación, Ni (CO) es 6 veces, SiCl4 4 veces más pesado que el aire. El vapor de mercurio (obviamente también un gas) es 7 veces más pesado que el aire. En comparación, el vapor de bromo es 5,5 veces más pesado que el aire. Desafío 553, página 316: Sí, como el ventomóvil de la Figura 270 demuestra. Se logra la hazaña para bajas velocidades de viento. Desafío 554, página 316: No. Desafío 556, página 317: Llevó las cuerdas a la cabina pasándolos a través de mercurio líquido. 361 Desafío 557, página 317: La presión destruye el pulmón. La respiración por un tubo sólo es posible en la superficie del agua, no por debajo del agua! ¡Este experimento también es peligroso cuando intenta hacerlo en la bañera! La respiración con un tubo largo sólo es posible si una bomba en superficie bombea el aire a lo largo del tubo a la presión correcta. Desafío 559, página 318: No hay soluciones oficiales para estas preguntas; simplemente revise cuidadosamente sus suposiciones y cálculos. Internet está llena de este tipo de cálculos. Desafío 560, página 318: El jabón fluye hacia abajo en la pompa, por lo que es más gruesa en la parte inferior y más delgada en la parte superior, hasta que alcanza el grosor de dos capas moleculares. Más tarde, estalla. TABLA 59 Composición gaseosa de aire seco, en la actualidad (fuentes: NASA, IPCC). GAS SÍMBOLO PARTES EN VOLUMEN Nitrógeno N2 78,084% Oxígeno O2 20,946% Argón Ar 0,934% CO2 387 ppm Neón Ne 18.18 ppm Helio He 5,24 ppm CH4 1,79 ppm Kriptón Kr 1,14 ppm Hidrógeno H2 0,55 ppm Óxido Nitroso (parcialmente debido a contaminación humana) N2O 003 ppm Monóxido de Carbono (parcialmente debido a contaminación humana) CO 0,1 ppm Xe 0,087 ppm Ozono (fuertemente influido por contaminación humana) O3 0 a 0,07 ppm Dióxido de nitrógeno (principalmente debido acontaminación humana ) NO2 0,02 ppm Iodo I2 0,01 ppm Radón Rn traces 20 tipos 0.0012 ppm Dióxido de Carbono (en gran parte debido a contaminación humana) ) Metano (parcialmente debido a contaminación humana) Xenón Halocarburos y otros compuestos de flúor (todos son polucionantes humanos) El mercurio, otros metales, compuestos de azufre, otros compuestos orgánicos (todos contaminantes humanos) su concentración varía mucho. a. El aire húmedo puede contener hasta 4% de vapor de agua, dependiendo del clima. Aparte de los gases, el aire puede contener gotitas de agua, hielo, arena, polvo, polen, esporas, ceniza volcánica, ceniza de los incendios forestales, ceniza de los combustible, partículas de humo, meteoritos y partículas de rayos cósmicos. Durante la historia de la Tierra, la composición gaseosa varió fuertemente. En particular, el oxígeno es parte de la atmósfera solo en la segunda mitad de la vida de la Tierra. b. abreviatura ppm significa 'Partes por millón ". 362 Desafío 561, página 318: La temperatura conduce a la evaporación del líquido involucrado, y el vapor evita el contacto directo entre los dos cuerpos no gaseosos. Desafío 562, página 318: Para que esto suceda, la fricción tendría que existir en la escala microscópica y la energía debería desaparecer. Desafío 563, página 318: El embudo más largo se vacía antes que el corto. (Si no lo crees, pruébalo.) En el caso de que la cantidad de agua en la salida del embudo puede despreciarse, se puede utilizar la conservación de energía para el movimiento fluido. Esto produce la famosa ecuación de Bernoulli p / ρ + gh + v2 / 2 = const, donde p es la presión, ρ la densidad del agua, y g es 9,81 m / s2. Por lo tanto, la velocidad v es mayor para longitudes mayores h de la parte delgada, recta del embudo: el embudo más largo se vacía primero. Pero esto es extraño: la fórmula da una relación de caída libre simple, como la presión de aire es la misma por encima y por debajo, desaparece del cálculo. La expresión para la velocidad es por lo tanto independiente de si un tubo está presente o no. La razón verdadera para el vaciado más rápido del tubo es así que un tubo fuerza a más agua a fluir fuera que la falta de un tubo. Sin tubo, el diámetro del flujo de agua disminuye durante la caída. Con el tubo, se mantiene constante. Esta diferencia conduce a un más rápido vaciado para tubos más largos. Alternativamente, se puede ver en el valor de la presión del agua dentro del embudo. Usted descubrirá que la presión del agua es más baja en el inicio del tubo de salida. Esta presión interna de agua es menor para los tubos más largos y succiona el agua más rápido en esos casos. FIGURA 270 Una manera de andar frontalmente contra el viento con energía eólica (© Tobias Klaus). Desafío 564, página 318: Los ojos de los peces están posicionados de tal manera que la reducción de la presión por el flujo es compensado por el aumento de presión del cubículo. Por cierto, el corazón está posicionado de tal manera que es ayudado por la subpresión. Desafío 566, página 319: Esta hazaña se ha logrado para las montañas más bajas, como el Mont Blanc en los Alpes. En la actualidad, sin embargo, no hay manera de flotar con seguridad en las grandes alturas de los Himalayas. Desafío 568, página 319: Presione el pañuelo en el vaso, y baje el vaso en el agua con la boca en primer lugar, mientras se mantiene la boca horizontal. Este método también se utiliza para las personas más bajas por debajo del mar. La bola de papel en la botella volará hacia usted. Soplando en un embudo se mantendrá la pelota de pimpón firmemente en su lugar, y tanto más cuanto más fuerte sople. Soplando a través de un embudo hacia una vela hará que se incline hacia usted. Desafío 576, página 329: En 5000 millones años, el presente procedimiento se detendrá, y el Sol se convertirá en una gigante roja. Pero arderá muchos años más después de eso. Desafío 577 Bernoulli argumentó que la temperatura describe la energía cinética promedio de los componentes del gas. A partir de la energía cinética, dedujo la cantidad promedio de movimiento de los constituyentes. Una cantidad de movimiento promedio conduce a la presión. Agregando los detalles nos lleva a la relación ideal de los gases. Desafío 578, página 330: La respuesta depende del tamaño de los globos, ya que la presión no es una función monótona del tamaño. Si el globo más pequeño no es demasiado pequeño, el globo más pequeño gana. Desafío 581, página 331: Se mide el área de contacto entre los neumáticos (los cuatro) y la calle y luego se multiplica por 200 kPa, la presión habitual de neumáticos. Así se obtiene el peso del coche. Desafío 585, página 334: Si el desplazamiento cuadrático medio es proporcional al tiempo, el líquido está hecho de partículas más pequeñas. Esto fue confirmado por los experimentos de Jean Perrin. El siguiente paso para deducir el número de estas partículas es a partir de la constante de proporcionalidad. Esta constante, definida por ⟨d 2⟩ = 4DT, se llama la constante de difusión (el factor 4 es válido para movimiento al azar en dos dimensiones) .La constante de difusión se puede determinar observando el movimiento de una partícula bajo el microscopio. Estudiamos una partícula browniana de radio a. En dos dimensiones, su desplazamiento cuadrático viene dado por ⟨d2 ⟩ = (4kT/ μ) t , (153) 363 donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura. La relación se deduce mediante el estudio del movimiento de una partícula con fuerza de arrastre -μv que está sujeta a golpes aleatorios. El coeficiente de arrastre lineal μ de una esfera de radio a está dada por μ = 6πηa , (154) donde η es la viscosidad cinemática. En otras palabras, se tiene que k = (6πηa / 4T) (⟨d2⟩ /t ). (155) Todas las cantidades a la derecha pueden ser medidas, permitiendo así determinar la constante k de Boltzmann. Puesto que la relación del gas ideal muestra que la constante de gas ideal R está relacionada con la constante de Boltzmann por R = NAK, la constante de Avogadro NA que da el número de moléculas en un mol también se encuentra de esta forma. Desafío 590, página 341: La posibilidad de inversión de movimiento para todos los fenómenos observados es realmente una propiedad fundamental de la naturaleza. Se ha confirmado para todas las interacciones y todos los experimentos realizados. Independientemente de ello es el hecho, que la realización de la inversión pueda ser extremadamente difícil, porque invertir el movimiento de muchos átomos a menudo no es factible. Desafío 590-b. Esta es una pregunta con trampa. Para una buena aproximación, cualquier caja resistente al agua es un ejemplo. Sin embargo, si nos preguntamos por la precisión total, todos los sistemas irradian una cierta energía, pierden algunos átomos o partículas y el espacio se curva; no existen los sistemas ideales cerrados. Desafío 596, página 344: Vamos a descubrir más tarde que el universo no es un sistema físico; así el concepto de entropía no se aplica al mismo. Así, el universo no es ni aislado ni cerrado. Desafío 598, página 345: La clara de huevo comienza a endurecer a temperatura inferior a la yema, pero para el endurecimiento completo, lo opuesto es verdad. La clara se endurece por completo a 80 ° C, la yema de huevo se endurece considerablemente en 66 a 68 ° C. Cozamos un huevo en la última temperatura, y la hazaña es posible; la clara sigue siendo líquida, pero no permanece transparente, sin embargo. Tenga en cuenta una vez más que el tiempo de cocción no juega ningún papel, sólo el valor preciso de la temperatura. Desafío 600, página 345: Sí, el efecto es fácilmente perceptible. FIGURA 271 Una vela en la Tierra y en microgravedad (NASA). Desafío 602, página 346: El aire caliente es menos denso y por lo tanto quiere subir. Desafío 603, página 346: Mantenga el papel mojado. Desafío 604, página 273. La fusión del hielo a 0 ° C en agua a 0 ° C toma 334 kJ / kg. El enfriamiento de agua de 1 ° C o 1 K hace 4, 186 kJ / kg·K. Por lo tanto, el agua caliente debe enfriarse a 20, 2 ° C para derretir el hielo, de modo que la temperatura final de mezclado sea de 10, 1 ° C. Desafío 605, página 346: El aire tenía que ser seco. Desafío 606, página 346: En general, es imposible trazar una línea a través de tres puntos. Dado que cero absoluto y el punto triple del agua se fijan en magnitud, era prácticamente una apuesta segura que el punto de ebullición no sería precisamente 100 ° C. Desafío 607, página 347: No, porque una molécula de agua es más pesada que eso. Sin embargo, si se permite que el agua esté sucia, es posible. ¿Qué sucede si se toma en consideración el cuanto de acción? Desafío 608, página 347: El peligro no es debido a la cantidad de energía, sino debido al tiempo en el que ella está disponible. Desafío 609, página 347: Internet está lleno de soluciones. Desafío 611, página 348: Sólo si se trata de un sistema cerrado. ¿Es cerrado el universo? ¿Es un sistema? Esto se discute en la parte final de la subida a la montaña. Desafío 614, página 348: Para este tipo de animales pequeños la temperatura del cuerpo caería demasiado bajo. No podrían comer lo suficientemente rápido para obtener la energía necesaria para mantenerse calientes. Desafío 617.-página 279.La respuesta depende del volumen, por supuesto. Pero varias familias murieron durante la noche porque habían modificado sus casas móviles para que fueran herméticas. Desafío 618.-página 279. Las sales metálicas en la ceniza actúan como catalizadores y el azúcar arde en vez de 364 fundirse. -vea el video del experimento en www.youtube.com/watch?v=BfBgAaeaVgk. Desafío 623, página 349: Es de unos 10-9 la de la Tierra. Desafío 625, página 350:El espesor de los pliegues en el cerebro, las burbujas en el pulmón, la densidad de los vasos sanguíneos y el tamaño de las células biológicas. Desafío 626, página 350:El vapor de mercurio por encima del líquido se satura. Desafío 627, página 350: Un proyecto dedicado de la NASA estudió esta cuestión. La figura 271 da una comparación ejemplo. Puede encontrar más detalles en su web. Desafío 628, página 350: Los riesgos debidos a las tormentas y los riesgos financieros son demasiado altos. Desafío 629, página 350: El vórtice dentro del tubo es frío cerca de su eje y caliente en la región lejos desde el eje. A través de la membrana en el medio del tubo (mostrado en la Figura 233) el aire de la región de eje es enviado a uno de los extremos y el aire de la región exterior hacia el otro extremo. El calentamiento de la región exterior se debe al trabajo que el aire que gira en el interior debe hacer en el aire exterior para conseguir una rotación que consume momento angular. Para una explicación detallada, ver el hermoso texto de Mark P. Silverman, Eppur si mouve: Sistemas extraños y Preguntas sutiles en Física, Cambridge University Press, 1993, p. 221. Desafío 629-b. No Desafío 629-c. A la concentración máxima de masa posible, la entropía es, naturalmente, la más alta posible. Desafío 629-d. Las unidades no corresponden Desafío 633, página 351: En el caso del agua, un par de vueltas mezclan la tinta, y girando hacia atrás aumenta la mezcla. En el caso de glicerina, un par de vueltas parecen mezclar la tinta, y girando hacia atrás se cancela la mezcla. Desafío 634, página 351: Póngalos en la ropa. Desafío 636, página 352: las Temperaturas negativas son una muleta conceptual definible sólo para sistemas con unos estados discretos; no son las temperaturas reales, porque no describen estados de equilibrio, y de hecho nunca se aplican a sistemas con un continuo de estados. Desafío 637, página 353: Esto también es válido para la forma de los cuerpos humanos, el control cerebral del movimiento humano, el crecimiento de las flores, las olas del mar, la formación de nubes, los procesos que conducen a las erupciones volcánicas, etc. Desafío 639, página 359: Consulte la página 275 rompecabezas sobre el movimiento de los chichones de esquí. Desafío 644, página 362: En primer lugar, hay muchas más mariposas que tornados. En segundo lugar, los tornados no se basan en pequeñas perturbaciones iniciales de su apariencia. En tercer lugar, la creencia en el "efecto mariposa " descuida completamente un aspecto de la naturaleza, que es esencial para la auto-organización: la fricción y la disipación. El "efecto mariposa", asumiendo que exista, requeriría que la disipación en el aire debería tener propiedades completamente irreales. Este no es el caso en la atmósfera. Pero lo más importante de todo, no hay ninguna base experimental para el "efecto": nunca se ha observado. Por lo tanto, no existe. Desafío 654, página 373: No. La naturaleza no permite más de 20 dígitos de precisión, como descubriremos más adelante en nuestro caminar. Eso no es suficiente para un libro normal. La cuestión de si tal número puede ser parte de su propio libro por lo tanto desaparece. Desafío 655, página 373: Las tres afirmaciones son una tontería. Un coeficiente de resistencia aerodinámica implica que el área transversal del coche se sabe con la misma precisión. Esto es realmente muy difícil de medir y mantener constante. De hecho, el valor de 0,375 para el Ford Escort era tramposo, como muchas otras medidas mostraron. El consumo de combustible es aún más ridículo, ya que implica que los volúmenes de combustible y las distancias se pueden medir con la misma precisión. Las encuestas de opinión que se tomen por teléfono en la mayoría de 2.000 personas; debido a las dificultades en la selección de una muestra representativa correcta, da una precisión a lo sumo del 3%. Desafío 657, página 374: El espacio-tiempo se define utilizando la materia; la materia se define utilizando el espaciotiempo. Desafío 658, página 374: El hecho es que la física se ha basado en una definición circular durante cientos de años. Por lo tanto, es posible construir incluso una ciencia exacta sobre la arena. Sin embargo, la eliminación de la circularidad es un objetivo importante. Desafío 659, página 375: Cada medición es una comparación con un estándar; toda comparación requiere luz o algún otro campo electromagnético. Este es también el caso para las mediciones de tiempo. Desafío 660, página 375: Cada medición de la masa es una comparación con un estándar; toda comparación requiere luz o algún otro campo electromagnético. Desafío 661, página 375: Mediciones de ángulos tienen las mismas propiedades que la longitud o las mediciones de tiempo. Desafío 666, página 392: Alrededor de 10 μg. Desafío 663, página 390: La masa es una medida de la cantidad de energía. El 'cuadrado de la masa' no tiene sentido. 365 Desafío 667, página 393: Probablemente la cantidad con la mayor variación es la masa donde un prefijo para 1 eV / c2 sería útil, ya que sería uno para la masa total del universo, que es cerca de 1090 veces más grande. Desafío 668, página 394: La fórmula con n - 1 es un mejor ajuste. ¿Por qué? Desafío 671, página 395: ¡No! Son demasiado precisos tener sentido. Sólo se dan como una ilustración para el comportamiento de la distribución de Gauss. Las distribuciones de medición reales no son de Gauss a la precisión implícita en estos números. Desafío 672, página 395: Cerca de 0,3 m / s. No 0,33 m / s, ni 0,333m / s. Y tampoco cualquier cadena más larga de treses! Desafío 674, página 401: La desaceleración varía cuadráticamente con el tiempo, ya que cada nueva desaceleración se suma a la anterior! Desafío 675, página 401: No, sólo las propiedades de las partes del universo están listadas. El universo mismo no tiene propiedades, como se muestra en el último volumen. Desafío 676, página 457: Por ejemplo, la velocidad dentro de la materia se hace más lenta, pero entre los átomos, la luz sigue viajando con la velocidad de vacío. 366