Scarica Definizione di punto di accumulazione e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! PUNTO DI ACCUMULAZIONE Diciamo che è punto di accumulazione per l'insieme E se comunque scelto un intorno completo risulta che contiene almeno un punto di E che non sia . Prestiamo attenzione alla definizione appena data, e soprattutto alle parole "comunque scelto un intorno completo". Per dire che un punto è di accumulazione per un insieme E non basta trovare un intorno del punto tale da contenere almeno un punto di E che non sia . Dobbiamo fare la verifica per tutti gli intorni del punto considerato! Trovare un intorno completo che soddisfi la proprietà non basta, infatti potrebbe benissimo darsi che vi sia un intorno completo più piccolo, dunque con raggio e tale da non contenere nessun punto di E oltre a . ESEMPI 1) Il primo - nonchè l'esempio di maggiore utilizzo in questi casi - consiste nel prendere la successione . Diciamo che è un punto di accumulazione per E. Per vedere che comunque scegliamo un intorno completo di questo conterrà almeno un punto di E che non sia 0 stesso, dobbiamo ragionare in astratto ed indipendentemente dalla lunghezza degli intorni. Per dimostrare che vale la proprietà "contenere un altro punto di E che non sia ", non possiamo metterci a fare la prova per ogni lunghezza: ci basta fare una verifica in generale e quindi considerare il raggio dell'intorno come un paramentro generico. In questo modo, se riesco a dimostrare la proprietà con un generico intorno , dove il generico è inteso come "con generica lunghezza", la proprietà vale per ogni intorno! Nel caso considerato, prendiamo . Abbiamo la certezza che comunque scelgo troverò un punto di E, che non sia zero, e che vi appartiene? Gli elementi di E sono della forma , quindi comunque scelgo un raggio dell'intorno sono sicuro di trovare all'interno dell'intorno almeno un punto di E: basta prendere tale che , ossia comunque scelgo è sufficiente prendere per avere la proprietà di appartenenza. Ad esempio, prendo , avrò che ogni elemento a partire da , quindi a partire da , sta nell'intorno prefissato. In particolare, notiamo che se ho un punto di accumulazione e quindi in un suo intorno qualsiasi cade almeno un punto dell'insieme, in realtà ne cadono infiniti! Inoltre un punto di accumulazione per un insieme può non appartenere all'insieme stesso. Nell'esempio se n è tale che , allora ogni elemento del tipo con N>n apparterrà a Tutti gli altri punti dell'insieme E considerato non sono punti di accumulazione per l'insieme stesso. Per capirlo, consideriamo ad esempio il primo elemento dell'insieme, cioè 1 (ottenuto per n=1). Il ragionamento si estenderà facilmente a tutti gli altri elementi dell'insieme. In tal caso 1 non è punto di accumulazione per E e per vederlo basta trovare un solo intorno di E che non contiene altri punti di E a parte 1 stesso. Se infatti la proprietà non vale per un solo intorno, allora non è vero che la proprietà vale comunque scelgo un intorno. Il punto di E più vicino a 1 è 1/2, ottenuto per n=2, quindi per vedere che la proprietà non vale basta prendere un intorno con raggio 1/3. Detto, fatto. non contiene altri punti di E a parte 1 stesso. 2) Prendiamo un qualsiasi intervallo . Ogni punto contenuto nell'intervallo è un punto di accumulazione per l'intervallo stesso, ed è facilissimo vederlo. Comunque prendo un intorno di un fissato punto contenuto nell'intervallo, trovo sempre almeno un punto dell'intervallo che sta nell'intorno (in realtà infiniti) e che non sia stesso. Qui notiamo che un punto di accumulazione per un insieme può appartenere all'insieme stesso.
