[¯|¯] Oscillazioni forzate
Marzo 15th, 2017 | by Marcello Colozzo |Applichiamo all'oscillatore armonico, una forza dipendente dal tempo secondo la legge:
Attenzione: qui F(t) è la forza per unità di massa.
Il secondo principio della dinamica fornisce
che è un'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea e a coefficienti costanti. Dalla teoria sappiamo che in tal caso l'integrale generale si ottiene sommando a un integrale particolare x1(t) l'integrale generale dell'equazione omogenea associata:
che può comunque essere messo nella forma:
Un integrale particolare dell'equazione completa può scriversi:
"Forziamo" questa funzione affinchè soddisfi l'equazione da risolvere:
quindi
da cui l'ampiezza B
Cioè
Finalmente l'integrale generale
Imponendo le condizioni iniziali
si ha l'ascissa dell'oscillatore in funzione del tempo:
Se x0=0:
da cui vediamo che x(t) è la differenza di due oscillazioni armoniche aventi la stessa ampiezza. Precisamente:
La prima oscillazione ha pulsazione Ω, mentre la seconda oscilla con la pulsazione caratteristica ω0. I corrispondenti periodi delle oscillazioni componenti sono:
Ne consegue che x(t) è una funzione periodica se e solo se i periodi T1 e T0 hanno in comune un multiplo minimo. A titolo d'esempio supponiamo:
cosicchè
Cioè
è periodica di periodo 2π e quindi ha una pulsazione ω=1rad/s.
Consideriamo ora l'oscillazione
ovvero
per cui
Dal momento che tali periodi non hanno un multiplo minimo in comune, segue che l'ascissa:
non è periodica. Ciò è confermato dal grafico di fig. 1.
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Tags: Equazioni differenziali, Funzioni periodiche, oscillatore armonico, oscillazioni forzate
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