Propiedades de los límites de una función
Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para
simplificar el cálculo del límite de una función. Al tratarse de operaciones
con límites, también se les denomina álgebra de límites.
¿Cuáles son las propiedades de los límites?
Las propiedades de los límites de una función incluyen la existencia y
unicidad del límite, así como reglas aritméticas como la suma, resta,
multiplicación y división. Estas reglas establecen que el límite de la suma (o
resta) de dos funciones es la suma (o resta) de sus límites individuales,
además que el límite del producto es el producto de los límites y que el
límite del cociente es el cociente de los límites, siempre que el denominador
no tienda a cero. Estas propiedades son fundamentales para analizar el
comportamiento de las funciones en puntos específicos.
A continuación, te presentamos en qué consiste cada una de estas propiedades,
así como una serie de ejemplos para que puedas comprenderlas más fácilmente.
Límite de una función constante
Propiedad 1. Límite de una función constante. Si \(f:A\rightarrow B\), es una
función constante, es decir, \(f(x)=k\) para toda \(x\) en \(A\), entonces:
\[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)&=\lim_{x\rightarrow
x_{0}}k\\&=k\end{aligned}\]
Esta propiedad establece que, cuando \(x\) se aproxima a \(x_{0}\), el límite
de una función constante es igual al valor constante de la función. En otras
palabras, el límite de una función constante es la propia constante.
Límite de una función constante ejemplos
Ejemplo 1. Calcular el límite cuando \(x\rightarrow 5\) de la función
constante \(f\) definida por: \[f(x)=10\] Solución: De acuerdo con la
propiedad 1, si tomamos el límite cuando \(x\) tiende a un valor \(x_{0}\) de
la función constante \(f\), este será igual al valor constante de la función.
En este caso, \(x_{0}=5\) y el valor constante de la función es \(k=10\), por
lo tanto, tendremos: \[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow
5}f(x)&=\lim_{x\rightarrow 5}10\\&=10\end{aligned}\]
Ejemplo 2. Calcular el siguiente límite: \[\lim_{x\rightarrow -2}4\] Solución:
De acuerdo con la propiedad del límite de una función constante, si tomamos el
límite cuando \(x\) tiende a un valor \(x_{0}\) de una función constante, este
será igual al valor constante de la función, por lo tanto:
\[\lim_{x\rightarrow-2}4=4\]
Límite de una constante por una función
Propiedad 2. Límite de una constante por una función. Si \(\lim\limits_{x \to
x_{0}}f(x)=L\) y \(c\) es una constante de valor real, entonces:
\[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left[c\cdot
f(x)\right]&=c\cdot\left[\lim_{x\rightarrow
x_{0}}f(x)\right]\\&=c\cdot L\end{aligned}\]
Esta propiedad establece que el límite de una constante multiplicada por una
función es igual a la constante multiplicada por el límite de la función. En
otras palabras, un factor constante puede sacarse del signo del límite.
Límite de una constante por una función ejemplos
Ejemplo 3. Calcular el límite cuando \(x\rightarrow 9\) de la función \(f\)
definida por: \[f(x)=2x\] Solución: De acuerdo con la propiedad 2, el límite
de una constante multiplicada por una función es igual a la constante
multiplicada por el límite de la función. Observa que, podemos interpretar a
la función \(f\) como el producto de una constante \(c\) multiplicada por otra
función que involucra únicamente a la variable independiente \(x\). Si \(c=2\)
y \(g(x)=x\), entonces: \[\begin{aligned}f(x)&=c\cdot g(x)\\&=2\cdot
x\\&=2x\end{aligned}\] Esta observación es importante, ya que permite
identificar a la constante \(c\) y al mismo tiempo darle sentido al cómo
aplicar la propiedad 2. Por lo tanto, aplicando la propiedad 2, obtenemos:
\[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow 9}f(x)&=\lim_{x\rightarrow
9}2x\\&=2\cdot \lim_{x\rightarrow 9}x\\&=2\cdot
9\\&=18\end{aligned}\]
Ejemplo 4. Calcular el siguiente límite: \[\lim_{x\rightarrow
-3}\frac{3}{2}x^2\] Solución: De acuerdo con la propiedad 2, el límite de una
constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada
por el límite de la función, por lo tanto: \[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow
-3}\frac{3}{2}x^2&=\frac{3}{2}\cdot \lim_{x\rightarrow
-3}x^2\\&=\frac{3}{2}\cdot \left(-3\right)^2\\&=\frac{3}{2}\cdot
9\\&=\frac{27}{2}\end{aligned}\]
Límite de una suma de funciones
Propiedad 3. Límite de una suma de funciones. Si \(\lim\limits_{x \to
x_{0}}f(x)=L\) y \(\lim\limits_{x \to x_{0}}g(x)=M\), entonces:
\[\lim\limits_{x \to x_{0}}\left[f(x)+g(x)\right]=L+M\]
Esta propiedad establece que el límite de una suma es igual a la suma de los
límites.
Límite de una suma de funciones ejemplos
Ejemplo 5. Calcular el límite cuando \(x\rightarrow 7\) de la función \(f\)
definida como: \[f(x)=x^2+1\] Solución: De acuerdo con la propiedad 3, el
límite de una suma es igual a la suma de los límites. Por lo tanto, aplicando
esta propiedad obtenemos: \[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow
7}f(x)&=\lim_{x\rightarrow 7}\left(x^2+1\right)\\&=\lim_{x\rightarrow
7}x^2+\lim_{x\rightarrow
7}1\\&=(7)^2+1\\&=49+1\\&=50\end{aligned}\]
Ejemplo 6. Hallar el valor del siguiente límite: \[\lim_{x\rightarrow
-1}\left(x^5+5x\right)\] Solución: De acuerdo con la propiedad 3, el límite de
una suma es igual a la suma de los límites, por lo tanto:
\[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow
-1}\left(x^5+5x\right)&=\lim_{x\rightarrow -1}x^3+\lim_{x\rightarrow
-1}5x\\&=\lim_{x\rightarrow -1}x^3+5\cdot\lim_{x\rightarrow
-1}x\\&=(-1)^3+5\cdot
(-1)\\&=-1+(-5)\\&=-1-5\\&=-6\end{aligned}\]
Límite de una resta de funciones
Propiedad 4. Límite de una resta de funciones. Si \(\lim\limits_{x \to
x_{0}}f(x)=L\) y \(\lim\limits_{x \to x_{0}}g(x)=M\), entonces:
\[\lim\limits_{x \to x_{0}}\left[f(x)-g(x)\right]=L-M\]
Esta propiedad establece que el límite de una resta es igual a la resta de los
límites.
Límite de una resta de funciones ejemplos
Ejemplo 7. Calcular el límite cuando \(x\rightarrow -1\) de la función \(f\)
definida por:\[f(x)=x^3-x\] Solución: De acuerdo con la propiedad 4, el límite
de una resta es igual a la resta de los límites, entonces, aplicando esta
propiedad obtenemos:
\[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow -1}f(x)&=\lim_{x\rightarrow
-1}\left(x^3-x\right)\\&=\lim_{x\rightarrow -1}x^3-\lim_{x\rightarrow
-1}x\\&=(-1)^3-(-1)\\&=-1+1\\&=0\end{aligned}\]
Ejemplo 8. Hallar el valor del siguiente límite: \[\lim_{x\rightarrow
2}\left(x^2-\frac{1}{x}\right)\] Solución: De acuerdo con la propiedad 4, el
límite de una resta es igual a la resta de los límites, de tal manera que:
\[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow
2}\left(x^2-\frac{1}{x}\right)&=\lim_{x\rightarrow
2}x^2-\lim_{x\rightarrow
2}\frac{1}{x}\\&=(2)^2-\frac{1}{2}\\&=4-\frac{1}{2}\\&=\frac{7}{2}\end{aligned}\]
Límite de un producto de funciones
Propiedad 5. Límite de un producto de funciones. Si \(\lim\limits_{x \to
x_{0}}f(x)=L\) y \(\lim\limits_{x \to x_{0}}g(x)=M\), entonces:
\[\lim\limits_{x \to x_{0}}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=L\cdot M\]
Esta propiedad establece que el límite de un producto es igual al producto de
los límites.
Límite de un producto de funciones ejemplos
Ejemplo 9. Calcular el límite cuando \(x\rightarrow -3\) de la función \(f\)
definida por: \[f(x)=x^3(x-1)\] Solución. De acuerdo con la propiedad 5, el
límite de un producto es igual al producto de los límites, de esta manera
obtenemos que:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\rightarrow-3}x^3(x-1)&=
\lim\limits_{x\rightarrow-3}x^3\cdot\lim\limits_{x\rightarrow-3}(x-1)\\&=(-3)^3\cdot(\lim\limits_{x\rightarrow-3}x-\lim\limits_{x\rightarrow-3}1)\\&=-9\cdot(-3-1)\\&=-9\cdot(-4)\\&=36\end{aligned}\]
Ejemplo 10. Calcular el valor del siguiente límite:
\[\lim\limits_{x\rightarrow \pi}x^2\cos{x}\] Solución: Como el límite de un
producto es igual al producto de los límites, entonces:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\rightarrow\pi}x^2\cos{x}&=\lim\limits_{x\rightarrow\pi}x^2\cdot\lim\limits_{x\rightarrow\pi}\cos{x}\\&=\pi^2\cdot\cos{\pi}\\&=\pi
^2\cdot(-1)\\&=-\pi ^2\end{aligned}\]
Límite de un cociente de funciones
Propiedad 6. Límite de un cociente de funciones. Si \(\lim\limits_{x \to
x_{0}}f(x)=L\) y \(\lim\limits_{x \to x_{0}}g(x)=M\), entonces:
\[\lim\limits_{x \to x_{0}}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}\]
Esta propiedad establece que el límite de un cociente es igual al cociente de
los límites, esto siempre que el límite del denominador sea distinto de cero.
Límite de un cociente de funciones ejemplos
Ejemplo 11. Calcular el límite cuando \(x\rightarrow 5\) de la función \(f\)
definida por: \[f(x)=\frac{x^2}{x-3}\] Solución: De acuerdo con la propiedad
6, el límite de un cociente es igual al cociente de los límites, de tal manera
que:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x \rightarrow 5}f(x)&= \lim_{x\rightarrow
5}\frac{x^2}{x-3}\\&=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
5}(x^2)}{\lim\limits_{x\rightarrow
5}(x-3)}\\&=\frac{5^2}{5-3}\\&=\frac{25}{2}\end{aligned}\]
Ejemplo 12. Obtener el valor del siguiente límite: \[\lim_{x\rightarrow
0}\frac{\sin{x}-x}{\cos{x}+x}\] Solución: Como el límite de un cociente es
igual al cociente de los límites (siempre que el límite del denominador sea
diferente de cero), entonces:
\[\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow
0}\frac{\sin{x}-x}{\cos{x}+x}&=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
0}(\sin{x}-x)}{\lim\limits_{x\rightarrow
0}(\cos{x}+x)}\\&=\frac{\sin{0}-0}{\cos{0}+0}\\&=\frac{0-0}{1+0}\\&=\frac{0}{1}\\&=0\end{aligned}\]
Límite de una función elevada a un exponente
Propiedad 7. Límite de una función elevada a un exponente. Si
\(\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=L\), entonces:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to
x_{0}}\left[f(x)^n\right]&=\left[\lim\limits_{x\to
x_{0}}f(x)\right]^n\\&=L^n\end{aligned}\]
donde \(n\) es un número entero positivo. Esta propiedad establece que el
límite de una función elevada a un exponente \(n\) es igual al límite de la
función elevada a dicho exponente.
Ejemplo 13. Hallar el límite cuando \(x\rightarrow 4\) del cuadrado de la
función \(f\) definida como: \[f(x)=5x\] Solución. De acuerdo con la propiedad
7, el límite de una función elevada a un exponente es igual al límite de la
función elevada al exponente dado. En este caso, el exponente es 2, por lo
tanto: \[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to
4}(5x)^2&=\left[\lim\limits_{x\to
4}(5x)\right]^2\\&=\left[5\cdot\lim\limits_{x\to
4}x\right]^2\\&=\left(5\cdot
4\right)^2\\&=\left(20\right)^2\\&=400\end{aligned}\]
Ejemplo 14. Calcular el siguiente límite: \[\lim\limits_{x\to 3}(4x-9)^3\]
Solución:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to 3}(4x-9)^3&=\left[\lim\limits_{x\to
3}(4x-9)\right]^3\\&=\left[4(3)-9\right]^3\\&=(12-9)\\&=3^3\\&=27\end{aligned}\]
Límite de una función elevada a un exponente función
Propiedad 8. Límite de una función elevada a un exponente función. Si
\(\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=L\) y \(\lim\limits_{x \to x_{0}}g(x)=M\),
entonces:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to
x_{0}}\left[f(x)^{g(x)}\right]&=\left[\lim\limits_{x\to
x_{0}}f(x)\right]^{\lim\limits_{x \to x_{0}}g(x)}\\&=L^M\end{aligned}\]
Esta propiedad establece que el límite de una función elevada a otra función
es igual al límite de la primera función elevada al límite de la segunda
función.
Ejemplo 15. Calcular el valor del siguiente límite: \[\lim\limits_{x\to
2}\left[(x^2-4x)^{(4x-5)}\right]\] Solución:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to 2}\left[(x^2-4x)^{(4x-5)}\right]&=
\left[\lim\limits_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\lim\limits_{x\to
2}(4x-5)}\\&=\left[2^2-4(2)\right]^{4(2)-5}\\&=(4-8)^{8-5}\\&=(-4)^{3}\\&=-64\end{aligned}\]
Límite de la raíz enésima de una función
Propiedad 9. Límite de la raíz enésima de una función. Si \(\lim\limits_{x \to
x_{0}}g(x)=M\) y \(f:A\rightarrow B\) es una función definida como:
\(f(x)=\sqrt[n]{g(x)}\), donde n es un número entero positivo, entonces:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to
x_{0}}\sqrt[n]{f(x)}&=\sqrt[n]{\lim\limits_{x \to
x_{0}}g(x)}\\&=\sqrt[n]{M}\end{aligned}\]
Esto siempre que \(M>0\) si \(n\) es par y \(M<0\) si \(n\) es impar.
Esta propiedad establece que el límite de la raíz enésima de una función es
igual a la raíz enésima del límite.
Ejemplo 16. Obtener el límite cuando \(x\rightarrow 4\) de la función \(f\)
definida como: \[f(x)=\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}\] Solución: De acuerdo con la
propiedad 9, el límite de la raíz enésima de una función es igual a la raíz
enésima del límite, de tal manera que: \[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to
4}\left[\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}\right]&=\sqrt[3]{\lim\limits_{x\to
4}\frac{x^2}{2}}\\&=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}\\&=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}\\&=\sqrt[3]{8}\\&=2\end{aligned}\]
Límite del logaritmo de una función
Propiedad 10. Límite del logaritmo de una función. Si \(\lim\limits_{x \to
x_{0}}g(x)=M\) y \(f:A\rightarrow B\) es la función logarítmica, definida
como: \[f(x)=\log_{k}g(x)\] donde \(k\) (la base) es un número real mayor que
cero y distinto de 1. Entonces:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to
x_{0}}\left[\log_{k}f(x)\right]&=\log_{k}\left[\lim\limits_{x \to
x_{0}}g(x)\right]\\&=\log_{k}{M}\end{aligned}\]
Esta propiedad establece que el límite del logaritmo base \(k\) de una función
es igual al logaritmo en base \(k\) del límite de la función.
Ejemplo 17. Hallar el límite cuando \(x\rightarrow -4\) de la función
logarítmica \(f\) definida como: \[f(x)=\log_{3}(x^2-2x+3)\] Solución. De
acuerdo con la propiedad 10, el límite de un logaritmo base \(k\) de una
función es igual al logaritmo en base \(k\) del límite de la función. Por lo
tanto:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to
-4}\left[\log_{3}(x^2-2x+3)\right]&=\log_{3}\left[\lim\limits_{x\to
-4}(x^2-2x+3)\right]\\&=\log_{3}\left[(-4)^2-2(-4)+3)\right]\\&=\log_{3}\left[16+8+3\right]\\&=\log_{3}\left[27\right]\\&=3\end{aligned}\]
Límite de una función exponencial
Propiedad 11. Límite de una función exponencial. Si \(\lim\limits_{x \to
x_{0}}g(x)=M\) y \(f:A\rightarrow B\) es la función exponencial de base \(k\)
definida como: \[f(x)=k^{g(x)}\] Entonces:
\[\lim\limits_{x\to x_{0}}\left[k^{g(x)}\right]=k^{\lim\limits_{x \to
x_{0}}g(x)}\]
Esta propiedad establece que el límite de una función exponencial es igual a
la base de la función elevada al límite de la función del exponente.
Ejemplo 18. Hallar el límite cuando \(x\rightarrow 1\) de la función
exponencial \(f\) definida como: \[f(x)=5^{2x}\] Solución: La propiedad 11
establece que el límite de una función exponencial es igual a la base de la
función elevada al límite de la función del exponente. En este caso, la base
es 5 y el exponente es la función \(g(x)=2x\), por lo tanto:
\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to 1}5^{2x}&=5^{\lim\limits_{x\to
1}2x}\\&=5^{2(1)}\\&=5^2\\&=25\end{aligned}\]
Propiedades básicas de los límites ejercicios para practicar
Aplicando las propiedades de los límites obtener el límite de cada una de las
siguientes funciones: Ejercicio 1. Calcular el valor de \[\lim\limits_{x\to
3}(2x^2-5x+7)\]
Ejercicio 2. Hallar el límite cuando \(x\to 0\) de la función \(f\) definida
como: \[f(x)=\sqrt{x}+3x\]
Ejercicio 3. Calcular el siguiente límite \[\lim\limits_{x\to
1}\left[\frac{x^3-1}{x^2-1}\right]\]
Ejercicio 4. Encontrar el límite cuando \(x\to 0\) de la función \(g\)
definida como: \[g(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2x}\]
Ejercicio 5. Hallar el límite cuando \(x\to 2\) de la función \(h\) definida
por: \[\frac{x^2-4}{x-2}\]
Ejercicio 6. Calcular el siguiente límite: \[\lim\limits_{x\to 0} \left(1 +
\sin(2x)\right)^{\frac{1}{x}}\]
Ejercicio 7. Encontrar el límite cuando \(x\to 0\) de la siguiente función:
\[f(x)=\frac{4^x - 1}{x}\]
Ejercicio 8. Hallar el límite cuando \(x\to 1\) de la función \(g\) dada por:
\[\frac{x^3-1}{x^2-1}\]
Ejercicio 9. Calcular el siguiente límite: \[\lim\limits_{x\to
3}\left[\frac{x^2-9}{x-3}\right]\]
Ejercicio 10. Encontrar el límite cuando \(x\to 0\) de la función \(h\)
definida por: \[\frac{\ln(x+1)}{x}\]
Propiedades de los límites preguntas frecuentes
¿Qué es el límite de una función? El límite de una función representa
el valor al cual se acerca la función a medida que la variable de entrada se
acerca a un determinado punto.
¿Cuáles son las propiedades básicas del límite? Las propiedades básicas
de los límites incluyen la existencia y unicidad del límite de una función.
Además de la suma, resta, multiplicación y división de límites.
¿Para qué se utilizan las propiedades de los límites? Las propiedades
de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el
cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones con
límites, también se les denomina álgebra de límites.
¿Cómo se calcula el límite de una suma o resta de funciones? Puedes
calcular el límite de una suma o resta de funciones tomando el límite de cada
función por separado y luego sumando o restando los resultados.
¿Cuál es la regla del producto para límites? La regla del producto
establece que el límite del producto de dos funciones es igual al producto de
sus límites individuales, siempre que estos límites existan.
¿Y la regla del cociente para límites? La regla del cociente establece
que el límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de sus
límites individuales, siempre que el límite del denominador no sea cero.
¿Cuál es la importancia del límite en el cálculo? El concepto de límite
es fundamental en cálculo ya que permite definir la derivada, la integral y
otros conceptos clave.
¿Cómo se evalúan límites infinitos o indeterminados? Límites infinitos
o indeterminados se pueden evaluar usando técnicas como factorización,
racionalización o aplicando reglas de L'Hôpital.
¿Cuándo se dice que una función tiende al infinito en un límite? Una
función tiende al infinito en un límite cuando los valores de la función
crecen sin límite a medida que la variable de entrada se acerca a cierto
punto.
¿Qué significa un límite lateral y cuáles son los límites laterales
izquierdo y derecho?
Un límite lateral se refiere al comportamiento de una función a medida que la
variable de entrada se acerca a un punto desde un lado específico. El límite
lateral izquierdo se aproxima desde el lado izquierdo, y el límite lateral
derecho desde el lado derecho.
¿Cómo afectan los límites infinitos al comportamiento de una función en el
infinito?
Los límites infinitos pueden indicar que una función crece o decrece sin
límite a medida que la variable de entrada se aleja hacia el infinito. Esto
puede describir el comportamiento asintótico de la función en el infinito.