Consideriamo un numero naturale qualsiasi, per esempio 8, e moltiplichiamolo per un altro numero naturale: 0, 1, 2, 3, ... Otteniamo:
Diciamo che 0, 8, 16, 24, … sono, rispettivamente, i multipli di 8 secondo i numeri 0, 1, 2, 3, …
In generale:
L’insieme dei multipli di un numero n si indica con Mn e i suoi elementi sono n × 0, n × 1, n × 2, n × 3, n × 4, ...
Quindi i multipli di n sono: 0, il numero n stesso, il suo doppio, il suo triplo, il suo quadruplo, ... e allora, sinteticamente, scriviamo:
Per esempio, l’insieme dei multipli di 8 è: M8 = {0, 8, 16, 24, 32, 40, ...}.
I multipli di 8 sono infiniti e questa osservazione vale per ogni numero naturale diverso da zero e dunque diciamo che:
ESEMPI
Lo 0 ha invece un solo multiplo, se stesso, perché ogni numero moltiplicato per zero dà zero. Quindi l’insieme dei multipli di 0 è singolo: M0 = {0}.
Consideriamo ancora il numero 8 e dividiamolo per 1, 2, 4, 8, cioè per quei numeri naturali che ci portano a ottenere quozienti esatti, ovvero con resto zero:
Diciamo che 1, 2, 4, 8 sono i divisori (o sottomultipli) di 8.
In generale:
L’insieme dei divisori di un numero n si indica con Dn.
Per esempio, l’insieme dei divisori di 8 è: D8 = {1, 2, 4, 8}.
I suoi divisori sono finiti e questa osservazione vale per ogni numero naturale diverso da zero e dunque diciamo che:
ESEMPI
Lo 0 ha invece infiniti divisori perché zero è diviso esattamente da ogni altro numero: 0 : 1 = 0, 0 : 2 = 0, 0 : 3 = 0, ...
Quindi l’insieme dei suoi divisori è infinito: D0 = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Abbiamo visto che il comportamento dello zero nello studio dei multipli e dei divisori è particolare. Per questo nei prossimi paragrafi dell’Unità lavoreremo nell’insieme dei numeri naturali privato dello 0 e quindi in N0.
Riprendiamo la divisione: 8 : 4 = 2.
Diciamo che:
In generale:
Dunque la divisibilità è la proprietà di un numero naturale di essere divisibile per un altro numero naturale.
ESEMPI
La tabella contiene tutti i multipli di 3 e di 5? ..............
Perché? .......................
5×0=0 5×1=5 5×2=10 5×3=15 5×4=20 5×5=25 5×6=30
(INVALSI 2013-2014, III secondaria di 1° grado)
M3 | Insieme dei multipli di 4 | |
M4 | Insieme dei multipli di 1 | |
M1 | Insieme dei multipli di 3 | |
M2 | Insieme dei multipli di 2 |
V | F | Vero perché.../Correzione | |
---|---|---|---|
8 è multiplo di 2. | |||
2 è multiplo di 8. | |||
8 è multiplo di 6. | |||
6 è multiplo di 0. | |||
53 è multiplo di 3. | |||
Il risultato di 18 × 4 è multiplo di 4. | |||
Il risultato di 6 × 5 è multiplo di 6 e di 5. | |||
16 è multiplo di 4 e di 16. | |||
7 è multiplo solo di 1. | |||
0 è multiplo di ogni numero. | |||
1 è multiplo di ogni numero. | |||
Il risultato di 53 è multiplo di 5, di 25 e di 125. |
5, 35 | 48, 24 | 15, 5 | 3, 12 |
9, 2 | 17, 34 | 4, 32 | 15, 100 |
2, 14 | 100, 25 | 180, 9 | 100, 1000 |
14 | 20 | 35 | 70 | 56 | 91 | 71 | 54 |
0 | 15 | 23 | 21 | 77 | 37 | 49 | 51 |
36 | 44 | 1 | 25 | 58 | 42 | 7 | 39 |
28 | 35 | 36 | 12 | 19 | 90 | 66 | 60 |
18 | 15 | 9 | 25 | 37 | 21 | 100 | 0 |
43 | 42 | 50 | 48 | 30 | 33 | 72 | 24 |
0 | 12 | 90 | 30 | 60 | 27 | 66 | 72 |
15 | 18 | 54 | 81 | 64 | 108 | 51 | 94 |
38 | 36 | 45 | 91 | 99 | 46 | 32 | 63 |
3 5 8 10
11 4 1 20
30 40 50 60
12 25 22 100
200 500 1000 10 000
250 350 750 8500
Rappresenta per elencazione:
Rappresenta per elencazione:
Rappresenta per elencazione:
V | F | Esempio | |
---|---|---|---|
I multipli di 10 sono anche multipli di 5. | |||
I multipli di 4 sono anche multipli di 8. | |||
Vi sono multipli di 4 che non sono multipli di 8. | |||
Due numeri non sempre hanno un multiplo comune. |
La somma di tre multipli di 4 è un multiplo di 4? Fai qualche esempio.
La differenza di due multipli di 7 è un multiplo di 7?
Il prodotto di due multipli di 6 è un multiplo di 6?
Il quoziente di due multipli non nulli di 12 è un multiplo di 12?
V | F | Correzione | |
---|---|---|---|
Ogni numero naturale è divisore di se stesso. | |||
Ogni numero naturale diverso da zero è divisore di se stesso. | |||
Ogni numero naturale diverso da zero è divisore di zero. | |||
Ogni numero naturale è divisore di zero. |
V | F | Correzione | |
---|---|---|---|
1 è multiplo di ogni numero. | |||
Ogni numero è divisore di se stesso. | |||
15 è il maggiore divisore di 15. | |||
17 è il multiplo maggiore di 17. | |||
1 è divisore di ogni numero. |
n è divisibile per n. | V | F |
n è divisore di 1. | V | F |
n è multiplo di n. | V | F |
n è divisibile per 0. | V | F |
8
1 è un divisore di 8? | Sì, infatti 8 : 1 = 8 resto 0 |
2 è un divisore di 8? | Sì, infatti 8 : 2 = 4 resto 0 |
3 è un divisore di 8? | No, infatti 8 : 3 = 2 resto 2 |
4 è un divisore di 8? | Sì, infatti 8 : 4 = 2 resto 0 |
5 è un divisore di 8? | No, infatti 8 : 5 = 1 resto 3 |
6 è un divisore di 8? | No, infatti 8 : 6 = 1 resto 2 |
7 è un divisore di 8? | No, infatti 8 : 7 = 1 resto 1 |
8 è un divisore di 8? | Sì, infatti 8 : 8 = 1 resto 0 |
Quindi, D8 = {1, 2, 4, 8} |
3 9 11
10 20 30
12 33 40
5 23 22
25 50 100
15 36 48
63 31 70
29 77 52
102 58 93
99 106 82
55 è ..... di 11
54 è ..... di 6
55 è ..... di 110
5 è ..... di 55
15 è ..... di 5
54 è ..... di 9
49 è ..... di 7
18 è ..... di 36
12 è ..... di 24
35 è ..... di 7
27 è ..... di 9
13 è ..... di 39
24 è ..... di 12
15 è ..... di 180
1000 è ..... di 100
5 × 8 è ..... di 5
7 × 6 è ..... di 6
5 × 4 è ..... di 4
5 × 5 è ..... di 150
7 è ..... di 9 × 7
2 × 72 è ..... di 2
35 × 24 è ..... di 35
92 × 5 è ..... di 92 × 53
13 × 112 è ..... di 11
10 è ..... di 10 × 9
43 è ..... di 44
52 × 3 è ..... di 3
32 è ..... di 93
24 è ..... di 44
53 è ..... di 52
42 è ..... 84
42 è ..... 420
42 è ..... 2
42 è ..... 21
44 è ..... 22
46 è ..... 92
100 è ..... 10 000
10 è ..... 5
V | F | Correzione | |
---|---|---|---|
70 e 50 sono divisibili per 5. | |||
48 e 20 sono multipli di 6. | |||
13 e 26 sono divisori di 26. | |||
0, 2, 4, 8 sono multipli di 2. |
V | F | Correzione | |
---|---|---|---|
2 × 72 è multiplo di 7. | |||
9 × 2 × 52 è multiplo di 4. | |||
32 × 4 è divisibile per 16. | |||
22 × 52 è divisibile per 10. |
V | F | Correzione | |
---|---|---|---|
Tutti i divisori di 12 sono anche divisori di 6. | |||
Tutti i divisori di 6 sono anche divisori di 12. | |||
Un numero che non è divisore di 12 non è nemmeno divisore di 6. | |||
Tutti i divisori di un numero pari sono pari. | |||
Due numeri hanno sempre almeno un divisore comune. |
Jenny, in occasione della festa del suo compleanno, vuole regalare alle sue 6 amiche dei sacchettini contenenti lo stesso numero di cioccolatini. Per confezionare i sacchettini deve acquistare un pacco di cioccolatini e può scegliere tra pacchi contenenti 100, 85 e 78 cioccolatini. Quale pacco sceglierà per evitare che le avanzino dei cioccolatini? Quanti cioccolatini a testa spetteranno alle amiche?
[78; 13]
La signora Carla ha comperato 1,5 kg di caffè e vuole sistemarlo in barattoli (tutti dello stesso tipo) che contengono ognuno o 300 g o 400 g, riempiendoli completamente.
Quale tipo di barattolo deve utilizzare? Perché?
[300 g]
Nella cucina della mensa scolastica ci sono 6 sacchetti di corn flakes, ognuno del peso di 320 grammi.
Per la merenda si vuole suddividere la quantità totale di corn flakes in porzioni tutte dello stesso peso da dare a tutti i bambini di una stessa classe ma senza che ci siano avanzi.
La classe 1a A ha 25 bambini, la 1a B ha 28 bambini e la 1a C ha 32 bambini.
I bambini di quale classe avranno questo tipo di merenda?
Quanto peserà ogni porzione?
[60 g]
Con il vino contenuto in due damigiane, rispettivamente da 80 litri e 60 litri, si vogliono riempire completamente delle bottiglie, usandone un solo tipo. Si hanno a disposizione bottiglie della capacità di 150 cl, 70 cl, 75 cl e 200 cl.
Quale tipo di bottiglia bisogna utilizzare?
Quante bottiglie si possono riempire?
[70 cl o 200 cl; 200 o 70]
Per comporre un libro sono necessari fascicoli di 16 fogli ciascuno (non frazionabili). Il libro deve avere più di 80 pagine, ma meno di 150.
Qual è il numero massimo di pagine di cui può essere composto il libro? Perché?
[144]
Due classi di 20 e 22 alunni vanno in gita. Gli insegnanti vogliono dividere gli alunni in modo che ciascuna camera d’albergo ne ospiti lo stesso numero. Quanti alunni ci saranno in una stessa camera: 4, 5 o 6? Perché?
[6]
In un collegio ci sono 200 ragazzi; si vogliono comperare delle confezioni di merendine per dare una merendina a ognuno di essi, senza avere avanzi. Le merendine sono confezionate in pacchetti da 12 pezzi, da 6 pezzi e da 8 pezzi. Quale tipo di confezione si deve comperare? Perché?
[8]
All’inaugurazione di un torneo di calcio sono schierati sul campo tutti i giocatori delle squadre partecipanti e quattro arbitri.
Il numero totale delle persone in campo è 140. Sapendo che le squadre sono più di cinque e meno di quindici e che tutte hanno lo stesso numero di giocatori, calcola il numero dei giocatori di ogni squadra.
Giustifica la tua risposta.
[17 giocatori]
Il numero 144 è multiplo di... | ... 72 |
Il numero 72 è divisore di... | ... 12, 4 e 36 |
Il numero 60 è divisibile per... | ... 3, 4 e 5 |
Il numero 41 è... | ... uguale a 3 × 17 |
Il numero 51 è... | ... un numero primo |
La fattorizzazione del numero 41 è... | ... il numero stesso |
La fattorizzazione del numero 51 è... | ... un numero composto |
2 12 14 18 21 27 28 33 39 42 53 63 70
3 5 9 12 22
7 8 6 15 20
4 11 13 25 33
23 18 75 150 250
4 9 16 22
8 13 24 38
6 10 49 60
15 18 72 75
7 12 18
9 15 20
8 25 19
28 14 21
16 18 27 30 44 49 52 62 64 69 78 86 112 117 121 124 130
Che cosa puoi osservare?
105 117 125 202 255 285 300 308 324 450 500 522 645 733
.....
4 5 9 11 12 16 17 23 25 28 30 31 34 37 42 45 49 51 53 57
.....
135 168 210 253
4500 5620 7524 8316
M.C.D. (2, 3, 5) = .....
m.c.m. (2, 3, 5) = .....
M.C.D. (2, 3, 4) = .....
m.c.m. (2, 3, 4) = .....
M.C.D. (10, 15) = .....
m.c.m. (10, 15) = .....
M.C.D. (7, 14, 35) = .....
m.c.m. (7, 14, 35) = .....
320, 256
16, 95
170, 850
432, 324
660, 825
108, 48
Il professor Marcucci deve distribuire un ugual numero di fogli da disegno a 25 alunni. Può acquistare un pacco da 70 fogli, uno da 75 e uno da 80. Quale pacco dovrà scegliere perché non avanzino fogli? Quanti fogli riceverà ogni studente?
[75; 3]
28 ragazzi e 16 ragazze vogliono formare delle squadre con lo stesso numero di persone tutte dello stesso sesso. Qual è il numero massimo di componenti che ogni squadra può avere, senza che nessuno rimanga escluso?
[4]
Su Internet c’è un’offerta vantaggiosa: scaricando brani musicali a gruppi di 4 si ha un forte sconto. Un gruppo di 6 amici ne approfitta ma non vuole comunque spendere tanto. Qual è il minimo numero di brani che possono scaricare in modo da poterli poi suddividere in parti uguali tra loro?
[12]
Qual è l’unico numero che ha un solo multiplo? .......
Qual è l’unico numero che ha un solo divisore? .......
3 e 5 sono divisori di 15.
3 è divisore di 15 e 15 è divisibile per 3: infatti 15 : 3 = 5
5 è divisore di 15 e 15 è divisibile per 5: infatti 15 : 5 = 3
7 e 6 sono ..... di ........ | |
7 è divisore di ........ e ........ è divisibile per 7: | infatti ........ : 7 = ........ |
6 è ..... di ........ e ........ è ..... per 6: | infatti ........ : 6 = ........ |
4 e 10 sono ..... di ........ | |
4 è divisore di ........ e ........ è divisibile per 4: | infatti ........ : 4 = ........ |
10 è ..... di ........ e ........ è ..... per 10: | infatti ........ : 10 = ........ |
9 e 5 sono ..... di ........ | |
9 è divisore di ........ e ........ è divisibile per 9: | infatti ........ : 9 = ........ |
5 è ..... di ........ e ........ è ..... per 5: | infatti ........ : 5 = ........ |
12 e 8 sono ..... di ........ | |
12 è divisore di ........ e ........ è divisibile per 12: | infatti ........ : 12 = ........ |
8 è ..... di ........ e ........ è ..... per 8: | infatti ........ : 8 = ........ |
A che cosa servono i criteri di divisibilità? A stabilire se un numero è divisibile per un altro senza fare la divisione! Stabilisci allora se i numeri indicati sono divisibili per 2, per 3 o per 5.
è divisibile... | per 2? | per 3? | per 5? |
---|---|---|---|
128 | sì, perché termina con 8 (cifra pari) |
no, perché 1 + 2 + 8 = 11 e 11 non è multiplo di 3 |
no, perché non termina né con 0 né con 5 |
è divisibile... | per 2? | per 3? | per 5? |
---|---|---|---|
108 | ........., perché ......... | ........., perché ......... | ........., perché ......... |
è divisibile... | per 2? | per 3? | per 5? |
---|---|---|---|
2325 | ........., perché ......... | ........., perché ......... | ........., perché ......... |
è divisibile... | per 2? | per 3? | per 5? |
---|---|---|---|
1700 | ........., perché ......... | ........., perché ......... | ........., perché ......... |
è divisibile... | per 2? | per 3? | per 5? |
---|---|---|---|
40 455 | ........., perché ......... | ........., perché ......... | ........., perché ......... |
40 = 2 × 20 = ..... = 2......... × 5
8 = 2 × 4 = ..... = 2.........
12 = 3 × 4 = ..... = 2......... × 3
48 = 6 × 8 = ..... = 2......... × 3
18 = 2 × 9 = ..... = 2 × 3.........
50 = 2 × 25 = ..... = 2 × 5.........
36 = 6 × 6 = ..... = 2......... × 3.........
90 = 9 × 10 = ..... = 2 × 3......... × 5
84 = 2 × 42 = ..... = 2......... × 3 × 7
9 = ..... | 6 = ..... | 12 = ..... |
M.C.D. (9, 6, 12) = ..... | m.c.m. (9, 6, 12) = ..... |
3 = ..... | 16 = ..... | 24 = ..... |
M.C.D. (3, 16, 24) = ..... | m.c.m. (3, 16, 24) = ..... |
8 = ..... | 12 = ..... | 20 = ..... |
M.C.D. (8, 12, 20) = ..... | m.c.m. (8, 12, 20) = ..... |
10 = ..... | 25 = ..... | 15 = ..... |
M.C.D. (10, 25, 15) = ..... | m.c.m. (10, 25, 15) = ..... |
9 = ..... | 15 = ..... | 27 = ..... |
M.C.D. (9, 15, 27) = ..... | m.c.m. (9, 15, 27) = ..... |
M.C.D. (8, 11) = .................. | m.c.m. (8, 11) = ..... |
M.C.D. (4, 15) = .................. | m.c.m. (4, 15) = ..... |
M.C.D. (3, 4, 5) = .................. | m.c.m. (3, 4, 5) = ..... |
M.C.D. (3, 10, 7) = .................. | m.c.m. (3, 10, 7) = ..... |
M.C.D. (3, 12) = .................. | m.c.m. (3, 12) = .................. |
M.C.D. (25, 75) = .................. | m.c.m. (25, 75) = .................. |
M.C.D. (81, 162) = .................. | m.c.m. (81, 162) = .................. |
M.C.D. (100, 1500) = .................. | m.c.m. (100, 1500) = .................. |