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Fascio di parabole
- 1. Fascio di parabole Esercizio numero 291 di pagina 504 Amina Moussa
- 2. Consegna dellβesercizio Considera il fascio di parabole di equazione π = πππ + ππ + π + π Determina : β’ I punti base e le caratteristiche del fascio; β’ La parabola del fascio passante per lβorigine ; β’ La parabola del fascio che ha come asse la retta di equazione π = ππ π ; β’ Le parabole del fascio che hanno il fuoco sullβasse π ; β’ Le parabole del fascio che individuano sullβasse π un segmento di misura ππ.
- 3. Prima richiesta: I punti base e le caratteristiche del fascio Procedimento: β’ Per trovare i punti base del fascio dobbiamo riscrivere lβequazione in modo da ricavare le generatrici: π¦ = ππ₯2 + 5π₯ + π + 5 π = ππ + π + π(ππ + π) Le generatrici : π¦ = 5π₯ + 5 π₯2 + 1 = 0
- 4. Prima richiesta β’ I punti base sono i punti in cui si intersecano le parabole dello stesso fascio perciΓ² mettiamo a sistema le 2 generatrici: π¦ = 5π₯ + 5 π₯2 + 1 = 0 β’ Il fascio Γ¨ privo di punti base questo perchΓ© la seconda equazione non ammette soluzioni reali.
- 5. Seconda richiesta: la parabola del fascio passante per lβorigine β’ Una parabola passante per lβorigine ha coordinate (0,0) Sostituiamo quindi le coordinate allβequazione del fascio: π¦ = ππ₯2 + 5π₯ + π + 5 0=k +5 k = βπ β’ Sostituiamo ora il valore di k trovato allβequazione del fascio, trovando cosΓ¬ la parabola passante per lβorigine: π = βπππ + ππ
- 6. Terza richiesta: La parabola del fascio che ha come asse la retta di equazione π₯ = 15 2 Procedimento: β’ Sappiamo che lβasse di simmetria Γ¨ π = βπ ππ perciΓ² possiamo scrivere che π₯ = β5 2π dallβequazione del fascio di parabole: π = πππ + ππ + π + π β’ Ora avendo i dati necessari possiamo scrivere lβequazione: 15 2 = β5 2π β’ Eseguendo i calcoli troviamo che: π = β 1 3
- 7. Terza richiesta β’ Ora per trovare la parabola sostituiamo il valore di K trovato allβequazione del fascio: π = πππ + ππ + π + π π¦ = β 1 3 π₯2 + 5π₯ + 14 3
- 8. Quarta richiesta: Le parabole del fascio che hanno il fuoco sullβasse π₯ Procedimento: β’ Le parabole che hanno il fuoco sullβasse x hanno ordinata nulla : 1βΞ 4π = 0 Che puΓ² essere riscritta come: 1βπ2+4ππ 4π = 0 β’ Dallβequazione del fascio di parabole : π = πππ + ππ + π + π riscriviamo lβequazione come: βπ+ βπ π+ππ π+π ππ = π
- 9. Quarta richiesta Risolviamo lβequazione: Abbiamo trovato che: ππ = βπ ππ = π β’ Ora per trovare le parabole sostituiamo i valori di K trovati allβequazione del fascio: π = πππ + ππ + π + π β’ La prima parabola: π = βπππ + ππ β π β’ La seconda parabola: π = ππ + ππ + π
- 10. Quarta richiesta: i grafici β’ La prima parabola: π = βπππ + ππ β π β’ La seconda parabola: π = ππ + ππ + π
- 11. Quinta richiesta: le parabole del fascio che individuano sullβasse π₯ un segmento di misura 41. β’ Dobbiamo trovare i punti di intersezione del fascio con l'asse x: π¦ = 0 π¦ = ππ₯2 + 5π₯ + π + 5 πππ + ππ + π + π = 0 β’ Troviamo il delta: Ξ = 25 - 4k(k + 5) = 25 - 4π2- 20k
- 12. Quinta richiesta Trattando lβequazione πππ + ππ + π + π = 0 come una normale equazione di secondo grado troviamo π₯1 π π₯2 π₯1= β5+ 25β4π2β20π 2π π₯2= β5β 25β4π2β20π 2π Il punto A( β5+ 25β4π2β20π 2π , 0) Il punto B ( β5β 25β4π2β20π 2π , 0)
- 13. Quinta richiesta A-B= 41 Riscriviamo questa equazione come: ( β5+ 25β4π2β20π 2π )-( β5β 25β4π2β20π 2π )= 41 Risolviamo lβequazione:
- 14. Quinta richiesta: i grafici Prima parabola: π = βππ + ππ + π Seconda parabola: π = π π ππ + ππ + ππ π
- 15. Quinta richiesta β’ Per completare la richiesta sostituiamo i valori di k trovati allβequazione del fascio: π = πππ + ππ + π + π Prima parabola avente k= -1 π = βππ + ππ + π Seconda parabola avente k= 5 9 π = π π ππ + ππ + ππ π