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Il calcolo letterale
- 2. Il calcolo letterale Consideriamo la seguente frase: “ La somma di due numeri naturali è uguale a 5 ” In linguaggio matematico si può tradurre nel modo seguente 0+5=5 1+4=5 2+3=5 3+2=5 1+4=5 0+5=5
- 3. Oppure, in simboli matematici, e quindi in maniera sintetica, si può scrivere a+b=5 sottolineando che a e b rappresentano numeri naturali
- 4. Se i calcoli vengono eseguiti con le lettere invece che con i numeri, si può costruire una forma più generale rispetto ad un semplice esempio numerico.
- 5. Per esempio Per definire la proprietà commutativa fra due numeri naturali si può scrivere 2+5=5+2 oppure 4+9=9+4 oppure 2+6=6+2 oppure 9+7=7+9 oppure 12+84=84+12 similmente, in maniera generale, si può scrivere a+b = b+a (sottolineando che a e b sono numeri naturali)
- 6. • Il calcolo letterale consente di risolvere espressioni con le lettere proprio come fossero numeri. • Espressioni dove compaiono numeri e lettere si chiamano “espressioni algebriche letterali” Possiamo dire quindi che • Una espressione algebrica letterale è un’espressione in compaiono numeri e lettere.
- 7. Esempi in generale la somma di due numeri qualsiasi si può scrivere in generale il prodotto di due numeri qualsiasi si può scrivere x x y oppure, ancora meglio, (per non confondere il segno di moltiplicazione con la lettera x) yx + yx ⋅
- 8. Il doppio di quattro in linguaggio matematico si può scrivere Il doppio di dodici in linguaggio matematico si può scrivere Il doppio di un numero in linguaggio matematico si può scrivere Dove x rappresenta un numero qualsiasi. 42⋅ 122⋅ x⋅2
- 9. La metà di 8 in linguaggio matematico si può scrivere La metà di 13 in linguaggio matematico si può scrivere La metà di un numero in linguaggio matematico si può scrivere Dove x rappresenta un numero qualsiasi. 2 8 2 13 2 x
- 10. Consideriamo un rettangolo e indichiamo con x il lato maggiore e con y il lato minore. Quanto vale il perimetro? Esercizio Il perimetro vale
- 11. L'espressione letterale più semplice è il monomio. Definizione di monomio “Un monomio è una espressione algebrica di numeri e lettere in cui compare soltanto l’operazione di moltiplicazione e gli esponenti delle lettere sono numeri naturali.” Possiamo anche dire: “Un monomio è una espressione algebrica letterale in cui compare solo l’operazione di moltiplicazione e gli esponenti delle lettere sono numeri naturali.” Esempio : -2a3 b4 x6 ; xyt ; a3 b2 c 5a3 7b4 x2 Un monomio si dice nullo quando la parte numerica è uguale a 0 Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo numero e una o più lettere tutte diverse tra loro. 5 3
- 12. Quando un monomio è ridotto in forma normale: La parte numerica si dice coefficiente numerico Le lettere costituiscono la parte letterale. Esempio : -2a3 b4 x6 è ridotto in forma normale (-2 rappresenta il coefficiente numerico e a3 b4 x6 rappresenta la parte letterale ) 5a3 3b4 x2 b non è ridotto in forma normale; (per ridurlo in forma normale dobbiamo scrivere 30 a3 b5 x)
- 13. Grado di un monomio: è la somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio Esempio : 4 a3 b2 c è un monomio di grado 6 , perché 3+2+1 = 6 Monomi simili : due o più monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale Esempio : 2ab ; - 3ab ; 5ba; Monomi opposti : sono due monomi simili , ma con coefficienti opposti Esempio : - 2ab e + 2ab
- 14. Operazioni tra monomi Addizione e sottrazione di monomi L’addizione e sottrazione tra monomi si può eseguire solo tra monomi simili. Il risultato è un monomio simile , avente la stessa parte letterale e come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti Esempio : Moltiplicazione di monomi Il prodotto tra 2 o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto delle lettere NB per il prodotto delle lettere uguali applicare la prima proprietà delle potenze (addizione degli esponenti delle lettere uguali) per il prodotto dei coefficienti ricordare le regole del segno del prodotto di 2 numeri relativi. Esempio 5565423 yx30a-y)5a()y3x-(2ax =⋅⋅ 4a-2aca)26(-ac5)3-(2a6a5ac3ac- =+++=++
- 15. Divisione di monomi Il quoziente tra 2 monomi è un monomio avente per coefficiente il quoziente dei coefficienti e come parte letterale il quoziente delle lettere NB per il quoziente delle lettere uguali applicare la seconda proprietà delle potenze (sottrazione degli esponenti delle lettere uguali) per il quoziente dei coefficienti ricordare le regole del segno del quoziente di 2 numeri relativi. Esempio: Potenza di un monomio per elevare a potenza un monomio , basta elevare a quella potenza sia il coefficiente che tutte le lettere della parte letterale. Esempio:
- 16. M.C.D. e m.c.m. tra monomi Il M.C.D. tra 2 o più monomi è il monomio che ha : per coefficiente il M.C.D. dei coefficienti, se essi sono tutti numeri interi, altrimenti il coefficiente è sempre + 1 per parte letterale solo le lettere comuni con l’esponente minore Il m.c.m. tra 2 o più monomi è il monomio che ha : per coefficiente il m.c.m. dei coefficienti, se essi sono tutti numeri interi, altrimenti il coefficiente è sempre + 1 per parte letterale tutte le lettere, comuni e non comuni , prese una sola volta , con l’esponente maggiore
- 17. Esempio 1 calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti monomi Esempio 2 calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti monomi
- 18. POLINOMI DEFINIZIONE DI POLINOMIO Un polinomio è dato dalla somma algebrica di 2 o più monomi non simili (i monomi che compaiono in un polinomio si dicono TERMINI del polinomio) Esempio : 2a + 3b ; 4axy – 3x + 5a GRADO COMPLESSIVO DI UN POLINOMIO : è il grado del suo monomio di grado maggiore Esempio : il polinomio ( 3a4 xy5 – 2x) ha grado complessivo 10 , perché tra i 2 monomi che formano il polinomio , il 1° monomio ha grado maggiore e vale 10
- 19. POLINOMIO ORDINATO IN MODO CRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine crescente Esempio : 8x5 y – 5x6 y2 + 7 x8 è ordinato secondo potenze crescenti di x POLINOMIO ORDINATO IN MODO DECRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine decrescente Esempio : 8x6 y3 – 5x2 y2 + 7 xy1
- 20. POLINOMIO COMPLETO RISPETTO AD UNA LETTERA se per tale lettera si presentano tutte le potenze dal grado massimo fino al grado 0 Esempio : 2a3 + a2 – 7a + 8 POLINOMIO OMOGENEO se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado Esempio : 2a3 + a2 b – 7ab2 + 8 b3
- 21. OPERAZIONI TRA POLINOMI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE TRA POLINOMI Per addizionare o sottrarre 2 o più polinomi si scrivono uno di seguito all’altro eliminando le parentesi e sommando i termini simili Per eliminare le parentesi si applicano le regole già note: se la parentesi è preceduta da un segno + , i termini in essa contenuti non cambiano segno se la parentesi è preceduta da un segno - , i termini in essa contenuti cambiano segno esempio ( 2a3 + a2 – 25a + 12 ) = 2a3 + a2 – 25a + 12 - ( 2a3 + a2 – 25a + 12 ) = - 2a3 - a2 +25a – 12
- 22. Eseguire la seguente somma algebrica di polinomi: eliminiamo le parentesi Semplifichiamo i monomi opposti 5b e -5b; +3a e -3a Sommiamo i monomi simili e otteniamo il polinomio cercato. 5ab)(6a-2b)-(3a-5b)(3a5b)(2a 22 =++−++ 5ab6a-2b3a-5b3a5b2a 22 =+−+−++ 2 a-b2a +
- 23. MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO Basta applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione , moltiplicando ogni termine del polinomio per il monomio ( ricordando la proprietà della moltiplicazione tra potenze con basi uguali e la regola dei segni della moltiplicazione) Esempio : ( - 3a2b ) . ( 3a - b + 5ab ) = - 9 a3 b + 3 a2 b2 – 15 a3 b2 DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO Basta applicare la proprietà distributiva della divisione, dividendo ogni termine del polinomio per il monomio ( ricordando la proprietà della divisione tra potenze con basi uguali e la regola dei segni della divisione ) Esempio 1 (12a2 – 9ab + 6a ) : ( - 3 a ) = - 4 a + 3b – 2 Esempio 2 ( x + 3y – 4 ) : 2x =
- 24. MOLTIPLICAZIONE TRA DUE POLINOMI Basta moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio Esempio : ( 2a - 3b ) . ( -3ab + 5ax + 1 ) = - 6a2 b + 10 a2 x + 2a + 9ab2 - 15abx – 3b
- 25. Lettere al posto dei numeri
- 27. Video lezione sui monomi