FRATTALI
by Angelo Toma

Clicca sull'immagine per acquistare da Amazon

FRATTALE PIANO

La seconda e la terza figura sono ottenute, a partire dalla prima e consecutivamente, operando sempre con lo stesso modo di suddivisione. Immaginiamo ora di ripetere tutto ciò indefinitamente, ottenendo una figura suddivisa in tanti pezzi; andando ora a fare degli ingrandimenti su ogni porzione, noteremo sempre il ripetersi della stessa struttura. Ebbene, a questa figura diamo il nome di Frattale. Ci chiediamo ora cosa accade alla superficie totale ed al contorno totale di tali figure: a tal proposito potremmo chiederci quanto filo serve per costruire tutti i contorni dei pezzi e quanta vernice serve per colorare tutte le superfici. Si vede con semplici operazioni matematiche che, prefissato per comodità il lato del quadrato iniziale lungo 1, all'n-sima suddivisione corrisponde il perimetro 4(4/3)^n e l'area (4/9)^n. Per n tendente all'infinito (cioè continuando con le suddivisioni indefinitamente), il perimetro tenderà a crescere sempre più, tendendo quindi all'infinito; mentre l'area tenderà a rimpicciolire, fino a raggiungere lo zero. Abbiamo quindi una figura paradossale: per costruire il suo contorno non ci basterà mai filo, mentre per colorarla non avremo bisogno di vernice.

FRATTALE SOLIDO

In queste quattro figure sono rappresentati quattro solidi, ognuno dei quali ottenuto da quello precedente, a partire da un cubo iniziale, ripetendo sempre la stessa operazione di svuotamento. Nella seconda figura si nota il solido costituito da quattro cubetti ( di spigolo la metà di quello del cubo iniziale), disposti secondo le due direzioni perpendicolari tra loro, due superiormente e due inferiormente. E cioè degli otto cubetti ( due strati sovrapposti di quattro cubetti) che costituiscono il cubo iniziale, se ne tolgono due nello strato superiore secondo la direzione della diagonale della faccia superiore e due in quello inferiore secondo la direzione perpendicolare alla precedente. Iterando indefinitamente tale procedimento, si avrà un solido che chiaramente avrà una struttura frattale: infatti se immaginiamo di fare degli ingrandimenti noteremo il ripetersi della stessa forma. Anche qui, per come fatto nel precedente frattale piano, calcoleremo la superficie ed il volume del nostro solido quando l'iterazione del processo di costruzione è infinita; per quanto riguarda la superficie questa sarà costante( uguale a 6 se lo spigolo del cubo iniziale è uguale a 1), mentre il volume tenderà allo 0. Analogamente abbiamo ottenuto un solido paradossale avente data superficie finita e volume nullo.

Passiamo ora a parlare del concetto di Dimensione frattale. Dato un oggetto, diremo che questo avrà una certa dimensione a seconda di quante sono le direzioni arbitrarie secondo cui percorrerlo: 0 per un punto, 1 per una linea, 2 per una superficie, 3 per un solido. Chiaramente questa è una definizione di tipo intuitivo. Diamo invece una definizione più rigorosa: se un oggetto O si può dividere in N parti ( aventi la stessa forma di quella iniziale, cioè simili all'oggetto ) e se da ognuna di queste parti, con un ingrandimento di scala S si ottiene l'oggetto iniziale, allora dimensione di O = Ln(N)/Ln(S). Ad esempio, se un segmento lo dividiamo in 4 segmenti con scala 1:4, allora avremo dimensione=Ln4/Ln4=1; se un quadrato lo dividiamo in 25 quadrati di lato1/5 allora la dimensione sarà Ln(25)/Ln5=2;analogamente per un cubo. Se ora facciamo gli stessi ragionamenti per i frattali studiati sopra, vedremo che si avranno delle sorprese: in particolare per quello piano avremo: dimensione=Ln4/Ln3=1,26185..; abbiamo ottenuto un numero irrazionale; è lo stesso che dire che quell'oggetto si trova tra la linea(dimensione 1) e la superficie ( dimensione 2). Se ora passiamo al frattale nello spazio avremo un'altra sorpresa: dimensione= Ln4/Ln2=2: e cioè abbiamo un solido che ha la dimensione di una superficie. Questo forse è da collegare con la paradossalità di tale solido ( un solido che diventa una superficie).

Questi sono due frattali deducibili per aggiunte e per svuotamenti di figure simili a quelle di partenza. Nel primo si parte da un quadrato e nel secondo( frattale di Sierpinski) da un triangolo equilatero. Si osserva che nel primo, per infinite aggiunte di quadrati dal lato uguale a 1/3 di quello dato e su tre lati di questo, si avrà un frattale dall'area uguale al doppio di quella del quadrato di partenza e un contorno infinito. Nel secondo, invece, per successive eliminazioni di triangoli dal lato uguale alla metà di quello dato, si otterrà un frattale dall'area nulla e dal contorno infinito. E' chiaro che se dovessimo fare degli ingrandimenti, in entrambi i frattali, vedremo il ripetersi della stessa struttura( proprietà caratteristica dei frattali ). Analogo discorso a quello fatto per i precedenti frattali, si fa per il concetto di dimensione. In definitiva, anche per queste figure, si ha la paradossalità relativa all'area finita o nulla correlata ad un contorno infinito.

Questo è il famoso frattale di Koch. E' ottenibile a partire da un triangolo equilatero, aggiungendo su ogni lato un altro triangolo equilatero il cui lato è la terza parte del precedente. Come per i precedenti frattali, anche ora la lunghezza del contorno è infinita, la sua area è finita( uguale a 8/5 dell'area del triangolo iniziale ) e la sua dimensione è uguale a log4/log3=1.2618...

La seguente è una serie di frattali, tra i quali vi è il famoso frattale di Mandelbrot( il quarto da destra nella prima riga ).

Clicca sul frattale scelto, per un ingrandimento ed una sintetica esposizione.

Si consiglia la visione del terzo frattale da destra nella prima riga per le interessanti caratteristiche

SEZIONE ARGOMENTI DI MATEMATICA

In questa sezione sono contenuti dei lavori-esercizi riguardanti argomenti di matematica dei programmi di scuola secondaria superiore. Questi possono costituire un supplemento alle esercitazioni di uno studente o un diletto per chi semplicemente è appassionato di matematica. A titolo esemplificativo, in un lavoro di logica sul paradosso del mentitore, nella risoluzione si fa uso della teoria degli insiemi; in quello sul calcolo della radice n-sima di un numero intervengono semplici nozioni geometriche e aritmetiche; ecc. Importante sottolineare il lavoro sulla quadratrice di un angolo, argomento che, seppur interessante, non viene trattato a scuola. In alcuni lavori di trigonometria si ricorre all'animazione ottenuta con delle applet scritte in Java, in altri esercizi si adoperano applicativi come Excel e Derive. Da evidenziare, nel lavoro sull'estrazione di radice, l'uso del concetto di funzione ricorsiva, fondamentale nello studio dei frattali. Un certo interesse dovrebbero suscitarlo due dimostrazioni del teorema di Pitagora, fatte ricorrendo al concetto di equiscomposizione tra figure piane.