Oscillazioni - Dipartimento di Fisica

Oscillazioni 

• Si produce un’oscillazione quando un sistema viene perturbato rispetto 

a una posizione di equilibrio stabile 

• Caratteristica più evidente del moto oscillatorio è di essere un moto 

periodico, ovvero che si ripete con regolarità nel tempo 

• Le oscillazioni costituiscono una parte importante del mondo in cui 

viviamo. Un esempio famoso e vistoso: oscillazioni indotte dal vento 

su di un ponte sul fiume Tacoma, 7 novembre 1940

Moto periodico 

Qualunque movimento che si ripeta ad intervalli regolari è definito come 

moto periodico. 

Il moto periodico è caratterizzato da 

• Frequenza f = numero di 

oscillazioni compiute in un secondo. 

Si misura in Hertz: 1 Hz =1 s −1 

• Periodo T = tempo impiegato per 

compiere un’oscillazione completa; 

T = 1/f.

Moto armonico semplice 

Se tendiamo o comprimiamo una molla con una 

massa a un estremo e poi la lasciamo andare, 

la massa oscillerà avanti e indietro (trascuriamo 

gli attriti). Questa oscillazione è chiamata Moto 

Armonico (Semplice). 

Ad ogni istante: F = ma ma F = −kx da cui 

ovvero 

ma = m d2x = −kx 

dt2 d2x(t) k 

= − 

dt2 dove si è introdotto ω 2 = k 

m 

m x(t) = −ω2 x(t) 

, ovvero ω = 

k 

m 

(frequenza angolare).

Dinamica del moto armonico 

La soluzione più generale dell’equazione del 

moto armonico, d2 x(t) 

dt 2 = −ω2 x(t), è 

x(t) = A cos(ωt + φ) da cui 

v(t) = dx(t) 

dt 

= −Aω sin(ωt + φ), 

a(t) = d2 x(t) 

dt 2 = −Aω2 cos(ωt + φ) = −ω 2 x(t) 

Periodo dell’oscillazione: T = 2π/ω 

Frequenza dell’oscillazione: f = ω/2π. 

Ampiezza massima dell’oscillazione: |xmax| = A. Velocità massima: 

|vmax| = ωA. Accelerazione massima: |amax| = ω 2 A = ω 2 |xmax|. 

La fase φ e l’ampiezza A sono determinate dalle condizioni iniziali. 

Da notare che ω non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni!

Moto armonico e moto circolare uniforme 

La proiezione su di un asse del moto circolare uniforme su di una 

circonferenza di raggio A a velocità angolare ω descrive un moto 

armonico 

Il moto circolare uniforme su di un piano può essere descritto dal vettore r(t): 

r(t) = (x(t), y(t)) = (A cos(ωt + φ), A sin(ωt + φ)) 

E’ immediato verificare che valgono tutte le proprietà del moto circolare uniforme: 

θ(t) = ωt + φ, r = x 2 (t) + y 2 (t) = A, v = ωr (tangenziale), a = ω 2 r (centripeta).

Esempio: molla orizzontale 

Una massa m = 2 kg attaccata a una molla oscilla 

con ampiezza A = 10 cm. A t = 0 la velocità è 

massima, e vale v = +2 m/s. Quanto valgono ω e 

la costante della molla k ? Qual è la legge del moto? 

vmax = ωA =⇒ ω = vmax 2m/s 

= 

A 10cm = 20s−1 . 

 

k 

ω = 

m =⇒ k = m · ω2 = 2kg(20s −1 ) 2 = 800N/m 

x(t) = A cos(ωt + φ), v(t) = −Aω sin(ωt + φ) 

Dato che v(0) = −Aω sin φ = −vmax sin φ, deve valere sin φ = −1, ovvero φ = − π 

2 : 

x(t) = A cos(ωt − π 

) =⇒ x(t) = A sin(ωt) 

2 

Notare che servono due condizioni per determinare le due costanti A e φ: per esempio, 

ampiezza, velocità a t = 0; o posizione e velocità a t = 0.

Esempio: molla verticale 

All’equilibrio, la molla si allunga di una lunghezza y0 data 

dalla condizione mg = ky0, ovvero y0 = mg/k. 

Se y è misurato a partire dalla posizione di equilibrio, 

F = −ky come nel caso della molla orizzontale: 

F = ma = −ky =⇒ d2 y 

dt 2 = −ω2 y 

con ω = k/m. Come nel caso della molla orizzontale, la 

soluzione è 

y(t) = A cos(ωt + φ) 

dove A è l’ampiezza, ω la frequenza angolare (indipendente 

dall’ampiezza!), φ una fase. 

L’oscillazione avviene intorno al punto di equilibrio (dove la forza risultante è nulla). 

v(t) = −Aω sin(ωt + φ), a(t) = −ω 2 sin(ωt + φ)

Condizioni iniziali 

L’ampiezza A e la fase φ di un moto armonico sono determinate dalle condizioni 

iniziali. Per esempio: 

• x(t = 0) = x0, v(t = 0) = 0 

da v(0) = −ωA sin φ = 0 si ottiene φ = 0 

da x(0) = A cos φ = x0 si ottiene A = x0: 

x(t) = x0 cos ωt 

• x(t = 0) = 0, v(t = 0) = v0 

da x(0) = A cos φ = 0 si ottiene φ = −π/2 

da v(0) = −ωA sin φ = v0 si ottiene A = 

v0/ω, da cui infine: 

x(t) = v0 

ω 

sin ωt 

(si è usato cos(θ − π/2) = sin θ)

Energia nel moto armonico 

Energia potenziale nel moto armonico: U = 1 

2 kx2 . Cinetica: K = 1 

2 mv2 . 

Se x(t) = A cos(ωt + φ), U(t) = 1 

2 kA2 cos 2 (ωt + φ), K(t) = 1 

2mω2A2 sin 2 (ωt + φ) 

L’energia meccanica E = K + U non dipende dal tempo (è conservata!): 

E = 1 

2 kA2 cos 2 (ωt + φ) + 1 

2 mω2 A 2 sin 2 (ωt + φ) = 1 

2 kA2 

Notare che l’energia meccanica dipende dal quadrato dell’ampiezza di oscillazione.

Moto approssimativamente armonico 

L’energia potenziale del moto armonico è una funzione quadratica delle coordinate. 

Esistono in natura moltissimi casi di moto ”quasi” armonico, dovuto ad un’energia 

potenziale ”approssimativamente” armonica. Esempio: energia potenziale fra due 

atomi in una molecola, come H2. Attorno alla posizione di equilibrio x0, vale lo 

sviluppo in serie di Taylor: 

U(x) U(x0)+(x−x0) dU 

dx 

ma in x = x0 vale dU 

 

 

 

 

x0 

dx 

x ′ = x − x0, U ′ = U − U(x0): 

+ 1 

2 (x−x0) 2 d2U dx2 

 

 

+... 

x0 

= 0 (equilibrio!); ponendo 

U ′ (x ′ ) U0 + 1 

2 k′ x ′2 , k ′ = d2U dx2 Dato che F = −dU(x)/dx, un potenziale quadratico produce forze lineari in x. 

 

 

 

 

x0

Il pendolo semplice 

Il pendolo semplice è un altro esempio notevole di moto approssimativamente armonico. 

Soluzione con le forze (lungo l’arco): 

F = ma = mLα = −mg sin θ 

Con i momenti (rispetto al punto di oscillazione): 

τ = Iα = −mgL sin θ 

Dato che I = mL 2 si ottiene la stessa equazione. 

Per piccole oscillazioni: sin θ θ, da cui α = − mgL 

θ ovvero: 

I 

α = −ω2 

mgL 

θ , dove ω = 

I = 

 

g 

. Il pendolo oscilla quindi con periodo 

L 

T = 2π 

, indipendente dall’ ampiezza delle oscillazioni, nel limite di piccole oscillazioni. 

ω

Il pendolo semplice II 

Soluzione con la conservazione dell’energia: 

E = K + U = 1 

2 mv2 + mgL(1 − cos θ) 

(assumendo U = 0 nel punto più basso) da cui 

E = 1 

2 m 

 

L dθ 

2 dt 

mL 2dθ 

dt 

d2θ + mgL sin θdθ 

dt2 + mgL(1 − cos θ) ⇒ dE 

dt 

= 0 

dt = 0 ⇒ d2θ g 

+ sin θ = 0 

dt2 L 

Ricordando che α = d 2 θ/dt 2 e assumendo la validità dell’approssimazione sin θ θ, 

si riottiene l’equazione del moto armonico come in precedenza. Soluzione generale: 

θ(t) = A cos(ωt + θ0). 

Attenzione! dθ 

dt = −ωA sin(ωt + θ0) = ω! ω è una costante, dθ 

dt 

no (oscilla)!

Il pendolo fisico (o reale) 

Solido di forma arbitraria, di massa M, appeso e libero di 

ruotare attorno a un asse fisso diverso dal suo centro di massa. 

Scriviamo l’equazione del moto rotatorio. Assumiamo 

I =momento d’inerzia per rotazioni attorno ad O. 

Iα = τ = −Mgd sin θ 

dove d è la distanza fra O e il centro di massa (ricordare 

che il momento della forza peso è lo stesso che se tutta la 

massa fosse concentrata nel centro di massa) 

Notare che questa è l’equazione del moto di un pendolo di lunghezza d già trovata in 

precedenza. Per piccole oscillazioni: 

Iα −Mgdθ ⇒ α = −ω 2 

Mgd 

θ, ω = 

I 

Di nuovo, siamo in presenza di oscillazioni armoniche di periodo T = 2π 

ω 

= 2π 

I 

Mgd

Quiz 

• In quale caso la frequenza di oscillazione è maggiore?

Oscillazione smorzate 

Consideriamo di nuovo una molla in presenza di forze di attrito o di resistenza. 

Per esempio, una molla che oscilla in un liquido viscoso, con forza 

di resistenza propozionale alla velocità: 

ma = −ky − bv ⇒ m d2y = −ky − bdy 

dt2 dt 

Questa è un’equazione differenziale non del tutto banale 

Nel caso in cui la forza di resistenza è piccola rispetto 

alla forza armonica, ovvero se b è piccolo, la soluzione 

ha la forma: 

dove ω vale 

− b 

y(t) = Ae 2mt cos(ωt + φ) 

ω = 

k 

m 

− b2 

4m 2

Oscillazione forzate 

Consideriamo ora una molla in presenza di forze di attrito o di resistenza e di una forza 

esterna oscillante. Assumiamo che la forza esterna abbia la forma F (t) = f0 cos ω0t. 

L’equazione del moto diventa 

ma = −ky − bv + f0 cos ω0t ⇒ m d2y = −ky − bdy 

dt2 dt + f0 cos ω0t. 

La soluzione di questa equazione è un po’ complessa. In generale possiamo dire che: 

Il moto è oscillatorio con frequenza angolare ω0 

e con ampiezza che cresce se ω0 si avvicina a 

ω. Se lo smorzamento b è piccolo, l’ampiezza 

di oscillazione diventa molto grande per ω0 ω, 

ovvero quando la frequenza di oscillazione della forza 

esterna è prossima ad una freqeunza di vibrazione 

interna. Questo fenomeno si chiama risonanza ed è 

caratterizzato da un forte trasferimento di energia al 

sistema oscillante. 

Le immagini all’inizio di queste trasparenze mostrano di cosa sono capaci le risonanze!

Oscillazioni - Dipartimento di Fisica

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