– Gianni Rossi –
Nella mia attività di supporto agli utenti dei miei software topografici, ho potuto constatare che molti di loro usano regolarmente la tecnologia GPS ma non hanno una conoscenza sufficiente sulle basi di tale sistema di rilevazione. Naturalmente non è certo pensabile di poter colmare questa lacuna con un semplice articolo come questo. Chi desidera avere una formazione adeguata sull’argomento deve necessariamente rivolgersi ad altre e ben più approfondite fonti, come ad esempio il corso Geodesia e Cartografia per Geometri disponibile sul sito www.topgeometri.it alla sezione CORSI ONLINE. Con questo brano ritengo tuttavia utile focalizzare, quanto meno a livello concettuale, i fondamenti del sistema satellitare così da consentirne un utilizzo più consapevole e, auspicabilmente, più corretto.
Iniziamo con dire che il sistema satellitare GPS è basato sull’ellissoide WGS84, un solido ottenuto per rotazione dell’ellisse che approssima la sezione della terra attorno al suo semiasse minore (quello che collega i poli). A questo ellissoide è associato il sistema di assi cartesiani XYZ qui illustrato, avente gli assi:
- origine nel centro di massa della terra;
- l’asse Z sul polo Nord;
- l’asse X sull’intersezione tra l’equatore e il meridiano di Greenwich;
- l’asse Y a completare la terna destrorsa (in direzione Est).
Per ciascun punto rilevato, la strumentazione GPS fornisce la “baseline”, vale a dire il vettore nello spazio che congiunge la stazione al punto, definito dalle tre componenti ΔX, ΔY, ΔZ, cioè dalla differenza (delta) di coordinate tra il punto e la stazione. Con riferimento alla figura che segue, dato il punto di stazione P1 ed il punto rilevato P2, la baseline P1-P2 è costituita dai tre valori ΔX, ΔY, ΔZ indicati nei tre assi.
Naturalmente questo dato (baseline) non è utilizzabile in forma diretta in un rilievo topografico, nel quale sono invece necessarie le coordinate rettangolari piane, vale a dire riferite ad un piano tangente alla superficie terrestre (in questo caso all’ellissoide) nel punto di emanazione del rilievo, cioè la stazione GPS. All’interno del cosiddetto “campo topografico” (di ampiezza massima pari a 15 Km), tale piano può infatti essere considerato coincidente con la superficie ellissoidica. Con riferimento alla figura qui sotto, il sistema di riferimento locale che si adotta in topografia, detto anche “terna euleriana”, ha l’origine degli assi nel punto di emanazione P (cioè la stazione GPS, detta “base”) del rilievo, l’asse Y appartenente al piano passante per il meridiano di P (orientato quindi al polo Nord), l’asse Z secondo la normale ellissoidica per P e l’asse X a completamento della terna destrorsa (Est):
La restituzione di un rilievo GPS consiste quindi nel trasformare le coordinate geocentriche (e le relative baseline) WGS84 nelle suddette coordinate topografiche piane. Questo calcolo avviene mediante quella che viene chiamata Trasformazione Euleriana, una rototraslazione tridimensionale composta da due rotazioni e due traslazioni che porta gli assi geocentrici XYZ a coincidere con gli assi topografici xyz, il tutto come mostra questa animazione:
Pur se rigoroso, all’atto pratico questa trasformazione presenta due ordini di problemi. Il primo è dovuto al fatto che, in realtà, la terra è un corpo fisico disomogeneo e non un solido geometrico uniforme come l’ellissoide WGS84. Ne consegue che il modello ellissoidico è del tutto inadeguato per lo studio delle quote altimetriche perché non tiene conto della diversa forza di gravità che agisce nella superficie fisica del pianeta, forza che è in funzione della massa effettiva sottostante al punto fisico in cui ci si trova. Per sopperire a questo problema, i geodeti hanno definito il “geoide”, vale a dire una rappresentazione della superficie terrestre data da linee di gravità costante. In pratica, il geoide è la forma che meglio approssima il livello medio del mare. La sua superficie si può infatti immaginare come quella secondo cui si disporrebbero i mari se potessero penetrare sotto i continenti avvolgendo l’intero pianeta. Il geoide ha quindi una forma geometrica irregolare, rappresentata in forma volutamente esasperata nella figura che segue, data dalla diversa forza gravitazionale presente nella superficie terrestre, alla quale si avvicina pur non coincidendo con essa:
In funzione delle masse in gioco, quindi, la superficie del geoide può trovarsi sia sopra che sotto a quella geometrica dell’ellissoide, come mostrato nella seconda delle due immagini qui sopra, dove la colorazione blu (nelle diverse gradazioni) corrisponde alle zone in cui il geoide è sotto all’ellissoide, mentre la colorazione che va dal verde al giallo e all’ocra rappresenta le aree in cui è sopra. La diversità intrinseca tra il geoide e l’ellissoide comporta ovviamente una differenza sostanziale nelle quote altimetriche dei due riferimenti. Tale differenza è denominata “ondulazione del geoide” ed è schematizzata in questa figura (indicata con la lettera N):
Il sistema satellitare GPS fornisce ovviamente le altezze ellissoidiche (indicate con la lettera h nella figura qui sopra). Ne consegue che per determinare le quote ortometriche a partire da tali altezze, è necessario conoscere l’ondulazione del geoide nel punto rilevato, vale a dire il divario in verticale tra il geoide e l’ellissoide in quel punto. Nei lavori in cui è richiesta una particolare precisione altimetrica l’ondulazione del geoide viene effettivamente considerata, reperendola dai “grigliati” forniti da alcuni siti istituzionali, come l’IGM o da case produttrici di strumentazione topografica. Per lavori di piccola estensione, come sono in genere quelli catastali o similari, invece, si può in genere trascurare questo dato. Infatti, considerata proprio la ridotta ampiezza di questo genere di rilievi, si può assumere con buona approssimazione che la superficie del geoide e quella dell’ellissoide siano tra loro parallele in quel limitato spazio geografico e, di conseguenza, che il dislivello ellissoidico tra due punti A e B coincida con il corrispondente dislivello geoidico, come evidenziato dalla figura che segue. Questa è infatti l’assunzione adottata dai software dedicati a questa categoria di lavori (come Geocat).
Il secondo ordine di problemi relativi alla trasformazione delle coordinate geocentriche WGS84 in coordinate topografiche piane è dovuto al fatto che l’ellissoide WGS84 è orientato globalmente per tutta la terra e come tale non risulta del tutto appropriato a rappresentare con sufficiente precisione la superficie di una singola nazione. Per questo motivo, le singole nazioni o gruppi di nazioni, hanno adottato un “ellissoide locale”, vale dire un ellissoide di uguale dimensione e forma a quello geocentrico, ma ruotato e traslato in modo da realizzare una condizione di tangenza ottimale al geoide in un punto baricentrico del territorio nazionale. In Italia il sistema geodetico adottato, denominato “Roma 40”, è basato sull’ellissoide internazionale di Hayford (quindi con parametri leggermente diversi dal WGS84) ed è stato reso “locale”, cioè traslato e orientato, a Roma Monte Mario. Questa diversa collocazione dei due ellissoidi comporta la necessità di considerare (correggere), nei calcoli di restituzione di un rilievo GPS, la deviazione della normale ellissoidica tra i due sistemi di riferimento, qui illustrata:
Pertanto, nel trasformare le baseline di un rilievo GPS in coordinate topografiche piane, si dovrà, se richiesto dal lavoro che si sta svolgendo, applicare correttamente tale deviazione sia alle coordinate planimetriche che alle quote altimetriche.