Ellissoide

In Geometria prende il nome di ellissoide un particolare tipo di quadrica, che corrisponde all'analogo tridimensionale dell'ellisse. Un ellissoide è una superficie chiusa del secondo ordine, con tre assi di simmetria e con un centro di simmetria detti, rispettivamente, assi e centro dell'ellissoide.

Quella che state per leggere è un'intera lezione dedicata all'ellissoide. Nella prima parte vedremo quali condizioni deve soddisfare l'equazione di una quadrica affinché descriva un ellissoide, per poi concentrarci sull'equazione dell'ellissoide in forma canonica e ricavare da essa le misure degli assi e le coordinate dei vertici.

Concluderemo infine con la classificazione degli ellissoidi in base alla misura dei semiassi, distinguendo tra ellissoide scaleno, sferoide prolato, sferoide oblato e sfera.

Quando una quadrica è un ellissoide

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y,z), consideriamo la generica equazione di una quadrica

Q: a_(11)x^2+a_(22)y^2+a_(33)z^2+2a_(12)xy+2a_(13)xz+2a_(23)yz+;+2a_(14)x+2a_(24)y+2a_(34)z+a_(44) = 0

e le corrispondenti matrici associate a Q

A = [a_(11) a_(12) a_(13) a_(14) ; a_(12) a_(22) a_(23) a_(24) ; a_(13) a_(23) a_(33) a_(34) ; a_(14) a_(24) a_(34) a_(44)] , A_(44) = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

La quadrica Q è un ellissoide se vengono soddisfatte le seguenti condizioni:

(a) il rango di A è 4

(b) il rango di A_(44) è 3

(c) gli autovalori di A_(44) sono concordi, cioè hanno tutti lo stesso segno

rk(A) = 4 , rk(A_(44)) = 3 ; autovalori di A_(44) concordi

In particolare:

(d1) se il determinante di A è positivo, Q è un ellissoide immaginario

(d2) se il determinante di A è negativo, Q è un ellissoide reale

Ellissoide reale

Ellissoide reale

Per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alla lezione sulla classificazione delle quadriche.

Esempio: verificare che una quadrica è un ellissoide

Verificare che la quadrica di equazione

Q: 3x^2+2y^2+3z^2+2xz−4 = 0

è un ellissoide reale.

Svolgimento: scriviamo le due matrici associate alla quadrica

A = [3 0 1 0 ; 0 2 0 0 ; 1 0 3 0 ; 0 0 0 −4] ; A_(44) = [3 0 1 ; 0 2 0 ; 1 0 3 ]

e calcoliamo il determinante di A sviluppando la regola di Laplace rispetto alla quarta riga, così da poter facilmente ricavare anche il valore del determinante di A_(44).

det(A) = det[3 0 1 0 ; 0 2 0 0 ; 1 0 3 0 ; 0 0 0 −4] = −4·det[3 0 1 ; 0 2 0 ; 1 0 3] = −4·2·det[3 1 ; 1 3] = −4·2·(9−1) = −64

Il determinante di A e quello di A_(44) sono non nulli, dunque le due matrici hanno rango massimo e le condizioni (a) e (b) sono soddisfatte.

Calcoliamo i segni degli autovalori della matrice A_(44). Il suo polinomio caratteristico è

p(λ) = det(A_(44)−λId_3) = det[3−λ 0 1 ; 0 2−λ 0 ; 1 0 3−λ] = (2−λ)·det[3−λ 1 ; 1 3−λ ] = (2−λ)[(3−λ)^2−1] = (2−λ)(λ^2−6λ+8) = −λ^3+8λ^2−20λ+16

p(λ) è un polinomio completo di grado 3, e tra un coefficiente e il successivo vi sono in totale 3 variazioni di segno. Per la regola di Cartesio le tre radici del polinomio sono positive, e quindi gli autovalori di A_(44) hanno tutti lo stesso segno.

Ciò permette di concludere che Q è un ellissoide; inoltre, essendo il determinante di A negativo, Q è un ellissoide reale.

Ellissoide in forma canonica

Il prosieguo della lezione è dedicata esclusivamente all'ellissoide reale. Per brevità, da qui in poi, ci riferiremo ad esso chiamandolo semplicemente ellissoide.

L'equazione canonica dell'ellissoide si presenta nella forma

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)−1 = 0

dove a,b,c sono numeri reali positivi.

Un ellissoide in forma canonica è simmetrico rispetto agli assi coordinati, rispetto ai piani coordinati e rispetto all'origine, per cui corrispondono rispettivamente agli assi principali, ai piani principali e al centro dell'ellissoide.

Ellissoide in forma canonica

Rappresentazione di un ellissoide in forma canonica

I punti A,A',B,B',C,C' di intersezione tra gli assi principali e l'ellissoide prendono il nome di vertici dell'ellissoide, e hanno coordinate date da

A(a,0,0), A'(−a,0,0) ; B(0,b,0), B'(0,−b,0) ; C(0,0,c), C'(0,0,−c)

I segmenti

OA = OA'= a ; OB = OB'= b ; OC = OC'= c

si dicono semiassi dell'ellissoide, mentre i segmenti

AA'= 2a ; BB'= 2b ; CC'= 2c

prendono il nome di assi dell'ellissoide.

Infine, intersecando l'ellissoide con i piani principali x = 0, y = 0, z = 0 si ottengono le ellissi principali, di equazioni

x = 0 ; (y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)−1 = 0 ; y = 0 ; (x^2)/(a^2)+(z^2)/(c^2)−1 = 0 ; z = 0 ; (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)−1 = 0

Esempio sullo studio di un'ellissoide in forma canonica

Determinare la misura degli assi, le coordinate dei vertici e le equazioni delle ellissi principali dell'ellissoide

(x^2)/(25)+(y^2)/(16)+(z^2)/(9)−1 = 0

Svolgimento: essendo l'equazione della forma

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)−1 = 0

con a = 5, b = 4, c = 3

ne ricaviamo facilmente le coordinate dei vertici

A(a,0,0) = (5,0,0), A'(−a,0,0) = (−5,0,0) ; B(0,b,0) = (0,4,0), B'(0,−b,0) = (0,−4,0) ; C(0,0,c) = (0,0,3), C'(0,0,−c) = (0,0,−3)

Le misure degli assi dell'ellissoide sono date da

AA'= d(A,A') = 10 ; BB'= d(B,B') = 8 ; CC'= d(C,C') = 6

Da ultimo scriviamo le equazioni delle ellissi principali intersecando, rispettivamente, l'ellissoide con i piani principali di equazioni x = 0, y = 0, z = 0.

x = 0 ; (y^2)/(16)+(z^2)/(9)−1 = 0 ; y = 0 ; (x^2)/(25)+(z^2)/(9)−1 = 0 ; z = 0 ; (x^2)/(25)+(y^2)/(16)−1 = 0

Classificazione degli ellissoidi

Dato un ellissoide in forma canonica

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)−1 = 0

supponiamo che sia a ≥ b ≥ c > 0.

Tale ipotesi permette di classificare gli ellissoidi al variare delle misure dei semiassi a, b, c, distinguendoli tra ellissoidi scaleni, sferoidi oblati, sferoidi prolati e sfere.

1) Ellissoide scaleno

Se i tre semiassi hanno misure diverse l'ellissoide si dice scaleno.

a > b > c > 0

Ellissoide scaleno

Ellissoide scaleno

2) Sferoide

Se due dei tre semiassi hanno la stessa misura, l'ellissoide viene detto sferoide e possiamo effettuare un'ulteriore sotto-classificazione.

2.1) Sferoide oblato

a = b > c

Sferoide oblato

Sferoide oblato

2.2) Sferoide prolato

a > b = c

Sferoide prolato

Sferoide prolato

3) Sfera

Se i tre semiassi hanno la stessa misura allora l'ellissoide diviene una sfera.

a = b = c > 0

Sfera

Sfera

Volume di un ellissoide

Il volume di un ellissoide di equazione

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)−1 = 0

si ottiene moltiplicando per (4)/(3)π le misure dei tre semiassi, ossia

Volume ellissoide = (4)/(3)π a b c

Equazioni parametriche dell'ellissoide

Sebbene capiti davvero di rado che vengano introdotte in un corso base di Algebra Lineare, concludiamo questa lezione con le equazioni parametriche dell'ellissoide in forma canonica

x = a cos(θ)sin(φ) ; y = bsin(θ)sin(φ) ; z = ccos(φ)

dove a,b,c indicano le misure dei semiassi dell'ellissoide, θ ∈ [0, 2π] e φ ∈ [0, π].

Nelle successive lezioni proseguiamo lo studio delle quadriche generali concentrandoci dapprima sull'iperboloide, per poi passare al paraboloide. Non perdetevele! ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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