Teorema dei quadrilateri inscritti in una circonferenza

In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono angoli supplementari, e viceversa.

Quando un quadrilatero è inscritto in una circonferenza, gli angoli opposti sono supplementari ossia la loro somma è congruente con un angolo piatto (180°).

$$ \alpha + \gamma \cong 180° $$

$$ \beta + \delta\cong 180° $$

Vale anche il teorema inverso.

Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari, allora può essere inscritto in una circonferenza.

Pertanto, gli angoli opposti supplementari sono una condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza.

La dimostrazione

Considero un quadrilatero inscritto in una circonferenza.

Traccio i raggi OB e OD che dividono l'angolo giro al centro in due angoli al centro α' e γ'.

A questo punto è molto utile annotarsi che la somma degli angoli al centro è congruente con l'angolo giro (360°), perché sarà molto utile in seguito.

$$ \alpha' + \gamma' = 360° $$

L'angolo α è un angolo alla circonferenza che insiste sull'arco BCD.

Quindi, secondo il teorema degli angoli al centro, l'angolo alla circonferenza (α) ha un'ampiezza pari alla metà dell'angolo al centro corrispondente (γ') che insiste sullo stesso arco BCD.

$$ \alpha = \frac{1}{2} \cdot \gamma' $$

$$ \gamma' = 2 \cdot \alpha $$

Allo stesso modo l'angolo γ è un angolo alla circonferenza che insiste sull'arco BAD.

Sempre secondo il teorema degli angoli al centro, l'angolo alla circonferenza (γ) ha un'ampiezza pari alla metà dell'angolo al centro corrispondente (α') che insiste sullo stesso arco BAD.

$$ \gamma = \frac{1}{2} \cdot \alpha' $$

$$ \alpha' = 2 \cdot \gamma $$

Sapendo che la somma degli angoli al centro è un angolo giro α+γ=360°

$$ \alpha' + \gamma' = 360° $$

Sostituisco α'=2γ e γ'=2α

$$ 2 \cdot \gamma + 2 \cdot \alpha = 360° $$

Poi semplifico dividendo entrambi i membri dell'equazione per due

$$ \frac{ 2 \cdot \gamma + 2 \cdot \alpha}{2} = \frac{360°}{2} $$

$$ \gamma + \alpha = 180° $$

Ho così dimostrato che la somma degli angoli opposti α+β del quadrilatero è uguale a 180°.

Una volta dimostrato che gli angoli opposti α e β sono angoli supplementari α+β=180°, è facile dedurre che lo sono anche gli altri due angoli opposti del quadrilatero.

Per dimostrarlo potrei ripetere la stessa procedura tracciando i raggi OA e OC e fare lo stesso ragionamento sugli angoli β e δ.

Tuttavia, è molto più pratico ricordarmi che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è sempre uguale a 360°

$$ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360° $$

Applico la proprietà associativa e riscrivo l'equazione in questa forma equivalente

$$ ( \alpha + \gamma ) + ( \beta + \delta ) = 360° $$

Sapendo che la somma degli angoli opposti α+β=180°

$$ 180° + ( \beta + \delta ) = 360° $$

$$ \beta + \delta = 360° - 180° $$

$$ \beta + \delta = 180° $$

Pertanto, anche l'altra coppia di angoli opposti β+δ è uguale a 180°

In questo modo ho dimostrato che tutti angoli opposti del quadrilatero inscritto sono angoli supplementari.

La dimostrazione del teorema inverso

In questo caso le ipotesi iniziali sono diverse.

Considero un quadrilatero ABCD

con gli angoli opposti supplementari.

$$ \alpha + \gamma = 180° $$

$$ \beta + \delta = 180° $$

Devo dimostrare che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

Per dimostrarlo seguo un ragionamento per assurdo, ipotizzando che "il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza e la circonferenza non passa per un vertice del quadrilatero".

Ad esempio, non passa per il punto D.

Sapendo che dati tre punti è sempre possibile tracciare una circonferenza, questa passa sicuramente per i vertici A, B e C del quadrilatero.

In questi casi il punto D può essere un punto interno o esterno della circonferenza.

Analizzo entrambi i casi:

A] Il vertice D è esterno alla circonferenza

In questo caso il vertice D è un punto esterno alla circonferenza.

Poiché il vertice C è un punto della circonferenza, deduco che il segmento CD interseca la circonferenza in un punto intermedio E.

Per l'ipotesi iniziale il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza, quindi ha gli angoli opposti supplementari.

In particolar modo mi interessa sapere che β+δ=180°

$$ \beta + \delta = 180° $$

Tuttavia anche gli angoli β e δ' sono angoli opposti del quadrilatero AECD, quindi sono supplementari β+δ'=180°.

$$ \beta + \delta' = 180° $$

Quindi gli angoli δ≅δ' sono congruenti, perché sono supplementari dello stesso angolo β.

Gli angoli δ e δ' sono anche angoli corrispondenti delle rette AD e AE tagliate dalla trasversale DE.

Per il teorema delle rette parallele, se gli angoli corrispondenti δ≅δ' sono congruenti, allora le rette AD e AE sono rette parallele.

Questo però contraddice il fatto che i segmenti AD e AE hanno un estremo in comune (A), quindi appartengono a rette incidenti.

Quindi, l'ipotesi iniziale è falsa.

B] Il vertice D è interno alla circonferenza

In questo caso il vertice D è un punto interno alla circonferenza.

Poiché il vertice C è un punto della circonferenza, deduco che il prolungamento del segmento CD interseca la circonferenza in un punto intermedio E.

Per l'ipotesi iniziale il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza, quindi ha gli angoli opposti supplementari.

In particolar modo mi interessa sapere che β+δ=180°

$$ \beta + \delta = 180° $$

Tuttavia anche gli angoli β e δ' sono angoli opposti del quadrilatero AECD, quindi sono supplementari β+δ'=180°.

$$ \beta + \delta' = 180° $$

Quindi gli angoli δ≅δ' sono congruenti, perché sono supplementari dello stesso angolo β.

Gli angoli δ e δ' sono anche angoli corrispondenti delle rette CD e CE tagliate dalla trasversale DE.

Per il teorema delle rette parallele, se gli angoli corrispondenti δ≅δ' sono congruenti, allora le rette CD e CE sono rette parallele.

Questo però contraddice il fatto che i segmenti CD e CE hanno un estremo in comune (C), quindi appartengono a rette incidenti.

Quindi, l'ipotesi iniziale è falsa.

In conclusione, l'ipotesi iniziale è falsa sia quando il vertice D è un punto esterno, sia quando è un punto interno della circonferenza.

Di conseguenza, è vera l'ipotesi contraria ossia il punto D è un punto della circonferenza.

Questo vuol dire che "il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza quando la circonferenza passa per tutti i vertici del quadrilatero".

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine

• Un quadrilatero convesso è inscrivibile in una circonferenza quando le somme degli angoli opposti sono congruenti. $$ \alpha + \gamma \cong \beta + \delta $$ poiché entrambe le somme sono congruenti con un angolo piatto (180°)
• Ogni rettangolo, quadrato o trapezio isoscele può essere inscritto in una circonferenza, perché in questi casi gli angoli opposti sono sempre angoli supplementari.

E così via.