La doppia implicazione
La doppia implicazione (o coimplicazione) mette in relazione due proposizioni logiche con una doppia implicazione materiale. $$ A \Longleftrightarrow B $$ Si legge A se e solo se B.
E' anche detta bicondizionale o coimplicazione logica.
La tabella di verità della coimplicazione è la seguente:
In sintesi, la doppia implicazione è vera soltanto se le proposizioni logiche hanno lo stesso valore di verità.
La doppia implicazione è vera se entrambe le proposizioni A e B sono vere o entrambe false. In tutti gli altri casi la doppia implicazione è falsa.
Nota. Una coimplicazione A⇔B equivale a due implicazioni materiali bidirezionali A⇒B e B⇒A legate tra loro da una congiunzione logica. $$ A \Rightarrow B \wedge B \rightarrow A $$ La tabella di verità rappresentata nella forma equivalente (A⇒B)∧(B⇒A) rende più facile la comprensione dei valori di verità della coimplicazione A⇔B.
Un esempio pratico
Considero due proposizioni A e B
$$ A = \text{8 è un numero pari} $$
$$ B = \text{8 è un numero intero divisibile per due} $$
Entrambe le proposizioni sono vere.
La proposizione A⇔B è vera perché entrambe le proposizioni hanno lo stesso valore di verità (V).
$$ \begin{array}{cr|c} A & B & A \leftrightarrow B \\ \hline \color{red}V & \color{red}V & \color{red}V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \end{array} $$
Nota. Nella logica matematica non è necessario che ci sia una relazione di causa ed effetto tra le proposizioni A e B, né che siano effettivamente vere. Ciò che conta è la correttezza formale del ragionamento.
Esempio 2
Considero due proposizioni A e B
$$ A = \text{8 è un numero dipari} $$
$$ B = \text{8 è un numero intero divisibile per tre} $$
Entrambe le proposizioni sono false.
Anche in questo caso la proposizione A⇔B è vera, perché entrambe le proposizioni hanno lo stesso valore di verità (F).
$$ \begin{array}{cr|c} A & B & A \leftrightarrow B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ \color{red}F & \color{red}F & \color{red}V \end{array} $$
Esempio 3
Considero due proposizioni A e B
$$ A = \text{8 è un numero pari} $$
$$ B = \text{8 è un numero intero divisibile per tre} $$
La proposizione A è vera mentre la proposizione B è falsa.
La proposizione A⇔B è falsa, perché le proposizioni A e B hanno valori di verità differenti.
$$ \begin{array}{cr|c} A & B & A \leftrightarrow B \\ \hline V & V & V \\ \color{red}V & \color{red}F & \color{red}F \\ F & V & F \\ F & F & V \end{array} $$
Se A è vera e B è falsa, l'implicazione A⇒B è falsa.
Quindi, anche la coimplicazione (A⇒B)∧(B⇒A) è falsa.
$$ \underbrace{A \Rightarrow B}_{\color{red}F} \wedge B \rightarrow A = \color{red}F $$
Esempio 4
Considero due proposizioni A e B
$$ A = \text{8 è un numero dispari} $$
$$ B = \text{8 è un numero intero divisibile per due} $$
In questo caso la proposizione A è falsa mentre la proposizione B è vera.
La proposizione A⇔B è falsa, perché le proposizioni A e B hanno valori di verità diversi.
$$ \begin{array}{cr|c} A & B & A \leftrightarrow B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ \color{red}F & \color{red}V & \color{red}F \\ F & F & V \end{array} $$
Se A è falsa e B è vera, l'implicazione materiale B⇒A è falsa.
Quindi, anche la doppia implicazione (A⇒B)∧(B⇒A) è falsa.
$$ A \Rightarrow B \wedge \underbrace{B \rightarrow A}_{ \color{red}F } = \color{red}F $$
E così via.
