Einstein, Albert - Relatività ristretta (2)

Relatività ristretta - Einstein

0.1 La relatività galileiana
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Galileo Galilei (1568-1642) aveva intuito che non é possibile, solo con esperimenti di meccanica, rivelare se un sistema é fisso, o si muove di moto rettilineo uniforme. Due sistemi in moto relativo l'uno rispetto all'altro si dicono INERZIALI se in essi valgono le stesse leggi della meccanica; i sistemi che si muovono l'uno rispetto all'altro di moto rettilineo uniforme sono dunque inerziali.
Il principio di relatività galileiana afferma quindi l'assoluta equivalenza fisica di tutti i sistemi di riferimento inerziali: nessun esperimento eseguito all'interno di un dato sistema di riferimento può evidenziare il moto rettilineo ed uniforme dello stesso sistema, o, in altre parole, le leggi fisiche scoperte da sperimentatori che lavorino in laboratori in moto relativo rettilineo ed uniforme devono avere la stessa forma. Si tratta ora di ricavare le formule che legano le coordinate spazio temporali di uno stesso evento visto da due diversi riferimenti e di provare che le leggi della fisica sono invarianti, nella forma, al passaggio da un riferimento all'altro; si tratta cioè di tradurre in formule il contenuto di questo principio. Consideriamo allo scopo due riferimenti (cioè due sistemi di assi cartesiani ortogonali):
K (x, y, z, t) e K' (x', y', z', t')
riferiti rispettivamente alle origini O ed O', di cui O' mobile rispetto ad O di moto rettilineo uniforme con velocità v0. Si supponga che gli osservatori solidali ad O ed O' siano dotati di due orologi per la misura dei tempi sincronizzati tra loro in modo che, per esempio, quando O coincide con O' entrambi gli orologi segnino zero. Non è restrittivo supporre che gli assi x e x' siano sovrapposti e scivolino l'uno sull'altro, in modo che v sia parallela ad essi, mentre gli altri (y e y', z e z') restano paralleli fra di loro. Si consideri un certo evento fisico che avviene in un punto P con coordinate ( x, y, z ) e ( x', y', z' ) rispetto a O ed O' rispettivamente, e negli istanti t e t' misurati dai due osservatori.

Tenendo conto che OO' = v0 t e che sembra ovvio supporre t' = t, dalla figura sopra segue subito che valgono le cosiddette trasformazioni galileiane:
x = x' + OO' = x' + v0 t'
y = y'
z = z'
t = t' (0.1)
Bisogna chiarire fin d'ora che questi sistemi di riferimento sono SISTEMI A QUATTRO COORDINATE: ogni punto di essi è definito da tre coordinate nello spazio e da una nel tempo, misurate le prime tre rispetto a un'origine spaziale, la quarta rispetto a un istante iniziale t = 0. Osserviamo in particolare che la quarta di queste formule è sempre stata ritenuta evidente, e lo è ancora oggi nella vita pratica. La negazione dell'ipotesi (perché si tratta di un'ipotesi e non di una proprietà dimostrata sperimentalmente!) che gli orologi dei due osservatori debbano segnare lo stesso tempo costituisce, come vedremo, uno degli aspetti innovativi della relatività einsteiniana.
Adesso passiamo alle velocità. Se un corpo si muove con velocità costante v rispetto a K, quale velocità v' avrà rispetto a K', sapendo che il sistema O' si muove rispetto ad O con velocità v0, detta velocità di trascinamento? Lo ricaviamo immediatamente dividendo membro a membro la prima e la quarta delle trasformazioni di Galileo, e tenendo conto che:
x / t = v (in K )
x' / t' = v' (in K')
si ha allora:
v = v' + v0 (0.2)
Queste si dicono formule per la composizione delle velocità. Vedremo che anch'esse dovranno variare completamente, non appena saranno introdotti i postulati di Einstein.
Facciamo un esempio. Si supponga di essere su un carrello in movimento a 60 Km / h, e di calciare un pallone a 40 Km / h. Se lo si calcia nella direzione del moto, esso si muoverà (rispetto alla terra) a una velocità di 100 Km / h; se lo si calcia invece in direzione opposta al moto, il pallone si muoverà a soli 20 Km / h.
La (0.2) ci conduce a concludere che, detta la variazione di velocità nel sistema O, si ha:

E quindi, dividendo il primo e l'ultimo membro per e ricordando che
a = a'
Quelli or ora descritti sono i fondamenti della cosiddetta relatività galileiana
La relatività galileiana or ora richiamata è forse l'esempio più eclatante di questa tendenza ed è certamente una delle teorie che più d'ogni altra hanno resistito tenacemente all'usura del tempo: ci sono voluti quasi trecento anni di progresso scientifico e tecnologico per evidenziarne i limiti e perché si avvertisse l'esigenza di ideare una teoria più ampia che spiegasse la totalità dei fenomeni fisici acquisiti alla conoscenza umana. La TEORIA DELLA RELATIVITÀ, elaborata dal grande fisico tedesco Albert Einstein (1879-1955), ha il suo fondamento proprio nello smascheramento dell'assoluto nella Fisica. La Fisica Classica sosteneva l'esistenza di grandezze immutabili e caratteristiche di ciascun corpo, inseparabili da esso perché connaturate nel suo essere: la lunghezza e la massa, in primo luogo. Einstein, con incredibili colpi di genio, smitizzò alcuni tra i fondamentali postulati della fisica classica ed aprì la strada ai più arditi sviluppi della fisica moderna.
Ma c'è un'altra teoria che venne superata dalla Relatività di Einstein: la teoria classica dei campi elaborata da Maxwell. Ed é proprio di cui questo che intende occuparsi il paragrafo 0.2.

0.2 La grande sintesi di Maxwell
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È impossibile comprendere la rivoluzione operata da Einstein senza prima richiamare alcune importanti nozioni di elettromagnetismo. I principi fondamentali di questa vasta teoria furono stabiliti nel corso del secolo XIX. I loro risultati furono poi sintetizzati da Carl Fredrich Gauss (1777-1855) nei seguenti due teoremi, che stabiliscono i primi due principi fondamentali dell'elettromagnetismo:

1) Un corpo carico produce nello spazio circostante delle linee di forza elettriche, il cui flusso attraverso una superficie chiusa è pari alla somma delle cariche poste al suo interno divisa per la costante dielettrica.
2) Una corrente elettrica che circola in un conduttore produce delle linee di forza magnetiche attorno al conduttore, il cui flusso attraverso una superficie chiusa è sempre nullo.

La prima affermazione è detta Teorema di Gauss del campo elettrico, e matematicamente si può scrivere così:

(0.3)

mentre la seconda viene detta anche Teorema di Gauss del campo magnetico:

(0.4)

Il grande fisico e matematico scozzese James Clerk Maxwell (1831-1879)negli anni tra il 1860 ed il 1870 sviluppò una teoria matematica dell'elettromagnetismo nella quale partì dai due teoremi suddetti, oggi noti come PRIMA e SECONDA EQUAZIONE DI MAXWELL. Egli propose un modello onnicomprensivo per visualizzare le relazioni esistenti tra le grandezze elettriche e magnetiche osservate sperimentalmente da Faraday e soci. Egli lo descrisse matematicamente attraverso un sistema di equazioni, oggi note come equazioni di Maxwell, dalle quali si possono ottenere tutte le proprietà dei campi elettrici e magnetici. Il lavoro di Maxwell contiene alcune idee completamente nuove e ricche di conseguenze:

a) un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico.
b) non solo le correnti nei conduttori producono dei campi attorno ad essi, ma anche i campi elettrici variabili nel vuoto producono dei campi magnetici.

La legge di Ampére sull'induzione magnetica, fino ad ora scritta nella forma C(B) = µ0 i, deve essere così modificata:

(0.5)

Secondo la teoria elaborata da Maxwell, insomma, i due principi fondamentali dell'elettromagnetismo, che abbiamo già ricordato poco sopra e che erano già stati stabiliti da altri scienziati, dovevano essere integrati da un terzo:

3) un campo elettrico variabile nello spazio produce un campo magnetico.

Un'altra proprietà dei campi elettrici e magnetici, già nota prima di Maxwell, acquista un nuovo significato alla luce del suo lavoro, poiché risulta simmetrica alla formulazione, enunciata poc'anzi, del terzo principio:

4) un campo magnetico variabile nello spazio produce un campo elettrico.

La legge matematica che la esprime è nota come equazione di Faraday-Henry:

(0.6)

L'equazione di Faraday-Henry e la legge di Lenz, prese assieme, costituiscono la QUARTA EQUAZIONE DI MAXWELL.

A partire dalle quattro equazioni di Maxwell (0.3) + (0.4) + (0.5) + (0.6), è possibile ricavare in ogni punto il valore del campo elettrico e del campo magnetico, a patto di conoscere:
i) la distribuzione delle cariche nello spazio;
ii) la distribuzione delle correnti nei mezzi materiali o nel vuoto.

L'insieme completo di relazioni tra i campi elettrici e magnetici proposto da Maxwell non fu subito direttamente verificabile. Egli, però, aveva previsto anche un fenomeno del tutto nuovo, che avrebbe dovuto insorgere per effetto delle reciproche interazioni tra campi elettrici e magnetici variabili. Per capire di cosa si tratta, supponiamo che in una certa regione di spazio ad un certo istante si determini una variazione del campo elettrico, originato, per esempio, da un moto accelerato di cariche elettriche. Nei punti immediatamente vicini si produce allora, per la terza equazione di Maxwell, un campo magnetico anch'esso variabile nel tempo. La variazione del campo magnetico, per la quarta equazione di Maxwell, origina nei punti immediatamente vicini un campo elettrico anch'esso variabile, e così via. Nasce in tal modo una perturbazione elettromagnetica che si propaga nello spazio.
Il fatto che una variazione del campo magnetico in un punto produce un campo elettrico variabile era noto già prima di Maxwell, in quanto era previsto dalla legge di Faraday-Henry; si pensava però che, allorché un campo magnetico bruscamente diminuiva da un valore massimo a zero, altrettanto doveva fare il campo elettrico e il tutto cessava dopo un piccolo intervallo di tempo dall'istante in cui si era annullato il campo magnetico. La novità prevista da Maxwell consiste nel fatto che il campo elettrico ed il campo magnetico generati dalla variazione nel tempo di uno dei due sono in grado di autosostenersi, cioè di propagarsi anche se la variazione iniziale che li ha prodotti è venuta meno!
Se ne conclude che, da una brusca variazione di un campo elettrico o magnetico nel tempo, ha origine la propagazione di un impulso elettromagnetico, cioè di un'ONDA, chiamata per l'appunto onda elettromagnetica.
Il valore della velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto dato dalla (1.3), come vedremo nel paragrafo 1.2, coincide con buona approssimazione con quello della velocità della luce. Questo fu un risultato clamoroso che mise in evidenza lo straordinario potere unificante delle equazioni di Maxwell. Egli, avendo notato che le onde elettromagnetiche e la luce, oltre ad essere caratterizzate entrambe da vibrazioni trasversali, si propagano con la stessa velocità, avanzò l'ipotesi della natura elettromagnetica della luce, e così l'ottica divenne un capitolo dell'elettromagnetismo.
1.1 Una crepa nel palazzo di cristallo
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Orbene, se, assieme all'equazione di Newton, anche le equazioni di Maxwell compongono una teoria fisica perfettamente compiuta e coerente (la cosiddetta Fisica Classica), ci si deve aspettare che anch'esse, se non invarianti, risultino almeno covarianti(un'equazione la cui dipendenza funzionale dalle variabili non viene alterata da un certo insieme di trasformazioni) rispetto alle medesime trasformazioni. Ed ecco invece il colpo di scena: ci si accorse subito che le equazioni di Maxwell non erano né invarianti, né covarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo; comparivano altri termini, a secondo delle velocità relative del sistema di riferimento. In altri termini, cambiando il sistema di riferimento adottato, le equazioni di Maxwell non cambiavano solo nella forma; non erano assolutamente più valide! Se si ritiene valida la relatività galileiana, le equazioni di Maxwell sono sì verificate, perché consentono di predire risultati sperimentali, ma cambiano col sistema di riferimento
Quest'aporia che indusse i fisici teorici alla ricerca di trasformazioni per cui le equazioni dell'elettromagnetismo risultassero invarianti. E chi credette di trovarle fu il fisico olandese Hendrik Lorentz, di cui parleremo ampiamente nei paragrafi seguenti, a partire dal 2.1.
Ma questo non è tutto, perché un semplice ostacolo di natura matematica non avrebbe giustificato la ricerca di una nuova Fisica, da sostituire a quella Classica, peraltro perfettamente in grado di spiegare pressoché tutti i fenomeni meccanici, elettrici e magnetici. A porre ulteriori problemi fu però la luce. Prima le osservazioni di Thomas Young (1773-1829) riguardanti i fenomeni di interferenza della luce (1800), e poi la costruzione teorica delle equazioni di Maxwell, fecero trionfare definitivamente il modello ondulatorio della luce a discapito di quello corpuscolare, risalente all'autorità di Newton. In altre parole, la luce è un'onda esattamente come il suono o le onde sismiche. Questo fatto però, lungi dal rassicurare gli animi dei fisici dell'ottocento, poneva loro una spinosissima questione: se la luce è un'onda, deve esistere un mezzo attraverso cui essa si propaga! Ma nessuno dei mezzi materiali conosciuti, come nel caso delle onde sonore o delle scosse di terremoto, può essere il sostegno delle onde luminose, giacché esse si propagano pure nel vuoto, come dimostra il fatto che i raggi solari raggiungono tranquillamente la terra (inoltre, se si leva l'aria da una campana di vetro sotto la quale è posto un campanello, il suono da esso emesso non ci raggiunge più, ma noi continuiamo comunque a vederlo).
Fu così introdotto un nuovo mezzo materiale, supposto impalpabile, trasparente e perfettamente elastico, che impregnerebbe ogni angolo dell'universo e trasporterebbe in ogni dove i raggi di luce, oltre che le onde radio e le radiazioni X e gamma. Per analogia con la celebre quintessenza di aristotelica memoria, a tale misteriosa realtà fu dato il nome di etere.
Questo strano materiale tuttavia poneva più problemi di quanti non ne volesse risolvere. Di che tipo di materia era composto? Perché di materia sicuramente doveva trattarsi, anche se a quei tempi il concetto stesso di "materia" non era ben definito, e la teoria atomica era ancora di là da venire. Ed in che modo permeava tutto l'universo? Doveva essere estremamente rigido, in modo da permettere la trasmissione di onde tanto veloci, ma allo steso tempo non doveva offrire alcuna resistenza al moto dei pianeti... Eppure, tutti accettarono di buon grado l'introduzione di questa stranissima sostanza, perché se non altro veniva incontro ad una delle principali preoccupazioni della Fisica Classica: essa poteva infatti rappresentare il sistema di riferimento assoluto per tutte le trasformazioni di Galileo, sostituendo quel « centro dell'universo » che, in un modello infinito del cosmo, non aveva alcun significato. La terra è in moto attorno al sole, il sole lo è intorno alla Galassia, questa lo è rispetto alle altre galassie, ma l'etere può considerarsi "immobile" in senso assoluto; immobile, come si diceva ai tempi, rispetto alle stelle fisse. Dalle leggi di Newton risultava che nessun sistema di riferimento può ritenersi privilegiato rispetto agli altri; se il corpo B è in moto con velocità pari a 3 m/s rispetto al corpo A, ritenuto fermo, nulla proibisce di ritenere che sia fermo il corpo B, e che sia A a muoversi rispetto ad esso con velocità pari a 3 m/s, senza che le leggi della dinamica vengano violate. Parlare dunque di « posizione assoluta » di un corpo è privo di senso, esattamente quanto lo sarebbe cercare il « centro » di un piano illimitato. La meccanica newtoniana consente tutt'al più di parlare di « posizione relativa » ad un determinato osservatore. Anche il concetto di « velocità assoluta » va sostituito perciò con quello di « velocità relativa » ad un dato osservatore, potendo poi passare dalla velocità misurata da un sistema a quella misurata da un altro mediante le solite trasformazioni galileiane (0.1).
L'etere veniva a colmare questa lacuna, permettendo di stabilire una volta per tutte un sistema di riferimento nel quale le distanze, gli intervalli di tempo e le velocità potevano venire misurati in maniera univoca per tutti gli osservatori di questo mondo. Anche la velocità della luce, fissata univocamente dalla teoria elettromagnetica secondo la formula (1.3), diventava « velocità assoluta » rispetto alla fantomatica etere. Ma fu proprio questa la crepa che, allargandosi, finì per spezzare tutta quanta la costruzione!!! Di questo parleremo nel paragrafo successivo.
1.2 Il "vento d'etere" non esiste!
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Il primo problema che ci si pone é: c'é un punto di riferimento invariante per tutti i sistemi? Sì, uno c'é: é la velocità della luce c. La teoria classica dei campi elettromagnetici imperniata sulle equazioni di Maxwell fornisce per essa il valore di:
(1.3)
c = 299.792.456,2 m s–1
Quindi ci si aspetterebbe che c rappresenti la tanto sospirata VELOCITÀ ASSOLUTA. Ed invece la legge di composizione delle velocità (0.2) contraddice questa speranza! Immaginiamo di viaggiare sul cosiddetto "treno di Einstein", un ipotetico treno futuribile che si muove a 240.000 Km/s; accendendo i fari, la loro luce dovrebbe viaggiare a:
300.000 + 240.000 = 540.000 Km/s
in palese disaccordo con l'affermazione (1.3), la quale non si vede perché dovrebbe valere dovunque, fuorché sul treno di Einstein. Il perché di questa apparente inconciliabilità verrà trovato proprio da Einstein, come vedremo nell'unità 3.
Le prime prove a favore dell'invariabilità della velocità della luce nel vuoto furono date dall'esperienza di Michelson e Morley (1887), che ora descriverò in succinto. Nel paragrafo precedente abbiamo spiegato in che modo andò in voga la teoria dell'etere: la credenza che ogni perturbazione deve trasmettersi in un mezzo materiale, e non nel vuoto, condusse all'ipotesi dell'esistenza di una sostanza imponderabile che tutto permea. La velocità della luce risulterebbe così costante rispetto all'etere, salvaguardando la (1.3) e tutta la teoria elettromagnetica. Ora, la Terra nel suo cammino attorno al sole si dovrebbe muovere nel mare d'etere grande quanto tutto l'universo, se è vero che questo mare è fermo, come si compete ad ogni riferimento che ha la pretesa di essere assoluto; dunque, dal punto di vista degli osservatori terrestri, l'etere si dovrebbe muovere in direzione opposta al moto del nostro pianeta. Ne consegue che, misurando la velocità della luce nella direzione del moto orbitale terrestre, si dovrebbe riscontrare un risultato maggiore di quello ottenuto nel caso in cui la si misuri in direzione opposta, perché nel primo caso la velocità orbitale – pari all'incirca a 33 Km/s – si somma al risultato della (1.3), nel secondo caso si sottrae.
Ebbene, Albert Michelson ed Edward Morley pensarono di effettuare una doppia misurazione della velocità della luce, nella direzione del moto terrestre ed in direzione opposta, con lo scopo di confrontare i due risultati e di provare il moto della Terra attraverso l'etere. Ma una simile misura era più facile a dirsi che a farsi, poiché la velocità orbitale del nostro pianeta poteva incidere sulla velocità della luce al massimo per una parte su diecimila. I due scienziati ebbero allora l'idea di utilizzare un complesso apparato di specchi (INTERFEROMETRO), che sfruttasse proprio il fenomeno dell'interferenza tra raggi di luce che hanno percorso cammini ottici differenti.

Ci fu chi, per salvare la Teoria Classica dei Campi, azzardò l'ipotesi che la Terra trascinasse con sé l'etere nel proprio moto, così come trascina con sé l'atmosfera; ma allora dove andrebbe a finire l'impalpabilità e l'infinita elasticità della quintessenza di aristotelica memoria? E che razza di sistema di riferimento assoluto esso rappresenterebbe, se si muovesse di moto relativo assieme a tutti i corpi che incontra?
Conclusioni: l'esperienza di Michelson e Morley era stata concepita per dimostrare che la luce può avere velocità diverse per diversi osservatori in moto relativo rispetto all'etere, attraverso la dimostrazione dell'esistenza di una sorta di « vento d'etere », dovuto in realtà all'immobilità in senso assoluto della quintessenza, ed al moto relativo rispetto ad esso della Terra lungo la propria orbita, sulla scorta della presunta validità della composizione galileiana delle velocità. Il fatto che l'esperimento sia clamorosamente fallito non poteva far altro che smentire gli assunti di partenza, mostrando una volta per tutte che la luce ha sempre la stessa velocità per tutti gli osservatori, come suggerito dalla (1.3), e che evidentemente le trasformazioni di Galileo (0.1) NON sono valide per tutti i sistemi di riferimento in moto relativo l'uno rispetto all'altro. Anziché cementare la crepa che minava la solidità del castello della Fisica, Michelson e Morley la allargarono ulteriormente, mostrando che la meccanica galileo-newtoniana e la teoria elettromagnetica di Maxwell erano intimamente inconciliabili.
In realtà, come abbiamo già detto nel paragrafo precedente, i fisici sapevano già che le equazioni di Maxwell sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz, non rispetto a quelle di Galileo, e questo ben prima che il genio di Ulm pubblicasse le sue mirabolanti teorie. Già si sapeva insomma che, se si vuole conservare la forma delle quattro equazioni dell'elettromagnetismo, la somma delle velocità non può più consistere nella semplice somma vettoriale (vedi paragrafo 3.2), e questo, come vedremo, implica proprio che deve giocoforza esistere una velocità maggiore di tutte le altre. Nessuna teoria fisica però giustificava quelle trasformazioni, che restavano un giochetto matematico e niente più; e così, tutti erano impegnati alla ricerca del fantomatico etere, come novelli Parsifal alla caccia del Sacro Graal, e Michelson continuava a perfezionare i suoi interferometri, sperando di osservare l'inesistente spostamento delle frange d'interferenza... finché non arrivò quell'apparentemente modesto scienziato ebreo che cambiò la Fisica moderna. E nell'unità 2 vedremo come.
2.1 I postulati di Einstein
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James C. Maxwell era profondamente convinto dell'esistenza dell'etere, come testimonia il fatto che, alla voce « Ether » compilata per la nona edizione dell'Enciclopedia Britannica (vol. 8°, 1878), scrisse:

« Non vi può essere alcun dubbio che gli spazi interplanetari e interstellari non siano vuoti ma occupati da una sostanza o corpo materiale che è certamente il più vasto e probabilmente il più uniforme di cui abbiamo una qualche conoscenza... »

Come abbiamo visto, tuttavia, questa incrollabile fede nell'esistenza dell'etere era destinata ad essere messa in discussione appena otto anni dopo la morte di Maxwell, l'artefice della Teoria Classica dei Campi, a causa dell'esperienza di Michelson-Morley.


Ma, pensò Lorentz, se tutti gli esperimenti volti a rivelare lo stato di moto della terra rispetto all'etere avevano dato esito negativo, solo un'ipotesi poteva essere sostenuta: quella secondo cui esistono delle trasformazioni, diverse da quelle galileiane, che lasciano inalterate le equazioni di Maxwell.
Nel 1904 Lorentz scrisse in forma definitiva queste trasformazioni che, oltre a coinvolgere le coordinate spaziali, per garantire il risultato corretto prevedono una trasformazione anche per il tempo
Le leggi di trasformazione (3.4), che portano il suo nome, furono formulate assai prima delle teorie sulla contrazione dei tempi e la dilatazione delle lunghezze.
Einstein lavorò in modo diverso. Per nulla preoccupato di sfatare tabù che resistevano fin dai tempi del grande Newton, egli comprese che, quando ci si muove a velocità prossime a quella della luce, spazio e tempo subiscono delle effettive trasformazioni che non li rendono più entità assolute. Se si dava credito all'esperienza di Michelson e Morley, una cosa sola appariva costante nel passare da un sistema di riferimento ad un altro: la velocità della luce, uguale sia nella direzione del moto della Terra che in direzione opposta. Ed egli partì proprio da qui, assumendo come postulato che non lo spazio né il tempo, ma c sia invariante per tutti gli osservatori. Vedremo che questa semplice ipotesi avrà conseguenze a dir poco esplosive.
La teoria della Relatività Ristretta (o Relatività Speciale) fu inaugurata da Einstein il 30 giugno 1905 sugli « Annalen der Physik » in una fondamentale memoria intitolata « Zur Elektrodynamik bewegter Körper » (Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento).
Tutta la teoria di Einstein è basata dunque su due postulati fondamentali:

 Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Non esiste un sistema inerziale privilegiato (Principio di relatività).
 La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore c in tutti i sistemi inerziali (Principio della costanza della velocità della luce).

Il primo di essi rappresenta un'estensione, a tutti gli eventi, del principio di relatività galileiana, che non risulta così annullato, bensì superato attraverso il secondo postulato, dal quale, a partire dal paragrafo seguente, cominceremo a ricavare i fondamenti della Cinematica relativistica.

Con questi due soli postulati Einstein rivoluzionò l'intero mondo della Fisica; ma lo sapete qual è l'aspetto tragico o, perlomeno, tragicomico di questa vicenda? Il premio Nobel non fu assegnato ad Einstein per la fondazione della Relatività, bensì per un suo articolo datato 18 marzo 1905, sempre pubblicato sugli « Annalen der Physik », dal titolo « Über einen die Erzeugung und Wervandlung des Litches betreffenden heuristischen Gesichtspunkt » (Su un punto di vista euristico circa la creazione e la conversione della luce), nel quale egli interpretava l'effetto fotoelettrico sulla base dell'ipotesi quantistica formulata cinque anni prima da Max Planck.
2.2 L'orologio a luce
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Il primo mito sfatato da Einstein fu quello del tempo assoluto. Uno dei cardini della fisica classica era la contemporaneità degli eventi fisici rispetto a tutti i sistemi di riferimento; Einstein dimostrò illusorio questo principio con il ragionamento dell'orologio a luce.
Si dice « orologio a luce » quello che calcola il tempo attraverso la riflessione di un raggio di luce fra due specchi piani e paralleli. Dati due simili orologi in quiete, ben sincronizzati, la partenza dei raggi di luce, la loro riflessione e la loro percezione saranno eventi contemporanei. Ma se uno si muove di moto relativo rispetto all'altro, con velocità uniforme v, che cosa accade?

Per l'osservatore solidale con l'orologio in moto relativo, diciamo nel sistema K', il raggio di luce continua a riflettersi fra i due specchi, perpendicolarmente ad essi. Ma per un osservatore del sistema K , solidale con l'orologio che per noi é in quiete, il moto del raggio di luce si compone con quello traslatorio dell'orologio, e si ha la traiettoria diagonale della figura: non più AB, ma A'B'' e B''A'''. Ora, sia t il tempo misurato dall'orologio a luce in K per percorrere il tratto AB, e t' il tempo misurato in K' per percorrere uno spazio uguale. É chiaro che t < t', essendo AB = A''B'' < A'B'' (il cateto é minore dell'ipotenusa); ed essendo la velocità della luce costante in ogni sistema di riferimento, risulta:
A'B'' = c t' , A''B'' = c t , A'A'' = v t'
per il teorema di Pitagora:
A'B'' 2 = A''B'' 2 + A'A'' 2
Da cui:
c 2 t' 2 = c 2 t 2 + v 2 t' 2
cioè:
( c2 – v2 ) t' 2 = c 2 t 2
con facili passaggi algebrici, si ricava:
(2.1)
Condizione di realtà é che sia:

Il denominatore é sempre minore di uno, quindi l'intervallo di tempo tempo misurato nel sistema K' é sempre maggiore di quello misurato nel sistema K fra due eventi apparentemente contemporanei, come si vede in figura. Per l'orologio in moto, insomma, il tempo passa più lentamente. É questo il fenomeno noto come DILATAZIONE DEI TEMPI. É come se i nostri due sistemi di riferimento vivessero in due... tempi differenti.

Naturalmente, se gli intervalli di tempo visti da due osservatori diversi risultano differenti, va all'aria anche il concetto di simultaneità tra eventi..
Facciamo un esempio. Sul treno di Einstein il tempo scorre più lentamente: se al passaggio da una stazione il suo orologio viene accordato con quello sulla pensilina, dopo un'ora ci si accorge che, al passaggio ad una nuova stazione, l'orologio di questa segna che é trascorsa più di un'ora, e precisamente:


2.3 I paradossi della Relatività
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La teoria della Relatività, come si è detto, capovolge completamente l'edificio della meccanica e dell'elettromagnetismo così come lo avevano concepito Galilei, Newton, Maxwell e soci; ce ne rendiamo subito conto se analizziamo alcune conclusioni paradossali cui Einstein è giunto; ed il caso più clamoroso é certamente il famosissimo « paradosso dei gemelli ». Uno dei due parte su un'astronave superveloce verso una stella lontana, l'altro resta a terra. Quando il primo torna, é molto più giovane del suo gemello, perché il tempo per lui si è dilatato. Ecco come un disegnatore ha immaginato la scena dell'abbraccio tra i due gemelli ormai "sfasati":

In realtà questo paradosso, come tutti i paradossi che si rispettano, presenta degli aspetti poco chiari, e dunque è bene rifletterci su..
Supponiamo di essere invitati a imbarcarci su una navicella spaziale che parte nell'anno 2000 e ritorna nel 2020. In pratica, stante il fenomeno della dilatazione dei tempi, ci viene offerta l'opportunità di scegliere quanto velocemente vogliamo « raggiungere » l'anno terrestre 2020, il che determinerà la nostra velocità rispetto alla Terra. Se siamo d'accordo nell'aspettare dieci anni, cioè nel voler comprimere venti anni in dieci, dobbiamo viaggiare a una velocità pari all'86% di quella della luce. Per ridurre la durata a due soli anni, invece, occorre raggiungere il 99,5% della velocità della luce. Nella figura seguente è rappresentata graficamente questa relazione. Possiamo notare come, a mano a mano che ci si avvicina alla velocità della luce, il « viaggio » fra gli anni terrestri 2000 e 2020 si accorcia (misurato da Terra il viaggio dura sempre vent'anni). Al limite, nel caso in cui viaggiassimo esattamente a velocità c, il viaggio sarebbe istantaneo. Questo giustifica l'affermazione, già di per sé alquanto paradossale, secondo cui tutte le particelle che viaggiano alla velocità della luce (ad es. i fotoni) vedono il tempo fermo. Ma questo non è problema che ci riguardi perché, per noi esseri umani la velocità della luce è irraggiungibile.

Consideriamo ora due gemelli, chiamati Tommasino e Tommasone (perché, in ebraico, Tommaso vuol dire proprio "gemello"). Tommasone, il più robusto e il più intraprendente dei due, lascia la Terra nell'anno 2000 per raggiungere, a bordo di una navicella spaziale, una stella distante 8 anni luce (la distanza è misurata nel sistema di riferimento terrestre), viaggiando ad una velocità di 240.000 chilometri al secondo, pari cioè ai 4/5 della velocità della luce. A tale velocità occorrono dieci anni per percorrere 8 anni luce, e quindi per Tommasino, sulla Terra, Tommasone rientrerà nell'anno 2020 (dieci anni per arrivare sulla stella più dieci anni per tornare sulla Terra). Tommasone, al suo ritorno, concorderà sul fatto che sia l'anno terrestre 2020, ma sosterrà che per lui sono trascorsi soltanto dodici anni, e l'orologio dell'astronave confermerà la sua affermazione segnando l'anno 2012.
Il viaggio di andata misurato da Terra dura dieci anni. Tommasino però, che osserva il fratello con un potente telescopio, non vedrà effettivamente la navicella raggiungere la stella nel 2010 poiché a questo punto Tommasone sarà lontano 8 anni luce. Dato che la luce deve impiegare altri otto anni per tornare sulla Terra, Tommasino avrà la prova visiva dell'arrivo del fratello sulla stella nel 2018 (dieci più otto). La formula di Einstein (2.1) ci dice che l'orologio di Tommasone funziona a una velocità che è pari al 60% di quella di un orologio terrestre, e quindi, quando Tommasone arriva sulla stella, il suo orologio indica che sono trascorsi sei anni. Pertanto, quando Tommasino vede l'arrivo nel 2018, l'orologio dell'astronave segna l'anno 2006.
Dal punto di vista di Tommasone le cose sono ribaltate. Concorda ovviamente sul fatto che l'orologio dell'astronave segna l'anno 2006 al momento del suo arrivo sulla stella, ma in quell'istante vede l'orologio di Tommasino segnare l'anno 2002. Infatti nel sistema di riferimento terrestre l'arrivo sulla stella si è verificato nel 2010, però, dato che la stella è distante 8 anni luce, il segnale luminoso che effettivamente raggiunge la navicella in quel momento sarà partito 8 anni prima, cioè nel 2002 (dieci meno otto). Quindi Tommasone nel momento in cui raggiunge la stella vedrà il suo orologio segnare l'anno 2006 e quello terrestre l'anno 2002. La situazione è perfettamente simmetrica.
Secondo Tommasino, che nell'anno terrestre 2018 vede l'orologio sulla stella segnare l'anno 2006, l'orologio di Tommasone funziona dunque tre volte più lentamente del suo; secondo Tommasone, che nell'anno stellare 2006 vede l'orologio sulla Terra segnare l'anno 2002, l'orologio di Tommasino funziona tre volte più lentamente del suo.
Fin qui tutto bene? Allora occupiamoci del viaggio di ritorno.
Una volta arrivato, Tommasone si imbarca immediatamente per il viaggio di ritorno. Ora si sta avvicinando alla Terra e quindi il ritardo della luce è opposto a quello di dilatazione temporale. Tommasino, sapendo che Tommasone tornerà sulla Terra nel 2020 ed avendolo visto arrivare sulla stella nel 2018, avrà l'impressione che il viaggio di ritorno venga compresso in due soli anni di tempo terrestre. Abbiamo già stabilito che quando nel 2018 Tommasino vede l'orologio del suo gemello a metà del viaggio, questo segna l'anno 2006, e che quando lo rivede di nuovo sulla Terra segna il 2012. Quindi nei due anni terrestri di durata del viaggio di ritorno, Tommasino vedrà l'orologio della navicella avanzare di sei anni; in altre parole vedrà quell'orologio funzionare tre volte più velocemente del suo. Questo è un punto fondamentale: durante il viaggio di ritorno l'orologio dell'astronave visto da Terra sembrerà accelerato, e non rallentato! Come per il viaggio di andata, Tommasino è in grado di separare i due effetti e di concludere che l'orologio della navicella sta « realmente » funzionando ad una velocità pari al 60% della velocità del suo, analogamente alla prima parte del viaggio.
Tommasone, invece, al momento dell'arrivo sulla stella aveva visto l'orologio sulla Terra segnare l'anno 2002. Sappiamo che raggiungerà la Terra nel 2020, quindi Tommasone vedrà l'orologio terrestre avanzare di diciotto anni mentre sulla navicella ne trascorreranno sei. Ciò significa che a Tommasone l'orologio terrestre sembrerà funzionare tre volte più velocemente del suo. C'è quindi una completa simmetria anche nella seconda parte del viaggio! Tommasone può dedurre che l'orologio terrestre sta « realmente » andando lentamente, a una velocità pari al 60% di quella del suo.
Durante il viaggio di ritorno Tommasino vedrà l'orologio di Tommasone funzionare tre volte più velocemente del suo: infatti quello di Tommasino passerà dall'anno 2018 all'anno 2020 e quello di Tommasone dall'anno 2006 all'anno 2012. Contemporaneamente, Tommasone vedrà l'orologio di Tommasino funzionare tre volte più velocemente del suo: infatti quello di Tommasino passerà dall'anno 2002 all'anno 2020 e quello di Tommasone dall'anno 2006 all'anno 2012. Come conclude Paul Davies, se spiegato in questi termini, il paradosso dei gemelli non sembra più nemmeno un paradosso.
Purtroppo il paradosso è un altro. Infatti, se mi avete seguito bene, dovreste aver compreso che nella Relatività Ristretta non esiste un riferimento "privilegiato": se Tizio si muove rispetto a me, a lui pare che sia io a muovermi. Dunque, Tommasone potrebbe ritenere di essere rimasto fermo lui, mentre Tommasino si è mosso alla velocità di 240.000 Km/s rispetto alla sua astronave; egli dovrebbe dunque concludere che è il tempo del gemello rimasto sulla Terra ad essersi dilatato, e quindi che sarà il gemello restio ai viaggi stellari ad essere invecchiato di meno. Ed invece, al suo ritorno sulla Madre Terra, trova Tommasino oggettivamente più vecchio, e la simmetria predicata da Einstein è rotta. Come si spiega tutto questo?
Come per tutti i paradossi di questo mondo, la soluzione è più semplice di quanto non si creda. Infatti il Primo Postulato di Einstein dice chiaro e tondo che le leggi della Fisica sono simmetriche in tutti i sistemi INERZIALI; ora, Tommasino è sempre vissuto in sistema inerziale (se lo si ritiene praticamente fermo, cioè trascurando il moto della Terra rispetto all'astronave del suo gemello), ma siamo sicuri che questo vale anche per Tommasone?
Certamente no, poiché egli NON si è mosso sempre di moto rettilineo uniforme rispetto al suo pianeta madre. Per allontanarsi da questo fino ai quattro quinti della velocità della luce deve prima accelerare fortemente, poi decelerare una volta giunto a destinazione, quindi ruotare intorno alla stella lontana, riaccelerare e poi rallentare fino a fermarsi sul nostro pianeta. Tommasone è dunque vissuto per anni entro un sistema accelerato, del quale la Relatività Ristretta non si occupa. Un'analisi completa di questo paradosso in tutti i suoi dettagli può quindi essere svolta solo nell'ambito della Teoria della Relatività Generale, nella quale si mostra che, in presenza di accelerazioni e decelerazioni, il tempo viene "oggettivamente" rallentato rispetto a quello di un sistema inerziale!!!
Facciamo notare che, nonostante l'apparente irrealizzabilità, il paradosso dei gemelli è stato... verificato sperimentalmente! Questo grazie a degli orologi atomici collocati a bordo di due aerei che volavano in direzioni opposte rispetto al pianeta: l'aereo che viaggia in direzione est somma la sua velocità a quella di rotazione della terra, dunque viaggia più velocemente di quello che viaggia in direzione ovest, e quindi deve segnare un tempo inferiore di alcune frazioni di secondo. E così in effetti è stato. Un'altra verifica sperimentale fu invece eseguita nel 1966 in un acceleratore di particelle al CERN a Ginevra:.in questo caso i viaggiatori erano muoni, fatti correre per mezzo di campi magnetici lungo percorsi circolari con velocità pari al 99,6% della velocità della luce. Si trovò che al loro ritorno i muoni erano più giovani, perché erano decaduti più lentamente dei muoni in quiete nel laboratorio!
Ma c'é un altro esempio ancor più sconcertante, elaborato da Piero Angela, che illustra le trappole in cui si può cadere viaggiando a velocità prossime a quella della luce. Supponiamo che un ragazzo di 19 anni parta su un'astronave che va alla stessa velocità del treno di Einstein (4c/5) verso una meta lontana, lasciando sulla terra la giovane moglie con un bimbo appena nato. Rimane lontano per un tempo proprio di 30 anni e quindi, quando torna, egli ha 49 anni; ma per suo figlio, in base alla solita legge (2.1), ne sono trascorsi 50. Egli dunque... ha un anno in meno di suo figlio!!!
2.4 È più corto il treno o la pensilina?
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Allo stesso modo in cui ha dovuto abbandonare il concetto di tempo assoluto, Einstein è costretto a far crollare anche il mito della inalterabilità delle lunghezze. Anche se non sembra, lunghezza e tempo sono correlate: per misurare la lunghezza di un'asta si può far scoccare una scintilla ai suoi estremi quando passa davanti ad un osservatore, e misurare il tempo che la luce impiega per andare da un'estremità all'altra. Dato che la durata degli intervalli di tempo dipende dal sistema di riferimento in cui vengono misurati, e che la contemporaneità stessa di due eventi é stata messa in discussione, non siamo più sicuri che le lunghezze così misurate siano assolute! Consideriamo difatti un'asta sulla quale é posto un orologio a luce: si può misurare la sua lunghezza calcolando il tempo t di riflessione del raggio di luce, e poi utilizzando la semplice formula:
(2.5)

Se però l'asta si muove nel sistema di riferimento K', nell'andata il raggio di luce percorrerà in tutto un tratto più lungo rispetto a prima. La lunghezza l', misurata nel sistema K', risulta uguale alla somma delle lunghezze misurata in K con lo spostamento avvenuto nello stesso tempo t , in cui il raggio di luce é andato da uno specchio all'altro:
c t' = l' + v t' (2.6)
(l é la lunghezza dell'asta in K'). Invece quando il raggio di luce torna indietro, la lunghezza l' risulta uguale allo spazio percorso dalla luce diminuito di quello percorso dall'asta nello stesso tempo t', perché i due moti ora hanno verso opposto:
c t' = l' - v t' (2.7)
Dalla (2.6) e dalla (2.7) ricavo t' e t' :
,
e allora il tempo complessivo t di riflessione del raggio di luce é dato da:

da cui:

( l é la lunghezza dell'asta misurata in K ). Essendo, in virtù della formula (2.1):

ho che:

Ora, si ha che , e quindi:
(2.8)
Condizione di realtà é ora:

La radice é sempre minore di uno, quindi: l' < l
É per questo che l'asta si contrae nella direzione del moto: si parla di contrazione delle lunghezze o CONTRAZIONE DI LORENTZ. Supponiamo che l'ipotetico treno di Einstein sia lungo in quiete 2.400.000 Km (una lunghezza smisurata, ma anche la sua velocità di crociera è smisurata!) Se le pensiline delle stazioni da lui attraversate, in quiete (cioè a treno fermo in stazione), fossero di lunghezza uguale alla sua, quando il treno attraversa una stazione senza fermarsi, un osservatore posto sulla pensilina vedrebbe un treno di lunghezza pari a soli 1.600.000 Km, e dunque assai più corto della pensilina! Ma, per quanto sia sconcertante, bisogna affermare che invece un osservatore posto su di una carrozza vedrebbe la pensilina muoversi di moto relativo con verso opposto a quello del treno, e quindi per lui... sarebbe la pensilina ad essere più corta del treno!!!