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Sintesi
La scomposizione in fattori è uno strumento dell'algebra molto utile, ed ogni studente dovrebbe aggiungerlo alla propria cassetta degli attrezzi necessari per affrontare anche gli studi successivi di matematica. Ripassiamo in questo appunto, come si effettua la scomposizione della somma e della differenza di due cubi, la regola di Ruffini e il trinomio particolare.
Scomposizione dei polinomi in fattori primi
Studiando i numeri naturali abbiamo visto che ognuno di essi può essere scomposto in fattori primi. Per i polinomi vale una proprietà analoga. La scomposizione in fattori di un polinomio è il procedimento tramite il quale, si può scrivere un polinomio come prodotto di altri polinomi di grado inferiore.
Dato il monomio
[math]3a^3b[/math]
, osserviamo che è già scritto come prodotto di tre fattori:il numero intero 3,
la lettera a elevata alla terza potenza,
la lettera b.
Esaminiamo ora il seguente binomio
[math]25a^2-b^2[/math]
, in questo caso non abbiamo un prodotto, ma la differenza di due quadrati esatti. La differenza di due quadrati si scompone nel prodotto di due fattori di cui uno è la somma delle basi dei quadrati, l'altro è la loro differenza. In simboli matematici vale la seguente regola generale:[math]a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)[/math]
Vediamo qualche esempio:
[math]16y^2-x^2=(4y+x)\cdot(4y-x)[/math]
[math]y^4-9z^2=(y^2+3z)\cdot(y^2-3z)[/math]
Ricordiamo che la somma di due quadrati non è un prodotto notevole e quindi non è riducibile in fattori primi.
Lo scopo della scomposizione in fattori è quello di trasformare una somma algebrica in un prodotto, se ciò è possibile, i polinomi fattori sono sempre di grado inferiore rispetto al polinomio iniziale.
Quando la scomposizione non è eseguibile il polinomio di partenza si dice irriducibile.
Somma e differenza di due cubi
Nel caso di due cubi si può scomporre sia la somma che la differenza. Le regole di scomposizione sono le seguenti.
La somma di due cubi è uguale al prodotto di due fattori: un binomio di primo grado e un trinomio di secondo grado
Il binomio è costituito dalla somma delle due basi dei cubi, il trinomio è costituito dal quadrato della prima base, dal quadrato della seconda base e dal loro prodotto cambiato di segno, per questo motivo viene anche chiamato falso quadrato perché non c’è il doppio prodotto come in un quadrato di binomio.
Scriviamo la regola in simboli matematici:
[math]a^3+b^3=(a+b)\cdot (a^2-ab+b^2)[/math]
La differenza di due cubi viene scomposta in maniera analoga, nel binomio abbiamo però il segno meno tra le due basi dei cubi, nel falso quadrato troviamo il segno positivo davanti al prodotto delle due basi dei cubi.
Scriviamo la regola in simboli matematici:
[math]a^3-b^3=(a-b)\cdot (a^2+ab+b^2)[/math]
Trinomio particolare
Alcuni trinomi di secondo grado si possono scomporre anche se non sono lo sviluppo esatto di un quadrato di binomio.
Un trinomio particolare o trinomio notevole è un trinomio di secondo grado che può essere scomposto nel prodotto di due binomi come segue:
[math]x^2+sx+p=(x+a)(x+b)[/math]
Dove i coefficienti a e b, sono due numeri reali tali che la loro somma è uguale al coefficiente del termine di primo grado indicato con la lettera s, e il loro prodotto è uguale al termine noto del trinomio indicato con la lettera p.
Vediamo un’applicazione pratica per capire come funziona la regola di scomposizione.
Consideriamo il seguente trinomio:
[math]x^2+8x+7[/math]
il coefficiente del termine di primo grado è 8, il termine noto è 7.
Per scomporre il trinomio come prodotto di due binomi dobbiamo determinare due numeri tali che la loro somma valga +8 e il loro prodotto +7.
L'unica possibile coppia di numeri è costituita dall'1 e dal 7, poiché anche la somma è positiva, i due numeri sono concordi in segno e sono entrambi positivi.
Possiamo allora scrivere il trinomio scomposto come segue:
[math]x^2+8x+7=(x+1)(x+7)[/math]
Regole per attribuire i segni, esempi svolti
Ricordiamo alcune semplici regole per assegnare correttamente il segno a due numeri relativi.
Se il termine noto è positivo significa che i due numeri sono concordi in segno, entrambi positivi oppure entrambi negativi.
Il segno del termine somma ci dà la conferma sul segno da attribuire:
- se la somma è positiva allora i due numeri sono entrambi positivi;
- se la somma è negativa allora i due numeri sono entrambi negativi.
Se il termine noto è negativo significa che i due numeri sono discordi, il segno del termine somma ci fa capire come attribuire il segno corretto ad entrambi:
- se la somma è positiva, attribuiamo il segno positivo al maggiore dei due in valore assoluto.
- se la somma è negativa, attribuiamo il segno negativo al maggiore dei due in valore assoluto.
Vediamo altri esempi
- [math]x^2-8x+7[/math]
- [math]s=-8\\,\\ p=+7[/math]
- p>0, numeri concordi
- s<0, entrambi negativi
- [math]x^2-8x+7=(x-1)(x-7)[/math]
Esempio 1
- [math]x^2-6x-7[/math]
- [math]s=-6\\,\\ p=-7[/math]
- p<0, numeri discordi
- s<0, il maggiore è negativo
- a=+1; b=-7
- [math]x^2-6x-7=(x+1)(x-7)[/math]
Esempio 2
Ricerca dei divisori di un polinomio, teorema di Ruffini
Se un polinomio da scomporre non rientra in alcun caso di prodotti notevoli, si possono cercare i suoi eventuali divisori utilizzando il criterio di divisibilità noto come teorema di Ruffini.
Un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x-a) se e solo se P(a)=0.
I valori di a sono gli zeri del polinomio, cioè valori che sostituiti alla variabile x, verificano l’identità P(a)=0.
Questi valori, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto del polinomio P(x) quando il coefficiente del termine di grado massimo del polinomio è uguale ad 1.
Naturalmente la regola può essere estesa anche al caso in cui il polinomio abbia coefficiente del termine di grado massimo diverso da uno. In tal caso i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto e fra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo.
Il metodo di scomposizione include quindi il teorema e la regola di Ruffini cercando due espressioni letterali che hanno come prodotto il polinomio stesso.
Il binomio è il divisore, con la regola di Ruffini si trova il polinomio quoziente Q(x), in modo che il polinomio iniziale può essere scritto come prodotto di questi due:
[math]P(x)=Q(x)\cdot (x-a)[/math]
Applicazione numerica sulla regola di Ruffini
Scomponiamo il seguente trinomio di terzo grado:
[math]x^3-x-24[/math]
Troviamo per prima cosa i possibili zeri:
Il coefficiente del termine di grado massimo è 1 quindi esaminiamo solo i possibili divisori del termine noto.
Divisori di 24: {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24 }
Ora, c'è da applicare il teorema e la regola di Ruffini (vedi svolgimento in allegato).
a=3 è uno zero del polinomio, il binomio divisore è (x-3)
Effettuando la divisione con la regola di Ruffini, troviamo il polinomio quoziente Q(x) che è un trinomio di secondo grado.
La scomposizione del polinomio è la seguente:
[math]x^3-X-24=(x^2+3x+8)(x-3)[/math]
Prima di concludere la scomposizione dobbiamo sempre controllare se il trinomio di secondo grado che abbiamo ottenuto e riducibile oppure no, possiamo constatare dato che non si tratta né di un quadrato di binomio né di un trinomio particolare, la scomposizione è così effettuata e portata a termine.
per ulteriori approfondimenti sulle scomposizioni fattori dei polinomi vedi anche qua
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