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Appunto di matematica che in allegato fornisce un'analisi ed uno studio delle proprietà delle funzioni relativamente a:
- concetto di funzione;
- dominio;
- codominio;
- funzioni iniettive, suriettive e biettive;
- funzioni crescenti, decrescenti e monotone;
- funzioni pari e funzioni dispari;
- funzione periodica;
- funzione inversa;
- funzioni composte.
Le funzioni e le loro proprietà
⟶
f : A B
Dati due insiemi, A e B, definiamo funzione, qualunque legge matematica che associ ad ogni
elemento dell’insieme A uno e un solo elemento dell’insieme B. L’insieme A viene chiamato
dominio della funzione.
Data una funzione f si chiama dominio l’insieme dei valori che ammettono un corrispondente
attraverso la funzione.
⟶
f : A B sull’insieme di partenza e di arrivo.
↦
f : A B sull’elemento generico dell’insieme di partenza e di arrivo.
(x)
y=f immagine di x e x è controimmagine di y.
Definiamo codominio di una funzione l’insieme delle immagini.
Definiamo controimmagine di un elemento dell’insieme di arrivo è il corrispondente dell’elemento
dell’insieme di partenza.
Classificazione delle funzioni funzioni
goniometric
funzioni he
trascendent logaritmi e
i esponenzial
i
Funzioni radicali con
funzioni x ad
irrazionali argomento
funzioni
algebriche polinomi
funzioni
razionali frazioni di
polinomi
In funzioni complesse, la trascendente ha la classificazione.
- La funzione viene definita algebrica se contiene solamente operazioni di addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice.
Razionale:
o intera (o polinomiale): se è espressa mediante un polinomio di primo grado
(lineare) o di secondo grado (quadratica);
fratta: se è espressa mediante quozienti di polinomi;
Irrazionale: se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice.
o
- La funzione, se non è algebrica, viene detta trascendente.
Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive
Una funzione da A a B si dice:
Iniettiva: se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B o se ogni
o elemento di B proviene al più di un elemento di A.
⟶ ⇒ ( ) ( )
f : A B iniettiva se x ≠ x f x ≠ f x
1 2 1 2
Suriettiva: se ogni elemento B è immagine di un elemento di A.
o ⟶ ∀ ∈ ∈ (a)
f : A B suriettiva se b B∃ a A : b=f
Biiettiva/corrispondenza biunivoca: se la funzione è sia iniettiva che suriettiva.
o
Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti, le funzioni
monotone
Una funzione si dice monotona quando o è sempre crescente oppure è sempre decrescente.
Analoga definizione può esser data per una funzione monotona in senso lato.
Le funzioni pari e le funzioni dispari
( )=f
( ) (−x)
f x
y=f x
Una funzione si dice pari in D se per qualunque x appartenente a D.
(−x )=−f
( ) ( )
f x
y=f x
Una funzione si dice dispari in D se per qualunque x appartenente a
