Geometria nella mente, geometrie degli spazi

I GEOMETRIA NELLA MENTE

Perché geometria nella mente?

Il concetto di geometria non euclidea compare nel momento in cui si

rinuncia alla naturale idea che i concetti espressi dalle geometria siano

solamente una descrizione di oggetti e fenomeni del mondo fisico. Questo è

dovuto al fatto che la geometria euclidea si basa su ipotesi verificabili nella

realtà, nel momento in cui una di queste dovesse venire meno si produrrebbe

un modello geometrico diverso da quello reale e quindi conseguentemente

non riscontrabile. Il passaggio concettuale dinnanzi a cui ci troviamo è

molto sottile, per esempio, la definizione di retta è un modo utile di parlare

di fili tesi o i fili tesi sono un modello utile delle rette?

Se considerassimo vera la prima ipotesi, i teoremi geometrici sulle rette

sarebbero semplicemente una tecnica per indagare sui fili tesi e sulle loro

proprietà.

Viceversa, se considerassimo vera la seconda, otterremmo che le proprietà

delle rette dovranno essere dedotte dai postulati e non più o meno evidenti

proprietà dei fili tesi...

Geometria nella mente, quindi, in quanto distaccata dalla “normale” e

comune idea di realtà, assoluta nel significato etimologico della parola. Le

geometrie non euclidee sono prive di contraddizioni logiche al loro interno,

nonostante spesso risultino contro intuitive e apparentemente

sistemi a sé, anche se come vedremo esse troveranno diverse applicazioni

nel Novecento, ma questa è tutta un’altra storia…

Breve digressione filosofica: Immanuel Kant

“Tempo e spazio sono pertanto due fonti del conoscere, dalle quali possono

essere attinte varie conoscenze sintetiche, come segnatamente ce ne

a priori

da uno splendido esempio la matematica pura, rispetto alla conoscenza

dello spazio e dei suoi rapporti. Essi cioè sono, tutte e due, forme pure di

tutte le intuizioni sensibili; e così rendono possibili proposizioni sintetiche a

priori”

(Immanuel Kant, CRP, Estetica Trascendentale §7)

Con queste parole il filosofo tedesco Immanuel Kant afferma, nel 1781, la

possibilità di pensare il tempo e lo spazio esclusivamente come intuizioni

pure a priori; infatti solamente in questo modo, si può spiegare e giustificare

la possibilità di concepire la matematica pura.

Prolegomeni ad ogni futura metafisica,

Come scrive nei la matematica deve

costruirli,

prima rappresentare tutti i suoi concetti, ossia nell’intuizione. La

geometria pone a fondamento l’intuizione pura dello spazio.

-6-

Erroneamente viene attribuita a Kant una visione euclidea dello spazio, il

Köenigsberg, 5

filosofo di come spiega bene Piero Martinetti , aveva

Scienza di tutte le forme possibili dello spazio

preveduto una prevedendo

altre eventuali forme dell’intuizione.

Il Martinetti continua inoltre riportandoci l’opinione di Georg Rimmel, che

riprende perfettamente la precedentemente decritta:

“Gli assiomi geometrici sono così poco necessari logicamente come la

legge

causale; si possono pensare spazi, e quindi geometrie, in cui valgono

tutt'altri

assiomi che i nostri, come ha mostrato la geometria non euclidea nel secolo

dopo Kant. Ma essi sono incondizionatamente necessari per la nostra

6

esperienza, perché essi solamente la costituiscono. Helmholtz errò quindi

completamente nel considerare la possibilità di rappresentarci senza

contraddizione spazi nei quali non valgono gli assiomi euclidei come una

confutazione del valore universale e necessario di questi, da Kant

affermato. Infatti l'apriorità kantiana significa solo universalità e necessità

per il mondo della nostra esperienza, una validità non logica, assoluta, ma

ristretta alla cerchia del mondo sensibile. Le geometrie antieuclidee

varrebbero a confutare l'apriorità dei nostri assiomi solo quando qualcuno

fosse riuscito a raccogliere le sue esperienze in uno spazio pseudo-sferico, o

a riunire le sue sensazioni in una forma di spazio nel quale non valesse

l'assioma delle parallele”.

Le geometrie non euclidee vengono quindi scorrettamente definite un

“corpo mortale” inferto alla filosofia kantiana, e costituiscono un pretesto

per eliminare il ruolo dell’intuizione geometrica.

«In un certo senso possiamo affermare che la scoperta della geometria non

euclidea inferse un colpo mortale alla filosofia kantiana, paragonabile alle

conseguenze che la scoperta di grandezze incommensurabili ebbe per il

7

pensiero pitagorico» . 8

"sciocchezza filosofica”

Fa eco a tale autentica il noto testo divulgativo di

«l'esistenza della geometria non euclidea rende

9

Herbert Meschkowski :

impossibile all'uomo moderno di restare fermo alla concezione spaziale di

Platone e di Kant».

5 Lezioni su Kant, svolte presso l'Università di Torino tra il 1924 e il 1927; Feltrinelli,

Milano, 1968, p. 47.

6 Sarà trattato nei paragrafi successivi.

7 Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, New York, 1968; trad. it.

Storia della

matematica, I.S.E.D.I., Torino, 1976; Oscar Mondadori, Milano 1980, 1990, pp. 621-622.

8 Gauss, che riteneva la geometria di origine empirica, e voleva verificare con esperimenti

ottici se lo "spazio reale" fosse euclideo.

9 Noneuclidean Geometry,

H. Meschowski, Academic Press 1964 e Herbert Meschkowski,

Mutamenti nel pensiero matematico, Boringhieri, Torino, 1973, p. 87.

-7-

Approccio matematico

Riemann e la geometria della sfera

“Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in

comune” da questo assioma si può quindi concludere che in questa

geometria non esistono rette parallele, inoltre sostituendolo nel sistema

hilbertiano, otteniamo un sistema

contradditorio.

Mentre la geometria euclidea piana si

dimostra senza far uso degli assiomi della

10

parallela , l’assioma di Riemann asserisce

che non esistono rette parallele, questa

contraddizione mostra che bisogna apportare

ulteriori modifiche al sistema degli assiomi

della geometria euclidea, in modo da

eliminarne l’incoerenza.

Dall'introduzione dell'assioma di Riemann si

possono ottenere, a seconda delle modifiche

apportate agli assiomi, due geometrie: una

11

detta sferica ed una detta ellittica. ’

Il primo caso lo si ottiene se le due rette hanno due punti P e P in comune

distinti, il secondo se questi coincidono. Nonostante ciò i modelli nel loro

complesso sono molto simili.

Le principali caratteristiche di questa geometria sono:

1. le rette sono chiuse;

2. due punti antipodali dividono una retta passante per essi in due parti

congruenti;

3. tutte le rette sono congruenti, hanno tutte la stessa lunghezza (finita);

4. per due punti passa almeno una retta, per coppie di punti antipodali ce ne

possono essere infinite;

5. tutte le rette che passano per un punto dato passano anche per il suo

antipodale;

6. non esistono triangoli o poligoni simili con aree differenti;

7. non esistono rettangoli;

8. il teorema di Pitagora non vale, ma si avvicina al vero col tendere a zero

dell'area del triangolo;

9. due rette qualsiasi hanno un unica perpendicolare in comune;

L’ultimo punto (10) è sicuramente uno dei più affascinati ed introduce la

figura del triangolo sferico. Si definisce triangolo sferico, una porzione di

10

Infatti per un punto passa almeno una retta parallela a una retta data.

Evandro Agazzi e Dario Palladino, Le geometrie non euclidee e i fondamenti della

geometria, Edizioni Scientifiche e Tecniche Mondatori, Milano, 1978

11 Secondo la nomenclatura introdotta da Klein.

-8-

sfera delimitata da tre “rette”, cioè da tre circonferenze massime, tre punti

della sfera determinano tre “rette” e conseguentemente quattro triangoli

sferici (Fig. 2).

La somma degli angoli α,β,γ

non vale 180° come avviene nel piano, ma è

variabile e comunque sempre superiore a 180°.

Si definisce ECCESSO SFERICO la differenza tra la somma delle misure in

π

radianti dei tre angoli e la costante , essa e positiva e non > di 2π

:

(α+β+γ

)- π≤

2π(1)

Inoltre l’area del triangolo sferico 3

(T), fissato il raggio (R) della sfera

su cui lavorare, è proporzionale al 4 1

suo eccesso sferico, vale a dire:

2

Area(T)=R * ECCESSO SFERICO 2 Fig. 2

Un’ altra importante osservazione è 2

S

che, mentre il piano euclideo è infinitamente esteso, la sfera ha area

finita.

La geometria sferica fu inoltre utilizzata da Albert Einstein nella trattazione

della relatività generale, infatti la utilizzò nella compilazione delle equazioni

12

gravitazionali .

Nella conferenza di Kyoto del 1922 Einstein affermò:

“Se tutti i sistemi sono equivalenti allora la geometria euclidea non può

valere in ciascuno di essi. Abbandonare la geometria e conservare le leggi

fisiche è come descrivere i pensieri senza parole. Bisogna cercare le parole

prima di poter esprimere i pensieri. Che cosa si doveva cercare a questo

punto? Tale problema rimase insolubile per me fino al 1912, quando

all'improvviso mi resi conto che la teoria di Gauss delle superfici forniva la

chiave per svelare questo mistero. Compresi che le coordinate di una

superficie di Gauss avevano un profondo significato. Non sapevo però a

quell'epoca che Riemann aveva studiato i fondamenti della geometria in

maniera ancora più profonda. [...] Mi resi conto che i fondamenti della

geometria avevano un significato fisico. Quando da Praga tornai a Zurigo,

vi trovai il matematico Grossmann, mio caro amico: da lui appresi le prime

13

notizie sul lavoro di Ricci e in seguito su quello di Riemann”

12 La formula che riassume le equazioni di campo è espressa dalla relazione:

dove :

R : tensore di curvatura di Ricci,

μν

R: scalare di curvatura di Ricci,cioè la traccia di R

ik

g : tensore metrico,

μν

Λ

: costante cosmologica,

T : tensore stress-energia,

μν

c: velocità della luce, g

G: costante di gravitazione universaleIl tensore descrive la metrica dello spazio-tempo

μν

ed è un tensore simmetrico 4x4, che quindi ha 10 componenti indipendenti; date le 4

coordinate utilizzate, le equazioni indipendenti si riducono a 6.

Antonio Caforio e Aldo Ferilli, Nuova Physica 2000, Le Monnier

13 http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/File/frmset_benvenuto.htm

-9-

La geometria iperbolica

Saccheri per tutta la vita cercò di dimostrare il postulato della parallela,

senza però riuscirvi, dopo numerosi e vani tentativi concluse in questo

modo:

“L’ipotesi d’angolo acuto è assolutamente falsa; essa ripugna la natura

14

della linea retta.”

In realtà Saccheri aveva cercato di dimostrare il V postulato per assurdo, ma

non era “incappato” in nessuna contraddizione logica: nasceva la geometria

iperbolica.

Esistono tre principali modelli di geometria iperbolica:

1. Il modello di Klein;

2. Il modello a disco di Poincaré;

3. Il modello di Minkowski,

Il modello di Klein e quello di Poicaré sono molto simili, li tratteremo

perciò insieme; gli elementi della geometria iperbolica vengono interpretati

nel seguente modo:

Piano: un cerchio euclideo, esclusa la circonferenza;

Punti: i punti interni alla circonferenza;

Rette: le corde, compresi i diametri, ovviamente esclusi gli estremi;

In questo modo, data una retta ed un punto non appartenente ad essa,

esistono infinite rette parallele ad essa, cioè che non la intersecano, in

accordo con la negazione del quinto postulato di Euclide, che è un assioma

fondamentale della geometria iperbolica. Questo modello, seppure semplice

da descrivere, presenta dei problemi, in particolare per quanto riguarda il

concetto di angolo: non è possibile infatti dare la stessa definizione di

angolo che si dà nel piano euclideo.

Il modello di Minkowski, impiega un iperboloide N-dimensionale di

rotazione immerso in uno spazio euclideo N+1-dimensionale. Questo

modello impiega una metrica per cui la distanza tra due punti qualsiasi sull'

iperboloide è:

ossia la stessa metrica usata nella relatività speciale per descrivere lo

15

spaziotempo.

14 Saccheri (1773) Prop. XXXIII e Roger Penrose, La strada che porta alla realtà, BUR

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Lobacevskij

Nikolaj IvanovičLobacevskij è stato il più illustre matematico che si è

occupato dei fondamenti della geometria euclidea, fu professore dal 1827 al

1846 presso l’università russa di Kezan, tra i suoi scritti più famosi

Sui fondamenti della geometria Geometria immaginaria

ricordiamo (1829),