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Funzione Monotona in un Intervallo
Ci proponiamo ora di caratterizzare le proprietà del limite di funzioni che risultino monotone in un intervallo.
Innanzitutto, come per le successioni, anche per le funzioni vale il seguente Teorema sul limite delle funzioni monotone:
Sia f(x) una funzione monotona nell'intervallo [a, x0]. Come si suol dire, monotona a sinistra del punto x0. Vale la seguente legge:
lim f(x) = sup{f(x) | x < x0} se f è crescente in [a, x0]
lim f(x) = inf{f(x) | x < x0} se f è decrescente in [a, x0]
Rinviamo per motivi di brevità la dimostrazione ricordando che tale dimostrazione è simile a quella che abbiamo fatto per le successioni.
Osservazione 1: Se x0 è l'estremo destro dell'intervallo [a, x], allora:
lim f(x) = lim f(x-) se x -> x0-
Osservazione 2:
(notevole) 9 a, bSupponiamo che la funzione f sia crescente nell’intervallo . Per il teorema sullimite delle funzioni monotone risulta allora lim f ( x ) sup f f (b ) x b a , bEvidentemente se vale l’uguaglianza f è continua in b, se invece vale ladisuguaglianza stretta f ha in b una discontinuità eliminabile.Osservazione 3 (notevole) xAbbiamo enunciato il teorema supponendo f monotona a sinistra del punto ma è0 x x , b xevidente che i risultati sussistano anche a destra di e cioè in con . In0 0 0tal caso valgono le implicazioni: x , b lim f ( x ) inf ff crescente in 0 x , bx x 00 x , b lim f ( x ) sup ff decrescente in 0 x x x , b0 0 x a , ba, bNe segue che, se f è crescente nell’intervallo compatto se se allora0xesistono finiti i limiti sinistro e destro di f
in e si ha (cfr. figura pag.18)0≤ ≤ =l lim f ( x ) f ( x ) lim f ( x ) l1 0 2− +→ →x x x x0 0
Evidentemente se almeno una di queste due disuguaglianze è stretta (cioè non valexl'uguale) allora f ha in una discontinuità di prima specie, altrimenti f è continua0 [ ]x a, bin . Analogamente se f è decrescente in0
Dal teorema sui limiti delle funzioni monotone, tenendo presente il diagramma, sideducono facilmente i seguenti limiti notevoli delle funzioni elementari:(v. pag. 18 e 19 con i grafici)
Criterio di continuità delle funzioni monotone
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I qualsiasi ed ivi monotona. Valel'implicazione ⇒(il condominio di f(x) è un intervallo) ( f(x) è continua in I)
Dim. 10[ ]a, bSupponiamo, per fissare le idee, f(x) crescente in . Osserviamo che in tal caso[ ] [ ]( )≤ ≤ ∀ ∈ ⊃f ( a ) f ( x ) f (b ), x a , b f [ a , b ] f ( a ), f (b )per la
log x è una funzione che per condominio ha un intervallo come le funzioni, oppure è noto che il suo insieme di definizione si può scomporre in intervalli in ciascuno dei quali la funzione è monotona ed ha per condominio un intervallo. Ciò accade per la sin x, cos x, tan x, cot x e potenza ad esponente intero con n pari.
In ogni caso, per il criterio di continuità delle funzioni monotone, ogni funzione elementare è continua.
8) TEOREMA SUL LIMITE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
È molto importante per le applicazioni il seguente risultato:
Teorema (sul limite delle funzioni composte)
Siano f(x) una funzione definita in X e a valori in Y e g(y) una funzione definita in Y.
Consideriamo la funzione composta mediante tali funzioni che risulta definita in X.
Vale la seguente implicazione:
- Se lim f(x) = 0 quando x → 0, allora lim g(f(x)) = l0 quando x → 0.
- Se lim g(y) = l quando y → 0, allora lim g(f(x)) = l quando x → 0.
- 0⟶ → y y 0Dim.( )x x
- Sia una qualsiasi successione di punti di X approssimante . Per l'ipotesi 1) e il teorema ponte (implicazione a destra) risulta ≠ ∀ ∈lim f ( x ) y f ( x ) y n Nen 0 n 0n ≠ ∀ ∈y f ( x ), n NCongruentemente, posto si han n ≠ ∀ ∈ lim y yy y , n N e n 0n 0 n( ) ( )=y f ( x )E la successione è dunque una successione di punti di Y approssimanten ny .0Per l'ipotesi 2) e il teorema ponte (implicazione a destra) risulta ancora ≠lim g ( y ) lnnRaccogliendo abbiamo provato , sfruttando le ipotesi 1) e 2) e il teorema ponte duevolte, che ( ) =lim g f ( x ) lnn( )x xPer ogni successione di punti di X approssimanti .n 0Per il teorema ponte (implicazione a sinistra stavolta) si conclude che ( ) =lim g f ( x ) l→x x 0E cioè la tesi.
- Osservazione (notevole)Si noti che il teorema sul limite delle funzioni composte esprime che, se le ipotesi a sinistra dell'implicazione sono valide, risulta: (
- lim g(f(x)) = lim g(y) = lim g(y) quando x tende a 0
- lim f(x) quando x tende a 0
- lim g(f(x)) quando x tende a 0
Tale uguaglianza, dal punto di vista pratico, mostra che per calcolare il limite della funzione composta basta porre nel simbolo y in luogo di x e sostituire con 0.
Quando si effettuano tali operazioni si dice che il limite si calcola con la sostituzione. (v. esempio a pag. 23)
Osservazione 2
Dal teorema sul limite delle funzioni composte si trae in particolare:
lim f(x) quando x tende a 0 implica:
lim g(f(x)) = lim g(y) quando x tende a 0
Ovvero, la funzione composta mediante funzioni continue è a sua volta continua.
9) ESERCIZI SUI LIMITI DI ESPRESSIONI ELEMENTARI (v. pag. 23 a 26)
Sono presentati diversi esempi di calcolo del limite per
- ALCUNI TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE IN UN INTERVALLO
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo I qualsiasi e siano due punti di I, a e b, tali che f(a) < 0 e f(b) > 0. Essendo il diagramma di f(x) una curva priva di interruzioni perché priva di discontinuità, è intuitivo che il pezzo di diagramma di f che si estende nell'intervallo [a, b] deve intersecare l'asse x in qualche punto.
Siccome i punti in cui un diagramma interseca l'asse x sono i punti in cui la funzione si annulla, possiamo affermare che la funzione f(x) nell'intervallo [a, b] deve annullarsi in qualche punto.
Naturalmente questo ragionamento non può valere come dimostrazione perché non è stata data una definizione quantitativa della continuità, tuttavia è una qualificazione intuitiva del seguente importantissimo Teorema degli zeri:
Teorema degli zeri: Una funzione f(x) la quale sia
continua in un intervallo compatto e che assume valori di segno opposto negli estremi di [a, b]. Si annulla in almeno un punto interno di [a, b]. Vale cioè la seguente implicazione:Se f è continua in [a, b], allora esiste almeno un punto x in (a, b) tale che f(x) = 0.Rinviamo la dimostrazione per motivi di brevità. Utilizzando il teorema degli zeri dimostriamo il seguente: Teorema di esistenza dei valori intermedi Una funzione f continua nell'intervallo compatto [a, b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). Dim. Se il teorema è vero perché la funzione assume l'unico valore f(a) = f(b). Viceversa, supponiamo e consideriamo la funzione ausiliaria g(x) = f(x) - y, con y compreso tra f(a) e f(b). Se g(a) < 0 e g(b) > 0, allora per il teorema degli zeri esiste un punto c in (a, b) tale che g(c) = 0, ovvero f(c) = y. Se g(a) > 0 e g(b) < 0, allora per il teorema degli zeri esiste un punto c in (a, b) tale che g(c) = 0, ovvero f(c) = y. Essendo y compreso tra f(a) e f(b), per il teorema degli zeri esiste un punto c in (a, b) tale che f(c) = y.
<p>ƒ − ƒ = ƒx a , b g ( x ) f ( x ) y 0 f ( x ) y punto tale che e cioè tale che . Si conclude 0 0 0 0 0 0 y y che f(x) assume il valore . Dall’arbitrarietà di segue la tesi. 0 0 Consideriamo, ancora, il diagramma di una funzione f continua in un intervallo [a, b] compatto. Essendo tale diagramma privo di interruzion</p>
