Funzioni continue e teoremi sulla continuità

Verifica della continuità uniforme

Consideriamo una funzione f definita su un intervallo I. Se f è uniformemente continua, allora per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni coppia di punti x e y in I con |x - y| < δ, si ha |f(x) - f(y)| < ε.

Intuitivamente, se c'è una piccola variazione nella misura di x, comporta una piccola variazione nella misura di f(x). Questo significa che la funzione f è continua in modo uniforme.

Verifichiamo anzitutto se i punti x e y sono molto vicini. Se lo sono, allora f(x) e f(y) devono essere molto vicini. In altre parole, se |x - y| è molto piccolo, allora |f(x) - f(y)| deve essere molto piccolo.

Per verificare se una funzione è uniformemente continua, dobbiamo soddisfare una condizione particolare. Se questa condizione non è verificata, allora la funzione non è uniformemente continua.

Il teorema di Cantor ci dice che se una funzione è continua su un insieme compatto, allora è uniformemente continua.

Quindi, per verificare la continuità uniforme di una funzione, dobbiamo controllare i punti

Discontinuità

Discontinuità a eliminabile

se f(x) è tale che

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Teoremi sulle funzioni Continue

Teorema di Weierstrass

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