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Dimostrazione del limite

Da questo limite segue che anche:

( ) x1 =ⅇlim 1+ xx →−∞

Per ricondurci al limite che abbiamo appena dimostrato, adoperiamo un cambiamento di variabile, e diy=−x conseguenza see il limite diventa:

=+∞x →−∞⇒ y( ) ( ) ( )− −x y y1 1 y−1= = =¿lim 1+ lim 1− limx y yx →−∞ y →+∞ x→+ ∞

( ) ( ) ( ) +1y y−1−1+y y 1 1= = =¿lim lim lim 1+y−1 y−1 y−1x →+∞ y →+∞ x→+ ∞

( ) ( )y−11 1lim 1+ 1+y−1 y−1x →+∞

Sia , se ,⇒z= y−1 y=+∞ z →+ ∞

( ) ( )z1 1 .⋅ =ⅇlim 1+ 1+z zz →+ ∞

Limite notevole1x( ) =ⅇlim 1+ xx→ 0

Per ricondurci ai limiti notevoli visti, adoperiamo un1 1cambiamento di variabili: .⇒y= x=x y

A questo punto osserviamo che:⇒+¿ y=+ ∞

1. Se .¿x →0⇒−¿ y=−∞

Se x=0, quindi distinguiamo i due limiti: \lim_{{x \to 0^+}} \frac{{e^x}}{{1+x}} = e^0 = 1 \lim_{{x \to 0^-}} \frac{{e^x}}{{1+x}} = e^0 = 1 Limite notevole logaritmo: \lim_{{x \to 0}} \log(1+x) = \log(1) = 0 Dimostrazione: \lim_{{x \to 0}} \log(1+x) = \lim_{{x \to 0}} \frac{{\log(1+x)}}{{x}} \cdot x = 1 \cdot 0 = 0 In generale, se a>0, a \neq 1: \lim_{{x \to 0}} \log_a(1+x) = \log_a(a) = 1 Limite notevole esponenziale: \lim_{{x \to 0}} \frac{{a^x - 1}}{{x}} = \log(a) Dimostrazione: Adoperiamo un cambiamento di variabile: y = a^x \Rightarrow x = \log_a(y) Quindi se x \to 0, allora y \to 1: \lim_{{x \to 0}} \frac{{a^x - 1}}{{x}} = \lim_{{y \to 1}} \frac{{\log_a(y)}}{{\log_a(y) - 1}} = \lim_{{y \to 1}} \frac{{\log_a(y) + 1}}{{\log_a(y)}} = \lim_{{y \to 1}} \frac{{\log_a(y+1)}}{{\log_a(y)}} = \frac{{\log_a(1+1)}}{{\log_a(1)}} = 1 Analogamente, se x \to 0, allora a^x \to a^0 = 1: \lim_{{x \to 0}} \frac{{a^x - 1}}{{x}} = \lim_{{y \to 1}} \frac{{y - 1}}{{\log_a(y)}} = \lim_{{y \to 1}} \frac{{\log_a(y+1)}}{{\log_a(y)}} = \frac{{\log_a(1+1)}}{{\log_a(1)}} = 1

lim y → 0 (1 + 1/x) = log a(ⅇx) + log(y+1) / log(y)

lim α → 0 (1 + x) = log(1 + x) / log(1)

Quindi: lim α → 0 (log(1 + x) / log(1)) = log(1 + x)

lim x → 0 (log(1 + x) + xlog(1/ⅇ)) = log(1 + x)

lim α x → 0 (log(1 + x) / x) = 1

lim x → 0 (log(1 + x) + xlog(1/ⅇ)) = 0

lim α x → 0 (log(1 + x) / x) = 0

Per risolvere il primo limite adoperiamo un cambio di variabile: y = α log(1 + x)

Quindi, lim x → 0 y → 0 (1 + x)α log(1 + x) = 0

lim x → 0 (1 + x)α log(1 + x) = 0

Ricorda:

Un caso particolare di questo limite è il caso in cui lim α x→0 (1+ x-1)1/x = eα

Come già fatto per i primi limiti notevoli, riscriviamo anche questi ultimi limiti in termini di "o piccolo" e di asintotico.

Esempio:

lim x→+∞ (-x)ⅇsinx = 0

Adoperiamo un cambio di variabile: e se -x⇒x→+∞, y→0

y = lim x→+∞ (-x)ⅇsin y

Quindi il limite diventa: lim y→0 (sin y)/y = 1

Questo esempio può essere generalizzato:

lim x→x0 sin(f(x)) = 0

Se lim x→x0 f(x) = 0, allora lim x→x0 sin(f(x)) = 1

Quindi, nel calcolo del limite, quello che conta è il valore a cui tende l'argomento del seno e non la variabile x.

Questo è vero in generale per tutti i limiti notevoli che abbiamo visto, che possono quindi essere iscritti come:

lim x→x0 f(x) = L

Quindi se la funzione f(x) tende a 0, possiamo sostituire tale funzione al posto della x nei

limiti notevoli esfruttare il loro risultato che abbiamo già dimostrato. Nota: per i due limiti che danno come risultato e, in questo caso il denominatore x viene omesso (quindi si considera solo il numeratore per la sostituzione).

Dettagli
Publisher
Alonzi_Alessandro
A.A. 2019-2020
13 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Alonzi_Alessandro di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Diritto della proprietà industriale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi dell' Insubria o del prof Andreano Federica.