Statistica psicometrica

DOMANDE POSSIBILI ALL'ESAME:

- Differenze fra analisi della varianza e t-test

- Differenze analisi della varianza a misure ripetute e analisi della varianza per gruppi indipendenti: rispetto all'obiettivo [Tipo di ipotesi]

L'analisi della varianza per gruppi indipendenti si applica quando abbiamo dei gruppi indipendenti, cioè vogliamo misurare nella nostra ipotesi che ci siano delle differenze fra gruppi indipendenti (es. si vuol dimostrare che diversi livelli di scolarità corrispondono a migliori livelli di capacità verbale -3 lv. discolarità (alta/media/bassa)- misurati in 3 gruppi diversi di soggetti con appartenenza in modo univoco a quella categoria).

Mentre l'analisi della varianza per misure ripetute vuole dimostrare che ci siano delle differenze fra misure ripetute sugli stessi soggetti (es. voglio valutare se a fronte del trattamento effettuato c'è un cambiamento nei soggetti -pre e post-trattamento-)

Quella a

misure ripetute è più potente perché c'è una fonte di variabilità in meno, gli scarti saranno più piccoli, le differenze sono misurate sui soggetti. Un'altra differenza è il calcolo dell'errore (argomentare).- Come vengono calcolati i residui (cosa è importante considerare)- Interazione: che cos'è l'effetto interazione, perché viene analizzato, quali sono le condizioni in cui si può analizzare- Analisi della varianza anche dal punto di vista del calcoloRegressione lineare - Capitolo 24 (prevedere con precisione)Utilizziamo la regressione a scopo statistico, ci serve quindi per dimostrare delle ipotesi. L'analisi della regressione ci permetterà di analizzare una situazione specifica: valutare in un esperimento specifico l'apporto dei fattori che vogliamo studiare (in relazione alla variabile dipendente) rispetto alla casualità. Ci permette di analizzare gli

Effetti di variabili indipendenti (fattori) su delle variabili dipendenti nel momento in cui sia la dipendente che il fattore sono quantitativi (nell'analisi della varianza si hanno variabili qualitative).

La regressione, come il coefficiente di correlazione, riguarda la relazione fra due o più variabili quantitative che secondo il modello lineare sono rappresentabili con una retta di regressione.

Ma, a differenza del coefficiente di correlazione (coppie di variabili), permette la previsione del valore di una variabile dipendente y in funzione del valore del predittore x.

L'analisi della regressione viene anche utilizzata come Modello di funzionamento predittivo dei fenomeni (all'aumentare del fattore vediamo di quanto la var dip aumenta o diminuisce).

Utilizziamo il Modello della retta che andiamo a stimare precisamente: lo utilizziamo se l'analisi della regressione è di tipo lineare (descrivibile tramite una retta, ma non è l'unico).

Andremo a valutare se il modello è efficiente nel rappresentare bene i dati (bontà del modello, somiglianza tra il modello e i dati sperimentali). Poi calcoliamo la significatività, perché grazie alla stima dell'errore possiamo confrontare i nostri dati calcolati nell'esperimento con i dati dell'ipotesi nulla vera (quei dati che rappresentano che non esiste relazione). → Dobbiamo quindi trovare il migliore modello di retta possibile. Capire qual è la miglior retta che rappresenta al meglio i dati sperimentali. Fra i tanti punti nello spazio xy che rappresentano la relazione fra x (fattore) e y possono passare infinite rette. Per scegliere la miglior retta si stabilisce quella che mediamente sta più vicina ai punti (si avvicina a tutti i dati sperimentali). In questo modo si dice che la miglior retta è quella che rappresenta al meglio la variabilità dei punti e che minimizza le distanze fra i punti e i punti della retta.

Equazione della retta: formula da imparare bene

Se esiste una relazione lineare tra le variabili allora la retta che troviamo tramite la formula sarà la retta che descrive al meglio mediamente i nostri dati sperimentali che identificano la relazione tra x e y (cioè i punti di dispersione che competono a ciascun soggetto - punteggio di ciascun soggetto - nella variabile x e nella variabile y).

Formula: a è anche il valore di y quando x=0 se non ci fosse una relazione, al cambiamento di x, y rimarrebbe sempre uguale (b=0, retta parallela all'asse x).

I parametri a e b vanno stimati sulla base della variabilità: si devono riferire a tutti i punti. Stima della loro efficienza rispetto ai dati sperimentali.

Il principio in base al quale vengono determinati i parametri a e b della regressione è il metodo dei minimi quadrati. I parametri a e b minimizzano la somma dei quadrati degli scarti fra i valori della retta e i valori sperimentali.

Esperimento minimizzando le differenze tra il nostro modello della retta e la variabile dipendente che ci interessa analizzare (y). Ottimizzano il modello sulla variabile dipendente: Modello più veritiero rispetto alla previsione che fa sulla y (var dipendente).

Nel momento in cui abbiamo i nostri dati sperimentali e i dati sulla retta, possiamo calcolare sia i singoli scarti sia la SSQ in termini generali. (Forme di variabilità) Per capire quanto incide la casualità nel modello dobbiamo stimare:

• SSQ Totale: data dalla sommatoria di tutte le distanze fra ognuno dei valori della variabile dipendente y (Y, valori reali/misurati) rispetto alla media della Y.i
• SSQ del Modello: non fa riferimento ai dati grezzi di Y, ma a quelli calcolati dal modello (valori calcolati sulla base dei parametri a e b e che vanno a identificare punto per punto il valore di Y sulla retta). Sommatoria delle differenze tra Y' (proiezione del dato sulla retta) e la media di Y.i
• SSQ dei

Residui (errore): data dalla somma dei quadrati delle differenze fra ciascun Ysperimentale (Y ) e il suo corrispettivo punto sulla retta (Y’ ).

Anche qui c’è un parametro che ci indica quanto è grande la variabilità dovuta al modello rispetto aquella dovuta all’errore e avrà una formula che farà riferimento alla distribuzione F: rapporto fra varianze (che hanno distribuzione ChiQuadro) Due variabili ChiQuadro divise per i loro gradi dilibertà ci darà come risultato un parametro a distribuzione F.

[I parametri della regressione] Utilizzati per stimare la retta. Attraverso la retta possiamo stimare quanto il modello è buono/significativo facendo il rapporto tra varianza del modello e varianza dei residui.

I valori dei parametri a e b ci possono indicare sia se c’è una relazione significativa (modello buon predittore della dipendente), sia indicare con precisione di quanto all’aumentare di x

aumenta o diminuisce y (grazie al parametro b). b ci dà il senso della relazione tra x e y, ci dice come è inclinata la nostra retta, partendo da a.

Cov(x,y) Covarianza di x e y / Var(x) Varianza di x

Possiamo quindi ottenere vari valori di b: se b=1 allora la pendenza della retta è di 45°, all'aumentare di un'unità di x, y aumenta di una stessa unità (proporzionalità diretta); se b>1 all'aumentare di 1 di x, y aumenta più veloce; se b<1 all'aumentare di x, y aumenta in modo più lento; se b< 0 all'aumentare di x, y diminuisce (relazione inversa). Il parametro b può quindi assumere infiniti valori.

Errore standard: b è una stima media di quanto aumenta y all'aumentare di x. Valutazione dell'oscillazione casuale, tanto più l'errore standard di b è grande, tanto più ci sarà variabilità nei nostri

Dati retta non efficiente. Dopo aver calcolato i parametri a e b, viene stimata la loro oscillazione casuale attraverso l'errore standard come misura dell'accuratezza della predizione. L'errore standard consente di individuare l'intervallo di confidenza attorno ai parametri, che consiste nel range di valori che ci aspettiamo nella popolazione generale.

[Errore Standard di b] Rapporto fra la somma dei quadrati degli scarti sempre dell'errore inteso come devianza (o somma dei quadrati degli scarti della devianza) tra x e y' del modello (elevati al quadrato) sotto radice e diviso n-2 (questo per i gradi di libertà che tengono conto della media di y e della media di y') il tutto diviso per la sommatoria degli scarti riferiti alla x (sommatoria di tutte le differenze tra x e x medio, elevati al quadrato). L'errore standard di b tiene conto dell'oscillazione casuale del nostro parametro, sia nei termini delle oscillazioni casuali che abbiamo.