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Questa proprietà è molto utile per semplificare il calcolo di convoluzioni di segnali
decomponibili nella somma di segnali più semplici.
E' anche facile dimostrare che se è nota la C (τ), la convoluzione tra x(t - t 0) e y(t - t1) vale
xy
C (τ -t 0- t1). Infatti:
xy ∞ ∞
∫ ∫
= − = − = −
C ( ) x(t -t )
y( t +t )dt x(t)
y( t + t + t )dt C ( t -t )
xy 0 1 0 1 xy 0 1
−∞ −∞
Per calcolare una convoluzione nel dominio del tempo bisogna allora eseguire le seguenti
operazioni in successione:
1) Invertire l'asse di rappresentazione di uno dei due segnali [Si passa cioè da x(t) a x( -t)
oppure da y(t) a y( -t)];
2) sul segnale il cui asse è stato invertito operare una traslazione che è negativa quando
avviene verso sinistra e positiva quando avviene verso destra;
3) calcolare il prodotto tra il segnale traslato e l'altro non traslato;
4) calcolare l'area del prodotto. 2
Esercizio n.1
Calcolare la convoluzione tra i segnali : ∆1/2)
x(t) = A rect (t -
∆1
e ∆2/2)
y(t) = B rect (t -
∆2
∆1 ∆2.
essendo più piccolo di
I due segnali sono riportati nella figura 1.1 x(t) y(t)
B A ∆1 ∆2 t
Fig.1.1
Come sopra ricordato, la prima operazione da fare è quella di invertire l'asse di uno dei due
segnali, ad esempio x(t) (Fig.1.2). x(-t) y(t)
B A
−∆1 ∆2 t
Fig.1.2
Successivamente si deve traslare x (-t); è evidente che traslazioni negative, cioè verso sinistra,
fanno si che non vi siano intervalli di tempo in cui i due segnali x (τ -t) e y(t) siano
contemporaneamente presenti; questo implica che il loro prodotto è sempre nullo e quindi per
τ minore di zero C (τ) è sempre nulla.
xy 3
∆1.
La figura 1.3 mostra la situazione esistente per traslazioni positive e minori di
x(τ-t) y(t)
B A
−∆1+τ τ ∆2 t
Fig.1.3 τ
Gli estremi di integrazione dell'integrale di convoluzione saranno allora 0 e e pertanto si
scriverà : τ τ
ABdt
C (τ) = = AB
xy 0 τ ∆1
La convoluzione cresce linearmente raggiungendo per = il valore AB∆1.
τ ∆1 ∆2
Per compreso tra e si può facilmente osservare come il valore della convoluzione
τ,
rimanga costante; infatti, indipendentemente dal valore di la durata della sovrapposizione dei
∆1
due segnali rettangolari rimane e pertanto il valore della convoluzione è AB∆1.
∆2 + ∆1)
Successivamente per traslazioni comprese tra e (∆2 si realizza la situazione descritta in
fig. 1.4 . ∆2 ∆2 τ)
ABdt (
In questo caso si scriverà: C (τ) = = AB +∆1 -
xy τ − ∆1
τ
Per valori di ancora maggiori si realizza nuovamente la situazione iniziale di segnali non
sovrapposti e quindi la convoluzione è nulla. 4
y(t) x(τ-t)
B A
−∆1+τ ∆2 τ
Fig.1.4
In definitiva si ha: τ ≤ τ + ∆2)
C (τ) = 0 per 0 e per > (∆1
xy τ 0 <τ ≤ ∆1
C (τ) = AB per
xy ∆1 ∆1 <τ ≤ ∆2
C (τ) = AB per
xy + ∆1− τ) ∆2 <τ ≤ + ∆2)
C (τ) = AB (∆2 per (∆1
xy
L’andamento della convoluzione è riportato nella fig.1.5
Si può osservare, e questo vale in generale, che l'intervallo di tempo in cui la convoluzione è
diversa da 0 è pari alla somma degli intervalli in cui sono diversi da 0 i segnali convoluti.
x(t)*y(t) ∆2
ΑΒ∆1
ΑΒ∆1/2 ∆1 ∆2 ∆1+ ∆2 τ
Fig.1.5
∆2
Si dice che l'impulso di fig.1.5 ha una durata in quanto convenzionalmente si assume come
durata di un impulso il tempo che passa tra l'istante in cui, nel tempo di salita, si raggiunge un
5
valore che è il 50% di quello finale e quello, nel tempo di discesa, in cui si raggiunge lo stesso
∆1.
valore. Il tempo di salita e quello di discesa sono in questo caso entrambi uguali a
Un segnale a forma trapezoidale si ottiene come convoluzione di due segnali rettangolari, di cui
uno dura quanto il tempo di salita (∆1) e il secondo ha una durata uguale a quella dello stesso
impulso trapezoidale (∆2). ∆1 ∆2 ∆
Nel caso particolare in cui in cui sia uguale a (si indica con il valore comune), il
trapezio degenera in un triangolo di base 2∆ e altezza AB∆ ; la durata convenzionale - come
∆
sopra definita - è ancora (fig.1.6).
x(t)*y(t)
ΑΒ∆ ∆ 2∆ τ
Fig.1.6
Simbolicamente questo segnale si indica come AB∆tri (t -∆), essendo tri (t) un segnale
∆ ∆
triangolare di ampiezza unitaria e centrato nell'origine. 6
Esercizio n.2
Calcolare la convoluzione tra i segnali : ∆1/2)
x(t) = (At /∆1) rect (t -
∆1
e ∆2/2)
y(t) = B rect (t -
∆2
∆1 ∆2.
essendo più piccolo di
I due segnali sono riportati nella figura 2.1 x(t) y(t)
B A ∆1 ∆2 t
Fig.2.1
La prima operazione da fare è sempre quella di invertire l'asse di uno dei due segnali, anche in
questo caso x(t) (Fig.2.2). x(-t) y(t)
B A
−∆1 ∆2 t
Fig.2.2
Successivamente si deve traslare x (-t); le traslazioni negative, anche in questo caso, fanno si che
non vi siano intervalli di tempo in cui i due segnali x (τ -t) e y(t) siano contemporaneamente
τ
presenti; allora il loro prodotto è nullo e quindi per minore di zero C (τ) è sempre nulla.
xy ∆1.
La figura 2.3 mostra la situazione esistente per traslazioni positive e minori di 7
x(τ-t) y(t)
B A τ ∆2
−∆1+τ t
Fig.2.3 τ.
La regione in cui entrambi i segnali non sono nulli è quella compresa tra 0 e Gli estremi di
τ:
integrazione dell'integrale di convoluzione saranno allora 0 e
τ 1 AB(τ - t)dt
C (τ) =
xy ∆1
0
Per risolvere facilmente questo integrale si può osservare che esso non è altro se non l'area di un
2
τ ∆1; /2∆1
triangolo di base e altezza ABτ/ la sua area pertanto vale ABτ e questo è allora il
valore della convoluzione nell'intervallo di tempo in esame. τ ∆1
La convoluzione cresce in modo parabolico raggiungendo per = il valore AB∆1/2.
τ ∆1 ∆2
Anche adesso per compreso tra e si può facilmente osservare come il valore della
τ,
convoluzione rimanga costante; infatti, indipendentemente dal valore di la durata della
∆1(fig.2.4)
sovrapposizione dei due segnali rettangolari rimane e pertanto il valore della
convoluzione è AB∆1/2. x(τ-t) y(t)
B A τ ∆2
−∆1+τ t
Fig.2.4 8
∆2 + ∆1)
Successivamente per traslazioni comprese tra e (∆2 si realizza la situazione descritta in
fig. 2.5 .
In questo caso si scriverà: ∆2 1 AB(τ - t)dt
C (τ) =
xy ∆1
τ − ∆1 y(t) x(τ-t)
B A −∆1+τ ∆2 τ
Fig.2.5
Si può osservare che, in questo caso , il calcolo dell'integrale di convoluzione coincide con il
+ ∆1− τ),
calcolo dell'area del trapezio rettangolo di altezza (∆2 base maggiore AB e base
− ∆2)/∆1 (per
minore AB(τ calcolare tale valore basta ricorrere alla similitudine dei triangoli).
Allora l'integrale di convoluzione vale: 2 2
+ ∆1− τ)[(τ − ∆2)/∆1+1]/2 = ΑΒ[∆1 − − ∆2) ]/2∆1
C (τ) =AB(∆2 (τ
xy τ = ∆2 τ = ∆1 + ∆2.
La convoluzione assume il valore AB∆1/2 per e vale 0 per
τ
Per valori di ancora maggiori si realizza nuovamente la situazione iniziale di segnali non
sovrapposti e quindi la convoluzione è nulla.
In definitiva si ha: τ ≤ τ + ∆2)
C (τ) = 0 per 0 e per > (∆1
xy 2 /2∆1 0 <τ ≤ ∆1
C (τ) = ABτ per
xy ∆1/2 ∆1 <τ ≤ ∆2
C (τ) = AB per
xy 2 2
ΑΒ[∆1 − − ∆2) ]/2∆1 ∆2 <τ ≤ + ∆2)
C (τ) = (τ per (∆1
xy
Tale andamento è riportato nella fig.2.6 9
x(t)*y(t)
ΑΒ∆1/2 ∆1 ∆2 ∆1+∆2 τ
Fig.2.6
Si può ancora osservare che l'intervallo di tempo in cui la convoluzione è diversa da 0 dura la
somma degli intervalli in cui sono diversi da 0 i segnali convoluti. 10
Esercizio n.3
Calcolare la convoluzione tra i segnali : a (t t )
- - 0
x(t) = A e u- (t -t )
1 0
e b (t t )
- - 1
y(t) = B e u- (t -t )
1 1
a, b sono due quantità positive con a>b. I due segnali sono riportati nella fig. 3.1.
x(t) y(t)
A
B t t t
0 1
Fig.3.1
Come al solito bisogna invertire l'asse di uno dei due segnali prima di operare le traslazioni.
(fig.3.2).
x( - t) y(t)
A
B
_ t t t
0 1
Fig.3.2 11
In questo caso è facile osservare come traslazioni negative conducono ad una convoluzione
nulla, ma questo risultato si ottiene anche per traslazioni positive e inferiori a t 0+ t 1.In entrambi
−
i casi x(τ t) e y(t) non sono mai contemporaneamente diversi da 0.
τ
Per valori di maggiori di t 0+ t la convoluzione non è nulla (Fig.3.3).
1 τ
x( - t) y(t)
A
B
t
_ t τ
t
_ t
0 +
1 0
Fig.3.3
e sarà data dalla espressione: τ
- t +
0 -b (t - t ) - a(τ - t - t )
1 0
e e dt
C (τ) = AB
xy t 1
che dà: τ
- t +
0
τ)
b t + a( t - ( a - b) t
1 0
e e dt
C (τ) = AB
xy t 1
e quindi: τ
τ) 1 (a-b)(- t (a-b)t
b t + a( t - 0+ )
1 0
e - 1
C (τ) = AB e e
xy ( a - b)
che può essere modificato come: e-b(τ- t t e-a(τ- t t
0- ) 0- )
AB -
1 1
C (τ) =
xy (a-b)
Nel caso in cui t e t 1fossero entrambi nulli si avrebbe il risultato:
0 AB e-bτ e-aτ
-
C (τ) =
xy (a-b)
Si può verificare come la presenza dei termini di ritardo t e t causa una traslazione di t + t
0 1 0 1
della convoluzione calcolata per ritardi nulli, come indicato nell'introduzione. 12
La fig.3.4 rappresenta il risultato della convoluzione per AB = 8, a =2 , b =1, t e t nulli.
0 1
Fig.3.4
Nel caso in cui i coefficienti a e b fossero tra loro uguali le due precedenti formule, ponendo
semplicemente b = a, ci porterebbero a forme indeterminate.
Con normali operazioni di limite si ottiene: e-a(τ- t t
0- )
1
C (τ) = AB (τ- t t
0- )
xy 1
e: τe-aτ
C (τ) = AB
xy
τ
Queste formule valgono per > t 0+ t e > 0 rispet
