Somma di due lati di un triangolo

La somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzo lato: detti A, B, C i tre vertici di un triangolo qualsiasi, comunque si assegnano i nomi ai vertici risulta che AB+BC>AC; tale proprietà caratterizza qualsiasi tipo di triangolo e vale in ogni caso.

Teorema sulla somma di due lati di un triangolo

Quella che abbiamo enunciato (la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzo lato) è una delle proprietà che caratterizza qualsiasi tipo di triangolo, nonché un vero e proprio teorema di geometria euclidea dimostrato dallo stesso Euclide.

Anche se solitamente viene espresso nella forma in cui l'abbiamo enunciato, in realtà è un po' impreciso perché si dovrebbe fare riferimento alle misure dei lati.

La sua formulazione in termini rigorosi è quindi la seguente: la somma delle misure di due lati qualsiasi di un triangolo è sempre maggiore della misura del terzo lato.

Per esprimere il teorema mediante simboli matematici, disegniamo un triangolo e chiamiamo i suoi vertici

Comunque scegliamo due lati avremo che la somma delle loro misure è maggiore della misura del terzo, ossia

Dimostrazione del teorema sulla somma di due lati di un triangolo

Consideriamo un triangolo qualsiasi, di vertici , e proponiamoci di dimostrare che la somma delle misure di due lati qualsiasi, ad esempio e , è maggiore della misura del terzo lato . In altri termini proviamo che

Prolunghiamo il lato dalla parte di e su questo prolungamento prendiamo un punto tale che sia .

Tracciamo poi il segmento che unisce i punti .

Il triangolo di vertici ha due lati uguali, ossia è un triangolo isoscele di base . In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti, per cui

Osserviamo poi che l'angolo è una parte dell'angolo , e quindi

Dalle ultime due relazioni segue allora che

Consideriamo ora il triangolo di vertici e ricordiamo che, in un triangolo, l'angolo maggiore si oppone al lato maggiore.

I lati opposti agli angoli e sono, rispettivamente, e , per cui dalla relazione segue che

Abbiamo praticamente finito. Per costruzione

ricordiamo che i lati e hanno la stessa misura

Ricapitolando

e sostituendo in otteniamo quanto volevamo provare, ossia che

Dall'arbitrarietà della scelta dei lati segue la tesi.

Formulazione equivalente del teorema sulla somma di due lati di un triangolo

Riprendiamo le disuguaglianze che scaturiscono dall'enunciato del teorema e leggiamole al contrario:

Otteniamo così una nuova formulazione del teorema, del tutto equivalente a quella scritta in precedenza: in un triangolo la misura di un lato è sempre minore della somma delle misure degli altri due lati.

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Per concludere ecco un paio di spunti di approfondimento:

- la proprietà che abbiamo enunciato si ricollega alla famosissima disuguaglianza triangolare;

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