Simmetria radiale

Una simmetria radiale, o simmetria rotazionale, è un particolare tipo di simmetria nel piano e nello spazio. Si dice che una figura piana o solida ammette una simmetria radiale se per ogni rotazione di angolo 0<α<360° attorno a un dato punto (nel piano) o a una retta (nello spazio) si ottiene una figura che si sovrappone perfettamente a quella di partenza.

Per fissare le idee pensiamo a una circonferenza. Qualsiasi rotazione oraria o antioraria attorno al suo centro restituisce una circonferenza che si sovrappone alla prima; la circonferenza è quindi un esempio di figura geometrica con simmetria radiale.

Oltre alla simmetria radiale in senso stretto (relativa a ogni rotazione di angolo α attorno a un punto) esiste anche un'ulteriore tipo di simmetria radiale, definita in base all'ordine.

Simmetria radiale nel piano di ordine p

Una figura piana possiede una simmetria radiale di ordine p se esistono un punto e un numero naturale tale che la rotazione (in senso orario o antiorario) di centro e angolo di ampiezza

restituisce una figura che si sovrappone a quella di partenza, e dopo rotazioni di angolo eseguite nello stesso verso si ottiene nuovamente la figura iniziale.

Il punto è detto centro di simmetria radiale e il numero naturale prende il nome di ordine di simmetria radiale.

Come potete osservare nella seguente immagine, il pentagono regolare ha una simmetria radiale di ordine con centro di simmetria radiale coincidente col centro della circonferenza inscritta (o circoscritta).

Fissato un verso di rotazione, ad esempio orario, e ruotando il pentagono attorno a di un angolo

si ottiene infatti un pentagono che si sovrappone perfettamente al primo. Inoltre, dopo 5 rotazioni di 72° nello stesso verso, si ricade nel pentagono di partenza.

Esempi di figure piane con simmetria radiale

Altri esempi di figure piane con simmetria radiale sono:

- il parallelogramma, il rettangolo e il rombo, che ammettono una simmetria radiale di ordine 2 con centro di simmetria radiale coincidente con il punto d'intersezione delle diagonali.

- tutti i poligoni regolari, il cui centro di simmetria radiale è il centro della circonferenza inscritta (o circoscritta), con ordine di simmetria pari al numero dei lati. Ad esempio il triangolo equilatero ha simmetria radiale di ordine 3, il quadrato di ordine 4, il pentagono regolare di ordine 5, l'esagono regolare di ordine 6, e così via.

- i centri di ellisse e iperbole sono centri di simmetria radiale di ordine 2.

Osserviamo in particolare una simmetria radiale di ordine 2 equivale a una simmetria centrale.

Simmetria radiale nello spazio di ordine p

Seguendo la stessa definizione data nel piano, si dice che una figura solida ammette una simmetria radiale di ordine p se esiste una retta e un numero naturale tale che la rotazione attorno alla retta di angolo

genera una figura che si sovrappone alla prima, e dopo rotazioni nello stesso verso si riottiene la figura di partenza.

La retta si dice asse di simmetria radiale e il numero continua a chiamarsi ordine di simmetria radiale.

A titolo di esempio consideriamo un cubo e una retta passante per i centri di una coppia di facce opposte. Tale retta è asse di una simmetria radiale di ordine 4, infatti fissato un qualsiasi verso di rotazione e ruotando il cubo attorno a tale retta di un angolo

otteniamo un cubo perfettamente sovrapposto al primo, e dopo 4 rotazioni eseguite nello stesso verso si ricade nel cubo iniziale.

Esempi di solidi con simmetria radiale

Altri esempi di solidi che ammettono simmetria radiale sono i solidi platonici e i solidi di rotazione. In particolare:

- le quattro altezze di un tetraedro regolare sono assi di simmetria radiale di ordine 3;

- il cubo ha 13 assi di simmetria radiale; le 4 rette a cui appartengono le diagonali sono assi di simmetria radiale di ordine 3, le 3 rette passanti per il centro delle facce opposte sono assi di simmetria radiale di ordine 4 e le 6 rette passanti per i punti medi di due spigoli opposti sono assi di simmetria radiale di ordine 2.

- Nell'ottaedro regolare le 3 rette passanti per le coppie di vertici opposti sono assi di simmetria radiale di ordine 4, le 4 rette che passano per i centri di due facce opposte sono assi di simmetria radiale di ordine 3 e le 6 a cui appartengono i punti medi di due spigoli opposti sono assi di simmetria radiale di ordine 2.

- Nel dodecaedro regolare e nell'icosaedro regolare le 6 rette che passano per le coppie di vertici opposti sono assi di simmetria radiale di ordine 5, le 10 rette a cui appartengono i centri delle coppie di facce opposte sono assi di simmetria radiale di ordine 3 e le 15 rette che passano per i punti medi di due spigoli opposti e paralleli sono assi di simmetria radiale di ordine 2.

- L'asse di rotazione di sfera, cono, cilindro, tronco di cono e di qualsiasi altro solido di rotazione è asse di simmetria radiale per esso.

Osservazioni sull'ordine di simmetria radiale

1) L'ordine di simmetria radiale di una figura piana o solida è definito come un numero naturale maggiore di 1 per il semplice fatto che, se fosse , allora una qualsiasi rotazione di angolo

permetterebbe di ottenere una figura che si sovrappone a quella di partenza, ragion per cui tutte le figure ammetterebbero simmetria radiale.

2) Per la circonferenza e per i solidi di rotazione non è definito l'ordine di simmetria radiale, infatti qualsiasi rotazione di angolo attorno al centro o all'asse genera una figura che si sovrappone perfettamente a quella iniziale. In tal caso si parla semplicemente di simmetria radiale (in senso stretto).

Proprietà della simmetria radiale

1) Nella simmetria radiale nel piano il centro di simmetria radiale è un punto unito e non ci sono rette unite.

2) Nella simmetria radiale nello spazio l'asse di simmetria radiale è una retta unita e tutti i punti dell'asse sono punti uniti.

3) In un poligono regolare con un numero pari di lati, il centro di simmetria radiale coincide con il centro di simmetria del poligono.

4) Ogni asse di simmetria di un solido è anche asse di simmetria radiale.

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La definizione di simmetria radiale ruota attorno alla rotazione, di cui potete fare un ripasso completo leggendo la pagina del link.