Le traslazioni in Geometria: definizione, proprietà, formule ed esempi

Una traslazione è un'isometria, ossia una trasformazione geometrica che lascia invariate le distanze spostando tutti i punti di una distanza fissa e nella medesima direzione. Ogni traslazione è definita da un vettore, che per definizione è caratterizzato da un modulo, da un verso e da una direzione.

Per fissare le idee consideriamo un punto del piano e un vettore . La traslazione di vettore associa al punto il punto , tale che il vettore sia equipollente al vettore , cioè tale da avere lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso di .

In altri termini la traslazione di un punto definita da un vettore associa a un punto del piano un punto tale che:

- il segmento abbia stessa lunghezza del vettore ;

- il vettore abbia la stessa direzione e lo stesso verso del vettore .

Traslazione di un punto.

Traslazione di una figura piana

Dato un vettore , la traslazione di una figura geometrica si ottiene traslando ogni suo punto mediante una traslazione di vettore .

I punti di una figura sono infiniti, quindi sarebbe impossibile traslarli tutti. Da un punto di vista pratico per ottenere la traslazione di una figura piana basta traslare i suoi elementi principali, quali possono essere i suoi vertici, i suoi lati o alcuni suoi punti notevoli.

Esempi di traslazioni

- La traslazione di un segmento si ottiene traslando i suoi due estremi e tracciando il nuovo segmento che li unisce.

Traslazione di un segmento.

- La traslazione di un angolo può essere ottenuta traslando i suoi due lati e individuando l'angolo contenuto tra essi.

Traslazione di un angolo.

- La traslazione di una circonferenza di centro e raggio si può ricavare traslando il suo centro e un suo raggio, e tracciando successivamente una nuova circonferenza avente come centro il punto (il traslato del punto ) e come raggio (il traslato del segmento ).

Traslazione di una circonferenza.

- La traslazione di un poligono può essere ottenuta traslando i suoi vertici e unendoli in modo da formare un poligono identico al primo.

Traslazione di un poligono.

Proprietà delle traslazioni

1) Ogni traslazione di vettore è un'isometria non invertente, che non ha punti uniti e in cui le uniche rette unite sono le rette parallele al vettore .

2) Se è il vettore nullo, una traslazione di vettore è un'identità.

3) La composizione di due traslazioni è ancora una traslazione; in particolare, se è una traslazione di vettore e una traslazione di vettore , allora la traslazione composta è definita dal vettore somma (individuabile con la regola del parallelogramma).

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Chi non ha ancora affrontato lo studio della Geometria Analitica può fermarsi qui con la lettura e, volendo, può approfondire l'argomento consultando la lezione dedicata alle trasformazioni geometriche piane.

Traslazione nel piano cartesiano

Nel piano cartesiano un vettore è definito tramite le sue componenti, solitamente indicate con e .

Le formule che descrivono una traslazione di vettore nel piano cartesiano sono le seguenti

dove sono le coordinate da ottenere, mentre sono quelle dell'equazione o del punto di partenza.

Esempi di traslazioni nel piano cartesiano

1) Traslare il punto di un vettore .

Indichiamo con le coordinate cartesiane del punto e con le coordinate cartesiane del traslato del punto .

Per trovare le coordinate del punto basta applicare le formule analitiche che definiscono la traslazione

Possiamo così concludere che il traslato del punto è il punto .

2) Traslare di un vettore la retta .

Per trovare l'equazione della retta traslata della retta attraverso il vettore dobbiamo:

- ricorrere alle formule analitiche della traslazione

- sostituire e con le componenti del vettore

- ricavare i valori di e in funzione di e

- sostituirli nell'equazione della retta , ottenendo così l'equazione della retta traslata

In definitiva:

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