Disequazioni di secondo grado

Le disequazioni di secondo grado ad un'incognita, dette anche disequazioni di grado 2 o disequazioni quadratiche, sono disequazioni in cui l'incognita è presente con esponente 2 ed eventualmente con potenze di grado inferiore. In altri termini, sono disuguaglianze tra un polinomio di grado pari a 2 e un polinomio di grado al più pari a 2.

In questa lezione spiegheremo come sono definite le disequazioni di secondo grado, mostrando il procedimento di risoluzione e analizzando i possibili casi, anche con l'ausilio di esempi svolti.

Come vedremo, vi sono essenzialmente due modi per determinare le soluzioni di una disequazione quadratica: il metodo algebrico e il metodo grafico (detto anche metodo della parabola).

Importante: prima di cominciare assicuratevi di ricordare vita, morte e miracoli delle equazioni di secondo grado. ;)

Definizione e forma delle disequazioni di secondo grado

Possiamo definire le disequazioni di secondo grado affermando che sono disequazioni in cui uno tra il membro di sinistra e il membro di destra è un polinomio di grado 2, mentre l'altro è un polinomio di grado al più 2.

In altre parole possiamo dire che una disequazione quadratica è tale se l'incognita si presenta almeno una volta con esponente 2 (x^2) e se l'incognita compare al più come potenza di grado 2. Ciò significa che le potenze di grado 1 (x) e quelle di grado 0 (termini numerici) possono esserci oppure no.

Qualche esempio di disequazioni di grado 2:

x^2−3x+1 ≥ 0 ; x^2−2x ≤ 1 ; 5x^2+7 < 0 ; 2x^2+3x > −3x^2+1

Dalla lezione sulle disequazioni di primo grado sappiamo una stessa disequazione può presentarsi in diverse forme, equivalenti tra loro. A questo proposito, per studiare i metodi di risoluzione delle disequazioni quadratiche conviene fare riferimento a una forma generale, detta forma normale delle disequazioni di secondo grado

ax^2+bx+c ⋛ 0

dove a, b, c∈R sono numeri reali, e precisamente:

a è detto coefficiente del termine di grado 2, o coefficiente direttivo;

b è detto coefficiente del termine di grado 1;

c è detto coefficiente del termine di grado 0, o termine noto.

Affinché la forma normale sia consistente è necessario imporre una condizione molto importante:

a ≠ 0

In caso contrario la disequazione non sarebbe di secondo grado, e si ridurrebbe a una disequazione di primo grado. I termini b,c invece possono essere eventualmente nulli.

Riguardo al numero di soluzioni delle disequazioni quadratiche valgono considerazioni del tutto analoghe a quelle di primo grado. Ci sono tre possibilità:

- disequazione determinata, ossia con un numero finito di soluzioni;

- disequazione indeterminata, ossia con un numero infinito di soluzioni (al più l'insieme delle soluzioni può coincidere con l'insieme di esistenza delle soluzioni);

- disequazione impossibile, ossia priva di soluzioni.

Metodo di risoluzione delle disequazioni di secondo grado

Negli esercizi le disequazioni quadratiche non si presenteranno necessariamente in forma normale. Se così fosse, dovremo usare i due principi di equivalenza delle disequazioni per semplificare le espressioni algebriche coinvolte.

Le semplificazioni potrebbero condurre a una delle forme normali delle disequazioni di secondo grado, oppure a disequazioni di primo grado, o ancora a disuguaglianze numeriche. Nel resto della lezione ci concentreremo solamente sulla risoluzione delle forme normali: negli altri casi il procedimento sarebbe banale. ;)

Supponiamo quindi che le semplificazioni ci conducano alla forma normale delle disequazioni di secondo grado. Scriviamo esplicitamente i casi possibili al variare del simbolo di disuguaglianza:

ax^2+bx+c > 0 ; ax^2+bx+c ≥ 0 ; ax^2+bx+c < 0 ; ax^2+bx+c ≤ 0 (a ≠ 0)

Ci sono due modi equivalenti per procedere: il primo è dato dal metodo algebrico, il secondo dal metodo grafico. Studiamoli separatamente.

Metodo algebrico per le disequazioni di secondo grado

1) Assicuriamoci che il coefficiente direttore a sia positivo, e se non lo fosse rendiamolo tale.

Se a è positivo non dobbiamo fare nulla; se è negativo, cambiamone il segno moltiplicando entrambi i membri per -1 e ricordiamoci di cambiare il verso della disequazione.

2) Risolviamo l'equazione di secondo grado associata:

ax^2+bx+c = 0 (a > 0)

Sappiamo che le soluzioni di un'equazione di secondo grado sono date dalla formula del discriminante

x_(1,2) = (−b±√(b^2−4ac))/(2a)

Ricordiamoci che un'equazione di secondo grado può avere:

- due soluzioni distinte;

- due soluzioni coincidenti;

- non avere alcuna soluzione.

3) Nella condizione a > 0, una volta ottenute le soluzioni dell'equazione possiamo risolvere la disequazione di secondo grado di partenza con una semplice scaletta.

Soluzioni equazione associata

Disequazione (a > 0)

Soluzione

Due soluzioni reali e distinte

x_1 ≠ x_2

Supponiamo per semplicità

x_1 < x_2

ax^2+bx+c > 0

ax^2+bx+c ≥ 0

ax^2+bx+c < 0

ax^2+bx+c ≤ 0

x < x_1 ∨ x > x_2

x ≤ x_1 ∨ x ≥ x_2

x_1 < x < x_2

x_1 ≤ x ≤ x_2

Due soluzioni reali e coincidenti

x_1 = x_2

ax^2+bx+c > 0

ax^2+bx+c ≥ 0

ax^2+bx+c < 0

ax^2+bx+c ≤ 0

∀ x, x ≠ x_1

∀ x

not ∃ x

x = x_1

Nessuna soluzione reale

Δ < 0

ax^2+bx+c > 0

ax^2+bx+c ≥ 0

ax^2+bx+c < 0

ax^2+bx+c ≤ 0

∀ x

∀ x

not ∃ x

not ∃ x

Esempio di disequazione di secondo grado con il metodo algebrico

Nella disequazione

−3x^2+5x−2 ≥ 0

Il coefficiente del termine di secondo grado a è negativo. Moltiplichiamo entrambi i membri per -1 e nel farlo invertiamo il simbolo di disuguaglianza, in questo modo ci riconduciamo alla scaletta risolutiva:

3x^2−5x+2 ≤ 0

Risolviamo l'equazione di secondo grado associata:

3x^2−5x+2 = 0

Calcoliamo il delta

Δ = b^2−4ac = (−5)^2−4·3·2 = 25−24 = 1

e applichiamo la formula per le soluzioni:

x_(1,2) = (−b±√(Δ))/(2a) = (5±1)/(6) = 1 ; (2)/(3)

Siamo nel caso in cui l'equazione associata ha due soluzioni distinte

x_1 = 1 ; x_2 = (2)/(3)

Rinominiamo le soluzioni in modo che sia x_1 < x_2

x_1 = (2)/(3) ; x_2 = 1

Ora, attenzione: la disequazione cui dobbiamo fare riferimento è quella in cui abbiamo cambiato i segni, ossia quella con a > 0

3x^2−5x+2 ≤ 0

Secondo la tabella le soluzioni sono date dai valori compresi tra le due soluzioni dell'equazione associata:

(2)/(3) ≤ x ≤ 1

Metodo della parabola per le disequazioni di secondo grado

Il metodo grafico è un procedimento alternativo (e del tutto analogo) a quello algebrico, e permette di ricavare le soluzioni di qualsiasi disequazione di secondo grado che si presenta in forma normale. Per poterlo usare è necessario sapere lavorare nel piano cartesiano e ricordare (grossomodo) le caratteristiche principali delle parabole.

Anche il metodo della parabola prevede di ricordare i vari casi, ma non preoccupatevene. Man mano che risolverete esercizi, ricorderete la scaletta in automatico. ;)

Prendiamo come riferimento la forma normale delle disequazioni di secondo grado:

ax^2+bx+c ⋛ 0 (a ≠ 0)

con a, b, c∈R e a ≠ 0. Se consideriamo l'equazione

y = ax^2+bx+c (a ≠ 0)

nel piano cartesiano, si vede che al variare dell'ascissa x l'espressione ax^2+bx+c individua il valore dell'ordinata y.

D'altro canto l'ultima equazione descrive nel piano cartesiano una parabola, cioè il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice:

Risoluzione delle disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

Parabola nel piano cartesiano.

Il pregio del metodo grafico per le disequazioni di secondo grado è che non abbiamo bisogno di sapere precisamente come disegnare una parabola. Ci basterà fissare le idee distinguendo tra diversi casi.

1a) Se a > 0 la parabola ha concavità rivolta verso l'alto, e se il delta dell'equazione ax^2+bx+c = 0 è positivo, allora la parabola ha due intersezioni distinte con l'asse x (che sono le soluzioni dell'equazione associata).

Rappresentare una parabola per risolvere le disequazioni di secondo grado

Caso a>0, Δ>0: concavità rivolta verso l'alto,
due soluzioni distinte x1, x2 per l'equazione associata.

Come si vede dalla figura, le ordinate dei punti della parabola sono maggiori di zero (punti al di sopra dell'asse x) per i valori di ascissa esterni alle due soluzioni distinte, e sono minori di zero per i valori di ascissa interni.

a > 0, Δ > 0 ; ax^2+bx+c → > 0 x < x_1 ∨ x > x_2 ; ≥ 0 x ≤ x_1 ∨ x ≥ x_2 ; < 0 x_1 < x < x_2 ; ≤ 0 x_1 ≤ x ≤ x_2

1b) Se a > 0 e se il discriminante è uguale a zero, allora la parabola è tangente all'asse delle x in un solo punto.

Caso delta nullo per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

Caso a>0, Δ=0: concavità rivolta verso l'alto,
due soluzioni coincidenti x1=x2 per l'equazione associata.

Le ordinate dei punti della parabola sono maggiori di zero per ogni valore reale esclusa l'ascissa del punto di tangenza, in cui l'ordinata è nulla:

a > 0, Δ = 0 ; ax^2+bx+c → > 0 ∀ x ≠ x_1 ; ≥ 0 ∀ x ; < 0 not ∃ x ; ≤ 0 x = x_1

1c) Se a > 0 e se il discriminante è negativo, allora la parabola non interseca l'asse delle x.

Caso delta negativo per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

Caso a>0, Δ<0: concavità rivolta verso l'alto,
nessuna soluzione per l'equazione associata.

In tale eventualità le ordinate dei punti della parabola sono sempre positive:

a > 0, Δ < 0 ; ax^2+bx+c → > 0 ∀ x ; ≥ 0 ∀ x ; < 0 not ∃ x ; ≤ 0 not ∃ x

Potremmo fermarci qui, perché possiamo sempre ricondurci al caso a > 0, ma per completezza analizziamo anche i casi con a < 0.

2a) Se a < 0 la parabola ha concavità verso il basso, e se il discriminante dell'equazione associata è maggiore di zero, graficamente avremo

Caso delta positivo nel metodo della parabola per le disequazioni di secondo grado

Caso a<0, Δ>0: concavità rivolta verso il basso,
due soluzioni distinte x1, x2 per l'equazione associata.

La parabola ha punti con ordinate positive per valori compresi tra i due punti di intersezione con l'asse x, mentre è negativa per valori esterni.

a < 0, Δ > 0 ; ax^2+bx+c → > 0 x_1 < x < x_2 ; ≥ 0 x_1 ≤ x ≤ x_2 ; < 0 x < x_1 ∨ x > x_2 ; ≤ 0 x ≤ x_1 ∨ x ≥ x_2

2b) Se a < 0 e se il discriminante è nullo, abbiamo una parabola con concavità rivolta verso il basso e un unico punto di tangenza con l'asse x.

Caso delta uguale a zero per le disequazioni di secondo grado

Caso a<0, Δ=0: concavità rivolta verso il basso,
due soluzioni coincidenti x1=x2 per l'equazione associata.

La parabola ha ordinate negative in ogni suo punto, tranne che nel punto di tangenza in cui l'ordinata è zero.

a < 0, Δ = 0 ; ax^2+bx+c → > 0 not ∃ x ; ≥ 0 x = x_1 ; < 0 ∀ x ≠ x_1 ; ≤ 0 ∀ x

2c) Se a < 0 e se il discriminante dell'equazione associata è negativo, graficamente avremo

Caso di delta negativo nelle disequazioni di secondo grado

Caso a<0, Δ<0: concavità rivolta verso il basso,
nessuna soluzione per l'equazione associata.

Le ordinate della parabola sono sempre negative:

a < 0, Δ < 0 ; ax^2+bx+c → > 0 not ∃ x ; ≥ 0 not ∃ x ; < 0 ∀ x ; ≤ 0 ∀ x

Confrontando i grafici con i risultati algebrici riportati nella tabella vi renderete conto che forniscono esattamente le stesse informazioni. In generale vi basterà ricordare che:

- ogni disequazione di secondo grado in forma normale corrisponde graficamente a una parabola;

- la concavità di una parabola è determinata dal coefficiente direttore a;

- le intersezioni di una parabola con gli assi dipendono dal segno del delta Δ.

 

 

Nella lezione successiva studieremo le disequazioni parametriche di secondo grado. Non perdetevela! :)

Se qualcosa non fosse chiaro, sappiate che qui su YM ci sono tonnellate di esercizi risolti e altrettante lezioni. Potete trovare le risposte ai vostri dubbi con la barra di ricerca interna, e all'occorrenza aiutarvi con il tool per risolvere le disequazioni online. ;)

Farväl, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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