Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica si possono calcolare per ogni autovalore di una matrice; sebbene siano concetti semplici da capire, sono alla base della teoria sulla diagonalizzabilità, sulla triangolarizzabilità e sulla forma canonica di Jordan, di cui ci occuperemo nelle prossime lezioni, quindi è bene avere ben presente come si definiscono e come si calcolano.
In questo articolo chiariremo ogni possibile dubbio sulla molteplicità algebrica e sulla molteplicità geometrica di un autovalore, dando le definizioni e spiegando come calcolarle. Come nostra abitudine vedremo qualche esempio e concluderemo con un'interessante proprietà che esprime il legame tra molteplicità algebrica e molteplicità geometrica, talvolta utile per risparmiare qualche conto negli esercizi.
Sia ben inteso: daremo per scontato sappiate cosa siano autovalori e autovettori associati a una matrice. In caso di dubbi, prima di procedere oltre vi consigliamo di dare un'occhiata alla lezione del link.
Molteplicità algebrica di un autovalore
Sia una matrice quadrata di ordine e sia un suo autovalore. Si dice molteplicità algebrica dell'autovalore , e si indica con , il numero che esprime quante volte l'autovalore annulla il polinomio caratteristico.
Ricordiamo che il polinomio caratteristico associato a una matrice quadrata è il determinante della matrice , dove è la matrice in esame, è un'incognita e è la matrice identità dello stesso ordine di . In formule:
Esempio sul calcolo della molteplicità algebrica
Calcolare la molteplicità algebrica degli autovalori associati alla seguente matrice
Svolgimento: il polinomio caratteristico è dato da
In questo caso il calcolo del determinante può essere effettuato con la regola di Laplace (sviluppano i calcoli rispetto alla terza riga o alla terza colonna, che contengono due zeri) oppure con la regola di Sarrus.
Gli zeri del polinomio
e quindi gli autovalori della matrice sono .
Qual è la loro molteplicità algebrica?
in quanto annulla due volte il polinomio caratteristico;
, infatti annulla una sola volta .
Osservazione sulla somma delle molteplicità algebriche degli autovalori
La somma delle molteplicità algebriche degli autovalori associati a una matrice non può mai superare l'ordine della matrice. In particolare:
- se si lavora in un campo algebricamente chiuso (qual è il campo dei numeri complessi), la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori coincide con l'ordine della matrice, infatti un corollario del teorema fondamentale dell'Algebra assicura che in un campo algebricamente chiuso un polinomio di grado ammette esattamente radici contate con la loro molteplicità.
- Se siamo in , invece, la somma delle molteplicità algebriche è minore o al più uguale all'ordine della matrice.
Molteplicità geometrica di un autovalore
Data una matrice quadrata di ordine e detto un suo autovalore, si definisce molteplicità geometrica di , e si indica con , la dimensione dell'autospazio relativo a , cioè il numero di elementi di una qualsiasi base dell'autospazio relativo a .
In termini pratici la molteplicità geometrica dell'autovalore si calcola con la formula
dove:
è l'ordine della matrice quadrata ;
indica il rango della matrice ottenuta sottraendo ad la matrice , data dal prodotto dell'autovalore per la matrice identità di ordine .
Esempio sul calcolo della molteplicità geometrica
Riprendiamo la matrice del precedente esempio
Abbiamo già calcolato i suoi autovalori che sono e le relative molteplicità algebriche. Calcoliamone ora le molteplicità geometriche.
L'ordine della matrice è , dunque
Legame tra molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
La molteplicità geometrica di un autovalore associato a una matrice quadrata di ordine è minore o al più uguale alla molteplicità algebrica dello stesso, ed è al minimo 1:
Di conseguenza se dobbiamo trovare le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore calcoliamo dapprima la molteplicità algebrica. Se essa è pari a 1 possiamo concludere immediatamente che anche la relativa molteplicità geometrica è pari a 1.
Con questo è davvero tutto! Se qualche dubbio vi assilla o se volete vedere altri esercizi svolti potete usare la barra di ricerca interna, partire dalla scheda correlata di esercizi risolti ed eventualmente aiutarvi con il tool per il calcolo di autovalori e autovettori online. ;)
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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