Grafico spazio-tempo per il moto rettilineo uniforme

Dopo aver studiato il moto rettilineo uniforme, mostriamo come rappresentare graficamente il moto di un punto materiale che si muove di MRU.

In altre parole spieghiamo come si disegna il grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniforme e quali sono le sue caratteristiche.

Fatto ciò vediamo un esempio e capiamo come analizzare i diagrammi spazio-tempo per ricavare tutte le informazioni relative a velocità, spostamento e tempo.

Indice

Spiegazione
Analisi

Il grafico spazio-tempo per il moto rettilineo uniforme

Per semplicità, in questa lezione ci limitiamo a considerare il grafico spazio-tempo nel caso di un moto rettilineo uniforme (MRU), anche perché è l'unico moto che abbiamo studiato finora. A fine spiegazione prepariamo il terreno per i successivi argomenti di Cinematica, ma andiamo con ordine...

Ricordate la legge oraria del moto rettilineo uniforme nel caso , ossia con istante iniziale nullo?

A partire da essa possiamo rappresentare il moto di un punto materiale su un grafico posizione-tempo, detto anche impropriamente grafico spazio-tempo.

Si tratta di un diagramma nel piano cartesiano in cui collochiamo il tempo sull'asse delle ascisse e la posizione sull'asse delle ordinate.

Supponiamo, ad esempio, di voler rappresentare la seguente legge oraria:

Confrontando questa legge con la formula generale, vediamo che la velocità è uguale a 2 m/s e che la posizione iniziale vale 3 m.

Se rappresentiamo la legge oraria sul grafico spazio-tempo, otteniamo il seguente grafico.

Grafico spazio tempo moto rettilineo uniforme

La prima cosa che notiamo è che si tratta di una retta, o meglio di un segmento.

In Matematica l'equazione di una retta è della forma:

dove è il coefficiente angolare e ci dice quanto è inclinata la retta, mentre è l'ordinata all'origine e ci dice a quale altezza la retta interseca l'asse delle y.

In effetti la legge oraria del MRU ha la stessa struttura dell'equazione di una retta:

s(t) = vt+s_0 ; y(x) = mx+q

Notiamo che:

alla y corrisponde la posizione;
alla x corrisponde il tempo;
il coefficiente angolare è la velocità;
la quota all'origine è la posizione iniziale.

La posizione iniziale ci dice sempre a quale altezza la retta intercetta l'asse delle ordinate, proprio come l'ordinata all'origine in Geometria. Se la posizione iniziale è zero, la retta parte dall'origine degli assi cartesiani.

La velocità corrisponde al coefficiente angolare della retta nel grafico spazio-tempo, ossia alla sua pendenza. Da qui capiamo che tanto maggiore è la velocità, tanto più la retta tende a essere verticale; al contrario, minore è la velocità, tanto più al retta tende a essere orizzontale. Nel caso limite in cui la velocità è nulla, la retta è perfettamente orizzontale.

Osservazione: il grafico ST non è la traiettoria

A scanso di equivoci, la rappresentazione nel grafico spazio-tempo non è la traiettoria del punto, bensì un diagramma che descrive come varia la posizione del punto al variare del tempo.

Il grafico può essere un segmento o al più una semiretta, perché possiamo considerare solo tempi .

Posizione, spostamento e spazio percorso

Abbiamo scritto che in un grafico spazio-tempo i valori di ordinata individuano la posizione del punto materiale, e sappiamo che lo spostamento tra due istanti di tempo si calcola come differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale:

Nel MRU possiamo parlare di spostamento e di spazio percorso (distanza percorsa) in modo equivalente.

Anche se in generale le due grandezze non coincidono, come abbiamo spiegato nella lezione sulla velocità media, nel moto rettilineo uniforme spostamento e distanza percorsa si equivalgono perché il moto avviene lungo una traiettoria rettilinea e la velocità è costante.

Velocità positiva o negativa

Sappiamo anche, dalla lezione precedente, che nel moto rettilineo uniforme la velocità media, la velocità scalare media e la velocità istantanea coincidono, e che per brevità si parla di velocità .

Se vogliamo fissare un sistema di riferimento per descrivere il moto rettilineo uniforme di un punto possiamo considerare una retta orientata, ossia una retta con una freccia. Se il punto si muove nello stesso verso della freccia, allora il moto avviene nel verso positivo, in caso contrario nel verso negativo.

Nel primo caso, la velocità è positiva e la retta nel grafico spazio-tempo è inclinata verso l'alto, come in figura.

Velocità positiva nel grafico spazio tempo

Nel secondo caso invece la velocità è negativa e otteniamo una retta inclinata verso il basso.

Velocità negativa nel grafico spazio tempo

Questa osservazione non dovrebbe sorprendervi. Se il verso del moto è opposto a quello del sistema di riferimento che abbiamo scelto, abbiamo uno spostamento negativo, ossia tale che la differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale è negativa. Poiché la differenza tra l'istante finale e l'istante iniziale è sempre positiva, in un caso del genere abbiamo una velocità con segno negativo.

Analisi di un grafico spazio-tempo

Ora che conosciamo il metodo per rappresentare graficamente un moto rettilineo uniforme, vediamo un esempio e commentiamo un grafico spazio-tempo per dedurne quante più informazioni possibili.

Questo è un esempio di grafico che descrive il moto di un punto lungo una retta. Attenzione!

- Questa non è la rappresentazione della traiettoria del punto; piuttosto, è la rappresentazione di come cambia la posizione del punto sulla retta al variare del tempo.

- Questo grafico non rappresenta complessivamente un moto rettilineo uniforme, perché sappiamo che un MRU si rappresenta con una retta e non con una linea spezzata. Piuttosto, abbiamo tanti moti rettilinei uniformi diversi, uno per ciascun tratto rettilineo del grafico spazio-tempo.

Prestiamo attenzione anche alle unità di misura. Sono scritte accanto alle marche degli assi, tra parentesi: nell'esempio lo spazio è espresso in metri e il tempo in secondi. Un grafico spazio-tempo deve riportare sempre le unità di misura di spazio e velocità.

Analizziamo il moto del punto materiale sui singoli tratti della linea spezzata.

Cosa è successo nel tratto ? Il punto è partito da una posizione iniziale di 3 m ed è arrivato ad una posizione finale di 7 m, partendo dall'istante iniziale 0 s e arrivando all'istante finale 2 s. Per calcolare la sua velocità in questo tratto, scriviamo:

v_(AB) = (Δ s)/(Δ t) = (s_B−s_A)/(t_B−t_A) = (7 m−3 m)/(2 s−0 s) = (4 m)/(2 s) = 2 (m)/(s)

Nel tratto , il punto parte dalla posizione iniziale 7 m e arriva alla posizione finale 12 m, iniziando il moto all'istante 2 s fino all'istante 7 s. La sua velocità è:

v_(BC) = (Δ s)/(Δ t) = (s_C−s_B)/(t_C−t_B) = (12 m−7 m)/(7 s−2 s) = (5 m)/(5 s) = 1 (m)/(s)

La velocità nel tratto è minore rispetto a quella del tratto , infatti la retta è meno inclinata di quella di .

Nel tratto , la posizione iniziale e finale coincidono (12 m) e abbiamo come istante iniziale 7 s e come istante finale 11 s: il punto è fermo e la sua velocità è nulla.

v_(CD) = (Δ s)/(Δ t) = (s_D−s_C)/(t_D−t_C) = (12 m−12 m)/(11 s−7 s) = (0 m)/(4 s) = 0 (m)/(s)

Nel tratto , il punto parte dalla posizione iniziale di 12 m e arriva alla posizione finale 4 m, partendo all'istante iniziale 11 s fino all'istante finale 13 s; la sua velocità è negativa.

v_(DE) = (Δ s)/(Δ t) = (s_E−s_D)/(t_E−t_D) = (4 m−12 m)/(13 s−11 s) = (−8 m)/(2 s) = −4 (m)/(s)

Nel tratto la posizione iniziale è 4 m e quella finale -3 m, partendo all'istante iniziale 13 s fino all'istante finale 20 s.

In il grafico è di nuovo piatto: la posizione iniziale è -3 m e coincide con quella finale, quindi il punto è rimasto fermo, dal tempo iniziale 20 s a quello finale 23 s.

v_(FG) = (Δ s)/(Δ t) = (s_G−s_F)/(t_G−t_F) = (−3 m−(−3) m)/(23 s−20 s) = (0 m)/(3 s) = 0 (m)/(s)

Infine, in è passato dalla posizione iniziale -3 m alla posizione finale 0 m, dal tempo iniziale 23 s al tempo finale 25 s.

v_(GH) = (Δ s)/(Δ t) = (s_H−s_G)/(t_H−t_G) = (0 m−(−3) m)/(25 s−23 s) = (3 m)/(2 s) = 1,5 (m)/(s)

Analisi complessiva

L'esempio descrive i passaggi salienti nell'interpretazione di un grafico spazio-tempo, ma non abbiamo finito.

Possiamo ancora osservare che complessivamente, da a , il punto non si è mosso di MRU e che ha percorso 3 metri indietro in 25 secondi. Questo ci permette di calcolare la velocità media sull'intero percorso, come rapporto tra spostamento e intervallo di tempo:

v_(m,AH) = (Δ s)/(Δ t) = (s_f−s_0)/(t_f−t_0) = (0 m−3 m)/(25 s−0 s) = (−3 m)/(25 s) = −0.12 (m)/(s)

Questa velocità è la pendenza della retta che unisce con .

Attenzione a non confondere la velocità media con la velocità scalare media (di cui abbiamo parlato nella relativa lezione). La velocità scalare media è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo:

v_(AH) = (d)/(Δ t) = (4 m+5 m+0 m+8 m+7 m+0 m+3 m)/(25 s) = (27 m)/(25 s) = 1,08 (m)/(s)

Concludiamo con un'osservazione: il grafico dell'esempio non descrive una situazione realistica, perché ci sono improvvisi cambi di velocità impossibili da realizzare.

Un grafico più realistico sarebbe descritto da una linea curva piuttosto che da una spezzata, ma questo implica una variazione progressiva della velocità, ossia un'accelerazione, concetto che studieremo nel seguito.

Prima però è il turno del grafico velocità-tempo, che sarà protagonista della prossima lezione.

Buona Fisica a tutti
Alessandro Catania (Alex)

Ultima modifica: 16/04/2024